Размещено на http://www.allbest.ru/

Развитие мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий



Содержание

• Введение
• Глава 1. Теоретические аспекты развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий
• 1.1 Характеристика формирования определений математических понятий у младших школьников
• 1.2 Методика формирования определений математических понятий у младших школьников
• 1.3 Возможности развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий
• Выводы по главе 1
• Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по организации развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий
• 2.1 Диагностика развития мышления у младших школьников
• 2.2 Реализация педагогических условий для развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий
• 2.3 Эффективность педагогических условий для развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий
• Выводы по главе 2
• Заключение
• Список литературы


Введение

Актуальность исследования. Огромная роль в процессе умственного воспитания и развития интеллекта ребенка принадлежит математике. В современных условиях, а тем более в будущем, математика будет нужна большому числу людей разных профессий. Это можно объяснить тем, что математика обладает огромным потенциалом, который необходимо использовать в целях развития детского мышления, причем начиная с самого раннего возраста.

Реформирование общего начального образования в России ставит перед современной школой задачу, решение которой заключено не только в том, чтобы ученики приобрели необходимые знания, но, помимо этого, умели применить их на практике, самостоятельно проявляли бы интерес к изучению нового. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО) указывает, что: «Ознакомление школьников с математикой должно рассматриваться, как особый метод миропонимания, познания ими диалектической связи математики с действительностью и математического моделирования сопутствующего развитию их научного мировоззрения». В связи с этим, начальная школа в нашей стране активно использует различные приемы, способствующие усвоению учащимися математических понятий и формированию у них общих и специфических умственных действий.

Современная психология и дидактика подвергает серьезному сомнению правильность устоявшегося утверждения о том, что в процессе овладения знаниями школьного математического курса, мышление ученика формируется автоматически. Школьника необходимо специально учить уметь мыслить. Учащиеся должны получать знания о сущности умственных действий и их последовательности, что, в свою очередь, обеспечит успешное усвоение школьного математического курса. Однако, на сегодняшний день, какой-либо конкретной программы формирование логических приемов мышления, которые должны быть сформированы при изучении конкретного предмета, к сожалению, нет. Педагогическая работа, направленная на формирование и развитие логического мышления школьников иногда идет без учета системы необходимых приемов, без знания их содержания последовательности формирования. В результате этого, учащиеся зачастую не имеют достаточных знаний об основных приемах мышления, даже достигнув старшего школьного возраста. И это происходит несмотря на то, что данными приемами должны уже владеть младшие школьники, т.к. это необходимо для полноценного усвоения материала.

Процесс образования и становления понятий, переход к ним от чувственных форм отражения, представляет собой целую совокупность приемов умственной деятельности, таких как: анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Понятие -это мысль, в которой отражаются общие, существенные свойства предметов. Вместе с тем, с помощью понятий можно расчленять предметы, группировать их, классифицировать в соответствии с их различиями. Таким образом, любое умственное действие является неотделимым элементом внутренней структуры любого понятия, его механизма.

Исходя из вышеизложенного, можно говорить о том, что незнание приемов мышления или неумение их правильно использовать учащимися, повлечет за собой возникновение трудностей при усвоении ими системы понятий, в том числе относящихся и к математическим дисциплинам. При этом, следует отметить, что математические понятия являются базой для познания действительности, представляя собой, в то же время, своеобразный итог познания. Поэтому, понятия следует воспринимать, как одну из ключевых составляющих содержания любой учебной дисциплины, в том числе и математики. Таким образом, формирование понятийного мышления необходимо начинать в начальной школе, раскрывая и совершенствуя его в течение всей жизни.

Объект исследования - процесс развития мышления младших школьников.

Предмет исследования - развитие мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий.

Цель исследования - теоретически обосновать и апробировать педагогические условия развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий.

Задачи исследования:

1) Изучить характеристику формирования определений математических понятий у младших школьников;

2) Исследовать методику формирования определений математических понятий у младших школьников;

3) Проанализировать возможности развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий;

4) Провести диагностику развития мышления у младших школьников;

5) Реализовать педагогические условия для развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий;

6) Оценить эффективность педагогических условий для развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий.

Гипотеза исследования: развитие мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий будет эффективным, если:

1) будут использованы дидактические игры;

2) задания будут иметь творческий характер;

3) задания будут иметь проблемный характер.

Для решения поставленных задач использовались такие методы исследования, как анализ психолого-педагогической литературы; нормативно-правовой литературы, анализ результатов деятельности учащихся; эксперимент, включающий констатирующий, формирующий, контрольный этапы исследования; обработка результатов эксперимента.

База исследования - «Малиновоозерская СОШ».

Научная новизна исследования. В исследовании проведена реализация педагогических условий для развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий

Практическая значимость исследования. В исследовании доказано, что развитие мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий будет более эффективным, если будут решаться задачи на распознавание; будет вестись работы над существенными и несущественными свойствами. Материалы исследования могут быть использованы в практике обучения детей младшего школьного возраста.

Структура работы - исследование включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы и приложения.



Глава 1. Теоретические аспекты развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий

1.1 Характеристика формирования определений математических понятий у младших школьников

Исследования многих отечественных педагогов и психологов выявили способность учащихся начальных классов к усвоению абстрактных понятий, овладению обобщёнными приёмами умственной деятельности. Однако, следует отметить, что данная способность наиболее ярко проявляется в том случае, если работа целенаправленная и организованная. По сути, была доказана педагогическая целесообразность обучения школьников младших классов логическим операциям, связанным с понятиями, суждениями и умозаключениями [28].

Педагогическая, психологическая и методическая литература указывает, что в основе познания лежит мышление. Причем характерная особенность детского мышления заключается в его наглядности, чувственно-практической направленности.

Мышление - это высший познавательный процесс - это движение идей, раскрывающее суть вещей. Его итогом является не образ, а некоторая мысль, идея. Мышление - это особого рода теоретическая и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций ориентировочно - исследовательского, преобразовательного и познавательного характера [34].

Мышление - высшая ступень человеческого познания. Позволяет получать знание о таких объектах, свойствах и отношениях реального мира, которые не могут быть непосредственно восприняты на чувственной ступени познания. Формы и законы мышления изучаются логикой, механизмы его протекания психологией и нейрофизиологией. Кибернетика анализирует мышление в связи с задачами моделирования некоторых мыслительных функций [29].

Теоретическое понятийное мышление - это такое мышление, пользуясь которым человек в процессе решения задачи обращается к понятиям, выполняет действия в уме, непосредственно не имея дела с опытом, получаемым при помощи органов чувств. Он обсуждает и ищет решения задачи с начала до конца в уме, выраженными в понятийной форме, суждениях умозаключениях. Теоретическое понятийное мышление характерно для научных теоретических исследований.

Теоретическое образное мышление - отличается тем, что материалом, который здесь использует человек для решения задачи, являются не понятия, суждения или умозаключения, а образы. Они или непосредственно извлекаются из памяти, или творчески воссоздаются воображением. Таким мышлением пользуются работники литературы, искусства вообще люди творческого труда, имеющие дело с образами.

Наглядно-образное - мыслительный процесс непосредственно связан с восприятием мыслящим человеком окружающей действительности и без человека совершаться не может. Мысля наглядно образно, человек привязан к действительности, а сами необходимые для мышления образы представлены в его кратковременной и оперативной памяти (в отличие от этого образы для теоретического образного мышления извлекаются из долговременной памяти и затем преобразуются).

Наглядно-действительное - процесс мышления представляет собой практическую преобразованную деятельность, осуществляемую человеком с реальными предметами. Этот тип мышления широко представлен у людей, занятых реальным производственным трудом, результатом которого является создание какого - либо конкретного материального продукта [34].

В процессе отражения окружающей действительности познание принято различать, выделяя познание логическое и познание чувственное. Школьники младшего школьного возраста познают окружающую среду через ощущения, которые вызваны деятельностью их органов чувств. Головной мозг отражает отдельные, изолированные свойства, внешние стороны предметов, явлений, непосредственно воздействующих на органы чувств. Однако, принимая во внимание тот факт, что какого-либо отдельного свойства, изолированного от предмета, явления материального мира не существует, можно утверждать, что отражая отдельные свойства предмета, головной мозг неизбежно отразит в сознании предмет в целом. Таким образом, из ощущений возникает восприятие, в котором ученик отражает уже совокупность свойств, характерных для данного объекта, «строит» чувственно-наглядный образ, отражая уже объект в целом, во взаимосвязи его особенностей [21].

В том случае, если чувственно-наглядный образ предмета или материального явления сохраняется в сознании, но при этом на органы чувств эти предметы и явления непосредственно не воздействуют, такой образ называется представлением. Подобные образы характеризуются своей незаконченностью, их возникновение происходит не мгновенно, а постепенно формируясь, совершенствуясь и изменяясь под влиянием любого нового целенаправленного акта восприятия. В детском сознании представления возникают как наглядные образы, носящие конкретный характер. В то же время, эти образы могут отражать малозначительные признаки, так как часть ощущений упускается.

Возникнув на основе ощущений и восприятия, являясь формой более обобщенного, но вместе с тем наглядно-чувственного отражения окружающей действительности, представления выступают в роли переходного этапа к высшей форме познания - логическому, которое опирается на систему взаимосвязанных понятий. Сформировать понятия, не привлекая мыслительную деятельность учащихся, невозможно.

В педагогической науке термин «понятие» трактуется как форма научного знания, отражающая объективно существенное в вещах и явлениях, закрепленная в специальных терминах или обозначениях. От чувственного образа понятие отличает то, что последнее представляется нам в качестве чего-то непосредственного, взятого во всем многообразии его качественных особенностей. Из этого многообразия понятие извлекает только существенное, получая тем самым знание всеобщности. В этом и заключена его основная отличительная черта.

Термин «понятие» можно также трактовать как мысль, обобщающую предметы определенного класса, ранжированные в соответствии с их специфическими (схожими, отличительными) признаками.

Проблематика формирования понятий исследовалась многими педагогами и психологами: Л.С. Выготским [10], П.Я. Гальпериным [11], Н.А. Менчинской [30], Н.Ф. Талызиной [37], Д.Б. Элькониным [41] и многими другими. При этом следует отметить, что исследуя вышеупомянутую проблему, авторы зачастую обращались к математике.

Впервые понятия были классифицированы Л.С. Выготским. В основу деления им был положен критерий научности, разделив, таким образом, понятия на являющиеся научными и понятия «житейские» (ненаучные). При этом, под научностью Л.С. Выготский понимал не содержание усваиваемого понятия, а то, каким образом оно было усвоено [10].

Рождаясь, ребенок оказывается уже в сложившейся в обществе понятийной системе, поэтому усваивая ее, дети неизбежно обращаются к помощи взрослых. Таким образом, вплоть до наступления школьного возраста, когда ребенок начинает систематически обучаться, он усваивает понятия путем «проб и ошибок», т. к. взрослые ограничиваются лишь указанием на то, что является верным, а что - неверным.

Начиная обучаться в школе, ребенок постепенно заменяет стихийный ход своей деятельности целенаправленными и организованными действиями. Формирующиеся у ребенка понятия начинают усваиваться через осознание их существенных признаков, чему способствует использование определений. Эта осознанность и стала для Л.С. Выготского той специфичной особенностью, которая отличает научное понятие от житейского и позволяет ребенку, в будущем, самостоятельно оперировать понятием.

Однако, впоследствии, результаты исследований, проведенные Н.А. Менчинской [30], опровергли вышеупомянутые гипотезы Л.С. Выготского [10].

Так, было отмечено, что в большинстве случаев, учащиеся, несмотря на то, что способны воспроизвести «научное» определение тех или иных понятий, встречаясь с ними в реальной жизни, они опираются на случайные признаки, те, которые установил их непосредственный жизненный опыт. Только постепенно, через переходные этапы, основываясь на собственной практике, учащиеся овладевают умением ориентироваться на существенные признаки предметов.

Н.Ф. Талызина отмечает, что обладание знаниями о существенных признаках понятия только тогда приобретает свою значимость, когда эти признаки будут являться ориентирами в процессе познавательной деятельности, то есть будут реально участвовать в процессе решения задач, поставленных перед учеником [37]. Учитывая тот факт, что современный учебный процесс игнорирует, как правило, такой подход, учащиеся, в большинстве своем, усваивают как научные, так и житейские понятия приблизительно одинаковым путем.

Таким образом, степень словесного знания определения не играет решающей роли в процессе усвоения понятий, что свидетельствует о невозможности передать понятие в уже сформированном виде. Получение ребенком понятия о чем-либо является результатом его деятельности, связанной с тем предметом, понятие о котором мы хотим у него сформировать.



1.2 Методика формирования определений математических понятий у младших школьников

В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами

Достигается это через выполнение следующей системы условий.

Первое условие. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства. Выбор действия определяется, прежде всего, целью усвоения понятия. Допустим, понятие усваивается для того, чтобы распознавать объекты, относящиеся к данному классу. В этом случае необходимо использовать действие распознавания, действие подведения под понятие. Если учащиеся не знакомы с этими действиями, то необходимо раскрыть их содержание, показать, как следует их выполнять.

Второе условие. Знание состава используемого действия. Так, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов с помощью одного из логических правил распознавания (для понятий с конъюнктивной и понятий с дизъюнктивной системой признаков). При раскрытии содержания действия особое внимание уделяется его ориентировочной основе, которая должна быть не только адекватной, но и полной.

Действие распознавания может быть использовано при формировании понятий с конъюнктивной структурой признаков; дизъюнктивные понятия требуют некоторого изменения в процессе распознавания объектов.

Для понятий с дизъюнктивной структурой признаков правило распознавания, как было показано, имеет такой вид:

-- объект относится к данному понятию, если он обладает, хотя бы одним признаком из числа альтернативных;

-- если объект не обладает ни одним из этих признаков, то он не относится к данному понятию;

-- если ни про один из признаков неизвестно, есть он или его нет, то неизвестно, относится или не относится этот объект к данному понятию

Кроме действия распознавания можно использовать и другие, которые мы рассмотрели ранее: выведение следствий, сравнение, классификация, действия, связанные с установлением иерархически» отношений внутри системы понятий. Порядок формирования логических действий определяется как содержанием каждого из них, так и отношениями друг с другом.

Третье условие. Все элементы действия представлены во внешней, материальной (или материализованной) форме. Применительно к действию подведения под понятие это выглядит следующим образом. Система необходимых и достаточных признаков понятия выписывается на карточку, эти признаки материализуются. (При усвоении, например, понятия перпендикулярные прямые даются модели прямой линии, прямого угла.)

Учащимся разъясняют, что плюс означает наличие соответствующего признака, минус -- отсутствие, знак вопроса -- «неизвестно» (невозможность дать определенный ответ). Плюс после вертикальной черты означает, что определяемый предмет подходит под данное понятие, знак минус -- не подходит, знак вопроса -- неизвестно, подходит или нет. Кроме того, указывается, что во втором и третьем случаях ответ не изменится, если минус и знак вопроса будут относиться не ко второму, а к первому признаку. Алгоритм распознавания выписывается также на карточку.

Четвертое условие -- поэтапное формирование введенного действия. В случае использования действия подведения под понятие проведение его через основные этапы осуществляется следующим образом. На этапе предварительного знакомства с действием учащемуся, после создания проблемной ситуации, раскрывают назначение действия подведения под понятие, важность проверки всей системы необходимых и достаточных признаков, возможность получения разных результатов, все это поясняя на конкретных случаях в материализованной форме. После этого учащемуся предлагается самому выполнить действие (это уже материализованный этап).

Учащиеся, используя ориентиры (признаки, правила) в материальной или материализованной форме, устанавливают наличие необходимой системы признаков у предметов, задаваемых непосредственно или в виде моделей и чертежей. Результаты выполнения каждой операции фиксируются с помощью тех же условных знаков («+», «-», «?») на заранее заготовленных схемах.

Система может, конечно, состоять из большего или меньшего числа необходимых и достаточных признаков.

Пятое условие -- наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия. Как было уже указано, контроль лишь по конечному продукту действия не позволяет следить за содержанием и формой выполняемой учащимися деятельности. Пооперационный контроль обеспечивает знание и того, и другого. При формировании понятий с помощью действия подведения под понятие в качестве операций выступает проверка каждого признака, сравнение с логическим правилом и так далее.

Естественно, что перед формированием действия подведения под понятие необходимо установить исходный уровень познавательной деятельности учащихся и произвести формирование необходимых предварительных знаний и действий.

Более подробно остановимся на поэтапном формировании понятий.

После выполнения пяти-восьми заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правило, и предписание называются или записываются учащимися по памяти. На этом этапе учащиеся могут работать парами, поочередно выступая то в роли исполнителя, то в роли контролера.

В том случае, когда действие легко и верно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание дается в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащийся совершает про себя. Учащийся все еще получает указания типа «Назови про себя первый признак», «Проверь, есть ли он» и т.д. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату и производится по мере необходимости.

Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. В программе обучения на этом этапе предусматривается контроль со стороны обучающего только за конечным продуктом действия; обучаемый получает обратную связь при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным, идеальным, но содержание его известно обучающему, так как он сам его строил и сам преобразовал из действия внешнего, материального.

Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование действия по обобщенности обеспечивается специальным подбором заданий. При этом учитывается как специфическая, так и общелогическая часть ориентировочной основы действия.

Для обобщения специфической части, связанной с применением системы необходимых и достаточных признаков, даются для распознавания все типичные виды объектов, относящихся к данному понятию. Так, при формировании понятия угол важно, чтобы учащиеся поработали с углами, отличающимися по величине (от 0° до 360° и больше), по положению в пространстве и т.п. Кроме того, важно взять и такие объекты, которые имеют лишь некоторые признаки данного понятия, но к нему не относятся.

Для обобщения логической части действия распознавания даются для анализа все основные случаи, предусмотренные логическим правилом подведения под понятие, т.е. задания с положительным, отрицательным и неопределенным ответами. Можно включать также задания с избыточными условиями. Характерно, что в практике обучения, как правило, дается лишь один тип задач: с достаточным составом условий и положительным ответом. В результате учащиеся усваивают действие распознавания в недостаточно обобщенном виде, что, естественно, ограничивает пределы его применения. Задачи с избыточными, неопределенными условиями дают возможность научить учащихся не только обнаруживать те или иные признаки в предметах, но и устанавливать достаточность их для решения стоящей задачи. Последние в жизненной практике часто выступают как самостоятельная проблема.

Преобразование действия по двум другим свойствам достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно, как было указано, лишь на последних этапах -- шестом или пятом. На всех других этапах дается лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Задерживать действие на переходных формах нельзя, так как это приведет к автоматизации его в данной форме, что препятствует переводу действия в новую, более позднюю форму.

Во всех случаях, когда реализовались указанные условия, то есть процесс усвоения шел не стихийно, а контролировался учителем, понятия формировались с заданным содержанием и со следующими характеристиками:

Шестое условие -- разумность действий испытуемых. Главное, что постоянно подтверждалось, -- это ориентировка учащихся с самого начала на всю систему существенных признаков, т.е. имела место разумность действий.

Для установления разумности действий используются три вида задач:

а) задачи, в которых имеется полный состав условий, но чертеж не соответствует условиям задачи;

б) задачи с неполным составом условий и без чертежа;

в) задачи с неполным составом условий и не адекватным условию задачи чертежом. (Например, в условии сказано, что даны два равных угла с общей вершиной. Спрашивается, будут ли они вертикальными. На чертеже изображены вертикальные углы. Правильный ответ: «Неизвестно», так как нет данных о том, составляют ли стороны одного угла прямые линии со сторонами другого.) Этот вид задач объединяет в себе особенности первых двух. Проверку разумности целесообразно начинать с предъявления именно таких задач. Если испытуемый справляется с ними, то это достаточный показатель разумности его действий. В самом деле, подобные задачи могут быть правильно решены только при ориентировке на обобщенную систему существенных признаков и на логическое правило распознавания. В том случае, когда ученик ориентируется на чертеж, он обязательно ошибается. Если он учитывает лишь отдельные существенные признаки, то задача также будет решена неверно. Наконец, решение этих задач требует знания всех возможных случаев, которые могут быть при решении задач на распознавание. В частности, умения дифференцировать случай, когда ответ неопределенный, и случай, когда ответ отрицательный, то есть когда условия полные, но известно, что предмет не обладает какими-то необходимыми признаками.

Седьмое условие -- осознанность усвоения. Все учащиеся при работе с понятиями должны правильно аргументировать свои действия, указывая при этом основания, на которые они опирались при ответе.

Восьмое условие -- уверенность учащихся в знаниях и действиях. Учащиеся обнаруживают не только разумность и осознанность, но и большую уверенность в своих действиях.

Если действия выступают как предмет специального усвоения, где имеет место управление ходом их формирования, -- действия и знания формируются как разумные, сознательные, произвольные, и это приводит к тому, что дети действуют адекватно и уверенно.

Девятое условие -- отсутствие связанности чувственными свойствами предметов. При школьном обучении учащиеся лишены адекватной ориентировочной основы, поэтому они учатся дифференцировать предметы, опираясь на те их свойства, которые лежат на поверхности. Таким образом, ученики идут на поводу внешних, чувственных свойств не в силу особенностей своего мышления, а потому, что не имеют в своем распоряжении ничего более надежного. Но как только мы даем им средства опоры на существенные свойства, которые далеко не всегда являются наглядными, они успешно используют их, не попадают во власть случайных свойств, если даже последние являются яркими и постоянными в предметах.

Десятое условие -- обобщенность понятий и действий. Обобщенность формируемых понятий и действий проверяется двумя путями. Во-первых, устанавливается возможность испытуемых применить сформированные понятия и действия в новых условиях, в той или иной степени отличающихся от условий обучения (например, сохраняя в процессе обучения устойчивость материала, цвета и формы объектов, в контрольных заданиях предъявляются объекты данного класса, имеющие другой цвет, другую форму, сделанные из другого материала). Во-вторых, устанавливается влияние сформированных понятий на процесс усвоения новых -- как из той же области знаний, так и существенно иной.

Одиннадцатое условие -- прочность сформированных понятий и действий. Сформированные знания и действия не только приводят к правильным ответам, но и сохраняют все рассмотренные качества: разумность, сознательность.

Используя данную систему условий можно добиться от учеников сознательного и систематического усвоения математических понятий, применения на практике.

1.3 Возможности развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математику, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением [36].

Раскроем представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие об объекте - это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому (рис. 1).



Рис.1.

Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Содержание понятия - это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,..., z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если

А В (А ? В),

то говорят, что понятие а - видовое по отношению к понятию b, а понятие b - родовое по отношению к понятию а.

Например, если а - «прямоугольник», b- «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А В и А ? В), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

Если множества А и В не связаны отношением включения, то говорят, что понятия а и b не находятся в отношении рода и вида и не тождественны. Например, не связаны такими отношениями понятия «треугольник» и «прямоугольник».

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия - множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и Ь, если:

а - «прямая», b- «отрезок».

Объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком (рис. 2). Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

Рис.2.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок - часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения) Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части - определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b- второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Сформулировать их можно по-разному. В математике используют определения через род и видовое отличие, генетические, индуктивные и другие.

Примером определения через род и видовое отличие является определение прямоугольника, данное выше. В генетических определениях указывается способ образования определяемого объекта. Например, шар - это геометрическая фигура, получаемая в результате вращения полукруга вокруг диаметра. В индуктивных определениях указываются некоторые основные объекты теории и правила, позволяющие получать новые из уже имеющихся. Примером такого определения может служить определение арифметической прогрессии: «Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом».

Чаще всего в математике используются определения через род и видовое отличие. Рассмотрим подробнее структуру этих определений.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части - определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид - прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие - это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы (Рис.3)

Рис.3. Схема определения через родовое и видовое отличие

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во-первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие (2), то о его объеме - множестве А - можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А= {х | х С и Р(х)}.

Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого»,- то объем понятия «острый угол» - это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отличие является условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают.

Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные [36].

1. Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Например, несоразмерно такое определение квадрата: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны». Действительно, объем определяемого понятия - множество квадратов. Объем определяющего понятия - множество четырехугольников, все стороны которых равны, а это множество ромбов. Но не всякий ромб есть квадрат, т.е. объемы определяемого и определяющего понятия не совпадают, и, следовательно, данное определение несоразмерно.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него.

Например, содержат порочный круг определения: «Равные треугольники - это треугольники, которые равны», «Касательная к окружности - это прямая, которая касается окружности».

Например, если определить окружность как границу круга, а круг как часть плоскости, ограниченную окружностью, то мы будем иметь порочный круг в определениях данных понятий.

3. Определение должно быть ясным. Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также требования включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедиться в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно доказать, что свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное.

Таким образом, чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выведены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простоты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат - это когда все стороны равны».

Формулируя определение, надо стремиться в определяющем указывать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее. Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие - прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному. Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например, два разных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

При изучении математики в начальных классах определения через и видовое отличие используют редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями младших школьников.

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенное в учебнике математики для II класса [43] (после записи + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):

х + 6 = 15 - это уравнение.



Решить уравнение - значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как

9 + 6 = 15.

Объясни, почему числа 0,5 и 10 не подходят».

Остенсивные определения - это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

2-7>2-6 9-3 = 27

78-9 < 78 6-4 = 4-6

37 + 6>37 17-5 = 8 + 4

Это неравенства. Это равенства.

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет числовые равенства (неравенства) из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Они только связывают термины с определяемыми объектами. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

математика интеллект школьник мышление



Выводы по главе 1

Обладание знаниями о существенных признаках понятия только тогда приобретает свою значимость, когда эти признаки будут являться ориентирами в процессе познавательной деятельности, то есть будут реально участвовать в процессе решения задач, поставленных перед учеником. Учитывая тот факт, что современный учебный процесс игнорирует, как правило, такой подход, учащиеся, в большинстве своем, усваивают как научные, так и житейские понятия приблизительно одинаковым путем.

Степень словесного знания определения не играет решающей роли в процессе усвоения понятий, что свидетельствует о невозможности передать понятие в уже сформированном виде. Получение ребенком понятия о чем-либо является результатом его деятельности, связанной с тем предметом, понятие о котором мы хотим у него сформировать.

Изучение математики в начальной школе подразумевает, что учащиеся знакомятся с понятиями поверхностно. Первое знакомство с тем или иным понятием раскрывает только некоторые его свойства, а представления о его объеме сведены к минимуму. Однако, если учитель своевременно использует тот или иной вид определения математического понятия, это, безусловно, станет хорошей базой для дальнейшего формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

В современных школах развитие способностей ряда учащихся зачастую тормозится, что вызвано недостатком соответствующего их уровню знаний материала по математике. Подобная ситуация способствует потере интереса у ученика к предмету. Решение подобной проблемы может решено, на наш взгляд, следующим образом: в традиционные учебники по математике включать дополнительный материал, как теоретического, так и практического характера.



Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по организации развития мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий

2.1 Диагностика развития мышления у младших школьников

Практическое исследование было проведено в 2016 году. В исследовании приняли участие 20 детей младшего школьного возраста в возрасте 7-8 лет (1 класс).