Теоретико-педагогические основы обучения тригонометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Тема предлагаемого исследования посвящена разработке курса по выбору «Тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования.

Актуальность темы обусловлена необходимостью формирования универсальных учебных действий у учащихся, требованиями ФГОС к предметным, метапредметным, а также личностным учебным результатам.

«Образование - единый целенаправленный процесс воспитания и обучения, являющийся общественно значимым благом и осуществляемый в интересах человека, семьи, общества и государства, а также совокупность приобретаемых знаний, умений, навыков, ценностных установок, опыта деятельности и компетенции определенных объема и сложности в целях интеллектуального, духовно-нравственного, творческого, физического и (или) профессионального развития человека, удовлетворения его образовательных потребностей и интересов» [1, ст. 2, ч. 1].

Преподавание математики в средней школе имеет целью «владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем» [2, ч. 2, п. 8, пп.3]. Это возможно при овладении универсальными учебными действиями [3, с. 3].

Математика, как учебная дисциплина существует в школе с незапамятных времен. По праву математика, как наука, считается царицей. Говоря современным языком, математика является базовой наукой для многих других наук, как естественных (физика, химия, астрономия, геология, геодезия), так и гуманитарных (экономика, лингвистика и др.) Математика, как учебная дисциплина развивает как предметные, так и метапредметные навыки. Математические понятия столь универсальны, ее методы столь всеобъемлющи, что современную науку и технику без них трудно представить.

Среди разделов математики, изучаемых в средней школе, известное место занимает тригонометрия. О тригонометрии много рассуждали и спорили. Со времен античности, в средние века и в эпоху возрождения тригонометрия развивалась, вбирая в себя все новые и новые методы. Поначалу тригонометрия была неразрывно связана с астрономией. Движение небесных тел было описано именно в тригонометрических терминах. Уже тогда развивалась, как плоская, так и сферическая тригонометрия. Как алгебра постепенно отделилась от геометрии, так и тригонометрия стала независимой наукой в трудах арабских математиков. Долгое время тригонометрия изучалась и в школе как отдельная математическая дисциплина.

В настоящее время принято вопросы, связанные с преобразованием тригонометрических выражений, решением уравнений и неравенств, относить к алгебре (алгебра стала называться «алгебра и элементарные функции»), решение треугольников рассматривается на уроках геометрии, а исследование тригонометрических функций относят обычно к математическому анализу (в школе: «алгебра и начала анализа» - так называется дисциплина в 10 - 11 классах).

«История изучения тригонометрии в школе чрезвычайно поучительна. Достаточно сказать, что в отечественных школах долгое время существовал отдельный курс, обеспеченный специализированными учебниками и задачниками. Но постепенно стал утрачивать свое значение как отдельная школьная дисциплина, что выразилось в распределении тригонометрического материала между курсами алгебры, геометрии, алгебры и начал анализа.

В последние годы тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» из основной и старшей школы. Одновременно с этим он традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и отборов математически одаренных учащихся, поскольку чрезвычайно удобен для усложнения заданий.

Другими словами, тригонометрический материал на практике все больше обретает характер селективного инструмента отбора. Соответственно возрастает потребность в хорошей организации обучения этому разделу.

Тем самым анализ учителем возможных подходов к планированию и организации изучения тригонометрии в школе, распределению материала и выбору его сложности с учетом вида школы, особенностей избранных программ обучения, предпочтений самого учителя и желаний и способностей учащихся - всё это обеспечивает условия освоения и реализации требований ФГОС» [42].

Таким образом, мы видим, что тригонометрия «разобрана» по частям, разошлась по различным разделам математики. Общеизвестный результат этого такой же, как результат ухода устного счета с уроков математики, уменьшения уроков чистописания, замена их печатанием и т. д. - современные учащиеся очень плохо знают тригонометрию. В особенности это касается геометрической ее части. С геометрией сейчас вообще повсеместные трудности. Черчение в большинстве школ отменено или заменено на компьютерное, задачи на построение и доказательство почти не решаются, а вычислительные задачи носят обычно арифметический характер. Следует отметить большую ошибочность избранного подхода. Как чистописание приучает к аккуратности (сегодня все имеют право на свой, как правило, безобразный почерк), устный счет развивает память, решение задач по действиям (а не с помощью уравнений, как теперь делается уже в 4-м классе) развивает логику - нужно думать, какое действие выполнить сначала, какое затем и т. д., точно так, черчение приучает к аккуратности, развивает пространственное мышление, решение задач на доказательство (а не одно лишь заучивание наизусть теорем из учебника) развивает логику, применение тригонометрии к решению вычислительных задач учит геометрическому расчету, видению количественных соотношений между частями фигур.

Геометрия, как раздел математики, связана с другими разделами математики. Простые расчеты длин, площадей и объемов связывают геометрию с арифметикой. Метод координат (давший начало аналитической геометрии) связывает геометрию с алгеброй. Тригонометрия пронизывает большинство численных геометрических соотношений. Чертеж в геометрии незаменим. Начертательная геометрия - это прекрасная связь геометрии с черчением. Чтобы быть хорошим специалистом, инженером, необходимо разбираться во всех перечисленных разделах.

Тригонометрия как учебная дисциплина полезна в том отношении, что она систематизирует знания по своему вопросу и помогает применить их в других разделах. Наличие уравнений линий и поверхностей, алгебраический способ решения многих задач, связанных с линиями и поверхностями, не означает возможность исключить алгебру из числа школьных предметов. Применение чертежей в геометрии не означает тождественность геометрии и черчения как учебных дисциплин.

Рассматривать тригонометрию как раздел алгебры тоже неправомерно, поскольку, несмотря на многие общие методы работы (алгебра, естественно, является более базисной дисциплиной по отношению к тригонометрии, а тригонометрия - специальным разделам математики), тригонометрические выражения имеют много особенного по сравнению с алгебраическими выражениями.

Вполне возможно проследить связь между показательными и тригонометрическими выражениями с одной стороны и - между логарифмическими и круговыми (обратными тригонометрическими) выражениями - с другой. Это можно сделать как с помощью методов математического анализа (например, разложение функций в степенные ряды), так и при введении комплексного переменного (известная формула Муавра и др.)

Вместе с тем, в элементарной алгебре действительных переменных тригонометрические функции несводимы к алгебраическим. Алгебраические формулы (элементарные) строятся на семи алгебраических операциях, подчиненных общей логике и сходным формулам преобразования. Тригонометрические функции возникают именно в геометрии, в прямоугольном треугольнике, имеют свою внутреннюю логику и опять же свои похожие формулы преобразования, отличные от тех, которые имеются в алгебраических формулах.

С другой стороны, раз введенные, эти функции покрывают все множество геометрических отношений (элементарной геометрии, разумеется). Можно, опять же, рассмотреть, например, гиперболические функции и показать с одной стороны их непосредственную связь с показательной функцией, а с другой - их большую сходность по формулам преобразования с тригонометрическими функциями. Однако, во-первых, гиперболические функции в школе не изучаются, во-вторых, они связаны с гиперболой и ее расчетами, применяются при интерпретации не плоских геометрических систем (например, геометрия Лобачевского) и поэтому гиперболические функции, если их серьезно нужно рассматривать, разумнее отнести или к математическому анализу, или к тригонометрии, но не к алгебре. Тригонометрические методы применяются как вычислительные средства к разным геометрическим системам и гиперболические функции можно считать особыми тригонометрическими функциями и изучать вместе (в высшей школе).

С другой стороны, весьма важным представляется применение сложных тригонометрических преобразований к геометрическим расчетам. Зависимости между компонентами фигур и тел могут быть сколь угодно сложны и, как правило, включают в себя тригонометрические функции. То, что часть тригонометрии изучается в алгебре (обычно это 10-й класс, первое или второе полугодие, в зависимости от конкретного УМК), а задачи по геометрии используют тригонометрические функции, повсеместно создает некоторый диссонанс. Представляется педагогически не оправданным такое разделение. Опыт преподавания тригонометрии в старшем звене общего образования показывает положительные результаты целостного преподавания дисциплины.

Реформа образования 1960-х - 1970-х годов в СССР преследовала освободить учащихся от излишней нагрузки, но пошла в ущерб знанию по данному разделу. Важно различать нагрузку обучающихся по естественно- научному и гуманитарному профилю. Если будущий историк или филолог решает облегченные задачи по геометрии, это простительно так же, как облегченное изучение истории или языков будущему физику или химику. Профильная дифференциация образования соответствует требованиям ФГОС, позволяет уменьшить нагрузку обучающихся в непрофильных для них областях. То есть, в данном случае мы говорим о преподавании математики в естественно-научных классах: физико-математических, химико-биологических и др. Социально-экономические и языковые классы, по-видимому, должны иметь облегченную программу математики (как это и принято в современных УМК).

Если обучающиеся по естественно-научному профилю имеют помимо шести часов математики в неделю за счет федерально и регионального компонента, а также один-два часа школьного компонента, возможность дополнительно изучать математику на курсах по выбору или в рамках внеурочной деятельности, то систематизация знаний по тригонометрии при сохранении остальной части программы по математике позволит существенно повысить успеваемость учащихся по естественно-научных дисциплинам. Используя знания, получаемые на уроках алгебры и геометрии, предлагаемый курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» будет упорядочивать их, добавлять недостающие сведения и помогать учащимся лучше усвоить пройденные темы на основных уроках. Вместе с тем, курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» будет выполнять объединяющую функцию, собирая под одним предметом многие дисциплины: алгебру, геометрию, черчение, механику (иллюстрация тригонометрических формул на примерах вращательного и колебательного движения), а также и другие разделы физики. Образованные таким образом межпредметные связи позволят улучшить как предметные, так и метапредметные результаты и выполнить требования ФГОС.

«В эпоху научно-технической революции широкое распространение математических знаний, приобщение к ним молодежи, приступающей по окончании школы к трудовой деятельности в самых разнообразных областях науки и производства, становится настоятельной необходимостью. Большинство ведущих профессий в промышленности и сельском хозяйстве требуют от будущих рабочих, специалистов разных профилей многих умений, навыков и знаний, относящихся к математике и ее приложениям. Математика приобретает все возрастающее значение в других науках, в решении задач научно-технического прогресса, особенно относящихся к областям техники.

В современных условиях определенный объем математических знаний, владение характерными для математики методами и некоторое знакомство со специфическим языком математики стали обязательным элементом общей культуры» [19, с. 9, 10]. математика тригонометрия образование учебный

«Изучение математики в школе не ограничивается задачей передать ученикам определенную сумму готовых знаний и навыков. Эти знания и навыки должны стать основой развития и воспитания учащихся» [30, с. 7].

Таким образом, чрезвычайно актуально создание курса по выбору, который позволит соединить в себе результаты различных дисциплин и путем развития у обучающихся их метапредметной и общенаучной грамотности выполнить требования ФГОС по реализации образовательной программы.

Цель исследования: разработка и обоснование методики проведения курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования.

Объект исследования: образовательный процесс на старшей ступени общего образования.

Предмет исследования: методика обучения тригонометрии в рамках курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования.

Гипотеза исследования: эффективность курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования будет достигнута, при выполнении следующих условий:

1. Будет определено соответствующее место данного курса в школьной программе старшей ступени общего образования, определены цели и задачи курса, система оценивания.

2. Будет разработана программа курса по выбору, содержание курса, определены теоретическая часть и практические работы по курсу.

3. Будет организовано проведение занятий по данному курсу в соответствие с учебным планом образовательной организации.

Задачи исследования:

1. Проанализировать место курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования в школьной программе старшей ступени общего образования.

2. Разработать программу и содержание курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования.

3. Предложить наиболее эффективную реализацию курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования.

4. Провести экспериментальную проверку предложенной методики проведения курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования.

Научная новизна заключается в том, что:

1. Обоснована необходимость дисциплины и методики ее проведения, связывающей различные предметные результаты и позволяющей достичь общенаучных познавательных метапредметных результатов.

2. Разработан курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству на старшей ступени общего образования», как средство решения поставленной задачи исследования.

3. Проведена экспериментальная проверка полученных результатов исследования на уроках математики в средней школе.

На защиту выносятся следующие тезисы:

1. Необходима дисциплина, объединяющая предметные и метапредметные результаты школьных дисциплин, учитывающая межпредметные связи и направленная на формирование универсальных учебных действий и достижении предметных и метапредметных результатов обучения в средней школе на уроках математики.

2. Предлагаемый курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования позволяет решить поставленную задачу и выполнить требования ФГОС о достижения результатов освоения образовательной программы.

Глава 1. Теоретико-педагогические основы обучения тригонометрии

1.1 Роль тригонометрии в учебном процессе

Как проходит процесс обучения в средней школе? Какую роль играет математика в этом обучении? Какова роль тригонометрии в образовательном процессе? Для ответа на эти вопросы нужно проследить параллели между накоплением знаний человечеством на протяжении истории и процессом обучения человека с раннего детства.

«В современной цивилизации наука играет особую роль. Технологический прогресс XX в., приведший в развитых странах Запада и Востока к новому качеству жизни, основан на применении научных достижений. Наука не только революционизирует сферу производства, но и оказывает влияние на многие другие сферы человеческой деятельности, начиная регулировать их, перестраивая их средства и методы» [32, с. 5].

Как человек познает мир? Вначале происходит общение с подручными средствами. Методом проб и ошибок человек узнает свойства различных предметов. Поначалу отмечается лишь отношение человека к предмету. Познание начинается с эмоций. Самые разные оттенки отношения человека к предмету: «нравится», «не нравится», «приятно», «неприятно» и т. д.

Далее фиксируются те свойства, которые полезны (или, наоборот, вредны, опасны) для человека. Вырабатывается способ фиксации, создаются знаки предметов, возникает язык, речь.

Возникновение речи и мышления психологи считают единовременными процессами. Уровень познания окружающей действительности выражается в языке, а также в других знакам и символах культуры. Переход от эмоций к словам есть переход от чувственной формы познания к понятийной. При этом можно видеть, что даже весьма развитые люди всегда имеют чувственную ступень познания, предшествующую ступени рациональной, которая подхватывает информацию, усвоенную чувствами, и обрабатывает ее, направляя чувства на рациональное получение новых данных.

Называя предметы различными словами, человек выделяет их из всего множества предметов. Однако сначала это лишь поверхностное выделение. Со временем накапливается информация о свойствах предметов и люди составляют какое-то представление о них. Это представление передается из поколения в поколение устно, с помощью примера.

Возникновение письменности требует тождественности названий. Слова получают письменное, видимое выражение. Знания заносятся в книги, содержат эмпирические описания свойств предметов. В таком состоянии общество может просуществовать много веков. Мастеровые книги по разным занятиям: кулинарии, шитью, вязанию, плотницкому и столярному делу, строительству, военному искусству - все они содержат эмпирическое описание вещей, познанных человечеством. Немногое из этого впоследствии дорастает до теоретического уровня.

Сюда же следует отнести историю, как эмпирическое описание прошедших событий, географию - как описание местоположения различных стран и т. д.

Эмпирический уровень знания необходим. Он отвечает практической стороне познания. В конце концов, любая теория имеет практику своей конечной целью и без практики бессмысленна. Но практика без теории может существовать. Поверхностное знание о вещах часто бывает вполне достаточным для реализации нужд человека. Другая важная составляющая теории - культурное просвещение и воспитание человека и общества не связана с практикой напрямую и составляет вторую цель теории. Эта составляющая появляется лишь на определенной стадии развития общества.

В Древней Греции развитие городов-государств способствовало выделению знати, свободной от тяжелого физического труда. Эти люди, чтобы заполнить полученное свободное время, стали изучать природу и общество. Появилась философия. Поскольку данная часть общества была свободна от труда, практическую пользу от теории они не искали. Здесь речь пошла именно о второй составляющей теории - о воспитании и культуре. Многие народы накопили богатые знания (эмпирического характера) по многим жизненным вопросам, но эти знания были практическими. В Древней Греции произошел научный переворот, теория стала целью изучения.

Как происходит построение теории? Накопленные факты группируются, классифицируются, выделяются главные и второстепенные. Человек замечает, что некоторые вещи бывают только вместе одна с другой. Другие, напротив, только порознь. Такие закономерности подмечаются и составляют опытно найденные законы природы и общества. Далее происходит дальнейшее обобщение, выделение главнейших причин, следствие одного из другого и выстраивается стройная цепь суждений. Равно и понятия составляют ряды и деревья зависимости. Оказывается, одни вещи являются разновидностью других, более общих. Многие различные на первый взгляд вещи имеют общие свойства и какой-то критерий различия. Возникает классификация предметов.

Возникновение теории связанно с развитием логического мышления. Логическое мышление развивается там, где нужна теория и помогает ее выстраивать. Без теории логика не нужна. Люди мыслят методом проб и ошибок и не нуждаются в логическом осмыслении.

Таким образом, как в истории сначала были эмоциональные реакции, затем языки - устный, письменный - и, наконец, появляются теории, так и в деятельности отдельного человека. Сначала познание эмпирическое, затем - теоретическое.

Следует, однако, заметить, что взрослый человек, изучающий какую- либо предметную область, имеет две возможности: идти историческим, традиционным путем - от простого к сложному, от фактов к осмыслению, от практики к теории, так и логическим, научным путем. Здесь сначала обрисовывается предметная область, ее цели и задачи, предпосылки и деятели; затем поэтапно строится понятийный аппарат, суждения запоминаются в дедуктивном порядке - от исходных, первичных к следственным. Человек строит себе сосуд знания из теоретических сущностей и лишь в последствии наполняет этот сосуд практически содержанием. Сначала узнает правила действия, а потом уже решает задачи. Так, например, учатся языки: изучили алфавит, общий грамматический строй - и затем начинаем учить слова, строить фразы - от простых к сложным. Раньше человек прямо погружался в иностранную речь и эмпирически учил одно за другим, повторял за другими то, чему учился.

Теперь вспомним о детях. Дети в своем обучении с младенческих пеленок повторяют именно традиционный путь познания. Попытаться обучить ребенка «современными методами» значит испортить все дело. Маленький ребенок смотрит на мир. Все, что он видит, слышит, чувствует, - удивляет его и вызывает различные эмоции. Вместе с тем, ребенок хочет есть, спать, ему может стать страшно, он хочет материнской ласки, защиты. Это всё значимые факторы, и они формируют понятие полезного, нужного. Ребенок начинает проявлять разборчивость в вещах. Что-то ему нравится, а что-то не нравится. И поначалу любовь к вещам связана с их полезностью.

Постепенно в процессе общения с родителями дети переходят от эмоциональных голосовых жестов к словам, учатся говорить. Как учатся? Изучают грамматический строй языка? Нет. Повторяют за старшими. Викарное и оперантное научение первично. Вербальное научение и обучение вторично. Животные не понимают слова, но они понимают настроение человека, его жесты - невербальную часть фразы. Животные не могут учиться иначе, как повторяя поведение человека или других животных или выбирая один из известных ему способов, методом проб и ошибок достигая результата. Дети тоже могут вначале лишь повторять за старшими, далее пытаться методом проб и ошибок что-то сделать сами. Плохо, когда на том все и заканчивается. Однако раньше времени пытаться приучить ребенка к логике тоже неправильно.

Для образования ребенка важен пример и взрослый (учитель) должен его показывать. «Воспитывается человек в молодости примером, умным, обдуманным руководством» [18, с. 9]. Логика должна быть соблюдена учителем (и любым другим взрослым). Ребенку трудно мыслить абстрактно, но это не повод учить его противоречиво, непоследовательно. Детский ум чувствует логику, советь чувствует справедливость, и нужно не повредить это доброе чувство, а развить его - добрым примером и мудрым наставлением, как говорит К. Д. Ушинский.

Здесь нужно помнить, что взаимосогласованное обучение помогает воспитанию, в то время как противоречия его ослабляют. Правильность мысли и взгляда нужно давать примером и разумными заданиями. А. С. Макаренко особо подчеркивает важность своевременного и последовательного воспитания: «Прежде всего, обращаем ваше внимание на следующее: воспитать ребенка правильно и нормально гораздо легче, чем перевоспитать» [15, с. 7].

О необходимости практических занятий А. С. Макаренко подчеркивает: «Ваш ребенок будет членом трудового общества, (если) он в состоянии будет принимать участие в общественном труде» [16, с. 223].

Посмотрим на учащихся 7 - 8 классов. Это дети 13 - 14 лет, уже большие. Но они, изучая способы решения квадратных уравнений, гораздо легче усваивают материал, если им показывать решение на конкретных примерах. Они не понимают вывода формулы решения, как бы логично мы его ни объясняли. Вот убедиться на практике, что формула верная - это можно. Дети верят в этом возрасте. И индуктивное обобщение для них намного естественнее самого правильного дедуктивного вывода.

Из этого следует правильность традиционного метода обучения. Про математику в царской России говорили, что она «ум в порядок приводит». Но в дореволюционных школах и гимназиях в младших классах преобладало заучивание материала. Учили много. Повторяли за учителем и заучивали наизусть. За неправильно выученное правило могли высечь, а учитель не любил два раза одно и то же говорить. Это все мобилизовало внимание, аккуратность и усердие - качества, которые дети могут проявить уже в младшем школьном возрасте.

Лишь в старших классах появлялись логические задачи на рассуждение. А преимущественно логическая мысль развивалась в университетах.

Я не ратую за дисциплину розги. Как писал А. С. Макаренко, «наша дисциплина, в отличие от старой, должна сопровождаться сознанием, то есть полным пониманием того, что такое дисциплина и для чего она нужна» [14, с. 200]. Педагогика переходит к более мягким формам воздействия на детскую личность. «Вся многовековая история отечественной педагогики есть свидетельство великой силы гуманизма и любви в воспитании детей, явившихся созидательными началами национальной системы воспитания» [22, с. 559].

Можно с этим спорить, но, даже если мы проанализируем аксиомы Гильберта, мы увидим массу вещей, принимаемых «по умолчанию», «обычным образом». От этого можно избавиться, лишь загнав аксиоматику в программу на компьютере, который ничего не понимает по умолчанию. Каждый тип данных должен быть определен до использования, все переменные и процедуры описаны до обращения к ним. Программисты знают строгость определений.

Что это значит? Логики говорят, что грань определению и выводу полагают первичные понятия и исходные суждения, попытка грамотно определить которые неизбежно ведет к противоречию. Отчего это? Оттого, что определения и выводы связывают понятия и суждения. Но вещи и их свойства многограннее наших знаний о них. Видимо, есть какие-то про- понятия и про-суждения, а также про-правила, которые нам недоступны. Чтобы оперировать понятиями, мы должны помимо них самих знать еще «среду», в которой они живут, и с ее помощью оперировать этими понятиями. Вот эта-то среда и узнается невербальным способом. Надо так лес исходить, чтобы каждую травиночку в нем чувствовать. А изучение плана леса этого не заменит.

Отсюда логичный вывод. Надо с учащимися 1 - 9 классов как можно больше заниматься практическими вещами, решать задачи как вычислительные, так и чертежные, сборочные. Пусть ребенок собирает модели. По образцу, а не изобретая велосипед. Пусть больше чертит к геометрическим задачам. Задачи по арифметике и алгебре (да и по физике и химии), надо снабжать схемами.

Надо проговаривать правила. Надо не просто сказать: «квадрат суммы - это… а-квадрат, плюс два-а-бе, плюс бе-квадрат», а произнести смысл фразы: «квадрат суммы равен квадрату первого слагаемого, плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе и плюс квадрат второго слагаемого». Вместо «плюс», можно сказать: «сложенное с …» То же с тригонометрическими функциями: синус угла - это что? «а» на «це»? или отношение противолежащего катета к гипотенузе? Надо запоминать эти законы и в виде текста, и в виде формул, и в виде чертежей. При этом мне представляется неразумным употребление одних и тех же букв. Уравнение можно решать не только с переменной «X», но и с любой другой: «Y», «A»,

«B» и т. д. И абстрактность здесь ни при чем. Надо понимать, что буква - та или иная - обозначает то, что мы сейчас не знаем, но хотим найти. И приучать ребенка, что это именно «икс» мне представляется неоправданным. Для реализации образовательного процесса в настоящее время применяется системно-деятельностный подход, который с одной стороны помогает усвоить любой раздел науки в связи с другими разделами (системный подход), с другой стороны - требует активности учащихся, их собственных усилий по изучению материала (деятельностный подход).

Учитель должен ставить проблему перед учеником, чтобы он решал ее в действии.

«Методологической основой Стандарта (образования - ФГОС - прим. авт.) является системно-деятельностный подход, который обеспечивает:

· формирование готовности обучающихся к саморазвитию и непрерывному образованию;

· проектирование и конструирование развивающей образовательной среды образовательного учреждения;

· активную учебно-познавательную деятельность обучающихся;

· построение образовательного процесса с учётом индивидуальных, возрастных, психологических, физиологических особенностей и здоровья обучающихся» [2, ч. 1, п. 4].

Теперь проследим собственно обучение математике в школе. Обучающиеся изучают математику с первого класса средней школы. Навыки устного счета, счета с применением пособий, письменных упражнений постепенно приучают их к понятию числа. Далее учащиеся знакомятся с различными задачами, где применяется счет. Среди этих задач встречаются задач на вычисление площади прямоугольника, длины ломаной и другие геометрические задачи. Арифметика и геометрия на начальном этапе обучения переплетаются и вплоть до седьмого класса дети имеют единый учебный предмет «математика».

Все это время учащиеся накапливают знания. Рассуждения встречаются на уроке, но редко. И это понятно. Маленький человек познает мир. Ему трудно мыслить абстрактно. Нужно пощупать, потрогать, свыкнуться с предметом изучения. При этом, чем больше дети выучат правил и определений - слово в слово, чем больше решат задач - по примеру учителя, тем лучше. Есть различные точки зрения на этот вопрос. Требования ФГОС обязывают создавать проблемные ситуации и давать детям разрешать их самостоятельно. Я не думаю, что рассуждения в 10 - 12 лет принесут пользу юному математику. Наоборот, в голове начнется хаос. Это все равно, что дать маленькому мальчику острый нож и ждать, что он догадается, как отрезать себе кусок хлеба. Дай Бог, чтобы он пальцы себе не отрезал!

Проблему можно ставить по-разному. Повторение за старшими (учитель, старшие товарищи) приучает к практическим навыкам. Ситуация выбора действий заставляет подбирать один из имеющихся способов. Логическое мышление по большей части следует отложить до старших классов.

С седьмого класса происходит дифференциация предмета на две дисциплины: алгебру и геометрию.

7 - 8 классы - время накопления серьезных математических знаний. Учащиеся проходят подростковый период и ищут, где применить силу и показать, что они уже взрослые и все умеют. Важно, чтобы учитель умел правильно воспользоваться этой ситуацией. Задания должны быть посильны, но в тоже время интересны и жизненно значимы. В математике много таких задач.

По-прежнему в алгебре заучиваются формулы, решаются задачи, алгебра продолжает арифметику 5 - 6 классов, обобщая правила действия с числовыми выражениями до применения переменных. Задачи по действиям переходят в задачи на составление уравнений и неравенств. Геометрия полна теорем. Да, так пришла к нам математика из древних веков. Античные геометры, начиная с Эвклида, создали стройную аксиоматико-дедуктивную систему. Алгебра, развиваясь на арабском востоке, решала практические задачи и становилась сборником рецептов на все случаи жизни.

Итак, учащиеся запоминают множество определений и теорем и решают задачи. Весьма важно в это время контролировать заучивание определений и теорем, как и формул в алгебре. Не может учащийся еще всего понять, он должен больше запоминать. А практические задачи, идущие вслед за теоремами, наглядно покажут правильность доказанного. Очень полезны в 7 - 8 классах задачи на построение. Учащиеся работают с геометрическими объектами своими руками: они создают их и модифицируют, проверяют с помощью инструментов их свойства. Ну и, конечно, вычислительные задачи, как без них? И вот здесь начинается знакомство обучающихся с тригонометрией.

В 8 классе это лишь определение основных тригонометрических функций и простейшие расчеты. Такое знакомство с тригонометрическими функциями можно рассматривать как пропедевтическое. Сама тригонометрия здесь неотделима от геометрии, однако видно, что появились новые зависимости, напоминающие те, которые изучаются в алгебре (линейные, квадратичные и другие функции).

В 9 классе завершается основная ступень общего образования. Завершается изучение алгебраических функций, уравнений и неравенств в алгебре и завершается изучение геометрии на плоскости. При этом дети снова изучают тригонометрические функции, изучают теоремы синусов и косинусов. Все это имеет вполне геометрический характер. Тригонометрия не появляется в основной школе на уроках алгебры. Она присутствует в геометрии как подсобное средство для расчетов.

В конце 9 класса учащиеся проходят государственную итоговую аттестацию. Можно сказать, эмпирический период образования завершен. Учащиеся получили тот минимальный объем знаний, умений и навыков, на котором возможно логическое осмысление пройденного и изучение нового материала уже на логической основе.

Последние два года обучения направлены на обобщение изученного материала и изучение более сложных разделов научных дисциплин, нежели в предыдущие годы. В середине прошлого века была дисциплины «тригонометрия» в старших классах - 9 и 10 классы. Тригонометрия по сравнению с алгеброй и геометрией намного сложнее и по справедливости изучается лишь в старших классах общего образования. В настоящее время вместо тригонометрии, как учебной дисциплины, имеются главы, посвященные тригонометрическим функциям и решению тригонометрических уравнений и неравенств (на уроках алгебры и начал анализа). Как упоминалось выше, такой способ преподавания с одной стороны приобщает тригонометрические функции к функциям алгебраическим и подает их в одном стиле с последними, с другой стороны отрывает тригонометрию от геометрии, в которой она зародилась и для которой прежде всего разрабатывалась. Решение треугольников имеет теперь значительно меньший удельный вес, чем ранее. Вследствие этого, понимание учащимися тригонометрии как математической дисциплины затруднено. Прежде всего, напрашивается вопрос, который задают почти все учащиеся: зачем нужна тригонометрия? Зачем эти сложные и нудные формулы, которых здесь больше, чем остальных алгебраических формул, вместе взятых? Отрыв теории от практики очевиден. Надо сказать, что механика в физике сейчас тоже не на надлежащем месте. Если раньше 9 (до реформы 8) класс был классом изучения механики даже для тех, кто пойдет после в училища (программа 9 класса по физике Мякишева и Буховцева), то теперь, изучив законы Ньютона и закон сохранения импульса, перескакивают на электромагнитизм - ведь детям ОГЭ сдавать! А потом в 10 классе механика изучается сначала и занимает лишь треть года, далее идет молекулярная физика и электричество, которые до этого занимали все пространство 10 класса. Почему именно механика? Потому что это раздел физики, наиболее близкий к математике. Механика, как классическая, так и релятивистская, допускает аксиоматическое построение. Курсы теоретической механики в вузах это наглядно показывают. С другой стороны механика более других разделов физики использует геометрию и тригонометрию для своих нужд. Кинематика и динамика вращательного движения, разложение сил по проекциям и, наконец, колебательное движение - это прямая иллюстрация тригонометрии на практике. Следует заметить, что колебательное и вращательное движение - это камень преткновения для современных учащихся. С одой стороны потому, что на него отведено мало часов, а с другой стороны потому, что тригонометрия теперь изучается в основном на уроках алгебры.

Полное отложение знакомства с тригонометрическими функциями до старшей школы не оправдано. На уроках геометрии с этими функциями необходимо познакомиться потому, что геометрия без тригонометрии - это лишь чертежи и доказательства. Тригонометрия - это расчетная часть геометрии. Но без целостного изучения эта расчетная часть страдает.

Решая задачи по геометрии и механике, учащиеся понимают, зачем нужна тригонометрия. Единственно я хотел бы пожелать, чтобы механика снова стала полностью программой 9 класса по физике (с тепловыми и электромагнитными явлениями пропедевтически дети знакомятся годом раньше, и на данном этапе этого вполне достаточно), только раздел «колебания и волны» лучше изучать после электродинамики. Электромагнитные колебания и волны имеют много общего с механическими и изучать их лучше вместе. К тому же тригонометрия, так необходимая для этого раздела, уже будет усвоена.

Роль тригонометрии в старшей школе состоит в том, что она дает целостное описание важного класса математических функций (тригонометрические и обратные тригонометрические функции), решение уравнений с этими функциями и применение этих функций к решению геометрических и физических задач. Такое целостное восприятие требует, однако, продуманного построения курса тригонометрии. Мне представляется неоправданным отложение всей геометрической части тригонометрии до тех пор, пока учащиеся не изучат все свойства тригонометрических функций и не научатся решать тригонометрические уравнения и неравенства. Напротив, при построении курса алгебраическая и геометрическая части чередуются и переплетаются между собой. Для того, чтобы начать решать треугольники, необязательно уже усвоить решение всех видов тригонометрических уравнений. После овладения формулами, уже можно решать геометрические задачи, а затем, изучая уравнения, неравенства и исследуя функции, следует сразу применять эти знания к решению геометрических и физических задач. В таком случае практическая значимость тригонометрии станет очевидной.

Исторически тригонометрия не была ни частью алгебры, ни частью геометрии, хотя использовала алгебраические методы исследования функций, геометрическую интерпретацию их и находила применение в решении геометрических (а также физических и астрономических) задач. Если изучать сначала всю алгебраическую часть тригонометрии, а затем - геометрическую часть, то учебный материал сам расплывется на две части и разделение станет очевидным. В общем, так оно и произошло. Сначала курс разделился на два отдела, а потом и вовсе распался на части.

Применение тригонометрических формул в геометрии помогает увидеть полезность изучаемого материала. Начальное применение формул тригонометрии в 8 - 9 классах на уроках геометрии имеет пропедевтический характер. Теперь, в старшей школе, можно многие способы обобщать, к выводу формул подходить более строго, использовать вариативность при решении задач, доказательстве теорем. Формулы тригонометрии должны применяться при решении задач на уроках геометрии, но геометрия и тригонометрия - это разные учебные дисциплины. В тригонометрии мы рассматриваем способы решения треугольников, применение формул тригонометрии для получения значений геометрических величин, задачи имеют вычислительный или доказательный характер. Доказательство касается именно численных соотношений между элементами фигуры (обычно - треугольника). В геометрии важно именно положение геометрических объектов. Обычны задачи на построение и доказательство. Вычислительные задачи применяют алгебраические и тригонометрические формулы, но формулы здесь не имеют основного значения, играют вспомогательную роль.

Тригонометрию среди других математических разделов можно сравнить с химией среди разделов физики. Атомно-молекулярное учение одинаково характерно и для физических, и для химических процессов. Но химию нельзя свести к молекулярной физике, наоборот тоже не получается. С другой стороны, законы термодинамики применяются при решении химических задач, а химические законы используются при решении задач термодинамики.

Если тригонометрия изучается отдельно (например, по два урока в неделю), то на уроках алгебры больше внимания можно уделить другим вопросам: рациональным и иррациональным выражениям, уравнениям и неравенствам, вычислению логарифмов и др. В случае курса по выбору, материал курса дополняет, расширяет и систематизирует материал алгебры, посвященный тригонометрическим функциям.

При изучении тригонометрии я не нахожу целесообразным ограничиваться одними лишь треугольниками и простейшими случаями, сводящимися к треугольникам. Наоборот, важно научиться использовать аппарат тригонометрии для решения различных задач как на плоскости, так и в пространстве. Также предполагается тема изучения свойств сферы, основными фактами геометрии и тригонометрии на сфере и их применением в геодезии и астрономии.

1.2 Место курса в школьной программе

Концепция фундаментального ядра общего образования предполагает наличие обязательной и вариативной части. Федеральный государственный образовательный стандарт определяет, что участники образовательного процесса могут самостоятельно формировать вариативную часть. При этом на обязательную часть отводится 2/3 рабочего времени, а на вариативную - 1/3 времени [см. 2, ч. 3, п. 15].

«В учебные планы могут быть включены дополнительные учебные предметы, курсы по выбору обучающихся, предлагаемые образовательным учреждением (например, «Астрономия», «Искусство», «Психология»,

«Технология», «Дизайн», «История родного края», «Экология моего края») в соответствии со спецификой и возможностями образовательного учреждения.

Учебные планы определяют состав и объём учебных предметов, курсов, а также их распределение по классам (годам) обучения» [2, ч. 3, п. 18.3.1].

Предлагаемый курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования имеет целью расширение предметных математических знаний и достижение высоких метапредметных результатов.

Образовательное учреждение согласно требованиям ФГОС для среднего (полного) образования «предоставляет обучающимся возможность формирования индивидуальных учебных планов, включающих учебные предметы из обязательных предметных областей (на базовом или углубленном уровне), в том числе интегрированные учебные предметы …, дополнительные учебные предметы, курсы по выбору обучающихся; обеспечивает реализацию учебных планов одного или нескольких профилей обучения (естественно-научный, гуманитарный, социально-экономический, технологический, универсальный), при наличии необходимых условий профессионального обучения для выполнения определенного вида трудовой деятельности (профессии) в сфере технического и обслуживающего труда» [2, ч. 3, п. 18.3.1].

Это означает возможность планомерного введения курса по выбору образовательной организацией.

В настоящее время тригонометрия изучается в 9 классе основной школы на уроках геометрии (предварительное знакомство - в 8 классе - несколько уроков). Здесь учащиеся знакомятся с определением тригонометрических функций и применением их к решению треугольников. Изучаются способы решения плоских треугольников, формулируются и доказываются теоремы синусов и косинусов. Однако в дальнейшем курс геометрии лишь употребляет эти методы к решению некоторых задач. Все же геометрия -- это не тригонометрия. У нее есть свои задачи. Предлагаемый курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» учитывает пройденные темы в 9 классе. Материал дается более систематично и сопровождается многочисленными задачами в течение всего курса.

С одной стороны - недостаточно проработана тема «решение плоских треугольников» на уроках геометрии. С другой стороны - нельзя не учесть факт пройденного материала. Позднее, на старшей ступени общего образования, курс геометрии имеет раздел «избранные вопросы планиметрии». Однако в нем недостаточно часов, а повторение проводится по всему курсу планиметрии. Кроме прочего, изучаются новые темы, такие, как теорема Чевы и теорема Менелая. Это замечательно, но относится именно к геометрии, а не к тригонометрии. Для успешного овладения методами тригонометрии нужны дополнительные часы. И речь идет не о повторении тем, а о систематическом изучении курса, с которых в 9 классе бегло ознакомились учащиеся (решение треугольников).

Дисциплина «алгебра и начала анализа» содержит большую по удельному весу часть, посвященную алгебраической части тригонометрии. Тригонометрические функции подаются как разновидность функций наряду с показательными, логарифмическими, степенными и т. д. После каждой группы функций идет глава «решение уравнений и их систем» и глава «решение неравенств». Здесь, безусловно, есть положительный момент. Тригонометрические функции, как и все другие, обладают известными свойствами, как-то: область определения, область изменения (значения), области знакопостоянства, возрастания, убывания, нули, экстремумы и т. д. Все функции позднее дифференцируются, исследуются по общей схеме.

Однако тригонометрия - это не просто набор функций и правил преобразования. Именно решение треугольников на основе преобразований и уравнений и составляет ее суть, «геометрическая теория тригонометрических функций в большей степени соответствует практическим приложениям тригонометрии» [31, с. 6].

Включение тригонометрических функций в общее рассмотрение (на старшей ступени, когда тригонометрия уже изучается, разумеется) очень полезно. Алгебра рассматривает все функции с точки зрения выполнения преобразования формул и решения уравнений, а математический анализ исследует все виды непрерывных зависимостей. Но изучать специфические свойства тригонометрических функций лучше отдельно.

Опять же, даже если тригонометрия появится снова в списке школьных дисциплин старшего звена, полезно вспоминать о тригонометрических функциях на уроках алгебры, когда, например, перечисляются основные виды элементарных функций или при работе с комплексными числами (тема не представлена сейчас в школьной программе в большинстве УМК), когда при перечислении различных свойств функций говорится о периодичности.

Равно и при изучении тригонометрических функций нужно вспоминать общие правила действия с выражениями, функциями и уравнениями, что составляет именно предмет алгебры.

На уроках алгебры, в основном, лучше разбирать рациональные и иррациональные выражения, показательные и логарифмические функции, решать соответствующие уравнения и неравенства, изучать комбинаторные задачи, задачи на прогрессии, ряды. В настоящее время об этих задачах забывают на полгода, потому что на уроках алгебры и начал анализа изучают тригонометрические функции (без связи с решением треугольников!)

Очень вредно оставлять прямые алгебраические задачи на такой длительный срок. Лучше изучать тригонометрию отдельной дисциплиной, но алгебра должна изучаться без перерыва. При шестичасовой нагрузке на старшей ступени вполне хватило бы по два часа в неделю на каждый из трех разделов элементарной математики.

При организации курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» я принял во внимание и часы по геометрии в 9 классе, и часы по алгебре (10 - 11 классы). С учетом данных часов курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» требует один час в неделю аудиторной работы и 0,5 часа - внеаудиторной работы.

При отборе материала преследовались две цели: во-первых, представить курс тригонометрии по возможности наиболее полно, во- вторых, части алгебраическая и геометрическая изучаются параллельно. Решение треугольников и геометрических задач, сводящихся к треугольникам, показывает практическую сторону тригонометрии, а алгебраическая часть (преобразования, уравнения и неравенства) - ее теоретическую часть. Одно без другого невозможно, и в заданиях прописывается по возможности чаще повторять формулы преобразования тригонометрических выражений и методы решения треугольников (особенно плоских, хотя курс предусматривает и изучение сферических треугольников).

Таким образом, для эффективной реализации курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования необходимо 70 часов урочной и 34 часа внеурочной деятельности (всего - 104 часа). Количество часов в неделю: 1 час урочной и 0,5 часа внеурочной деятельности.

1.3 Анализ нынешнего состояния (по школьным УМК)

В настоящее время тригонометрия представлена в школьном курсе двояко: на уроках геометрии (8 - 9 классы) определяются тригонометрические функции и изучается метод решения треугольников; с другой стороны, на уроках алгебры и начал анализа изучается алгебраическая и аналитическая часть тригонометрии (10 - 11 класс).

Геометрия. Учебник Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др.

8 класс. Тема «соотношение междусторонами и углами прямоугольника». Находится в главе VII «подобные треугольники». Занимает 3 часа.

9 класс. Тема «синус, косинус, тангенс и котангенс угла» - 3 часа; тема «соотношение между сторонами и углами прямоугольника» - 4 часа (здесь изучается решение треугольников, далее идет тема «скалярное произведение векторов»). Обе темы идут последовательно в главе XI «соотношение между сторонами и углами прямоугольника, скалярное произведение векторов». Итого - 10 часов в основной школе.

Геометрия. Учебник А. В. Погорелова.

8 класс. §7.«Теорема Пифагора». Здесь определению тригонометрических функций посвящен весь параграф, кроме темы «перпендикуляр и наклонная». Всего - 11 часов.

9 класс. § 12. «Решение треугольников». Весь параграф посвящен тригонометрии - 9 часов. Итого - 20 часов.

Геометрия. Учебник А. Д. Александрова, А. Л. Вернера, В. И. Рыжика.

8 класс. Глава II. «Геометрия треугольника». Глава содержит 14 тем по одному часу на определение тригонометрических функций и решение треугольников. В 9 классе тригонометрия не изучается. Итого - 14 часов.

Геометрия. Учебник В. Ф. Бутузова и др.

8 класс. Глава 6. «Решение треугольников». К тригонометрии здесь относится 10 часов. В 9 классе тригонометрия не изучается. Итого - 10 часов.

Алгебра и начала анализа. Учебник Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачевой и др.

Базовый уровень (2,5 часа в неделю).

10 класс. Глава V. «Тригонометрические формулы» (20 часов). Глава VI. «Тригонометрические уравнения» (14 часов). Всего - 34 часа.

– класс. Глава VII. «Тригонометрические функции» (14 часов). Итого 48 часов.