Построение тарифов в автостраховании

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Экономико-статистический анализ рынка добровольного автострахования в России

1.1 Добровольное автострахование как важнейший сегмент рынка страхования в России

1.2 Анализ основополагающих показателей развития рынка КАСКО в России и их динамики

1.3 Крупнейшие страховые компании на рынке КАСКО в России и основные показатели их деятельности

Глава 2. Основные подходы к расчету страховых тарифов в добровольном автостраховании

2.1 Структура страховых премий и основные методы расчета тарифов в добровольном автостраховании

2.2 Статистический анализ портфеля договоров страхования КАСКО и формирование тарифных групп по базовым показателям

2.3 Основные принципы расчета обобщенных линейных моделей как метода построения страховых тарифов в портфеле договоров КАСКО

Глава 3. Построение страховых тарифов в портфеле договоров автострахования КАСКО с использованием обобщенных линейных моделей

3.1 Расчет тарифов по страховому покрытию и возрасту автомобиля

3.2 Обобщенная линейная модель по возрасту и стажу водителя

3.3 Построение и анализ совокупного распределения страховых премий по всему страховому портфелю автострахования КАСКО

Заключение

Список литературы

Введение

Страхование - важная отрасль коммерческой деятельности современного экономического мира ввиду опасностей, подстерегающих людей на каждом шагу. Каждый день человек подвергается всевозможным рискам, приносящим разной степени тяжести ущерб. Частота опасностей и масштабы последствий от них прогрессивно возрастают, а также появляются новые риски, поэтому страхование крайне востребовано в развитом обществе.

Сам термин «страхование» происходит от слова «страх». Именно страх людей перед стихией, уничтожавшей посевы, дома и даже целые поселения, страх перед разбойниками и грабителями заставил людей тысячелетия назад осознать необходимость страхования.

Сейчас страховая область экономики активно развивается и расширяет свое влияние. Существуют различные виды страхования: страхование здоровья, жизни, гражданской ответственности, недвижимости, социальное, медицинское, автомобильное, авиационное, космическое и многие другие. В данной работе будет рассмотрено добровольное страхование автотранспортного средства от ущерба и угона - КАСКО.

По всему миру транспортные средства стали незаменимой частью повседневной жизни. Однако число несчастных случаев и аварий не перестает расти с каждым годом. В настоящее время почти каждый человек среднего класса может позволить себе иметь автомобиль. Но далеко не все автомобилисты страхуют машины. Это связано, прежде всего, с экономией, нежеланием лишних затрат и не достаточным доверием к страховым компаниям.

Основа страхования - это корректные актуарные расчеты страховых премий, ведь именно страховые взносы формируют базу для страховых выплат, страховые резервы. Задача любого страховщика - это сделать клиенту максимально интересное предложение, дать ему возможность максимально сэкономить, но в то же время не занизить страховые ставки из-за угрозы обанкротиться.

Это свидетельствует об актуальности темы выпускной квалификационной работы, а также определяет ее практическую значимость.

Целью бакалаврской работы является расчет тарифов по КАСКО в зависимости от страхового покрытия автомобиля, возраста автомобиля, а также возраста и стажа водителя c использованием обобщенных линейных моделей.

Объект исследования - рынок автострахования КАСКО в России.

Предметом исследования данной работы является совокупность показателей, характеризующих убыточность портфеля договоров страхования КАСКО и факторы, определяющие тарифообразование добровольного автосстрахования.

В соответствии с целью поставлены и решены следующие задачи:

Ч проанализировать развитие и современное состояние рынка страхования КАСКО в России;

Ч изучить методы построения тарифов в автостраховании; рассмотреть методологию и принципы применения обобщенных линейных моделей в актуарных расчетах;

Ч рассчитать с помощью обобщенных линейных моделей тарифы страхования автомобиля в зависимости от стоимости и года выпуска автомобиля; а также по возрасту и стажу водителя;

Ч построить совокупную тарифную сетку по всему страховому портфелю автострахования КАСКО; подвести итоги в наглядном виде.

В первой главе работы проведен экономико-статистический анализ рынка добровольного автострахования в России, рассмотрены основные тенденции и динамики рынка, включая страховые премии, выплаты, а также количество страховых компаний на рынке. Проведен анализ влияния продаж новых автомобилей и численности автопарка на совокупные страховые взносы компаний по сегменту КАСКО.

Во второй главе рассмотрены структура страхового тарифа, методы расчета тарифов. Проведен актуарный анализ страхового портфеля договоров и показано формирование тарифных групп с помощью методов дисперсионного анализа, а также обоснована статистическая значимость разбиения на группы. Рассмотрены основные принципы обобщенных линейных моделей как самого используемого метода построения тарифов в рисковом страховании.

Третья глава посвящена построению тарифных сеток в портфеле договоров страхования КАСКО по страховому покрытию и возрасту автомобиля и по возрасту и стажу водителя с помощью обобщенных линейных моделей. Третья глава завершается графическим представлением полученных результатов в виде распределения смоделированных страховых премий, учитывающих полученные тарифные сетки по четырем анализируемым факторам.

Информационной базой исследования послужил портфель договоров московской крупной страховой компании, включающий 89 195 убыточных договоров. Данный портфель содержит многие факторы, из них использованы: заявленные убытки по страховому случаю, количество страховых случаев на один договор, страховое покрытие автомобиля, возраст ТС, возраст и стаж водителя, время, прошедшее с начала действия договора до момента страхового случая.

Всего в работе использовано 53 источника, в том числе правовые документы, учебные пособия, научные труды, аналитические статьи и Интернет-ресурсы.

Статистический и эконометрический анализ в выпускной квалификационной работе проводился c использованием таких пакетов анализа, как Statistica, SPSS, Microsoft Excel и программы R.

Глава 1. Экономико-статистический анализ рынка добровольного автострахования в России

«Страхование представляет собой особый вид экономических отношений по защите имущественных интересов физических и юридических лиц при наступлении определенных событий (страховых случаев) за счет денежных фондов, формируемых из уплачиваемых ими страховых взносов - страховых премий» говорится в Законе Российской Федерации «О страховании» [11].

Истоки страхования уходят далеко в прошлое. Уже за два тысячелетия до нашей эры существовало некое подобие страхования: участники торгового каравана заранее договаривались о совместном несении убытков в случае нападения, кражи или стихийных неурядиц. Постепенно происходило обособление отдельных видов страхования. Уже к началу XVIII века отделяются три вида страхования: от падежа скота, от огня и морское страхование.

Наиболее активное развитие страхования приходится на первую половину XX века. В это время происходит монополизация страхования, накопление и концентрация страхового капитала, инвестирование страховых средств в отрасли, промышленность и сельское хозяйство.

1.1 Добровольное автострахование как важнейший сегмент рынка страхования в России

На рынке предлагается много видов страхования. Каждый вид имеет свои характерные особенности. Существуют разные подходы к классификации страховой деятельности. Большинство стран мира выделяют две разновидности страхования: страхование жизни и страхование, не связанное со страхованием жизни.

Страхование жизни - страхование, предусматривающее защиту имущественных интересов застрахованного лица, связанных с его жизнью и смертью [48].

В России Гражданским кодексом предусмотрены два типа договоров страхования: личное (куда входит страхование жизни) и имущественное. В личном страховании объект страхования - это имущественные интересы, связанные с жизнью, здоровьем, трудоспособностью и пенсионным обеспечением страхователя или застрахованного лица.

В имущественном страховании в качестве объекта страхования выступают имущественные интересы, связанные с владением, пользованием и распоряжением имущества (имущественное страхование); обязанностью возместить причиненный другим лицам вред (страхование гражданской ответственности); осуществлением предпринимательской деятельности (страхование предпринимательских рисков).

В рамках данной работы рассмотрен раздел имущественного страхование - подраздел страхования транспортных средств - добровольное страхование средств транспорта от ущерба или угона.

Первым человеком, застраховавшим свой автомобиль, был американец Трумэн Мартин. Он застраховал свою машину в компании «Travelers Insurance Company», заплатив 12,25 долларов страховой премии за 500 долларов страхового покрытия, которое распространялось на столкновение с гужевым транспортом и лошадьми [34]. В Америке автомобильное страхование начало активно развиваться только с 20 годов XX века после запуска конвейерного выпуска автомобилей Генри Фордом.

В Европу автострахование пришло ближе к 50-м годам того же века, а в России данный вид страхования не был популярен вплоть до 60-х годов ввиду малого количества автомобилей в стране. Активно развиваться отрасль автострахования в Российской Федерации начала в 1991 году. В середине 2003 года вступил в силу закон об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств (ОСАГО), а в 2004 году с увеличением продаж иномарок стало популярным добровольное автострахование (КАСКО).

Динамика развития рынка добровольного автострахования тесно связана с рынком продажи новых автомобилей. Так, при росте продаж, увеличиваются совокупные страховые взносы, а при падении - уменьшаются. На следующем графике приведена динамика продаж новых автомобилей в России с 2002 по 2012 год (рис. 2).

Рис. 2. Динамика продаж новых автомобилей в России с 2002 по 2012 гг.

На графике (рис. 2) заметен быстрый рост в продажах автомобилей с 2002 по 2008 год. Так, за 6 лет число продаваемых автомобилей в стране увеличилось в 22 раза. Кризис 2008 года сократил объем продаж новых автомобилей на 36%, но далее рынок восстановился и опять наблюдается рост на рынке.

Москва - самый густонаселенный город в России. Ежегодно на столичных дорогах фиксируют около 530 000 дорожно-транспортных происшествий. Данная цифра крайне велика даже для такого большого города, как Москва - это примерно по 1 450 ДТП в день, причем в сухую хорошую погоду в городе фиксируется в среднем 800 аварий в день, а в зимнее время среднее количество ДТП достигает 1 700 в день [31].

Причины аварий могут быть разнообразны, и зачастую в ДТП одна сторона бывает невиновной. Для него на рынке страхования есть категория обязательного страхования ОСАГО, которое покроет убытки в случае невиновности.

ОСАГО - обязательное страхование автогражданской ответственности владельцев транспортных средств. ОСАГО вводилось в качестве социальной меры, направленной на создание финансовых гарантий возмещения ущерба, причиненного владельцами транспортных средств [33]. Как говорит за себя название данного вида страхования, ОСАГО страхует исключительно гражданскую ответственность автовладельца. Стоит отметить, что выплаты по ОСАГО ограничены правовыми документами на невысоком уровне, т.е. при большом ущербе страховая компания виновника ДТП в любом случае не выплатит пострадавшему больше установленной суммы. Это одна из причин увеличения спроса на полисы автострахования КАСКО.

Однако в случае признания вины участника ДТП, страхование ОСАГО не действует. Именно тогда требуется защита КАСКО. Стоит отметить, что хоть этот вид автострахования обычно пишут заглавными буквами, КАСКО -- это не аббревиатура, а международный термин, который обозначает какое-то транспортное средство: автомобиль, самолет или судно. В разных языках этот термин переводится по-разному. Например, в немецком языке kasko -- транспортное средство; в итальянском языке casco -- щит, каска, шлем; в испанском casco -- борт судна [35].

Автомобильное добровольное страхование КАСКО - это страхование от рисков «ущерб» и «хищение» застрахованного автомобиля. Риск «ущерб» состоит в повреждении или уничтожении транспортного средства или его частей в результате дорожно-транспортного происшествия, которое в данном случае выступает как страховой случай. Также страховым случаем по риску «ущерб» признается пожар, взрыв, стихийное бедствие, падение инородных предметов, повреждение транспортного средства животными, а также противоправные действия третьих лиц.

Второй риск, который страхует КАСКО - это «хищение» транспортного средства. Это ситуация утраты транспортного средства и/или установленного на нем дополнительного оборудования, отдельных узлов, агрегатов и частей транспортного средства в результате кражи, грабежа, разбоя или угона.

Следует отметить, что страхование данного риска защищает страхователя даже в ситуации, когда страховой случай наступил не из-за действия третьих лиц, непредвиденных ситуаций или стихийных природных сил, но и вследствие ошибочных действий самого страхователя. Однако здесь делается оговорка: если эти действия страхователя совершены ненамеренно, без «злого» умысла.

Стоимость страховой премии по КАСКО находится в очень широком диапазоне. Данная сумма зависит от многих факторов. Каждая страховая компания устанавливает правила расчета страховой премии в зависимости от марки, года выпуска, стоимости, мощности, охранной системы (сигнализации) автомобиля; возраста и стажа водителя и других условий. Нетрудно догадаться, что чем больше вероятность страхового случая, тем более высокую ставку страхования компания установит на автомобиль. Например, во многих страховых компаниях, возраст до 22 лет и стаж вождения до 3 лет увеличивают страховую премию больше, чем в два раза. Несмотря на высокие ставки страхования для многих категорий водителей, рынок страхования КАСКО с каждым годом растет и развивается.

Следует отметить, что добровольное автострахование - самая большая отрасль рынка страхования. Доля сегмента автострахования КАСКО колеблется около 25% всего рынка страхования. В приведенной ниже таблице представлены значения по суммарным страховым взносам всего рынка и сегмента КАСКО, а также доля добровольного автострахования. Данные представлены за период с 2008 по 2012 год поквартально (табл. 1).

Таблица 1 Поквартальные данные об объемах собранных премий на рынке страхования и КАСКО в частности за период 2008-2012 гг.

Источник: Прайм страхование [40]

Заметны сильные колебания суммарных страховых взносов в зависимости от квартала года. Сборы по КАСКО колеблются с похожей динамикой, что и суммарные страховые взносы по всему рынку. Также следует обратить внимание на порядок цифр. Данные (табл. 1) указаны в тысячах рублей, что говорит об огромном обороте страхового бизнеса. Например, в четвертом квартале 2012 года страховой бизнес получил 200,8 миллиардов рублей в качестве страховых взносов, их которых 53,5 миллиарда пришлись только на добровольное страхование автомобилей.

Для наглядности, данные по суммарным взносам всего рынка страхования и отдельного сегмента КАСКО представлены на графике (рис. 3).

Рис. 3. Поквартальные данные об объемах собранных страховых премий КАСКО в сравнении со всем рынком страхования за 2008-2012 гг.

По приведенному графику (рис. 3) видна нестабильность уровня собираемых страховых премий. Это, в первую очередь, связано с экономическими колебаниями, вследствие которых изменяются цены, доходы потребителей, и, конечно, доля дохода граждан, которую они готовы потратить на полис добровольного автострахования.

Также на графике (рис. 3) видно, что рынок КАСКО колеблется вместе со всем рынком страхования: все пики и спады совпадают, с небольшим смягчением в силу меньшего объема собираемых премий.

В целом, на рынок добровольного автострахования приходится около 25% всего рынка страхования. Однако, для лучшего понимания складывающейся картины, лучше рассмотреть динамику изменений доли суммарных страховых взносов КАСКО в объеме страховых премий всего рынка. Данная динамика представлена на следующем графике (рис. 4).

Рис. 4. Поквартальная динамика доли КАСКО на рынке страхования по объемам собираемых страховых премий за период 2008-2012 гг.

На графике видно, что значение доли взносов КАСКО во всем рынке принимает значения от 15% до 35%. Это говорит о важности данного сегмента в страховании. Сейчас большая часть страховых компаний предоставляет услуги добровольного автострахования, а многие страховщики занимаются практически только КАСКО.

1.2 Анализ основополагающих показателей развития рынка КАСКО в России и их динамики

Динамика рынка КАСКО очень сильно зависит от рынка продажи машин, от уровня доходов населения, от экономической ситуации в стране и в мире в целом и многих других факторов. В последние годы страховой рынок активно развивается, хоть количество страховых компаний стабильно падает - происходит концентрация страхового рынка.

С 2004 года число страховщиков на Российском рынке сократилось в 2,5 раза. Самое большое количество отзывов лицензий было в 2004 году: права работать на рынке лишились 233 компании, что составляло 16% всех страховщиков. В основном это сокращение происходит за счет банкротства страховых организаций, из-за отзыва лицензии или в связи с поглощением крупной компании маленькой страховой фирмы или в связи с объединением двух и более страховых организаций.

Также сокращение численности российских страховых компаний связано с ужесточением требований к минимальному размеру уставного капитала, борьбой надзорных органов и ужесточением конкуренции на рынке [30].

На протяжении 2005 года количество страховых компаний на рынке сократилось более чем на четверть. А в конце указанного года были введены правила размещения активов, принимаемых на покрытие страховых резервов, и собственных средств. За счет этого к первому кварталу 2006 года страховой рынок не досчитался пары сотен страховых компаний.

В следующей таблице приведены данные по количеству страховых компаний на рынке страхования за период с 2002 по 2012 год на конец года (табл. 2).

Таблица 2 Данные по численности страховых компаний на рынке на конец года за период с 2002 по 2012 гг.

С каждым годом убыточность по автострахованию растет, что связано с неспособностью страховых компаний покрывать свои убытки. Многие компании признают себя банкротами и вынуждены закрыться, у многих компаний отзывают лицензию. В свете ужесточенной конкуренции на рынке добровольного автострахования все более важной становится проблема построения адекватных, статистически и математически обоснованных тарифов.

Деятельность страховщика можно описать в виде системы вход-выход, в которой текущий капитал возрастает за счет заработанной премии и инвестиционного дохода и убывает за счет страховых выплат и операционных расходов. Существуют математические методы вычисления величины премии на основе распределения убытков. Актуарный аспект вычисления премии состоит в определении величины минимальной премии, достаточной для возмещения выплат и обеспечивающей баланс текущего капитала, при котором портфель можно считать устойчивым.

2.1 Структура страховых премий и основные методы расчета тарифов в добровольном автостраховании

Страховая премия (в актуарных расчетах «брутто-премия») - это денежная сумма, которую страхователь обязан уплатить страховщику за страховую защиту передаваемого объекта страхования от характерных рисков [48]. В добровольном автостраховании страховая премия определяется договором страхования, исходя из страхового тарифа для данного объекта страхования - страховой суммы, срока страхования и других факторов.

Страховая премия (брутто-премия) по своей структуре равна сумме нетто-премии, предназначенной для формирования страховых резервов и осуществления страховых выплат, и нагрузки, обеспечивающей поступление средств для сопровождения процесса страхования и получения прибыли страховой компанией. Нетто-премия в свою очередь состоит из рисковой премии и рисковой нагрузки.

Брутто-премия равна произведению страхового тарифа (брутто-ставки) на страховую сумму данного риска согласно договору страхования. Объём собранных страховых премий от всех функционирующих страховщиков - один из важнейших показателей состояния страхового рынка.

Нагрузка - это часть страховой премии, поступающая в полное распоряжение страховщика и предназначенная на финансирование самого процесса страхования и формирование прибыли. Нагрузка на ведение дела и прибыль состоит из расходов на ведение дела, куда входят организационные, аквизиционные, инкассационные, ликвидационные и административные расходы; специальные резервные фонды - резерв предупредительных мероприятий и фонд прибыли для выплаты дивидендов акционерам [4]. Как правило, нагрузка составляет фиксированный процент от брутто-премии:

,

А брутто-премия связанна с нетто-премий следующим соотношением:

,

В каждом виде страхования страховые премии рассчитываются разными методами. Как было отмечено выше, сегмент добровольного автострахования нуждается в качественном расчете страховых тарифов для минимизации растущей убыточности.

Бюльман [Bьhlmann, 1985] описал вычисление премии по схеме «сверху вниз». При этом подходе сначала вычисляется премия, необходимая для портфеля в целом. Затем премия распределяется между договорами страхования некоторым «справедливым» образом. Для определения минимальной ежегодной премии используется вероятность разорения. В результате получается показательная премия, параметры которой определяются заданными максимальной допустимой вероятность разорения и начальным капиталом. Предполагая, что лицам, внесшим начальный капитал, необходимо выплачивать ежегодные дивиденды и что премия должны быть настолько малой, насколько это возможно, для того, чтобы обладать конкурентоспособностью, можно вычислить оптимальный начальный капитал.

При страховании определенного портфеля рисков создается капитал U, который возрастает за счет собираемых премий c и убывает при наступлении страховых выплат S. В модели разорения с дискретным временем выполняются следующие равенства [20]:

,

Разорение наступает, если при некоторомt. Предполагается, что годовые суммарные выплаты независимы и имеют одинаковые сложные пуассоновские распределения. В основе данного метода лежит следующий вопрос: каковы должны быть начальный капитал и премии , чтобы с большой вероятностью не наступало разорение?

Вероятность разорения ограничена сверху величиной , где R - коэффициент Лундберга, который является корнем уравнения. Если установить верхнюю границу вероятности разорения равной , то . Следовательно, обеспечивается вероятность разорения не более , выбирая премию c в виде:

,

Коэффициент Лундберга можно интерпретировать как меру несклонности к риску: для функции полезности с коэффициентом несклонности к риску значение премии, сохраняющее полезность, равно .

Для такой премии характеристическим является следующее свойство: назначение этой премии для каждого договора соответствует «правильной» премии для S в целом. Если выплаты по договору j независимы, то [20]:

,

Другой принцип расчета премии, принцип дисперсии, обеспечивает аддитивность премии в том же смысле. Основанная на этом принципе премия при фиксированном параметре определяется выражением:

,

Увеличение коэффициента в два раза уменьшает вероятность разорения с до . Эту премию можно получить как приближение показательной премии, ограничиваясь двумя членами в разложении функции в ряд Тейлора и считая R малым:

,

При уменьшении начального капитала в два раза для сохранения неизменной вероятности разорения необходимо вдвое увеличить коэффициент рисковой надбавки.

Можно рассмотреть модель разорения с дискретным временем еще с одной стороны и ответить на следующий вопрос: каким должен быть начальный капитал u, если премия c расходуется также на ежегодные выплаты дивидендов акционерам, внесшим средства на формирование этого начального капитала? Премия по портфелю в целом, если принимать в расчет дивиденды, равна:

,

Капитал u подбирается из соображений конкурентоспособности премии, т.е. ее стараются сделать по возможности меньше. Приравнивая производную к нулю, видно, что минимум достигается при . Подставляя это в формулу для , можно обнаружить, что оптимальной является премия, вычисленная по принципу стандартного отклонения:

,

С ростом i капитал u убывает, но iu возрастает. В точке оптимума размер надбавки совпадает с величиной дивидендов iu.

Наконец, необходимо вычислить размер премии по отдельному договору страхования. Для этого нельзя использовать надбавку, пропорциональную стандартному отклонению. Поскольку сумма премий для независимых рисков не равна премии для суммы рисков, портфель при таком подходе окажется несбалансированным: при добавлении нового контракта общая премия по портфелю перестает удовлетворять необходимым требованиям. С другой стороны, премия, основанная на принципе дисперсии, является аддитивной, ровно как показательная премия и нетто-премия. Поэтому часто встречается следующая рекомендация по вычислению премии [20]:

1) Вычислить оптимальный начальный капитал для

2) Распределить суммарную премию по портфелю по отдельным рискам следующим образом:

,

Необходимо отметить, что при использовании принципа дисперсии в модели с дивидендами коэффициент рисковой надбавки вдвое превышает аналогичный показатель для случая, когда дивиденды не выплачиваются. Суммарные дивиденды и вклад в ожидаемый прирост капитала, необходимый для того, чтобы избежать разорения, распределяются по договорам аналогичным образом.

Существуют различные принципы расчета премий [23]:

Ч Принцип расчета нетто-премий: . Этот принцип также называется принципом эквивалентности; эта премия является достаточной только для риск-нейтрального страховщика.

Ч Принцип математического ожидания. Соответствующая премия: . Здесь рисковая надбавка равна, где - параметр.

Ч Принцип дисперсии. Соответствующая премия: . Рисковая надбавка здесь пропорциональна дисперсии , параметр .

Ч Принцип стандартного отклонения. Соответствующая премия: . Здесь также параметр

Ч Показательный принцип. Соответствующая премия: . Параметр называется коэффициентом несклонности к риску.

В следующих двух принципах расчета премии «параметром» является функция. Поэтому они называются группами премий.

Ч Принцип нулевой полезности. Соответствующая премия определяется из формулы . Функция u(x) для лица, принимающего решения, представляет полезность его текущего капитала плюс х. Так, значение u(0) равно полезности текущего капитала, а представляет полезность после того, как за страхование некоторого риска Х назначена премия . Премия, являющаяся решением уравнения равновесия полезности, называется премией нулевой полезности. Любое линейное преобразование функции u приводит к той же премии. Функция u обычно предполагается неубывающей и выпуклой вверх. Соответственно она имеет положительную убывающую предельную полезность. Выбор ведет к показательной полезности; нетто-премия получается при линейной функции u.

Ч Принцип среднего значения. Соответствующая премия . Функция u является выпуклой вниз возрастающей функцией. Нетто-премия и показательная премия являются частными случаями при и , .

Следующие принципы расчета премии имеют в основном теоретическое значение [23]:

Ч Квантильный принцип. Соответствующая премия . Вероятность потерь по договору Х не превышает , .

Ч Принцип максимального убытка. Соответствующая премия . Эта премия возникает в качестве предельного случая из других видов премий.

Ч Принцип Эшера. Соответствующая премия. Здесь h является параметром, . Эта премия совпадает с нетто-премией для риска. Можно заметить, что Y получается из X увеличением больших значений случайной величины X и уменьшением малых.

Желательно, чтобы рассчитанные страховые премии удовлетворяли следующим пяти основным свойствам [21]:

1) Неотрицательность рисковой надбавки: . Премия без надбавки достоверно приведет к разорению.

2) Отсутствие переоценки: . Если случайная величина X является неограниченной, то эта премия бесконечна.

3) Согласованность: при всех c. Если увеличить потери на постоянную величину c, то премия должна увеличиться на ту же величину. Более информативным синонимом согласованности является термин инвариантности относительно сдвигов.

4) Аддитивность: для независимых X, Y. Объединение независимых рисков в один не меняет суммарной премии.