Теоретико-педагогические основы обучения тригонометрии

· определить нули тригонометрических функций;

· определить области знакопостоянства тригонометрических функций;

· определить экстремумы тригонометрических функций;

· определить области возрастания и убывания тригонометрических функций;

· определить наибольшие и наименьшие значения тригонометрических функций;

· определить асимптоты тригонометрических функций (если есть);

· проводить исследование сложных тригонометрических функций (выражаемых тригонометрическими формулами).

Формы проведения занятий:

· урочная деятельность:

o разбор свойств тригонометрических функций у доски (лекция);

o исследование тригонометрических функций по какому-либо критерию у доски и в тетради (первичное закрепление материала);

· внеурочная деятельность:

o выполнение заданий по построению графиков тригонометрических функций и исследованию их свойств;

o повторение формул преобразования тригонометрических выражений.

Методы проведения занятий.

Проведение занятий по тригонометрическим функциям числового аргумента расширяет у учащихся представление о тригонометрических функциях. Поработав с тригонометрическими формулами, обучающиеся интуитивно ощущают свойства этих функций, как и в общем случае с изучением материала.

При рассмотрении тригонометрических функций с применением понятия производной учащиеся получают полноценный аппарат для исследования. В начале следует повторить и систематизировать правила дифференцирования тригонометрических функций и тригонометрических выражений. Далее исследование функций ничем не отличается от алгебраического, только устанавливаются важные вещи с помощью нахождения производных.

При нахождении известных свойств тригонометрических функций необходимо решать простейшие уравнения и неравенства с этими функциями. Здесь можно сказать то, что при определении тригонометрических функций и установлении их свойств учащиеся пользовались пособиями, например, единичной окружностью. С другой стороны, не изучая подробно понятия функция (тригонометрическая функция), обучающиеся пользовались этим термином. При установлении значений тригонометрических функций для некоторых углов использовались простейшие уравнения с тригонометрическим функциями. При определении промежутков возрастания и убывания - простейшие неравенства.

То есть, несмотря на предварительный характер, учащиеся усваивали эти понятия. То же можно сказать и о решении треугольников. Решение тригонометрических уравнений и неравенств составляет предмет следующей темы рассмотрения. Однако предварительно изученные уравнения и неравенства здесь и будут теми средствами, которые позволят установить нули и экстремумы тригонометрических функций и найти области возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства.

Если к моменту прохождения данной темы учащиеся не знакомы с понятием «производная», то исследование ведется элементарными (алгебраическими и геометрическими) методами. Круг, в котором определялись тригонометрические функции, будет служить пособием по установлению их свойств. Другие свойства обнаруживаются при преобразовании тригонометрических выражений.

Необходимо, чтобы учащиеся исследовали большое количество функций и аккуратно строили их графики. Наглядность графиков позволяет лучше понять свойства функций и воспользоваться ими на практике.

Тема «Обратные тригонометрические функции»

Цель: изучение обратных тригонометрических функций, их исследование и применение к решению задач.

Задачи:

· определить обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс в угловой мере - градусной и радианной;

· определить числовые обратные тригонометрические функции числового аргумента;

· установить область определения обратных тригонометрических функций;

· установить область значения обратных тригонометрических функций;

· вывести формулы преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;

· исследовать сложные функции, содержащие обратные тригонометрические функции.

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o определение обратных тригонометрических функций, разбор их свойств, исследование обратных тригонометрических функций и построение их графиков (лекционная часть, несколько уроков);

o вывод формул преобразования - работа у доски с объяснением учителя и самостоятельно, для закрепления материала;

o самостоятельная работа учащихся (выполнение преобразований, исследование обратных тригонометрических функций и построение их графиков);

· внеурочная деятельность:

o выполнение преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;

o повторение формул преобразования тригонометрических выражений.

Методы проведения занятий.

Тема «обратные тригонометрические функции» обычно в школе рассматривается очень слабо. Как правило, только указывается, что тригонометрические функции имеют, как и все другие функции (на участках монотонности) обратные функции, строится график такой функции

(отображением графика исходной тригонометрической функций), по графику устанавливаются некоторые свойства. Обратные тригонометрические функции применяются при решении уравнений.

Такое положение дел указывает на неполноту курса. Обратные тригонометрические функции также важны и их следует детально рассмотреть. Кроме того, важно рассмотреть правила преобразования выражений с такими функциями. Наиболее важны сочетания прямых и обратных тригонометрических функций (в ту и другую стороны).

Определение обратных тригонометрических функций следует дать так жк строго, как и прямых тригонометрических функций. Причем, в виду краткости времени (по причине редкого использования таких функций) следует объединить определение функций в треугольнике и окружности единичного радиуса и определение числовых функций.

Далее следует провести разбор свойств обратных тригонометрических функций (с применением понятия производной или без него - в зависимости от прохождения темы производная на уроках алгебры и начал анализа) и вывод формул преобразования.

Несмотря на малое количество часов, обратные тригонометрические функции должны быть определены строго и навыки в их исследовании и преобразовании выражений с ними должны быть отработаны. Поможет здесь тот факт, что большинство свойств обратных тригонометрических функций соответствуют свойствам прямых тригонометрических функций. Изложение ведется по уже пройденному материалу с построением аналогий. Формулы «обратной тригонометрии» дополняются обычными формулами и сами обобщают их и подводят итог к теме тождественных преобразований в тригонометрии.

Тема «тригонометрические уравнения и неравенства»

Цель: изучить тригонометрические уравнения и неравенства и отработать навыки их решений.

Задачи:

· определить простейшие тригонометрические уравнения и получить их решение;

· провести обзор тригонометрических уравнений;

· составить классификацию тригонометрических уравнений и методов их решений;

· выделить классы наиболее часто встречающихся типов тригонометрических уравнений и отработать их решение;

· отработать навыки решения систем тригонометрических уравнений, в том числе систем в которых одно уравнение - тригонометрическое, а другое - алгебраическое;

· разобрать общие приемы решения алгебраических и тригонометрических уравнений, рассмотреть случаи решения алгебраических уравнений с использованием тригонометрических подстановок;

· определить и получить решение простейших тригонометрических неравенств;

· провести обзор тригонометрических неравенств и методов их решения;

· определить простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции и получить их решение;

· рассмотреть сложные уравнения и неравенства, содержащие прямые и обратные тригонометрические функции и обозначить случаи их решения.

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o разбор тригонометрических уравнений и неравенств на доске (лекция);

o решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств учащимися у доски для закрепления первичных навыков;

o отработка навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств (самостоятельная и групповая работа);

o решение геометрических задач с применением тригонометрических уравнений и неравенств;

· внеурочная деятельность:

o решение тригонометрических уравнений и неравенств самостоятельно (домашняя работа);

o повторение формул преобразования тригонометрических выражений;

o решение геометрических задач с применением тригонометрических уравнений и неравенств.

Методы проведения занятий.

При проведении занятий по теме «тригонометрические уравнения и неравенства» совершенствуются навыки преобразования тригонометрических выражений и отрабатывается их применение на примере решения тригонометрических уравнений и неравенств. В виду чрезвычайного разнообразия и сложности таких уравнений и неравенств на школьных уроках разбираются лишь типичные случаи и наиболее простые методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Важно разобрать основные случаи, от простейших уравнений и неравенств до сложных, у доски, дать упражнения для закрепления материала.

Тема «тригонометрические уравнения и неравенства» в тригонометрии считается одной из самых сложных. В настоящее время такие задачи присутствуют на едином государственном экзамене (задачи C-1 и C-3 ЕГЭ). Учащиеся нередко испытывают трудности при решении. Поэтому можно чередовать различные краткие работы учащихся у доски и в тетради для первичного закрепления того или иного приема решения, самостоятельные работы с заданиями различной сложности и тесты, выявляющие степень закрепления материала.

Необходимо отметить, что при решении тригонометрических уравнений и неравенств постоянно используются формулы преобразования тригонометрических выражений. Нередко полезно применить функционально-графический метод решения. Это говорит о важности повторения пройденного материала. При проведении самостоятельных работ и тестов в число заданий нужно включать и задания на выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений и на исследования тригонометрических функций.

Если учащиеся не проходили тему «производная» ко времени темы «тригонометрические функции числового аргумента», то позднее, при решении уравнений, при повторении исследования функций производные можно включить. В целом исследование функций и построение их графиков имеет общую схему и применение производной не изменит существа дела.

Далее, очень важно не откладывать решения геометрических задач. Конечно, нельзя рассеиваться по сторонам, но среди пяти-семи заданий алгебраического характера вполне найдется место для одной-двух геометрических задач. Зависимости между геометрическими величинами часто фиксируются в форме равенств и неравенств. Отсюда вытекает применение тригонометрических уравнений и неравенств к решению геометрических задач.

Тема «решение сферических треугольников и трехгранных углов»

Цель: познакомить обучающихся с элементами сферической геометрии и тригонометрии, дать общее представление о решении задач и отработать навыки в решении таких задач.

Задачи:

· дать общее представление о сферических фигурах, в частности о сферических треугольниках;

· провести аналогию между многогранными углами трехмерных тел и сферическими многоугольниками;

· сообщить обучающимся основные сведения о свойствах сферических фигур, об отношениях между ними;

· определить соотношения между сторонами и углами сферического треугольника;

· сформулировать и доказать теоремы синусов и косинусов для сферических треугольников;

· разобрать случаи решения сферических треугольников;

· провести аналогию между решением плоских и сферических треугольников;

· разобрать типичные задачи по сферической геометрии и тригонометрии и применить к ним метод решения сферических треугольников.

Форма проведения занятий:

· урочная деятельность:

o изучение нового материала (лекция);

o решение задач у доски и в тетради (первичное закрепление материала);

o выполнение построений и вычислений под руководством учителя (отработка навыков);

o самостоятельная работа обучающихся (закрепление материала);

· внеурочная деятельность:

o выполнение расчетных заданий и заданий на построение;

o реферативные задания по истории тригонометрии и математики в целом;

o повторение формул преобразования тригонометрических выражений.

Методы проведения занятий.

Сферическая геометрия и тригонометрия - это наиболее трудная часть курса «тригонометрия: от плоскости к пространству». Трудность заключается в построениях на сфере, к которым учащиеся не привыкли и в том, что сама сферическая геометрия в школе обычно не изучается в виду ее сложности.

Учитель должен показать учащимся практическую сторону сферической геометрии и тригонометрии на примере астрономических и геодезических задач. Эти задачи должны предоставляться обучающимся для решения после отработки материала. Очень полезно сделать несколько макетов сферы и изобразить на них основные положения сферической геометрии и тригонометрии.

Несомненно, сферическая геометрия расширяет кругозор учащихся и для ее подробного изучения следовало бы разработать отдельный курс по выбору. В данном случае важно заинтересовать учащихся, вызывать у них желание самосовершенствования.

Основной вид деятельности по данной теме - решение тригонометрических задач - сферических треугольников и многоугольников, к ним сводящихся. Тригонометрические задачи даже с геометрическим содержанием решаются алгебраическим методами, в этом их отличие от собственно геометрических задач. Если обучающиеся усвоят решение сферических треугольников, они гораздо легче свыкнутся со сферическими фигурами, поскольку смогут вычислить их элементы, а значит, установить их численные свойства и отношения друг к другу.

Тема «решение геометрических задач с применением тригонометрии»

Цель: отработать навыки решения расчетных геометрических задач с помощью методов решения плоских и сферических треугольников.

Задачи:

· применить методы решения треугольников к геометрическим задачам на плоскости, на сфере и в пространстве;

· исследовать тетраэдр и установить отношения между его частями;

· применить метод решения плоских и сферических треугольников к тетраэдру;

· систематизировать задачи по стереометрии по случаям применения в них методов решения треугольников;

· отработать навыки решения геометрических задач с применением формул тригонометрии.

Формы проведения занятий:

· урочная деятельность:

o разбор задач стереометрии и применение к ним метода решения треугольников, плоских и сферических (лекция);

o решение задач учащимися у доски и в тетради (отработка навыков);

o решение творческих задач на сообразительность (развитие творческих способностей);

o самостоятельная работа (решение задач, закрепление материала);

· внеурочная деятельность:

o решение с геометрическим содержанием;

o повторение формул преобразования тригонометрических выражений;

o повторение методов решения плоских и сферических треугольников.

Методы проведения занятий.

Тема «решение геометрических задач с применением тригонометрии» является итоговой для курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования. Цель тригонометрии

– дать методы решения геометрических и физических задач с помощью тригонометрических функций. Решение геометрических задач с применением методов решения треугольников и тригонометрических формул требует всестороннего знания предмета.

Основное внимание следует уделить отработке различных способов решения типичных задач. Задачи следует систематизировать по применению того или иного методы и проводить их решение от простого к сложному, от первичного закрепления материала до полной беглости в использовании формул и методов.

Некоторое особое внимание в данном курсе уделено решению тетраэдра. Собственно, тригонометрия делится на плоскую и сферическую, однако тетраэдр играет в пространстве ту же роль, что и треугольник на плоскости или на сфере. Специальных методов «решения тетраэдров» не существует. Под этим нужно подразумевать применение методов решения плоских и сферических треугольников к решению тетраэдра. Как известно, тетраэдр (четырехгранник) имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Ребра представляются двухгранными углами, а вершины принадлежат трехгранным углам, которые аналогичны сферическим треугольникам по своим свойствам. Таким образом, следует применять методы решения плоских треугольников ко граням тетраэдра, и методы решения сферических треугольников к его трехгранным углам. Из совокупности этих методов и сложится решение тетраэдра - начало «пространственной» тригонометрии.

2.3 Результаты экспериментальной проверки

Курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» я проводил в ГБОУ Школа 1347 с углубленным изучением информатики и иностранных языков. Учащиеся 10 класса «Г» (социально-экономический класс) и 11 класса «А» (информационно-технологический класс) выбрали курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования. Другой курс по выбору «Решение задач по математике при подготовке к ЕГЭ» выбрали остальные учащиеся. При этом в сетке расписания было дано два часа в неделю сверх обычной программы для подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ.

Обучающиеся 11 класса «А» готовились сдавать ЕГЭ на профильном уровне и решение тригонометрических задач позволило повысить результаты в части «C» (задачи 13 и 15 - тригонометрические уравнения и неравенства). Поскольку курс проводится первый год, а для учащихся 11 класса это выпускной год, то основным и темами стали «преобразование тригонометрических выражений», «решение плоских треугольников» и «тригонометрические уравнения и неравенства». Учащиеся 10 класса «Г» проходили курс в соответствие с программой.

Результаты усвоения курса различны. Учащиеся 11 класса, изучая математику на профильном уровне, показали результат лучше. В частности, к концу года повысилось количество решенных задач по тригонометрии из пробных материалов по ЕГЭ.

В 10 классе «Г» преобладает гуманитарная направленность. Однако результаты решения задач к концу года улучшились и по алгебре и по геометрии.

При проведении занятий в 10 классе «Г» я с одной стороны давал решение задач и материал собственно по тригонометрии, в какой-то мере согласуя его с программой Алимова и Колягина «алгебра и начала анализа 10-11 класс», с другой стороны, учитывая, что учащиеся сдают ЕГЭ базового уровня в конце этого года, применял методики и для решения задач ЕГЭ.

Если 11 класс «А» мотивирован на изучение математики, многие учащиеся как на основных уроках, так и на дополнительных проявляли активность, самостоятельно вызывались к доске для решения задач, то 10 класс «Г» учился менее активно, больше проявляя заботы о сдаче единого государственного экзамена и результаты там не такие хорошие.

К сожалению, государственная итоговая аттестация, призванная проверить знания учащихся по предмету, превратилась в самоцель. Для многих учащихся не так важно знать предмет, иметь метапредметные и личностные результаты. Важно набрать приемлемое количество баллов на экзамене. Это отдельная тема. В прочем, курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» будет дорабатываться. Изменения будут происходить исходя из результатов влияния курса на общую успеваемость учащихся.

В настоящее время отмечается некоторый рост в успеваемости, но, помимо курса по выбору, проводится подготовка к сдаче ЕГЭ,

дополнительные занятия. Методы опроса, самостоятельные работы по предмету, консультации проводились как по курсу по выбору, так и по основным предметам.

Таблица 2. Успеваемость учащихся 10 класса «Г» за 2016-2017 учебный год

Оценки (в процентах)	Первое полугодие	Второе полугодие	Пробный ЕГЭ. Первое полугодие	Пробный ЕГЭ. Второе полугодие	Итоговая диагностическая работа
5	5%	15%	5%	5%	50%
4	35%	45%	30%	45%	50%
3	60%	40%	60%	45%	нет
2	нет	нет	5%	5%	нет

Динамика показывает повышение успеваемости средних учеников в течение года и исправление результатов ближе к концу года.

Таблица 3. Успеваемость 10 класс «Г» по дисциплинам в течение года

Оценки (средний балл)	Алгебра и начала анализа	Геометрия	Тригонометрия (курсповыбору)	Диагностические работы СтатГрад
Сентябрь октябрь	-	3,5	3,8	4,0	3,7
Ноябрь декабрь	-	3,8	3,6	3,8	3,8
Январь февраль	-	4,0	3,8	4,1	4,1
Март - май	4,1	4,0	4,2	4,5

Улучшение результатов происходило не только по причине занятий тригонометрией, но также использовались дополнительные занятия с отстающими, повторение пройденного материала на основных уроках и др.

Учащиеся 10 класса «Г» по настоянию классного руководителя будут сдавать математику на профильном уровне в следующем году.

К сожалению, следует отметить слабую успеваемость по геометрии. В рамках курса по выбору алгебраическая часть дала более высокие результаты, чем геометрическая.



Таблица 4. Успеваемость учащихся 11 класса «А» за 2016-2017 учебный год

Оценки(в процентах)	Первое полугодие	Второе полугодие	Контрольные работы по алгебре	Контрольные работы по геометрии	Контрольные работыпо тригонометрии (курс по выбору)
5	10%	15%	20%	10%	15%
4	80%	80%	45%	50%	50%
3	10%	5%	35%	40%	35%
2	нет	нет	нет	нет	нет

Учащиеся 11 класса «А» проявляли активность на основных уроках (алгебра и начала анализа, геометрия). Большинство обучающихся вызывались решить тот или иной пример у доски.

При проведении курса по выбору также отмечается желание изучать предмет.

Большинство учащихся 11 класса «А» единый государственный экзамен по физике или по информатике. Математику все учащиеся сдают на профильном уровне.

Таблица 5. Решение задач по разделам математики. Формат ЕГЭ. 2016 - 2017 учебный год

	С-1	С-2	С-3	С-4	С-5
Сентябрь- октябрь	5%	2%	4%	1%	10%
Ноябрь- декабрь	10%	5%	8%	3%	15%
Январь- февраль	16%	7%	7%	2%	18%
Март- апрель	18%	6%	13%	5%	18%

Успеваемость по геометрии (С-2 и С-4) в целом ниже, чем по алгебре и тригонометрии (остальные задачи части С).

Необходимо отметить, что при изучении геометрической части тригонометрии (решение треугольников) большинство учащихся больше внимания уделяли подготовке к ЕГЭ, чем занятиям.



Заключение

При выполнении исследовательской работы были достигнуты следующие результаты:

1. Проанализировано место курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования в школьной программе общего образования. Курс по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» проводится на старшей ступени общего (полного) образования и требует 70 часов аудиторного и 34 часов внеаудиторного времени.

2. Разработана рабочая программа курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования. Рабочая программа по курсу «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования приведена в приложении № 1 к настоящей работе.

3. Предложена эффективная реализация курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования. Эффективность достигается распределением материала по темам, подбором заданий и местом курса в школьной программе (старшая ступень общего образования).

4. Апробированы результаты курса по выбору «тригонометрия: от плоскости к пространству» на старшей ступени общего образования. Повышение результатов успеваемости обучающихся показывает позитивное влияние курса на образовательный процесс.

Необходимо отметить и некоторые недостатки проделанной работы. Во-первых, курс «тригонометрия: от плоскости к пространству» читается впервые и основан на авторских предпочтениях разработчика курса. Во-вторых, как следствие, повышение успеваемости не так значительно, как ожидалось.

Недостатки курса показывают динамику работы автора над проблемой. В дальнейшем курс планируется дополнять и исправлять с учетом особенностей уровня подготовки учащихся и требований, предъявляемых к образованию на старшей ступени общего образования.



Литература

1. Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 13.07.2015) "Об образовании в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. в силу с 24.07.2015).

2. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и науки РФ № 413 от 17.05.2012.

3. Фундаментальное ядро содержания общего образования. - Москва: Просвещение. 2009 - 48 с.

4. Приказ Министерства образования и науки РФ от 9.02.1998 № 322 «Об утверждении БУП общеобразовательных учреждений РФ».

5. Базисный учебный план общеобразовательных учреждений Российской Федерации, утвержденный приказом Минобразования РФ № 1312 от 09.03.2004.

6. Федеральный компонент государственного образовательного стандарта, утвержденный Приказом Минобразования РФ№ 1089 от 05.03.2004.

7. Приказ Министерства образования и науки РФ № 889 от 30.08.10 «О внесении изменений в ФБП и примерные учебные планы для ОУ РФ.

8. Примерная программа по математике федерального компонента государственного стандарта основного общего образования.

9. Федеральный базисный учебный план и примерные учебные планы. Министерство образования РФ. Москва 2008 г.

10 Алгебра. Сборник рабочих программ. 7 - 9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / [сост. Т. А. Бурмистрова]. - 3-е изд. М.: Просвещение. 2016. - 96 с.

11 Геометрия. Сборник рабочих программ. 7 - 9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / [сост. Т. А. Бурмистрова]. - 3-е изд. М.: Просвещение. 2016. - 95 с.

– Алгебра и начала математического анализа. Сборник рабочих программ. 10 - 11 классы: учеб. пособие для учителей общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [сост. Т. А. Бурмистрова]. 3-е изд. - М.: Просвещение. 2016. - 143 с.

12 Геометрия. Сборник рабочих программ. 10 - 11 классы: учеб. пособие для учителей общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [сост. Т. А. Бурмистрова]. - 3-е изд. - М.: Просвещение. 2016. - 95 с.

13 Макаренко. А. С. Избранные педагогические сочинения. Том 1. - Москва: Педагогика. 1977. - 398 с.

14 Макаренко. А. С. Избранные педагогические сочинения. Том 2. - Москва: Педагогика. 1977. - 320 с.

15 Макаренко. А. С. О воспитании. - 2-е изд. перераб. и доп. - М: Политиздат. 1990. - 415 с.

16 Ушинский. К. Д. Человек как предмет воспитания. - М: Фаир-пресс.

2004. - 576 с.

17 Ушинский. К. Д. Избранные педагогические сочинения в двух томах. Том 2. Проблемы русской школы. / Под редакцией А. И. Иискунова (ответственный редактор), Г. С. Костюка, Д. О. Лордкипанидзе, М. Ф. Шабаевой. - Москва: Педагогика. 1974. - 439 с.

18 Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104

«Математика» и 2105 «Физика» / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов и А. А. Столяр. - М: Просвещение. 1985. - 336 с.

19 Столяр. А. А. Методы обучения математике. - Минск. Высшая школа.

1966. - 191 с.

20 Столяр. А. А. Методика математики. - Издание третье, переработанное и дополненное - Минск. Вышэйшая школа. 1986. - 414 с.

21 Латышина. Д. И. История педагогики. Воспитание и образование в России (X - начало XX века). - М: ФОРУМ - ИНФРА-М. 1998. - 584 с. 23. Педагогика и психология высшей школы. Серия «Учебники и учебные

пособия». Ростов-на-Дону. Феникс. 1998. - 544 с.

24 Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие. - М: Наука. Гл. ред. Физ.- мат. лит. 1990. - 672 с.

25 Виницкий. М. Г. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. - М: Высшая школа. 1975. - 280 с.

26 Фролов. С. А. Начертательная геометрия. Учебник для втузов. - 2-е изд. перераб. и доп. - М: Машиностроение. 1983. - 240 с.

27 Глейзер. Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под редакцией В. Н. Молодшего. - Москва. Просвещение. 1964 г.

- 376 с.

28 Гильмуллин. М. Ф. История математики: Учебное пособие. - Елабуга: ЕГПУ. 2009. - 212 с.

29 Ланков. А. В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. -- Москва: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР. 1951. - 151 с.

30 Методика преподавания математики в восьмилетней школе. / Под общей редакцией С. Е. Ляпина. - Москва: Просвещение. 1965. - 744 с.

31 Новоселов. С. И. Специальный курс тригонометрии. - Издание пятое. - Москва: Высшая школа. 1965. - 536 с.

32 Степин. В. С. История и философия науки: Учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук. - М: Академический проект; Трикста. 2011. - 423 с.

Размещено на Allbest.ru