В частност, Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

26. Производная функция. Ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x) в двух точках x₀ и x₀ + : f (x₀) и f (x₀ + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x₀ + ) - f (x₀) называется приращением функции. Производной функции y = f (x) в точке x₀ называется предел:

Если этот предел существует, то функция f (x) называется дифференцируемой в точке x₀. Производная функции f (x) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис. 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x₀, f (x₀)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f '(x₀) имеет вид:

y = f '(x₀) · x + b.

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f (x₀) = f '(x₀) · x₀ + b,

b = f (x₀) - f '(x₀) · x₀,

и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f (x₀) + f '(x₀) · (x - x₀).

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки - известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t₀ до t₀ + точка перемещается на расстояние:

x (t₀ + ) - x (t₀) = ,

а её средняя скорость равна:

v_a = / .

При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t₀) материальной точки в момент времени t₀. Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t₀) = x' (t₀), т.e. скорость - это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение - это производная скорости по времени: a = v' (t).

Формулы дифференцирования основных функций:

Основные правила дифференцирования:

Пусть , тогда:

7) , ,

где и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).

27. Производная обратной функции, неявной и заданной параметрически

Перед началом изучения данной статьи рекомендуем вспомнить определение и свойства обратной функции. Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x. Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции. Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x), то в точке существует конечная производная обратной функции g(y), причем

.

В другой записи

.

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим

.

Давайте проверим справедливость этих формул. Найдем обратную функцию для натурального логарифма

(здесь y - функция, аx - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x, получим

(здесь x - функция, а y - ее аргумент). То есть,

и

взаимно обратные функции. Из таблицы производных видим, что

и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Как видите, получили такие же результаты как и в таблице производных. Теперь мы обладаем знаниями для доказательства формул производных обратных тригонометрических функций. Начнем с производной арксинуса. Для

обратной функцией является

.

Тогда по формуле производной обратной функции получаем

.

Осталось провести преобразования. Так как областью значений арксинуса является интервал , то (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому

,

не рассматриваем. Следовательно,

.

Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1). Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:

Найдем производную арктангенса. Для

обратной функцией является

.

.

Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение. Пусть

arctgx = z,

.

Схожим образом находится производная арккотангенса:

Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение определяет как неявную функцию от х.

а) продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;

б) из полученного уравнения выразим .

Пример:.



Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

, ,

10. Производные от функций, заданных параметрически.

Пример: Найти

.

28. Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование.

Если требуется найти из уравнения , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где есть сложная функция от х,

.

в) заменить его выражением через х

.

Пример:

29. Производные различных порядков

Производные различных порядков. Формула Лейбница:

y"=(yў)ў.

y(x)=u(x)v(x),

yў=uўv+vўu.

y"=u"v+2vўuў+v"u.

y"ў=u"ўv+3vўu"+3v"uў+v"ўu.

y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾v+nvўu^(n-1)+

n(n-1)

v"u^(n-2)+...+v⁽ⁿ⁾u.

30. Дифференциалы различных порядков

Пусть имеем функцию y=f(x), где x - независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x), а dx = Дx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d²y: d(dy)=d²y.Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому

d²y = d(dy) = d [f '(x)dx)]= [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)².

Принято записывать

(dx)² = dx².

d²у= f''(x)dx².

Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

d³y=d(d²y)= [f ''(x)dx²]'dx=f '''(x)dx³.

Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка:

dn(y)=d(dn-1y)dny = f (n)(x)dxn.

Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

31. Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c О (a; b), в которой f'(c) = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть

Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x О [a; b].

Предположим, что M?m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ?0 и М > 0.

Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c?a и с ? b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Дx и рассмотрим новую точку c+Дx. Поскольку f(c) - наибольшее значение функции, то f(c+Дx) - f(c)?0 для любого Дx. Отсюда следует, что:

Переходя в этих неравенствах к пределу при Дx>0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'(c) ? 0 и f'(c) ? 0 одновременно возможны лишь в случае, когда f'(c)=0. Теорема доказана. Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a и x=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой c, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox.Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), не обязательно равные нулю.

Кроме того, отметим, что если внутри [a; b]найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x)не существует, то утверждение теоремы может оказаться неверным.

Пример. Функция

непрерывна на [- 1; 1], обращается в нуль на концах отрезка. Но производная

не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка.

Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b]найдется хотя бы одна точка c, a<c<b такая, что

f(b) - f(a)=f'(c)(b - a).

Доказательство. Обозначим

и рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = f(x) - f(a) - k(x - a).

Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [a; b]и напишем уравнение хорды АВ. Заметим, что угловой коэффициент хорды

и она проходит через точку A(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение

y = f(a) + k(x - a).

F(x)=f(x)- [f(a)+k(x-a)].

ПоэтомуF(x) при каждом x есть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой. Легко видеть, что F(x) непрерывна на [a; b], как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [a; b]и F(a)=F(b)=0. Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точка c ? (a; b), что F'(c)=0. Но F '(x) = f'(x) - k, а значит,F'(c) = f'(c) - k= 0.Подставляя в это равенство значение k, получим

,

что и требовалось доказать.



Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика на [a; b]хордой AB. Как мы уже отметили, отношение

для хорды AB, а f'(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Теорема Коши. Если f(x) и g(x) - две функции, непрерывные на [a; b]и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ? 0 при всех x О (a; b), то внутри отрезка [a; b]найдется хотя бы одна точка c О (a; b), что

.

Доказательство. Определим число

.

Заметим, что g(b) - g(a) ? 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d О (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы. Составим вспомогательную функцию.

F(x) = f(x) - f(a) - k [g(x) - g(a)].

Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b]всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сО(a; b) такое, что F'(c) = 0. Но

F'(x) = f'(x) - k·g(x),

F'(c) = f'(c) - k·g'(c) = 0,

.

Заметим, что теорему Коши нельзя

доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k.

32. Исследование функции. Возрастание и убывание. Точки перегиба

Одним из важнейших приложений дифференцированного исчисления является исследование функции с целью построения ее графика.

Определение. Функция у=f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при х ₂>х ₁,f(x₂) >f(х ₁), и убывающей, если f(x₂)<f(х ₁). Достаточные признаки возрастания и убывания функции: если функция f(x)в каждой точке интервала (a,b) имеет положительную производную, то сама функция в этом интервале возрастает; если функция f(x) в каждой точке интервала (a,b) имеет отрицательную производную, то функция в этом интервале убывает. Определение. Функция у=f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке х=х ₀, если f(x₀) является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности этой точки. Необходимое условие экстремума функции. Если функция у=f(x) имеет экстремум в точке х=х ₀, то ее производная в этой точке равна нулю, либо не существует. Значения аргумента, при которых функция f(x) сохраняет непрерывность, а ее производная f'(x) обращается в нуль или не существует, называются стационарными или критическими точками. Первый достаточный признак экстремума функции. Если функция у=f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки х ₀ и ее производная слева от этой точки положительная, а справа отрицательная, то в точке х ₀ функция достигает максимума; если производная слева от стационарной точки х ₀ отрицательная, а справа - положительная, то в точке х ₀ функция достигает минимума; если производная слева и справа от стационарной точки х ₀ имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не имеет. Второй достаточный признак экстремума Если в стационарной точке х ₀ вторая производная отлична от нулю, то в этой точке функция у=f(x) имеет максимум при f''(x₀)<0 и минимум при f''(x₀)>0.

Определение. Кривая у=f(x) называется выпуклой на интервале (a,b), если при a<x<b она расположена ниже касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b).

Определение. Кривая у=f(x) называется вогнутой на интервале (a,b), если при a<x<b она расположена выше касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b).

Определение. Точки, отделяющие выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой (или наоборот), называются точками перегиба кривой. Признаки выпуклости и вогнутости кривой. Если вторая производная функции y''(x) положительна во всех точках интервала (a,b), то на этом интервале график функции является вогнутым. Если вторая производная функции y''(x) отрицательная во всех точках интервала (a,b), то на этом интервале график функции является выпуклым.

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Если или , то прямая х=а является вертикальной асимптотой кривой у =f(x). Прямая у=b является горизонтальной асимптотой кривой у=f(x), если существует предел или . Если существуют пределы , то прямая у=kx+b есть наклонная асимптота кривой у=f(x). Для построения графика функции ее можно исследовать по следующей схеме: 1. Найти область определения функции, интервалы непрерывности и точки разрыва функции. Найти вертикальные асимптоты, исследуя изменение функции при х, стремящемся к точкам разрыва функции. 2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. 3. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции. Вычислить значения экстремумов. 4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти точки перегиба. 5. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты кривой (если они существуют). Найти точки пересечения кривой с осями координат (если они существуют).

Пример. Исследовать функцию

и построить ее график. Решение. Функция у(х) точек разрыва не имеет. Область определения - вся числовая ось. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальных и наклонных асимптот нет. Исследуем данную функцию на экстремум. Определим критические точки. Для этого находим первую производную данной функции и приравниваем ее к нулю:

y'=x²-2x-3, x²-2x-3=0.

Решая последнее уравнение, находим его корни: х ₁=- 1, х ₂=3. Таким образом, х ₁=- 1 и х ₂= 3 - критические точки. Так как производная f'(x) -существует при любом значении х, то других критических точек не имеется. Исследуем критическую точку х=- 1. Производную y'(x) представим в виде произведения двух сомножителей:

y'=(x+1)(x-3).

Из этого равенства видно, что при x<- 1 производная f'(x) положительная, а при - 1<x<3производная f'(x) отрицательна. Следовательно, в интервале (- ?, - 1) функция возрастает, в интервале (- 1,3) - убывает, а в интервале (3,?) - возрастает. Так как производная y' при переходе через критическуюточку х=- 1 меняет свой знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

Аналогично исследуем точку х ₂=3. и убеждаемся, что в этой точке функция имеет минимум. Найдем экстремум . Из второй производной y''(x)=2x-2 найдем точку х=1, подозрительную на точку перегиба. Так как при переходе через эту точку y''(x) меняет знак, то точка х=1 является точкой перегиба. В интервале (- ?, 1) график функции является выпуклым, так как y'' (x)<0; в интервале (1,+ ?) - график вогнут, так как y'' (x)>0. Строим график.

Пример. Исследовать функцию

и построить ее график. Решение. Найдем производные:

.

Область определения . Свойствами четности, нечетности функция не обладает. График пересекается с осью Ох в точке . Критические точки: х=2, х=0. Последняя не входит в область определения, поэтому ее не рассматриваем. Найдем у(2)=3 и нанесем точку (2,3) на плоскость Оху. Исследуем поведение у в окрестности точки х=2. При 0<х<2, y'<0, при х>2, y'>0. Следовательно в точке х=2 функция имеет минимум. На промежутке (- ?,0) y' >0, следовательно функция возрастает. Исследуем направление выпуклости графика. Всюду y''>0, следовательно точек перегиба нет и кривая всюду вогнута. Исследуем функцию вблизи точки разрыва непрерывности х =0 и при х>?, х>- ?:

Прямая х=0 - вертикальная асимптота. Найдем наклонную асимптоту y=kx+ b:

Получим наклонную асимптоту у=х. Строим график функции.



Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство. Другими словами - большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами - большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X. К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y = sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале , мы можем утверждать о возрастании на отрезке . Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают . Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают . Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число. Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам

экстремума, называют экстремумами функции. Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции. На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a; b]достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке - наибольшее значение функции достигается в точке x = b, которая не является точкой максимума.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции. На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:

· если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

· если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

· найти область определения функции;

· найти производную функции;

· решить неравенства и на области определения;

· к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции

.

Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом,

и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2].

Непрерывная на отрезке [a; b]функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка

График 3.2.3.1. Выпуклая вверх функция

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b]секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [a; b]функция f (x) выпукла вверх, если для любого .

Дважды дифференцируемая на [a; b]функция f (x) выпукла вниз, если для любого .

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения. Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости. Необходимое условие наличия точки перегиба. Если - точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то .

Достаточные условия наличия точки перегиба. Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то - точка перегиба функцииf (x).

Если , то - точка перегиба функции f (x).

В заключение приведем примеры, когда точка x₀ не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

· если функция разрывна в точке (например

;

· в случае угловой точки (например,

Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка у функции .

вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.

График 3.2.3.2

Точки, не являющиеся точками перегиба: точка разрыва, точка возврата, угловая точка.

33. Экстремумы функций

Определение экстремума.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)).Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b]возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x) ? 0 (f ^' (x) ? 0). Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ? f(x_о) (f(x) ? f(x_о)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума.

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ^'(x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о - критическая точка. Если f ^' (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точкеx_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ^' (x) в окрестности точки x_о и вторую производную в самой точке x_о. Если f ^' (x_о) = 0, >0 (<0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x^3-15x²+ 36x - 14. Решение. Так как

f ^'(x) = 6x^2-30x +36 = 6(x -2)(x - 3),

то критические точки функции x₁ = 2 и x₂ = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x₁ = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x₂ = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x₂ = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x₁ = 2 и x₂ = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь? Решение. Обозначим стороны площадки через x и y. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому

y = a - 2x и S = x(a - 2x),

где 0 ? x ? a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными).

S ^' = a - 4x, a - 4x = 0, при x = a/4, откуда

y = a - 2Чa/4 =a/2.

Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S ^' > 0, а при x >a/4 S ^'< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции

S (a/4) = a/4(a - a/2) = a² /8 (кв. ед).

Поскольку S непрерывна на [0, a/2] и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

34. Асимптоты функций

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .

Пример 7.1 Рассмотрим функцию

.

График имеет вертикальную асимптоту , поскольку при выполняется условие , а также при выполняется условие .

Вертикальная асимптота функции

.

Определение 7.2. Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия:

1) некоторый луч целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая

,

если 1) некоторый луч целиком содержится в ;

2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при .

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если или соответственно.

35. Построение графиков функций в декартовой и полярной системе координат

Построение графиков функций, заданных явно в декартовой системе координат.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная f?(x) была строго положительна всюду на (a,b),т.е. f?(x)>0,x?(a,b). Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) возрастала (не убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная f?(x) была положительна всюду на (a,b), т.е. f?(x)?0,x?(a,b). Аналогично, условием строгого убывания дифференцируемой функции f(x),x?(a,b) является условие f?(x)<0,x?(a,b). Условием убывания (не возрастания) дифференцируемой функции f(x),x?(a,b) является условие f?(x)?0,x?(a,b). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой, однако функция f(x) непрерывна. Тогда точка x0 является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки x0 в которой f?(x)>0 при x<x0 и f?(x)<0 при x>x0. Если же f?(x)<0 при x<x0 и f?(x)>0 при x>x0, то x0 точка строгого минимума. Определение. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значение функции в этой точке - экстремумами. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на нем k локальных максимумов в точках x1,x2,...xk. Тогда наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a,b] равно наибольшему из чисел: f(a,) f(x1),..., f(xk), f(b). Аналогично, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на нем n локальных минимумов в точках $x_1',\,\, x_2',.., x'_n,$ то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел: f(a),f(x?1),f(x?2),...,f(x?n),f(b). Для того, чтобы функция f(x), дважды дифференцируемая на интервале (a,b), была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная f??(x) была неотрицательна на (a,b), то есть f??(x)?0, x?(a,b). Условие f??(x)>0, x?(a,b) ? условие строгой выпуклости вниз. Если f??(x)?0, x?(a,b) ? функция выпукла вверх. f??(x)<0 ? условие строгой выпуклости. Если функция f(x) при переходе через точку x0 меняет направление выпуклости, то точка x0 называется точкой перегиба. Функция f(x) называется четной, если f(x)=f(?x); Функция f(x) называется нечетной, если f(x)=?f(?x). Нахождение асимптот. Если

limx>X0?0f(x)=? или limx>x0+0f(x)=?,

то прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой графика. Чтобы прямая y=kx+b была асимптотой графика функции y=f(x) при x>+? при (x>??) необходимо и достаточно, чтобы

limx>+?f(x)x=k(limx>??f(x)x=k)

imx>+?(f(x)?kx)=b(limx>??(f(x)?kx)=b).(1)

в случае горизонтальной асимптоты (k=0) вместо (1) имеем: для того чтобы прямая y=b была горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x) при x>+? (при x>??) необходимо и достаточно, чтобы

limx>+?f(x)=b(limx>??f(x)=b).

Построение графиков. При построении графика функции удобно придерживаться следующей схемы.

1. Найти область определения функции.

2. проверить является ли функция четной, нечетной, периодической.

3.Найти точки пересечения графика с осями координат, промежутки, где значения функции положительны, отрицательны. Найти точки разрыва функции.

4. Найти асимптоты графика.

5. Вычислить первую производную, определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума.

6. Найти вторую производную, найти точки перегиба графика

7. Нарисовать график функции.

Размещено на Allbest.ru