Феномены Солнца в исторической перспективе

4.3. Долготы светового дня в моменты солнцестояний

Рассмотрим долготу светового дня в моменты летнего и зимнего солнцестояний в неполярных широтах. Как уже отмечалось, наибольшая долгота светового дня будет в момент летнего солнцестояния л_s = р/2, а наименьшая - в момент зимнего солнцестояния л_w = 1.5•р. Тогда склонение Солнца д, согласно (4), в этих случаях будет д_s = е и д_w = ?е, соответственно. Тогда после подстановки угла д_s в (26) часовой угол видимых восходов и заходов края Солнца в момент летнего солнцестояния запишется аналогично (25)-(27) так:

щ_0sa = arcos(Fn_s); (37)

; (38)

Fn_s = Fn0_s при -1 ? Fn0_s ? 1; Fn_s = -1 при Fn0_s < -1; Fn_s = 1 при Fn0_s > 1. (39)

В формуле (30) использован зенитный угол z_0a1, в котором безразмерное расстояние от Земли до Солнца с, согласно (22), из-за малого влияния его изменения принято с = 1.

После подстановки угла д_w = ?е в (26) часовой угол видимых восходов и заходов края Солнца в момент зимнего солнцестояния запишется аналогично (37)-(39) так:

щ_0wa = arcos(Fn_w); (40)

; (41)

Fn_w= Fn0_w при -1 ? Fn0_w ? 1; Fn_w = -1 при Fn0_w < -1; Fn_w = 1 при Fn0_w > 1. (42)

Тогда долгота светового дня в моменты летнего и зимнего солнцестояний запишутся, соответственно, так:

D_s = 24·щ_0sб/р; D_w = 24·щ_0wб/р. (43)

Результаты расчетов долготы дня в моменты солнцестояний по формулам (37) - (43) на рис. 9 даны для пяти разных эпох. Графики представляют изменение долготы дня D по широтам ц северного полушария. Для зимнего солнцестояния долгота дня D ? 12 часов отмечена как область I, а для летнего солнцестояния - как область II.

В современную эпоху, как видно из рис. 9, на широте 50° в зимнее солнцестояние день длится 8 часов, а в летнее - 16.37 часа. С уменьшением широты день в зимнее солнцестояние увеличивается и приближается к 12 часам на экваторе. А в летнее солнцестояние день уменьшается и на экваторе также приближается к 12 часам. С увеличением широты ц долгота зимнего дня уменьшается и приближается к нулю. То есть наступает полярная ночь, а долгота летнего дня увеличивается до 24 часов и наступает полярный день.

Рис. 9. Долгота светового дня D в моменты зимнего солнцестояния (I) и летнего солнцестояния (II) на разных широтах ц° Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; D - долгота светового дня в часах.

Для остальных эпох изменения долготы дня изменяются подобным образом, но с разными наклонами зависимостей D(ц). Например, для эпохи 31 т. л. н. полярные ночи и дни начинаются на меньших широтах, а в эпоху 46.44 т. л. н. - на больших широтах.

В Приложении в табл. 2П приведены долготы дней для летнего солнцестояния (D_s) и зимнего (D_w) для пяти разных эпох. Изменение широты ц дается через 2°, начиная с экватора. Широты изменяются до величин, после которых наступает полярный день (D_s = 24 часа) и полярная ночь (D_w = 0 часов).

5. Азимуты Солнца

5.1. Азимуты движения Солнца в течение суток

Азимут Солнца A_S отсчитывается на круге горизонта HH' (рис. 2) от точки севера N_rd до проекции Солнца в т. D за часовой стрелкой

A_S = N_rdS_th + S_thD = 2р ? DN_rd. (44)

В треугольнике N_rdZD, две стороны которого N_rdZ и ZD равны р/2, дуга DN_rd равняется углу Z. В треугольнике NZS известны две стороны: NS = р/2 - д и ZS = z, а также угол N = щ. По теореме синусов

sinZ/sinNS = sinN/sinZS,

находим

sinZ = sinщ·cosд/sinz, (45)

где дуга z является зенитным углом Солнца и согласно (7) определяется выражением:

z = arcos(sinд·sinц + cosд·cosц·cosщ). (46)

Тогда с учетом (45) азимут Солнца (44) A_S = 2р - Z запишется в радианах так:

A_S,rad = 2р - arcsin(sinщ·cosд/sinz). (47)

Так как функция arcsin в (47) неоднозначна и после достижения экстремальных значений ± р/2 имеет изломы, то проводятся следующие операции. Вводится функция

Fn03 = arcsin(sinщ·cosд/sinz). (48)

Находятся максимальные значения mxFn функции Fn03 и минимальные ее значения mnFn. При изменении часового угла щ от ?р до р определяются индексы часового угла in9, соответствующего mnFn, и in10, соответствующего mxFn. В зависимости от этих индексов рассчитываются диапазоны индекса k часового угла щ_k и значения функции Fn3 так:

Fn3 = Fn03 при ind9 ? k ? in10; Fn3 = ?р ? Fn03 при k < in9; Fn3 = р ? Fn03 при k > in10. (49)

Как видно из (48) при щ = 0, в полдень, функция Fn03 может быть равной 0 или р. Согласно рис. 2 в полдень Fn03 = N_rdD = р. Тогда с учетом этого и (48) - (49) азимут Солнца в градусах в соответствии с (47) запишется так:

A_S = 180° + (180°/р)·Fn3. (50)

Следует отметить, что минимальное и максимальные значения Fn03 могут принадлежать не центральному участку. В этом случае на азимуте A_S при большом интервале между делениями щ будут всплески при переходе через 0.5·р и 1.5·р. В этом случае нужно использовать следующее условие:

Fn3 = Fn03 при ind9 < k < in10; Fn3 = ?р ? Fn03 при k ? in9; Fn3 = р ? Fn03 при k ? in10.

Этот алгоритм реализован в п. 13 программы SunPhenmn.mcd. На рис. 10 приведены азимуты движения Солнца по небосводу на широте Москвы в современную эпоху. Линией 1 показано изменение азимута в день весеннего равноденствия. Азимут Солнца в полночь щ = -12 часов равен нулю и увеличивается на рассвете (щ ? -6 часов) до 90°. В течение дня продолжает увеличиваться: в полдень (щ = 0 часов) до 180° и в полночь (щ = 12 часов) достигает значения 360°. Вертикальными линиями показаны часы восхода и захода Солнца.

Рис. 10. Азимуты A_S на широте Москвы (° = 55.7522°) суточного движения Солнца в дни весеннего равноденствия (1), летнего (2) и зимнего (3) солнцестояний в современную эпоху 30.12.1949 г. Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (щ < 0) и заходов Солнца (щ > 0). Кружками 4 отмечены часовые промежутки времени.

В дни солнцестояний: летнего (линия 2) и зимнего (линия 3) изменение азимутов происходит аналогичным образом, но границы дня существенно изменяются. Кроме того, по сравнению с изменением азимута в дни равноденствия, в эти дни характер изменения азимутов более существенно отличается от линейного закона. Нелинейный характер изменения A_S свидетельствует, что определение промежутков времени по азимуту Солнца или по тени гномона, будет характеризоваться соответствующей неравномерностью хода времени. На рис. 10 часовые промежутки нанесены кружками. Так как в дни равноденствий азимут A_S 1 изменяется наиболее близко к линейному закону, то равноденственные часы наиболее равномерны.

Условия (49) при вычислении азимута Солнца справедливы для нетропических широт. В тропических широтах Северного полушария широта ц меньше угла наклона е, т.е. ц - е < 0. Для зенитного угла z в полдень (щ =0) из (7) следует

z_n = ц - д. (51)

Поэтому, как уже отмечалось, в день летнего солнцестояния (д = е см. рис. 2) зенитный угол в тропических широтах изменяется от

z_ns = ц - е (52)

до

z_nw = ц + е (53)

в день зимнего солнцестояния (д = ?е). Из (52) видно, что в день летнего солнцестояния зенитный угол z_ns становится отрицательным, т.е. для наблюдателя M (см. рис. 2) Солнце находится в северной стороне неба. В этом случае в полдень (щ = 0) азимут Солнца A_Sn = 0, а не р, как в нетропических широтах. Следует отметить, что в этом случае суточное движение Солнца для наблюдателя M происходит на южной стороне неба справа налево, а не как на северной стороне слева направо, как это наблюдается в нетропических широтах.

Ситуации с отрицательным углом z_n, согласно (51), имеют место не только для дня летнего солнцестояния, но и для других дней. Поэтому необходимо определять номера дней, для которых z_n < 0. Тогда для рассмотренного случая тропических широт азимут Солнца запишется так:

A_St = (180/р)·Fn03 при z_n < 0. (54)

Рис. 11. Азимуты в тропических широтах (° = 20°) суточного движения Солнца в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний в современную эпоху 30.12.1949 г. Шкала азимута дня летнего солнцестояния 2 сдвинута на 180° (см. справа графика). Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (щ < 0) и заходов Солнца (щ > 0).

Полностью алгоритм расчета азимута Солнца приведен в п. 13 программы SunPhenmn.mcd в Приложении. На рис. 11 представлено изменение азимута Солнца в течение суток на широте ц = 20°. В день весеннего равноденствия 1 и зимнего солнцестояния 3 азимут Солнца изменяется от 180° в полночь (щ = -12 часов) до некоторого минимального значения. Для зимнего солнцестояния 3 оно приходится на ночь, а для весеннего равноденствия - на рассвет. В полдень азимут Солнца снова равняется 180°, т.е. Солнце находится в южной стороне неба. При движении Солнца от полдня к полночи оно проходит максимальные значения азимута и в полночь снова приходит на юг (A_S = 180°).

В день летнего солнцестояния (линия 2, правая шкала графика) Солнце в полночь находится на Севере (A_S = 0°), затем движется по северной стороне неба (A_S < 90°). Перед полднем (щ ? 1 час) достигает максимального отклонения к востоку и в полдень возвращается на север (A_S = 0°). После полдня Солнце переходит в западную сторону неба и достигает максимального отклонения к западу (A_S ? 70°). К полночи Солнце снова возвращается на север (A_S = 0°). Следует отметить, что здесь мы использовали для определения азимута шкалу не от 0 до 360°, а от -180° до 180°. Это позволяет избежать разрыва графика на интервале часового угла щ от -12 часов до +12 часов.

В нетропических широтах суточное движение Солнца происходит по полному кругу вокруг наблюдателя M, т.е. A_S = 0ч2р. В тропических широтах суточный круг движения Солнца происходит в стороне от наблюдателя: летом (линия 2) в северной стороне неба, зимой, включая дни равноденствия, (линии 1 и 3) - в южной стороне неба.

5.2. Проекция дневного пути Солнца на плоскости горизонта

Рассмотрим проекцию на плоскость горизонта дневное движение Солнца. Положение Солнца S (рис. 2) над плоскостью горизонта HH' определяется зенитным углом z и углом азимута A_S, который определяется дугой N_rdS_rS_thD. На плоскости горизонта введем две оси координат с началом в точке M: N_S - направленная на Север N_rd и E_S - направленная на Восток E_st. Тогда проекции центра Солнца на эти оси запишутся так:

N_S = sinz·cosA_S; E_S = sinz·cosA_S, (55)

где A_S - азимут Солнца в радианах.

Выражением (55) также определяются координаты N_S, E_S точек восхода и захода верхнего края Солнца, если углами z и A_S будут определены их моменты времени. На рис. 12 проекции дневного пути Солнца показаны для трех случаев: в день весеннего равноденствия и в дни солнцестояний на широте Москвы.

В день весеннего равноденствия центр Солнца всходит на Востоке и заходит на Западе. А восход и заход верхнего края Солнца немного сдвигается на Север. Летом восход и заход Солнца находится в северной части горизонта. С увеличением широты ц траектория 2 Солнца будет приближаться к окружности. На широте, где траектория станет окружностью, наступит полярный день.

В день зимнего солнцестояния траектория 3 Солнца укорачивается и находится в южной стороне неба. С увеличением широты длина ее уменьшается, и там, где траектория исчезает, наступает полярный день.

Рис. 12. Проекция дневного пути Солнца на плоскости горизонта на широте Москвы ( = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г.: 1 - в дни весеннего равноденствия; 2 - летнего и 3 - зимнего солнцестояний. Ось N_S направлена на Север (N_rd), а ось E_S - на восток (E_st). Положение наблюдателя (M) в начале координат отмечено крестиком. Точками на линиях отмечены восходы верхнего края Солнца (с правой стороны) и его заходы (с левой стороны).

Следует отметить, что конечные точки на траектории Солнца в дни равноденствий 1 и в дни солнцестояний 2 и 3 играют ключевую роль в древных астрономических календарях [9]-[10]. Представленный в п. 15 программы SunPhnmen.mcd алгоритм позволяет рассчитать их для любой эпохи.

5.3. Азимуты восходов и заходов Солнца

В отличие от азимутов суточного движения Солнца азимуты точек восхода и захода необходимо отсчитывать до точек появления и исчезновения верхнего края Солнца. Как видно из рис. 2 и рис. 6, азимут наблюдаемой точки G захода края Солнца состоит из дуг на круге горизонта HH

A_Gs = N_rdE_stS_thW_st + W_stS_s+S_sG, (56)

где E_st и W_st - точки Востока и Запада на круге горизонта.

Дуга N_rdE_stS_thW_st равна 1.5•р (см. рис. 2). Через точку S_s и полюс N проведена дуга большого круга S_sF, поэтому она перпендикулярна дуге экватора AA', т.е. угол F = 0.5•р. Дуга S_sF равна д. В треугольнике S_sFW_st угол W_st = р/2 ? ц. Поэтому дуга W_stS_s определяется по теореме синусов

W_stS_s = arcsin(sinд/cosц). (57)

Сторона GS_s может быть найдена из треугольника GS_s1S_s. (см. рис. 6), в котором угол S_s = W_st = р/2 ? ц. В виду малости треугольника, его можно рассматривать как плоский и линейный со сторонами R_E·GS_s1 и R_E·GS_s, где R_E - радиус Земли. Для угла S_s можно записать: tg(р/2 ? ц) = R_E·GS_s1/(R_E·GS_s). Отсюда получаем:

GS_s = GS_s1·tg ц. (58)

Подставляя в (56) составляющие получим азимут точки захода Солнца в градусах в виде:

A_Gs = (180/ р)·(1.5р + arcsin(sinд/cosц) + GS_s1·tgц). (59)

Ввиду того, что sinд/cosц по модулю может превышать 1, введем обозначение:

Fn04 = sinд/cosц (60)

и определим функцию:

Fn4 = Fn04 при -1 ? Fn04 ? 1; Fn4 = -1 при Fn04 < -1; Fn4 = 1 при Fn04 > 1. (61)

Тогда азимут точки захода Солнца будет:

A_Gs = (180/ р)·(1.5р + arcsin(Fn4) + GS_s1·tgц). (62)

Чтобы рассчитать азимут точки восхода, обозначим точку S_r1 видимого восхода края Солнца на дуге M_nS_r (на рис. 2 эта точка не приведена). Она находится под горизонтом HH и дуга S_r1S_r равна по величине дуге S_s1S_s (см. рис. 6), т.е. S_r1S_r = S_s1S_s. Поэтому точка наблюдаемого восхода края Солнца G_s будет ближе к точке севера N_rd на величину дуги S_rG₁ = S_sG. Тогда азимут наблюдаемой точки G_s восхода будет определяться следующими дугами:

A_Gr = N_rdE_st? E_stS_r ? S_rG_r, (63)

где точка E_st находится в пересечении кругов горизонта HH и экватора AA', а ее азимут N_rdE_st = р/2. Дуга E_stS_r = W_stS_s. Подставляя в (63) все составляющие азимут точки восхода края Солнца с учетом (60)-(61) получаем в виде:

A_Gr = (180/ р)·(0.5р - arcsin(Fn4) - GS_s1·tgц). (64)

Как видим из (62) и (64) сумма азимутов восходов и заходов

A_Gs + A_Gr = 360°. (65)

Сумма A_Gs + A_Gr может отличаться от 360°, если горизонт в восточной части отличается от горизонта в западной части высотой окружающей местности. Приведенные формулы для азимутов не учитывают этой особенности и дают симметричные азимуты восходов и заходов относительно направления MN_rd на север (рис. 2).

На рис. 13 показано изменение азимута точки восхода края Солнца A_Gr в течение года на разных широтах. Например, на широте ц = 60° в момент весеннего равноденствия (T_d = 1) азимут A_Gr = 87.76°, затем он уменьшается до 35.84° в день летнего солнцестояния. В момент осеннего равноденствия A_Gr = 88.23°, а затем увеличивается до A_Gr = 141.27° в день зимнего солнцестояния.

Рис. 13. Азимуты восходов верхнего края Солнца в современную эпоху 30.12.1949 г. в течение года на разных широтах ц° Северного полушария: A_Gr - азимуты восходов Солнца в градусах.

С уменьшением широты ц экстремумы азимута Солнца A_Gr уменьшаются и на экваторе (ц = 0°) приближаются к 66.56° в день летнего солнцестояния и к 113.44° в день зимнего солнцестояния. С увеличением широты ц > 60° наименьший азимут точки восхода края Солнца A_Gr в день летнего солнцестояния приближается к 0°, т.е. Солнце восходит на Севере. На полярном круге (ц = 90° ? е°) наступает полярный день. С увеличением широты в день зимнего солнцестояния (T_d = 276) азимута Солнца A_Gr увеличивается до 180° на полярном круге (ц = 90° ? е°), т.е. Солнце всходит на Юге. С дальнейшим увеличением широты наступает полярная ночь.

Следует отметить, что графики на рис. 13 напоминают графики долготы светового дня на рис. 7, если их перевернуть вокруг горизонтальной линии A_Gr = 90°. Азимуты точки захода края Солнца A_Gs, как следует из (65), A_Gs = 360° - A_Gr, поэтому их графики будут похожи на графики долготы светового дня на рис. 7.

5.4. Экстремальные азимуты восходов и заходов Солнца в дни солнцестояний

Наибольшие азимуты заходов и наименьшие азимуты восходов верхнего края Солнца имеют место в день летнего солнцестояния л_s = р/2. В день зимнего солнцестояния л_s = 1.5•р экстремумы азимутов становятся обратными: азимуты заходов - наименьшие, а азимуты восходов - наибольшие. Приведем предельные азимуты восходов (64) в день летнего солнцестояния:

A_Grsm = (180/ р)•(0.5р ? arcsin(sinе/cosц) ? (9.8902·10^-3 + 4.6599·10^-3/с_s)·tgц) (66)

и в день зимнего солнцестояния:

A_Grwn = (180/ р)•(0.5р + arcsin(sinе/cosц) ? (9.8902·10^-3 + 4.6599·10^-3/с_w)·tgц). (67)

Азимуты заходов Солнца (62) в дни солнцестояний запишутся аналогичным образом. При вычислениях по формулам (66)-(67) в алгоритм необходимо ввести условия, чтобы избежать |sinе/cosц| > 1 (см. п. 14 программы в Приложении).

Результаты расчетов азимуты восходов Солнца в дни солнцестояний по формулам (66) - (67) для пяти разных эпох даны на рис. 14. Графики представляют изменение азимута A_Gr по широтам ц Северного полушария. Для летнего солнцестояния азимуты A_Gr ? 90° отмечены как область I, а для зимнего солнцестояния - как область II.

Рис. 14. Азимуты восходов верхнего края Солнца в моменты летнего солнцестояния (I) и зимнего солнцестояния (II) на разных широтах ц° Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; A_Gr - азимуты восходов Солнца в градусах.

В современную эпоху, как видно из рис. 14, на широте 50° в летнее солнцестояние азимут восхода Солнца A_Gr равен 50.77°, а в зимнее - 127.24°. С уменьшением широты азимут восхода увеличивается и приближается к 66.56° на экваторе. А в зимнее солнцестояние азимут восхода уменьшается и на экваторе приближается к 113.44°. С увеличением широты ц азимут восхода A_Gr дня летнего солнцестояния уменьшается и приближается к нулю. То есть Солнце всходит на Севере и наступает полярный день. А азимут восхода A_Gr дня зимнего солнцестояния с увеличением широты ц увеличивается до 180°и наступает полярная ночь.

Для остальных эпох изменения азимута восхода Солнца A_Gr происходит подобным образом, но с разными наклонами зависимостей A_Gr(ц). Например, для эпохи 31 т. л. н. полярные ночи и дни начинаются на меньших широтах, а в эпоху 46.44 т. л. н. - на больших широтах.

Следует отметить, что графики на рис. 14 напоминают графики долготы светового дня D в разные эпохи на рис. 9, однако области I и II у них разные. Азимуты точки захода края Солнца, например, в день летнего солнцестояния A_Gss, как следует из (65), A_Gss = 360° - A_Grsm. Поэтому графики A_Gssm и A_Gswn будут похожи на графики долготы светового дня на рис. 9.

В Приложении в табл. 3П приведены азимуты восходов Солнца для летнего солнцестояния (A_Grsm) и зимнего (A_Grwn) для пяти разных эпох. Изменение широты ц дается через 2°, начиная с экватора. Широты изменяются до величин, после которых наступает полярный день (A_Grsm = 0°) и полярная ночь (A_Grwn = 180°).

6. Солнечная тень гномона

6.1. Относительная длина тени гномона

Гнумоном (др.-греч. gnюmwn - указатель) называется предмет, тень от которого используется в солнечных и лунных часах и календарях. На рис. 15 показана длина тени l_sh вертикального гномона длиной l_g, которая возникает от верхнего края Солнца. Величина l_sh зависит от зенитного угла z Солнца и его углового радиуса S. Ранее формулой (21) величина S приводилась в виде дуги KS_s1 на рис. 6. Как следует из рис. 15, относительная длина тени гномона будет:

l_sh1 = l_sh/l_g = tg(z - S) = tg(z - 4.6599•10^-3/с), (68)

где зенитный угол z Солнца определяется выражением (46).

Рис. 15. Длина тени l_sh гномона длиной l_g при освещении его солнцем S.

Чтобы избежать отрицательных значений относительной длины теней l_sh1 расчет проводится по следующему алгоритму:

Fn06 = z - 4.6599•10^-3/с; (69)

Fn6 = Fn06 при -0.5•р ? Fn0 ? 0.5•р; Fn6 = -0.5•р при Fn06 < -0.5•р;

Fn6 = 0.5•р при Fn06 > 0.5•р; (70)

l_sh10 = tg(Fn6); l_sh1 = l_sh10 при l_sh10 > 0; l_sh1 = 0 при l_sh10 < 0. (71)

6.2. Изменение длины тени в течение дня

По алгоритму (69)-(71) рассчитано изменение относительной длины тени l_sh1 гномона в течение суток для трех разных дней на широте г. Москвы и для одного дня на широте г. Тюмени (рис. 16). В левой части графика вертикальными линиями показаны часовые углы восходов Солнца, а в правой - часовые углы его заходов. Так как в эти моменты длина тени стремится к бесконечности, и ординату l_sh1 графика приходится ограничивать, то асимптотическое приближение линий l_sh1 к вертикальным линиям восходов и заходов находится вне рисунка.

Рис. 16. Изменение длины солнечной тени гномона единичной длины в течение суток в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний на широте Москвы (° = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г. 4 - длина солнечной тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (° = 57.301575°) по расчету и 5 - по наблюдениям. Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (щ < 0) и заходов Солнца (щ > 0).

Как видно из рис. 16, в день весеннего равноденствия (линия 1) длина тени l_sh1 после восхода Солнца (щ < 0) уменьшается и в полдень (щ = 0) достигает минимального значения l_sh1 = 1.433. Затем она увеличивается до бесконечности в момент захода Солнца (щ > 0). В день летнего солнцестояния (линия 2) минимальная длина тени уменьшается до l_sh1 = 0.626, а в день зимнего солнцестояния минимальная длина тени увеличивается до l_sh1 = 5.108. Таким образом, на широте г. Москвы длина полуденной тени изменяется в пределах 5.108 ? l_sh1 ? 0.626.

Рассмотрим траекторию движения тени конца гномона в координатах N_sh, E_sh, где ось N_sh направлена на Север, а ось E_sh - на Восток. Азимут тени A_sh отсчитывается от оси N_sh и выражается через азимут Солнца так: A_sh = A_S + 180°. Тогда проекции тени на плоскость горизонта запишутся:

N_sh = l_sh1·cosA_sh = ? l_sh1·cosA_S; E_sh =? l_sh1 ·sinA_S. (72)

Рис. 17. Суточная траектория тени конца гномона единичной длины на плоскости горизонта N_sh(E_sh) в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний на широте Москвы (° = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г. 4 - траектория тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (° = 57.301575°) по расчету и 5 - по наблюдениям. Ось N_sh направлена на Север, а ось E_sh - на восток. Положение гномона в начале координат отмечено крестиком.

На рис. 17 показана траектория дневной тени конца гномона относительной длины для трех дней на широте г. Москвы и одного дня на широте г. Тюмени. В начале координат крестиком отмечено положение гномона. На широте г. Москвы в день весеннего равноденствия (линия 1) конец тени гномона движется с Запада (E_sh < 0) на Восток почти по прямой линии. При этом тень находится севернее гномона. В день летнего солнцестояния тень гномона (линия 2) начинает утром движение с Юго-запада и заканчивает движение вечером на Юго-востоке. Только вблизи полудня, ±2 часа, тень находится севернее гномона. Линией 3 показано, что в день зимнего солнцестояния тень полностью движется на Севере от гномона.

6.3. Измерение длины тени гномона

С целью проверки полученных результатов на местности, недалеко от г. Тюмени, были выполнены наблюдения за перемещением тени гномона. На рис. 18 показан нехитрый инструментарий из подсобных материалов: лист ватмана, компас, карандаш, металлический прут, рулетка и отвес, с помощью которого выполнены наблюдения. Наблюдения проводились 15.08.2015 г., что составляет T_d = 148 день после дня весеннего равноденствия 21 марта. Вдоль тени карандашом проводились линии на ватмане и отмечались конец тени и время ее наблюдения. Затем были замерены азимуты A_shM теней от направления от направления на Север N_M, определенный по компасу.



Рис. 18. Наблюдение тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (° = 57.301575°) и основные инструменты: лист ватмана, компас, карандаш, металлический прут диаметром 6 мм - гномон, рулетка и отвес.

На рис. 19 показаны результаты наблюдений в виде зависимости относительной длины тени l_sh1 от времени в г. Тюмени t_m. Как видно, минимум l_sh1 приходится на время t_m отличное от 12 часов. На рис. 16 данные наблюдения точками 5 нанесены на рассчитанную согласно (69)-(71) зависимость 4 l_sh1(щ). Положение полдня (щ = 0) приходится на 12 ч. 44 мин тюменского времени.

Для рассматриваемой широты места наблюдения и дня T_d = 148 по формуле (50) был рассчитан азимуты A_S Солнца. Аналогично рис. 10 он был представлены в виде графика A_S(щ). В этих же координатах нанесены определенные азимуты Солнца A_SM по замеренным азимутам тени A_SM = A_shM ? 180°. Азимуты A_SM оказались эквидистантно сдвинуты на ДA = 14.47059° вниз по отношению к азимутам A_S, т.е. A_SM < A_S. Это обусловлено тем, что Северный магнитный полюс сдвинут к Востоку на величину ДA по отношению к географическому Северному полюсу.

Рис. 19. Результаты наблюдения относительной длины тени l_sh1 гномона в зависимости от времени t_m в г. Тюмени 15 августа 2015 г. на широте ° = 57.301575°.

Скорректированные данные измерения азимута тени и времени ее наблюдения использованы для расчета по формулам (72) ее траектории. На рис. 17 она нанесена точками 5. Как видим, измеренная траектория тени гномона 5 совпала с рассчитанной 4. Некоторый разброс точек 5 вокруг линии 4 объясняется погрешностью измерений.

Итак, выполненные наблюдения и измерения тени гномона подтвердили представленный алгоритм её расчета. Кроме того, измерения позволили определить истинный полдень в 12 ч. 44 мин тюменского времени и восточное отклонение ДA магнитной стрелки. Следует отметить, что азимут солнечного полдня и его время наступления можно непосредственно определить по данным наблюдения, представленным на рис. 19. Но для этого наблюдения необходимо производить более часто и за больший промежуток времени.

6.4. Полуденная длина тени гномона в течение года

Как видно из рис. 16, наименьшая тень наступает в полдень (щ = 0). В этом случае зенитный угол z_n центра Солнца определяется выражением (51), тогда в соответствии с (68) единичная длина полуденной тени запишется так

l_s1n = tg(ц - д - 4.6599·10^-3/с). (73)

Алгоритм расчета относительной длины тени в п. 17.3 программы SunPhnmen.mcd приведен с учетом особенностей функции tg. Результаты расчетов изменения длины полуденной тени в течение года на разных широтах Северного полушария показаны на рис. 20. В этих расчетах ввиду несущественного влияния относительного расстояния с принято с = 1. Как видно из рис. 20, на широте ц = 60° в день весеннего равноденствия (T_d = 0) длина относительной полуденной тени l_s1n = 1.687. Затем она уменьшается и в день летнего солнцестояния достигает минимального значения 0.734. Далее увеличивается и принимает максимальное значение 8.351 в день зимнего солнцестояния. С увеличением широты ц минимальные и максимальные значения возрастают, а с уменьшением ц - уменьшаются. В тропических широтах (ц < е) зависимость l_s1n(ц) имеет два максимума и два минимума. В минимумах длина тени равна нулю: в эти моменты Солнце находится в зените. А максимумы l_s1n наступают в дни солнцестояний.

Рис. 20. Длина полуденной солнечной тени гномона единичной длины l_s1n в зависимости от дней года T_d в современную эпоху 30.12.1949 г. на разных широтах ц° Северного полушария: a - в обычном масштабе; b - при увеличении ординаты l_s1n в 2 раза.

6.5. Экстремальные длины солнечной тени гномона в дни солнцестояний

Как показано выше, экстремальные длины теней происходят в дни солнцестояний, которые характеризуются углом д = ±е. Тогда из (73) с учетом с = 1 получаем относительные длины теней

l_s1s = tg(ц - е - 4.6599·10^-3); l_s1w = tg(ц + е - 4.6599·10^-3), (74)

для дней летнего и зимнего солнцестояний, соответственно. С учетом особенностей функции tg алгоритм расчета приведен в п. 17.3 программы SunPhnmen.mcd.

Результаты расчетов экстремальных длин тени для пяти разных эпох в зависимости от широты ц даны на рис. 21. Шкала для длин теней в летнее солнцестояние l_s1s приведена справа, а для зимнего солнцестояния l_s1w - слева. В современную эпоху, как видно из рис. 21 при T = 0, в полдень летнего солнцестояния на экваторе (ц = 0) длина тени l_s1s = 0.428. Затем она уменьшается на тропике ц ? е до 0, а с дальнейшим увеличением широты длина тени возрастает до l_s1s = 2.277 на широте ц = 90°.

В другие эпохи графики полуденной тени в летнее солнцестояние почти эквидистантно сдвигаются по широте ц, в зависимости от угла наклона е. На широтах ц = е длина тени равна нулю: l_s1s = 0.

В современную эпоху (T = 0) в полдень зимнего солнцестояния на экваторе (ц = 0) длина тени l_s1w = 0.428, т.е. такая же, как и в полдень летнего солнцестояния. Затем она с увеличением широты ц растет до бесконечности до широты ц = 90° ? е° полярного круга, где начинается полярная ночь. В другие эпохи полуденная тень на экваторе изменяется от 0.259 (T = 46.44 т.л.н.) до 0.618 (T = 31 т.л.н.). С увеличением широты длины теней в день зимнего солнцестояния увеличиваются во все эпохи и тем в большей степени, чем меньше широта полярного круга (90° - е°).

Рис. 21. Тени гномона единичной длины в полдни летнего солнцестояния (l_s1s) и зимнего солнцестояния (l_s1w) на разных широтах ц° Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T - время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; масштабы длин l_s1w и l_s1s - разные и отличаются в 4 раза.

В приложении в табл. 4П приведены длины полуденных теней в дни летнего (l_s1s) и зимнего (l_s1w) солнцестояний для пяти разных эпох. Изменение широты ц дается через 2°, начиная с экватора до широты 80°. Бесконечная длина тени выражена числом 1.6e+16.

7. Основные феномены Солнца

Подведем итоги по основным феноменам Солнца. Освещение Солнцем поверхности в точке нахождения наблюдателя M (см. рис. 2), т.е. ее инсоляция, зависит от эксцентриситета e орбиты Земли, угла наклона е плоскости экватора Земли к плоскости ее орбиты, угла ц_pг между перигелием орбиты Земли и восходящим углом г и широты места ц [11]. Эти четыре параметра создают разнообразие инсоляции поверхности Земли, из которого наблюдатель может определить следующие основные 6 явлений, или феноменов (см. табл. 3). Первым феноменом является количество дней до начала сезона T_d, отсчитываемое от момента весеннего равноденствия. Для весны T_dsp = 0, для лета наблюдатель определяет количество дней до летнего солнцестояния T_dsm, для осени - до момента осеннего равноденствия T_dau и для зимы - до момента зимнего солнцестояния T_dwn. С этим феноменом также связана продолжительность сезонов ДT_d, которая, согласно (6) рассчитывается по разности величин T_d. В рассмотренном выше алгоритме начала сезонов определяются долготами л = 0; р/2; р; 3р/2. По зависимости л(T_d), определяется время T_d в днях до начала каждого сезона. Этот феномен не зависит от широты ц наблюдателя, а определяется только параметрами e, д и ц_pг.

Таблица 3. Основные феномены Солнца

№ п/п	Наименование	Параметр	Сезоны и долготы л их начала
			Весна 0	Лето р/2	Осень р	Зима 3р/2
1	Количество дней до начала сезона	Td, дни	0	Tdsm	Tdau	Tdwn
2	Длительность полярных дней и ночей	ДTdd,n, дни	?	ДTdd	?	ДTdn
3	Зенитные углы Солнца в полдни равноденствий и солнцестояний	zn	znsp	znsm	znau	znwn
4	Долгота светового дня в дни солнцестояний	D, часы	?	Ds	?	Dw
5	Азимуты восхода Солнца в дни равноденствий и cолнцестояний	AGr	AGrsp	AGrsm	AGrau	AGrwn
6	Относительные длины теней гномона в полдни равноденствий и солнцестояний	ls1n	ls1sp	ls1s	ls1au	ls1w

Второй феномен, характерный для высоких широт, - это длительность в днях полярных дней (ДT_dd) и полярных ночей (ДT_dn). Наблюдатель на широте ц своего места может определить длительность полярных ночи и дня. А в теории полярные ночи и дни определяются долготами л_pd и л_pn (см. формулы (35)- (36)), по которым длительность этих феноменов рассчитывается по зависимости л(T_d). Этот феномен сильно зависит от широты ц наблюдателя. Поэтому он в наибольшей степени находит для уточнения широты палеонаблюдателя, если он находился в высоких широтах.

Третьим феноменом является зенитный угол z_n Солнца в полдни равноденствий и солнцестояний. Как уже отмечалось для весны, лета, осени и зимы Северного полушария равны, соответственно:

z_nsp = ц, z_nsm = ц - е, z_nau = ц и z_nwn = ц + е. (75)

Следует отметить, что в наблюдениях может использоваться высота l Солнца над горизонтом. Она определяется через зенитный угол так:

l = р/2 - z_n. (76)

Четвертый феномен - это долгота светового дня во время летнего солнцестояния D_s и зимнего солнцестояния D_w. Для наблюдателя существует сложность в измерении этого феномена. Эти измерения требуют высокой технологии определения времени и хранения сведений о нем. Тем не менее, возможны приемы выполнения этой работы. В теории этот феномен определяется выражением (43).

Пятый феномен - азимуты восходов и заходов Солнца в дни солнцестояний и равноденствий. Они могут быть зафиксированы наблюдателем в зависимости от какого-то направления. В теории азимут восхода Солнца в день летнего солнцестояния определяется выражениями (66), а зимнего - (67). В дни равноденствий при д =0, согласно (60) и (64) азимут восхода Солнца будет:

A_Grsp = A_Grau = 90°•[1 ? (9.8902·10^-3 + 4.6599·10^-3)·tgц/0.5р]. (77)

Шестой феномен - длина теней гномона в полдни. Для дней солнцестояний: летнего (l_s1s) и зимнего (l_s1w) определяется согласно (74), а в дни равноденствий при д =0, согласно (73), длина тени будет:

l_s1sp = l_s1au = tg(ц - 4.6599·10^-3). (78)

Наблюдатель может зафиксировать эти феномены по отношению к гномону, длина которого неизвестна. В этом случае могут потребоваться дополнительные данные для определения относительной длины тени. В теории относительные длины теней определяются выражениями (74) и (78).

8. Восстановление параметров наблюдателя и движения Земли по древним феноменам Солнца

Параметрами наблюдателя являются его древние широта местанахождения и направление на Север. Исследователи древних календарей отмечают изменение этих параметров наблюдателя. Например, М.И. Исрапилов пришел к выводу о смещении Северного полюса в Якутию несколько тысяч лет назад [7]. Рассмотрим как определить параметры наблюдателя по феноменам Солнца.

В дни равноденствий зенитный угол z, согласно (75), в полдень будет равняться широте места z_nsp = ц. А длина тени l_s1sp согласно (77) также зависит от широты ц. Тогда широта места наблюдателя определяется по одному из этих феноменов: