Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• 1. Определители и их свойства
• 2. Минор
• 3. Матрицы и действия над ними
• 4. Обратная матрица
• 5. Ранг матрицы и его вычисление
• 6. Системы линейных алгебраических уравнений и их решение
• 7. Решение систем общего вида. Однородные системы. Фундаментальная система решений
• 8. Векторы. Линейные операции над векторами
• 9. Линейно-независимые системы векторов. Базис линейной зависимость векторов
• 10. Компланарные и коллинеарные векторы
• 11. Ортогональные вектора
• 12. Скалярное произведение и его свойства
• 13. Длина вектора. Угол между векторами
• 14. Векторное произведение и его свойства
• 15. Смешанное произведение и его свойства
• 16. Уравнение плоскости
• 17. Уравнение прямой
• 18. Общее уравнение кривых 2-го порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы, параболы их геометрические свойства
• 19. Поверхности второго порядка
• 20. Полярная система координат
• 21. Последовательность. Предел. Верхний и нижний предел
• 22. Функция. Область определения. Способы задания. Предел функции в точке
• 23. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых
• 24. Первый и второй замечательные пределы
• 25. Непрерывность функции в точке. Разрывы функций и их классификация. Непрерывность функции на отрезке
• 26. Производная функция. Ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования
• 27. Производная обратной функции, неявной и заданной параметрически
• 28. Логарифмическое дифференцирование
• 29. Производные различных порядков
• 30. Дифференциалы различных порядков
• 31. Теоремы о дифференцируемых функциях
• 32. Исследование функции. Возрастание и убывание. Точки перегиба
• 33. Экстремумы функций
• 34. Асимптоты функций
• 35. Построение графиков функций в декартовой и полярной системе координат


1. Определители и их свойства

Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 ® 2, 2 ® 1, 4 ® 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде , т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

(4.3)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (4.4)

где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ

или

det A=

(детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых

ai j = bj + cj (j=),

то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом,

Ai j = (-1) i + j Mi j.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +... + ai n Ai n (i =)

или j- гостолбца

d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + an j An j (j =).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Формула вычисления определителя третьего порядка.

Для облегчения запоминания этой формулы:

Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю. матрица вектор производная дифференцирование

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель, равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 2.5. Вычислить определитель D =, разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a12A12 + a22A22+a32A32=

Пример 2.6. Вычислить определитель

,

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение. Разложим определитель А по первой строке:

.

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

.

И так далее. После n шагов придем к равенству:

A = а 11 а 22... ann.

Пример 2.7. Вычислить определитель .

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель:, равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду

2. Минор

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

.

При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.

Пример 1. Составить минор , полученную из исходной матрицы:

.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца: то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба - нечетное число.

Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

3. Матрицы и действия над ними

Прямоугольной матрицей размера mxn называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

.

Можно пользоваться сокращенной формой записи:

A = (aij);

i = 1, 2, 3,...., m; j = 1, 2, 3,....., n. О.

Нулевой матрицей называется матрица все элементы которой равны 0. О. Две матрицы одинаковой размерности mxn называются равными, если на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n. Пусть

A = (aij)

- некоторая матрица и g-произвольное число, тогда

g A = (g aij),

то есть при умножении матрицы A на число g все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число g. Пусть A и B - матрицы одинаковой размерности A = (aij), B = (bij), тогда их сумма A + B - матрица C = (cij) той же размерности, определяемая из формулы:

cij = aij + bij,

то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа. Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой:

Элемент cij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i -строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы - сомножителя. Таким образом, формула (1.16) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме.



4. Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу:

Обозначим D =det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

А В = В А = Е,

где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^ - 1, так что В = А^- 1. Обратная матрица вычисляется по формуле:

,

где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j. Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы. Пример 2. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А=.

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую "половину" к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~ После преобразований, Умножим последний столбец на -1: Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,

5. Ранг матрицы и его вычисление

Определение 4.1. Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы.

Замечание. Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

Определение 4.2. Ранг матрицы - это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

Обозначения: r(A), R(A), Rang A.

Замечание. Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

Примеры: , r(A)=0.

Матрица В содержит единственный ненулевой элемент - являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков, составленные из элементов этой матрицы, будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, r(B)=1.

Единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы С, но он равен 0, поскольку содержит пропорциональные столбцы. Следовательно, r(C)<3.

Для того, чтобы доказать, что r(C)=2, достаточно указать хотя бы один минор 2-го порядка, не равный 0, например, Значит, r(C)=2.

Замечание. Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

1) транспонирование;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) перестановка строк;

4) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число;

5) вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые - в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример. Найдем ранг матрицы .

Теоретически ранг этой матрицы может принимать значения от 1 до 4, так как из элементов матрицы можно создать миноры по 4-й порядок включительно. Но вместо того, чтобы вычислять все возможные миноры 4-го, 3-го и т.д. порядка, применим к матрице А эквивалентные преобразования. Вначале добьемся того, чтобы в первом столбце все элементы, кроме первого, равнялись 0. Для этого запишем вместо второй строки ее сумму с первой, а вместо третьей - разность третьей и удвоенной первой:.

После вычеркивания нулевых строк получим матрицу размерности 2х 5 для которой максимальный порядок миноров, а, следовательно, и максимально возможное значение ранга равно 2: .

Ее минор следовательно,

Теорема о ранге. Определение 4.3. Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

6. Системы линейных алгебраических уравнений и их решение

1. Система линейных уравнений. Определение решения линейной системы. Исследование линейной системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.

Рассмотрим систему 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.

a₁₁x₁+a₁2x₂=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂

Введем обозначение:

=a₁₁ a₁₂x₁=b₁ a₁₂x₂=a₁₁ b₁

a₂₁ a₂₂ b₂ a₂₂ a₂₁ b₂

-это определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед неизвестными.

Определители x₁ и x₂ составл. из опред. заменой столбца коэффициентов при соотв. перем. На столбец своб. Членов b₁ и b₂. Для нахождения неизв. x₁ и x₂ необходимо воспользоваться Формулой:

x₁₌x₁/; x₂=x₂/.

Итак, если отличен от нуля, то система имеет единственное решение, опред. По данным фомулам, если =0, то сист. Может иметь множ. Реш. Или их совсем не иметь.

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij - коэффициенты, а b_i - постоянные.

Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождествосистема имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного. Неизвестные или переменные уравнений общепринято обозначать буквами х ₁, х ₂,… х_n. Уравнение называется линейным относительно переменных х ₁, х ₂,… х_n, если оно записано в виде

(1)

Здесь - произвольные действительные числа. Набор чисел называется решением уравнения (1), если в результате подстановки этих чисел вместо неизвестных уравнение превращается в алгебраическое тождество

.

Пусть задана совокупность уравнений вида (1). В общем виде такая система уравнений записывается так:

(2)

В общем виде система уравнений (2) содержит m уравнений и n неизвестных. Коэффициенты при неизвестных имеют два индекса - первый индекс указывает номер уравнения, а второй - номер неизвестной. Коэффициенты b₁, b₂, …b_m, называются свободными элементами уравнений.

Система уравнений называется неоднородной, если хотя бы один свободный член уравнения не равен нулю, однородной - если все свободные члены уравнений равны нулю.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система, имеющая единственное решение, называется определенной, система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределенной.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Рассмотрим графическую интерпретацию совместной и несовместной систем на примере решения системы двух уравнений.

Пример 3.1.

а)

Решением системы являются корни х ₁ = х ₂ = 1. Система уравнений определенна, т. к. имеет единственное решение. Рассмотрим графическую интерпретацию единственности решения. Уравнения системы в координатах Х ₁ОХ ₂ представляют прямые. Первое уравнение - прямая, отсекающая на осях ОХ ₁ и ОХ ₂ отрезки, равные 2. Второе уравнение - прямая, проходящая через начало координат. Эти прямые пересекаются в одной точке М, что определяет единственность решения (рис. 1.). Остальное в др. листе.

7. Решение систем общего вида. Однородные системы. Фундаментальная система решений

Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений. Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю



.	Возьмём любую точкуи сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x0для i-ой задачи возьмём изi-го столбца этого определителя:
Ln(y1) = 0;	Ln(y2) = 0;		Ln(yn) = 0;

Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x₀ равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана. Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

8. Векторы. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий опред длину. К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Единичный-длина к-го равна 1. напр. Может быть какое угодно. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число. Суммой векторов является вектор - Произведение -, при этом коллинеарен Вектор сонаправлен с вектором (), если > 0.Вектор противоположно направлен с вектором (), если < 0.Линейные операции над векторами в координатах. Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда

9. Линейно-независимые системы векторов. Базис линейной зависимость векторов

Вектор а 1, а 2,…аn называется линейно-зависимым, если существуют Числа 1, 2,… n не все равные нулю, для к-х справедливо равенство: 1а 1+а 2+…nаn=0.

Если векторы линейнозависимы, то один из них можно представить виде линейной комбинации остальных. Справедливо и обратное утверждение. Векторы а 1,а 2,…аn наз-ся линейнонезавис., если 1а 1+а 2+…nаn=0.Имеет место только при условии 1=2=…=n=0.

Теорема: Всякие 3 вектора а,b и с на пл. ленейнозависимы.

Следствие: если число векторов на пл. больше 3-х, то они всегда линейнозависимы

Теорема: 2 вектора на пл. линейноз. когда они неколлинеарны.

Теорема: всякие 4 вектора а,b,с и d в простр. линейнозависимы.

Следствие:

1. Если число данных веторов в простр. больше 4-х, то они линейноз.

2. Для того, чтобы 3 вектора в простр. были компланарны, необх. и дост., чтобы они были линейноз. и наоборот.

3. Для того, чтобы 3 вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Базис - совокупность линейнонезависимых векторов.

Базис на плоскости - два любые неколлинеарные вектора, взятые в определенном порядке.

Базис в пространстве - три любые некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Пусть произв. Вектора a,b и c на пл. образуют базис

a= ₁b+₂c (1).

Это выражение называют разложением вектора а по базису b и c, а числа ₁,₂ называется аффинными координатами вектора а и записывается:

а=₁,₂=(₁,₂)

и такое разложение явл-ся единственным. Аналогично, любой вектор а в пространстве однозначно разлагается по векторам b,c и d.

а= ₁b+₂c + ₃d, а= (₁,₂,₃).

Прямоугольный декартов Базис. Т.к. они не компланарны, то они образуют базис, к-й называется декартовым.

Если известны декартовы координаты векторов, то линейные операции над векторами можно заменить арифм. действ. над их проекциями. Если даны координаты точек А(х 1,y1,z1) и B(x2,y2,z2, то проекции вектора АВ на оси будут равны

пр_ox AB=x2-x1;

пр_oy AB=y2-y1;

пр_oz AB=z2-z1,

т.е. разложение вектора АВ по Базису:

АВ=(x2-x1)i +(y2-y1)j + (z2-z1)k

AB=(x2-x1)² +(y2-y1)² + (z2-z1)²

Направляющие косинусы вектора. Направляющие косинусы вектора, а - косинусы углов между вектором и осями координат и равны отношению прилегающего катета к гипотенузе, т.е. отношению координат вектора к его модулю.

Пусть вектор а разложен по Базису след обр.:

а= a_xi+a_yj+a_zk

a_x =a*cos; a_y =a*cos; a_z =a*cos cos= a_x /a

cos= a_y /a

cos= a_z /a,

a=a_x²+a_y²+a_z² имеем cos= a_x/a_x²+a_y²+a_z² и т.д.



10. Компланарные и коллинеарные векторы

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевыхколлинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считаетсяколлинеарным любому вектору.

Теорема 1. Если векторы?>a и ?>b коллинеарны и ?>a/=?>0, то существует единственное число б такое, что ?>b=б?>a. Векторы ?>a,?>b и ?>c называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Теорема 2. Если векторы ?>a,?>b и ?>c компланарны, а векторы ?>a,?>b не коллинеарны, то существуют единственные числа б и в такие, что ?>c=б?>a+в?>b. Рассмотрим систему векторов ??>a1,??>a2,...,??>an и зададим n действительных чисел б1,б2,...,бn. Вектор ?>b=б1??>a1+б2??>a2+...+бn??>an называется линейной комбинацией данных векторов ??>a1,??>a2,...,??>an. Система векторов ??>a1,??>a2,...,??>an называется линейно зависимой, если существуют числа б1,б2,...,бn, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что б1??>a1+б2??>a2+...+бn??>an=?>0. Если же равенство б1??>a1+б2??>a2+...+бn??>an=?>0 справедливо только при б1=б2=...=бn=0, то система векторов ??>a1,??>a2,...,??>an называется линейно независимой.

11. Ортогональные вектора

Условия ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

a ·b = 0

Так в случае пространственной задачи вектора a ={a_x;a_y;a_z} и b={b_x; b_y; b_z} ортогональны если

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z = 0

Пример 1. Доказать что вектора a = {1; 2; 0} и b = {2; -1; 10} ортогональны.

Решение. Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) + 0 · 10 = 2-2 + 0 = 0.

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю то вектора a и b ортогональны.

Пример 2. Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4; 1} и b = {n; 1; -8} будут ортогональны.

Решение. Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 2 · n + 4 · 1 + 1 · (-8)= 2n + 4-8 = 2n - 4.

2n - 4 = 0.

2n = 4.

n = 2.

Ответ: n = 2.

12. Скалярное произведение и его свойства

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

= cos.

Свойства скалярного произведения:

= ²; = 0,

если или = 0 или = 0.

= ;(+) = + ;(m) = (m) = m();

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

= x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b.

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Пример. Найти

(5 + 3)(2 - ),

если 10- 5+ 6- 3 = 10, т.к..

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

.

5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а№ 0№b, то а^ b.

13. Длина вектора. Угол между векторами

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль.

Длина вектора на плоскости вычисляется по следующей формуле:

.

Длина вектора в трехмерном пространстве вычисляется по следующей формуле:

.

Формула длины вектора в n-мерном пространстве:

.

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором. Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Формула вычисления угла между векторами:

14. Векторное произведение и его свойства

Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ,

где - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов. Обозначается:

или.

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) ,

если или = 0 или = 0;

3) (m)= (m) = m();

4) (+ ) = + ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то=.

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .Пример. Найти векторное произведение векторов

и .

= (2, 5, 1);= (1, 2, -3).

1. антикоммутативность

;

2. свойство дистрибутивности

или ;

2. Сочетательное свойство

или

,

где - произвольное действительное число.

15. Смешанное произведение и его свойства

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1) Смешанное произведение равно нулю, если: а) хоть один из векторов равен нулю; б) два из векторов коллинеарны; в) векторы компланарны.

2) ;

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6) Если

, , то

.

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов:Т. О. полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2). Найдем координаты векторов: .

Объем пирамиды.

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания CD. .

S_осн = (ед²) Т.к.

V = ; (ед)

16. Уравнение плоскости

Пусть

- радиус-вектор текущей точки M(x,y) плоскости;

- единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; - углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат Ox, Oy, Oz; p - длина этого перпендикуляра, тогда уравнение плоскости в векторной форме имеет вид

При переходе к координатам уравнение принимает вид:

Общее уравнение плоскости. Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида:

A x + B y + C z + D = 0,

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезкахЕсли плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x₀, y₀, z₀) и вектора нормали плоскости n ={A; B; C} можно использовать следующую формулу.

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле:

.

17. Уравнение прямой

1) Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей

2) пересекающихся по этой прямой.

Исключив поочередно x и y из уравнений, получим

3). Здесь прямая определена двумя плоскостями, проецирующими её на плоскости x0Z и y0Z.

Уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(x₁;y₁;z₁) и M₂(x₂;y₂;z₂) имеют вид

.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

* C = 0, А ?0, В ? 0 - прямая проходит через начало координат

* А = 0, В ?0, С ?0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

* В = 0, А ?0, С ? 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу

* В = С = 0, А ?0 - прямая совпадает с осью Оу

* А = С = 0, В ?0 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1). Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3-2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и M₂ (x ₂, y ₂, z ₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ? х ₂ и х = х ₁, если х ₁ = х ₂. Дробь

= k

называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

,

и обозначить

,

то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой. Определение. Каждый ненулевой вектор (б₁, б₂), компоненты которого удовлетворяют условию А б₁ + В б₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0. Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0.

В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В. Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:х + у - 3 = 0 Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С?0, то, разделив на - С, получим:

,

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1. Нормальное уравнение прямой. Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число

,

которое называется нормирующем множителем, то получим xcosц + ysinц - p = 0 - нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы м * С < 0. р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ц - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой. уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой: ; cos ц = 12/13; sin ц= -5/13; p = 5. Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат. Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см ². Решение. Уравнение прямой имеет вид:

,

ab /2 = 8; a = 4; -4. a = -4 не подходит по условию задачи. Итого:

или х + у - 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат. Решение. Уравнение прямой имеет вид:

,

где х ₁ = у ₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Если заданы две прямые

y = k₁ x + b₁, y = k ₂x + b₂,

то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂. Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А ₁ = лА, В ₁ = лВ. Если еще и С ₁ = лС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М ₁ (х ₁, у ₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х ₀, у ₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0.

Пример. Определить угол между прямыми:

y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k ₁ = -3; k ₂ = 2; tgц = ;

ц= p /4.

Пример. Показать, что прямые 3х - 5у + 7 = 0 и 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярны. Решение. Находим: k ₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. Решение. Находим уравнение стороны АВ:

;

4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид:

Ax + By + C = 0

y = kx + b.

k = . Тогда

y = .

Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению:

откуда b = 17. Итого:

.

Ответ: 3 x + 2 y - 34 = 0.

18. Общее уравнение кривых 2-го порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы, параболы их геометрические свойства

Кривые второго порядка. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0,

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Если кривая Г невырожденная, то для неё найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой примет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):

- эллипс,

- гипербола,

px - парабола.

Эллипс - геометрическое множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая, чем расстояние между фокусами 2c:

.

Эллипс, заданный каноническим уравнением: симметричен относительно осей координат. Параметры а и b называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно), точки , , , называются его вершинами. Если а>b, то фокусы находятся на оси ОХ на расстоянии от центра эллипса О.

Число

()

называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его "сплюснутости" (при эллипс является окружностью, а при он вырождается в отрезок длиною ). Если а<b, то фокусы находятся на оси ОY и

,

.

Гипербола - геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая, чем расстояние между фокусами 2c:

.

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось ОХ в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОY. Параметр а называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Число

, ()

называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые

называются асимптотами гиперболы.

Гипербола, заданная каноническим уравнением:

(или ),

называется сопряжённой (имеет те же асимптоты). Её фокусы расположены на оси OY.

Она пересекает ось ОY в точках и - вершинах гиперболы, и не пересекает оси ОX.В этом случае параметр b называется вещественной полуосью, a - мнимой полуосью. Эксцентриситет вычисляется по формуле:

, ().

Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой: .

Парабола, заданная указанным каноническим уравнением, симметрична относительно оси ОХ.

Уравнение

задает параболу, симметричную относительно оси ОY. Парабола

имеет фокус и директрису

.

Парабола

имеет фокус и директрису

.

Если р>0, то в обоих случаях ветви параболы обращены в положительную сторону соответствующей оси, а если р<0 - в отрицательную сторону.

Примеры решения задач.

1.Написать каноническое уравнение гиперболы, зная что:

а) расстояние между фокусами 2c=30, а между вершинами 2a=20;б) вещественная полуось равна 5, эксцентриситет .Решение:

а) по условию ; ; ; ; из соотношений . Ответ: .

б) по условию ; , .

Ответ: .

2. Написать уравнение параболы, зная, что:

а) парабола проходит через точки (0,0); (3,6) и симметрична относительно оси ОХ,

б) парабола проходит через точки (0,0); (4,2) и симметрична относительно оси ОY.

Решение: а)

Точка (3,6) лежит на параболе, поэтому , - уравнение директрисы. - уравнение параболы

б) Точка (4,2) лежит на параболе, поэтому - уравнение директрисы,

- уравнение параболы.

Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка

Рассмотрим в декартовой прямоугольной системе координат Oxy уравнение второго порядка общего вида:

Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0,

где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Оно задаёт кривую второго порядка. Наша цель: поменять систему координат так, чтобы максимально упростить данное уравнение. Для этого сначала (если B0) повернём искодный базис (координатные оси Ox и Oy) на угол б против часовой стрелки таким образом, чтобы новые оси Ox' и Oy' стали параллельны осям кривой, при этом исчезнет слагаемое 2Вxy:

,

- матрица линейного преобразования: поворот на угол б против часовой стрелки.

Или, наоборот,

.

A(x'cosб - y'sinб)² + 2B(x'cosб - y'sinб)(x'sinб + y'cosб)+C(x'sinб + y'cosб)² + 2D(x'cosб - y'sinб) + 2E(x'sinб + y'cosб) + F = 0

Выберем угол б так, чтобы коэффициент при произведении x'y' обратился в ноль, т.е. чтобы выполнялось равенство:

-2Acosбsinб + 2B(cos²б - sin²б) + 2Csinбcosб = 0

или или

В новой системе координат Ox'y' (после поворота на угол б), учитывая, что

; ,

уравнение будет иметь вид

А'x'² + С'y'² + 2D'x' + 2Е'y' + F' = 0,

где коэффициенты А' и С' не равны одновременно нулю.

Следующий этап упрощения заключается в параллельном переносе осей Ox' и Oy' до совпадения их с осями кривой, при этом начало координат совпадёт с центром (или вершиной, в случае параболы) кривой. Техника преобразований на данном этапе заключается в выделении полного квадрата.

Таким образом, мы получим канонические уравнения кривых второго порядка. Всего возможны 9 качественно различных случаев (включая случаи вырождения и распадения):

1. (эллипс),

2. (гипербола),

3. px (парабола),

4. (мнимый эллипс),

5. (пара мнимых параллельных прямых),

6. (пара параллельных прямых),

7. (пара совпавших прямых),

8. (точка (пара мнимых пересекающихся прямых)),

9. (пара пересекающихся прямых).

Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами).

Если в общем уравнении кривой 2-го порядка

,

в частности, В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. Рассмотрим уравнение:

(A и C одновременно). Можно показать, что при этом:1) Если АС > 0 (коэффициенты при квадратах переменных одного знака), то уравнение определяет эллипс;

2) Если АС < 0 (коэффициенты при квадратах переменных имеют разные знаки), то уравнение определяет гиперболу;

3) Если АС = 0 (один из членов с квадратом переменных отсутствует), то этим уравнением определяется парабола.

В каждом из случаев 1), 2), 3) могут встретиться вырожденные кривые, которыми мы заниматься не будем.

Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром:

1)

- это уравнение эллипса с центром и осями, параллельными осям и ;

2)

,

эти уравнения определяют гиперболы с центром и осями, параллельными координатным;

3)

это параболы с вершиной и осью, параллельной одной из координатных.

Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Теорема. Сечением любого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом, гиперболой или параболой.

При этом, если плоскость пересекает только одну полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая - парабола; если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении образуется гипербола.

Справедливость этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка.

Из рисунка видно, что, поворачивая секущую плоскость вокруг прямой PQ, мы меняем кривую сечения. Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной плоскости конуса.

Таким образом, эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями.

19. Поверхности второго порядка

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

(1).



Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями

, (2)

. (3)

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 2); гиперболоид, определяемый уравнением (3), - двуполостным (рис. 3); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и b) показаны на рис. 2. В случае двуполостного гиперболоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 3. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при a=b являются поверхностями вращения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями: