Исследование однопродуктовой макромодели

4

«Исследование однопродуктовой макромодели»

Содержание

Введение

1. Общие понятия эконометрических моделей

2. Однопродуктовая динамическая макромодель

3. Сбалансированный рост в однопродуктовой макромодели

Задача оптимизации управляемых процессов

Постановка задачи оптимального управления

4. Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической модели

4.1 Сбалансированный рост в модели Солоу

5. Моделирование производства на макроуровне

6. Решение задачи управления экономикой на макроуровне

7. Оценка развития экономики

Заключение

Список литературы

Введение.

Общественное производство - сложный управляемый процесс преобразования ресурсов в общественный продукт.

При разработке экономико-математического аппарата для анализа, планирования и прогнозирования общественного произ-водства создается система моделей, основанная на представле-нии об экономике как сложной иерархической системе.

Верхний уровень системы моделей экономики образуют макроэкономические модели, в основе которых лежат взаимосвязи между глобальными экономическими показателями, такими, как совокупный общественный продукт, национальный доход, трудовые ресурсы, производственные фонды и др. Макроэкономические модели позволяют выявить изменения сводных показателей и дают ценную информацию о темпах и пропорциях развития народного хозяйства.

В некоторых случаях самостоятельный интерес представляет изучение взаимосвязи между важнейшими источниками экономического роста - живым и овеществленным трудом и результатом хозяйственной деятельности.

При математическом моделировании взаимосвязь между фак-торами производства и его результатом обычно отражают с помощью производственных функций.

В данной работе на основе однопродуктовой оптимизационной модели мы будем исследовать оптимальные решения применительно к конкретным экономическим системам, применение этой модели, к реальным экономическим процессам дает возможность сравнивать реальную траекторию фондовооруженности с оптимальной траекторией. Рассмотрим частную внутреннюю и несельскохозяйственную экономику США за период с 1947 по 1968 г.г.

1. Общие понятия эконометрических моделей.

При анализе экономических явлений на основе экономико-математических методов особое место занимают модели, выявляющие количественные связи между изучаемыми показателями и влияющими на них факторами. Научной дисциплиной, предмет которой составляет изучение этой количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа, является эконометрика, в которой результаты теоретического анализа экономики синтезируются с выводами математики и статистики. Ос-новная задача эконометрии -- проверка экономических теорий на фактическом (эмпирическом) материале при помощи методов ма-гматической статистики.

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель, т.е. экономико-математическая модель факторного анализа, параметры которой оцениваются средствами математической статистики. Эта модель выступает в качестве средства анализа и прогно-зирования конкретных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

Эконометрические модели можно классифицировать по ряду классификационных признаков. Так, по аналитической форме модели (уравнения) выделяют линейные, нелинейные, степенные модели, Брандона и др.

Одной из основных классификационных рубрик эконометрических моделей является классификация по направлению и сложности причинных связей между показателями, характеризующими экономи-ческую систему. Если пользоваться термином «переменная», то в лю-бой достаточно сложной экономической системе можно выделить внутренние переменные (например, выпуск продукции, численность работников, производительность труда) и внешние переменные (на-пример, поставка ресурсов, климатические условия и др.). Тогда по направлению и сложности связей между внутренними (эндогенными, выходными), переменными и внешними (экзогенными, входными) переменными выделяют следующие эконометрические модели: регрес-сионные модели, взаимозависимые системы, рекурсивные системы.

Процесс построения и использования эконометрических моделей является достаточно сложным и включает в себя следующие основные этапы: определение цели исследования, построение системы показателей и логический отбор факторов, наиболее влияющих на каждый показатель; выбор формы связи изучаемых показателей между собой и отобранными факторами, другими словами, выбор типа эконометрической модели; сбор исходных данных и анализ инфор-мации; построение эконометрической модели, т.е. определение ее параметров; проверка качества построенной модели, в первую очередь ее адекватности изучаемому экономическому процессу, использование модели для экономического анализа и прогнозирования.

При практической реализации указанных этапов очень важным является построение системы показателей исследуемого экономиче-ского процесса и определение перечня факторов, влияющих на каждый показатель.

2. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель.

Экономика - сложная иерархическая динамическая система. В зависимости от цели исследования ее представляют в различных разрезах. Так, на верхнем уровне иерархии экономику рассматривают как систему общественного производства, распределения, обмена и потребления. Такое разбиение удобно для исследования общественных отношений, складывающихся в процессе производства.

Это описание служит основой политэкономического способа соединения факторов производства: средств производства, рабочей силы - и определяет непосредственное положение производителя в общественном производстве.

В процессе труда люди воздействуют друг на друга, соединяясь определенным образом для совместной деятельности. Отношение людей в производстве определяет социальную структуру общества и распределение результатов. Общественный способ соединения работников и средств труда характеризует тип производственных отношений.

Исследование взаимосвязей элементов производства вне общественной формы приводит к рассмотрению производственно-технологической интерпретации экономики.

Выделим факторы, характеризующие производство: труд (L), средства труда (основные производственные фонды) (K) и предметы труда (W). Последние включают, с одной стороны, элементы природы, или природные ресурсы (W), и предметы труда (), возвращенные в производство как часть совокупного общественного продукта.

Результатом производственной деятельности является валовой продукт (Х), распределяемый на производственное потребление (W), и конечный продукт (Y). В свою очередь, конечный продукт (Y) делится на валовые капитальные вложения (I) и непроизводственное потребление (С). Валовые капитальные вложения (I) делятся на амортизационные отчисления (А) и чистые капитальные вложения, идущие на расширение производственных фондов.

Механизм воздействия чистых капитальных вложений на основные производственные фонды (ОПФ) сложен и при моделировании связан с определенными трудностями. Он составляет предмет самостоятельных экономико-математических исследований.

Представляет интерес изучение взаимосвязей между синтетическими показателями верхнего уровня экономической иерархии. Одним из подходов к решению данной проблемы является построение однопродуктовой макроэкономической модели.

Однопродуктовые макроэкономические модели - это модели, изучающие свойства и тенденции изменения взаимосвязанных агрегированных макроэкономических показателей, таких, как валовой продукт, конечный продукт, трудовые ресурсы, производственные фонды, капитальные вложения, потребление и т.д. Так на макроуровне взаимосвязь между валовым продуктом X, производственным потреблением W и конечным продуктом Y имеет вид:

X=W+Y. (1)

Конечны продукт в свою очередь делится на две составляющие: валовые капитальные вложения I и непроизводственное потребление C, т.е.

Y=I+C. (2)

Капитальные вложения составляют материальную основу наращивания и перевооружения производственного аппарата и являются средством повышения уровня благосостояния населения.

За счет капитальных вложений осуществляется ввод в действие основных производственных фондов. Однако формализация взаимосвязи «капитальные вложения - ввод в действие основных производственных фондов» сопряжена с определенными трудностями. Оной из которых является учет распределенного запаздывания прироста основных фондов от капитальных вложений. В экономико-математическом моделировании существует ряд подходов к описанию этой взаимосвязи.

В простейшей однопродуктовой модели делают предположение, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост основных производственных фондов в том же году и на амортизационные отчисления:

а) в дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид

(3)

где - прирост основных производственных фондов в году t; q - параметр модели; - амортизационные отчисления; - коэффициент амортизации; - основные производственные фонды в году t.

б) аналогом этого уравнения в непрерывном варианте является

Отсюда можно получить уравнение движения фондов:

Объединяя уравнения (1) - (3), получим однопродуктовую динамическую макромодель в дискретном варианте:

Если считать производственные затраты W пропорциональными выпуску продукции Х, т.е.

W=аX,

То дискретная однопродуктовая динамическая модель примет вид

или

а в непрерывном варианте - соответственно

.

3. Постановка задачи оптимального управления, решение задачи, оптимальная траектория.

В данном параграфе рассматривается общая постановка задачи, к которой приводят проблемы, возникающие при оптимизации экономических систем в частности. Будем считать, что имеется система, состояние которой может изме-ниться под воздействием некоторого количества управляющих воздействий. Задавая тем или иным способом эти воздействия, мы получим определенный процесс изменения состояния си-стемы. Первая задача, которая возникает при управлении системой, - выбор таких воздействий на систему, чтобы проис-ходящий процесс удовлетворял заданным условиям. Подобные процессы принято называть допустимыми.

Решение этой задачи неоднозначно. Допустимые процессы в системе образуют множество. Тогда возникает следующая задача - выбор из этого множества процесса, который является в некотором смысле наилучшим Другими словами, это задача выбора оптимального процесса.

Чтобы решать оптимизационные задачи с помощью мате-матических методов, нужно, прежде всего, сформулировать на математическом языке рассматриваемые процессы и их математические модели. Далее требуется дать математическое выражение понятию «наилучший» - свойству, которым должен обладать искомый процесс. Наконец, необходимо с помощью математических средств уметь отразить те ограничения, которые накладываются на состояние системы и управления.

Введем некоторые понятия и обозначения, которые будут использованы в дальнейшем. Рассмотрим множество М с элементами , причем элементы можно представить как пары следующего вида:

где , , а X, Y - некоторые заданные множества. Проекцией множества М на множество X назовем подмножество обладающее тем свойством, что для каждого существу-ет такой элемент , что пара содержится в мно-жестве М.

Пусть множества X и У - соответственно оси абсцисс и ординат. Множество всех пар , , , - точки координат плоскости. Множество М является его некоторым подмножеством. Точка принадлежит проекции , так как найдется такая точка (например, ), что . Точка таким свойством не обладает, так как не существует ни одной точки такой, что пара принадлежит множеству М. Следовательно, .

Введем понятие сечения множества М при данном х. Сечением будем называть множество всех у, при которых пара принадлежит множеству М.

Введем понятие функционала. Будем говорить, что на мно-жестве М задан функционал F, если известно правило, которое каждому элементу ставит в соответствие определенное действительное число . Можно сказать, что функционал осуществляет отображение множества М на множество действительных чисел.

Понятие функционала является обобщением понятия функции, когда аргументом является элемент произвольного множества. С другой стороны, функция сама является примером функционала, заданного на множестве , являющемся под-множеством п - мерного евклидова пространства .

В общем виде задача оптимизации формулируется как задача отыскания минимального (или максимального) значения функ-ционала на множестве М. Эта задача ставится аналогично задаче об отыскании экстремума функции.

Предположим, что требуется минимизировать функционал на множестве М. Под решением такой задачи мы будем понимать значение v такое, что для остальных элементов v множества М выполняется неравенство

.

Если решение этой задачи существует, то называется опти-мальным элементом множества М, а величина - опти-мальным значением функционала. Решения поставленной задачи F и будем записывать следующим образом:

Аналогично формулируется задача о нахождении максимального значения функционала. Решение задачи о максимизации функционала - сводится к задаче о минимизации функционала - , т.е. если на элементе множества М достигает минимума функционала - , то достигает на искомого максимума.

Введем понятие точной нижней и верхней границы функционала. Точной нижней границей функционала на множестве М назовем Тае число т, если:

1) для любого ;

2) Существует последовательность , на которой .

Точная нижняя граница функционала обозначается

Последовательность называется минимизирующей последовательностью.

Точно так же определяется точная верхняя граница п функционала :

Аналогично задачам о минимизации и максимизации функ-ционала задачи о нахождении точной нижней и верхней границ функционала сводятся одна к другой. Например, для нахождения точной верхней границы п функционала достаточно найти точную нижнюю границу т функционала - . Тогда т = - п - искомое значение точной нижней границы, а последователь-ность , максимизирующая - , будет минимизирующей для .

Назовем функционал ограниченным снизу (сверху) на множестве М, если существует такое число А, что при всех . Если функционал является ограниченным снизу (сверху), то решение задачи о нахождении его точной нижней (верхней) границы существует, т. е. имеет место следую-щая теорема.

Теорема. Пусть на множестве М задан ограниченный снизу функционал . Тогда реализуется одна из двух возможностей:

1) Существует элемент и число , при которых и при всех .

2) Существует последовательность элементов множества М и число , удовлетворяющее условиям , и при всех .

3.1 Задача оптимизации управляемых процессов.

Задачи оптимального управления представляют собой важный класс задач оптимизации. Эти задачи являются частными по отношению к сформулированной выше общей задаче оптимизации.

Необходимость управлять процессом оптимально, т. е. на-илучшим в определенном смысле образом, возникает в системах, характеристики которых меняются во времени под влиянием управлений. К такому классу систем относится и экономическая система. Для того чтобы сформулировать на математическом языке задачу управления в таких системах, необходимо ввести некоторые понятия и построить соответствующую математи-ческую модель.

Важнейшими понятиями в теории оптимального управления являются понятия состояния системы и управления. Будем рассматривать системы, состояние которых может быть в любой момент времени определено вектором х п-мерного векторного пространства с координатами . Пространст-во Х будем называть пространством состояний системы.

Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность системы называют траекторией системы.

Переменную t, которая является независимой, назовем аргу-ментом процесса. Аргументом процесса может быть любая величина, но чаще всего - время. Переменная t может пробегать некоторый отрезок числовой прямой, если , или отрезок натурального ряда . В первом случае процесс, происходящий в системе, называется непрерывным, во втором случае - многошаговым. Системы в этих случаях назовем соот-ветственно непрерывными и дискретными.

Изменение состояния системы, т. е. процесс в ней, может происходить под воздействием управляющих воздействий. Будем рассматривать системы, управляющие воздействия в которых моделируются с помощью элементов r-мерного векторного про-странства U:

Управляющие воздействия могут задаваться в виде функций от t. Тем самым реализуется определенный способ управления системой. В этом случае будем говорить о задании программы

На возможные (допустимые) состояния системы x(t) и управ-ления и u(t) могут быть наложены ограничения. Рассмотрим множество троек - совокупность (n+r+1) - мерных векто-ров в пространстве . Тогда ограничения на состояние системы и управления в самом общем случае могут быть записаны в виде

,

где - некоторая область (подмножество) рассматриваемого (n+r+1) - мерного пространства. Ограничения на величины x(t), u(t) в каждый фиксированный момент времени t могут быть заданы и в виде

где - сечение множества V при заданном t.

Пару функций назовем процессом. Между функциями x(t), u(t) имеется связь: как только задано управление u(t) системой, последовательность ее состояний (траектория системы) x(t) определятся однозначно. Связь между x(t) и u(t) моделируется по-разному в зависимости от того, является система непрерывной или дискретной.

Для непрерывных систем модели процессов задаются системой дифференциальных уравнений вида

или в векторной форме

(1)

В дальнейшем для компактности будем пользоваться вектор-ной записью переменных и систем уравнений. Однако иногда, если это будет диктоваться соображениями удобства, воспользу-емся записью системы (1) в виде

Пусть задано состояние, в котором система находилась в начальный момент . Этот момент в дальнейшем для определенности примем равным нулю, а момент окончания процесса - равным Т. Тогда аргумент процесса t изменяется в пределах , а начальным состоянием системы будет вектор

(2)

где - начальное значение i-й координаты вектора со-стояния системы.

Проанализируем, каким образом модель отражает связь между управлениями и состоянием системы, изменяющимся под их воздействием. Пусть на промежутке задано управление u(t). Подставляя его в правую часть системы (1), получим

(3)

Имеем систему дифференциальных уравнений относительно неиз-вестной вектор - функции . Решая ее с учетом начальных условий (2), получим x(t). Это решение и есть траектория, отвечающая заданному управлению u(t). При этом мы предполагаем, что для системы (3) выполнены условия, обеспечивающие существование и единственность ее решения при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Итак, задание управления в непрерывной модели однозначно определяет ее поведение. Задавая различные законы управления, получаем, следовательно, различные траектории системы.

Модель дискретной управляемой системы имеет вид системы рекуррентных уравнений:

В векторной форме эту модель, как и в непрерывном случае, будем записывать в виде

или

(4)

Здесь t принимает значение t = 0, 1, ..., Т - 1. Начальное зна-чение будем, как и выше, считать известным.

В дискретной системе, как и в непрерывной, задание програм-мы управления u(t) при t = 0, 1, ..., Т - 1 позволяет однозначно определить отвечающую ей траекторию системы. При этом в дискретном случае не требуется наложение каких-либо условий на правые части уравнений (4), как в непрерывном случае где требовалось обеспечить существование и единственность задачи Коши. В самом деле, при подстановке значения u(t) в правую часть (4) получаем систему уравнений, которая позволяет при известном значении состояния x(t) в момент времени t определить состояние x(t+1) в следующий момент времени. Так как в начальный момент t = 0 состояние известно, то, подставив его в правую часть (4), получим

Подставляя затем найденное значение x(1) и t=1 в (4) так же найдем значение х(2). Продолжая этот процесс, через Т шагов получим последнее искомое значение х(Т).

Таким образом, и в дискретном случае уравнения модели (4) позволяют однозначно определить траекторию системы х(t), если задано управление u(t).

Следовательно, процесс должен удовлетворять следующим ограничениям:

1) .

2) Пара удовлетворяет системе уравнений процесса:

а) системе (1) в непрерывном случае при ;

б) системе (4) в дискретном случае при t = 0, 1, ..., Т-1.

3) Заданы начальные условия (2).

4) В непрерывном случае на вектор-функции х(t), u(t) накла-дываются некоторые дополнительные ограничения, связанные с применимостью употребляемых здесь математических записей. Вектор-функцию u(t) будем считать кусочно-непрерывной, а век-тор-функцию х(t) - непрерывной и кусочно-дифференцируемой.

Процессы , удовлетворяющие условиям 1) - 4), будем называть допустимыми. Таким образом, допустимый процесс - это программа управления u(t) и соответствующая ей траектория системы х(t), удовлетворяющие перечисленным ограничениям.

3.2 Постановка задачи оптимального управления

Множество допустимых процессов в задаче оптимального управления и представляет собой множество М допустимых элементов, о которых шла речь выше при обсуждении обшей задачи оптимизации. Теперь для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал F задан-ий на множестве М. Задача оптимального управления будет стоять в выборе элемента множества М на котором функционал F достигает минимального значения. Такой процесс мы будем называть оптимальным процессом, управление - оптимальным управлением. А траекторию - оптимальной траекторией.

Функционал F, заданный на множестве допустимых процессов, описывает цель, согласно которой оптимизируется процесс. Значение , которое функционал принимает на данном процессе, характеризует качество процесса и позволяет сравнить два любых процесса. С точки зрения принятого функционала более предпочтительным является процесс, на котором его значения меньше. А оптимальным, т. е. более предпочтительным по сравнению с любым другим процессом, будет тот, где значение функционала минимально.

В задачах оптимального управления для непрерывных систем будем рассматривать функционалы следующего вида:

(5)

где ; - заданные функции. Выражение (5) позволяет вычислить для каждого допустимого процесса определенное значение и тем самым задать функционал на множестве допустимых процессов. Для этого необходимо подставить х(t), u(t) вместо аргументов функции , которая становится функцией времени, после чего вычислить ее интеграл. Затем к значению интеграла прибавляем значение функции F(x) при х = х(Т).

Функционал состоит из двух частей: и функции конечного состояния F(x(T)) - терминальной со-ставляющей. Первое из этих слагаемых оценивает качество процесса на на всем промежутке [0, Т], второе слагаемое - качество конечного состояния системы. Иногда в за-дачах оптимального управления конечное состояние системы задается. В этом случае второе слагаемое функционала (5) есть величина постоянная и, следовательно, не влияет на его минимизацию. Такие задачи называются задачами с фик-сированным правым концом траектории. Условие следует добавить в качестве дополнительного ограничения к усло-виям 1) - 4), определяющим множество допустимых процессов.

Функционал (5) выбирается таким образом, чтобы содержа-тельный смысл входящих в него слагаемых отвечал цели управления в конкретной задаче.

В частных случаях любое из слагаемых в (5) может отсутствовать. Тогда функционал будет иметь вид

или

F(v)=F(x(T))

Возникающие в этих случаях оптимизационные задачи могут быть сведены одна к другой и, следовательно, ни одна из них не является более общей.

4. Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической модели

Рассмотрим однопродуктовую модель развития экономики. Уравнения модели можно записать в следующем виде:

(4.1)

Здесь Х - валовой национальный продукт; Y - конечный (чистый) продукт; I - инвестиции в развитие производства; С - непроизводственное потребление; К - основные непроизводственные фонды; L - трудовые ресурсы; а - коэффициент прямых затрат; - норма выбытия основных фондов; F(K,L) - производственная функция экономики.

В данной модели трудовые ресурсы L(t) задаются экзогенно. Предположим, что рост трудовых ресурсов происходит с постоянным темпом, равным п, тогда

(4.2)

или

Введем величину s с помощью соотношения s=I/Y. Эта величина представляет собой долю конечной продукции, вкладываемую в расширение производства, и называется долей накопления. Ее связь с величиной u=C/Y - долей потребления - выражается соотношением s=u+1.

Данная модель - это модель экономики как управляемой системы. Управление системой ведется заданием доли потребления и накопления. Из соотношений (4.1) следует, что, задавая с помощью зависимостей C(t), I(t), связанных соотношением I+C=Y, программу потребления и расширения производства, мы тем самым получаем однозначный ответ, какими будут остальные экономические показатели, характеризующие в рамках данной модели экономику.

Для математического исследования модели удобно ввести «относительные» переменные. Переход к новым переменным задается формулами

Эти переменные имеют следующий экономический смысл: х - производительность труда, т.е. количество произведенной продукции в расчете на одного рабочего; k - фондовооруженность труда; с - потребление на одного рабочего. Исключая теперь из системы (4.1) переменные I и Y, представим ее в виде

(4.3)

Производя в уравнении (3.3) замену переменных X=xL, K=kL, C=cL, получим

Учитывая (4.2) и сокращая обе части равенства на L, будем иметь

(4.4)

В свою очередь, выражение для производственной функции также может быть преобразовано. Воспользуемся свойством линейной однородности производственной функции и положим . Тогда или, вводя соответствующие обозначения,

(4.5)

Здесь функция , как вытекает из свойств производственной функции, будет обладать следующими свойствами:

1. f(0)=0.

2.

3.

4. при

при

Заменим теперь с помощью (4.5) величину х в (4.4). Получим уравнение, описывающее модель Слоу:

(4.6)

Используя введенную выше долю накопления s, моно написать следующее равенство:

(4.7)

Подставив это равенство в (3.6), получим другую форму уравнения модели:

(4.8)

Таким образом, исследование величин X, Y, I, C, K, описывающих поведение экономической системы. Сводится к решению уравнения (4.8). Действительно, с помощью решения уравнения (4.8) определена величина k(t). Так как L(t) является известной функцией времени, из равенства (4.7) можно получить величину c(t), а вместе с ней и C(t)=c(t)L(t). Основные производственные фонды также могут быть легко определены: K(t)=k(t)L(t). Аналогично X(t)=f(k(t))L(t).

4.1 Сбалансированный рост в модели Солоу.

Введем понятие сбалансированного роста. Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором показатели, характеризующие экономику, растут с постоянным темпом. Применительно к данной модели это значит, что с постоянным темпом должны возрастать величины X, Y, I, C, K, L.

Оказывается, что темпы роста данных показателей не только постоянны, но и одинаковы. Обозначим темпы роста первых пяти показателей и сохраним принятое в (4.2) обозначение для темпа роста трудовых ресурсов. Тогда рост показателей носит экспоненциальный характер:

(4.9)

Так как Y=(1- a ) X, то откуда . С учетом (4.1)

Учитывая, что получаем . Используя уравнение (4.3) и подставляя в него сбалансированное решение (4.9), будем иметь

(4.10)

Покажем, что последнее равенство возможно лишь при . Разделив обе части (4.10) на . Получим

(4.11)

Так как правая часть последнего равенства постоянна при любом t, ее производная обращается в нуль. Отсюда после некоторых преобразований получим

Следовательно, так как показатели экспонент в последнем равенстве должны совпадать, то получаем . Подставляя полученный результат в (4.10), будем, аналогично рассуждая, иметь . Сопоставляя теперь полученные соотношения между темпами роста, получим, что все они совпадают, т.е.

Покажем, что все эти величины равны п - темпу роста трудовых ресурсов. Действительно, так как величины X, K и L связаны производственной функцией, то

Используя линейную однородность производственной функции. Получим

Так как , то отсюда следует

(4.12)

Как отмечено выше. Производственная функция монотонно возрастает по каждой переменной. А так как первый аргумент и значение самой функции постоянны, равенство (4.12) при всех значениях t может выполняться лишь при . Отсюда с учетом полученного выше вытекает

Таким образом, мы получили, что определение траектории сбалансированного роста данной модели приводит к тому, что темпы прироста всех показателей оказываются одинаковыми. Отсюда, в частности, вытекает, что на траектории сбалансированного роста доля накопления s=I(t)/Y(t) постоянна.

Из равенства темпов роста показателей следует, что на данной траектории показатели фондовооруженности труда будут постоянными. Это означает, что траектории сбалансированного роста в рассматриваемой модели отвечает решение (4.8), имеющее вид k=const при s=const. Найдя решение , остальные переменные модели получаем с помощью следующих формул:

Искомое решение обращает в ноль левую часть уравнения (3.8). Следовательно, для отыскания (при заданном постоянном значении нормы накопления s) требуется решить уравнение

(4.13)

Покажем, что это уравнение имеет в области k>0 (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании решения уравнения (4.13). для этого рассмотрим производную левой части (4.13), которая равна . как было отмечено выше, при Следовательно в некотором промежутке величина будет положительной, т.е. левая часть (4.13) - возрастающая функция. Таким образом, в некоторой точке (любой из окрестности ) будет выполняться неравенство

(4.14)

При в силу свойств функции производная становится сколь угодно малой. Следовательно, начиная с некоторого значения выражение будет строго отрицательным и меньше некоторого отрицательного числа . Тогда для значений будет выполняться неравенство

или

,

интегрируя которое в пределах от до получим

или

(4.15)

где

Правая часть неравенства (4.15) при стремится к (так как ). Следовательно, и левая часть этого неравенства также стремится к . Отсюда вытекает, что при некотором значение левой части будет отрицательным, т.е.

Сопоставив этот результат с (4.14), получим, что выражение

на концах промежутка имеет различные знаки. Тогда по известной теореме о том, что функция принимает все свои промежуточные значения в некоторой точке (по крайней мере одной) этого промежутка , оно обратится в ноль, т.е. уравнение (4.13) имеет по крайней мере одно решение.

Покажем, что это решение единственно. Предположим противное. Пусть - положительные корни уравнения (4.13). Так как k=0 также есть решение этого уравнения, у него, следовательно, не менее трех неотрицательных корней: , , .

Производная левой части (3.13) должна обратится в ноль по известной теореме о функциях, принимающих одинаковые значения на концах промежутка.

В то же время вторая производная левой части (4.13) с точностью до положительного сомножителя s(1-a) совпадает с , которая в силу свойств функции f(k) отрицательна. Отсюда втекает, что левая часть уравнения (4.13) является выпуклой функцией, а ее первая производная монотонно убывает. Последнее означает, что производная левой части (4.13) не может принимать одинаковых значений при различных k. Следовательно, и в ноль эта производная не может обратиться в двух различных точках. Это, в свою очередь, противоречит сделанному предположению о наличии двух положительных решений уравнения (4.13).

Таким образом, мы установили, что в рассматриваемой модели для каждой фиксированной нормы накопления существует единственная траектория сбалансированного роста.

Режим сбалансированного роста - это одна из возможных траекторий развития экономической системы. Если данная модель используется для описания реальной экономики, то любая конкретная траектория будет определяться как решение дифференциального уравнения (4.8) с начальным условием - значением фондовооруженности в начальный момент времени и не обязательно является траекторией сбалансированного роста.

Вместе с тем траектория сбалансированного роста играет важную роль среди множества траекторий однопродуктовой микромодели. А именно, исследуя поведение траектории модели, можно выяснить, что любая из них по прошестивии достаточно большого времени неограниченно приближается к траектории сбалансированного роста. Следовательно, режим сбалансированного роста может быть использован для расчетов экономических показателей при достаточно больших значений времени независимо от начальных значений этих показателей.

С математической точки зрения описанное свойство траекторий модели выглядит следующим образом. Пусть k - значение фондовооруженности на траектории сбалансированного роста; k(t) - траектория модели с начальным условием . Тогда независимо от значения справедливо соотношение

(4.16)

Соотношение (4.16) гарантирует асимптотическую устойчивость сбалансированного роста. Вместе с тем отметим, что описанное им свойство траектории модели являются более значительно более сильными, так как асимптотическая устойчивость означает сходимость к только тех траекторий, начальные значения которых достаточно близки к этому .

Для доказательства свойства (4.16) исследуем траекторию k(t) - решение уравнения (4.8) с начальным условием . Рассмотрим сначала случай, когда начальное значение лежит в области . Функция , являющаяся правой частью уравнения (4.8). эта функция обладает двумя участками монотонности: до некоторого значения k монотонно возрастает, затем монотонно убывает. При этом функция g(k) имеет единственный положительный корень .

В рассматриваемой области , где лежит начальное значение , g(k)>0, т.е. правая часть уравнения (4.8) положительна. Следовательно, на некотором интервале будет монотонно возрастать. При этом монотонное возрастание k(t) сохранится до тех пор, пока k(t) будет продолжать находится в области .

Покажем, что в действительности k(t) не покинет данной области ни при каком t.

Заметим, что если в некоторый момент времени значение k(t) станет больше , то в силу ее непрерывности найдется такая точка , в которой . Но так как также является решением уравнения (4.8), то в точке будет нарушаться единственность решения уравнения (4.8), поскольку по меньшей мере два решения k(t) и этого уравнения будут проходить через данную точку. Но этого не может быть, так как с учетом свойств функции f(k) правая часть уравнения (4.8) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решений дифференциальных уравнений. Таким образом, мы получили, что при всех исследуемое решение k(t) остается в области . Следовательно, k(t) монотонно возрастает, так как в этой области правая часть g(k) уравнения (4.8) и производная k(t) положительны.

Итак, мы выяснили, что любое решение с начальным условием , удовлетворяющим неравенству , является монотонно возрастающей функцией. Тогда, по теореме Вейерштрасса, существует . Покажем, что этот предел совпадает с .

Предположим, что это не так, т.е.

(4.17)

Тогда, если учесть, что решение k(t) монотонно возрастает и ограниченно, то

Подставляя теперь k(t) в обе части уравнения (4.8) и переходя в полученном равенстве к пределу при , с учетом последнего соотношения получим

Отсюда, учитывая непрерывность правой части уравнения (4.8) и соотношение (4.17), будем иметь

Следовательно, величина , так же как и , является решением уравнения (4.8). Но, как было установлено выше, это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, совпадает с . Полагая теперь в (4.17) , получим (3.16), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы получили, что все траектории k(t) модели Солоу, начинающиеся в точке , при являются монотонно возрастающими функциями и неограниченно приближаются к траектории сбалансированного роста. Аналогично можно показать, что если начальное значение лежит в области , то соответствующая траектория k(t) является монотонно убывающей функцией, причем при также имеет место свойство (4.6).

Более слабая по сравнению с (4.7) асимптотическая устойчивость сбалансированного роста может быть легко получена с помощью изложенных в данной главе общих методов исследования устойчивости. Для этого запишем уравнение модели (4.8) в линеаризованном виде, введя для этого переменную :

Таким образом, вопрос об асимптотической устойчивости сводится к определению знака выражения , который, как было уже показано, отрицателен. Следовательно, согласно результатам траектория является асимптотически устойчивой.

В заключение рассмотрим случай задания производственной функции F в виде функции Кобба-Дугласа. В этом случае . Тогда решения уравнения (4.8) для рассматриваемого случая будет иметь вид

(4.18)

Произведя замену переменных по формуле и продифференцировав ее, получим . Тогда уравнение (4.18) можно переписать в следующем виде:

Эта линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В качестве частного решения уравнения можно взять следующее:

Тогда общее решение выражается формулой

где С - производная постоянная.

Переходя к исходной переменной k(t), получим формулу для общего решения уравнения (4.18):

При получим, что первое слагаемое в скобках будет стремиться к нулю, следовательно,

(4.19)

Вычислим значение , отвечающее сбалансированному росту для рассматриваемого случая производственной функции Кобба-Дугласа. Уравнение (4.13) для определения примет вид

Искомый положительный корень этого уравнения будет определяться выражением

Сравнивая это выражение с (4.19), получим для рассматриваемого случая

что совпадает с полученным выше результатом (4.16) для произвольно линейно однородной производственной функции.

5. Моделирование производства на макроуровне.

При математическом моделировании взаимосвязь между фак-торами производства и его результатом обычно отражают с помощью производственных функций. При построении произ-водственных функций следует иметь в виду, что затраты факторов производства на выпуск продукции всегда неотрицательны. Кроме того, при моделировании производственных функций надо отме-тить, что отсутствие одного из факторов приводит к нулевому выпуску продукция. Полагают также, что факторы производства меняются непрерывно, а выпуск продукции изменяется достаточно гладко при изменении факторов, что естественно при рассмотре-нии производства на макроуровне.

Экономически целесообразно также, чтобы при увеличении количества используемого ресурса выпуск продукции рос, т.е. для дифференцируемой производственной функции можно записать следующие неравенства:

где К - основные производственные фонды; L - трудовые ресурсы.

Перечисленным условиям отвечают мультипликативные произ-водственные функции вида

где Х - выпуск продукции; - параметры производственной функции.

Мультипликативная производственная функция дает возмож-ность отразить эффект масштаба производства, который сущест-вует только при одновременном изменении факторов К и L. Пусть эти факторы изменятся в раз. Тогда

В этом случае:

если >1, то имеет место интенсивный способ развития, т. е. с ростом масштаба производства в раз, выпуск продукции возрастает более чем в раз;

если <1, то рост масштаба производства отрицательно сказывается на выпуске продукции, т. е. при росте затрат в раз выпуск продукции растет менее чем в раз;

если =1, то происходит экстенсивный рост экономики только за счет факторов производства.

Длительные наблюдения показывают, что в условиях чисто экстенсивного производства увеличение затрат только одного из факторов производства приводит к снижению эффективности его использования, т. е.

Это означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост дает уменьшающийся прирост продукции. Например, при многостаночной организации производства значительное увеличение числа станков, приходящихся на одного рабочего в условиях неизменной технологии, квалификации персонала и характеристик станков, уменьшает эффективность использования оборудования.

Для экстенсивного способа развития характерно

Производственная функция Кобба--Дугласа является модели экстенсивного способа развития:

=1,

где --коэффициент эластичности выпуска по протводственным фондам; --коэффициент эластичности выпуска по труду.

Под эластичностью производственной функции по фактору (фонду, труду и т.д.) понимается отношение относительного прироста функции к относительному приросту фактора. Эластич-ность численно равна числу процентов, на которое изменятся выпуск продукции при изменений фактора на 1%. Нетрудно показать, что коэффициенты эластичности можно определить как отношение предельной эффективности функции по фактору к средней эффективности:

Важной характеристикой производственных функций является эластичность замены ресурсов , так как она бывает постоянной для большинства производственных функций, используемых в эко-номико-математическом моделировании. Эластичность замены ресурсов показывает, на сколько процентов изменится фондо-вооруженность при изменении предельной нормы замещения (предельной фондовооруженности) на 1% при измененном выпуске продукции:

Отсюда

где - предельная эффективность по труду; - предельная эффективность по основным производственным фондам.

Эластичность замены ресурсов для функции Кобба--Дугласа равна

так как для нее предельная норма замещения

где .

Часто экономические соображения подсказывают, что хотя эластичность замещения ресурсов и можно считать постоянной, но все-таки она отлична от единицы. В связи с этим представляет интерес линейно однородная производственная функция Солоу:

Для того чтобы найти эластичность замены ресурсов для функции Солоу, вычислим предварительно предельную норму замещения s. Для этого найдем предельную фондоотдачу:

,

где - производительность труда; k - фондовооруженность труда.

Теперь найдем предельную производительность труда, учитывая, что

или

Окончательно

Отсюда эластичность замены ресурсов для функции Солоу

Нетрудно заметить, что функция Кобба-Дугласа является частным случаем функции Солоу при

6 Решение задачи управления экономикой на макроуровне.

Рассмотрим экономику, характеризующуюся в каждый момент времени t набором переменных

X, Y, C, K, L, I,

где X - интенсивность валового продукта; Y - интенсивность конечного продукта; C - непроизводственное потребление; I - валовые капитальные вложения; K - объем основных производственных фондов; L - трудовые ресурсы.

Эти переменные взаимосвязаны, прежде всего, имеет место условие баланса в каждый момент времени

X=aX+Y,

где 0<a<1.

В свою очередь, конечный продукт распределяется на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление

Y=I+C,

где валовые капитальные вложения расходуются на прирост основных производственных фондов и их восстановление за счет амортизационных отчислений:

где - коэффициент амортизации.

Тогда

или

(1)

где и - С/Y - доля непроизводственного потребления:

(2)

Будем считать, что размеры валового продукта определяются заданной производственной функцией, характеризующей возможности производства в зависимости от величины производственных фондов К трудовых ресурсов и времени t, т.е.

(3)

Предполагается, что производственная функция непрерывна и дважды диффреренцируема, причем выполняются следующие условия:

1) функция всегда неотрицательная: >0;

2) функция возрастает по каждому из аргументов: , ;

3) если хотя бы один из ресурсов K или L равен нулю, то и =0, =0, =0.

4) Предполагается, что с ростом каждого из аргументов прирост валового продукта убывает: , .

5) ;

6) Функция обладает свойством однородости по аргументам K и L, т.е. изменение масштаба производства приводит к пропорционалному изменению выпуска продукта:

Параметр t вводится в производственную функцию, чтобы учесть целый ряд внешних факторов, воздействующих на модель, в том числе влияние научно-технического прогресса;

7) Функция возрастает по времени:

.

Решение задачи будем искать при условии

, (4)

где - заданный уровень основных производственных фондов.

Пусть заданы производственные фонды в начальный момент времени:

(5)

Допустимое множество М в рассматриваемой задаче описывается условиями (1) - (5). Допустимый процесс предоставлен совокупностью функций

удовлетворяющей этим условиям. Он описывает состояние экономики, а Х и и - управление.

Задача управления в данной модели состоит в том, чтобы найти такой процесс который обеспечивал бы наибольшее среднедушевое потребление на рассматриваемом временном интервале с учетом дисконтированя потребления, т.е.

(6)

Проведем редукцию задачи. Для этого введем в дифференци-альное уравнение (1) относительные переменные: k = K/L - фондовооруженность, c = C/L--среднедушевое потребление, x = X/L производительность труда. Так как K=kL, X=xL, то уравнение (1) примет вид