Измерения могут быть прямыми, при которых значения физической величины находят непосредственным отсчетом по шкале измерительного прибора (измерение длины линейкой, температуры термометром) и косвенными, при которых значение физической величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, измеряемыми непосредственно (определение плотности тела по отношению массы к объему, определение сопротивления проводника по отношению разности потенциалов к току и т. д.).

В зависимости от числа проведенных измерений различают однократные и многократные измерения.

Многократные измерения могут быть равноточными и неравноточными. Равноточными называют измерения, выполненные с одинаковой точностью (например, одним и тем же прибором, при одинаковых условиях).

Измерения могут быть прямыми и косвенными, однократными и многократными, равноточными и неравноточными, результаты измерений физических величин всегда являются приближенными числами . Многократные измерения записываются в таблицу с обязательным указанием единиц измерения. Точность проведенного измерений не может превышать точность прибора, которым проводилось измерение и характеризуется двумя основными параметрами: абсолютной и относительной погрешностями.

Для характеристики каждого конкретного измерения используют его абсолютную погрешность, т.е. модуль разности между истинным значением величины и ее значением, полученным в результате измерения:

[1.1]

На практике часто истинное значение неизвестно, поэтому приходится использовать вместо него арифметическое среднее из нескольких измерений, при этом сама абсолютная погрешность также становится приближенным числом.

Абсолютная погрешность не в полной мере характеризует результат измерения. Пусть, например, в результате измерений установлено, что длина стола равна L = (100 ±1) см, а толщина его крышки d = (2 ±1) см. Хотя абсолютная погрешность измерений в этих двух случаях одинакова, ясно, что качество измерений в первом случае выше.

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью е, равной отношению абсолютной погрешности к значению величины х_изм , получаемой в результате измерения:

[1.2]

Абсолютная погрешность [1.1] показывает, насколько истинное значение измеряемой величины отличается от измеренного значения.

Относительная погрешность [1.2] характеризует качество измерения, т.е. насколько верно подобрано соотношение измеряемой величины и абсолютной погрешности измерения.

Виды погрешностей измерения

Погрешности измерений условно можно разделить на три основных вида:

· Грубые ошибки (промахи)

· Систематические погрешности

· Случайные погрешности

Промах (грубая ошибка) - погрешность, существенно превосходящая ожидаемое значение, в условиях данного измерения.

Промахи возникают из-за недостаточной внимательности и аккуратности, из-за неисправности приборов, неправильной записи результатов измерения и т. п. Почти всегда их можно выявить, повторяя измерения на другой аппаратуре, по другой методике или привлекая к измерению другого наблюдателя. Будем считать, что промахи своевременно выявляются и удаляются из результатов измерений.

Систематическая погрешность - погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторении измерений. Наиболее значимые причины возникновения систематических ошибок при лабораторных измерениях:

· Несовершенство измерительных приборов - инструментальная погрешность;

· Неполная разработка методики измерений, неполный учет условий опыта - методическая погрешность;

Инструментальные (приборные) погрешности вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов. Уменьшение инструментальной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако полностью устранить приборную погрешность невозможно.

Для характеристики большинства измерительных приборов используют понятие приведенной погрешности (класса точности).

Приведенная погрешность Е_п - это отношение абсолютной погрешности к предельному значению x_max на шкале прибора:

[1.3]

По приведенной погрешности приборы подразделяются на семь классов: 0.1; 0.2; 0.5; 1.0; 1.5; 2.5; 4. Приборы класса точности - 0.1; 0.2; 0.5 применяют для точных лабораторных измерений (прецизионных). В технике применяют приборы классов - 1.0; 1.5; 2.5; 4 (технические). Класс точности указывается на шкале прибора.

Из формулы [1.3] следует, что относительная погрешность будет минимальной, если измеряемая величина дает отброс стрелки индикатора на всю шкалу.

Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных размеров указана на самом приборе в виде абсолютной погрешности или в виде цены деления.

Для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы.

Если класс точности прибора не указан, то принято считать инструментальную погрешность равной половине цены деления шкалы прибора. Как правило, цена деления шкалы приборов согласована с инструментальной погрешностью.

Методические погрешности вызываются недостатками применяемого метода измерений, несовершенством теории физического явления и неточностью расчетной формулы, используемой для нахождения измеряемой величины. Сюда же можно отнести погрешности связанные с неполным учетом условий опыта.

Методические погрешности можно уменьшать путем совершенствования метода измерений, а также введения уточнений в расчетную формулу.

Погрешность взвешивания. При прямом измерении массы на весах инструментальную погрешность можно принять равной:

[1.4]

Например, тело уравновешено на весах при помощи гирь, номинальные (указанные на гирях) значения которых равны 50 г, 20 г, 100 мг и выводятся из равновесия разновесом в 10 мг. Следовательно, абсолютная погрешность взвешивания: m = 70,100 ± 0,005 г.

Погрешность взвешивания, при обычных (не прецизионных) измерениях, выбирается равной половине массы наименьшей гири, лежащей на весах (либо выводящей ее из равновесия).

Случайная погрешность - погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторении равноточных измерений, и вызвано действием случайных факторов, которые невозможно устранить.

Для уменьшения случайных погрешностей увеличивают количество опытов и в качестве результата используют среднее значение. При этом происходит частичная компенсация случайных отклонений результатов измерений в сторону завышения и в сторону занижения.

Линейка

Рис.

Всем известная линейка пригодна для измерения размеров самых разнообразных тел. Однако по ней можно отсчитать только целое число миллиметров. А миллиметр при современных точностях обработки стал весьма большой единицей длины, поэтому линейку применяют только для грубых измерений. Совмещение двух линеек в более совершенном инструменте - штангенциркуле позволяет измерить размеры с точностью до 0,1 мм

Штангенциркуль

Рис.

Штангенциркуль состоит из основной шкалы. -линейки с миллиметровыми делениями и перемещающейся по ней подвижной рамки. Измеряемый предмет зажимают между губками. По штрихам основной шкалы прочитывают целое число миллиметров. К рамке прикреплена маленькая линейка - нониус - с десятью делениями, которые равны девяти делениям основной шкалы, т. е. каждое деление нониуса на 0,1 мм меньше деления основной шкалы. По штрихам нониуса определяют, на сколько десятых долей миллиметра измеряемый размер превышает целое число миллиметров. Для этого устанавливают, какой из штрихов нониуса совпал со штрихом основной шкалы.

Внимание! Запрещается перемещать подвижную рамку за пределы штанги во избежание потери плоской пружины.

При внутренних измерениях к показаниям штангенциркуля по основной и нониусной шкалам прибавляется толщина губок, которая указана на них.

Микрометр

Рис.

Главная деталь микрометра - точный микрометрический винт, ввернутый в гайку, называемую стеблем. При одном обороте винт перемещается вдоль своей оси на 0,5 мм. На винте неподвижно насажен барабан, на котором по окружности нанесено 50 делений. Таким образом, поворот винта на одно деление равен 1/50 полного оборота, или 0,01 мм ( 0.5мм/50 =0,01 мм ). Вращая барабан, зажимают измеряемую деталь между винтом и пяткой скобы и производят отсчет. Сначала по верхней шкале стебля определяют, сколько миллиметров, начиная от первого штриха, прошел барабан. Если барабан перешел штрих на нижней шкале стебля, определяющей полумиллиметры, то это означает, что дробная часть размера больше 0,5 мм. А на сколько размер детали превышает целое число полумиллиметров, устанавливают по тому штриху барабана, который совпадает с продольной линией на стебле.

Оформление отчета по лабораторной работе

Лабораторные работы оформляются на двойном тетрадном листе из четырех страниц. Содержание отдельных страниц отчета:

Первая страница - титульная. Должна включать: номер и полное название лабораторной работы, кто выполнял (Ф. И. О. студента, номер группы), дата выполнения.

Вторая страница - описание работы. Включает: цель работы, перечень оборудования и принадлежностей, рисунки, основные и расчетные формулы.

Третья страница - результаты работы. Многократные измерения всех физических величин должны быть представлены в виде таблицы. Все необходимые вспомогательные вычисления выполняются на черновиках и не входят в отчет.

Итоговый результат должен быть представлен в виде отдельной строки под таблицей измерений (как правило, с указанием доверительного интервала, надежности и относительной погрешности). Графики строятся на отдельных листах и вкладываются в отчет.

Четвертая страница - выводы и обсуждение результатов. Необходимо подготовить устные или письменные ответы по всем контрольным вопросам, к данной лабораторной работе.

Лабораторная работа 1. Косвенный расчет плотности тел правильной геометрической формы

Определение плотности цилиндра

Плотность однородного цилиндрического тела можно рассчитать по формуле:

, [2]

где d - диаметр цилиндра, h - его высота.

Для нахождения относительной погрешности косвенного определения плотности цилиндра, прологарифмируем расчетную формулу:

и возьмем дифференциал. Заменив дифференциалы приращениями, получим:

или , [3]

где - средние значения массы, диаметра и высоты, найденные в результате прямых измерений, соответственно, а - относительные погрешности их прямых измерений.

Среднее значение плотности можно найти, подставляя в расчетную формулу [2] средние значения массы, диаметра и высоты:

[4]

Определение плотности параллелепипеда.

Плотность однородного тела в форме параллелепипеда можно рассчитать по формуле:

, [5]

где l - длина тела , d -ширина тела, h - его высота. Действуя аналогично предыдущему случаю, находим:

 или , [6]

где - средние значения массы, длины, ширины и высоты, найденные в результате прямых измерений, соответственно, а - относительные погрешности их прямых измерений.

Среднее значение плотности:

[7]

Интервал надежности при определении плотности во всех случаях, можно вычислить по формуле:

[8]

где - относительная погрешность определения плотности, вычисляемая по формуле [3] для цилиндра, или по формулу [6] для параллелепипеда.

Результат записывается в виде:

, при р = , , [9]

где величина надежности p принимается равной наименьшей надежности прямых измерений массы и линейных размеров.

2. Выполнение работы

Приборы и принадлежности:

1. Тела для измерения (цилиндр и параллелепипед)

2. Весы и разновесы

3. Штангенциркуль

4. Микрометр

При всех расчетах принять: р = 0,95

1. Ознакомиться с устройством и принципом действия штангенциркуля и микрометра, научиться взвешивать тела с помощью рычажных весов.

2. Определить инструментальные погрешности измерения для каждой измеряемой величины и внести в строку ?_и в заголовке таблицы, под соответствующей величиной.

3. Провести прямые измерения (не менее 3-х раз) всех линейных размеров и массы тел, в указанных в таблице единицах измерения, результаты измерений заносить в верхнюю часть таблицы, в строку, соответствующей номеру опыта.

4. Рассчитать, по формуле: , средние арифметические значения всех измеренных величин и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

5. Рассчитать, по формуле: , среднеквадратичные отклонения (СКО) каждой величины и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

6. Рассчитать, по формуле: , случайную погрешность измерения каждой величины и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

7. Рассчитать, по формуле:, полную погрешность каждой величины и занести в соответствующую строку, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

8. Рассчитать, по формуле: , относительные ошибки измерения каждой величины и занести в строку е, в нижней части таблицы, в соответствующем столбце.

9. По формулам [3], [4], [8] (для цилиндра) или [6], [7], [8] (для параллелепипеда) рассчитать среднюю плотность и интервал надежности и округленный результат записать в строку с, в последней строке таблицы, в соответствующем столбце.

10. Сравнить полученные значения плотности с табличными значениями плотностей твердых тел, и определить из какого вещества могут быть изготовлены опытные образцы.

Таблица результатов

Контрольные вопросы

1. Виды и источники погрешностей измерения.

2. Каковы инструментальные погрешности линейки, штангенциркуля и микрометра?

3. Как перевести плотность, выраженную в г/мм3 в кг/м3?

4. Чем характеризуется точность измерения?

5. Что называют доверительной вероятностью (надежностью) и доверительным интервалом (интервалом надежности) результата измерения?

6. Как использовать таблицу коэффициентов Стьюдента для расчета доверительного интервала по заданной надежности?

7. Как рассчитать погрешность прямого измерения массы и линейных размеров тел?

8. Как рассчитать погрешность косвенного измерения плотности цилиндра, параллелепипеда?

9. Как округлять и правильно записать результат измерений?

Таблица. Плотность некоторых металлов и сплавов (18⁰С)

Лабораторная работа 2. Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда

Цель работы: Проверка законов кинематики и динамики прямолинейного равноускоренного движения тел с помощью машины Атвуда.

Теоретическое введение

Материальная точка - тело, размерами которого можно пренебречь, в условиях данной задачи. Для описания положения материальной точки в каждый момент времени, необходимо выбрать систему отсчета - совокупность таймера, тела отсчета и жестко связанную с ним систему координат. В общем случае движение материальной точки, в выбранной системе отсчета, описывается мгновенным значением радиус-вектора или координат (кинематическими уравнениями движения):

или:

Линия, описываемая движущейся в пространстве точкой, называется траекторией, которая может быть прямолинейной или криволинейной.

Длина участка траектории, пройденного телом за промежуток времени называется длиной пути и является скалярной функцией от времени: .

Вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется перемещением . При прямолинейном равномерном движении модуль перемещения равен пройденному пути

Для характеристики движения вводится векторная величина - скорость . Вектором средней скорости называется отношение перемещения точки к промежутку времени , за который это перемещение произошло:

[1]

При средняя скорость стремится к предельному значению - производной перемещения по времени, которое называется мгновенной скоростью:

[2]

Если скорость не изменяется с течением времени , то движение называется равномерным. В этом случае (при движении тела вдоль оси x):

, [3]

где - координата точки в начальный момент времени.

При неравномерном движении, аналогично [1] и [2], вводят понятие векторов среднего и мгновенного ускорения :

и [4]

Если ускорение не изменяется во времени , то движение называется равноускоренным. В этом случае (при прямолинейном движении тела вдоль оси x):

и [5]

где и - координата и скорость точки в начальный момент времени .

Состояние движения тела (скорость и ускорение) может измениться только в результате взаимодействия с другими телами, мерой которого является вектор силы , и может быть установлено, при помощи законов Ньютона:

1. Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока векторная сумма, действующих на него сил равна нулю, т. е.:

, если [6]

2. Ускорение, приобретаемое телом, прямо пропорционально векторной сумме сил, действующих на него, и обратно пропорционально массе тела (где - импульс тела, m = const.):

или [7]

3. Все тела, при взаимодействии друг с другом, действуют друг на друга с равными по величине и противоположно направленными силами:

[8]

Описание установки и расчетные формулы

Для проверки законов прямолинейного движения в данной работе используется машина Атвуда, схема которого изображена на рис. 1.

Машина Атвуда состоит из укрепленного на штативе 1 блока 2, через который перекинута нить с подвешенными на ней одинаковыми грузами 3 и 4. Масса этих грузов может быть увеличена добавочными небольшими грузами (перегрузками) 5. На верхнем кронштейне установлен также электромагнитный тормоз, предназначенный для фиксации исходного положения грузов. Установка работает от блока электронного ФМ 1/1, на передней панели которого расположено табло электронного секундомера, соединенного с фотодатчиком 6.

При одинаковой массе М грузов 3 и 4 система находится в состоянии безразличного равновесия. Если на груз 4 положить перегрузок 5 (массы m), то вся система начнет двигаться равноускоренно, с ускорением .

На груз 3 и груз 4 с перегрузом 5 будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (рис.2). При этом, если масса блока невелика по сравнению с массой груза М и трение мало, то раскручивание блока практически не требует приложения к нему крутящего момента, и силы натяжения нити по обе стороны блока равны.

Применив второй закона Ньютона к каждому грузу можно записать уравнения движения системы (все силы, направленные так же как вектор ускорения, считаем положительными):

где а - ускорение системы, Т - натяжение нити, g - ускорение свободного падения.

Решение системы уравнений дает:

[9]

С другой стороны, полагая в [5] и , находим:

или [10]

где , коэффициент пропорциональности между и величиной перемещения грузов h (тангенс угла наклона графика функции , см. Введение, §1).

Теоретическое значение ускорения грузов, рассчитанное по формуле [9], можно сравнить с экспериментальным значением [10].

Изменяя величину перемещения грузов h и измеряя время движения t, находим ряд точек . Строим точки на графике , откладывая по горизонтальной оси , по вертикальной оси . Если кинематическое уравнение [10] выполняется, то экспериментальные точки должны хорошо ложиться на прямую линию, исходящую из начала координат.

Следуя рекомендациям по графическому определению параметров прямой линии, приведенным во введении в разделе «Графическая обработка результатов измерений», проводим наилучшую прямую, определяем тангенс угла ее наклона к горизонтальной оси и находим величину экспериментального ускорения грузов :

[11]

Интервала надежности полученного значения (рис. 3) можно оценить по правилам расчета погрешности косвенного измерения, зная инструментальную погрешность определения расстояния h (миллиметровая линейка, мм ) и погрешность определения времени t (электронный таймер, с):

[12]

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора интервала надежности (доверительной вероятности) p и числа измерений n.

Записываем результат в виде: ; p = ;

Выполнение работы

Приборы и принадлежности:

1. Машина Атвуда с фотодатчиком и таймером

2. 2 груза на нити, добавочные грузы.

Перед началом работы отрегулируйте положения основания при помощи регулировочных опор, используя для визуального наблюдения в качестве отвеса нить с грузами так, чтобы груз 4 с дополнительными грузами 5 при опускании проходил по центру рабочего окна фотодатчика.

1. Определить массы грузов М и перегрузов m₁ и m₂. Перекинуть через блок 2 нить с двумя грузами массой М каждый и убедиться, что система находится в положении безразличного равновесия.

2. Установить правый груз в крайнем верхнем положении и нажать кнопку «СЕТЬ» электронного блока, для включения и фиксации стартового состояния.

3. Положить на правый груз 4 добавочный груз (перегруз) m₁. Определить по шкале пройденный грузом путь как расстояние от нижней плоскости груза в верхнем положении до оптической оси фотодатчика.

4. Нажать кнопку «ПУСК» блока и записать пройденный грузом путь h и время движения грузов t в соответствующий столбец таблицы.

5. Повторить измерения 5 раз, изменяя высоту подъема груза в верхнем положении.

6. Построить график и найти среднее значение как тангенс угла наклона построенной прямой линии по формуле [11] и оценить интервал надежности по формуле [12] (полагая и , где и - наибольшие их значения в таблице).

7. Рассчитать теоретическое ускорение грузов по формуле [10] и рассчитать относительную погрешность экспериментального и теоретического значений по формуле:

8. Повторить измерения и расчеты п.п. 3-7 с другим добавочным грузом (перегрузом) - m₂.

Таблица результатов

Контрольные вопросы.

1. Материальная точка, система отсчета, система координат.

2. Траектория, путь и вектор перемещения материальной точки.

3. Вектора средней и мгновенной скорости и ускорения точки.

4. Какое движение называется равномерным? Равноускоренным? Зависимость V(t) и x(t) при равномерном и равноускоренном движении точки.

5. Основные законы динамики.

6. Вывести рабочую формулу для определения теоретического ускорения грузов в данной работе.

7. Как по графику определить среднее значение экспериментального ускорения и найти для него интервал надежности?

Лабораторная работа 3. Изучение законов вращательного движение при помощи маятника Обербека

Цель работы: Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения и определение момента инерции маятника Обербека.

Теоретическое введение

Для описания кинематики вращательного движения тела, по аналогии с кинематикой поступательного движения (см. теоретическое введение к предыдущей работе), вводятся понятия углового перемещения (угла поворота радиус-вектора r) , угловой скорости вращения и углового ускорения . Связь между линейными и угловыми величинами, описывающими движение данной точки вращающегося тела, даются выражениями:

и [1]

Для характеристики инерционности тела при вращении вводятся понятия момента инерции материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r от оси вращения и момент инерции тела , равный сумме моментов инерции всех материальных точек составляющих тело - сумме произведений масс этих точек на квадрат расстояния до оси :

[2]

Нахождение момента инерции во многих случаях значительно облегчается при использовании теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями:

[3]

Для описания вращательного движения под действием той или иной силы важна не только величина силы, но, также то, к какой точке тела она приложена. Поэтому вместо силы f , при вращательном движении используют величину момента силы относительно данной оси вращения:

[4]

где - плечо силы, кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения.

В зависимости от направления вращения, создаваемой силой, величине момента приписывается знак плюс или минус (в соответствии с правилом правого винта).

Если к телу одновременно приложены моменты нескольких сил, то они складываются, с учетом знака. Основной закон динамики вращательного движения (аналог второго закона Ньютона) связывает результирующий момент сил , действующих на тело и его угловое ускорение (аналог линейного ускорения):

[5]

где J - момент инерции тела, относительно оси вращения, определяемый выражением [2], - момент сил, приложенных к телу, относительно той же оси вращения (определяется выражением [4]).

Описание установки и расчетные формулы

Для изучения основного закона динамики вращательного движения в данной работе используется маятник Обербека, схема которого изображена на рис. 1.

рИс.

Маятник состоит из четырех стержней 1, укрепленных во втулке. На стержнях, на расстоянии от оси, закрепляются грузы 2, перемещая которые, можно менять момент инерции маятника. На одной оси с маятником насажены два шкива: большего 3 и меньшего 4 радиуса r. Гиря 5, приводящая тело во вращение, прикреплена к концу нити, которая наматывается на шкив 3 или 4. На основную гирю 5 могут надеваться от одного до четырех дополнительных грузов 6. Для фиксации времени и остановки опускания груза 5, служит фотодатчик 7.

Вращение маятника происходит под действием момента силы натяжения нити М противоположно направлению момента сил трения . Таким образом, согласно равенству [5] уравнение движения маятника имеет вид:

или [6]

Из равенства [6] видно, что если сила трения постоянна (не зависит от скорости), то зависимость величины М от является линейной функцией вида: . При этом J играет роль углового коэффициента k. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между моментом силы натяжения М и угловым ускорением позволяет найти момент инерции маятника J.

Движение гири 5 происходит под действием силы тяжести тg, где т - масса гири; g - ускорение свободного падения, и силы натяжения нити T. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид:

[7]

Ускорение движения гири а, можно найти, с одной стороны, зная время t её опускания и пройденный путь h, с другой стороны, по значению е - углового ускорения вращения шкива и r - радиуса шкива.

откуда [8]

Из уравнений [7] и [8] получаем выражение для определения момента силы натяжения нити, относительно оси вращения (массой блока и трением на оси блока пренебрегаем):

[9]

Формулы [8] и [9] позволяют найти, по экспериментальным данным, угловое ускорение и момент силы натяжения М. Проведя опыты с гирями различной массы m, находим ряд точек . Строим точки на графике , откладывая по вертикальной оси моменты сил натяжения , а по горизонтальной оси, соответствующие им угловые ускорения . Если формула [6] верна, то экспериментальные точки должны хорошо укладываться на прямую линию. Определение момента инерции маятника сводится к определению углового коэффициента прямой линии, проведенной по найденным точкам.

Следуя рекомендациям по графическому определению параметров прямой линии, приведенным во введении §2, проводим наилучшую прямую и определяем среднюю величину экспериментального значения момента инерции маятника Обербека :

[10]

Интервала надежности полученного значения можно оценить по правилам расчета погрешности косвенного измерения, зная инструментальную погрешность определения h (миллиметровая линейка, мм ) и погрешность определения времени t (электронный таймер, с):

 [11]

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора интервала надежности (доверительной вероятности) p и числа измерений n.

Записываем результат в виде: ; p = ;

Выполнение работы

Приборы и принадлежности:

1. Маятник Обербека на стойке с фотодатчиком и секундомером

2. Гиря и 4 добавочных груза

3. 4 груза (равной массы), насаженных на спицы маятника.

4. Штангенциркуль.

Выровнять стойку так, чтобы гиря при опускании не задевала фотоэлементы. Расположить фотодатчик 7 таким образом, чтобы гиря с дополнительными грузами при движении вниз проходила по центру рабочего окна фотодатчика.

1. Установить все грузы по осям крестовины на одном расстоянии = 14 см от оси вращения. Измерить штангенциркулем радиусы шкивов 3 и 4, записать в таблицу.

2. Вращая маятник и наматывая нить на шкив 3 (или 4), установить гирю 5 в крайнем верхнем положении таким образом, чтобы нижняя плоскость гири совпала с одной из рисок шкалы вертикальной стойки. Зафиксировать гирю в этом положении, нажав на кнопку «СЕТЬ» блока.

3. Определить по шкале вертикальной стойки и записать в таблицу, путь гири h - расстояние от нижней плоскости гири в верхнем положении до оптической оси фотодатчика.

4. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. При пересечении гирей оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратится. Записать время движения гири t в таблицу и нажать клавишу «СБРОС».

5. Повторить пункты 2 - 4 увеличивая массу гири m с помощью дополнительных грузов 6, не изменяя значения h. Всего провести не менее 10-ти измерений (5 со шкивом 3 и 5 со шкивом 4) .

6. По формулам [8] и [9] рассчитать значения е и М. Построить график функции . Пользуясь графиком, по формуле [10], определить момент инерции и, по формуле [11], оценить интервал надежности (полагая , где - наибольшее значение в таблице). Записать результат в таблицу, в стандартном виде.

7. Повторить пункты 1 - 7 при двух других значениях расстояний грузов от оси вращения на осях крестовины ( 11 см и 9 см).

8. Построить график зависимости , если верна теорема Штейнера (формула [3]), то точки должны хорошо ложиться на прямую линию. Провести прямую линию и найти значение момента инерции маятника без грузов J_с (по точке пересечения проведенной прямой с осью ординат), записать это значение в таблицу результатов.

Таблица результатов

Контрольные вопросы

1. Понятия момента инерции материальной точки, момента инерции тела и единица измерения момента инерции в системе СИ.

2. Как вычислить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела, относительно произвольной оси?

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Угловое ускорение тела вращающегося вокруг оси и единица ее измерения.

5. Связь углового и тангенциального ускорения при вращательном движения.

6. Как определяется момент силы, и в каких единицах его измеряют?

7. Как можно изменить момент силы, приводящий во вращение маятник Обербека?

8. Основное уравнение динамики вращательного движения. Записать в математическом виде.

9. Какие силы действуют на маятник Обербека и груз во время движения? Показать силы на рисунке и написать уравнения движения маятника.

10. Как графически определить момент инерции маятника Обербека в данной работе и оценить интервал надежности?

Лабораторная работа 4. Изучение сложного движения твердого тела с помощью маятника Максвелла

Цель работы: Изучение сложного движения твердого тела и проверка закона сохранения полной энергии на примере движения маятника Максвелла.

Теоретическое введение

Существует два основных вида движения твердого тела - поступательное и вращательное.

Поступательное движение

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по модулю и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми.

Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра масс) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

Для описания кинематики поступательного движения тела вводятся понятия перемещения (где и - радиус-векторы конечной и начальной точек, соответственно), скорости и ускорения .

Инерционность поступательного движения тела характеризуется его массой .

Основной закон динамики поступательного движения тела связывает векторную сумму сил, действующих на тело, с величиной ускорения тела (второй закон Ньютона):

[1]

Полная механическая энергия поступательно движущегося (в поле тяготения Земли) тела, равна сумме его кинетической и потенциальной составляющих:

[2]

где - ускорение свободного падения, - высота тела от поверхности Земли.

Вращательное движение

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Для описания кинематики вращательного движения тела, по аналогии с кинематикой поступательного движения, вводятся понятия углового перемещения (угла поворота радиус-вектора r, начинающегося на оси вращения) , угловой скорости вращения и углового ускорения .

Связь между линейными и угловыми величинами, описывающими движение данной точки вращающегося тела, даются выражениями:

и [3]

Инерционность тела при вращении характеризуется моментом инерции, равным сумме моментов инерции всех материальных точек составляющих тело - сумме произведений масс этих точек на квадрат расстояния до оси :

[4]

При вращательном движении используют величину момента силы f относительно данной оси вращения:

[5]

где - плечо силы (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения). В зависимости от направления вращения, создаваемой силой, величине момента приписывается знак плюс или минус (в соответствии с правилом правого винта). Если к телу одновременно приложены моменты нескольких сил, то они складываются, с учетом знака.

Основной закон динамики вращательного движения (аналог второго закона Ньютона) связывает результирующий момент сил , действующих на тело и его угловое ускорение :

[6]

где J - момент инерции тела, относительно оси вращения [4]. Кинетическая энергии вращающегося тела:

[7]

Сложное движение

Оказывается, что любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух указанных выше основных видов движения, при этом полная механическая энергия тела равна:

[8]

В замкнутой консервативной системе тел (при отсутствии потерь на преодоление сил сопротивления и трение) сумма их полных механических энергий [8] сохраняется (закон сохранения полной механической энергии консервативной системы тел).

Если замкнутая система тел не является консервативной, то часть этой энергии переходит в немеханическую форму (тепловую, энергию излучения), но остается в системе. В этом случае будет сохраняться сумма полной механической и всех других форм энергии тел вместе взятых (закон сохранения энергии замкнутой системы тел). Разность запаса потенциальной и полной кинетической энергий позволяет определить величину работы, совершенной системой против сил сопротивления.

Описание установки и расчетные формулы

Общий вид установки, используемой в настоящей работе, представлен на рис. 1. Маятник Максвелла представляет собой металлический диск 1, в середине которого укреплен стержень 2. К концам этого стержня прикреплены две крепкие (капроновые) нити 3. Они наматываются на стержень (от концов его к диску). Фиксация диска маятника осуществляется при помощи электромагнита, входящего в устройство регулировки исходного положения 5. Фотодатчик 4 служит для остановки таймера. Диск маятника представляет собой непосредственно сам диск и сменные кольца 6, закрепляющиеся на диске.

При освобождении маятника он начинает движение: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси симметрии. Вращение, продолжаясь по инерции в низшей точке движения (когда нити уже размотаны), приводит вновь к наматыванию нитей на стержень, а, следовательно, и к подъему маятника. В верхней точке, маятник останавливается и снова начинает свое движение вниз и т.д. Ход маятника (расстояние, проходимое маятником) может быть измерено по вертикальной рейке с делениями, укрепленной на стойке. Уравнения движения маятника без учета сил трения имеют вид:

 [9]

где m - масса маятника, J - момент инерции маятника, g - ускорение силы тяжести, r - радиус стержня, Т - сила натяжения каждой нити, а - ускорение поступательного движения центра масс маятника, - угловое ускорение маятника.

Решение системы уравнений [9] позволяет рассчитать теоретическое ускорение поступательного движения центра масс маятника:

[10]

С другой стороны, ускорение , можно определить по измеренному времени движения и расстоянию , проходимому маятником:

[11]

Масса маятника является суммой масс его частей (оси m₀, диска m_д и кольца m_к):

т = m₀ + m_д + m_к. [12]

Момент инерции маятника J , также определяется суммой моментов инерции его частей ( - моменты инерции оси, диска и кольца маятника):

[13]

где r - радиус оси, т₀ = 0,019 кг - масса оси, - радиус диска, m_д = 0,1 кг - масса диска, R_к - внешний радиус кольца, m_к - масса кольца.

Зная линейное ускорение , легко найти скорость движения оси маятника и угловую скорость его вращения, для любого момента времени :

и [14]

Полная кинетическая энергия маятника складывается из энергии поступательного перемещения центра масс (совпадающего с центром оси) и из энергии вращения маятника вокруг оси:

[15]

Интервал надежности

Интервал надежности экспериментального значения ускорения маятника [11], можно рассчитать по правилу расчета погрешности косвенных измерений:

, где [16]

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора доверительной вероятности p и числа измерений n.

Выполнение работы

Приборы и принадлежности:

1. Маятник Максвелла на стойке с фотодатчиком и секундомером

2. Съемное кольцо

3. Штангенциркуль

Внимание! Все измерения необходимо производить с большой осторожностью, так как маятник легко повредить, если даже незначительно погнуть его стержень.

1. Нажать кнопку «СЕТЬ». Аккуратно вращая маятник, зафиксировать его в верхнем положении при помощи электромагнита, при этом необходимо следить за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку. Нажать на кнопку «СБРОС».

2. Нажать на кнопку «ПУСК» блока. По шкале стойки определить ход маятника h, по показаниям таймера - время движения груза t и записать значения h и t, в соответствующую строку таблицы 1. Нажать клавишу "СБРОС".

3. Повторить пункты 1 - 2, не менее 5 раз, записывая результаты измерений в соответствующую строку таблицы 1.

4. Найти среднее значение измеренных значений и и записать в таблицу 1. Определить экспериментальное значение ускорения и вычислить интервал надежности по формулам [16].