Теория статистики

Рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в предшествующем периоде.

Относительная величина планового задания также может быть представлена в трех формах: коэффициента (индекса) планового роста, плановых темпов роста либо прироста (в %).

Так, по плану на 1988 г. предполагалось увеличить производство стиральных машин на 12,5 % {плановый темп прироста), т. е. в 1,125 раза (плановый коэффициент роста), или выйти на 112,5 % по сравнению с 1987 г. (плановый темп роста).

3. Относительная величина выполнения задания. Рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному. Так, в 1988 г. было произведено стиральных машин 6103 тыс. шт. при плане (госзаказе) 6481 тыс. шт. Относительная величина выполнения плана составила

Средняя величина -- это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т. е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т. е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.

2. Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей.

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. Например, допустим, что анализ динамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает, что общая по республике средняя урожайность снижается. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных климатических и других условий и различна в отдельных районах

Сгруппировав районы по признакам различия и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах районов средняя урожайность либо не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней по республике в целом обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем производстве этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что динамика групповых средних более полно отражает закономерности изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь общий результат.

4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса:

степенные средние,

структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

Показатель урожайности является вторичным признаком, так как он задан на единицу первичного признака (посевной площади, выраженной абсолютной величиной) и может быть представлен как отношение двух первичных признаков, а именно валового сбора и посевной площади:

ВС

У=--------, ПП

где У -- урожайность,

ВС -- валовой сбор,

ПП -- посевная площадь.

Следовательно, для расчета средней урожайности по каждому предприятию необходимо применить среднюю взвешенную. Возникает вопрос: арифметическую или гармоническую? В.Е.Овсиенко формализовал порядок выбора формы средней качественного признака на основе следующих правил".

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должная вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической.

3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Согласно данным рассматриваемого примера, для сельскохозяйственного предприятия № 1 средняя урожайность должна определяться по правилу 2, изложенному выше, так как известно численное значение числителя в логической формуле средней величины, а именно показатель валового сбора. Исходя из этой же логической формулы значение знаменателя (посевную площадь) можно определить так:

ВС

ПП =-------- .

У

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию № 1:

См.: Овсиенко В. Выбор формы средней и о некоторых ошибках, допускаемых в этом вопросе // Вестник статистики. 1989. № 2.

4 ZBC

i=l У,

где в качестве веса выступает валовой сбор.

Данную формулу расчета имеет средняя гармоническая взвешенная:

32500+1620+13640+1650

У,=------------------------------------------=

32500 1620 13640 1650

Раскроем экономический смысл слагаемых знаменателя:

1300 га -- посевная площадь, занятая под озимой пшеницей;

90 га -- площадь под рожью; 620 га -- под ячменем;

110 га -- под просом; 2120 га -- посевная площадь сельскохозяйственного предприятия № 1, занятая под всеми зерновыми культурами.

Для сельскохозяйственного предприятия № 2 средняя урожайность определяется по правилу 1. В условиях задачи присутствует численное значение знаменателя -- это показатель посевной площади. Исходя из логической формулы средней величины числитель (валовой сбор) можно определить так:

ВС = У * ПП.

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию № 2:

где в качестве веса выступает посевная площадь.

Данную формулу расчета имеет средняя арифметическая взвешенная:

20 * 1540 + 19 * 120 + 18 * 460 +13-80

у=--------------------------------------------------------=

1540 + 170+460 +80

30 800 + 2280 + 8280 + 1040

42400

= 19,27 ц/га.

1540 + 120 + 460 + 80 2200

Экономический смысл слагаемых числителя следующий:

30 800 ц -- валовой сбор озимой пшеницы; 2280 ц -- ржи; 8280 ц -- ячменя; 1040 ц -- проса; 42 400 ц -- валовой сбор зерновых культур на сельскохозяйственном предприятии № 2.

Следовательно, средняя урожайность зерновых культур на предприятии № 1 по сравнению с предприятием № 2 была выше на 4,04 ц/га (или на 21 %).

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности -- носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т. е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т. д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Покажем расчет средней гармонической простой на следующем примере. Три промышленных предприятия заняты производством миксеров. Себестоимость производства миксера на 1-м предприятии -- 5 тыс. руб., на 2-м -- 3 тыс., на 3-м -- 6 тыс. руб.

Необходимо определить среднюю себестоимость миксера при условии, что на каждом предприятии общие затраты на его изготовление составляют 60 тыс. руб.

Попытка решить задачу с помощью средней арифметической простой

5+3+6 (X = -------------- = 4,667 тыс. руб.)

3

оказалась бы успешной, если бы каждое предприятие выпускало по одному миксеру, но это не так, а потому

Общие затраты на Средняя себестоимость производство (тыс.руб.) одного миксера, тыс. руб./шт. .

Количество произведенных миксеров (шт.)

Рассчитаем количество миксеров, произведенных каждым предприятием:

Вычислим среднюю себестоимость по формуле средней гармонической взвешенной:

Таким образом, в среднем на изготовление одного миксера было израсходовано 4,286 тыс. руб.

В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат на производство миксеров, который представляет собой произведение себестоимости на количество единиц совокупности.

Так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по средней гармонической простой:

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым'. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку взаимосвязи с индивидуальными значениями конкретную формулу расчета средней величины. правило на примере средней геометрической. Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i,, \y \у ..., i„. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q^) и последующим наращиванием по годам:

Приняв q^ в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

Интересно, что к расчету показателя средних темпов роста можно подойти и по-иному. Примем в качестве определяющего показателя общий объем производства за n лет:

Q=q,+q,+...+q„.

Тогда Q = q„ * i, + q„ * i, * i, + ... + q„ * i, * i^ * ... * i„. Заменяем индивидуальные значения средним:

Q/q„= (7+ Р+Р+ ... + i").

Таким образом, если известно, во сколько раз суммарный объем производства за n лет должен превысить уровень базисного года, то для определения среднего коэффициента роста надо решить уравнение степени n.

Найденное среднее значение коэффициента роста дает ответ на вопрос, какими темпами должен ежегодно возрастать показатель, чтобы в итоге получился суммарный объем Q.

Приведем таблицу решений уравнения при n Q/q в интервале от 3 до 10:

Например, чтобы среднегодовой объем производства в предстоящие 5 лет был больше объема базисного года на 20 % (в итоге за 5 лет будет произведено в 6 раз больше продукции, чем в предшествующем году), следует ежегодно увеличивать объем производства на 6,1 -6,2 %. По сравнению с базисным ежегодное производство должно будет составлять 106,1 %; 112,6;

119,6; 127,0; 134,7%.

4.4 Расчет средней через показатели структуры

Средние арифметические и средние гармонические могут быть как простыми, так и взвешенными. Веса в формулах средних показывают повторяемость данного значения признака. Поэтому абсолютные данные о повторяемости можно заменить относительными величинами структуры. Так, для расчета среднего коэффициента выполнения плана можно применить формулу n

P=^P,dn„,

t i=i

где d -- доля, удельный вес данного предприятия в общем объеме выпуска продукции по плану.

При использовании формулы средней гармонической вычисление можно выполнить с учетом доли каждого предприятия в общем фактическом объеме произведенной продукции d^^ :

Умение производить взвешивание по относительным величинам структуры упрощает расчеты и сбор исходных данных. Кроме того, формулы вычисления средних значений по показателям структуры показывают зависимость среднего уровня не только от индивидуальных значений осредняемого показателя, но и от структуры совокупности. При изменении структуры меняется и средняя величина, хотя индивидуальные значения осредняемого признака могут оставаться прежними. Это обстоятельство используется в индексном методе анализа (см. гл. 6).

В заключение приведем краткий перечень формул расчета средних значений наиболее употребительных экономических показателей через относительные величины структуры.

1. Средняя трудоемкость изготовления изделия одного и того же вида несколькими рабочими (t):

где t, -- трудоемкость изготовления единицы продукции конкретным рабочим;

dq -- доля рабочего в общем объеме произведенной продукции;

d^ -- доля рабочего в общих затратах рабочего времени. Например, 4 рабочих изготавливают одинаковую продукцию, но с различными индивидуальными затратами: t, = 0,5 ч/шт., т^ = 0,6 ч/шт., tg = 1,2 ч/шт. и t„ = 1 ч/шт. Если каждый из них отработал ровно по 6 часов, то и доля их в общих трудозатратах будет одинакова: d^ = d^ = d^ = d^ = 0,25. Средняя трудоемкость изготовления изделия составит

Если же затраты времени каждого конкретного рабочего не известны, но имеются данные о вкладе каждого в общий объем продукции: d^ = 0,364; d - 0,303; dq = 0,151 и d^ = 0,182, то средняя трудоемкость рассчитывается следующим образом:

Т= 0,5 * 0.364 + 0,6 * 0,303 + 1,2 * 0,151 + 1 * 0,182 = = 0,727 ч/шт.

Заметим, что расчет средней трудоемкости по формуле средней арифметической простой: (0,5 + 0,6 + 1,2 + 1 ):4 = 0,825 ч/шт. -- дает заведомо неверный результат. Такое решение справедливо лишь в том случае, если бы каждый рабочий изготовил по одному изделию (или равному числу изделий). Тогда и доля первого рабочего в общих трудозатратах была бы равна 0,5 : 3,3 = 0,152, второго -- 0,6 : 3,3 = 0,182 и т. д.

Еще проще определяется средняя трудоемкость, когда известны общие трудозатраты и общее количество выработанной продукции. В нашем примере Т = 6 * 4 = 24 ч, а общее количество произведенной продукции составляет 33 шт., следовательно,

Т= 24 : 33 = 0,727 ч/шт.

2. Средний уровень выработки продукции в единицу рабочего времени (W). Рассчитывается он по формулам

n _ n dq W = Ј W, » d^ или W = 1 / Е -------- " i=i ' 1=1 W,

где W, -- уровень выработки для отдельного объекта (предприятия, цеха, участка, рабочего);

d^ -- доля данного объекта (предприятия, цеха, участка, рабочего) в общих по всей совокупности затратах рабочего времени;

d -- доля объекта i в общем выпуске продукции.

3.'Средний уровень оплаты труда (f):

статистический наблюдение группировка динамика вариация

f = Ј f * d^ или f = 1 / Ј ------ ,

1=1 ' 1=1 f где f -- уровень оплаты в единицу времени на объекте i;

d^ -- доля объекта i в общих трудозатратах;

dp--доля объекта i в общем суммарном^фонде оплаты труда.

4. Средний уровень фондоотдачи (Н):

n n d

Н=1/Е-

i=i

1=1 i=i н,

где Н, -- уровень фондоотдачи (стоимость произведенной продукции (в руб.) на 1 руб. основных производственных фондов) по объекту (отрасли, предприятию) i,

d,,, -- доля объекта i в общей стоимости фондов по всей изучаемой совокупности;

d -- доля объекта i в общем выпуске продукции.

5. ' Средний уровень затрат на производство единицы продукции одного и того же вида (себестоимость) на нескольких предприятиях(Z):

n n d^ Z = Ј Z * d„ или Z = 1 / Ј ------

1=1 ' 1=1 Z, где Z, -- затраты на производство единицы продукции по отдельному предприятию;

d -- доля предприятия в общем объеме произведенной продукции;

d^ -- доля предприятия в общих затратах на производство.

Аналогичным образом через относительные величины структуры находятся и другие средние величины экономических показателей (средняя фондоемкость, средний уровень затрат на 1 руб. продукции, средняя оборачиваемость запасов или незавершенного производства и т. д.).

4.5 Расчет средних по результатам группировки. Свойства средней арифметической

Очень часто исходные данные для анализа бывают представлены в сгруппированном виде, когда для каждого значения осредняемого признака Х сообщается частота его повторения. В этих случаях средняя величина рассчитывается по обычным формулам средних взвешенных (арифметических либо гармонических). Сложности возникают, когда в сгруппированных данных указывается не конкретное значение признаках по каждой группе, а лишь интервал его изменения. В данном случае правильный расчет общей средней величины возможен, если каким-либо способом удается получить среднее значение признака по каждой группе; далее используются обычные формулы средних взвешенных. Если же средние значения признака в группах определить по имеющимся сведениям нельзя, то их заменяют серединами интервалов, получая в итоге некоторое, чаще всего вполне удовлетворительное, приближение к среднему значению.

Таким образом, расчет средней арифметической делают по формуле

X = (Ј X пт) / Ј пт

i=i

Отметим, что расчет среднего значения по данным группировки требует особого внимания при выборе взвешивающего показателя. Очень часто величины m -- частоты повторения признака Х -- в исходных данных либо отсутствуют, либо не столь очевидны. Для примера рассмотрим следующие данные:

интервалов никаких то при назначении взвешивающего показателя типичной ошибкой является выбор признака «Число предприятий». Умножение величины себестоимости одного изделия на число предприятий никакого экономического смысла не имеет, в то время как умножение себестоимости одного изделия на объем продукции дает реальную экономическую величину -- общую сумму затрат. Таким образом, в качестве взвешивающего показателя следует выбрать показатель объема продукции. Тогда средняя себестоимость изделия будет равна

Х= 112,5 * 0,09 + 117,5 * 0.18+ 122,5 * 0,24 + 127,5 * 0,49= = 123,15 тыс. руб.

Частоты повторения признака могут потребовать и применения формулы средней гармонической. Так, показатель «Затраты на производство» в форме относительных величин позволяет также определить среднюю себестоимость изделия:

Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет.

1. Величина средней арифметической не изменится, если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число. Это свойство доказывается элементарно.

2. Если все индивидуальные значения признака (т. е. все варианты) увеличить либо уменьшить в одно и то же число раз (или на одно и то же число), то среднее значение получившегося нового признака будет во столько же раз (или на столько же) отличаться от среднего значения исходного показателя. Действительно,

Е (X, * k)m, Х- = k * X;

Јm, Z (X, ± А) m,

Свойство 1 используется, как было показано ранее, для расчета средних значений через показатели структуры.

Свойство 2 применяется для ускорения расчетов, особенно если первичные данные представлены в сгруппированном виде.

Так, по приведенным данным найдем новую величину X', варианты которой определим по формуле

Х -А

X; =----------.

Тогда X, = Х\ - h + А. Переходим к средним величинам:

ЈX. * m ЈX' * h * m

Для ускорения расчетов важно правильно выбрать величины А (обычно это середина какого-либо интервала) и h (чаще всего это величина интервала изменения признака в какой-либо группе). Пусть, например, А = 122,5 и h = 5. Получаем последовательность значений величины Х\: -2, -1, 0, 1. Среднее значение X' будет равно

X' = (-2) * 0,09 + (-1) * 0,18 + 0 * 0,24 + 1 * 0,49 = 0,13. Теперь X = 5 * 0,13 + 122,5 =123,15 тыс. руб.

4.6 Структурные средние

Особый вид средних величин -- структурные средние -- применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды -- наиболее часто повторяющегося значения признака -- и медианы -- величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой -- не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

Zm ---- - S....

Me - Х„ + h„

где Х^е -- нижняя граница медианного интервала;

Ь^ -- его величина;

Zm/2 -- половина от общего числа наблюдений ил^половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

ме-1 -- сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

m^ -- число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

В нашем примере могут быть получены даже три медианных значения -- исходя из признаков количества предприятий, объема продукции и общей суммы затрат на производство:

Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимость единицы продукции превышает 125,19 тыс. руб., половина всего объема продукции производится с уровнем затрат на изделие больше 124,79 тыс. руб. и 50 % общей суммы затрат образуется при уровне себестоимости одного изделия выше 125,07 тыс. руб. Заметим также, что наблюдается некоторая тенденция к росту себестоимости, так как Me;, = 124,79 тыс. руб., а средний уровень равен 123,15 тыс. руб.

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

т„д, --то же для интервала, предшествующего модальному m^, -- то же для интервала, следующего за модальным, h -- величина интервала изменения признака в группах Для нашего примера можно рассчитать три модальных значения исходя из признаков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат Во всех трех случаях модальный интервал один и тот же, так как для одного и того же интервала оказываются наибольшими и число предприятий, и объем продукции, и общая сумма затрат на производство

52 - 24

Мо, = 125 + 5 ---------------------------- = 126,75 тыс руб.,

(52 - 24) + (52 - 0) 49- 24

Мо= 125+5

= 126,69 тыс руб ;

(49 - 24) + (49 - 0) 50,7 - 23,9

= 126,73 тыс. руб.

(50,7 - 23,9) + (50,7 - 0)

Таким образом, чаще всего встречаются предприятия с уровнем себестоимости 126,75 тыс руб., чаще всего выпускается продукция с уровнем затрат 126,69 тыс руб , и чаще всего затраты на производство объясняются уровнем себестоимости в 123,73 тыс. руб.

4.7 Показатели вариации

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т. е несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления

Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.

Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации Н как разницы между максимальным (Х^) и минимальным (X^J наблюдаемыми значениями признака.

Н = Х -X .

max mm

Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.

Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа -- среднее линейное отклонение Л как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня.

Л =ZlX,-XI/n .

При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной.

Л = (ЈlX, - Xlm) / Zm,.

(Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю.)

Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов, разрабатываются системы материального стимулирования. Но, к сожалению, этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.

Дисперсия признака (<72) определяется на основе квадра-тической степенной средней:

Ј(X - X)2 Ј(X - Х)2^ (72 = ------ или <72 .

n Јm,

Показатель (7, равный уа2, называется средним квадратическим отклонением.

В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.

Простыми преобразованиями могут быть получены формулы расчета дисперсии методом моментов:

XX2 / ЈX \2 _ О2 = ------ - ------ = X2 - (X)2 ;

ЈX,m,

= X2 - (X)2

Јm, \ Јm, /

Здесь X2 -- среднее значение квадратов признака, или начальный момент второго порядка; Х -- среднее значение признака, или начальный момент первого порядка.

Величина дисперсии признака (J2 носит еще название центрального момента второго порядка.

Формула метода моментов используется довольно часто. На ней основываются, например, методы статистического имитационного моделирования. Кроме того, если первичные данные сгруппированы, метод моментов позволяет ускорить расчет дисперсии по аналогии с расчетом среднего значения.

Величина дисперсии не зависит от начала отсчета, т. е. все индивидуальные значения признака можно увеличить или уменьшить на одно и то же число А. Это свойство очевидно, ибо с увеличением или уменьшением значений признака Х аналогично изменяется и показатель среднего уровня.

Численное значение дисперсии зависит от масштаба измерения признака X. При увеличении (или уменьшении) всех значений признака в С раз показатель дисперсии нового, увеличенного (или уменьшенного) признака будет больше (или меньше) дисперсии прежнего значения признака в С2 раз, т. е. (^(Х-О^^Х).

Если первичные данные сгруппировать, то дисперсия признака может быть определена как сумма так называемой

межгрупповои дисперсии внутригрупповых -- §2, т. е.

О2 и среднего значения

Вывести эту формулу несложно, если учесть, что межгрупповая дисперсия рассчитывается как

где k -- количество групп, на которые разбита вся совокупность;

пг -- количество объектов, наблюдений, включенных в группу j;

Х^ -- среднее значение признака по группе j;

Х -- общее среднее значение признака. Среднее значение внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле

Јm 1=1

Подставляя O2^ и 52 в формулу сложения дисперсий, выходим на формулу расчета дисперсии методом моментов, что и подтверждает правило сложения дисперсий. Свойство сложения дисперсий используется для измерения степени взаимосвязи признаков. Предыдущие два свойства способствуют ускорению расчетов, если первичные данные представлены в сгруппированном виде с равными интервалами. Вводя вместо прежних значений признака Х новые, полученные по формуле

X: = (X, - А) / h, убеждаемся, что

О^Х) = h2 * W} = h2 * (X72 - X72).

Если исходные данные представлены в форме интервального ряда распределения, т. е., по существу, первичные данные распределены по группам, то следовало бы и О2 рассчитывать по правилу сложения дисперсий. Но обычно это сделать невозможно из-за того, что точные средние значения признака в каждом интервале неизвестны. При замене средних значений серединами интервалов получающаяся межгрупповая дисперсия оказывается несколько больше общей дисперсии -- ориентировочно на величину h2 /12 (поправка Шеппарда). На практике эту поправку вводят редко и подсчитываемая по данным интервального ряда распределения дисперсия считается достаточно точной оценкой искомой общей дисперсии:

k КХ-Х)2^

где k -- количество интервалов; X. -- значение признака Х в середине j-го интервала.

Для приведенного ранее примера получаем

X' -2 -1 0 1 m 0,09 0,18 0,24 0,49

(X^m, 0,36

Таким образом,= 1,03.

Јm, Так как (X')2 = 0.132, то

Непосредственный расчет по исходным данным дает тот же результат, но оказывается более трудоемким.

Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из неограниченной генеральной совокупности, то и среднее значение признака определяется с некоторой погрешностью. Расчетная величина дисперсии оказывается смещенной в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки выборочную дисперсию, полученную по приведенным ранее формулам, надо умножить на величину n / (n - 1). В итоге при малом числе наблюдений (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Ј(X, - X)2 (72 = -------------- или <У =

(X2 - (X)2).

n - 1 n - 1

Обычно уже при n > (15 - 20) расхождение смещенной и несмещенной оценок становится несущественным. По этой же причине обычно не учитывают смещенность и в формуле сложения дисперсий.

Если из генеральной совокупности сделать несколько выборок и каждый раз при этом определять среднее значение признака, то возникает задача оценки колеблемости средних. Оценить дисперсию среднего значения можно и на основе всего одного выборочного наблюдения по формуле

(^(Х) = СТ2 / n,

где n--объем выборки; <72--дисперсия признака, рассчитанная по данным выборки.

Величина (J. = \/ О^Х) = \/02 / n носит название средней ошибки выборки и является характеристикой отклонения выборочного среднего значения признака Х от его истинной средней величины. Показатель средней ошибки используется при оценке достоверности результатов выборочного наблюдения.

Формулы

X, = n, / n = W; О2, = W (1 - W); Ц, = \/W(1 -W)/n

используются для оценки точности выборочного значения доли (удельного веса) как средней величины альтернативного признака.

Под альтернативным понимается такой статистический показатель, который принимает одно из двух взаимоисключающих значений (пол -- мужской или женский; изделие -- годное или негодное; план по выпуску продукции -- выполнен или не выполнен; заказ -- выполнен менее чем на 90 % или более чем на 90 % и т. д.). Как видим, конкретное содержание альтернативного признака устанавливается самим исследователем. Обычно считают, что если признак Х принял интересующее нас значение, то его величина равна 1, в противном случае Х = 0. В результате в n, наблюдениях имеем интересующее нас явление (когда Х = 1), а в п^ случаях оно отсутствует (когда Х = 0). Таким образом,

X, = (1 * n, + 0 * n,) / (n, + n,) = n, / (n, + n,) = n, / n = W,

т. е. среднее значение альтернативного показателя равно частоте его появления (W = n, / n). Аналогично

(1 -W)2-^ + (О -W)2-^ 5^ =----------= (1 -WW+W'^ -W)=W(1 -W),

(n, + n,)

т. е. дисперсия альтернативного показателя равна произведению частоты его появления на частоту его отсутствия.

Заметим, что в указанном виде формулы средней ошибки применяются в случае выборочного наблюдения повторного типа (выборки с возвратом). Для бесповторной выборки (выборки без возврата) учитывается постепенное сокращение объема генеральной совокупности, а формулы приобретают вид

Например, если при обходе 100 рабочих мест обнаруживается, что 80 из них используются, то расчетный коэффициент использования рабочих мест равен, естественно, 80 %, или 0,8. Но поскольку такую оценку можно рассматривать как случайную величину, то истинный коэффициент использования рабочих мест будет находиться в пределах от (0,8 - \i} до (0,8 + (1). Этот вывод справедлив с вероятностью 0,683, причем

Ц =^0,8(1 -0,8)/ 100=0,04 (0,76 <W< 0,84 с Р= 0,683).

Добавим, что с вероятностью 0,954 истинное значение коэффициента использования рабочих мест будет в пределах от (0,8 - 2 ' 0,04) до (0,8 + 2 * 0,04), или от 72 % до 88 %.

У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например, исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со средним квадратическим отклонением 0 = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь Х = 30 лет, а среднеквадратическое отклонение по-прежнему равно 10. Совокупность, ранее бывшая неоднородной (10 / 15 * 100 = 66,7%), со временем оказывается, таким образом, вполне однородной (10 / 30-100 = 33,3 %).

Глава 5. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ОБЩЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ

5.1 Ряды динамики. Классификация

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд -- это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам. 1. По времени -- моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики -- последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т. д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т. д. Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель -- общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т. д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет.