Цель работы: Применение законов сохранения (момента импульса и энергии) для определения скорости полета «пули» с помощью крутильного маятника.

1. Теоретическое введение

Для характеристики инерционности тела при вращении вводятся понятия момента инерции материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r от оси вращения и момент инерции тела , равный сумме моментов инерции всех материальных точек составляющих тело - сумме произведений масс этих точек на квадрат расстояния до оси :

[1]

Нахождение момента инерции во многих случаях значительно облегчается при использовании теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями:

[2]

Моментом силы относительно некоторой точки «O» называется векторная величина , определяемая выражением

[3]

где - радиус-вектор, проведенный из точки «O» в точку приложения силы.

Направление вектора M определяется по правилу правого винта. Момент силы направлен вдоль оси вынуждаемого вращения (он не имеет конкретной точки приложения, как обычные вектора), т.е. является аксиальным псевдовектором. Основной закон динамики вращательного движения (аналог второго закона Ньютона) связывает результирующий момент сил , действующих на тело и его угловое ускорение (аналог линейного ускорения):

 или [4]

где J - момент инерции тела, относительно оси вращения, определяемый выражением [1],

Импульсом тела называется вектор, равный произведению массы тела на его скорость движения:

. [5]

Моментом импульса материальной точки, относительно данной оси, называется вектор, определяемый векторным произведением радиус-вектора точки на его импульс:

. [6]

Модуль момента импульса точки, относительно оси равен:

где - кратчайшее расстояние от точки до оси, - момент инерции точки, относительно оси, - угловая скорость вращения.

Полная механическая энергия тела, массой , может быть представлено как сумма кинетических энергий его поступательного и вращательного движений и потенциальной энергии взаимодействия с другими телами:

[7]

где - кинетическая энергия поступательного, - кинетическая энергия его вращательного движения, а - потенциальная энергия.

Законы сохранения в механике

В замкнутой системе материальных тел, векторная сумма импульсов тел сохраняется - закон сохранения импульса (при этом векторная сумма всех внешних сил равна нулю):

Если , то [8]

В замкнутой консервативной системе (при отсутствии потерь на преодоление сил сопротивления) сумма их полных механических энергий [7] сохраняется - закон сохранения полной механической энергии.

Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему, относительно какой-либо оси равен нулю, то суммарный момент импульса такой системы материальных точек, относительно данной оси сохраняется - закон сохранения момента импульса:

Если , то [9]

В данной работе рассматривается система двух тел: «пуля» и рама крутильного маятника. Суммарный момент внешних сил в этом случае равен нулю и выполняется закон сохранения суммарного момента импульса.

Крутильный маятник

Крутильным маятником называется тело (рама на рис. 1), подвешенное на упругой нити, которая натянута между двумя неподвижными опорами (унифилярный подвес), и способное совершать крутильные колебания в плоскости перпендикулярной нити.

Так как момент сил тяжести и силы натяжения нити, относительно оси вращения маятника равны нулю, результирующий момент равен моменту силы упругости нити (закон Гука):

, [10]

где - модуль кручения нити. Величина D зависит от длины проволоки, её диаметра и модуля сдвига, характеризующего упругие свойства материала проволоки. Знак минус в [10], учитывает противоположность направлений вращательного момента и угла закручивания нити маятника.

Подставляя [10] в [4], и учитывая, что угловое ускорение , где - вторая производная по времени угла закручивания нити, получим:

[11]

Поделим уравнение [11] на и перенесем все слагаемые влево:

,

где - собственная частота колебания маятника. Решение данного уравнения:

,

где - амплитуда (максимальный угол закручивания нити), - начальная фаза колебания.

Таким образом, крутильный маятник совершает гармонические колебания с частотой и периодом . [12]

При крутильных колебаниях, происходит преобразование кинетической энергии вращательного движения тела в потенциальную энергию упругости нити, и обратно. Полная энергия маятника (без учета потерь энергии на сопротивление среды) в любой момент времени равна их сумме:

[13]

Описание установки и расчетные формулы

Основным элементом установки (рис. 1) является крутильный маятник. «Пулей» служит тонкое металлическое кольцо 1. К стойке на кронштейне крепится «пистолет» 2, состоящий из направляющего стержня с пружиной и спускового устройства. К стойке также на кронштейне крепится фотодатчик 3, соединенный с электронным блоком регистрации времени и числа колебаний (на рисунке не показан).

Рис.

После выстрела «пуля» 1 попадает в «мишень» 4 и прилипает к ее поверхности. Соударение пули с мишенью происходит за столь короткое время, что действием момента сил упругости нити за это время можно пренебречь. Сумма моментов внешних сил, действующих на рамку (сил тяжести и натяжения нити) относительно вертикальной оси равны нулю.

Момент импульса «пули», относительно оси вращения рамки до соударения: , где т - масса «пули», - его скорость, l - прицельное расстояние (рис. 2).

Момент импульса рамки маятника, относительно оси вращения после соударения: , где - момент инерции рамки, относительно оси вращения, - угловая скорость вращения рамки.

По закону сохранения момента импульса системы: «пуля» - маятник, имеем: L₁ = L₂, следовательно:

. [14]

Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно найти угловую скорость рамки , после удара и момент инерции рамки , относительно оси вращения:

[15]

где - моменты инерции рамки с грузами и без грузов, М - масса каждого из грузов, l₁ - расстояние грузов от оси вращения. Выражение [15], является следствием теоремы Штейнера [2]. Вкладом в момент инерции прилипшей «пули» пренебрегаем, из-за малости его массы.

Момент инерции рамки с грузами можно найти из измерений периода колебаний рамки с грузами и без них .

[16]

где D - модуль кручения проволоки.

Исключая модуль кручения D из формул [16], находим момент инерции рамки с грузами:

. [17]

Для нахождения угловой скорости вращения маятника воспользуемся законом сохранения энергии, полученной маятником после удара. Приравняв, кинетическую энергию вращательного движения рамки после удара потенциальной энергии закрученной нити , находим угловую скорость рамки сразу после удара:

[18]

Подстановка соотношений [17] и [18] в уравнение [14] дает окончательную формулу:

[19]

Интервала надежности полученного значения можно оценить по правилам расчета погрешности косвенного измерения:

[20]

где - коэффициент Стьюдента, зависящий от выбора интервала надежности (доверительной вероятности) p и числа измерений n.

Записываем результат в виде: ; p = ;

Выполнение работы

Убедитесь, что «мишень» 4 находится на линии «выстрела» и перпендикулярна ей, а флажок 6 пересекает при колебаниях рамки оптическую ось фотодатчика 3.

1. Установите грузы 5 на рамке. Измерьте штангенциркулем расстояние l₁ от оси вращения рамки до центров грузов. С помощью лабораторных весов определите массу груза М и массу «пули» т. Записать все данные и погрешности их измерений в таблицу.

2. Установить «пулю» на стержень спускового устройства 2, взвести пружину и произвести «выстрел». Визуально определить максимальный угол _m отклонения рамки по шкале угловых перемещений с помощью флажка 7, закрепленного на рамке.

3. Измерить штангенциркулем прицельное расстояние l от оси вращения рамки до центра отпечатка «пули» в мишени.

4. Повторить пункты 2 - 3 не менее 3 раз и все данные занести в таблицу.

5. Отклоните рамку с грузами на угол 40° градусов и зафиксируйте с помощью электромагнита, нажав кнопку «СЕТЬ» блока.

6. Нажмите кнопку «СБРОС», для сброса показания таймера. Нажмите кнопку «ПУСК», и определите время t, за которое происходит N = 1015 колебаний рамки. Для регистрации времени необходимо нажать кнопку «СТОП». Вычислите период колебаний рамки с грузами: .

7. Снимите грузы 5 с рамки и аналогично п. 6. проведите измерения времени t₀, за которое происходит N = 1015 колебаний. Для регистрации времени необходимо нажать кнопку «СТОП». Вычислите периоды колебания рамки без грузов:

8. Вычислите среднее значение угла максимального отклонения при выстреле: , где п - количество измерений.

9. Используя среднее значение всех величин, вычислите по формуле [19] скорость снаряда . По формуле [20] оценить интервал надежности измерения скорости и записать результат измерения в таблицу, в стандартном виде.

Таблица результатов.

Контрольные вопросы

1. Импульс материальной точки, тела.

2. Из чего складывается полная механическая энергия тела?

3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии, импульса.

4. Что называется моментом инерции, силы, импульса? В каких единицах измеряются эти величины?

5. Что называется крутильным маятником?

6. Запишите дифференциальное уравнение вращения рамки маятника.

7. Запишите формулу для определения периода колебаний рамки маятника.

8. Из чего складывается полная энергия маятника?

9. Выведите формулу для определения скорости пули, в данной работе.

Лабораторная работа 8. Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

Цель работы: Определение коэффициента вязкости жидкости с использованием закона Стокса.

Теоретическое введение

Часть механики, занимающаяся изучением движения жидкости, называется гидродинамикой. Основные законы гидродинамики (теорема о неразрывности струи, уравнение Бернулли и .д.) получены для так называемой «идеальной жидкости», которая должна быть абсолютно несжимаемой. Идеальная жидкость служит лишь более или менее хорошим приближением к реальным жидкостям.

Всякая реальная жидкость обладает вязкостью или внутренним трением, т.е. свойство оказывать сопротивление перемещению одних слоев жидкости относительно других. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущейся медленнее, действует ускоряющая сила и, наоборот, со стороны медленного слоя на более быстрый действует задерживающая сила. Эти силы направлены по касательной к поверхности слоев.

Пусть два слоя жидкости (рис. 1), отстоящие друг от друга на расстоянии , имеют соответственно скорости, и . Положим . Направление, в котором отсчитывается , перпендикулярно к скорости течения слоёв.

Предел отношения показывает, как быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою и называется градиентом скорости.

Сила внутреннего трения, действующая между двумя слоями с поверхностью соприкосновения слоёв S, пропорциональна градиенту скорости, площади рассматриваемой поверхности и определяется законом Ньютона для жидкостей и газов.

[1]

где - коэффициент вязкости жидкости, измеряется в .

Коэффициентом вязкости жидкости называется сила внутреннего трения, возникающая на единице площади поверхности соприкасающихся слоёв, движущихся с градиентом скорости, равным единице и весьма сильно зависит от температуры.

Описание установки и расчетные формулы

Установка представляет собой вертикально установленный стеклянный цилиндр, заполненный до краев, вязкой жидкостью - глицерином. На боковой поверхности цилиндра, расположены две метки, на расстоянии друг от друга (рис. 2).

Для нахождения коэффициента вязкости используется метод Стокса, основанный на измерении времени падения в жидкости твёрдого шарика малых размеров.

На шарик, диаметром и плотностью , падающий в вязкой жидкости, плотностью , действуют три силы:

1. Cила тяжести:

; [2]

2. Выталкивающая сила Архимеда (равная весу вытесненной шариком жидкости):

; [3]

3. Сила внутреннего трения, определяемая законом Стокса:

, [4]

где - вектор скорости движения шарика.

В первый момент времени, когда сила тяжести превышает сумму выталкивающей силы и силы трения, шарик падает ускоренно. Однако, при увеличении скорости падение возрастает сила вязкого трения. Через некоторое время равнодействующая всех сил, действующих на шарик, становится равной 0;

[5]

и устанавливается постоянная скорость падения. С учетом направления действия сил (рис.2), равенство можно записать в виде:

. [6]

Подставляя [2], [3] и [4] в выражение [6] находим коэффициент вязкости :

[7]

где - ускорение свободного падения.

Учтем, что скорость равномерного падения шарика в жидкости: , где - расстояние, пройденное шариком (рис. 2.), - время его падения. Тогда получим:

[8]

Выполнение работы

Приборы и принадлежности.

1. Стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью.

2. Набор шариков.

3. Микрометр.

4. Линейка.

5. Секундомер.

6. Термометр.

1. Определить по термометру температуру воздуха в лаборатории. Измерить линейкой расстояние между метками на цилиндре с точностью до 1 мм.

2. Измерить диаметр шарика с помощью микрометра.

3. Опустить шарик в цилиндр с жидкостью и определить время падения шарика между метками на цилиндре с помощью секундомера.

4. Повторить пункты 3,4 не менее 5 раз и вычислить средние арифметические значения диаметра шарика и времени его падения .

5. Найденное значение и подставить в формулу [8] и вычислить среднее значение коэффициента вязкости . Значения приведены в таблице, прилагаемой к лабораторной установке.

6. Определить абсолютные значения ошибок в измерении диаметра и времени падения шарика для каждого опыта по формулам:

;

7. Вычислить ошибки в определении d и t для коэффициента надёжности и по формулам:

;

8. Пренебрегая ошибками в определении и , вычислить суммарную относительную погрешность коэффициента вязкости с помощью выражения:

9. Вычислить интервал надежности определения коэффициента вязкости по формуле:

10. Данные измерений и вычислений занести в таблицу. Окончательный результат записать в виде: .

Таблица результатов

Контрольные вопросы

1. Закон Ньютона для силы внутреннего трения вязких жидкостей.

2. Физический смысл коэффициента вязкости и единицы его измерения.

3. Сила, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ. Закон Архимеда.

4. Математическая запись закона Стокса. От чего зависит сила сопротивления?

5. Условие равномерного и неравномерного движения тела в вязкой жидкости.

6. Вывод формулы [8] для определения коэффициента вязкости с использованием закона Стокса.

Лабораторная работа 9. Определение отношения теплоемкостей идеального газа методом Клемана - Дезорма

Цель работы: Определение коэффициента Пуассона методом адиабатического сжатия.

Теоретическое введение

Идеальным газом называется система молекул, которые находятся в непрерывном хаотическом движении и между ними отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия. Вдали от области фазовых превращений реальные газы можно считать идеальными.

Число параметров, определяющих положение и ориентацию молекул газа в пространстве, будем называть числом ее степеней свободы - .

Согласно положению о равнораспределении энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы молекулы приходится энергия равная: , поэтому средняя энергии молекулы газа, должна равняться:

[1]

где - сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы, - постоянная Больцмана.

Для молекул с жесткими межатомными связями (нет колебательных степеней свободы) имеем:

1. Одноатомная молекула - (три поступательные степени свободы).

2. Двухатомная молекула - (три поступательные и две вращательные степени свободы).

3. Трехатомная молекула - (три поступательные и три вращательные степени свободы).

Внутренняя энергия одного моля идеального газа, содержащего молекул, равна:

[2]

где - универсальная газовая постоянная. Для (где - общее число молекул) молей газа имеем:

[3]

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева - Клапейрона) связывает - давление, объем и абсолютную температуру газа:

[4]

где - масса газа, - молярная масса газа (масса одного моля).

Теплоёмкостью тела называется величина, численно равная количеству теплоты , которую необходимо ему сообщить, чтобы изменить температуру на один градус Кельвина:

[5]

где - изменение температуры тела, - количество теплоты, сообщённое телу. Поделив [5] на массу газа и на молярную массу , получим, соответственно удельную и молярную теплоемкости:

; [6]

Для определения теплоёмкости идеального газа воспользуемся первым началом термодинамики, согласно которому количество теплоты - , переданное системе затрачивается на изменение её внутренней энергии и совершение системой работы против внешних сил:

[7]

Из выражения [7], следует, что величина теплоемкости зависит от способа нагревания:

Изохорный процесс:

При изохорном процессе изменение объема , в этом случае с учётом равенств [7] и [3] получим величину теплоёмкости при постоянном объеме:

или [8]

Изотермический процесс:

В этом случае изменение температуры , и первое начало термодинамики имеет вид:

Так как, температура не меняется, теплоемкость . Изотермический процесс описывается уравнением Бойля-Мариотта:

 [9]

Изобарный процесс:

При изобарном процессе:

[10]

После дифференцирования уравнения Менделеева-Клайперона [4] при постоянном давлении получим:

[11]

Выражение [11] позволяет выяснить физический смысл универсальной газовой постоянной: она численно равна работе совершаемой одним молем идеального газа при повышении его температуры на 1К, при изобарном процессе.

Подставив [11] в [10] и, учитывая [8] найдем теплоемкость при изобарном процессе:

[12]

Разделив [12] на число молей , получим уравнение Майера, связывающее молярные теплоёмкости идеального газа (теплоёмкости одного моля вещества):

[13]

Поделив [12] на [8], найдем отношение теплоемкостей (коэффициент Пуассона) для идеального газа:

[14]

Используя [14], находим теоретические значения для идеальных газов:

для одноатомного ,

для двухатомного,

для трехатомного идеального газа .

Для экспериментального определения этого отношения Клеман и Дезорм предложили метод адиабатического сжатия. Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой , для такого процесса первое начало термодинамики, с учетом [8] имеет вид:

[15]

отсюда следует, что при адиабатическом изменении объема газ совершает работу за счёт изменения своей внутренней энергии. Поэтому при таком процессе температура газа изменяется: при сжатии повышается, а при расширении уменьшается. Решая совместно [15] и [4] можно получить уравнение Пуассона для адиабатического процесса:

[16]

Для определения по методу Клемана-Дезорма нужно осуществить замкнутый процесс (цикл), диаграмма которого приведена на рис. 1. Уравнение Пуассона для адиабатического сжатия кривая (1-2):

[17]

при этом температура и давление газа увеличиваются до и , соответственно. Если при постоянном объеме температуру уменьшить до первоначального значения , то давление уменьшится от до , (отрезок 2-3). При последующем изотермическом процессе 3-1, который описывается выражением [9], газ возвращается в исходное состояние.

[18]

возведем равенство [18] в степень и разделим его на равенство[17]. После сокращения на получим:

или [19]

Описание установки и расчетные формулы

Для осуществления метода Клемана-Дезорма используется прибор (рис. 2) состоящий из большого стеклянного баллона Б, соединенного с насосом Н и водяным манометром М. на пробке баллона имеется клапан К, при открытии которого баллон сообщается с атмосферным воздухом. Клапан открывается рычагом. Если при открытом клапане К медленно откачать из баллона воздух, то температура в нем изменится, а давление будет меньше атмосферного на величину , т.е.

[20]

это состояние соответствует точке 1 (рис. 1). Величина измеряется манометром М, по разности уровней жидкости в манометре h. Для осуществления адиабатического процесса 1-2 нужно на короткое время открыть клапан К, при этом давление воздуха в баллоне сравняется с атмосферным.

Если после откачивания в баллоне объемом остается масса воздуха m, то при открывании клапана в баллон войдёт дополнительная порция воздуха, а масса m займет меньший объем при давлении . Т.к. процесс кратковременный и заметного теплообмена газа в баллоне с окружающей средой нет, то процесс можно считать близким к адиабатному. После адиабатического сжатия (кривая 1-2) температура воздуха в баллоне повышается до (точка 2).

В результате теплообмена температура газа в баллоне через 2-3 мин. практически станет равной комнатной, а давление будет меньше атмосферного (точка 3):

[21]

процесс теплообмена (2-3) происходит при постоянном объеме. Конечное состояние этого процесса соответствует точке 3. т.к. точки 1 и 3 соответствуют одинаковой температуре, то они должны лежать на одной изотерме, для которой выполняется выражение[18].

Т.к. давление измеряется жидкостным манометром, то и формулы [20] и [21] можно заменить на значения давления в мм водяного столба:

и [22]

Для определения через и подставим последние выражения в [19] и разложим и в ряд Тейлора и, ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим :

[23]

значения , найденные по формуле [23], сильно зависят от времени, на которое открывается клапан 3. это связанно с тем, что чем меньше время, тем меньшее количество теплоты отдает газ, через стенки сосуда и тем ближе процесс к адиабатическому, а измеренное значение ближе к истинному.

Выполнение работы

Приборы и принадлежности.

1. Стеклянная колба с клапаном.

2. Водяной манометр.

3. Электронный секундомер.

1. Включите электронный секундомер. Запуск и остановка секундомера осуществляется рукояткой клапана К (рис.2). Установите нулевые показания специальной кнопкой, расположенной на секундомере.

2. Откачайте насосом воздух из баллона до величины разностей в манометре около 22 см. воздух в баллоне при этом охлаждается, поэтому нужно выждать 2-3 мин, пока благодаря теплообмену, температура в баллоне не станет комнатной. После этого отсчитайте и запишите разность уровней жидкости в манометре. Отсчет следует брать по нижнему краю мениска.

3. Нажмите рукоятку клапана К, и по секундомеру, проследите чтобы время, на которое открывается кран было не больше одной секунды. При этом сосуд сообщается с атмосферой и воздух в баллоне нагревается. Выждав 2-3 минуты, пока температура воздуха в баллоне не станет равной температуре окружающей среды, измеряют манометром разность давлений .

4. Повторить пункты 2-3 не менее 5 раз для различных интервалов времени (0,1 с., 0,2 с., 0,3 с., 0,4 с., 0,5 с.) на которые открывается кран. Результаты измерений занесите в таблицу:

5. По формуле [23] определите 5 значений и постройте по точкам зависимость , определите точку пересечения проведенной линии с осью ординат и найдите истинное значение

6. Рассчитайте относительную погрешность полученного и теоретического значения для двухатомного идеального газа , по формуле:

Таблица результатов

Контрольные вопросы

1. Какой газ называют идеальным? При каких условиях реальные газы можно рассматривать как идеальные?

2. Что называется числом степеней свободы молекул газа?

3. Положение о равнораспределении энергии по степеням свободы.

4. Чему равна средняя энергии молекулы газа? Внутренняя энергия идеального газа.

5. Уравнение состояния идеального газа. Какие параметры входят в это уравнение, их физический смысл.

6. Что называется теплоемкостью тела? Удельной и молярной теплоемкостью вещества? Единицы измерения.

7. Первое начало термодинамики и физический смысл его параметров. Работа расширения газа.

8. Почему теплоёмкость газа зависит от условий нагревания?

9. Какой процесс называется изохорным, изотермическим, изобарным?

10. Какой процесс называется адиабатическим?

11. Вывести уравнение Майера [13]. Теоретическое значение коэффициента Пуассона для идеального газа с различным числом атомов в молекуле[14].

12. Из каких процессов состоит цикл в данной работе? Как определяется в данной работе?

Лабораторная работа 10. Определение модуля сдвига материала пружины с помощью пружинного маятника

Лабораторная работа 11. Определение модуля Юнга по стреле прогиба прямоугольной пластины