Исследование однопродуктовой макромодели

Учитывая правило дифференцирования сложной функции, получим

Будем считать, что прирост трудовых ресурсов осуществляется
с постоянным темпом, т.е.

=nL

Тогда

Окончательно дифференциальное уравнение связи в относительных переменных примет вид

Ограничение на управление и останется тем же:

а на производительность труда х примет вид

где -

ограничения на производственные фонды заменим ограничениями на фондовооруженность:

Проведем преобразование функционала (6) к относительным переменным:

или

В задаче (1) - (6) требуется определить процесс обращающий в минимум функционал на множестве - .

Таким образом, в редуцированной задаче состоянием системы является фондовооруженность k управлением - производительность труда х и доля потребления и. Уравнением процесса служит дифференциальное уравнение роста фондовооруженности.

Для решения поставленной задачи воспользуемся теоремой № 1 о достаточных условиях оптимальности.

Пусть задан функционал

(1.1)

- являются решением функционала (1.1), тогда: для того чтобы процесс () был оптимальным т.е. минимизировал функционал (1.1, необходимо и достаточно, чтобы при всех t=0, 1, …, T-1

Функция R примет вид

Выделим в R слагаемые, содержащие компоненты вектора управления (и, х), и приравняем сумму коэффициентов при нем нулю. Тем самым на накладывается требование

следовательно

Тогда

где - произвольная функция. Положим , тогда

и

При этом условии функция R не зависит от и:

Оптимальные найдем из условия

Так как a<1, то (1-a)>0 и, следовательно, достигается при Для однопродуктовой модели это равенство очевидно, но в многоотраслевой модели может оказаться, что некоторые отрасли недогружены.

Проведем теперь максимизацию R по k при оптимальном . Обозначим:

Следовательно, максимум будет результатом максимализации по k.

Введем . Тогда, учитывая, что , можно записать

Проанализируем поведение функции r(t,k) по k. Эта функция является суммой двух слагаемых: производственной функции с точностью до постоянного множителя и линейного выражения.

Функция r(t,k) строго выпукла по k: при всех t, k>0. График r(t,k) в окрестности нуля близок к (1-a)f(t,k), так как, в частности, , а на бесконечности близок к , так как . Поэтому функция r(t,k) имеет единственный максимум по k, который достигается в точке .

Необходимым условием максимума r(t,k) по k является равенство нулю частной производной:

Учитывая, что , имеем

Так как 0<<1 и 1 - =, то

(7)

Найденное назовем магистралью данной динамической модели экономики. Она играет важную роль в структуре оптимального решения.

Управление, реализующее эту магистраль, найдем подстанов-кой найденного в дифференциальное уравнение развития системы (1)

(8)

Так как , где f(k,t)= есть функция Кобба-Дугласа, то, решая уравнение процесса относительно и, получим

(9)

Из формулы (7) найдем

Тогда

или

Так как

то получим оптимальное управление

(10)

в предположении, что

Рассмотрим специальный случай, когда краевые условия лежат на магистрали:

(11)

Тогда процесс оптимален вследствие теоремы № 1. действительно, этот процесс обеспечивает максимум R при каждом t:

а) по и - в силу независимости R от управления и, что достигается выбором функции у (к, t);

б) по k и х - по построению.

С другой стороны, представляет допустимый процесс, так как:

а) удовлетворяет уравнению процесса (и находили подстановкой в уравнение процесса);

б)

в) граничные условия были специально подобраны.

Отметим, что условие реализуемости в данной задаче выполняется. Это можно проверить. Для функции Кобба-Дугласа экономической магистралью является кривая постоянного темпа роста фондовооруженности, пропорционального темпу роста технического прогресса р, а оптимальное управление, реализующее данную магистраль, - постоянная величина (10).

Таким образом, для специально подобранных краевых условий (11) магистраль является оптимальным режимом развития экономики:

В других же случаях магистрали в структуре решения поводится существенная роль.

В действительности очень редко встречаются случаи, когда краевые условия принадлежат магистрали. Рассмотрим общий случай.

Пусть

Для решения этой задачи применим прием, аналогичный рассмотренному при решении задачи, линейной относительно управления. Найдем

В реальных экономических задачах минимальный уровень потребления строго положителен:

Посмотрим границы , i= 1, 2, j=0, 1, допустимой области V. Функции являются решениями дифференциального уравнения процесса

(12)

При соответствующих краевых условиях [если j=0, то берется , если j=1, то используется ] и ограничениях на управление (если i=1, то берется нижний предел , если i= 2, то ).

Рассмотрим пример, когда , Тогда оптимальная траектория будет состоять из трех участков с момен-тами переключения и где является точкой пересечения гра-ницы с магистралью , а точкой пересечения магистрали с 1раницей .

Из рисунка видно, что вначале па временном интервале (0,) по-чти все вкладывается в накопление (потребление в этот период на минимальном уровне ). Начиная с развитие идет по магистрали вплоть до момента , с ко-торого опять почти все вкладывается в экономику (потребление опять находится на нижнем уровне ).

Найдем решение дифференциального уравнения (12). Учитывая, что f(t)= , получим

(13)

Перепишем уравнение (13) в виде

(14)

где

Введем новую переменную

(15)

где .

Так как

то имеем

(16)

Подставляя (16) в дифференциальное уравнение (14), получаем

(17)

Разделив обе части дифференциального уравнения (17) на и используя соотношение (15), получим

(18)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного уравнения :

Найдем общее решение линейного однородного уравнения

(19)

характеристическим уравнением которого является

Отсюда определим корень характеристического уравнения:

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения (19) примет вид

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения в виде правой части (18)

(20)

где В - неопределенный коэффициент, подлежащий определению.

Дифференцируя (20) его по t, получим

Подставим в уравнение (18):

После сокращения на получим

откуда

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения (18) имеет вид

Так как , т.е. , то общее решение дифференциального уравнения (14) будет иметь вид

где j=0, 1.

По определению i= 1, 2, j=0, 1, являются границами допустимой области и получается как частные решения дифференциального уравнения (14) при замене и на граничные значения , i= 1, 2, , j=0, 1, в зависимости от краевого условия, тогда

(21)

где i= 1, 2, j=0, 1.

Найдем интегральные константы , j=0, 1, в зависимости от граничных условий. Так как

то

Аналогично определяем из граничного условия

Получая

Найдем точки переключения. Обозначим через , i= 1, 2, j=0, 1, точки пересечения границ , i= 1, 2, j=0, 1, с магистралью . Моменты переключения получим, приравняв

Используя формулы (7) и (21), получим

Отсюда