Построение тарифов в автостраховании

Полученные значения статистики по модулю сравниваются с критическим значением t-статистики Стьюдента на уровне значимости 0,05 (в данном случае: 1,96). В случае, если модуль наблюдаемой статистики больше критического значения, гипотеза о незначимости различий в уровнях ряда отвергается, а различия признаются значимыми.

Рассчитанные значения статистики представлены ниже (табл. 13).

Полужирным шрифтом выделены значения статистики, по модулю превышающие критическое на уровне значимости 0,05. Соответствующие пары групп имеют статистически значимые различия в уровнях ряда ущерба. Курсивом выделены значения, превышающие по модулю критическое значение на уровне значимости 0,1. Соответствующие пары групп имеют существенные отличия на уровне значимости 0,1. Что касается оставшихся значений (их 4 штуки) - соответствующие группы не имеют статистически значимых отличий (по крайней мере, на уровне значимости менее 0,1).

В целом, большинство пар групп по возрасту автомобиля имеют статистически значимые различия в средних уровнях ряда, что указывает на хорошее качество разбиения данных на группы, а незначительные различия наблюдаются только в некоторых соседних группах.

2.3 Основные принципы расчета обобщенных линейных моделей как метода построения страховых тарифов в портфеле договоров КАСКО

В эконометрике из статистических процедур чаще других используется множественная линейная регрессия. В статистических задачах актуарной математики возникают ситуации, которые не всегда вписываются в эти рамки. Линейная регрессия подразумевает нормально распределенные возмущения с постоянным разбросом вокруг среднего, которое является линейной функцией вспомогательных переменных.

В актуарных приложениях симметричная нормально распределенная случайная величина с постоянной дисперсией не может служить правильным описанием ситуации. В этих задачах хорошей моделью обычно является распределение Пуассона, если выполняются предположения о пуассоновском процессе. Для таких случайных величин среднее значение и дисперсия совпадают, однако на практике дисперсия обычно превышает среднее значение. Распределение, описывающее размер ущерба, должно иметь тяжелый хвост справа. Моделируемые явления редко бывают аддитивными относительно вспомогательных переменных. Более подходящей представляется мультипликативная модель [20].

Указанные выше сложности можно разрешить, работая не с обычными, а с Обобщенными Линейными Моделями (англ.: Generalised Linear Models). Начало развития теории обобщенной линейной модели было положено еще при зарождении самой математики, однако появление теории алгебраических инвариантов в 1800 годах позволило создать обобщенную линейную модель такой, какая она представлена в литературе сейчас.

Большинство европейских страховых компаний используют обобщенные линейные модели для анализа портфелей. Эти модели используются в Италии, Голландии, Испании, Португалии, Бельгии, Швейцарии, Южной Африке, Израиле, Австралии и в скандинавских странах. Метод становится популярен в Канаде, Японии, Корее, Бразилии, Сингапуре, Малайзии и странах восточной Европы.

Обобщенные линейные модели были сформулированы Джоном Нелдера и Робертом Веддерберном как способ объединения различных других статистических моделей, в том числе линейной регрессии, логистической регрессии и регрессии Пуассона [29].

Обобщение в рассматриваемых моделях производится в двух направлениях. Во-первых, допускается не только нормальное распределение случайных отклонений от среднего. Можно выбрать произвольное распределение из экспоненциального семейства, в которое, кроме нормального распределения, входят также распределение Пуассона, (отрицательное) биномиальное распределение, Гамма-распределение и обратное нормальное распределение. Во-вторых, среднее значение случайной величины не обязано быть линейной функцией средних значений объясняющих переменных, достаточно линейности в некотором масштабе [28].

Таким образом, основными преимуществами обобщенных линейных моделей по сравнению с традиционными методами являются следующие особенности анализа:

Ч возможность учёта сложных видов взаимодействия между факторами;

Ч большой выбор вида функции зависимости;

Ч отсутствие требований о нормальности распределения переменной отклика;

Ч статистическое измерение эффекта влияния различных факторов на наблюдаемую величину;

Ч получение информации о достоверности результатов построенной модели.

Обобщенные линейные модели содержат следующие три компоненты [24]:

1. Стохастическая компонента: наблюдения считаются независимыми случайными величинами плотности которых принадлежат показательному дисперсионному семейству.

2. Систематическая компонента модели связывает с каждым наблюдением линейный предиктор который является линейным по параметрам

3. Среднее значение для связано с линейным предиктором функцией связи,

Связь в обобщенной линейной модели предполагает вид:

,

где g -какая-то определенная функция, а - остатки модели, или ошибка предсказания. При этом функция, обратная к g(X), называется функцией связи.

,

В матричной форме уравнение модели можно записать в следующем виде:

,

В зависимости от предполагаемого распределения, можно выбрать различные функции связи [22]. Для нормального распределения, Гамма-распределения, обратного нормального распределения и распределения Пуассона представлены следующие функции связи:

1. Тождественная связь: ;

2. Логарифмическая связь: ;

3. Степенная связь: для заданного .

Для биномиального распределения и порядкового полиномиального распределения существуют следующие функции связи:

1. Логит-связь: ;

2. Пробит-связь: , где - обратная функция стандартной нормальной кумулятивной функции распределения;

3. Лог-лог связь:

4. Дополнительная лог-лог связь: .

Для полиномиального распределения функцией связи служит обобщенная логит-связь:

,

где модель имеет категории.

Параметры обобщенной линейной модели , а также параметр масштаба оцениваются с помощью метода максимального правдоподобия, в котором используется итеративная процедура. Существует множество итеративных методов оценивания методом максимального правдоподобия, среди которых наиболее часто используемыми следует признать методы Ньютона-Рапсона и Фишера (или итеративный взвешенный метод наименьших квадратов) [26].

В силу того, что рассматриваемый фактор ущерба имеет Гамма-распределение, выбирается логарифмическая функция связи:

,

Тогда модель можно записать в следующем виде:

,

,

Суть расчета страховых тарифов состоит в определении минимальной ставки, достаточной для возмещения выплат. При этом некоторые договора остаются безубыточными, т.е. по ним платится премия страховой компании, но последняя не производит выплаты. Некоторым же страхователям выплачивается страховое возмещение суммой, достигающей страховое покрытие. В связи с этим, в рисковом страховании крайне важно определить такие страховые премии, которые смогут покрыть неизвестные на момент получения премии убытки.

Первичный анализ данных по ущербу в портфеле договоров автострахования крупной страховой компании показал неоднородность страхового портфеля, существенную правостороннюю асимметрию распределения ущерба по договору страхования КАСКО и наличие у распределения тяжелого правого хвоста. Проверка на соответствие Гамма-распределению показала, что его можно использовать далее при построении моделей для расчета тарифных сеток в третьей главе, что предпочтительно в актуарных моделях такого рода.

Далее дано обоснование выбранных для анализа факторов, влияющих на убыточность и суммы ущерба по договорам страхования. По выбранным факторам проведено разделение на группы и проверено их статистическая значимость с помощью F-критерия Фишера. Все разбиения оказались значимыми на уровне значимости гораздо меньше 0,05, что говорит о приемлемом качестве разбиения. По графикам средних уровней зависимой переменной замечено, что во всех разделениях на группы интервальные оценки среднего уровня практически не пересекаются.

В качестве одного из ведущих методов построения тарифов в рисковом страховании рассмотрены обобщенные линейные модели, их главные преимущества в актуарном анализе. В аналитическом виде представлена модель с Гамма-распределением зависимой переменной и логарифмической функцией связи. Рассмотренная модель далее будет использована в третьей главе для построения страховых тарифов.

Глава 3. Построение страховых тарифов в портфеле договоров автострахования КАСКО с использованием обобщенных линейных моделей

Минимальное количество страховых случаев приходится на группу шестилетних автомобилей со страховым покрытием от 1,7 до 1,8 млн. рублей.

Средние убытки по группам возраста и страхового покрытия автомобиля приведены в табл.15.

Можно обратить внимание, что минимальное значение среднего ущерба (16 628 рублей) соответствует первой группе по страховому покрытию и второй группе по возрасту автомобиля, т.е. для автомобилей со страховым покрытием от 100 до 200 тысяч рублей, и которые находятся в эксплуатации один год.

Максимальное значение среднего ущерба (177 717 рублей) относится к последней группе по возрасту автомобиля и предпоследней группе по страховому покрытию. Это автомобили возраста от 7 до 10 лет и со страховым покрытием от 1,7 до 1,8 млн. рублей.

Таблица 15 Исходные средние выплаты по классам страхового покрытия и возраста ТС