Теория статистики

2. По форме представления уровней -- ряды абсолютных, относительных и средних величин (табл. 5.1 --5.3).

3. По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные и неполные хронологические ряды.

Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл.5.1 и 5.2}. Неполные--когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. 5.3).

4. По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики (см. табл. 5.1 и 5.2). Комплексный ряд динамики получаем в том случае, когда в хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса или явления (см. табл. 5.3).

Таблица 5.1 Объем продаж долларов США на ММВБ, млн долл.

Дата	10.01.94	11.01.94	12.01.94	13.01.94
Объем продаж	126,750	124,300	148,800	141,400

Таблица 5.2 Индекс инфляции в 1993 г. (на конец периода, в % к декабрю 1992 г.)

Период	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Индекс инфляции	126	162	190	221	264	310

Таблица 5.3

Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год

Продукты	1980	1985	1990	1991	1992	1993
Мясо и мясопродукты Молоко и молочные продукты Хлебные продукты	80,0 411,2 101,2	78,4 389,6 91,6	74,1 378,9 85,7	68,3 345,4 91,8	58,7 280,4 98,0	63,2 285,6 105,8

5.2 Правила построения рядов динамики

Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней, при составлении ряда динамики должны выполняться следующие требования.

1. Периодизация развития, т. е. расчленение его во времени на однородные этапы, в пределах которых показатель подчиняется одному закону развития. Это, по существу, типологическая группировка во времени. Периодизация может осуществляться несколькими методами.

А. Исторический метод. Периодизация осуществляется на основе «узаконенной" структуры динамики, при этом обращают внимание на значимые даты и события, а именно: время принятия управленческих решений по данному показателю, смену хозяйственного механизма, смену руководства, войны и т. п. Недостатком этого метода является то, что точные временные границы периодов путем теоретического анализа удается получить крайне редко.

Б. Метод параллельной периодизации. Идея этого метода заключается в следующем. Пусть Y--анализируемый показатель, развернутый в динамический ряд {У,},где Y, -- значение уровня ряда в момент (интервал) времени t. Возможно, существует показатель X, которому соответствует динамический ряд {XJ, определяющий поведение исследуемого показателя Y. Тогда в роли однокачественных периодов развития Y нужно взять периоды X.

Рассмотрим условный пример:

Показатель	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988	1989
Х Y	10 20	9 19	11 21	13 24	12 24	18 35	17 34	20 40	21 41

Периоды однокачественной динамики показателей X легко выделить: это 1981-1985 и 1986-1989 гг. Линейный коэффициент корреляции между этими рядами очень высок: R = 0,995. Таким образом, можно считать, что ряд Х полностью определяет значение уровней ряда Y. Теперь, если предстоит качественный скачок показателя X, то с очень большой степенью вероятности можно ожидать аналогичных изменений показателя Y. В качестве недостатка метода параллельной периодизации следует отметить сложности в нахождении Х -- детерминирующего показателя. Более того, во многих случаях такой параметр вообще невозможно найти, так как он должен обладать весьма редкими свойствами -- связью с анализируемым показателем и, главное, неоспоримыми временными границами периодов.

В. Методы многомерного статистического анализа. Часто требуется выделить однокачественные периоды в развитии явлений или процессов, получить адекватное отображение которых с помощью одного лишь показателя трудно. К таковым относятся, в частности, здоровье населения, развитие сельскохозяйственного производства и многие другие. Очевидно, что даже такие комплексные показатели, как смертность, продолжительность жизни, заболеваемость, недостаточны для эквивалентного описания столь сложного, интегрированного явления, как здоровье. Необходима система показателей, иначе говоря -- компл системы показателей очевидны:

-- учитывается многообразие аспектов явления;

-- амортизируется искажающее воздействие недостоверных и неточных статистических данных;

-- наличие множества показателей повышает обоснованность статистических выводов, т. е. обеспечивается надежность их экстраполяции.

Идеальным выходом является использование множества, включающего все характеристики процесса. Однако это не всегда возможно по разным причинам, и чаще всего вследствие недоступности статистической информации. На основе комплексных динамических рядов (системы показателей) периодизация реализуется методом многомерной средней и методами факторного анализа.

Однокачественность уровней временного ряда означает, что в пределах всего изучаемого периода, к которому относятся уровни, должна быть проведена типологическая группировка.

После выделения однородных групп могут использоваться и анализироваться уровни ряда. Это требование может быть сформулировано как обеспечение сравнимости по структуре совокупности, для чего обычно применяется стандартная, нормативная структура.

2. Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета.

Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен. Трудности могут появиться при сравнении данных по моменту регистрации. В большей степени это относится к сезонным явлениям. В таких случаях даже регистрации на одну и ту же дату часто бывает недостаточно для обеспечения сопоставимости. Например, численность скота в домашнем хозяйстве на 20.11.1980 г. и 20.11.1990 г. качественно различается в связи с ранней зимой 1980 г., что привело соответственно к раннему забою скота. Регистрацию таких процессов лучше выполнять в «нейтральные» даты. Это середина зимы, когда забой прекращается, и середина лета, когда процесс появления приплода стабилизируется и заканчивается.

3. Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно для стабильных процессов интервалы можно увеличить.

Так, переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет; учет национального дохода, урожая ведется раз в год, ежедневно регистрируются курсы покупки и продажи валют, ежечасно -- температура воздуха и т. п.

4. Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

5.3 ПОКАЗАТЕЛИ АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ

При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут:

1) абсолютный прирост,

2) темпы роста,

3) темпы прироста,

4) абсолютное значение одного процента прироста.

В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях.

Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице.

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост (A„„;AJ-	Y,-Y„	Y,-Y,,
Коэффициент роста (Кр)"	Y,:Y„	Y,.Y,
Темп роста (Т )	(Y,:Y„) -100	(Y,:Y,,) *100
Коэффициент	Xp-l; Y,-Y„	к?-1. Y-Y,
прироста (К„р)	Yo \аз : Yo	> Y, A.en:Y,,
Темп прироста (Т„)	K„p * 100 Tp-100	K„p * 100; Tp-100
Абсолютное значение одного процента прироста 1М	Y„ .100	Y,,:100; Л=Т„р; Y,-Y,,
		Tp-100

Рассмотрим пример. Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах России за пять месяцев 1993 г.

Показатель	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август
Объем продаж, млн руб. Абс.прирост: цепной, базисный Коэффициент (индекс) роста цепной Темп роста, %: цепной, базисный Темп прироста цепной, % базисный,% Абсолютное значение 1 % прироста (цепной)	709,98 100	1602,61 892,63 892,63 2,257 225,7 225,7 125,7 125,7 7,10	651,83 -950,78 -58,15 0,407 40,7 91,8 -59,3 -8,2 16,03	220,80 -431,03 -489,18 0,339 33,9 31,1 -66,1 -68,9 6,52	327,68 106,88 -382,3 1,484 148,4 46,2 48,4 -53,8 2,21	277,12 -50,56 -432,86 0,846 84,6 39,0 -15,4 -61,0 3,28

Система средних показателей динамики включает:

средний уровень ряда,

средний абсолютный прирост,

средний темп роста,

средний темп прироста.

Средний уровень ряда -- это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом:

n n Y=ZY,/n или Y=ЈY,/(n+1), 1 о

где п или (n +1) -- общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y (i = 1, 2, ..., n или i = 0, 1,2, .... n).

Если в интервальном ряду отрезки имеют неравную длительность, то средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической:

Выбор формулы определяется характером исходных данных;

при этом числитель должен иметь реальное содержание.

Для моментных временных рядов величина среднего уровня зависит от того, как шло развитие явления в рамках интервалов, разделяющих отдельные наблюдения. Обычно считают, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие происходило по линейному закону. Тогда общий средний уровень находится как среднее значение из средних по каждому интервалу. Для моментного ряда с равноотстоящими моментами получаем в итоге формулу средней хронологической.

Вид формулы определяется способом нумерации уровней. Если уровни нумеруются начиная с нуля, то средняя хронологическая имеет вид

-Y+Y,+...+Y„

Если же уровни обозначены Y,, Уд, .... Y^, формула получает

вид

Y+Y,+...+Y,

Для моментного ряда с неравными интервалами предварительно находятся значения уровней в серединах интервалов:

2 2 2 а затем определяется общий средний уровень ряда:

Рассмотрим примеры. 1. По данным табл. 5.1,

_ 126,75+124,3+148,9+141,1

Y = ------------------------------------ == 135,3 млн валютных

4 единиц.

2. Имеются данные о валютном курсе на ММВБ (руб./долл.):

Дата	13.12:93	14.12.93	15.12.93	16.12.93	17.12.93
Курс	1231	1237	1247	1247	1250

1231 1250 + 1237 + 1247+1247 +

Y=

=----------= 1242,9 5-1 4 руб./долл.

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов).

Т = К -100,

-- р р

где К -- средний коэффициент роста, рассчитанный как

-- n I------ n I---- Кр=/ПК„„=/К„.

Здесь Кц^ -- цепные коэффициенты роста; Kg^ -- базисный коэффициент роста.

Если нумерация уровней ряда начинается с единицы, то формула среднего коэффициента роста выглядит следующим образом:

Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии: _ _

Например, по данным об объемах продаж акций имеем:

5.4 Структура ряда динамики. Проверка ряда на наличие тренда

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд-- основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У,, Уд). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

2.Фазочасготный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура). Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы -- изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, если количество уровней ряда динамики не делится на три, недостающие уровни нужно добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.

4. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае -- тип В.

Теперь последовательность уровней временного ряда выступает как последовательность типов. Так, временной ряд уровней брачности (см. ниже) имеет после упорядочения по возрастанию на 7-м месте значение 9,9 и на 8-м месте -- значение 10,4. Отсюда медиана ряда равна (9,9 + 10,4) : 2 = 10,15. Ряд типов выглядит как

В В В В В В ВААААААА.

В образовавшейся последовательности типов определяется число серий. Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа. В данном примере число серий (R) равно 2.

Для приведенного в данной главе (см. ниже) ряда объемов продаж акций по месяцам имеем последовательность типов

ААВ В ВАААВ BAB.

Для данного ряда R = 6.

Если во временном ряду общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для п > 10). Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

R - to„ < R < R + top.

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р. Например:

Р 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997 t 1 1,960 2 2,576 3

Среднее число серий

R= (n+ 1)/2.

Среднее квадратическое отклонение числа серий а„=/(п-1)/4.

Здесь n -- число уровней ряда.

Выражение для доверительного интервала приобретает вид

(n + 1 - t /(n - 1)) /2<R<(n+1+t /(n- 1)) / 2 .

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю. В нашем примере (для Р = 0,954) имеем:

ряд уровней брачности -- 3 < R < 12;

ряд объема продаж акций -- 3 < R < 10.

Как видно, для ряда динамики уровня брачности показатель числа серий R = 2 выходит за пределы возможного случайного поведения и, следовательно, в изменении уровней ряда имеется общая закономерность, тенденция. Напротив, для ряда объемов продажи акций число серий R = 6 вполне (с Р = 0,954) укладывается в пределах случайного поведения и гипотеза о наличии общей закономерности снижения или возрастания объемов продаж во времени не может быть принята (с вероятностью ошибки 0,046).

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т. д. точек) или четным (2, 4, 6 и т. д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами -- расчетом средней арифметической взвешенной. Так, при сглаживании по трем точкам выравненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле

У, = (5У, + 2У, - Уз) / 6 .

Для последней точки расчет симметричен. При сглаживании по пяти точкам имеем:

_У, = (ЗУ, + 2У, + Уз - У<) / 5 , у, = (4У, + ЗУ, + 2У, + Уд) / 10 .

Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках.

Формулы расчета по скользящей средней выглядят, в частности, следующим образом:

у,., + у, + Ум

для 3-членной У == -------------------------- ;

для 5-членной У =

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения^времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

У, = t(t) + 8, где f(t) -- уровень, определяемый тенденцией развития;

Е,-- случайное и циклическое отклонение от тенденции. Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

линейная f(t) = Вд + a,t;

параболическая f(t) = Вд + a,t + a^t2, экспоненциальные f(t) = exp(a„ + a,t) или f(t) = ехр(ад + a,t + a^t2) .

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т. п.).

Оценка параметров (а„, а,, а;, ...) осуществляется следующими методами:

1) методом избранных точек,

2) методом наименьших расстояний,

3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов (см. гл. 7), который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

min 1(У, - f(t))2.

Для линейной зависимости (f(t) = Вд + a,t) параметр Зу обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а, -- сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а, можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). фактический уровень (F„,^) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

где R -- число параметров функции, описывающей тенденцию;

n -- число уровней ряда;

Ј (У - f(t))2

Ј(f(t)-y)2

О факт = О у - ° ост :

Ј (у - у)2

рф^ сравнивается с F^p при v, = (k - 1), v; = (n - k) степенях свободы и уровне значимости к (обычно а = 0,05). Если F > F , то уравнение регрессии значимо, т. е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:

Год	Число зарегистрированных браков, %о	t	у * t	t2	f(t)
1977 1978 1979 1980 1981-1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990	11,2 10,9 10,7 10,6 10,6 10,4 10,4 9,6 9,7 9,8 9,9 9,5 9,4 9,1	- 13 - 11 -9 -7 -5 -3 - 1 1 3 5 7 9 11 13	- 145,6 - 119,9 -96,3 -74,2 -53,2 -31,2 - 10,4 9,6 29,1 49,0 69,3 85,5 103,4 118,3	169 121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121 169	11,077 10,931 10,785 10,639 10,493 10,347 10,202 10,056 9,910 9,764 9,618 9,472 9,326 9,180
Итого	141,8	0	-66,4	910	141,800

Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.

141,8 -66,4 а„=--------=10,1286; а, =----------=-0,073. 14 910

Таким образом, f(t) =y,= 10,128 - 0,073t для! =г- 13, - 11, - 9, .... +13, илит(1) =y,= 11,077-0,146t для t = 0, 1, .... 13.

Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: а„ = 11,077 -- это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.;

а, = - 0,146 -- показатель силы связи, т. е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 %о ежегодно.

Следующий шаг аналитического выравнивания -- оценка надежности уравнения регрессии:

Ј (у - у)2

о2 = -------------- = 0,37633;

Ј (f(t) - у)2

0,03044 * (2-1)

Таким образом, F = 4,747; ex = 0,05; v, = (k - 1) = 1;

v;, = (n - k) = 12 и F^p = 9,330 при а = 0,01, v, = 1, v, = 12.

fa > ^тео * и Уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию.

5.5 Анализ сезонных колебаний

Если в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (как в большую, так и в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов. Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер, -- возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, производство молока и мяса по месяцам года, потребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т. д.).

Уровень сезонности оценивается с помощью:

1) индексов сезонности;

2) гармонического анализа.

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t). При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года. Индексы сезонности -- это, по существу, относительные величины координации, когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда, либо уровень тенденции. Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

Если тренда нет или он незначителен, то для каждого месяца (квартала)

где У, -- уровень показателя за месяц (квартал) t;

У -- общий средний уровень показателя.

Как отмечалось выше, для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший промежуток времени. В этом случае

где У, -- средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет;

Т -- число лет.

Пример. Имеются данные об объеме продаж акций на 15 крупнейших биржах России за 1993 г. (млн руб.):

Месяц	Уровень показателя (У,)	t.cea
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Нчябрь Декабрь	12,78 122,08 709,98 1602,61 651,83 220,80 327,68 277,12 418,31 521,18 396,20 508,34	0,027 0,254 1,477 3,334 1,356 0,459 0,682 0,576 0,870 1,084 0,824 1,057

Как видно, в 1993 г. были зарегистрированы три пика объемов продаж акций: в апреле, октябре и декабре.

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета следующий:

1) для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);

2) рассчитывают отношения i, = У,/ f(t);

3) при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов)

Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ. Его выполняют, представляя временной ряд как совокупность гармонических колебательных процессов. Для каждой точки этого ряда справедливо выражение

У, = f(t) + Е (а„ * cos(nt ----) + b„ * sin(nt ----))

п=1 Т ' Т при t = 1, 2, .... Т.

Здесь У, -- фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t; f(t) -- выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t, a a„, b„ -- параметры колебательного процесса (гармоники) с номером п, в совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки.

Общее число колебательных процессов, которые можно выделить для ряда, состоящего из Т уровней, равно Т / 2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник. Параметры гармоники с номером п определяются по формулам:

1)E,=y,-f(t);

т - Јe, * cos (nt

t=i

2 т 2к

b„ = -- Ее, * sin (nt ----) при п = 1, 2, .... (Т / 2 - 1);

T t=i Т

1 т 3) а^ = -- Јe, * cos (те * t), b,/, = 0.

Tt=i

Аппарат гармонического анализа позволяет оценить роль каждого колебательного процесса в общей дисперсии временного ряда. Удельный вес гармоники с номером п определяется как d„ = Д„ / Д, где Д -- дисперсия ряда, рассчитанная обычным способом; Д„--дисперсия, вносимая колебательным процессом (гармоникой) с номером п:

Д. = On2 + b„2) / 2 . Д,/, = а^ :

2(У, - У)2 Д=----------------*

5.6 Анализ взаимосвязанных рядов динамики

Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие, в которых уровни одного ряда в какой-то" степени определяют уровни другого. Например, ряд, отражающий внесение удобрений на 1 га, связан с временным рядом урожайности, ряд уровней средней выработки связан с рядом динамики средней заработной платы, ряд среднегодового поголовья молочного стада определяет годовые уровни надоев молока и т. д.

В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух и более рядов их приводят к общему основанию, для чего берут в качестве базисных уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или прироста.

Коэффициенты опережения по темпам роста -- это отношение темпов роста (цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или базисным) другого ряда. Аналогично находятся и коэффициенты опережения по темпам прироста.

Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при изучении временных последовательностей. Нередко совпадение общих тенденций развития бывает вызвано не взаимной связью, а прочими неучитываемыми факторами. Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния существующих в них тенденций, а после этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда. Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на автокорреляцию и установление взаимосвязи между признаками.

Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих. Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина--Уотсона:

S(e„, - е,)2 к= ------------,

Ее,2

где е, -- отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выравненного) значения.

При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция, при К = 2 автокорреляция отсутствует, при К = 4 -- полная отрицательная автокорреляция. Прежде чем оценивать взаимосвязь, автокорреляцию необходимо исключить. Это можно сделать тремя способами.

1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов динамики Х и У получают уравнение тренда:

X, = а„ + a,t;

y,=b„+b,t.

Далее выполняют переход к новым рядам динамики, построенным из отклонений от трендов:

Р = У - У

-t -t -т-

Для последовательностей (^) и (е,) выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина -- Уотсона. Если значение К близко к 2, то данный ряд отклонений оставляют без изменений. Если же К заметно отличается от 2, то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии, т. е. /\

Заметим, что более полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа автокорреляционной функции, когда определяются число параметров (а.у, к,, а.у ...; рд, (3,, Рд, ...) и соответствующие этим параметрам величины лагов.

Наконец, подсчитываются новые остатки

2. Корреляция первых разностей. От исходных рядов динамики Х и У переходят к новым, построенным по первым разностям:

X; =ДХ,=Х,-Х„,;

У; =АУ,=У,-У,,.

По ДХ и АУ определяют направление и силу связи в регрессии:

ДУ = f(AX) = Со + С, * ДХ.

3. Включение времени в уравнение связи: У, = f(X,, t). В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом:

У,=а„+а, * X,+a,.t.

Из перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является второй, однако более эффективен первый.

Глава 6. ИНДЕКСЫ

6.1 Индивидуальные индексы и их применение в экономическом анализе

Индекс -- это относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени (тогда говорят об индексах динамики), в пространстве {территориальные индексы}, в выборе в качестве базы сравнения какого-либо условного уровня, например планового показателя, уровня договорных обязательств и т. п. Соответственно вводят индекс выполнения обязательств или, если плановый уровень сравнивается с уровнем предыдущего периода, -- индекс планового задания.

В экономическом анализе индексы используются не только для сопоставления уровней изучаемого явления, но главным образом для определения экономической значимости причин, объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней.

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если исследователь не интересуется структурой изучаемого явления и количественную оценку уровня в данных условиях сравнивает с такой же конкретной величиной уровня этого явления в других условиях.

Так, уровень товарооборота в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного года Q, сравнивается с аналогичной суммой выручки базисного года Qg. В итоге получаем индивидуальный индекс товарооборота

io = Q, / qo.

Аналогичные индивидуальные индексы можно рассчитать и для любого интересующего нас показателя. В частности, поскольку сумма выручки определяется ценой товара (р) и количеством продаж в натуральном измерении (q), можно определить индивидуальные индексы цены i и количества проданных товаров -- iq:

'р = pi / ро. Iq = "1 / Чо-

С аналитической точки зрения iq показывает, во сколько раз увеличилась (или уменьшилась) общая сумма выручки под влиянием изменения объема продажи в натуральных единицах.

Аналогично ip показывает, во сколько раз изменилась общая сумма выручки под влиянием изменения цены товара. Очевидно, что

'о = iq * ip . или Q, = Q„ i„ * ip .

Вторая формула представляет двухфакторную индексную мультипликативную модель итогового показателя, в данном случае -- объема товарооборота. Посредством такой модели находят прирост итога под влиянием каждого фактора в отдельности.

Так, если выручка от продажи некоторого товара возросла с 8 млн руб. в предыдущем периоде до 12,180 млн руб. в последующем и известно, что это объясняется увеличением количества проданного товара на 5 % при цене на 45 % большей, чем в предыдущем периоде, то можно записать следующее соотношение:

12,180=8 * 1,05 * 1,45 (млн руб.).

Очевидно, что общий прирост выручки в сумме 12,180 - 8 = = 4,180 млн руб. объясняется изменением объема продажи и цены. Прирост выручки за счет изменения объема продажи (в натуральном выражении) составит

AQ(q)=Q„ * (i„-1), или в нашем примере

AQ(q) =8 * (1,05 - 1) =+ 0,40 млн руб.

Тогда за счет изменения цены данного товара сумма выручки изменилась на

AQ(p) = (Q, - Од) - AQ(q) = Q, - Q„ * i, = Q„ . i„ . (i„ - 1),

или AQ(p) =8 * 1,05 * (1,45 - 1) =+ 3,78 млн руб.

Очевидно, что общий прирост товарооборота складывается из приростов, объясняемых каждым фактором в отдельности, т. е.

AQ = О, - Од = AQ(q) + AQ(p) ,

или AQ = 12^18 - 8 = 0,40 + 3,78 =4,18 млн руб.

Можно заметить, что существует и другой способ распределения общего прироста по факторам в двухфакторной индексной мультипликативной модели, а именно:

AQ(q) = Од * i, * (i, - 1) и AQ(p) = Q„ * (i, - 1).

В нашем примере общий прирост выручки (4,18 млн руб.) объясняется теперь:

изменением цены AQ(p) =8 * (1,45 - 1) = 3,60 млн руб., изменением объема продажи AQ(q) =8 * 1,45 * (1,05 - 1) = 0,58 млн руб. Выбор конкретной формы разложения общего прироста итога должен определяться конкретными условиями развития изучаемого показателя, в данном случае -- конъюнктурой спроса-предложения. В экономической практике и большинстве научных рекомендаций в настоящее время преобладает первое направление, когда сначала выясняют вклад в общий прирост количественного фактора при базисном уровне качественного признака (цен), а затем -- вклад качественного фактора (цены) в расчете на отчетный уровень количественного показателя (объема -q).

6.2 Общие индексы и их применение в анализе

Если известно, что изучаемое явление неоднородно и сравнение уровней можно провести только после приведения их к общей мере, экономический анализ выполняют посредством так называемых общих индексов. Индекс становится общим, когда в расчетной формуле показывается неоднородность изучаемой совокупности. Примером неоднородной совокупности является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Тогда сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений взвешивающего показателя на объемный), например:

Q = 2р * q.

Отношение агрегатов, построенных для разных условий, дает общий индекс показателя в агрегатной форме. Так, например, получают индекс общего объема товарооборота в агрегатной форме:

sp, * Ч,

Spn * а„

При анализе прироста общего объема товарооборота этот прирост также объясняется изменением уровня цен и количества проданных товаров.

Влияние на прирост товарооборота общего изменения цен выражается агрегатным индексом цен 1р, который в предположении первичности изменения количественного показателя (q) и вторичности -- качественного (р) имеет вид

Pi * Ч,

Spo-q,

Влияние на прирост товарооборота изменения количества проданных товаров отражается агрегатным индексом физического объема Iq, который строится также в предположении первичности изменения количественных показателей (q) и вторичности влияния качественных (р):

Ро *qi

Spo-q„

В форме мультипликативной индексной модели динамика товарооборота будет выражаться соотношениями

"Q = 'q * 1р или О, = go * 'q * 1р-

где Q„ = Јp„ * q„;

Q,=^Pi -q,-

Если принимается предположение об очередности влияния факторов -- сначала q, а затем р, то общий прирост товарооборота будет распределяться по факторам следующим образом:

AQ(q)=Q„ * (1„-1);

AQ(p)=Q„ * I, * (1р-1).

Если же принимается предположение об обратной последовательности влияния факторов -- сначала р, затем q, то меняются и формулы разложения прироста и формулы расчета индексов 1ц и 1р. Тогда

AQ(q)=Q„ * I? * (1„-1);

AQ(p)=Q„ * (1р-1).

где I? = (Јp, * q„) / (Јp„ * q„);

l„=(Zp, -q,)/(2:p, *q„).

Примером мультипликативной индексной модели с большим числом факторов является изменение общей суммы материальных затрат на производство продукции. Сумма затрат зависит от количества выпущенной продукции (индекс 1^), удельных расходов (норм) материала на единицу продукции (индекс !„) и цены на материалы (индекс 1р). Прирост общей суммы затрат распределяется следующим образом: ^

AM(q)=M„ * (1,-1);

ЛМ(п)=М„ * I, * (1„-1);

АМ(р)=М„ * I, * !„ * (1р-1).

где Мд = Sq;, * Пд * рд, а величины индексов таковы:

индекс увеличения суммы затрат в связи с изменением объемов производства продукции (индекс физического объема)

Sq, * "о * Ро

о * "о * Ро

индекс изменения суммы затрат за счет изменения удельных расходов материала (индекс удельных расходов)

Sq, * ", * Ро

Sq, * "о * Ро

индекс изменения общей суммы затрат, объясняемого изменением цен на материалы (индекс цен на материалы)

i * ", * Р,

Sq, * п, * р„

Приведем формулы расчета некоторых наиболее употребительных агрегатных индексов.

Индекс изменения общей суммы затрат на производство продукции в зависимости от объема производства (q) и затрат на единицу (z):

Јz, * q, Јz„ * q, Јz, * q,

o * Чо ^о * Чо ^ * q, Индекс изменения общего фонда оплаты труда в связи с изменением общей численности работающих (Т) и заработной платы (f):

Јf, * Т, Ef„ * Т, Јf, * Т,

Индекс изменения объема продукции в связи с изменением численности работающих (Т) и уровня их выработки (w):

Јw, * Т, Zw„ * Т, Јw, * Т,

Јwo * Тд Zw„ * T„ Јwg * Т,

Индекс изменения объема продукции в связи с изменением объема основных производственных фондов (Ф) и показателя эффективности их использования -- фондоотдачи (Н).

SH, * Ф, ЈH„ * Ф, ЈH,

ЈH„ * Ф„ ЈH„ * Ф„

Аналогичным образом находят общие агрегатные индексы и по многим другим экономическим показателям. Нетрудно заметить, что используемые в приведенных формулах индексы 1 , 1^, 1ф получаются по методу индекса физического объема, а индексы 1^, I,, 1^, 1„ -- по методу индекса цен. Таким образом, рассмотренная выше методика распределения общего прироста товарооборота полностью приложима к анализу прироста продукции, изменения общих затрат на производство, изменения общего фонда оплаты труда и т. д.

6.3 Общие индексы как средние из индивидуальных индексов

Помимо записи общих индексов в агрегатной форме на практике часто используют формулы расчета общих индексов как величин, средних из соответствующих индивидуальных индексов. В этом смысле общий индекс изучаемого явления рассматривается как результат изменения уровня данного явления у отдельных единиц совокупности. В процессе осреднения индивидуальных индексов веса подбираются такими, чтобы был возможен алгебраический переход от общего индекса в форме средней величины к общему индексу в агрегатной форме И наоборот, агрегатная форма общего индекса позволяет выбрать взвешивающий показатель при расчете общего индекса в виде средней величины Эти преобразования, как правило, не сложны. Например, индекс общего объема товарооборота может быть преобразован.

Јp, *q, Si -po *i -q^ Ј1 -i -p„ -q„ Zi^ * pg -q„

Тот же индекс может быть записан в форме средней гармонической величины.

Sp, *q, Sp, -q, Јp,

Јp„ -q„ Ј[(P,/ip) *(q,/i,)] Ј(p, -q,/i„)

Индекс изменения общей суммы товарооборота в связи с изменением количества проданных товаров (Iq -- индекс физического объема) можно выразить как

Ро * Ч, ^Ро * 'о * С)о S'o

2:р„ *q,, Хрд *qg Sp„-qo

В форме средней гармонической индекс физического объема практически никогда не используется.

Индекс изменения общей суммы товарооборота в связи с изменением цен на товары (I -- индекс цен) может быть выражен в виде средней гармонической величины:

2-р, *q, 2-р, *q,

р Ер„ * q, Ј(p, * q, / ip)

6.4 Индексный анализ итогового показателя

Јp, *q, Јp,

Покажем расчет общих индексов на двух примерах. В первом рассматривается группа из двух предприятий, производящих различную продукцию. По каждому предприятию имеются данные за два смежных года (базисный и отчетный) о численности работающих и среднем уровне выработки на одного человека.

	Базись	-1ЫЙ ГОД	Отче^	ный год
Номер предприятия	Средняя выработка, млн руб. на 1 чел.	Средняя численность работающих, чел.	Средняя выработка, млн руб. на 1 чел.	Средняя численность работающих, чел.
1 2	14,3 59,6	1500 423	14,5 60,0	1510 420
Итого	24,264586	1923	24,401554	1930

Определяем общий индекс объема произведенной продукции:

ЈW,-T, 14,5-1510+60,0-420 47095,0

= 1,009305. ВЛ/о *Тд 14,3-1500+59,6-423 46660,8

В связи с изменением численности работающих объем продукции изменился в 1^ раз:

ZW„ *T, 14,3-1510+59,6-420 46625,0

it = ---------- = ------------------------------ = ------------ = 0,999233.

В связи с изменением уровней производительности труда на предприятиях объем продукции изменился еще в 1^ раз:

= 1,01008.

ЈW„ *T, 46625,0

Далее используем полученные индексы для анализа общего прироста продукции ЛО:

1) AQ(T) = Од *(1^ - 1) = 46660,8 * (0,999223 - 1) = = - 35,8 млн руб.;

2) AQ(W) = Q„ I,. *(^ - 1) = 46660,8 * 0,999233 * * (1,01008 - 1) =470 млн руб.

Заметим, что каждый из рассмотренных индексов можно получить и как среднюю величину из соответствующих индивидуальных. Так, по первому предприятию индивидуальный индекс объема произведенной продукции составляет 21 895 / 21 450 = 1,020746, индекс численности работающих -- 1510 / 1500 = 1,006667, индекс уровня выработки -- 14,5/14,3 = = 1,013986.

По второму предприятию индекс объема продукции равен 25 200 / 25 210,8 = 0,999572, индекс численности работающих -- 420 / 423,0 = 0,992908, индекс уровня выработки -- 60,0/59,6 = = 1,006711.

Теперь повторим расчет индексов как средних величин:

L 1,020746« 21 450 + 0,999572 * 25 210,8

*= 1,009305;

21 450+25 210,8 Ь- * W„« T- 1,006667 * 21 450 + 0,992908 * 25 210,8

= 0,999233;

21 450+25210,8

1,01008.

i„ 1,013986 1,006711

Таким образом, если последовательность индексов (а стало быть, и факторов изменения итогового показателя) упорядочена, то прирост итога за счет фактора i в процессе анализа определяется по формуле

A,(Q)=Q„ * I, * I, * ... * I,, *(l,-1).

Из формулы видно, что прирост за счет конкретного фактора может быть либо положительным, если соответствующий индекс больше 1, либо отрицательным, если этот индекс меньше 1. Эта особенность индексного анализа усложняет интерпретацию результатов и требует привлечения специальных процедур согласования знаков общего и факторных приростов.

Во втором примере рассмотрим движение валового дохода коммерческого банка в зависимости от изменения среднегодовой задолженности по кредитам (количественный фактор) и процентной ставки за кредит (качественный фактор):

	Базиснь	и период	Отчетны!.	а период
Виды кредитов	Срегодовая задолженность Кц, млн руб.	Средняя процентная ставка Зд, %	Срегодовая задолженность К,, млн руб.	Средняя процентная ставка S,, %
1. Краткосрочные 2) Долгосрочные	665,5 169,5	4,7032306 1,7286135	702,0 298,0	4,8290598 1,8020134
Итого	835,0	4,0994011	1000,0	3,927

Валовой доход от реализации кредита составлял:

в базисном году -- До = ^Кд * So = 34,23 млн руб., в отчетном году -- Д, = ек, * S, = 39,27 млн руб.

Прирост валового дохода ВД, - ВД„ = 5,04 млн руб. Индекс (физического) объема кредитных услуг равен

SK, -Sg 38,168

l,=--------------=--------------= 1,1150437.

Индекс изменения величины процентной ставки за кредит равен

= 1,0288737.

ЈK, *S„ 38,168

Таким образом, прирост валового дохода объясняется:

изменением объема кредитных услуг АД(К) =34,230 -(1,1150437- 1) =3,938 млн руб.;

изменением процентной ставки

АД(8)= 34,230 -1,1150437 -(1,0288737 - 1) = 1,102 млн руб. Более детальный анализ изменения итогового показателя возможен при изучении так называемых структурных сдвигов и их влияния на прирост итогового показателя (продукции, валового дохода, общих затрат на производство и т. д.).

6.5 Индексы при анализе структурных изменений

Индексы, которые рассчитываются по типу индексов физического объема, применимы при изучении совокупностей, состоящих как из разных объектов, так и из объектов одного и того же типа. Если совокупность неоднородна (например, совокупность товаров различного вида), то индекс физического объема -- единственный способ показать динамику такой массы различных предметов, выражая ее через взвешивающий множитель (цену, себестоимость, трудоемкость). Если же' совокупность состоит из объектов одного типа, то динамику этой массы можно показать непосредственно, сравнивая общее количество таких предметов в отчетном периоде с аналогичной величиной в базисном. Так, для рассмотренного в разд. 6.4 первого примера можно определить не только l^ -- индекс изменения объема продукции в связи с изменением общей численности работающих, но и непосредственно индекс изменения общей численности

I„=ЈT,/ЈT„.

Аналогично при анализе валового дохода банка можно найти индекс общего объема среднегодовой задолженности

I„=ЈK,/ЈK„.

В примере 1 имеем 1^. = 1930 / 1923 = 1,0036401;

в примере 2 1д< = 1000 / 835 = 1,1976047.

Рассмотрим соотношение между индексами l^ и 1р. (или 1^ и 1^). В формуле 1^ разделим и умножим числитель на ет,, а знаменатель -- на ЕТд. Получим

ЈW„ -T,

ЈT,

ГГ, ЈW„ -d,

ЈW„ -T„ ЈW„ -T„ ST.

ЈT„

Аналогичноl^ = l^ * l^p.

Таким образом, для однородных совокупностей (допускающих суммирование по количественному признаку) индекс физического объема есть произведение индекса суммарной численности совокупности на индекс изменения структуры. Формула индекса структурных изменений для наших примеров такова:

EW„ -d, ЈS„ -d, "сто

где do -- удельные веса, доли предприятий в общей численности работающих в базисном периоде, ad, -- удельные веса или доли каждого предприятия в общей численности работающих в отчетном периоде:

do=T„/ЈTo.d,=T,/rr,.

Для примера 2 dp и d, -- это удельные веса каждой формы кредита'в общем объеме кредитных услуг соответственно за базисный и отчетный периоды.

Знаменатель в формуле индекса структурных изменений есть не что иное, как средний уровень (выработки по группе предприятий, процентной ставки по видам кредитов и т. п.) в

базисном периоде, так как Х = ЈX *d.

Экономическая сущность индекса структурных изменений состоит в том, что он показывает, во сколько раз изменился общий средний уровень только за счет изменения удельного веса каждого объекта в общем объеме количественного признака. В той же мере индекс структурных изменений показывает влияние процессов перераспределения на общий прирост итогового показателя.

Если известны 1^ и 1-^, то влияние структурных сдвигов на средний уровень выработки и на общий прирост продукции выражается индексом l^ .

В примере 1 l^p = 0^999233 / 1,00364 = 0,995609.

Для примера 2

'стр= 'к/^= 1,1150437/ 1,1976047=0,9310615.

Для непосредственного расчета l^p в примере 1 следует определить долю каждого предприятия в общей численности работающих в базисном (do) и в отчетном (d,) периодах:

	do	d,
Предприятие 1 Предприятие 2	0,78 0,22	0,7824 0,2176

Отсюда

14,3 * 0,7824+59,6 * 0,2176

= 0,9956. 14,3 * 0,78 + 59,6 * 0,22 24,264

Аналогичный расчет можно провести и по примеру 2. Обращаясь к полученным ранее результатам распределения общего прироста продукции по факторам, можно объяснить выявленное анализом противоречие -- вместе с увеличением фактической общей численности работающих получено отрицательное значение прироста по этому фактору. В действительности же изменение общей численности работающих произошло более сложным путем:

а) общая численность работающих и соответственно

количество продукции увеличились в !„ = 1,00364 раза;

б) произошло перераспределение фактической численности между предприятиями, за счет чего объем продукции возрос еще в l^p = 0,9956 раза.

В итоге в форме мультипликативной индексной модели можно записать:

О, = qo * 'ST * 'стр * 'W

Общий прирост продукции состоит, следовательно, из трех частей:

1) прирост за счет изменения общей численности работающих AQ (ЈT) = Од * (l^ - 1) = 46660,8 * (1,00364 - 1) = + 169,85 млн руб.;

2) прирост за счет перераспределения работающих

Л<3с„, = qo- 'гт * ('сто - 1) = 46660,8 * 1,00364 * (0.9956 - 1) = = - 205,65 млн руб.;

3) прирост за счет изменения уровня производительности труда на предприятиях

АО (W) = 0„ * 1^ * \^ * (1„ - 1) = 46 660,8 * 1,00364 *0,9956-*(1,01008- 1) =+470,0 млн руб.

Из расчета видно, что основная причина снижения объема продукции при росте общей численности занятых -- неблагоприятные структурные изменения. Снижение удельного веса предприятия 2, где отмечается самый высокий уровень выработки, в общей численности привело к общему уменьшению продукции на 0,6 %, что не компенсировалось возрастанием ее на 0,4 % за счет увеличения числа работающих.

В примере 2 прирост валового дохода банка происходит за счет:

1) изменения объема задолженности

ДД(1К) = До(1^ - 1) = 34,23 (1,1976047 - 1) = + 6,764 млн руб.;

2) перераспределения задолженности по разным формам кредита

= 34,23 * 1,1976047 * (0,9310615 - 1) = - 2,826 млн руб.;

3) изменения процентной ставки за кредит

ДД(8)=Д„ -^ .1^ *(1„-1)= 1,102 млн руб.

Вклад разных факторов в общий прирост можно распределить по отдельным объектам, для каждого из которых применяют мультипликативную индексную модель

1 = Чо * 'ГТ * "d * 'W

где q„, q, -- объемы итогового признака (продукции) по данному объекту (предприятию);

L.r --, общий для всей совокупности индекс количественного признака (индекс числа работающих);

i^-- индивидуальный для данного объекта индекс изменения уровня качественного признака (индивидуальный индекс производительности труда для данного предприятия);

i„ -- индивидуальный индекс доли данного объекта в общем объеме количественного признака (индивидуальный индекс доли данного предприятия в общей численности работающих).

Индивидуальный индекс доли можно определить и по первичным данным, сопоставляя удельные веса за отчетный и базисный периоды, и более простым способом. Действительно,

i. Т, *ЕТ. d,

В условиях нашего примера 1 имеем:

	'т	'd	*w
Предприятие 1 Предприятие 2	1,0066667 0,9929078	1,0030155 0,9893066	1,0139860 1,0067114

Окончательное распределение общего прироста продукции по факторам и предприятиям выглядит следующим образом:

			В том числе за счет
Предприятие	Общий прирост продукции, тыс. руб.	изменения числа работающих	изменения удельного веса в общей численности	изменения производительности труда
1 2	445,0 - 10,8	78,08 91,77	64,92 - 270,57	302,0 168,0
Итого	434,2	169,85	- 205,65	470,0

В задаче 2 распределение общего прироста валового дохода по видам кредитных услуг и по факторам выглядит так: