Теория статистики

Интервал очерчивает количественные границы групп. Как правило, он представляет собой промежуток между максимальными и минимальными значениями признака в группе.

Интервалы бывают:

равные, когда разность между максимальным и минимальным значениями в каждом из интервалов одинакова;

неравные, когда, например, ширина интервала постепенно увеличивается, а верхний интервал часто не закрывается вовсе;

открытые, когда имеется только либо верхняя, либо нижняя граница;

закрытые, когда имеются и нижняя, и верхняя границы.

Статистические группировки и классификации преследуют цели выделения качественно однородных совокупностей, изучения структуры совокупности, исследования существующих зависимостей. Каждой из этих целей соответствует особый вид группировки: типологическая, структурная, аналитическая (факторная).

Типологическая группировка решает задачу выявления и характеристики социально-экономических типов (частных подсовокупностей).

Структурная дает возможность описать составные части совокупности или строение типов, а также проанализировать структурные сдвиги.

Аналитическая (факторная) группировка позволяет оценивать связи между взаимодействующими признаками.

В зависимости от числа положенных в их основание признаков различают простые и многомерные группировки.

Группировка, выполненная по одному признаку, называется простой.

Многомерная группировка производится по двум и более признакам. Частным случаем многомерной группировки является комбинационная группировка, базирующаяся на двух и более признаках, взятых во взаимосвязи, в комбинации.

По отношениям между признаками выделяют иерархические и неиерархические группировки.

Иерархические группировки выполняются по двум и более признакам, при этом значения второго признака определяются областью значений первого (например, классификация отраслей промышленности по подотраслям).

Неиерархические группировки строятся, когда строгой зависимости значений второго признака от первого не существует.

Среди простых группировок особо выделяют ряды распределения.

Ряд распределения -- это группировка, в которой для характеристики групп (упорядоченно расположенных по значению признака) применяется один показатель -- численность группы. Другими словами, это ряд чисел, показывающий, как распределяются единицы некоторой совокупности по изучаемому признаку.

Ряды, построенные по атрибутивному признаку, называются атрибутивными рядами распределения.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными рядами.

По очередности обработки информации группировки бывают первичные (составленные на основе первичных данных) и вторичные, являющиеся результатом перегруппировки ранее уже сгруппированного материала.

Относительно временного критерия группировки бывают статические, дающие характеристику совокупности на определенный момент времени или за определенный период, и динамические. Последние -- это группировки, показывающие переходы единиц из одних групп в другие (а также вход и выход из совокупности). Количества таких переходов, рисующие внутреннюю динамику совокупности, удобно располагать в «шахматную» таблицу, которую называют матрицей перехода. Такую матрицу также часто называют миграционной или матрицей мобильности.

При проведении группировки приходится решать ряд задач:

1) выделение группировочного признака;

2) определение числа групп и величины интервалов;

3) при наличии нескольких группировочных признаков описание того, как они комбинируются между собой;

4) установление показателей, которыми должны характеризоваться группы, т. е. сказуемого группировки.

Рассмотрим методологические вопросы построения различных видов группировок.

Типологическая группировка может строиться для разных целей и по различным критериям. Задача выделения типов из общей совокупности решается сравнительно просто только в тех случаях, когда различия очевидны и устойчивы и могут быть описаны одним или несколькими признаками. Однако на практике это бывает редко. Принадлежность группируемых объектов к общей совокупности приводит обычно к появлению у них некоторых общих особенностей, маскирующих различия между типами. Кроме того, недостаточно четкое обособление отдельных типов друг от друга в действительности, множественность признаков описания объекта и ряд других обстоятельств еще более усложняют группировку. Поэтому задача проведения качественной типологической группировки совокупности весьма сложна.

По способу формирования типологических групп различают:

1) способ последовательных разбиений, заключающийся в формировании таких групп, все объекты которых имеют одинаковые значения классификационных признаков;

2) способ многомерной классификации. В этом случае объекты, образующие группы, могут иметь различные значения классификационных признаков.

Первый способ является исторически более ранним. Он включает в себя два метода. Во-первых, это типичный для него метод комбинационной группировки, при которой формирование групп производится путем последовательного разбиения сначала всей совокупности по одному признаку, затем полученных частей -- по другому и т. д., причем строго соблюдается принцип иерархии групп. Во-вторых, это многошаговый метод последовательных разбиений совокупности. Способ многомерной классификации, когда группы формируются на основе близости объектов одновременно по большому числу признаков, получил широкое применение с разработкой методов распознавания образов.и появлением ЭВМ.

При использовании методов комбинационной группировки классификация осуществляется путем последовательного логического деления совокупности по отдельным признакам. Очередность этапов здесь такова:

1) наметка типов;

2) выбор группировочного признака (признаков);

3) определение числа групп и величины интервалов;

4) сведение выделенных групп в типы;

5) характеристика типов с помощью системы показателей. Наметка типов производится с помощью теоретического качественного анализа. Предварительно намечают столько типов, сколько их может быть в данной совокупности теоретически (хотя фактически возможно меньшее их число).

При выборе группировочного признака необходимо учитывать два условия. Во-первых, типологическая группировка должна выполняться только по существенным признакам. Теоретически следует охватить все существенные признаки, однако при таком подходе получается излишнее дробление совокупности. Группы оказываются малы по объему и не пригодны для статистического анализа. Поэтому рекомендуется проводить группировку по двум-трем главным признакам, взятым в комбинации. Во-вторых, при необходимости для характеристики разных типов выбираются различные признаки, т. е. осуществляется специализация признака. Например, для выделения типов сельскохозяйственных предприятий по размеру в качестве группировочного будет выступать признак отраслевой принадлежности (растениеводство или животноводство). Далее же количественные признаки: для растениеводства -- посевная площадь и число комбайнов, а для животноводства -- поголовье крупного рогатого скота и производство молока.

На различных этапах формирования типологической группировки число групп неодинаково. По ее завершении оно соответствует фактическому числу выделенных типов. На предварительном этапе количество комбинированных групп определяется произведением В случае количественного группировочного признака необходимо определять величину интервалов. Интервалы задают критические точки перехода одного качества в другое. При построении типологической группировки интервалы должны быть неравными и специализированными. Специализация интервалов означает, что разным значениям одного признака соответствуют разные значения другого.

Полученные комбинированные группы в итоге чисто технически объединяются в типы. Критерием оптимальности выполненной типологической группировки может служить максимум межгрупповой дисперсии интересующего исследователя признака:

Ј (X, - X)2 n,

Если результат не устраивает исследователя, то группировку следует повторить, задавая для каждого признака меньшее число групп.

Если группировка оказывается приемлемой, то для характеристики типов разрабатывается система показателей, среди которых обязательно должны быть характеристика численности типов -- веса либо частоты -- и интегральные показатели, рассчитанные в виде средних, удельных весов, соотношений, показателей динамики и т. д.

В процессе анализа иногда возникает задача рационального построения типов на основе комбинационной группировки в условиях ограниченности совокупности и наличия более четырех качественных признаков, предположительно вызывающих неоднородность. В таких случаях можно использовать модификацию метода комбинационной группировки -- многошаговый метод последовательных разбиений совокупности. Он базируется на анализе коэффициентов вариации качественных признаков. Коэффициент вариации характеризует способность признака различать отдельные элементы совокупности. Расчет значений коэффициента вариации качественных признаков Q(X) основан на сопоставлении числа различных пар событий:

(N^Zn2) I

Q(X)= (I - 1)N2

где I -- число градаций признака X;

n-- число объектов, принимающих i-ю градацию признака (i= 1,2, ...,!);

N -- число объектов совокупности:

i N = Ј n. .

Коэффициент вариации качественных признаков Q(X) реагирует только на характер распределения объектов по градациям признака. Он принимает максимальное значение 1 при равенстве частот градаций признака и считается, что равен 0 при одной градации, т. е. когда вся совокупность образует по данному признаку одну группу.

Малое значение коэффициента вариации свидетельствует о том, что распределение объектов на группы по данному признаку крайне неравномерно, т. е. большинство объектов имеет одинаковую градацию изучаемого признака и лишь небольшое число --отличную. В этом случае, если нет запрета на исключение рассматриваемого признака и связь его с моделируемым показателем слаба, признаки с малым значением коэффициента вариации могут вообще не рассматриваться.

Используя коэффициент вариации признака, группы формируют следующим образом. По каждому признаку вычисляется Q,(X), и разбиение совокупности производится по тому признаку, который имеет максимальное значение. Если таких признаков оказывается несколько, то выбор среди них осуществляется по содержательному смыслу. Результатом будут группы первого шага разбиения. Далее полученные группы рассматриваются как самостоятельные совокупности и описанная выше процедура повторяется на следующем шаге. Такое деление производится до тех пор, пока однородность объектов не достигнет желаемой степени либо число элементов в группах не станет меньше заданного.

В ходе научных исследований обнаружилось, что принципы чистой логики, лежащие в основе метода комбинационной группировки, часто бывает нелегко применять к эмпирическому материалу. Это обусловило необходимость разработки новых принципов группировки, отличных от традиционных.

Сущность этих новых принципов, лежащих в основе многомерной классификации, состоит в следующем. Классификация объектов производится не последовательно по отдельным признакам, а одновременно по большому числу признаков. Этот фиксированный набор признаков образует так называемое пространство признаков, а каждому признаку придается смысл координаты. Если задано m существенных признаков совокупности, то любой объект рассматривается как точка в т-мерном пространстве признаков и задача классификации сводится к выделению сгущений объектов в этом пространстве. Для этого используются разные алгоритмы, но всегда группы (типы, классы) формируются на основании близости объектов по комплексу признаков.

Подходы к формированию групп, применяемые в многомерной группировке, лучше, чем комбинационные, согласуются со сложившимся представлением о существовании естественных типов объектов, близких по совокупности признаков. В самом деле, при комбинационной группировке объект, отклоняющийся по одному-единственному признаку от нормы, характерной для группы, будет автоматически из нее исключен. Более того, если этот признак используется на первом шаге группировки, то объект может легко попасть в группу, очень далекую от той, с которой он в действительности имеет наибольшее сходство. Если вспомнить понятие пространства признаков, то группы, получаемые при комбинационной группировке, представляют собой секторы такого пространства. При этом границы между ними обычно параллельны осям данного пространства и жестко заданные интервалы признаков часто разрушают реально существующие классы. Этот основной недостаток делает комбинационные группировки не всегда эффективными для выделения типов объектов по комплексу признаков, так как с добавлением каждого нового признака опасность разрушения объективно существующих однородных групп возрастает.

Следовательно, главное преимущество методов многомерной группировки заключается в том, что они позволяют с той или иной степенью приближения выделить реально существующие в признаковом пространстве скопления точек -- объектов. Это связано с одновременной группировкой по большому числу признаков и использованием сложных поверхностей в качестве границ.

Реализация методов последовательного разбиения возможна и без применения вычислительной техники, в то время как методы многомерной группировки в связи с трудоемкостью расчетов требуют использования ЭВМ, почему их часто называют методами автоматической классификации. Цели этих двух способов совпадают, основное же различие состоит в том, что при автоматической классификации исследователь лишь указывает направление поиска (заданием набора признаков, имеющих отношение к цели классификации), но отказывается на данном этапе от самостоятельного формирования классов.

Выбор одного из указанных способов классификации во многом определяется характером признаков, составляющих описание объекта. Если преобладают качественные признаки, их не очень много и априори известно, что они неравнозначны с точки зрения цели классификации, то целесообразнее использовать способ последовательного разбиения. При наличии большого числа примерно равнозначных признаков, особенно если это признаки количественные, а вопрос иерархии признаков и групп не столь важен, следует ориентироваться на многомерную классификацию.

Структурная группировка применяется для характеристики структуры и структурных сдвигов. При проведении структурной группировки решаются следующие вопросы.

1. Выбор группировочного признака. В данном случае в качестве такового может выступать как существенный, так и несущественный признак.

2. Определение числа групп и величины интервала. Здесь необходимо учитывать несколько условий:

а) число групп детерминируется уровнем колеблемости группировочного признака. Чем значительнее вариация признака, тем больше при прочих равных условиях должно быть групп;

б) число групп должно отражать реальную структуру изучаемой совокупности;

в) не допускается выделение пустых групп. Если проблема пустых групп все же возникает, при проведении структурных группировок используют неравные интервалы.

Для нахождения числа групп служит формула

п = 1 + 3,322 * Ig N,

где N -- количество элементов совокупности.

В случае равных интервалов величина интервала может быть определена как

у - у

"max **min

ИЛИ

1 + 3,322 * Ig N

3. Определение системы показателей для характеристики групп. Обязателен показатель численности групп. Он можетбыть представлен либо частотой (количеством единиц в каждой группе), либо частотностью (удельным весом каждой группы).

Аналитическая (факторная) группировка предназначена для установления тесноты связи между взаимодействующими признаками -- факторным и результативным. Она позволяет выявить наличие и направление связи, а также измерить ее тесноту и силу. Методологическими вопросами построения факторной группировки являются выбор группировочного признака, определение числа групп и величины интервала, выбор системы показателей для характеристики групп. Чаще всего в качестве группировочного принимают факторный признак, выделенный на основе априорного анализа. Интервалы в аналитической группировке берутся преимущественно равные либо равнонаполненные (группы с приблизительно одинаковой частотой). Величина интервала рассчитывается так же, как при построении структурной группировки. Среди показателей групп обязательным является среднее значение результативного показателя по каждой группе.

3.3 Многомерные группировки в статистике

Для проведения многомерной классификации необходимо:

1) сформулировать цель классификации;

2) выделить комплекс признаков классификации;

3) определить меру сходства объектов;

4) выбрать алгоритм и программу классификации;

5) рассчитать варианты классификации;

6) оценить результаты.

Первые четыре этапа--это, по существу, постановка задачи классификации.

Исходные данные для задачи многомерной классификации обычно представляют в виде матрицы «объект -- признак». Строками ее являются значения признаков, характеризующих соответствующий объект, а столбцами -- значения каждого признака для рассматриваемой совокупности объектов.

Выделяют три типа мер сходства:

1) коэффициенты подобия;

2) коэффициенты связи;

3) показатели расстояния.

Меры первых двух типов можно назвать мерами близости -- чем больше их величина, тем «ближе» объекты друг к другу.

Обратное положение с показателями расстояния: чем больше их величина, тем больше различие между объектами. Меры сходства могут определяться как между объектами, так и между признаками.

1. Коэффициенты подобия S используются для измерения степени близости между парами объектов (i и j), каждый из признаков которых принимает значения 0 или 1.

Наиболее простой коэффициент подобия рассчитывается по формуле двух сравниваемых объектов

S- р"

°н ~ -------- * m

где Р -- число совпадающих признаков у объектов i и j; m -- общее число признаков, по которым осуществляется сравнение:

0<S< 1.

2. Часто в качестве мер сходства используются коэффициенты корреляции -- либо как измерители силы связи между объектами (между строками матрицы «объект -- признак»), либо как измерители связи признаков (между столбцами той же матрицы).

Если признаки не поддаются точной количественной оценке, то мерами их связи служат коэффициенты ранговой корреляции. Для измерения связи количественных признаков обычно определяют коэффициенты линейной корреляции.

3. Во многих случаях роль меры сходства играет функция расстояния. Чаще всего принимаются следующие меры расстояния между объектами i и j:

а) хеммингово расстояние -- для признаков, обладающих только двумя значениями -- 0 и 1:

m m

d„ = Ј abs (X„ - Xj,) или d„ = Ј | X„ - X„ |;

б) евклидово расстояние -- для количественных признаков:

/m

d„=i/ Ј(X„-X„)2,

где X, - значение 1-го признака у объекта i;

X, - то же для объекта j.

Евклидово расстояние обладает существенным недостатком. в нем не учитывается возможная неравнозначность осей пространства. При ненормированных осях возможен случай, когда два объекта, сильно различающиеся только по одному признаку, окажутся далекими друг от друга в евклидовом пространстве.

Поэтому часто вводят взвешенное евклидово расстояние, где подбором весов W^ пытаются нормировать оси пространства:

d„= I/ ЈW,(X„-X,)2, 0<W,^1.

V 1=1

Обычно величина W, обратно пропорциональна средне-квадратическому отклонению значений признака Х^ в) расстояние Махаланобиса'

где X, = (X,, .... Х„ ),

Ј-- ковариационная матрица связи признаков (размерности

m x m).

Для выполнения многомерных классификаций чаще всего применяются:

метод дендритов,

метод шаров,

метод корреляционных плеяд,

многомерная средняя.

Метод дендритов. Авторы этого метода определяют дендрит как ломаную, которая может разветвляться, но не может содержать замкнутых ломаных и такова, что ею соединены любые две точки множества. Метод дендритов позволяет получать нелинейное упорядочение изучаемых единиц. Графически рассматриваемые случаи упорядочения можно представить в виде точек либо кружков (со вписанными в них обозначениями или номерами), связанных отрезками. Точки, изображающие единицы, называются вершинами, а отрезки -- связями (дугами).

В каждом конкретном случае возможны несколько вариантов упорядочения. В связи с этим возникает задача выбора наилучшего упорядочения, заключающаяся в нахождении такого дендрита, в котором смежные единицы будут иметь наименее различающиеся значения признаков. Выполнение этого условия приведет к упорядочению с наименьшими расстояниями (если в качестве меры сходства берется мера расстояния) либо с наибольшими связями (в случае меры связи) между отдельными элементами. В оптимальном дендрите смежные объекты в наименьшей степени отличаются друг от друга.

Чтобы построить такой дендрит, из составленной матрицы расстояний (или связи) выбираются единицы с близкими значениями признаков. Поиск их -- это, по сути, нахождение наименьших расстояний (либо максимальных коэффициентов связи) в каждом столбце (или строке) матрицы. Искомые ближайшие единицы обозначены номерами строк (или столбцов), в которых находятся наименьшие числа. Если, например, надо найти единицу, наименее отличающуюся от j-й, то достаточно отыскать наименьшее (наибольшее) число в столбце j. Пусть им будет элемент С^, находящийся в строке i. Тогда ближайшей к единице j будет единица i.

Построение оптимального дендрита состоит из нескольких этапов. На первом устанавливаются связи каждой из исследуемых единиц с ближайшими единицами. Некоторые связи при этом встречаются дважды (например, 1 -- 3 и 3 -- 1). Поэтому при построении дендрита очередность их установления не играет роли, одно из повторяющихся сочетаний всегда исключается. Связи с одинаковыми номерами объединяются в общие наборы. В результате получаются конструкции, называемые скоплениями 1-го порядка. Обычно они не удовлетворяют основному условию дендрита, поскольку не связаны в единое целое.

На втором этапе определяется наименьшее расстояние между единицами, входящими в разные скопления 1-го порядка. Данная дуга становится связью между двумя соответствующими скоплениями. В результате образуются скопления 2-го порядка. Процесс построения дендрита заканчивается, когда любые две точки исследуемого множества оказываются связанными друг с другом.

На основе полученного дендрита осуществляют разбиение множества на однородные подмножества. Оптимальное разбиение дендрита предполагает два варианта.

1. Если заранее известно п -- число групп, на которые следует разделить изучаемое множество, то из построенного дендрита удаляется (n - 1) самых длинных связей. Тем самым достигается разбиение дендрита на n частей.

2. Если число групп неизвестно, то:

а) подбирается пороговая величина h и убираются связи, меньшие или большие величины h. Так поступают несколько раз и останавливаются в тот момент, когда разбиение может быть сочтено оптимальным,

б) применяется «естественный» способ разбиения. Для этого связи дендрита упорядочиваются по убыванию их длины (либо по возрастанию -- для мер связи). Затем строятся отношения соседних расстояний

d, d3 d„,

где d,, d;,, .... d^., -- упорядоченные длины связей;

w-i -- отношения длин связей, либо отношения мер связи:

Следующая операция заключается в удалении числа связей, при котором меняется направление соотношения, т. е. выполняется неравенство (как для меры расстояния, так и для меры связи)

i,<i„„k=2,3,....w-1.

Рассмотрим пример. Матрица парных коэффициентов корреляции признаков (выше главной диагонали) представлена в следующей таблице:

	X,	X,	Хз	Х<	Xs	Xe	X.	Xe	Х„	Х,о
X, X, Хз х< Xs х„ Х^ X, X. Х,о	1,00	0,81 1,00	0,79 0,72 1,00	0,67 0,76 0.80 1,00	0,90 0,60 0,79 0,52 1,00	0,53 0,74 0,66 0,51 0.97 1,00	0.98 0,94 0.85 0,63 0.99 0,61 1,00	0,64 0,58 0,68 0,59 0,72 0,70 0,75 1,00	0,65 0,91 0,64 0,63 0,70 0,58 0,74 0,54 1,00	0,77 0.95 0,70 0,67 0,71 0,80 0,68 0.99 0.99 1,00

Если имеются прямые и обратные связи, то строят два дендрита: на положительных и на отрицательных коэффициентах.

Построение дендрита осуществляется в несколько этапов.

1. По каждой строке определяем максимальные связи, при этом повторяющиеся связи удаляем. Получаем скопления первого порядка:

2. Объединяя скопления 1-го порядка, получаем дендриты:

3. Находим максимальную связь между элементами первой и второй групп. В нашем примере это связь между Хд и Х^ (0,94):

у 0,98

У 0.97 у 0.99 у 0.94 у 0.95 у 0.99 v '-6 "5 "7 **2 '*10 "3

В результате получаем полный дендрит. Чтобы оптимальным образом разбить дендрит на группы, построим таблицу:

К	1	2	3	4	5	6	7	8	9
S	0,80	0,85	0,94	0,95	0,97	0,98	0,99	0,99	0,99
sk+1 S.	--	1,037	1,105	1,011	1,021	1,010	1,010	1,000	1,000

Соотношение i^ < i^ встречается дважды:

при k= 2 (1,037 < 1,105);

при k=4(1,011 < 1,021).

Минимальное соотношение в неравенстве при k = 4. Следовательно, удаляем (k - 1) = 3 самые слабые связи. Получаем 4 группы-: {Хз}, {X,}, {Х„ Х„ X,, X,}, {Х„ X,, Хд, Х,„}.

Заметим, что в общем случае нецелесообразно задавать число классов большее, нежели количество дендритов 1-го порядка.

Метод шаров. Пусть для множества точек (объектов или признаков) получена {С,} -- матрица расстояний между точками

(1, J = 1, ..., П).

Для каждой точки строится шар заданного радиуса р, который может быть вычислен двумя способами:

1) р = max, min C^;

2) р = С + т О,,

причем С = Ј С^ /п;

]=ч

О = I/ Ј (С, - С)Уп; С, = min С„,

И )=i i^i,

где т -- действительное неотрицательное число.

Затем для каждого элемента подсчитывается число точек, находящихся внутри данного шара:

П, = {Р,е П : С„ <р},

где п означает подмножество i множества П. Его образуют элементы i и Р е и, удовлетворяющие условию С,^ < р.

Если обозначить через I, объем подмножества и,, то I = max I -- величина, определяющая первое выделяемое подмножество. В случае существования нескольких подмножеств с равными максимальными объемами исчисляют расстояние до центров выбранных шаров от начала системы координат. Первое подмножество образуют единицы, которые содержатся в шаре, ближе всего находящемся от начала системы координат. Это

подмножество обозначается символом^. Если первичных данных нет, то ограничиваются суммированием расстояний от центра шара до включенных в него элементов.

Дальнейшие действия производятся таким же образом, только относятся не ко всем объектам, а лишь к тем, которые остались после исключения первого подмножества. Это значит, что при дальнейшем выделении подмножеств рассматривается множество й\й . Процедура продолжается до полного исчерпания множества П.

Рассмотрим применение метода шаров на примере. Пусть имеется множество {V,} из 9 объектов, расстояния между которыми представлены в следующей таблице:

	V,	^2	уз	V<	Vs	Ve	V7	vb	V„
V, V. Vs V< Vs Vs ^ vb V„	0 6 11 14 18 23 26 32 38	6 0 5 8 12 17 20 26 32	11 5 0 3 9 12 15 21 27	14 8 3* 0* 4* 9 12 18 24	18 12 9 4 0 5 8 14 20	23 17 12 9 5 0 3 9 15	26^ 20 15 12 8 3 0 6 12	32 26 21 18 14 9 6 0 6	38 32 27 24 20 15 12 6 0
Min no столбцу	6	5	3	3	4	3	3	6	6
Max min p	6
I	2	3	3	3	3	3	3	3	2
Ј	--	11	8	7*	9	8	9	12	--

Матрица расстояний симметрична, таким образом:

max min С, = 6.

Теперь для каждого объекта V определяется I -- число объектов, входящих в его шар таким образом, что Cg < р. Элементы того объекта, где больше число I, и образуют первое подмножество.

В нашем примере шесть столбцов имеют 1^ = 3. В этом случае мы выбираем столбец, в котором сумма расстояний

(Е) между элементами, удовлетворяющими условию Cg < р, является минимальной. Это столбец V„, и тогда первое подмножество образуют элементы Vg, V^ и Vg.

На следующем этапе первое подмножество удаляется из матрицы расстояний. Получаем новую таблицу:

	V,	V.	Ve	^	Vs	V.
V, ^ Ve ^ Ve ^	о 6 23 26 32 38	6 0 17 20 26 32	23 17 0 3 9 15	26 20 3* 0* 6* 12	32 26 9 6 0 6	38 32 15 12 6 0
Mm no столбцу	6	6	3	3	6	6
Мах min p	6
1	2	2	2	3*	3	2

Аналогично определяем элементы второго множества. Так как два столбца (V^ и Vg) имеют 1^„ = 3, то получаем второе подмножество {6, 7, 8}.

Элементы выявленного подмножества опять исключаются из матрицы расстояний. В результате новой итерации будем иметь подмножество {1, 2, 9}:

	V,	^	V9
V, V2 v„	0 6 38	6* О* 32*	38 32 0
Min no столбцу	6	6	32
Max min p	32
I	2	3	2

Таким образом, применив метод шаров, мы распределили объекты по 3 группам:

{3,4,5}, {6,7,8}, {1,2,9}.

Метод многомерной средней. Суть его заключается в том, что первичные данные нормируются либо по среднему значению, либо по максимальному уровню, т. е.

По нормированным значениям для каждого объекта (или наблюдения) рассчитывается средняя арифметическая величина:

1 к

р =--IP.

К ,=1

Совокупность этих средних величин представляет некоторый обобщенный признак, в соответствии со значениями которого и происходит распределение объектов по группам, как и для случая простой одномерной группировки.

Покажем технику этого метода на примере. Возьмем совокупность из 10 объектов, по каждому из которых имеются сведения о величине признака X,, Ху Ху

Номер объекта	X,	X.	Хз	Hopis	^ироваь уровни (р.,)	-жые	Обобщенный признак Р,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	8 3 2 1 6 2 1 5 6 1	7 5 15 9 20 9 18 1 15 9	62 53 78 95 62 46 84 72 40 43	2,29 0,86 0,57 0,29 1,71 0,57 0,29 1,42 1,71 0,29	0,65 0,46 1,39 0,83 1,85 0.83 1.67 0,10 1.39 0,83	0,98 0,83 1,23 1,50 0,98 0,72 1,32 1,13 0,63 0,68	1,31 0,72 1,06 0,87 1,51 0,71 1,10 0,88 1,24 0,60
Итого	35	108	635	10,00	10,00	10,00	10,00
X,	3,5	10,8	63,5	1,0	1,0	1,0	1,0

Для каждого объекта эти значения нормируются по среднему уровню, после чего подсчитывается среднее значение нормированных признаков:

Полученные значения многомерной средней Р, следует разделить на п = 1 + 3,322 Ig 10=4 группы. Величина интервала определяется по формуле

Р - Р 1,51 -0,6 i=--=----^-=------------ =0,23.

n 4

Обобщенный признак (многомерная средняя) группируется по интервалам: 0,6 - 0,83; 0,84 - 1,07; 1,08 - 1,31; 1,32 - 1,55.

В результате получаем следующее распределение объектов по группам:



Группировка объектов по вели	Кол-во объектов	Номера объектов	Средне П[:	ie значе зизнака	ния по М
чине многомерной средней			X,	X,	Хз
0,60--0,83 0,84-- 1,07 1,08-- 1,31 1,32--1,55	3 3 3 1	2, 6, 10 3,4, 8 1,7,9 5	2,00 2,67 5,00 6,00	7,67 8,33 13,33 20,00	47,33 81,67 62,00 62,00

3.4 Статистические таблицы

Статистические таблицы являются средством наглядного выражения результатов исследования. Значение таблиц определяется тем, что они позволяют изолированные статистические данные рассматривать совместно, достаточно полно и точно охватывая сложную природу явлений. Любая статистическая таблица представляет собой форму рационального, наглядного изложения статистических данных о явлениях и процессах, изучаемых статистикой.

Если из статистической таблицы изъять все слова и цифры, то получится графленая сетка. Вертикальные столбцы ее называются графами, а горизонтальные строками. Следовательно, внешне таблица представляет собой перечень граф и строк. Если записать заголовки граф и строк -- это будет макет таблицы (рис. 3.1).

Составление макетов таблиц -- важное направление обработки статистических материалов. Для того чтобы получилась полная таблица, достаточно внести данные статистической сводки в пересечение каждой строки и графы.

Статистическая таблица, подобно предложению в грамматике, имеет подлежащее и сказуемое. Подлежащее таблицы -- это перечень единиц совокупности или группы, т. е. объект изучения. Сказуемым таблицы являются цифровые дранные, характеризующие подлежащее. Обычно подлежащее располагается слева в виде названий строк, сказуемое -- сверху в виде названий граф.

По построению подлежащего таблицы могут быть:

простыми,

групповыми,

комбинационными.

Простой называется такая статистическая таблица, в подлежащем которой нет группировок. Простые таблицы бывают:

перечневые (подлежащее -- перечень единиц, составляющих объект изучения);

территориальные (дается перечень территорий, стран, областей, городов и пр.);

хронологические (в подлежащем приводятся периоды времени или даты).

Групповыми называются таблицы, в подлежащем которых изучаемый объект разделен на группы по какому-либо признаку.

Комбинационной таблицей называется такая, где в подлежащем дана группировка единиц совокупности по двум и более признакам, взятым в комбинации.

Таблицы различаются и по разработке сказуемого, которая может быть простой и сложной. Простая разработка сказуемого предусматривает параллельное расположение показателей, а сложная--комбинированное. Например, при простой разработке сказуемого могут быть сначала приведены графы, содержащие данные о распределении населения по полу или по уровню образования. При сложной разработке сказуемого -- в каждой графе по уровню образования приводятся данные о численности мужчин, женщин и итоговые в виде отдельных граф (в макете таблицы это графы 3, 4, 5).

Практикой выработаны определенные требования к составлению и оформлению таблиц.

1. Таблица по возможности должна быть краткой. Не следует загружать ее излишними подробностями, затрудняющими анализ исследуемых явлений.

2. Каждая таблица должна иметь подробное название, из которого становится известно: а) какой круг вопросов излагает и иллюстрирует таблица; б) каковы географические границы статистической совокупности, представленные таблицей; в) каков период времени, за который приведены данные, или момент времени, к которому они относятся; г) каковы единицы измерения (если они одинаковы для всех табличных клеток). Если единицы измерения неодинаковы, то в верхних или боковых заголовках обязательно следует указывать, в каких единицах приводятся статистические данные (тонн, штук, рублей и пр.).

3. В таблице желательно давать нумерацию граф. Это облегчает пользование таблицей, дает возможность лучше ориентироваться, показывает способ расчета цифр в графах. Первые графы, содержащие подлежащее, обозначаются заглавными буквами алфавита; графы, содержащие сказуемое, нумеруются арабскими цифрами. Заглавия строк подлежащего и граф сказуемого должны быть сформулированы кратко, точно и ясно. Все слова в заголовках подлежащего и сказуемого таблицы записываются по возможности полностью. Заголовки граф следует сформулировать так, чтобы были ясны смысл данной величины и порядок ее расчета.

4. Приводимые в подлежащем и сказуемом признаки должны быть расположены в логическом порядке с учетом необходимости рассматривать их совместно. Обычный принцип размещения -- от частного к общему, т. е. сначала показывают слагаемые, а в конце подводят итоги (если это необходимо). Когда приводятся не все слагаемые, а лишь наиболее важные из них, применяется противоположный принцип -- сначала показывают общие итоги, а затем выделяют наиболее важные части («В том числе», «Из них»). Следует различать «Итого» и «Всего». «Итого» является итогом для определенной части совокупности, а «Всего» -- итог для совокупности в целом.

5. Таблица может сопровождаться примечаниями, в которых указываются источники данных, более подробно раскрывается содержание показателей, даются и другие пояснения, а также оговорки в случае, если таблица содержит данные, полученные в результате вычислений.

6. При оформлении таблиц обычно применяются такие условные обозначения:

знак тире (--) -- когда явление отсутствует;

х -- если явление не имеет осмысленного содержания;

многоточие (...)-- когда отсутствуют сведения о его размере (или делается запись «Нет сведений»). Если сведения имеются, но числовое значение меньше принятой в таблице точности, оно выражается дробным числом (0,0).

Округленные числа приводятся в таблице с одинаковой степенью точности (до 0,1; до 0,01 и т. п.). Если в таблице приводятся проценты роста, то во многих случаях целесообразно проценты от 300 и более заменять отношениями в разах. Например, писать не «1000 %», а «в 10,0 раз».

3.5 Статистические графики

Современную науку невозможно представить себе без применения графических методов, настолько прочно вошли они в арсенал средств научного общения и в методику научного исследования.

Особое место графические методы занимают в статистике и экономике, имеющих дело с большими комплексами цифр, сведенных в громоздкие таблицы. Здесь графические методы помогают прежде всего описанию, а затем и анализу этих данных. С помощью графиков легко выявить и наглядно представить закономерности, которые часто трудно бывает уловить в сложных статистических таблицах. При этом используются различные графики, многообразие видов которых обусловлено различиями в их статистическом содержании, способах построения и широтой круга изображаемых ими общественных явлений и процессов.

Графиками в статистике называются условные изображения числовых величин и их соотношений в виде различных геометрических образов -- точек, линий, плоских фигур и т. п. Использование графиков для изложения статистических показателей позволяет придать последним наглядность и выразительность, облегчить их восприятие, а во многих случаях помогает уяснить сущность изучаемого явления, его закономерности и особенности, увидеть тенденции его развития, взаимосвязь характеризующих его показателей.

Каждый график состоит из графического образа и вспомогательных элементов. Графический образ -- это совокупность точек, линий и фигур, с помощью которых изображаются статистические данные. Эти знаки образуют собственно языковую ткань графика, его основу.

Вспомогательными элементами графика являются:

1)поле графика-- то пространство, в котором размещаются образующие график геометрические знаки. Поле графика характеризуется его форматом, т. е. размером и пропорциями (соотношением сторон);

2) пространственные ориентиры, определяющие расположение геометрических знаков в поле графика. Пространственные ориентиры задаются системой координатных сеток или контурных линий, которые делят это поле на части. В большинстве случаев в статистических графиках применяется система прямоугольных (декартовых) координат, но нередко встречаются и круговые графики, построенные по принципу полярных координат;

3) масштабные о р и е н т и р ы, придающие геометрическим знакам количественную определенность. Масштабные ориентиры определяются системой масштабных шкал или специальными масштабными знаками. Масштабные шкалы применяются в координатных статистических графиках. Эти шкалы представляют собой геометрическое место помеченных точек, а носителями их являются оси координат, на которых эти отметки располагаются. Масштабные знаки используются преимущественно для статистических карт;

4) экспликация графика, состоящая из объяснения:

а) предмета, изображаемого графиком (его названия), и

б) смыслового значения каждого знака, применяемого на данном графике. Без экспликации график нельзя прочитать и понять. Название графика должно кратко и точно раскрывать его содержание. Пояснительные тексты могут располагаться в пределах графического образа или рядом с ним (ярлыки), а также выноситься за его пределы (ключ).

Статистические графики можно классифицировать по разным признакам: назначению (содержанию), способу построения и характеру графического образа.

По содержанию или назначению можно выделить графики сравнения в пространстве, графики различных относительных величин (структуры, динамики и т. п.), графики вариационных рядов, графики размещения по территории, графики взаимосвязанных показателей. Возможны и комбинации этих графиков, например графическое изображение вариации в динамике или динамики взаимосвязанных показателей и т. п.

По способу построения графики можно разделить на диаграммы, картодиаграммы и картограммы.

По характеру графического образа различают графики точечные, линейные, плоскостные (столбиковые, почасовые, квадратные, круговые, секторные, фигурные) и объемные.

Рассмотрим правила построения столбиковой диаграммы, которая используется чаще всего для сравнения одноименных показателей, характеризующих различные объекты или территории. Значения сравниваемых показателей изображаются при этом в виде прямоугольных столбиков, имеющих одинаковую ширину и расположенных на общей горизонтальной или вертикальной базовой линии. Высота (или длина) каждого столбика в определенном масштабе соответствует величине изображаемого показателя. Столбики могут располагаться вплотную либо на одинаковом расстоянии друг от друга. Примером такой диаграммы служит рис. 3.2.

Разновидностью столбиковой диаграммы является поло совая (ленточная) диаграмма, для которой характерны горизонтальная ориентация столбиков (полос) и вертикальное расположение базовой линии. Полосовая диаграмма особенно удобна в тех случаях, когда отдельные объекты сравнения характеризуются противоположными по знаку показателями (рис. 3.3).

Иногда сравниваемые объекты характеризуются резко разнящимися значениями показателей. Например, численность населения Китая в 1986 г. составляла 1057,2 млн чел., а Канады, имеющей немного большую площадь, -- 25,7 млн чел. Представить эти данные с помощью столбиковой диаграммы практически невозможно, так как высота одного столбика должна в 41 раз превышать высоту другого (1057,2 : 25,7 = 41,1). В подобных случаях используют особые виды плоскостных диаграмм --квадратные или к р у г о в ы е. Их построение основано на том, что величины изображаемых показателей должны быть пропорциональны площадям квадратов или кругов, а корни квадратные из сравниваемых величин -- линейным размерам этих фигур (сторонам квадратов или радиусам кругов).

В данном примере стороны квадратов, расположенных на горизонтальной базовой линии, соотносятся как

6,4 : 1(/1057,2 :/25,7 =32,5 : 5,1 = 6,4 : 1).

Квадратные и круговые диаграммы менее наглядны, чем столбиковые и полосовые, что связано с трудностью визуальной оценки соотношения площадей. Поэтому внутри квадратов и кругов следует проставлять величины изображаемых показателей (рис. 3.4). Еще меньшей наглядностью отличаются объемные диаграммы (например, в виде кубов), в которых лимитные размеры графического образа пропорциональны корням кубическим из сравниваемых величин.

Основной формой структурных диаграмм являются секторные диаграммы (рис. 3.5). «Работающим» геометрическим параметром в секторной диаграмме удельных весов служит величина угла между радиусами: 1 % принимается на диаграмме равным 3,6°, а сумма всех углов, составляющая 360°, приравнивается к 100 %.

Возможности применения секторных диаграмм ограничены двумя обстоятельствами. Первое заключается в том, что они сохраняют свою выразительность при делении совокупностей на небольшое число частей -- не более 4-5, а за этими пределами их применение становится малоэффективным. Второе -- секторная диаграмма выглядит убедительно лишь при существенных различиях сравниваемых структур, в противном случае она оказывается недостаточно выразительной.

Другой формой структурных статистических диаграмм являются полосовые диаграммы удельных весов (рис. 3.6).

ВЛ Активы, свободные от риска

------ Активы с минимальным риском

X---- Активы с повышенным риском

Рис. 3.6, Структура активов коммерческого банка по степени риска.

Эта диаграмма получена путем преобразования простой полосовой диаграммы с подразделенными полосами. Преобразование заключается в том, что ряды абсолютных показателей превращены в ряды относительных чисел--удельных весов.

фигурные д иаграммы с равнения предназначены в основном для целей популяризации. Показатели в них вычерчиваются в виде определенного количества стандартных фигур, представляющих собой упрощенные изображения объектов, характерных для соответствующих явлений. Недостатком их следует считать некоторую неточность, связанную с необходимостью округления изображаемых показателей.

Для изображения экономических явлений, протекающих во времени, применяют динамические диаграммы. В отличие от диаграмм, отображающих сравнительные величины отдельных объектов или их структуры, в динамических диаграммах объектом отображения служат процессы.

Геометрически адекватной формой их отражения являются линейные координатные диаграммы. Геометрическими знаками-символами на таких диаграммах служат точки и последовательно соединяющие их прямые линии, складывающиеся в ломаные «кривые», конфигурация которых дает представление об изображаемом процессе. Ось абсцисс является в такой диаграмме осью времени с равномерно размещенными отметками, а ось ординат -- осью значений, которые принимает с течением времени изучаемый показатель. По отметкам обеих шкал определяют местоположение точек в координатном поле диаграммы, а последовательно их соединяя, находят кривую динамики изображаемого на диаграмме показателя. Конфигурация каждой кривой на динамической диаграмме отражает процесс изменения во времени описываемого на диаграмме показателя, а именно: движение кривой с ходом времени вправо и вверх означает рост показателя, а движение ее вправо и вниз -- его падение (рис. 3.7). Таки1\ образом, кривая, проведенная в координатном поле динами ческой диаграммы, в большей мере, чем другие знаки-символь статистических диаграмм, обусловлена содержательным смысло(\

Цена, руС

Врем»

Рис. 3.7. Уровень средней цены приватизационных чеков на торгах РТСБ, руб.

Для изображения вариационных рядов применяются линейные и плоскостные диаграммы, построенные в прямоугольной системе координат. При дискретной вариации признака графиком вариационного ряда служит полигон распределения. Рассмотрим пример его построения по следующим данным.

Распределение квартир жилого дома по числу пооживаюших в них

Число живущих е квартире	1	2	3	4	5	6	7	Всего
Число квартир	2	3	10	23	9	2	1	50

Число квартир

полигон распределена представляет собой замкнутый многоугольник, абсциссами вершин которой являются значения варьиру ющегося признака, а ординатами -- соответствующие им частоты (рис. 3.8).

При непрерывной вариации используют, как известно, интервальные вариационные ряды, графическим изображением которых служит гистограмма. Для построения гистограммы по оси абсцисс в соответствии с принятым масштабом откладывают границы интервалов. Эти интервалы являются основаниями прямоугольников, площади которых равны либо пропорциональны частотам или частостям распределения в соответствующих интервалах.

На рис. 3.9 приведен пример построения гистограммы со следующими исходными данными.

Распределение активов коммерческого банка

Группы активов по степени риска, %	Структура активов, %	Высота на графике,см
0--10 10--25 25--100	61 4 35	61 : 10= 6,1 4:15= 0,27 35 : 75 = 0,47
Всего	100	--

Сумма, % к итогу

Степень риска, %

Рис. 3.9. Распределение активов коммерческого банка по степени риска.

Как известно, плотность распределения -- это число единиц совокупности, приходящееся на единицу ширины интервала. При равных интервалах плотность распределения прямо пропорциональна частотам или частостям, которые и используются для построения прямоугольников. При неравных интервалах гистограмма строится только по плотности распределения.

Для иллюстрации рядов распределения используются также кумуляты и огивы. Для их построения на оси абсцисс отмечаются значения дискретного признака (или концы интервалов), а на оси ординат -- нарастающие итоги частот (кумулята) или частостей (огива), соответствующих этим значениям признака. Ордината кумулятивного графика показывает, сколько единиц или какая часть совокупности имеет значение признака, не превосходящее указанного на оси абсцисс (рис. 3.10). (Кумуляту распределения активов банка по степени риска рекомендуется построить самостоятельно.)

Число квартир

23456

Число живущих в квартире

Рис. 3.10. Кумулята распределения квартир по числу живущих в них.

Особый вид статистических графиков представляют собой номограммы, при помощи которых с достаточной для практики точностью получают решение уравнений, вычисляют значения функций нескольких аргументов и т, п. Номограммы удобны для графического изображения и применения уравнений множественной линейной регрессии.

Глава 4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

4.1 Понятие абсолютной и относительной величины в статистике

Изучая массовые общественные явления, статистика в своих выводах опирается на числовые данные, полученные в конкретных условиях места и времени. Результаты статистического наблюдения регистрируются прежде всего в форме первичных абсолютных величин. Так, основная масса народнохозяйственных абсолютных показателей фиксируется в первичных учетных документах. Абсолютная величина отражает уровень развития явления.

В статистике все абсолютные величины являются именованными, измеряются в конкретных единицах (человеках, рублях, штуках, киловатт-часах, человеко-днях и человеко-часах и т. д.) и, в отличие от математического понятия абсолютной величины, могут быть как положительными, так и отрицательными (убытки, убыль, потери и т. п.).

С точки зрения конкретного исследования совокупность абсолютных величин можно рассматривать как состоящую из показателей индивидуальных, характеризующих размер признака у отдельных единиц совокупности, и суммарных, характеризующих итоговое значение признака по определенной части совокупности. Так, если индивидуальными будут показатели численности работающих на отдельных предприятиях, то суммарными -- численности работающих по группам, объединениям предприятий. С точки зрения отдельного предприятия численность занятых на нем будет суммарной величиной, а численности работающих в каждом цехе -- величинами индивидуальными.

Суммарные абсолютные величины часто получают путем специальных расчетов (перспективная численность населения, ожидаемый объем производства, плановые задания по выпуску продукции и т. д.).

Поскольку абсолютные показатели -- это основа всех форм учета и приемов количественного анализа, то следует разграничивать моментные и интервальные абсолютные величины. Первые показывают фактическое наличие или уровень явления на определенный момент, дату (например, наличие запасов материалов или оборотных средств, величина незавершенного производства, численность проживающих и т. д.). Вторые -- итоговый накопленный результат за период в целом (объем произведенной продукции за месяц или год, прирост населения за определенный период, величина валового сбора зерна за год и за пятилетку и т. п.). В отличие от моментных интервальные абсолютные величины допускают их последующее суммирование (естественно, если речь идет об одном и том же показателе).

По своему содержанию абсолютные величины могут характеризовать как относительно простые совокупности -- численность населения, предприятий, количество товара определенного вида, так и совокупности достаточно сложные -- стоимость всей продукции предприятия или отрасли промышленности, объем розничного товарооборота, величину валового национального продукта, национального дохода и т. д.

Показатели, используемые в экономико-статистическом анализе, должны иметь реальный смысл, характеризовать определенные категории и понятия и учитываться или рассчитываться на основе теоретического анализа явления. Поэтому в каждой конкретной области приложения статистики разрабатывается своя система статистических показателей.

Сама по себе абсолютная величина не дает полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени. В ней не выявлены соотношения с другими абсолютными показателями. Эти функции выполняют определяемые на основе абсолютных величин относительные показатели.