Теоретико-педагогические основы обучения тригонометрии

Углубленный уровень (4 часа в неделю).

10 класс. Глава V. «Тригонометрические формулы» (27 часов). Глава

VI. «Тригонометрические уравнения» (18 часов). Всего - 45 часа.

– класс. Глава VII. «Тригонометрические функции» (20 часов). Итого 65 часов.

Алгебра и начала анализа. Учебник Ю. М. Колягина, М. В. Ткачевой, Н. Е. Федоровой и др.

Базовый уровень (2,5 часа в неделю).

10 класс. Глава VIII. «Тригонометрические формулы» (20 часов). Глава

IX. «Тригонометрические уравнения» (15 часов). Всего - 35 часов.

11 класс. Глава I. «Тригонометрические функции» (18 часов). Итого - 53 часа.

Углубленный уровень (4 часа в неделю).

IX. класс. Глава VIII. «Тригонометрические формулы» (24 часа). Глава «Тригонометрические уравнения» (21 часов). Всего - 45 часа.

10 класс. Глава I. «Тригонометрические функции» (19 часов). Итого - 64 часа.

Алгебра и начала анализа. Учебник C. М. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова и др.

Базовый уровень (2,5 часа в неделю).

10 класс. Глава II. «Тригонометрические формулы, тригонометрические функции» (28 часов).

11 класс. Тригонометрия не изучается. Итого - 28 часов. Углубленный уровень (4 часа в неделю).

10 класс. Глава II. «Тригонометрические формулы, тригонометрические функции» (45 часов).

11 класс. Глава I. «Функции. Производные. Интегралы». Тема «обратные функции». На изучение обратных тригонометрических функций отведено 3 часа. Итого - 48 часов.

Алгебра и начала анализа. Учебник М. Я. Пратусевича, К. М. Столбова, А. Н. Головин.

Углубленный уровень (4 часа в неделю).

10 класс. Глава VI. «Тригонометрия» (27 часов).

11 класс. Тригонометрия не изучается. Итого - 27 часов.

Особо следует подчеркнуть, что изучение тригонометрических формул происходит в 10 классе, а решение треугольников - в 8 - 9 классах. Учащиеся не возвращаются к решению треугольников после изучения формул.



Глава 2. Методическая разработка

2.1 Содержание курса

Для правильной разработки курса по выбору необходимо учесть цели, стоящие перед ним. Основная цель курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» является повышение предметных и метапредметных результатов, обучающихся по математике и смежным дисциплинам.

Целью курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования является усвоение учащимися предметных результатов в пределах изучаемой дисциплины, а также расширение и повышение знаний по математике в смежных областях (алгебра и геометрия) благодаря систематическому рассмотрению вопросов курса и их связи с остальными разделами математики. Также важно получение высоких метапредметных результатов за счет формирования различных УУД во время прохождения курса и рассмотрения межпредметных связей с другими дисциплинами (физика, астрономия, черчение /технология/).

Тригонометрия, как обсуждалось выше, ныне не существует в качестве самостоятельной научной области, но ее разделы присутствуют в геометрии (решение плоских и сферических треугольников), алгебре (решение тригонометрических уравнений и неравенств, преобразование тригонометрических выражений), математическом анализе (исследование тригонометрических и обратных тригонометрических функций и построение их графиков). Такое же разделение присутствует и при преподавании тригонометрии в школьном курсе. Объединяя воедино разрозненные части, следует, однако, придерживаться тех реалий, тех содержательных линий, которые тригонометрия имела в себе на протяжении своего развития и по которым была в итоге разобрана.

Стержневой содержательной линией курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования становится геометрическая часть. Геометрия сейчас является наиболее слабо изученным разделом элементарной математики. Многие дети говорят, что у них нет трехмерного воображения, другие просто обходят геометрию как нечто сложное для понимания (так же поступают обычно и с физикой).

Для развития воображения учащихся представляется необходимым увеличить число задач на построение по геометрии. Этот недостаток собственно должен преодолеваться на уроках геометрии, а не тригонометрии, но при решении тригонометрических задач с геометрическим содержанием следует выполнить чертеж. Грамотные чертежи так же важны, как отработанный устный и письменный счет в арифметике и правописание в грамматике. «Чертежи фигур дают такую же геометрическую информацию, какую могут дать сами фигуры, поэтому говорят, что в чертежах фигур моделируются их графические свойства или чертеж фигуры является ее графической моделью» [25, с. 5]. На мой взгляд, при изучении геометрии в пространстве в 10 - 11 классах очень полезно использовать проекционное черчение и начала начертательной геометрии. Всякий раз, когда исследуются прямые и плоскости в пространстве, надо изображать на чертеже эти свойства. И черчение в проекциях очень благотворно. «Чертеж - это своеобразный язык, с помощью которого, используя всего лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков, букв и цифр человек имеет возможность изобразить на поверхности, в частности на плоскости, геометрические фигуры или их сочетания (машины, приборы, инженерные сооружения и т. д.) Причем этот графический язык является интернациональным, он понятен любому технически грамотному человеку независимо от того, на каком языке он говорит» [26, с. 7] На уроках тригонометрии - это можно применять как вспомогательное средство для решения задач. Собственно, задачи этой части близки, но в геометрии удельный вес смещен в сторону построений и доказательства существования тех или иных способов расположения фигур, а в тригонометрии - в сторону вычисления их величин, главным образом с применением тригонометрических функций. Вычислительная сторона геометрии, конечно, реализуется не только тригонометрически, но и алгебраически, например, методом координат и векторов, но и здесь тригонометрия играет важную роль, хотя и не основную. Сочетание алгебры и геометрии, использование алгебры для геометрических задач составляет предмет аналитической геометрии. «Аналитическая геометрия - это, коротко говоря, такой раздел геометрии, в котором геометрические фигуры изучаются с помощью алгебры, на основе применения координат» [24, с. 11].

Непонимание геометрии и тригонометрии проистекает от неизученности материала предыдущих лет. Попытки учащихся в основной школе все построить по-своему часто мешают запоминать важный материал и усваивать методы решения задач. В основной школе следует больше решать практических задач, накапливать знания, умения и навыки, и на базе этого знания в старшей школе можно пробовать собственные методы. На старшей ступени общего образования логика и рассуждения вполне уместны и своевременны. Однако неизученный материал мешает осмыслению. Необходимо устраивать проверочные работы и повторять пройденное.

При изучении тригонометрии предполагается известным материал планиметрии, определяющий построение и основные свойства фигур. Учитель должен требовать его знания от учащихся, а не идти навстречу и корректировать курс, чтобы всем было понятно. Если курс по выбору и геометрию в старшей школе ведет один учитель, он вполне может распределить материал так, чтобы оба раздела поднять на высокий уровень.

Курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования предполагает достичь высоких предметных результатов по геометрии. Задачи носят вычислительный или доказательный характер, но необходимо выполнять построения и следить за аккуратностью чертежа.

По мере освоения материала учащиеся должны овладеть техникой применения тригонометрических формул как к задачам на плоскости, так и в пространстве. Решить тетраэдр - задача столь же естественная, как и задача решить треугольник, хотя первая сводится ко второй. Вычисляя соотношения между элементами стереометрических объектов, учащиеся незаметно для себя разовьют свое наглядно-образное мышление. Уроки геометрии должны, естественно тоже помогать в этом. Вообще при организации курсов по выбору должна быть некоторая взаимосвязь дисциплин, так, чтобы одна дисциплина помогала другой. Рабочую программу, естественно, нужно корректировать под каждый конкретный случай.

Особо нужно отметить изучение сферической геометрии и тригонометрии. Геометрия на сфере в школе не изучается. Однако, коль скоро учащиеся выбирают тригонометрию как курс по выбору, то с геометрией на сфере нужно познакомиться. Тригонометрия без геометрии - как алгебра без арифметики. Связь геометрии и тригонометрии с астрономией и геодезией идет через сферу по той простой причине, что наша земля является шаром (с известным приближением, разумеется). По этой же причине небосвод тоже имеет форму сферы. И координаты на местности (при расстояниях, сравнимых с радиусом Земли) и положение небесных тел описывается именно в сферических координатах.

С основными свойствами сферических фигур даются и численные соотношения сферической тригонометрии. Расчет положений светил и другие практические задачи дополняют теоретический материал.

Вычисление элементов треугольника, плоского и сферического, связано со свойствами тригонометрических функций. Для действительного (вещественного) аргумента тригонометрические функции несводимы к функциям алгебраическим. Оперирование тригонометрическими функциями для расчета элементов фигур нужно знать свойства тригонометрических функций и владеть навыками преобразования тригонометрических выражений, уметь решать тригонометрические уравнения и неравенства. Это вырисовывает алгебраическую и аналитическую содержательные линии. Как отмечалось выше, курс построен так, что геометрические приложения даются вместе с изучением функций и формул. Это подчеркивает единство тригонометрии как математической дисциплины и раскрывает ее практическую значимость. Помимо этого, решаются также физические задачи на вращательные и колебательные процессы, на разложение векторных физических величин по осям и вычисление их проекций.

Алгебраическая линия тригонометрии занимает в данном курсе весьма важное место. Как отмечает С. И. Новоселов, две крайности в преподавании тригонометрии, когда одна из двух содержательных линий - алгебраическая или геометрическая - вытесняет другую на задний план, ошибочны: без твердых навыков тождественных преобразований тригонометрическими формулами трудно оперировать, а без геометрических задач тригонометрия превращается в игру символов - красивый набор бессодержательных описаний.

В настоящее время изучение тригонометрических функций и правил действий с ними очень упрощено. Убирается котангенс как функция (ее же нет в микрокалькуляторе, и можно посчитать через тангенс!) уходят формулы тройного угла, меньше формул преобразования сумм в произведение и произведений в сумму. В курсе по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» по возможности приводятся полные наборы формул. Работа ведется и в градусной, и в радианной мере одинаково. И это логично. Угол, синус которого входит в уравнение, может принадлежать треугольнику или трапеции, и нам он нужен в градусах, а не в радианах. А период колебаний маятника уместнее выражать через фазовое смещение именно в радианах. Все зависит от задачи, которую решаем.

Алгебраическая и геометрическая содержательные линии взаимосвязаны, так как соотношения между углами и сторонами выражаются в форме тригонометрических уравнений. Для работы с тригонометрическими величинами применяется и логарифмический метод, который с появлением ЭВМ, как и устный счет, стал забываться и откладываться. Многие соотношения между элементами треугольника имеют мультипликативную форму и допускают логарифмирование. Применение таблиц логарифмов, как и тригонометрических функций, весьма полезно. В конце концов, когда отключат электроэнергию, компьютер не включится, а таблица в книге останется доступной, как и логарифмическая линейка.

Изучение свойств тригонометрических формул эффективно лишь при освоении свойств самих функций, таких, как области знакопостоянства, нули, экстремумы, области возрастания и убывания и т. п. Эти вопросы составляют содержание аналитической линии тригонометрии. Исследование функций и построение их графиков проводится с применением понятия производной и без него, алгебраическими методами. Свойства функций применяются как при решении уравнений и неравенств, так и при решении геометрических задач.

Помимо предметной части для выполнения требований ФГОС следует включить в курс общематематическую и историческую содержательные линии. Общематематическая и даже общенаучная линия аккумулирует различные знания (комбинированные задачи: тригонометрия - алгебра, тригонометрия - геометрия, тригонометрия - механика или все вместе). Общенаучная часть помогает увидеть научные методы в их взаимосвязи, подчеркивает единство математики - внутреннее и с другими науками, прежде всего с физикой. Итог такой работы - повышение метапредметных результатов обучения.

Историческая содержательная линия выполняет задачу достижения личностных результатов. «Программа нашей школы обязывает учителя сообщить ученикам в процессе преподавания сведения по истории математики и знакомить их с жизнью и деятельностью выдающихся математиков» [27, с. 6]. Понять дисциплину проще, когда она изучается в исторической ретроспективе. «Практические цели обучения требуют обратить особое внимание на историю развития каждой содержательно- методической линии школьного курса математики» [28, с. 4]. С другой стороны, знакомство с деятельностью ученых всего мира приобщает к мировому опыту науки и культуры в целом. Тригонометрия, как и другие разделы математики, имеет богатую историю. «Вклад русского народа в методику математики является неоспоримым и представляет большую ценность» [29, с. 144].

Таким образом, выделяются следующие содержательные линии курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования: геометрическая, алгебраическая, аналитическая, общематематическая и историческая.

Программа построена таким образом, чтобы учащиеся знакомились с тригонометрическими функциями, формулами тождественных преобразований и сразу применяли их на практике к решению геометрических задач. Систематический разбор решения плоских и сферических треугольников происходит после изучения тождественных преобразований и тригонометрических уравнений соответственно. Однако применение формул к решению конкретных задач вполне возможно, и оно используется. В то же время предполагается, что, изучая свойства треугольников, учащиеся периодически повторяют формулы преобразований тригонометрических выражений и решают уравнения.

Содержательная линия историческая представлена в курсе обращением к историческим сведениям по тригонометрии и математике вообще по мере прохождения соответствующих разделов. В качестве заданий для внеурочной деятельности можно предложить реферат по деятельности того или иного ученого или доклад о состоянии математики в определенный момент истории.

Содержательная линия алгебраическая является одной из основных линий курса. Решение геометрических задач методом тригонометрии возможно лишь при полной беглости в тождественных преобразованиях и свободном решении тригонометрических уравнений и неравенств. Формулы тождественных преобразований начинаются со свойств тригонометрических функций и отношений между ними, вытекающих из их определения. Формулы приведения и основное тригонометрическое тождество, а также простейшие формулы сложения углов выводятся геометрически. Это необходимо для школьного уровня с одной стороны в связи с возрастными особенностями учащихся, с другой стороны для достижения целостности курса. Тригонометрия возникла из практики решения геометрических задач и для них прежде всего и предназначалась, хотя при построении неплоских геометрий соотношения между элементами треугольника могут быть и иными и надежнее строить тригонометрические функции на основе рядов и из них же выводить свойства таких функций. Однако без плоского пространства Эвклида трудно понять смысл тригонометрических функций, и, даже если бы мы жили в сферическом или гиперболическом пространстве, стоило бы смоделировать Эвклидову плоскость и объяснить тригонометрические функции именно на ней.

Все остальные формулы преобразования выводятся из простейших, и от учащихся требуется уметь их выводить, как и уметь доказывать простейшие свойства на геометрической основе. Старшая ступень общего образования - период логического мышления и учащиеся вполне подготовлены как к восприятию абстрактных объектов, так и дедуктивным выводам и дефиниторным построениям. Возможность лишь помнить формулы (часто только в одну сторону) непозволительна. При решении геометрических задач тригонометрии зачастую приходится выполнять различные тригонометрические преобразования и получать новые соотношения. Исходный вывод формул - это учебное пособие для выполнения такого рода действий. Все важные соотношения тригонометрии - это теоремы и они должны доказываться, как это и сделано в настоящем курсе.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств невозможно совершенно отделить от решения алгебраических уравнений и неравенств, особенно при решении систем уравнений и неравенств. Здесь нет ничего предосудительного. Я убежден, что тригонометрию надо изучать отдельно от алгебры и геометрии, что эта дисциплина должна вернуться в сетку расписания старшей школы. Однако выделять тригонометрию так, чтобы она не разрывалась на части по алгебре и геометрии, как сейчас делается, это одно, а изолировать дисциплину от всех других - это совсем другое. Межпредметные связи нужны. Многие алгебраические уравнения решаются проще, если использовать тригонометрические подстановки, многие тригонометрические уравнения решаются алгебраически (уравнения от одной функции), геометрия включает в себя аппарат тригонометрии для решения задач, а тригонометрия использует геометрию для построения своих функций и иллюстрации их свойств. Алгебра и геометрия тоже взаимосвязаны. Алгебраические уравнения имеют геометрическую интерпретацию, исторически они решались именно геометрическим способом, а решение геометрических задач методом координат и векторов - это применение алгебры в геометрии. Математика едина, и ее разделы: алгебра, геометрия и тригонометрия дополняют друг друга.

Содержание алгебраической части курса «тригонометрия: от плоскости к пространству» охватывает все разделы преобразования тригонометрических выражений, решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем и подается наряду с геометрическим материалом. После разбора формул преобразования тригонометрических выражений подробно рассматриваются треугольники и фигуры, их содержащие. После решения тригонометрических уравнений и неравенств учащиеся переходят к сферическим треугольникам и различным задачам на плоскости, сфере и в пространстве.

Содержательная линия геометрическая является в курсе «тригонометрия: от плоскости к пространству» основной. Тригонометрия возникает при рассмотрении метрических соотношений в треугольнике и используется главным образом для решения геометрических задач.

Соотношения в прямоугольном треугольнике, соотношения векторов, их проекций и перпендикуляров, соотношение радиуса окружности и его проекций на координатные оси - это однотипные отношения, которые позволяют разными способами ввести понятие тригонометрических функций. Рассматривая различные соотношения, учащиеся приходят к определению тригонометрических функций. После определения функций начинается изучение преобразования тригонометрических выражений и вычисление их значений. Решение плоских треугольников идет следующей темой, там рассматриваются всевозможные комбинации треугольников, их частей и соотношения в тригонометрической форме. А здесь, при изучении тригонометрических преобразований, применяется лишь простой прямоугольный треугольник (обычный на плоскости, образованный радиусом окружности и его проекциями на координатные оси или образованный вектором, проекцией на оси и перпендикуляром). Основное внимание пока на алгебраической части тригонометрии. Однако простые задачи на треугольнике весьма важны. Они дают геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений и показывают практическую сторону применения тригонометрии.

Тема «решение плоских треугольников» является главной темой школьного курса тригонометрии. Именно от усвоения правил преобразования величин в треугольниках зависит успех учащихся как в тригонометрии в частности, так и в геометрии в целом.

В настоящее время тема «решение плоских треугольников» в школьном курсе представлены в материале геометрии 8 - 9 классов. Однако в виду того, что тригонометрия не существует в школе как самостоятельная дисциплина, количество часов весьма скромное. Решение плоских треугольников используется в дальнейшем при решении задач по геометрии, но его теоретическое изучение имеет малый удельный вес в программе основной школы.

В теме «избранные вопросы планиметрии» вновь учащиеся обращают внимание на тригонометрию, но другие темы (теоремы Чевы и Менелая и другие алгебраические и геометрические вопросы решения треугольников) не оставляют времени на систематическое повторение.

Между тем решение плоских треугольников следует изучать весьма тщательно и систематически повторять при решении задач. Наличие в школьной сетке расписания обеих дисциплин - геометрии и тригонометрии - помогло бы решить проблему. На уроках тригонометрии учащиеся повторяют и систематизируют случаи решения треугольников, применяют их к решению задач именно для отработки самих этих методов. А на уроках геометрии учащиеся занимаются построением геометрических фигур, расчетом их частей (разными средствами и методами: и алгебраическим - метод координат, и геометрическим - построения и доказательства, и тригонометрическим), доказательством их свойств и соотношений. Здесь тригонометрия применяется так же, как и алгебра (и арифметика!) Настоящий курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования призван решить эту проблему (при том, что часы тригонометрии в дисциплинах «алгебра и начала анализа» и «геометрия» сохраняются; иначе следовало бы ввести полноценный курс на два часа в неделю и распределить по оставшимся часам алгебру и геометрию без систематического изучения тригонометрических функций, это тоже вполне приемлемый вариант, пришедший к нам из истории).

Решение плоских треугольников проводит учащихся по различным формулам и способам решений плоских треугольников, сначала прямоугольных - в общем виде, затем - косоугольных. После этого разбираются задачи на произвольные плоские фигуры - многоугольники и окружности, и способы решения треугольников применяется к этим задачам как метод решения, то есть учащиеся решают различные геометрические задачи тригонометрическим путем.

Хочу особо отметить, что этот раздел в сознании школьников сейчас весьма слабо изучен. Сами тригонометрические формулы изучаются недостаточно хорошо, а их применение на практике - еще хуже.

Надо видеть и возможность изучения плоской тригонометрии в современной школе. Несколько уроков геометрии в 9 классе при неизученных формулах (они изучаются в старшей школе на уроках алгебры и начал анализа) и небольшое повторение избранных глав (а геометрия старшей школы - это по большей части чистая геометрия в пространстве с редким использованием тригонометрических функций) не могут заменить систематического изучения курса тригонометрии.

Ввиду недостаточности часов на решение треугольников в старшей школе настоящий курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» геометрическую часть ставит выше алгебраической, было учтено, что формулы тригонометрии изучаются параллельно и на уроках алгебры и начал анализа.

После изучения решения треугольников и решения геометрических задач (конец 10 - начало 11 класса) учащиеся далее изучают свойства тригонометрических функций, строят их графики, решают тригонометрические уравнения и неравенства (аналитическая и алгебраическая части). Параллельно решаются задачи по геометрии и физике (колебания и волны, вращательное движение). Геометрическая часть присутствует при решении задач на ряду с заданиями исследовать функцию, построить график или решить тригонометрическое уравнение или неравенство.

После изучения тригонометрических уравнений и неравенств обучающиеся переходят к изучению сферической геометрии и тригонометрии. Геометрия на сфере - это красивейшая часть геометрии (впрочем, все разделы этой дисциплины прекрасны, недаром философ Платон не хотел пускать в свою академию тех, кто не знает геометрию). Изучение сферической геометрии в школе не предусмотрено программой (в большинстве УМК) по причине загруженности учащихся и по причине сравнительной сложности этого раздела геометрии. Однако при наличии тригонометрического аппарата все становится намного проще. Вместе с тем, понимание предыдущей части курса здесь необходимо. Построить геометрию на сфере без тригонометрии крайне сложная задача. Сами же тригонометрические формулы сферы ненамного сложнее формул на плоскости.

Геометрия на сфере разбирается с иллюстрацией применения в астрономии и геодезии. Задачи этой части раздела по большей части суть астрономические и геодезические задачи. Более всего эта часть сопровождается и историческими справками и реферативными заданиями, поскольку исторически тригонометрия была очень сильно связана с астрономией и помогала составлять календари.

После изучения геометрических соотношений учащиеся изучают сферическую тригонометрию. Формулы сферической тригонометрии даются в соотношении с формулами плоской тригонометрии, и выстраивается аналогия формул. Учащиеся видят, что два различных геометрических мира, плоский и сферический, используют одни и те же тригонометрические функции. Вся алгебраическая и аналитическая часть здесь одинакова, лишь конкретные случаи применения немного различаются.

Снова подчеркну, что благодаря мощному вычислительному аппарату тригонометрии геометрия в целом и на сфере в частности усваивается намного проще, поскольку обучающиеся видят известные им зависимости и могут численно получить результат, а значит, и ответить на многие возникающие по ходу дела вопросы.

После разбора сферических треугольников учащиеся снова решают геометрические задачи разной природы. Теперь к плоским фигурам прибавляются пространственные тела. Грани пространственных тел суть плоские фигуры и решаются методами плоской тригонометрии, а многогранные углы аналогичны сферическим многоугольникам и решаются методами сферической тригонометрии. Пространственная тригонометрия, таким образом, складывается из комбинации плоской и сферической и решение произвольного тетраэдра - из решения плоских треугольников - его граней - и решения сферических треугольников - его трехгранных углов. На решении тетраэдра строится решение прочих пространственных тел. Задачи этой, последней темы курса носят разнообразный характер и являются закрепляющими.

Содержательная линия аналитическая является обобщающей в некотором роде. Отдельные свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса учащиеся изучают сразу после определения тригонометрических функций. Углы измеряются как в радианах, так и в градусах. Это важно с практической точки зрения.

В начале 11 класса учащиеся (во второй части курса по выбору: от плоскости к пространству) изучают свойства тригонометрических функций числового аргумента, аналогичного аргументу а радианах. Здесь происходит подробный разбор свойств функций, как простейших, так и сложных, составленных в виде формул.

Если учащиеся прошли понятие производной, то изложение этой части курса строится аналитическим методом с применением производных к исследованию тригонометрических функций и построению их графиков. Надо сказать, что тригонометрические формулы дают сложные функции, на которых правила дифференцирования применить очень интересно - выясняются многие тонкости нахождения производной и ее геометрического и механического смысла.

Если же учащиеся еще не прошли тему «производная», в настоящем курсе предусмотрен другой вариант - исследование тригонометрических функций элементарными (алгебраическими) методами. Такой способ исследования очень полезен, он помогает укрепить знания учащихся по алгебре и подготовиться к изучению темы «производная».

Задачи на исследование функций и построение их графиков применяются те же, что и в началах анализа, но с тригонометрическими формулами (на алгебре учитель может сосредоточиться на показательных и логарифмических, рациональных и иррациональных алгебраических функциях). Методы исследования функций применяются в следующей теме «тригонометрические уравнения и неравенства» как один из методов решения.

Содержательная линия общематематическая присутствует на протяжении всего курса. Во-первых, тригонометрия исторически соединяет в себе алгебраическую и геометрическую содержательные линии и является некоторым объединяющим звеном других разделов математики. В школе это выражено в том, что тригонометрия изучается как самый последний и самый сложный раздел математики (элементарной). Задачи по тригонометрии содержат в себе как алгебраическую часть (решить уравнение, доказать тождество и др.), так и геометрическую часть (определить значение каких- либо величин в геометрической фигуре по некоторым другим данным величинам). Во-вторых, курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» сам по себе стоит на старшей ступени и призван углубить и расширить знания школьников по математике. Задания обобщающего характера (на тригонометрические темы) и исторический обзор (в основном, тригонометрии) приводит к обобщающему осмыслению предмета математики в целом на примере тригонометрии в частности. Такого рода осмысление полезно делать и на основных инвариантных дисциплинах. В- третьих, курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» имеет целью расширение и углубление знаний учащихся, а потому может строиться вариативно, с учетом распределения материала на уроках алгебры и начал анализа и геометрии.

2.2 Организация учебного процесса

Цели и задачи курса по выбору «Тригонометрия: от плоскости к пространству»

Настоящий курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» имеет целью систематизировать и углубить знания, умения и навыки обучающихся по элементарной математике в части «тригонометрия», повысить общематематическую предметную грамотность учащихся, выявить внутрематематические и внешние межпредметные связи (математика - физика, математика - астрономия, математика - геодезия и др.), повысить метапредметные результаты учащихся, развить логическое и наглядно-образное пространственное мышление, повысить творческий потенциал обучающихся.

Современное «образование в школе строится с учетом принципов непрерывности… преемственности (учет положительного опыта, накопленного в отечественном и зарубежном… образовании), вариативности (возможность реализации одного и того же содержания на базе различных научно-методических подходов), дифференциации (возможность для учащихся получать математическую подготовку разного уровня в соответствии с их индивидуальными особенностями)» [3, с. 27]. «В настоящее время учебный процесс… стал более сложным по своим задачам, интенсивности и содержанию. Он требует глубокого психологического осмысления преподавателями закономерностей учебной деятельности, принципов и методов обучения и воспитания, формирования личности» [23, с. 7].

Задачи курса:

· провести систематический обзор тем дисциплины тригонометрия;

· дать обучающимся прочную базу знаний, умений и навыков в преобразовании тригонометрических выражений, решении тригонометрических уравнений и неравенств, исследования тригонометрических функций и построения их графиков;

· помочь обучающимся овладеть методами решения плоских и сферических треугольников и посредством этих методов углубить и расширить знания и умения по геометрии, приобрести и закрепить навыки решения геометрических задач;

· познакомить обучающихся с историей тригонометрии в частности и математики и науки в целом, открыть для обучающихся перспективы творческой деятельности научно-технического характера;

· повысить общую грамотность обучающихся путем отбора теоретического материала и решения задач.

В результате прохождения курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» учащиеся должны владеть следующими навыками: знать/понимать:

· понятие вектора, радиуса-вектора;

· понятие проекции вектора на ось;

· правила выполнения операций над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение векторов);

· определение тригонометрических функций острого угла в треугольнике;

· определение тригонометрических функций в окружности единичного радиуса;

· определение тригонометрических функций в координатах посредством векторов и проекций;

· правила преобразования тригонометрических выражений;

· соотношение между сторонами и углами в треугольнике;

· правила отыскания одних элементов треугольника по другим (решение плоских треугольников);

· соотношения между элементами сферического треугольникаи трехгранного угла;

· правила отыскания одних элементов сферического треугольника (трехгранного угла) по другим (решение сферических треугольников и трехгранных углов);

· расположение частей в фигурах и телах, соотношения между ними;

· способы решения геометрических типовых задач с применением тригонометрических формул и методов;

уметь:

· строить векторы по их координатам;

· находить координаты построенных векторов;

· определять проекции вектора на координатные оси;

· находить значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов прямоугольного треугольника по данным гипотенузе и катетам;

· выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений;

· доказывать тригонометрические тождества;

· решать тригонометрические уравнения, неравенства и их системы (в пределах изученного материала);

· находить неизвестные элементы треугольника по данным его элементам с помощью метода решения плоских треугольников;

· решать планиметрические задачи тригонометрическим методом;

· выполнять необходимые построения геометрических фигур при решении задачи;

· проводить необходимые доказательства с опорой на теоремы геометрии и тригонометрии при решении задач;

· находить неизвестные элементы сферического треугольника (трехгранного угла) по данным его элементам;

· решать стереометрические задачи тригонометрическим методом;

· выполнять необходимые построения и доказательства при решении задач;

· использовать методы проекционного черчения и начертательной геометрии (в пределах пройденного материала) при решении задач;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

· уметь проводить измерения геометрических величин реальных предметов для вычисления соотношений меду ними;

· уметь определять размеры и углы предметов по имеющимся данным по известным формулам алгебры и тригонометрии;

· выяснять соотношения между величинами (длинами, площадями, объемами, углами) для различных предметов реального мира;

· уметь строить чертежи реальных объектов, проекции на заданную плоскость для решения задачи;

· уметь работать с чертежами и по ним определять соотношения величин реальных предметов;

· производить вычисления с помощью ЭВМ, логарифмической линейки и таблиц в книгах;

· решать различные практические задачи с геометрическим содержанием тригонометрическими и общематематическими методами.

Результаты прохождения курса личностные:

· научное мировоззрение и миропонимание;

· творческих подход к решению задач;

· аккуратность в решении задач, построениях, доказательствах и расчетах;

· эстетический вкус;

· чувство организованности, порядка;

· уважение к чужому труду;

· желание достичь цели, добиться результата;

· критичность мышления, умение видеть правильные и неправильные части рассуждения, замечать ошибки в своих рассуждениях и рассуждениях товарищей;

· умение работать в команде, слушать собеседника и оказывать помощь;

· умение грамотно выражать свои мысли, строить речь;

· умение контролировать свои действия, ставить цели и достигать их;

метапредметные:

· умение четко определять понятия, грамотно выражать их устно и на письме;

· определение отношений между понятиями, выделение родовых и видовых отличий;

· умение доказывать свои положения, опираться на известные факты и теоремы;

· умение планировать решение задачи, разбивать ее на этапы, находить путь решения;

· умение классифицировать понятия и суждения, выявлять сходства и различия;

· умение пользоваться таблицами, средствами измерений, вычислений, в том числе ЭВМ для решения задач;

· умение привлекать сведения из разных предметных дисциплин для решения задачи по мере необходимости;

· умение видеть практическую значимость данной задачи для других разделов, в производственной и бытовой жизни человека;

предметные:

· знание определения тригонометрических функций и их свойств;

· умение выполнять преобразования тригонометрических выражений, доказывать тригонометрические тождества;

· умение решать тригонометрические уравнения, неравенстваиих системы в пределах пройденного материала;

· знание формул решения плоских и сферических треугольников, их применения при решении геометрических задач;

· умение решать геометрические задачи с применением формул тригонометрии;

· умение строить чертежи для решения задач, использовать готовые чертежи для решения задач;

· решение различных практических задач с математическим содержанием с применением формул тригонометрии.

Курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени среднего (полного) образования эффективно реализуется за 70 часов урочной и 34 часа внеурочной деятельности. Курс рассчитан на два года (10, 11 классы старшей ступени среднего образования). Таким образом, в неделю проводится 1 час урочной деятельности и примерно 0,5 часа внеурочной деятельности (выполнение домашних заданий, поиск материала и др.)

Таблица 1. Распределение учебного материала

Содержание учебного материала	Количество часов	Количество контрольных работ
10 класс
Предварительные понятия	5	1
Определение тригонометрических функций	5	1
Преобразование тригонометрических выражений	10	1
Решение плоских треугольников	5	1
Применение тригонометрии к решению геометрических задач	10	1
11 класс
Тригонометрические функции числового аргумента	5	1
Обратные тригонометрические функции	5	1
Тригонометрические уравненияи неравенства	10	1
Решение сферических треугольников и трехгранных углов	5	1
Решение геометрических задач с применением тригонометрии	10	1
Всего:	70	10

Тема «Предварительные понятия»

Цель: обобщить и упорядочить сведения по геометрии, необходимые для определения тригонометрических функций.

Задачи:

· обобщить понятие угла на случай углов больше 180о и на случай отрицательных углов;

· повторить (или определить) измерение углов в радианной мере и соотнести градусную и радианную меры углов;

· обобщить понятие вектора, радиус-вектора;

· упорядочить сведения по теме «подобие геометрических фигур»;

· выявить соотношения между сторонами прямоугольного треугольника.

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o конспективное повторение материала;

o опрос определений понятий и доказательства теорем, известных из курса геометрии 7 - 9 классов по данной теме;

o решение задач;

· внеурочная деятельность:

o задание на дом упражнений для повторения материала.

Методы проведения занятий.

Тема «предварительные понятия» связана с повторением материала по геометрии, необходимого для определения тригонометрических функций. Поскольку учащиеся уже прошли этот материал, то учитель лишь кратко вспоминает основные теоретические моменты, пишет ключевые формулы и ведет опрос учащихся. Большое значение имеют задания для самостоятельного выполнения учащимися.

Важно, чтобы в памяти обучающихся были сведения о векторах и проекциях, о свойствах подобных треугольников. Чтобы последующий материал воспринимался успешнее, нужно главным образом сосредоточиться на решении задач. Вычерчивание векторов, определение их длины, угла с осью OX, осью OY, какой-либо иной осью. Нужно строить на чертеже проекции, опускать перпендикуляр из конечной вершины вектора на ось, определять их длины, сравнивать длины проекций и перпендикуляров при разном расположении вектора. Полезно сравнивать и длину проекции с длиной вектора, когда длина вектора меняется, а угол с осью остается постоянен.

Тема «определение тригонометрических функций»

Цель: ознакомление с новыми функциями, первичное изучение их свойств.

Задачи:

· определить тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс для острого угла прямоугольного треугольника;

· определить данные функции в окружности единичного радиуса, обобщив понятие угла;

· определить данные функции для вектора и оси проекций;

· установить инвариантность тригонометрических функций для угла независимо от положения этого угла (в треугольнике, в окружности, на пересечении вектора с осью;

· выявить соотношения между дополнительными углами и дополнительными функциями;

· выявить соотношения между тригонометрическими функциями,

вытекающими из их определения;

· доказать основное тригонометрическое тождество, выявить связи между тригонометрическими функциями, вытекающими из него;

· изучить соотношение абсолютной величины тригонометрических функций для углов в разных четвертях круга единичного радиуса и знак тригонометрических функций;

· вывести формулы приведения и проиллюстрировать их применение в круге единичного радиуса;

· первично исследовать с помощью круга единичного радиуса область определения и область значения тригонометрических функций, области знакопостоянства, нули, промежутки возрастания и убывания и экстремумы (простейшее исследование тригонометрических функций);

· вывести формулы расчета одной тригонометрической функции через другую на основе их соотношений;

· выявить геометрически значение тригонометрических функций некоторых углов (0о, 30о, 45о, 60о и 90о).

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o лекция по теме (кратко);

o упражнения у доски для первичного закрепления материала;

o устный опрос;

o выполнение заданий в тетради;

· внеурочная деятельность:

o задания на дом, практические (задачи на построение и вычисление) и теоретические (доказательство теорем, заучивание определений).

Методы проведения занятий.

Данная тема является основополагающей в тригонометрии. От успешного усвоения материала этой темы зависит усвоение дальнейшего материала.

При определении тригонометрических функций необходима работа учащихся у доски и в тетради для первичного закрепления материала. Данная тема частично разбирается на уроках геометрии в 9 классе и здесь должна быть обобщена и упорядочена. Важно, чтобы учащиеся чертили треугольники, окружности и векторы с осями и перпендикулярами и находили значения тригонометрических функций путем измерения длины отрезков и углов и вычисления значений тригонометрических функций по этим данным.

Очень полезно здесь познакомить обучающихся с таблицами тригонометрических функций. Вычисления с помощью микрокалькулятора лучше отложить до тех пор, пока учащиеся не свыкнутся с таблицами.

Во-первых, ЭВМ вычисляет значения функций с семью-восьмью значащими цифрами, это отпугнет обучающихся от изучения тригонометрических функций, создаст преждевременное ощущение трудности тригонометрии. Во-вторых, как правило ЭВМ вычисляет тригонометрические функции в радианах или хотя бы в десятичных долях градуса, а в геометрии учащиеся разбивают градус на 60 минут, минуту - на 60 секунд, а не в десятых и сотых долях. Применение микрокалькулятора можно дать чуть позже при изучении темы «преобразования тригонометрических выражений».

Тема «преобразование тригонометрических выражений»

Цель: выработать прочные навыки преобразования тригонометрических выражений и вычисления их значений.

Задачи:

· сформулировать и доказать теоремы сложения и вычитания углов и определения синуса и косинуса выражений от этих углов геометрически (формулы sin(a + b), cos(a + b), sin(a - b), cos(a - b));

· вскрыть связь между этими формулами с помощью формул приведения и соотношения между тригонометрическими функциями;

· получить аналогичные формулы для тангенсаикотангенса (алгебраически);

· вывести формулы двойных, тройных и половинных углов для всех тригонометрических функций;

· вывести формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение и обратно;

· разобрать способы доказательства тригонометрических тождеств;

· отработать навыки выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений;

· отработать навыки доказательства тригонометрических тождеств;

· отработать навыки вычисления значений тригонометрических выражений.

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o вывод и доказательство формул (лекция);

o выполнение учащимися преобразований тригонометрических выражений у доски для первичного закрепления материала;

o выполнение обучающимися тождественных преобразований и вычислений в тетради;

o проведение опросов и тестов по материалу теста;

· внеурочная деятельность:

o выполнение заданий на дом (упражнений);

o повторение изученных формул.

Методы проведения занятий.

Тема преобразования тригонометрических выражений является одной из основных в курсе по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования.

Отработка навыков преобразования является главной. Необходимо разбирать большое число примеров в классе и повторять формулы дома, дополняя заданными на дом упражнениями.

Очень полезно проводить ежеурочный опрос учащихся и фиксировать результат оценкой. Устный опрос можно заменить письменным тестом.

Необходимость отработки твердых навыков по данной теме вытекает из того, что все действия по решению геометрических по тригонометрии опираются на эти преобразования. С одной стороны, важно дополнять алгебраические задания геометрическими - пока на прямоугольном треугольнике, этим обучающиеся удостоверятся в практической значимости алгебраических выкладок, с другой стороны к тождественным преобразованиям необходимо периодически возвращаться при решении геометрических задач, как учащиеся начальной школы периодически повторяют таблицу сложения и умножения. Следует также не оставлять черчения. Все геометрические задачи нужно сопровождать аккуратными чертежами карандашом и циркулем.

Тема «решение плоских треугольников»

Цель: изучить методы и приемы решения плоских треугольников теоретически и выработать твердые навыки в практическом решении задач.

Задачи:

· определить соотношения между сторонами и углами прямоугольника;

· определить соотношение между сторонами и углами косоугольного треугольника;

· сформулировать и доказать теоремы синусов и косинусов для произвольного треугольника;

· вывести формулы решения для прямоугольного треугольника;

· вывести формулы решения для косоугольного треугольника;

· обобщить формулы решения плоских треугольников и применить их к решению геометрических задач.

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o разбор свойств треугольников и вывод формул решения (лекция);

o решение простейших задач у доски для закрепления первичного материала;

o решение задач в тетради для закрепления материала;

o опрос обучающихся;

o письменный тест;

· внеурочная деятельность:

o выполнение заданий на вычисление элементов плоского треугольника;

o повторение формул вычисления.

Методы проведения занятий.

Тема «решение плоских треугольников»- является главной в курсе по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования. При изучении методов и приемов решения плоских

треугольников важную роль играет вывод расчетных формул. Необходимо, чтобы обучающиеся повторяли расчетные формулы и применяли их при решении задач.

В данной теме разбираются типичные случаи решения плоских треугольников. Основная задача - выработать твердые навыки применения формул тригонометрии для решения геометрических задач. Необходимо возвращаться к формулам преобразования тригонометрических выражений и применять их вместе с формулами решения треугольников.

Очень полезно все же выполнять и построения при решении задач. Желательно среди прочих задач на вычисление давать задачи на построение треугольников, измерение части их величин, а затем по формулам тригонометрии определять остальные величины.

Тема «применение тригонометрии к решению геометрических задач»

Цель: отработать и закрепить навыки решения геометрических задач с формулами тригонометрии.

Задачи:

· обобщить и закрепить навыки и умения решения плоских треугольников;

· отработать навыки разбиения геометрической задачи на части с выявлением соотношений между частями фигур, данных в задаче, составляющих треугольники;

· применить навыки преобразования тригонометрических выражений к решению геометрических задач.

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o решение задач у доски и в тетради;

o выполнение самостоятельных работ по решению задач;

o разбор практических задач, сводящихся к тригонометрическим;

· внеурочная деятельность:

Методы проведения занятий.

Данная тема является практическим развитием двух предыдущих тем. Преобразование тригонометрических выражений и решение плоских треугольников - это теоретическая база тригонометрии. Решение геометрических задач является практическим приложением тригонометрии.

Следует отметить, что задачи, решаемые в курсе «геометрия», и задачи, решаемые в курсе «тригонометрия» не вполне совпадают. Иначе снова напрашивается мысль распилить тригонометрию на алгебраическую и геометрическую часть и разнести по этим дисциплинам. Задачи по геометрии имеют целью построить геометрические фигуры, показать определенные соотношения между ними, доказать определенные свойства фигур, вычислить значение некоторой величины (периметра, площади, объема) с применением обычных алгебраических формул. Задачи по тригонометрии применяют тригонометрический аппарат как основу, они по большей части являются вычислительными. Доказательства и построения играют второстепенную роль.

При решении задач данного раздела нужно уделять внимание как вычислительной части, так и части построений и доказательств. Особенно нужно отмечать соотношения между величинами, подмечать случаи использования тригонометрических функций.

Тема «тригонометрические функции числового аргумента»

Цель: провести систематическое исследование тригонометрических функций с применением понятия «производная» и элементарными методами.

Задачи:

· определить тригонометрические функции от числового аргумента, не связанного с угловой мерой;

· установить область определения тригонометрических функций;

· установить область изменения (значения) тригонометрических функций;