, (4), (5)

где p и q - положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 4); параболоид, определяемый уравнением (5), - гиперболическим (рис. 5). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. В случае, когда p=q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Oz).

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой . Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М - произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости , - основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки М. Переместим точку М по прямой в новое положение так, чтобы имело место равенство

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости , где она была первоначально (рис. 6). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости ; точки, которые расположены на плоскости , оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости , переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости ; число q носит название коэффициента сжатия.

Пусть дана некоторая поверхность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые ее составляют, переместятся и в новых положениях сотавят поверхность F'. Будем говорить, что поверхность F' получено из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения).

ПРИМЕР. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Oxy с коэффициентом сжатия

и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Oxy с коэффициентом

и пусть - точка, в которую переходит при этом точка . Выразим координаты x', y', z' точки М' через координаты x, y, z точки М. Так как прямая MM' перпендикулярна к плоскости Oxy, то x'=x, y'=y. С другой стороны, так как расстояние от точки М' до плоскости Oxy равно расстоянию от точки М до этой плоскости, умноженному на число

,

Таким образом, мы получаем искомые выражения:

, , (6) или

, , (7)

Предположим, что M(x; y; z) - произвольная точка сферы

.

Заменим здесь x, y, z их выражениями (7); получим

.

Следовательно, точка M'(x'; y'; z') лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам, , ;

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, то есть они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей. Однополостный гиперболоид

.

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;, ,

где и - некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоидтакже имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:

, ;, .

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L - направляющей. Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при услвоии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).

20. Полярная система координат

Полярные координаты.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа и (см. рис.). Угол при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты и .

Полярный угол имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы,

.

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

21. Последовательность. Предел. Верхний и нижний предел

Определение 25 (определение предела последовательности). Число A называется пределом последовательности x_n, если"--U(A)--$--N:--"--n-->--N--x_n--О U(A). Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение 26 (определение предела последовательности). Число A называется пределом x_n, если

"--e-->--_--$--N:--"--n-->--N--|x_n-A--|<--e--. Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности "(вместо слова "для любого") и квантор существования $ (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается

lim_n®Ґ--x_n--=--A--или--x_n®--A--при--n®--Ґ.--

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Пример 18. Пусть

x_n = 1/n,

покажем, что

lim_n®--Ґ1/n--=--_.

Для этого запишем определение:

--"--e>_--$--N:--"--n>N--|x_n|<e.

То--есть--1/n<e--при--n>N=--[1/e].

Пример 19.

x_n = .

Доказать, что

lim_n--®--Ґ--=--1

"--e-->_--$--N:--"--n-->--N--|-1|--<--e.--

1/n--<--e--Ю--n-->--1/e--N--=--[1/e]

Если e = 1/10, то N=10 и при n > 10 следует выполнение нужного неравенства.

Выясним геометрический смысл понятия предела последовательности. Расположим члены последовательности x₁,x₂,..., x_n,... на числовой прямой. Неравенство |x_n-A|<e равносильно следующему A---e--<--x_n--<--A--+--e, которое говорит о том, что члены последовательности x_n попадают в ? - окрестность точки A (рис. 13). Вне этой e -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Если задана произвольная последовательность действительных чисел , то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпоследовательности. Пределы этих подпоследовательностей принято называть частичными пределами последовательности .

По определению верхним пределом последовательности (или переменной ) называется число (конечное, или ), обладающее следующими двумя свойствами.

1) Существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся к

:.

2) Для любой сходящейся подпоследовательности последовательности

.

Верхний предел последовательности обозначают одним из символов

.

Если последовательность не ограничена сверху, то очевидно,

.

Переменная

Имеет

.

Вот еще пример:

. Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следовательно, ее верхний предел

.

Для ограниченной сверху последовательности ее верхний предел может быть определен также следующим образом: для всякого правее имеется разве что конечное число точек , правее же заведомо имеется бесконечное число точек . Отметим, что если последовательность имеет обычный (конечный) предел

,

то, как мы знаем, для любого неравенства

выполняются для всех , за исключением их конечного числа. Таким образом, правее имеется не более чем конечное число элементов , а правее - заведомо бесконечное их число. Это показывает также, что . Итак, если

,

.

Но разница между обычным пределом и верхним пределом заключается в том, что в случае предела левее имеется не более чем конечное число точек , а в случае верхнего предела левее может быть и бесконечное число точек . По определению нижним пределом последовательности (или переменной ) называется число (конечное, или ), обладающее следующими свойствами: 1) Существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся к :

.

2) Для любой сходящейся подпоследовательности последовательности

.

Нижний предел переменной обозначают одним из символов

.

Если последовательность не ограничена снизу, то, очевидно,

.

Для ограниченной снизу последовательности нижний предел можно определить также следующим образом: для всякого левее имеется разве что конечное число точек (элементов) , левее же заведомо имеется бесконечное число точек (элементов) . Очевидно, что

. (1)

Теорема 1. Для того чтобы последовательность имела предел (конечный, или ), необходимо и достаточно, чтобы

,

.

Заметим, что если , то в силу (1) , и по теореме 1.Очевидно также, что из равенства вытекает, что .Замечание. Можно показать, что число , которое мы получили при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса, является верхним пределом :. Это вытекает из того, что правее каждого отрезка имеется не больше чем конечное число точек . С другой стороны, если бы мы видоизменили процесс, выбирая на каждом этапе деления на два равных отрезка не самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконечное число точек , то мы бы получили, возможно, другую точку , содержащуюся во всех , и эта точка была бы нижним пределом .

Если переменная не имеет предела, то заведомо , если же предел существует, то оба процесса необходимо приведут к одному и тому же числу .

Предемл фумнкции - одно из основных понятий математического анализа. Функция имеет предел в точке если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Свойства пределов числовых функций Пусть даны функции и Тогда

§ Предел единственнен, то есть

§ Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где - проколотая окрестность точки .

§ В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

§ Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

§ Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

§ Предел суммы равен сумме пределов:

§ Предел разности равен разности пределов:

§ Предел произведения равен произведению пределов:

§ Предел частного равен частному пределов.

22. Функция. Область определения. Способы задания. Предел функции в точке

Функция (отображение, операция, оператор) - это закон или правило, согласно которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества . При этом говорят, что функция задана на множестве , или что отображает в . Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент находится в функциональной зависимости от элемента . При этом переменная называетсяаргументом функции или независимой переменной, множество называется областью задания или областью определения функции, а элемент , соответствующий конкретному элементу - частным значением функции в точке . Множество всех возможных частных значений функции называется её областью значений или областью изменения.

Теоретико-множественное определение.

В теоретической математике функцию удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого существует единственный элемент такой, что .Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что . Таким образом, функция - это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов , где

· множество называется омбластью определемния;

· множество называется омбластью значемний;

· множество упорядоченных пар или, что то же самое, график функции.

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения. Более формально, пусть задано отображение , которое отображает множество в , то есть: ; тогда

· множество называется областью определения функции

· и обозначается , или (от англ. domain "область").

Обычно предполагается, что , из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: "область определения функции - это область, где определена функция". Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое называется областью отправления, и тогда область определения функции - это такое подмножество множества (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента определено значение функции . Этот факт коротко записывают в виде: .

Способы задания функций.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций. Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции. Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа - основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Пример 1: функция E(x) - целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x]обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r - целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x]= r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x]= r.

Пример 2: функция y = {x} - дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x]- целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x - произвольное число, то представив его в виде

x = r + q (r = [x]),

где r - целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим

{x} = r + q - r=q.

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Предел функции в точке. Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения a. Запись

(1)

обозначает, что для каждого числа е > 0 существует число д = д(е) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 <|x - a|< д, справедливо неравенство

|f(x) - A| < е.

Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности x_n > a, x_n ? a (x_n є X; n = 1, 2, …), было выполнено равенство

.

Имеют место два замечательных предела:

1), 2).

Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого е > 0 найдется д = д(е) > 0 такое, что

|f(x') - f(x'')| < е,

Как только 0<|x' - a|<д и 0<|x'' - a|<д, где x' и x'' - любые точки из области определения функции f(x).

23. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x>a или при x>?, если или , т.е. бесконечно малая функция - это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

f(x)=(x-1)²

является бесконечно малой при x>1, так как

(см. рис.).

f(x) = tgx - бесконечно малая при x>0.

f(x) = ln (1+x) - бесконечно малая при x>0.

f(x) = 1/x - бесконечно малая при x>?.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x>aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины б(x):

f (x)=b+ б(x);

.

Обратно, если

,

f (x)=b+б(x),

где a(x) - бесконечно малая при x>a.Доказательство. Докажем первую часть утверждения. Из равенства

f(x)=b+б(x),

|f(x) - b|=| б|.

Но так как a(x) - бесконечно малая, то при произвольном е найдется д - окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |б(x)|<е. Тогда |f(x) - b|< е. А это и значит, что . Если , то при любом е>0 для всех х из некоторой д - окрестность точки a будет |f(x) - b|< е. Но если обозначимf(x) - b= б, то |б(x)|<е, а это значит, что a - бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая. Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть

f(x)=б(x)+в(x),

где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом е>0 найдется д>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x - a|<д, выполняется |f(x)|< е.Итак, зафиксируем произвольное число е>0. Так как по условию теоремы б(x) - бесконечно малая функция, то найдется такое д₁>0, что при |x - a|<д₁ имеем |б(x)|< е/2. Аналогично, так какв(x) - бесконечно малая, то найдется такое д₂>0, что при |x - a|<д₂ имеем | в(x)|< е/2.Возьмем д=min{ д₁, д₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса дбудет выполняться каждое из неравенств |б(x)|< е/2 и | в(x)|< е/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| б(x)+в(x)| ? |б(x)| + | в(x)| < е/2 + е/2= е,

т.е. |f(x)|<е, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x>a (или при x>?) есть бесконечно малая функция. Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|?M. Кроме того, так как a(x) - бесконечно малая функция при x>a, то для произвольного е>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |б(x)|< е/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | бf|< е/M= е. А это и значит, что af - бесконечно малая. Для случая x>? доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции б(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция. Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая. соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x>a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x>a.

Доказательство. Возьмем произвольное число е>0 и покажем, что при некотором д>0 (зависящим от е) при всех x, для которых |x - a|<д, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) - бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) - бесконечно большая функция при x>a, то найдется д>0 такое, что как только |x - a|<д, так |f(x)|>1/ е. Но тогда для тех же x.

Примеры.

1. Ясно, что при x>+? функция y=x²+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция - бесконечно малая при x>+?, т.е. .

2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x>a (или x>?) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при x>+?, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A? 0.

Сравнение бесконечно малых

Пусть и - бесконечно малые при . 1. Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут . 2. Если , где - число, отличное от нуля, то говорят, что и - бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малые и называются эквивалентными. Запись ~ означает, что и - эквивалентные бесконечно малые. Если , то это означает, что . Таким образом, является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е. 3. Если и - бесконечно малые одного и того же порядка, причем , то говорят, что бесконечно малая имеет порядок по сравнению с .Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин: 1o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , то и .2o. Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и , т. е. если , .3o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если , ~, ~, то . Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин: если , то

~ ~ ~ ~.

~ ~ ~ .

24. Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Тригонометрический круг. Пусть - площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная - (это высота треугольника ), так что

.

Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что

.

Из треугольника находим, что

.

Поэтому

Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так: Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству при , получаем, что

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

Тем самым показано, что. Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

( -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы Доказанная теорема означает, что график функции

выглядит так:

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

Пример 2.18/ Вычислим предел . Очевидно, что

при этом предел знаменателя - это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

Пример 2.19. Вычислим предел .

Сделаем замену переменного: пусть

,

база переходит в базу . После замены получаем

Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема 2.15 Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между и .

Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона.

Лемма 2.2 Пусть и -- натуральное число. Тогда имеет место формула

Заметим, что в дроби очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный , в третьем справа слагаемом -- равный , и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.

Доказательство Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула 2.2, очевидно, верна:(Заметим, что при и формула 2.2 также хорошо известна:

и Предположим, что она верна для , и докажем, что тогда она верна и при . Действительно, При этом в квадратных скобках получается:

и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при . Замечание 2.7 Можно также показать, что

(2.5)

однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.

В формуле (2.5) можно сделать замену , при этом база перейдёт в базу , и мы получим

Упражнение 2.6 Покажите, что имеют место также равенства

На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что

и

Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Пример 2.23/ Найдём предел.

Здесь основание степени имеет предел

,

а показатель степени . Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину . Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно , где (см. теорему 2.4). Значит,

Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:

Поэтому

(Мы воспользовались тем, что если и , то

.

Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что

.

Замечание 2.8 Не любые пределы величин вида вычисляются с помощью сведения ко второму замечательному пределу. Ещё раз напомним, что так надо поступать лишь в случае, когда основание степени при данной базе стремится к 1, а показатель степени -- к бесконечности. В иных ситуациях можно бывает для вычисления предела обойтись более простыми рассуждениями. Например, при нахождении пределаможно заметить, что основание степени стремится к , так что получается формально . Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения ), так как основание степени при достаточно больших близко к (и заведомо меньше, скажем, ) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень будет меньше и, следовательно, будет стремиться к 0. Так что и прибегать к помощи второго замечательного предела не пришлось.



25. Непрерывность функции в точке. Разрывы функций и их классификация. Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х ₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условиюверно неравенство

.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х ₀, если приращение функции в точке х ₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + a(x),

где a(х) - бесконечно малая при х®х ₀.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х ₀ функций - есть функция, непрерывная в точке х ₀.

2) Частное двух непрерывных фу-цийесть непрерывная ф-ция при условии, чтоg(x)не равна нулю в точке х ₀. 3) Суперпозиция непрерывных функций - есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом: Если u = f(x), v = g(x) - непрерывные функции в точке х = х ₀, то функция v = g(f(x)) - тоже непрерывнаяфункция в этой точке. Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах. Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х ₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х ₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной. Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом. Если односторонний предел (см. выше)

,

то функция называется непрерывной справа.

Если односторонний предел (см. выше).

,

то функция называется непрерывной слева.

Определение. Точка х ₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х ₀ или не является непрерывной в этой точке. Определение. Точка х ₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х ₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 - го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 - го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже. Определение. Точка х ₀ называется точкой разрыва 2 - го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) - немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837 г.)не является непрерывной в любой точке х ₀. Пример. Функция f(x) = имеет в точке х ₀ = 0 точку разрыва 2 - го рода, т.к..

Пример. f(x) = Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 - го рода. Это - устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

Пример.

f(x) = =

Эта функция также обозначается sign(x) - знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва - 1 - го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или - 1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 - го рода. В этом примере точка разрыва 1 - го рода не является устранимой. Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 - го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена. Непрерывность функции на отрезкеНаряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [a,b]может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)Множество функций, непрерывных на отрезке [a, b]обозначается символом C [a, b].Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b]выполняется неравенство |f(x)| ? C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки б, в О [a, b] такие, что

m = f(б) ? f(x) ? f(в) = M

для всех x О [a, b] (рис. 2). Наибольшее значение M обозначается символом maxx О [a, b] f(x), а наименьшее значение m - символом minx О [a, b] f(x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка о в которой f(о) = 0.Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис. 3).

Замечание. На этой теореме основан метод приближенного решения уравнения f(x) = 0, (1) называемый методом бисекции (дихотомии), или методом половинного деления.

Схема решения уравнения методом половинного деления:

1. Отделяем корни уравнения (1). Для этого устанавливаем промежутки, в которых функция f(x) имеет единственный нуль и на его концах принимает значения разных знаков. С этой целью используем графические построения или составляем таблицу значений функции. Обозначим такой отрезок символом у0.

2. Разделим этот отрезок пополам. Если в середине отрезка функция f(x) равна нулю, уравнение (1) решено. В противном случае на концах одного из полученных половинных отрезков f(x) вновь принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок символом у1 и вновь разделим его пополам. Если в середине у1 функция f(x) равна нулю, то уравнение (1) решено. В противном случае продолжим указанную процедуру. Таким образом, мы либо на каком-то этапе получим точку, в которой f(x) = 0, т.е. точное решение уравнения (1), либо получим последовательность вложенных друг в друга отрезков у0 Й у1 Й …, на каждом из которых f(x) имеет значения разных знаков. В этом случае можно заключить искомый корень уравнения (1) в промежуток произвольной длины и, следовательно, вычислить этот корень с любой заданной точностью.

Замечание. Метод неприменим для отыс. кания корней четной кратности. Теорема 4 (Больцано-Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).Доказательства теорем приведены в книге Л.Д. Кудрявцева "Краткий курс математического анализа". Т.1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Стр.122-124. Существование непрерывной обратной функции. Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [б, в] (б = f)

Свойства функций, непрерывных на отрезке. Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства. Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной - наименьшее. Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ О [a, b]такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ? f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ? f(x). Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области. Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b]найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b. Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b]лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CО [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C - любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.