n n

+961+961+961+961+1089+1156+1225+1225+1296+1444)/24 - (29,5)² = 889,25 - 870,25 = 19

по дискретному вариационному ряду:

S²= У ( x_i - X_i)² p_i = У x_i²p_i- X² = 400•1/24+484•1/24+576•1/24+625•1/24+676•2/24+784•6/24+ +961•6/24+1089•1/24+1156•1/24+1225•2/24+1296•1/24+1444•1/24 - (29,5)² = 889,25 - 870,25 = 19;

- по интервальному вариационному ряду:

S² = У ( y_i - X_i)² p_i = У y_i²p_i - X² = 441•1/24+529•1/24+625•2/24+729•2/24+841•6/24+961•6/24+

+1089•1/24+1225•3/24+1369•1/24+1521•1/24 - (30,08)² = 922,67 - 904,81 = 17,86;

3) выборочное среднее квадратическое

по исходному ряду данных:

S =v19 =4,36;

по дискретному вариационному ряду:

S = v19 = 4,36;

- по интервальному вариационному ряду:

S = v17,86 = 4,23

.

Наиболее точные оценки параметров выборочной средней, выборочной дисперсии и выборочной средней квадратической дают расчеты по исходному ряду данных и по дискретному вариационному ряду.

Найдем несмещенную оценку дисперсии

по исходному ряду данных и по дискретному вариационному ряду: S² = S² • n /(n - 1) = 19•24/23 = 456/23 =19,83

- по интервальному вариационному ряду:

S² = S² • n /(n - 1) = 17,86•24/23 = 18,63

Матричные игры с нулевой суммой

11.3.Нижняя и верхняя цены игры, седловая точка

Для матрицы найдём нижнюю цену игры l=max{min{a[i,j]:j}:i} и верхнюю цену игры U=min{max{a[i,j]:i}:j} .

82 73 10 55 46 37 28 19 10 1 ¦

73 64 9 46 37 28 19 10 1 92¦ Седловая точка

57 55 46 52 50 48 47 58 56 55¦

55 46 8 28 19 10 1 92 83 74¦

46 37 7 19 10 1 92 83 74 65¦

37 28 6 10 1 92 83 74 65 56¦

28 19 5 1 92 83 74 65 56 47¦

19 10 5 92 83 74 65 56 47 38¦

10 1 4 83 74 65 56 47 38 29¦

1 92 3 74 65 56 47 38 29 20¦

Эти величины совпадают, если и только если матрица имеет седловую точку. Так называется элемент, являющийся минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Цена игры лежит между нижней и верхней ценами игры. Игроки имеют оптимальные чистые стратегии если и только если матрица имеет седловую точку - в этом случае оптимальной

стратегией 1-го игрока является неизменный выбор строки с седловой точкой, для 2-го игрока - неизменный выбор столбца с седловой точкой.

36 38 38 38 38 37 37 37 37 37¦ 36

0 72 40 8 76 44 12 80 48 16¦ 0 Седловая точка

0 40 8 76 44 12 80 48 16 84¦ 0

1 8 76 44 12 80 48 16 84 52¦ 1 a[1,1]=36

1 76 44 12 80 48 16 84 52 20¦ 1

0 44 12 80 48 16 84 52 20 88¦ 0

0 12 80 48 16 84 52 20 88 56¦ 0

0 80 48 16 84 52 20 88 56 24¦ 0

1 48 16 84 52 20 88 56 24 92¦ 1

1 16 84 52 20 88 56 24 92 60¦ 1

36 80 84 84 84 88 88 88 92 92

11.4.Аналитическое решение игр 2х2

Решение игр 2х2 можно найти по формулам. Пусть {a[i,j]} - матрица игры 2х2 .

Если седловая точка в матрице есть, то решение игры ясно - в этом случае оп тимальной стратегией 1-го игрока является неизменный выбор строки с седловой точкой, для 2-го игрока - неизменный выбор столбца с седловой точкой. Поэтому предположим, что седловой точки нет. Обозначим a=a[1,1]-a[1,2]-a[2,1]+a[2,2],

b=a[2,2]-a[1,2]), c=a[2,2]-a[2,1] и d=a[2,2] . Пусть (x,1-x), (y,1-y) -

оптимальные стратегии 1-го и 2-го игроков и v - цена игры, тогда x=c/a, y=b/a и v=d-cb/a . Зададим матрицу игры 2х2. Элементы матрицы игры - не более чем двузначные целые положительные или отрицательные числа. (Поясним, как выводятся вышеуказанные формулы. Математическое ожидание выигрыша 1-го игрока есть M[x,y]=x*y*a[1,1]+(1-x)*y*a[2,1]+x*(1-y)*a[1,2]+(1-x)*(1-y)*a[2,2]. После перемножения и приведения подобных членов это выражение записывают в виде:

M[x,y]=a*(x-c/a)(y-b/a)+(d-cb/a) , где a,b,c,d - указанные выше числа.

Теперь уже ясно, что оптимальные стратегии игроков есть (c/a,1-c/a),

(b/a,1-b/a) и (d-cb/a) -цена игры).

Оптимальные стратегии игроков

I II Цена игры

матрица 2 3 5/6 (2/6;4/6) 2.67

игры +-xx 6 1 1/6

a = 2-3-6+1= -6

b =1-3= -2

c=1-6= -5 d= 1

11.5.Оптимальное решение - максимин=минимакс

Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры max{min M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанных стратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры ( M[P,Q] - есть средний выигрыш 1-го игрока при игре игроков со стратегиями P,Q соответственно) . Поэтому, если найти стратегию P*, на которой достигается максимум величины l(P)=min{M[P,Q]:Q} , то P* есть оптимальная стратегия 1-го.

Для игр 2х2 это сделаем так: переберем с малым шагом значения x от 0 до 1, при каждом x находя l(x)=min{M[x,y]:0<=y<=1} : затем найдем x*, при котором l(x) максимально; это максимальное значение есть приближенно цена игры, (x*;1-x*) есть приближенно оптимальная стратегия 1-го игрока; затем можно найти приближенно оптимальную стратегию 2-го игрока. Максимум l(x) находим в в два этапа: сначала с крупным шагом 0.1, затем с мелким шагом 0.01 .

Пример: Пусть задана матрица 5 1

4 2 шаг-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

l(x) 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0

шаг-01 0.00 0.05

l(x) 2.00 1.99 1.98 1.97 1.96 1.95

матрица 5 1 0.00;

игры 4 2 1.00 (0.25;0.75) 2.00

I II Цена игры

11.6.Метод Брауна-Робинсона нахождения решения игры

Оптимальные стратегии игроков и цену игры можно найти приближенно методом

Брауна-Робинсона. Предположим, что 1-й играет со стратегией P. Если 2-й выберет j-й столбец, то его средний проигрыш будет

M[P,j]=a[1,j]*p[1]+...+a[n,j]*p[n], значит 2-й должен выбрать столбец j, на котором величина M[P,j] минимальна. Аналогично пусть действует 1-й .

Предположим, что они уже сыграли n партий, тогда за их стратегии P,Q принимают вектора частот выборов строк и столбцов. Очередные ходы должны быть наилучшими ответами на эти стратегии. Зададим матрицу 3х3, элементами которой являются числа от -9 до 9 и понаблюдаем за стабилизацией стратегий и цены игры. Стабилизация происходит весьма медленно: для стабилизации 2-го знака после запятой может потребоваться десятки тысяч партий, 3-го знака сотни тысяч. Этим методом цену игры всегда можно определить, но стабилизации стратегий может не быть в некоторых специально сконструированных играх.

Число сыгранных партий

матрица -7 -5 -4 0.00 723300

-2 3 6 0.27

игры 5 4 2 0.73 0.36;0.00;0.64 3.092

I II

Стратегии игроков цена игры

11.7.Игра со спичками

Спички разложены в 5 групп.

Игроки - Человек и компьютер по очереди берут спички.

Можно брать только из одной группы и обязательно любое ненулевое количество спичек. Кто берет спички самый первый раз называется 1-м игроком, другой - 2-м игроком.

Кто берет спички последним, тот и победитель.

Список использованной литературы

1. Математические методы принятия решений в экономике. Коллектив авторов под редакцией Колемаева В.А., М.,Статинформ,1999

2. Колемаев В.А., Карандаев И.С., Гатауллин Т.М., Малыхин В.И. и др. Методические указания к выполнению курсовой работы по математике, ГУУ, 2000 (N 862)

3. Ершов А.Т., Карандаев И.С., Юнисов Х.Х. Исследование операций, М., ГАУ,1991

4. Малыхин В.И. Математика в экономике, М., Инфра-М,2000

5. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики, М., УРАО,1998

6. Малыхин В.И. Финансовая математика, М., ЮНИТИ,2000