Феномены Солнца в исторической перспективе

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ КРИОСФЕРЫ ЗЕМЛИ

И.И. Смульский

ФЕНОМЕНЫ СОЛНЦА В ИСТОРИЧЕСКОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ

Тюмень 2016

Реферат: В работе рассмотрена теория явлений, связанных с прохождением Солнца на небе при изменении параметров орбитальном и вращательном движении Земли. Автором установлено, что изменение угла наклона экватора к эклиптике происходят от 14.8° до 32.1°. Эти результаты объясняют колебания палеоклимата, а также согласуются с рядом свидетельств палеоастрономии. Для расчета длительности солнечных суток, уравнения времени, долготы светового дня, азимутов суточного движения Солнца, его восходов и заходов, длины и азимута тени гномона, длительности полярных дней и ночей, сезонов года и других явлений разработана программа в среде MathCad. С ее помощью выполнены расчеты феноменов Солнца в современную эпоху и в 4 экстремальных эпохи на интервале 50 тыс. лет назад. Работа представляет интерес для широкого круга специалистов в области наук о Земле и может использоваться студентами при выполнении курсовых и дипломных работ.

Ключевые слова: изменение параметров, орбита, ось Земли, долгота дня, полярная ночь

The paper considers the theory of the phenomena associated with the Sun's passage in the sky when the parameters of the orbital and rotational motion of the Earth are changing. The author found that the obliquity changes from 14.8° to 32.1°. These results explain the variations of paleoclimate and are consistent with several testimonies of paleoastronomy. The program developed in MathCad to calculate the duration of solar day, equation of time, daylight, azimuths of the daily movement of the Sun, sunrises and sunsets, the length and azimuth of the gnomon shadow, duration of the polar days and nights, of seasons and other phenomena. The phenomena of the Sun in the contemporary epoch and in 4 extreme epochs in the interval of 50 thousand years ago are calculated. The work is of interest to a wide range of specialists in the field of Earth Sciences and can be used by students when doing term papers and dissertations.

Key Words: Changing parameters, orbit, the Earth's axis, duration, day, polar night, gnomon

1. Введение

Новые решения задачи об эволюции вращательного движения Земли [1] - [2] показали, что ось вращения Земли совершает значительные колебания [3] - [4]. На рис. 1 линией 1 показано, что новые изменения угла наклона е (угол между плоскостями экватора Земли и ее орбиты) происходят от 14.8° до 32.1° при современном его значении 23.4°. В то же время по прежним теориям, например [5] (см. рис. 1, линия 2) угол е изменялся от 22.21° до 24.43°. На рис. 1 показана эволюция угла наклона е за прошедшие 200 тыс. лет. Примерно такой же диапазон изменения е получен при решении задачи за будущие 200 тыс. лет [3]. Из приведенных значений видно, что диапазон колебания угла наклона по новым решениям в 7-8 раз больше, чем по прежним теориям.

Рис. 1. Эволюция угла наклона е (в радианах) экватора Земли к плоскости ее орбиты за 200 тыс. лет в прошлое. Сравнение новых результатов 1 с результатами прежних теорий 2 на примере работы Дж. Ляскара и др. [5]. В градусах приведены максимальные и минимальные значения угла е.

феномен солнце земля эпоха

Эти результаты на протяжении нескольких лет проверялись. Задача была решена еще тремя другими методами [4]. Результаты не изменились. Кроме того, полученные в этой задаче изменения параметров вращательного движения Земли на интервале нескольких тысяч лет, для которых имеются наблюдения, совпали с данными наблюдений.

Как видно из рис. 1, новые решения 1 отличаются от прежних 2 не только амплитудами колебания, но и моментами наступления экстремумов. Эти отличия в эволюции угла наклона е приводят к таким же существенным отличиям в эволюции инсоляции Земли [3] ? [4]. При сопоставлении нового изменения инсоляции за прошедшие 50 тыс. лет с палеоклиматом было установлено [6], что оно объясняет все известные его колебания: суровый ледниковый период 46 тыс. лет назад, сильное потепления 31 тыс. лет назад, последний ледниковый период 16 тыс. лет назад и небольшое потепления 4 тыс. лет назад.

Существуют свидетельства, что угол наклона е изменялся более существенно, чем это следует из прежних теорий. Например, М. И. Исрапилов [7] исследовал сотни древних календарей в Дагестане. Он пришел к выводу, что угол наклона е изменялся от 19-20° до 32-33°. Возраст датировки календарей у него доходит до 65 тыс. лет. Б. Г. Тилак [8] исследовал тексты Вед, Бхагавад-Гиты, Авесты и др. древних источников. В них используются характеристики полярной области, как будто древние арии обитали в ней. Это можно объяснить только большими углами наклона е. В этом случае полярный круг проходит южнее современного и, дополнительно, на этих широтах становится теплее. Тем самым создаются необходимые для жизни человека условия в полярной области.

Ряд календарей в Дагестане М. И. Исрапилов [7] называет обсерваториями, т.к. они позволяли определять моменты наступления лунных и солнечных затмений. Таких обсерваторий найдено достаточно много, в том числе Стоунхендж в Англии [9] и Ales Stones на юге Швеции [10]. Многие из них, в том числе последние, ориентированы по азимуту восхода Солнца в дни летнего и зимнего солнцестояния. Такие обсерватории и календари называют азимутальными. В зенитных обсерваториях и календарях [7] объекты ориентированы так, чтобы можно было фиксировать зенитные углы солнцестояний, равноденствий и других моментов, важных для хозяйственной деятельности человека. В календарях третьего вида, которые были распространены на Алтае и в Сибири [11], календари выполнялись в виде жезлов, пластин, фигур животных и даже женских украшений. На них насечками или другим способом отмечены дни года и моменты наступления различных феноменов Луны и Солнца. По этим календарям можно определить продолжительность интервалов между днями равноденствий и солнцестояний, а также временные характеристики других астрономических явлений.

Характеристики календарей зависят от параметров орбитального и вращательного движения Земли, а также от широты места нахождения календаря. Однако зависимость эта сложна и не очевидна. Для понимания механизма функционирования календаря и его расшифровки необходимо использовать теорию солнечных явлений. Имеющееся в астрономии описание этих феноменов достаточно сложное. Оно не позволяет исследователям древних календарей оперативно рассчитывать условия применительно к рассматриваемому календарю и подбирать различные варианты параметров, от которых зависят зафиксированные календарем явления.

Целью настоящей работы является создание такой теории. В отличие от существующей таковой в астрономии, в ней используется другой алгоритм определения долгот Солнца при его годовом движении. Кроме того, все математические операции алгоритмизированы и представлены в виде программы SunPhnmen.mcd в среде MathCad. Для ориентировки исследователей древних календарей рассчитаны солнечные феномены при современных и при отличающихся от современных параметрах орбитального и вращательного движения Земли. Они взяты для четырех экстремумов е за последние 50 тыс. лет (см. рис. 1): T = 2.8; 15.32; 31 и 46.44 тыс. лет назад.

2. Геометрические характеристики движения Солнца по небосводу

2.1 Движение Солнца в течение года

Рассмотрим положение Солнца S над точкой М земной поверхности (рис. 2). Плоскость горизонта в т. М на небесной сфере 1 нанесена горизонтальным кругом HH. Перпендикуляр к плоскости HH пересекает поверхность небесной сферы 1 в точке зенита Z. Солнце S совершает вокруг Земли годовое движение по орбите, которая проектируется на небесную сферу в виде круга эклиптики EE. Движение происходит против стрелки часов с началом отсчета долготы Солнца в точке весеннего равноденствия . В этой точке Солнце находится в плоскости экватора AA, когда из южного полушария переходит в северное.

Видимое орбитальное движение Солнца вокруг Земли обусловлено неравномерным движением Земли вокруг Солнца по орбите, которая является эллипсом. Относительно неподвижных звезд период движения по орбите P_sd = 365.25636042 дней. Он называется сидерическим годом. В работах [12]-[13] представлен алгоритм расчета долгот Солнца л_j1, где j1 = 1, 2, …, 365, по дням года T_d,,j1 = 1, 2,…, 365. Отсчет дней начинается от момента весеннего равноденствия, т.е. j1 = 0 соответствует моменту равноденствия. Этот алгоритм основан на точном решении задачи двух тел [14]- [15]. Задача движения Земли относительно Солнца рассматривается в полярной системе координат (r, _o), где r - расстояние Земли от Солнца, а _o - угловое положение Земли на орбите относительно перигелия орбиты. Время t_fp движения Земли по орбите от точки перигелия до точки ее нахождения с углом _o рассчитывается по формуле

tfp = tfp при _o и tfp = 2ta - tfp при < _o 2, (1)

где

, (2)

- радиус перигелия;

v_p - скорость Земли в перигелии.

- параметр траектории;

?₁ = - G(M+m) - параметр взаимодействия; 1

G - гравитационная постоянная;

M - масса Солнца;

m - масса Земли;

- время движения от перигелия до афелия, которое следует из (2) при _o = . Здесь используется параметр траектории б1, так как он известен при постановке задачи, а эксцентриситет орбиты e определяется в результате решения задачи двух тел. Для гравитационного взаимодействия эти параметры однозначно связаны: e = - (1 + ₁)/₁.

Рис. 2. Основные геометрические характеристики Солнца S и наблюдателя M на земной поверхности.

Характеристики небесной сферы 1: AA - плоскость подвижного экватора; ЕЕ - плоскость подвижной эклиптики, а - угол между плоскостями AA и ЕЕ; N - северный полюс; Характеристики плоскости горизонта НН: дуга NrdN = - географическая широта точки M на плоскости горизонта; Z - зенит точки M; Nrd, Est, Sth и Wst - точки Севера, Востока, Юга и Запада, соответственно, на круге горизонта НН. Характеристики годового движения Солнца по кругу эклиптики ЕЕ: = SB - склонение Солнца; = S - долгота Солнца; точки , Е, и Е - точки нахождения Солнца в дни весеннего равноденствия, летнего солнцестояния, осеннего равноденствия и зимнего солнцестояния, соответственно; SS1 - путь Солнца за одни солнечные сутки. Характеристики суточного движения Солнца по кругу SrMdSsMn: точки Sr, Md, Ss и Mn положения центра Солнца в моменты восхода, полудня, захода и полуночи, соответственно; z = ZMS - зенитный угол Солнца; щ = ZNS - часовой угол Солнца, отсчитываемый от полудня.

Этот алгоритм отличается от традиционного, основанного на уравнении Кеплера. Он, как уже отмечалось, базируется на точном решении задачи двух тел и является более простым в использовании. Программа Insl2bd.mcd в среде MathCad для расчета долгот л_j1 и других характеристик инсоляции Земли имеется в свободном доступе: http://www.ikz.ru/~smulski//Data/Insol/. Алгоритм для определения долгот л_j1 включен в пункты 3-5 программы SunPhnmen.mcd расчета феноменов Солнца, которая представлена в Приложении.

Как уже отмечалось, формулами (1) - (2) определяется время движения Земли от точки положения ее перигелия P_E (см. рис. 2). Перигелий относительно восходящего узла определяется углом ц_p. Относительно Земли Солнце движется по той же орбите, но его перигей P_S сдвинут на 180°, т.е. угол перигея Солнца н = ц_p + р. Так как долгота Солнца , также отсчитывается от восходящего узла (см. рис. 2), то полярный угол ц_o в формулах (1) - (2) выразится через долготу так:

ц_o = ? н = ? ц_p ?р (3)

Итак, формулами (1) - (3) определяется время годового движения Солнца по небесной сфере, т.е. по эклиптике EE', в зависимости от его долготы .

Эксцентриситет орбиты e, угол перигелия ц_p и угол наклона орбиты е к экватору изменяются со временем. Они определяются в результате решения двух задач об орбитальном и вращательном движении Земли. В рассматриваемых программах в среде MathCad эти параметры в зависимости от времени T, считываются из файла, например, файла OrAl-200.prn - за 200 тысяч лет назад (т.л.н.).

Положение Солнца S (рис. 2) на эклиптике EE' известно в любой момент времени t. А угловое расстояние Солнца SB от экватора, т.е. угол cклонения д, определяется известным в астрономии выражением

= arcsin (sin sin ). (4)

Вывод выражения (4) имеется в работах [12]-[13]. Отметим, что все используемые в настоящей работе формулы выведены нами. Многие из них известны в астрономии. Однако необходимо осуществлять их вывод по-новому, чтобы быть уверенным в возможности их использования при измененных параметрах орбитального и вращательного движения Земли.

Если в формулу (4) подставить л = л_j1, то мы получим склонение _j1 для каждого дня года. В этой формуле и в последующих, с целью упрощения изложения, индекс j1 опускаем. Координатами л и полностью определяется годовое движение Солнца по небосводу. В дальнейшем потребуется угловое расстояние Солнца B (рис. 2) на экваторе AA, которое известно в астрономии как прямое восхождение б_S. Здесь индекс S, обозначающий Солнце, введен для отличия при обозначении значком б других параметров.

В сферическом прямоугольном треугольнике SB известны углы: B = р/2; г = е и две стороны: S = л, BS = д. Согласно преобразованиям сферической тригонометрии, например, формулы (1.1.013) в работе [16] можем записать для неизвестной стороны B = б_S:

sinб_S = tgд·ctgе.

После подстановки в это выражение д из (4) получаем прямое восхождения Солнца в следующем виде:

(5)

б_S = б_S0 при л ? 0.5р; б_S = р ? б_S0 при 0.5р < л ? 1.5р; б_S = 2р + б_S0 при л > 1.5р.

В формулу (5) входит долгота Солнца л, которая изменяется от 0 до 2р. Так как функция arcsin многозначна, то на интервалах л больших р/2 необходимо выбирать нужные значения по представленному алгоритму.

Плоскости экватора AA и эклиптики EE изменяются в пространстве, вследствие чего точка весеннего равноденствия по часовой стрелке перемещается по эклиптике за год на 50.25641. Как уже отмечалось, годовое движение Солнца проходит по кругу эклиптики EE против часовой стрелки, что отражается изменением долготы , начиная от точки весеннего равноденствия . Поэтому время прохождения Солнцем двух последовательных точек весеннего равноденствия, т.е. тропический год P_tr = 365.24219879 дней, меньше сидерического года P_sd. Для того, чтобы сезоны года не смещались по датам, современный календарь основан на тропическом годе.

Солнце S при годовом движении по эклиптике EE' (см. рис. 2) в момент весеннего равноденствия находится в т. ( = 0), а в день летнего солнцестояния Солнце проходит т. E' ( = р/2), в момент осеннего равноденствия находится в т. ' ( = р), а в день зимнего солнцестояния проходит т. E ( = 3р/2). В п. 8 программы SunPhnmen.mcd вычислены моменты в днях прохождения точек лета T_dsm, осени T_dau и зимы T_dwn. Точку весеннего равноденствия, как уже отмечалось, Солнце проходит в момент T_dsp = 0. Так как ряд долгот _j1 расположен по целочисленному ряду дней T_d,j1, то эти расчеты проводятся интерполяцией по соседним значением долгот. Продолжительности сезонов: весны, лета, осени и зимы рассчитываются по разностям этих моментов, соответственно:

ДT_dsp = T_dsm ? T_dsp; ДT_dsm = T_dau ? T_dsm; ДT_dau = T_dwn ? T_dau; ДT_dwn = P_tr ? T_dwn. (6)

Результаты расчетов моментов наступления сезонов и их длительностей, согласно (6), приведены в табл. 1 для пяти эпох. Как уже отмечалось, четыре эпохи выбраны в моменты наступления экстремумов угла наклона е. Как видно из табл. 1 величина е изменяется от 0.25841 до 0.55875 в радианах, или от 14.8° до 32.1° в градусах. В современную эпоху (T = 0) наибольшую длительность имеет лето (ДT_dsm= 93.654 дня), а наименьшую - зима (ДT_dwn = 88.981 дня). В эпоху T = 2.8 т.л.н лето имеет еще большую длительность, а наименьшую - осень. В эпоху T = 15.32 т.л.н лето имеет наименьшую длительность, а наибольшую - осень. Аналогичные изменения длительности сезонов происходят в остальные эпохи. Однако эти изменения не очень большие и не превышают 6 дней.

В таблице 1 приведены длительности сезонов для северного полушария. Эти данные применимы и для южного полушария, если весну заменить осенью, а лето - зимой. Следует отметить, что приведенные в табл. 1 длительности сезонов для современной эпохи (T = 0) совпадают с известными в астрономии.

Таблица 1. Количество дней до начала сезонов в Северном полушарии и их продолжительность в эпохи T наступления экстремумов угла наклона : T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

№	T		Tdsm	Tdau	Tdwn	ДTdsp	ДTdsm	ДTdau	ДTdwn
1	0	0.40916	92.770	186.425	276.261	92.770	93.654	89.837	88.981
2	-2.8	0.41343	94.226	186.029	274.484	94.226	91.803	88.454	90.759
3	-15.32	0.33237	88.484	181.276	275.458	88.484	92.792	94.183	89.784
4	-31	0.55875	91.191	179.887	271.280	91.191	88.697	91.393	93.962
5	-46.44	0.25841	92.806	185.831	275.649	92.806	93.026	89.818	89.593

2.2 Суточное движение Солнца

Земля совместно с наблюдателем M (см. рис. 2), кругом горизонта HH и меридианом NZEM_dA вращается вокруг оси вращения Земли MN, с угловой скоростью . Вращение происходит против часовой стрелки. Поэтому Солнце относительно Земли и, в частности, относительно круга горизонта HH по часовой стрелке перемещается по кругу S_rM_dS_s параллельно экватору AA. В точке S_r оно восходит над горизонтом HH, в точке M_d находится в полдень, а в точке S_s заходит за горизонт, а в точке M_n находится в полночь. Часовой угол щ Солнца S отсчитывается от меридиана NZEM_dA, проходящего через точку полдня M_d. Часовой угол щ равняется дуге AB на круге экватора AA. Угловое расстояние Солнца от зенита Z определяется дугой ZS = z, где z называется зенитным углом.

В сферическом треугольнике NZS известны две стороны: NZ = р/2 - ц; NS = р/2 - д и угол N = щ между ними. Тогда по теореме косинусов [16] cos ZS = cos NZ·cos NS + sin NZ·sinц NS·cos N он запишется в следующем виде [12]-[13]:

cos z = sinд·sinц + cosд·cosц·cosщ. (7)

Зенитный угол z отсчитывается от точки зенита Z против часовой стрелки. В точке восхода S_r он равен: z = ?р/2, в точке захода S_s угол z = р/2. При этих углах из выражения (7) определяется часовой угол заходов и восходов Солнца.

щ₀ = ±arcos(-tgц·tgд). (8)

В представленном на рис. 2 положении наблюдателя M и Солнца S длительность дня больше длительности ночи. При нахождении Солнца S в полдень в точке E длительность дня будет наибольшая. Это точка летнего солнцестояния, по-другому, летнего солнцеворота. До этого момента Солнце каждый день приближалось к зениту Z, а в последующие дни оно будет удаляться от зенита. При нахождении Солнца S в точке E наибольшей будет длительность ночи. Это точка зимнего солнцестояния. А при нахождении Солнца S в точках или его суточное перемещение будет происходить по кругу экватора AA. Этот круг пересекает круг горизонта HH по его диаметру, поэтому время нахождения Солнца над горизонтом и под ним одинаково, т.е. длительность дня равна длительности ночи.

Если наблюдатель в точке M на рис. 2 будет находиться на большей широте, т.е. дуга N_rdN будет больше, то окружность SM_d не пересечет круг горизонта HH. В этом случае для наблюдателя M наступит полярный день. При нахождении Солнца S в южном полушарии вблизи т. E круг его суточного движения также не пересечет линию горизонта HH. В этом примере широты для наблюдателя в точке M наступит полярная ночь.

3. Длительность солнечных суток

Длительность солнечных суток T_sd определяется периодом прохождения Солнца через точку полдня M_d (рис. 2). За время T_sd Солнце S по эклиптике EE переместится в точку S₁ с прямым восхождением б_s1 = гB₁, которое определяется формулой (5). В связи с этим полдень наступит при часовом угле щ_sd0 < 2р на величину Дб₀ = б_S1 ? б_S, т.е. часовой угол солнечных суток будет

щ_sб0 = 2р ? Дб_0. (9)

Как следует из (5) величина Дб_0,j1 определяется разностью долгот Солнца л_j1 за два соседних дня. Величина Дл_j1 изменяется по двум причинам: из-за неравномерного движения Солнца по эллиптической орбите и из-за наклона орбиты под углом е к плоскости экватора. Из-за наклона одинаковые дуги SS₁ на круге эклиптики EE проектируются в неодинаковые дуги BB₁ на круге экватора AA. Разность прямых восхождений за два соседних дня запишем в виде:

Дб_0,j1 = б_s,j1 ? б_s,j1?1.

Найдем среднюю за год разность прямых восхождений

. (10)

Тогда по отношению к средней величине Дб_m разность долгот за солнечные сутки будет Дб = Дб₀ - Дб_m и часовой угол солнечных суток запишется

щ_sd = 2р - (Дб₀ ? Дб_m). (11)

А длительность солнечного дня в часах будет иметь вид:

(12)

где 24/2р - коэффициент преобразования дуги, измеряемой в радианах, в часы.

Нетрудно убедиться, что средняя за год длительность солнечных суток, согласно (12), T_sdm = 24 часа. Тогда отклонение длительности солнечных суток в минутах от средних составляет

ДT_sd = 60(T_sd ? 24). (13)

Приведем некоторые значения для 2015 года. Отклонение солнечных суток от средних в день весеннего равноденствия j₁ = 1 будет ДT_sd = 0.297 мин, наибольшее значение ДT_sd = 0.358 минуты при j₁ = 181, и наименьший солнечный день при j₁ = 278: ДT_sd = -0.497 минуты. В современной цивилизации счет времени m происходит по средним солнечным суткам T_sdm. Они делятся на 24 часа, 1 час состоит из 60 минут, а минута - из 60 секунд. За счет отклонения ДT_sd солнечных суток от средних T_sdm накапливается отличие з₀ солнечного времени от среднего. Последовательное суммирование отклонений запишем в виде

з_0,j1 = з_0,j1?1 + ДT_sd,j1?1. (14)

Найдем среднее отклонение за год

. (15)

Средняя величина отклонения образуется при счете времени по средним солнечным суткам. Тогда отклонения солнечного времени от среднего солнечного времени будет

з_j1 = з_0,j1 - з_om. (16)

Величина з в астрономии называется уравнением времени. Поэтому истинное солнечное время m_a в часах будет выражаться через среднее солнечное время m так:

m_a = m+з, (17)

где m - отсчитывается от полуночи.

График для уравнения времени з(T_d) приведен на рис. 3. Отклонения времени з для дня весеннего равноденствия j₁ = 1 равно з = -7.47 мин, наименьшее значение з_mn = -14.25 мин при j₁ = 329, а наибольшее з_mx = 16.43 мин при j₁ = 229. Величины отклонения з не отличаются от известных в астрономии [17]. Отличие имеется в начале отсчета времени T_d в днях: в астрономии дни отсчитываются с 1 января, а на рис. 3 - с момента весеннего равноденствия.

Следует отметить, что по величине отклонения времени з можно также определить отклонение истинных солнечных суток от средних

ДT_sd,j1 = з_j1+1 - з_j1. (18)



Рис. 3. Уравнение времени в современную эпоху 30.12.1949 г.: з - в мин; T_d - в днях от момента весеннего равноденствия.

Клавдий Птолемей использовал равноденственные часы [18]. Как показано выше, весенние равноденственные сутки больше среднесолнечных на ДT_sd = 0.297 мин. Если он и предшествующие ему астрономы использовали равноденственное время, оно может отличаться от среднесолнечного времени на величину порядка 10 минут. Роберт Ньютон [19] обвинил Клавдия Птолемея в искажении моментов древних наблюдений, потому что они не совпадают с современной теорией примерно на такое же количество минут. Как видим, одной из причин несовпадения может быть разная длительность использованных часов времени.

Длительность солнечных суток, согласно (12), определялась разностями долгот л_j1 -л_j1?1 за средние солнечные сутки T_sdm = 24 часа. Был рассчитан скорректированный ряд долгот л_с,j1 по фактической длительности суток T_sd,j1 и повторены расчеты по формулам (9) - (16). Наибольшее отличие скорректированной длительности суток ДT_sdc от ДT_sd равно 0.092 сек при j₁ = 278. Это составляет относительную погрешность отклонения длительности солнечных суток 0.3%. Поэтому алгоритм расчета (9) - (16) для длительности суток T_sd и уравнения времени з можно использовать без коррекции.

На рис. 4 изменение длительности солнечных суток ДT_sd в современную эпоху (T = 0) сопоставлено с этими изменениями в другие четыре эпохи. Как видно время экстремумов ДT_sd примерно совпадает и приходится на моменты равноденствий (T_d ? 0 и T_d ? 180) и солнцестояний (T_d ? 90 и T_d ? 280). При этом изменение длительности солнечных суток происходят в пределах от -0.5 мин до 0.35 мин от средней длительности в 24 часа.

Рис. 4. Отклонение ДT_sd длительности солнечных суток в эпохи T от средних за год в эти же эпохи: ДT_sd - в минутах; T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

Таблица 2. Изменения параметров уравнения времени по эпохам T: T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

T, kyr	з0m	зmx	зmn	Дбm
	мин	радианы
0	7.80093	16.4349	-14.2489	0.0172030
-2.8	7.21693	12.1048	-18.0700	0.0172034
-15.32	-2.54582	11.8227	-14.7360	0.0172024
-31	-4.69624	26.1632	-19.2286	0.0172042
-46.44	6.45078	9.00746	-8.54319	0.0172025

В табл. 2 основные параметры уравнения времени з, представленного на рис. 3 для современной эпохи (T = 0), сопоставлены с таковыми для других четырех эпох. Среднее отклонение з_0m, согласно (15), как видно из табл. 2 изменяется в широких пределах: от -4.7 мин в эпоху 31 т.л.н. до 7.8 мин в современную эпоху. Максимальное отклонение з_mx и минимальное з_mn также изменяются в 2-3 раза. В то же время средняя разность прямых восхождений Дб_m за одни сутки, согласно (10), остается неизменной Дб_m = 0.0172. Это является следствием неизменности периодов орбитального и вращательного движения Земли.

На рис. 2 мы рассматривали вращения Земли со средней угловой скоростью . Угловая скорость Земли имеет свои независимые колебания [4], [20], но их амплитуда на три порядка меньше амплитуды изменения солнечных суток. Поэтому колебания угловой скорости вращения Земли здесь не учитываются.

4. Долгота светового дня

4.1. Долгота светового дня в течение года

Длительность светового дня, или долгота дня D₀ в часах определяется (см. рис. 2) суммой часовых углов щ₀ восходов и заходов центра Солнца (8):

D₀ = (24/2р)·2щ₀ =(24/р)·щ₀. (19)

Так как часовой угол щ₀ отсчитывается до центра Солнца, то величина D₀ определяет длительность нахождения над горизонтом HH центра Солнца. Световой день начинается с появления края Солнца и заканчивается с опусканием его за горизонт. Кроме того, из-за уменьшения плотности атмосферы с высотой происходит преломление (рефракция) светового луча так, что Солнце видно на угол с₉₀ под горизонтом. В общем случае для наблюдаемых на небе объектов отклонение с₉₀ при зенитном угле z = 90°, или рефракция, зависит от ряда факторов, которыми для Солнца можно пренебречь. Поэтому в астрономии рефракция принята постоянной и равно с₉₀ = 34' [17].

На рис. 2 часовой угол z показан между центром Солнца и зенитом Z наблюдателя M, находящегося на поверхности Земли. А формулой (7) угол z определяется от центра Земли. Угол p, под которым расстояние наблюдателя от центра Земли видно с Солнца, называется его параллаксом. На угол p необходимо уменьшить рассчитанную по (7) величину зенитного угла. Наибольшая величина параллакса p не превышает 8''.8 [17]. Эта величина в 230 раз меньше величины рефракции с₉₀, поэтому параллаксом можно пренебречь.

Рис. 5. Угол и_ob видимого положения Солнца S_ob при движении наблюдателя M со скоростью и угол и действительного положения солнца S.

Имеется еще один источник искажения положения Солнца на небосводе (см. рис. 5), который обусловлен движением наблюдателя M относительно Солнца S со скоростью . Это явление называется аберрацией света.

При движении наблюдателя относительно источника света S происходят изменения всех характеристик света. Точное выражение для измененных характеристик света приведено в работе [21]. При скорости движения v, значительно меньшей скорости света c для угла смещения источника справедливо выражение

у = в·sinи_ob, (20)

где в = v/c

Истинное положение источника S отличается от наблюдаемого положения S_ob на угол у. Упрощенно, как это принято в астрономии [17], можно рассмотреть движение наблюдателя M относительно Солнца за счет суточного вращения Земли v_rt и за счет ее орбитального движения (v_or) относительно Солнца. При суточном вращении в точках восхода и захода Солнцf углы и между ним и скоростью v_rt близки к 0 и р. Поэтому, согласно (20), угол смещения у будет близкий к нулю. За счет орбитального движения в этих же точках угол и между Солнцем и скоростью v_or близок к р/2. В этом случае угол наблюдаемого Солнца будет на величину у меньше, чем угол истинного. Это будет приводить к более раннему восходу Солнца и более раннему его заходу. Так что на длительность светового дня это явление не оказывает влияние. При этом угол смещения у не превышает 20'' [17]. Эта величина в 100 раз меньше величины рефракции с₉₀, а также меньше неопределенности величины с₉₀. Поэтому аберрацией света можно пренебречь.

Следует отметить, что в силу пренебрежения аберрацией света такое рассмотрение этого явления по составляющим скорости v_or и v_or допустимо. Однако при точном его рассмотрении, необходимо рассматривать полный вектор скорости, его три угла наклона к линии MS_ob (рис. 5). Затем вычислять изменение этих углов по точным формулам в работе [21].

Рис.6. Аберрационное смещение GK = с90 края диска Солнца в момент его захода: HH - линия горизонта; Ss1 - положение центра Солнца во время захода его края.

Теперь рассмотрим восходы и заходы верхнего края Солнца. На рис. 6 показано смещение края диска Солнца на угловое расстояние GK = с₉₀ ниже уровня горизонта HH в момент его захода. Видимый радиус Солнца KS_s1 согласно [17] равен:

(21)

где с - расстояние Солнца от Земли, отнесенное к большой полуоси a орбиты Земли. Величина с рассчитывается по уравнению траектории в зависимости от долготы [14]- [15].

С учетом (21) дуга GS_s1 будет равна в радианах

. (22)

Дуга GS_s1 расположена на окружности большого круга, проходящего через точку зенита Z (рис. 2), поэтому она является приращением зенитного угла, т.е. Дz = GS_s1. Тогда зенитный угол видимого края заходящего Солнца будет

z_0a = р/2 + GS_s1. (23)

Так как часовой угол щ связан с зенитным углом z выражением (7), то часовой угол видимого захода края Солнца можно записать так:

. (24)

Так как правая часть по модулю может превышать 1, то перепишем выражение (24) в виде:

щ_0a = arcos(Fn), (25)

где функция Fn определяется в зависимости от промежуточной функции

(26)

так:

Fn = Fn0 при -1 ? Fn0 ? 1; Fn = -1 при Fn0 < -1; Fn = 1 при Fn0 > 1. (27)

Как следует из рис. 2, зенитный угол видимого края восходящего Солнца будет z_0ra = -р/2 -GS_s1, т.е. по модулю такой же, как и z_0a. Поэтому модуль часового угла восхода Солнца будет определяться также выражением (25). Тогда долгота светового дня в радианах равна 2•щ_0a, а в часах запишется так:

D = 24·щ_0б/р. (28)

На рис. 7 показано изменение долготы дня D в течение года на разных широтах. Например, на широте ц = 60° в момент весеннего равноденствия (T_d = 1) D = 12.31 часа, затем она увеличивается до 18.87 часа в момент летнего солнцестояния. В момент осеннего равноденствия D = 12.26 часа, а затем уменьшается до D = 5.87 часа в день зимнего солнцестояния. С уменьшением широты ц экстремумы долготы дня D уменьшаются и приближаются к 12.1 часа на экваторе (ц = 0°).

Рис. 7. Продолжительность (долгота) светового дня в году на разных широтах ц Северного полушария в современную эпоху 30.12.1949 г.

С увеличением широты ц > 60° наибольшая долгота дня в день летнего солнцестояния приближается к 24 часам. На полярном круге (ц = 90° ? е°) наступает полярный день, который длится 31 сутки. С увеличением широты длительность полярного дня увеличивается до половины года на полюсе. В день зимнего солнцестояния долгота дня с увеличением широты уменьшается до D = 2.17 часа на полярном круге. С дальнейшим увеличением широты наступает полярная ночь.

Представленная на рис. 7 картина изменения долготы дня совпадает с таковой в астрономии [17].

4.2. Полярные дни и ночи: моменты наступления и длительность

Рассмотрим моменты наступления полярных дней и ночей и их длительность. Для этого необходимо рассчитать долготы л этих событий. Как уже отмечалось, полярному дню соответствует долгота (длительность) дня D_d = 24 часа, а полярной ночи D_n = 0 часов. Тогда из (28) получаем часовые углы полярного дня щ_0ad =р и полярной ночи - щ_0an = 0. После подстановки в (25) вместо щ_0a этих значений часового угла, получаем Fn_d = -1 для полярного дня и Fn_n = 1 для полярной ночи. Здесь функция Fn определяется выражением (26). Перепишем его в следующем виде:

cosz_0a ? sinд·sinц = Fn·cosд·cosц.

Подставив в это выражение значение sinд, согласно (4), получим следующее уравнение для долготы л

(29)

После возведения (29) в квадрат и преобразований с учетом того, что для рассматриваемого случая Fn² = 1, получаем для sinл квадратное уравнение

(30)

Оно имеет два решения, отличающиеся знаками «+» и «?» перед квадратным корнем. Запишем это решение в виде одной формулы:

sinл = Fn01; Fn02, (31)

где функция со знаком «+» имеет вид:

(32)

Функция Fn02 перед корнем имеет знак «?».

Чтобы исключить значения по модулю превышающие 1 вводятся функции

Fn1 = Fn01 при 1 ?Fn01? ?1; Fn1 = 1 при Fn01 > 1; (33)

Fn2 = Fn02 при 1 ?Fn02? ?1; Fn2 = ?1 при Fn02 <? 1. (34)

Летнее полугодие характеризуется долготами 0 < л <р, а зимнее - р < л <2р. Так как функция Fn1 > 0, то она будет давать летние долготы, а отрицательная функция Fn2 - зимние долготы. Тогда в соответствии с (31) летние долготы полярных дней будут л_pd = arcsin(Fn1). Эта функция будет давать два решения: для первого л_pd и второго квадранта л_pd1. Как следует из рис. 7 меньшее значение соответствует началу полярного дня, а большее - концу. Окончательно долготы начала и конца полярных дней запишутся в виде:

л_pd = arcsin(Fn1); л_pd1 = р ? arcsin(Fn1). (35)

Аналогично долготы начала и конца полярных ночей определятся так:

л_pn = 2р + arcsin(Fn2); л_pn1 = р ? arcsin(Fn2). (36)

Чтобы найти моменты по времени T_d, соответствующие долготам л_pd, л_pd1, л_pn, л_pn1, необходимо найти индексы j₁ соседних долгот. Затем интерполяцией определяются моменты: T_dd и T_dd1 - начала и конца полярного дня, а также T_dn и T_dn1 - начала и конца полярной ночи. Алгоритм вычисления приведен в п. 11 программы SunFhnm.mcd в Приложении, а на рис. 8 они представлены в виде графиков. В области I приблизительно до T_d = 90 дней изображены начала полярных дней в зависимости от широты ц. Разными линиями и точками показаны графики для 5 эпох. Аналогично в области II приблизительно при 90 < T_d < 180 дней этими же линиями показаны моменты T_d окончания полярных дней. Аналогично приблизительно при 180 < T_d < 270 и T_d > 270 изображены начала (III) и окончания (IV) полярных ночей.

Рис. 8. Моменты T_d наступления (I, III) и окончания (II, IV) полярных дней (I, II) и ночей (III, IV) на разных широтах Северного полушария в экстремальные эпохи за последние 50 т.л.н.

Например, в современную эпоху T = 0 на широте ц = 70° в T_d = 56.88 день от момента весеннего равноденствия наступает полярный день. Он заканчивается в T_d = 128.82 день. Полярная ночь наступает в T_d = 250.05 день и заканчивается в T_d = 302.39 день. С увеличением широты ц начала полярных дней и ночей происходит раньше, а окончание позже. С уменьшением широты ц начала полярных дней отдаляются и приближаются к T_d = 92.8 дню, а начала полярных ночей приближаются к T_d = 275.5 дню. Это происходит на широтах близких к широте полярного круга, которая для современной эпохи равна 66.56°.

В другие эпохи графики начала и конца полярных дней и ночей, как видно из рис. 8, идентичны, но широта их начала может существенно смещаться. При этом изменяется продолжительность полярных дней и ночей. Например, в эпоху 31 т. л. н. широта начала полярных дней и ночей смещается до56° и 58°, соответственно, а в эпоху 46.44 т. л. н. - до 74° и 76° соответственно.

Следует отметить, что древние арии [8] в эпоху 31 т. л. н. могли обитать на территории близкой по широте г. Тюмени (ц = 57.15°) и наблюдать полярные дни и ночи. С приближением последнего ледникового периода 15.32 т. л. н. они вынуждены были мигрировать на южные территории.

Начала полярных дней и ночей и их продолжительность ДT_dd = T_dd1 ? T_dd и ДT_dn = T_dn1 ? T_dn; соответственно, на разных широтах представлены в табл. 1П в Приложении для пяти разных эпох. Для сравнения, для современной эпохи приведены длительности полярных дней и ночей в астрономии. Они обозначены как EA по названию источника [17]. Данные EA приведены с точностью 1 день. Округление начала и конца полярных дней и ночей может приводить к разности их длительности в 2 дня. В табл. 1П такое отличие наблюдается. А в целом представленные на рис. 8 и табл. 1П результаты для современной эпохи совпадают с известными данными в астрономии.