Економіко-математичні методи і моделі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

математичний кореляційний управління запас

Використання кількісних методів в економічних дослідженнях дає можливість:

По-перше, виділити та формально описати найбільш важливі й суттєві закономірності функціонування економічних систем та об'єктів у вигляді моделей.

По-друге, на основі сформульованих за певними правилами логіки вхідних даних і співвідношень, методами дедукції зробити висновки, які адекватні до об'єкта дослідження стосовно зроблених припущень.

По-третє, математичні методи дають можливість отримати дедуктивним шляхом нові дані про об'єкт дослідження.

По-четверте, використання мови математики дозволяє компактно описати основні положення економічної теорії, сформулювати їх змістовний апарат і робити відповідні висновки.

Моделі можуть будуватись для досягнення таких цілей:

Виявлення функціональних співвідношень - визначення кількісних залежностей між вхідними факторами моделі та вихідними характеристиками об'єкта дослідження. Подібного роду моделі за своїм характером є описовими і присутні при побудові математичних моделей будь-яких видів.

Аналіз чутливості - встановлення з великого числа наявних факторів тих, які значною мірою впливають на вихідні характеристики об'єкта дослідження. Моделі аналізу чутливості повинні обов'язково передбачати можливість варіації ряду факторів і можуть бути використані так само для оцінки точності розв'язків, отриманих за допомогою моделей будь-яких типів.

Прогноз - оцінка поведінки об'єкта на часовому інтервалі при деякому допустимому поєднанні зовнішніх умов. Переважно задачі прогнозу є динамічними відносно вхідних параметрів та в якості незалежної змінної виступає час. Моделі прогнозу також є описовими.

Оцінка - визначення, наскільки адекватно об'єкт дослідження буде відповідати деяким критеріям. На відміну від розглянутих вище типів моделей, моделі оцінки включають розрахунки інтегральних характеристик - критеріїв, які формалізують мету дослідження. Моделі оцінки займають проміжне місце між описовими і оптимізаційними моделями. В них задані критерій і його деяке «критичне» значення, але проводиться не оптимізація, а лише порівняння розрахункового значення з «критичним», після чого приймається рішення про задоволення характеристик об'єкта поставленим вимогам.

Порівняння - співставлення обмеженого числа альтернативних варіантів систем або співставлення декількох прийнятних принципів чи методів дій. Число варіантів припускається незначним, у зв'язку з чим оцінюються всі варіанти, тобто здійснюється прямий перебір всієї множини. Хоча моделі окремого типу близькі до оптимізаційних, спеціальний блок оптимізації у них відсутній.

6. Оптимізація - точне визначення такого поєднання змінних керування, при якому забезпечується екстремальне (максимальне або мінімальне залежно від змісту критерію оптимальності) значення цільової функції. Суттєва різниця від наведеного вище випадку порівняння - наявність спеціального блоку оптимізації, який дозволяє цілеспрямовано та найбільш ефективно з обчислювальної точки зору переглядати множину альтернативних варіантів.

Сучасна економічна наука як на мікро-, так і на макрорівнях у своїх практичних дослідженнях широко використовує наявний інструментарій математичних методів для формалізованого опису існуючих стійких кількісних характеристик та закономірностей розвитку соціально-економічних систем.

Процедуру побудови моделі та підготовку управлінського рішення на основі економіко-математичних методів можна представити за допомогою ряду взаємозв'язаних етапів, хоча в конкретних випадках деякі етапи можуть опускатися, а ряд процедур для побудови моделі - вестись паралельно.

Етапи побудови економіко-математичної моделі

1. Постановка задачі та формулювання мети дослідження.

Описуваному етапу передує виникнення проблемних ситуацій, усвідомлення яких призводить до необхідності їх узагальнення або вирішення для майбутнього досягнення певного ефекту (корисності). Основу етапу складає комплексний аналіз функціонування об'єкта дослідження, виявлення його проблемних місць. Далі йде опис найбільш характерних властивостей об'єкта, вивчення його структури та взаємозв'язків. Тут важливим моментом є формулювання гіпотез щодо поведінки та розвитку об'єкта. Завершується досліджуваний етап описом поставлених завдань у вигляді задачі та сформульованої мети дослідження з допомогою критерію чи критеріїв ефективності.

2. Побудова концептуальної (формалізованої) моделі.

Базовою основою для побудови моделі об'єкта є його концептуальна модель. Під концептуальною моделлю об'єкта розуміємо сукупність якісних залежностей критеріїв оптимальності та різного роду обмежень від факторів, суттєвих для адекватного відображення функціональних характеристик об'єкта. На другому етапі відбувається формалізація існуючої економічної проблеми, яка полягає у вираженні її з допомогою математичної символіки через відповідні залежності та відношення. Як результат, на завершення етапу ми отримуємо математичну задачу, яка має цільову функцію та відповідну систему обмежень.

Концептуальна модель відображає основні елементи: умови функціонування об'єкта, визначені характером взаємодії між об'єктом і його оточенням, а також між елементами об'єкта; мету дослідження об'єкта та напрямок покращення його функціонування; можливості керування об'єктом, визначення складу керованих змінних об'єкта. Побудова концептуальної моделі є важливим етапом моделювання, оскільки він визначає напрямки, цілі та область дослідження. Завершальним кроком побудови концептуальної моделі є оцінка в майбутньому її адекватності моделюючій ситуації.

3. Формування інформаційної бази моделі.

Третій етап є найбільш трудомістким. Тут висуваються досить високі вимоги до якості та достовірності підготовленої інформації. При формуванні інформаційного забезпечення використовується математичний інструментарій теорії ймовірностей, економетричного моделювання. Тут має місце неперервність процесу формування необхідної інформації, який полягає в тому, що вихідні параметри однієї моделі можуть служити вхідними показниками для іншої.

4. Побудова числової економіко-математичної моделі.

На окресленому етапі на основі концептуальної моделі здійснюється формування числової математичної моделі об'єкта. Головна проблема етапу - визначення кількісних математичних співвідношень, які формалізують якісні залежності концептуальної моделі. Навіть за наявності повністю розробленого сценарію ці співвідношення можуть бути неочевидними. У зв'язку з цим часто виникає необхідність у виконанні проміжного етапу між побудовою концептуальної і математичної моделей об'єкта, тобто перетворення сценарію в алгоритм, який моделює взаємодію елементів між собою та оточенням в динаміці.

Для реалізації математичної моделі на персональних комп'ютерах вона має бути представленою в числовій формі, тобто задані числові значення констант, границі зміни невизначених факторів та керованих змінних, закони розподілу випадкових величин. Завершальним кроком формування математичної моделі є оцінка її адекватності стосовно до концептуальної моделі.

5. Числовий розв'язок задачі.

Етап дослідження числової математичної моделі розпочинається з її аналізу (відношення до певного класу моделей), вибору відповідного методу її розв'язання та програмного забезпечення. Головна проблема цього етапу - розробка алгоритму оптимального або найкращого в заданих умовах розв'язання певної задачі.

Враховуючи вид числової економіко-математичної моделі, приймаються відповідні рішення стосовно подальших дій. Якщо отримана модель задачі має стандартний вид, для неї існують відомі алгоритми, а також програмні продукти знаходження розв'язків. В протилежному випадку доводиться розробляти алгоритм розв'язання та формувати відповідне програмне забезпечення. Отримані числові розв'язки далі піддаються суттєвому кількісному аналізу.

6. Аналіз числових результатів і прийняття рішень.

На цьому етапі вирішується важливе питання відносно правильності та повноти результатів моделювання, і, як результат, розробляються рекомендації для практичного використання при прийнятті вигідних рішень або для удосконалення моделі.

Завершальним кроком процедури побудови економіко-математичної моделі є оцінка точності одержаних розрахунків та вироблення на їх основі ефективних прикладних рішень.

Ефективність прийняття рішень у великій мірі залежить від рівня досягнутої мети дослідження, яка в свою чергу визначається цільовою функцією.

У загальному випадку якість економіко-математичної моделі визначають взаємодоповнювальні одна одну характеристики адекватності, стійкості та корисності моделі, які можна трактувати як погодження інформації, що описує функціональні можливості моделі, з наявною інформацією про реальний об'єкт дослідження та мету моделювання.

Типи економіко-математичних методів і моделей, які можуть бути використані при виконанні випускової роботи

Як свідчить економічна теорія, в економіці діють певні стійкі кількісні закономірності, що піддаються формалізованому математичному опису. Кількісний аспект оцінки функціонування економічної системи на мікро- і на макрорівнях ґрунтується на використанні інструментарію математичних методів, серед яких найбільш доцільно в випускових роботах використовувати такі:

- кореляційно-регресійний аналіз досліджуваних показників (ці моделі можуть бути парними та множинними, лінійними та нелінійними) і економічний аналіз отриманих результатів;

- побудова виробничої функції (за допомогою кореляційно-регресійного аналізу) і її економічний аналіз;

- трендові моделі прогнозування економічних показників (можуть бути з адитивною та мультиплікативною компонентою);

- дерево рішень;

- оптимізаційні моделі, серед яких виділимо найбільш поширені: оптимізація виробничої програми; оптимізація завантаження виробничих потужностей; оптимізація розподілу випуску продукції по підрозділах;

- матричне моделювання (балансові моделі планування виробництва) на рівні народного господарства та підприємства;

- транспортні задачі, в тому числі планування роботи транспорту на перспективу;

- сіткове планування (сітьові графіки);

- моделі управління запасами сировини та готової продукції;

- факторний аналіз досліджуваних показників (дослідження впливу окремих факторів на результуючий показник) за допомогою методів продовження, розширення та скороченні факторних систем, а також при використанні методів: диференційного нарахування; індексного методу; ланцюгового методу; методу простого додавання нерозкладного залишку; методу зважених кінцевих різниць; логарифмічного методу й інтегрального методу оцінки факторних впливів;

- аналіз ризику інвестиційного проекту за допомогою методів чутливості і сценарного аналізу.

Кореляційно-регресійний аналіз

При дослідженні кількісних співвідношень між признаками потрібно розрізняти функціональний і кореляційний зв'язок.

Функціональний - це такий зв'язок, при якому кожному значенню незалежної змінної (аргументу) відповідає строго визначена величина залежної змінної (функції).

Кореляційний - це такий зв'язок, при якому кожному значенню незалежної змінної (аргументу) відповідає ряд значень (статистичне розповсюдження, середні значення) функції. Такий зв'язок показує як один набір змінних (Х) може впливати на іншій набір (У).

В більшості випадків існує декілька факторів, які впливають на залежну змінну. Для визначення сумісного впливу декількох показників-факторів на величину досліджуваного показника використовують моделі множинної кореляції. Наприклад, витрати цеха будуть визначатись кількістю відпрацьованих годин, кількістю використаної сировини, кількістю виробленої продукції. Ми можемо зібрати всі дані за місяць або рік, але не можемо дослідити природу зв'язку. Варіація Y пояснюється варіацією всіх незалежних змінних, які в ідеалі повинні бути незалежними один від одного.

Етапи побудови множинних кореляційних моделей:

1. Вибір вихідного показника, який найбільш повно характеризує досліджуваний процес.

2. Вибір факторів-аргументів, які впливають на формування вихідного показника. Перевірка гіпотези на мультиколінеарність. Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної залежності, або сильної кореляції між двома або більше пояснювальними змінними (факторами) моделі.

3. Формування інформаційного забезпечення. Збір даних.

4. Вимірювання та аналіз знайдених факторів.

5. Математико-статистичний аналіз факторів.

6. Вироблення гіпотези про форму зв'язку між вихідним і вхідним показниками і її перевірка.

7. Оцінка невідомих параметрів регресії.

8. Перевірка моделі на адекватність.

9. Розрахунок основних характеристик моделі.

10. Побудова інтервалів довіри

11. Аналіз отриманих результатів, висновки.

Найбільш простою є лінійна модель. Лінійна модель для множинної кореляції має такий вигляд:

,

де Y - залежна змінна;

X₁, X₂, X_n - незалежні змінні (аргументи);

А₀, А_1, А_n - невідомі параметри регресійної моделі;

Е - випадкова складова (помилка).

Коефіцієнти регресії А₁, А₂, А₃,..., А_n можна знайти за методом найменших квадратів.

Алгоритм побудови системи нормальних рівнянь для лінійної багатофакторної моделі має такий вигляд:



Приклад 1 (парна лінійна кореляція)

Потрібно побудувати лінійну регресійну модель залежності між витратами на одиницю продукції та витратами на рекламу.

Розрахувати точковий прогноз індивідуального значення витрат на одиницю продукції, якщо для прогнозного періоду відоме значення витрат на рекламу Х_пі =48,34 тис. грн.

Розв'язання:

Рівняння регресії має такий вигляд:

,

,

де Y_ф, Y_р - відповідно фактичні та розрахункові значення витрат на одиницю продукції;

х - витрати на рекламу;

_{0 , 1} та а₀ ,а₁ - параметри моделі, які потрібно оцінити, та їх оцінки;

е - випадкова складова.

а₀ - вільний член рівняння, він показує значення залежної змінної, коли значення незалежної змінної дорівнює нулю;

а₁ - показує на скільки одиниць зміниться залежна змінна Y при зміні аргументу - Х на одну одиницю, X i Y визначаються в своїх одиницях виміру.

Побудову та дослідження регресійної моделі проведемо згідно з покроковим алгоритмом.

1-й крок.

Побудуємо таблицю вихідних даних (табл.), де Y - витрати на одиницю продукції, грн.; Х - витрати на рекламу, тис.грн.

Таблиця 1. Вихідні дані для кореляційно-регресійного аналізу

№ п/п	Yф	Хф
1	25,74	29,23
2	25,34	29,35
3	31,26	33,40
4	33,50	30,97
5	32,30	32,92
6	38,90	37,27
7	41,58	30,97
8	48,02	33,58
9	43,30	35,62
10	51,78	34,99
11	52,14	39,34
12	54,94	41,50
13	59,18	45,58
14	62,22	41,08
15	63,62	40,54

Побудуємо діаграму розсіювання за експериментальними даними та її вигляд дозволяє зробити висновок, що модель має лінійний вигляд (рис.1).

Рис.1. Фактичні дані залежності витрат на одиницю продукції і витрат на рекламу 2-й крок.

Визначаємо параметри моделі за методом найменших квадратів за формулами:

.

Для цього побудуємо табл. 2.

Таблиця 2. Проміжні розрахунки кореляційно-регресійного аналізу

№ п/п	Yфі	Xфі	Xфі*Yфі	Xфі2	Yфі2	Yрі	(Yфі-Yрі)2	(Yфі-Yсер)2	(Хфі-Хсер)2
1	25,74	29,23	752,38	854,39	662,55	29,593	14,845	342,793	42,589
2	25,34	29,35	743,73	861,42	642,12	29,863	20,454	357,765	41,037
3	31,26	33,4	1044,08	1115,56	977,19	38,962	59,315	168,861	5,551
4	33,5	30,97	1037,50	959,14	1122,25	33,502	0,000	115,663	22,906
5	32,3	32,92	1063,32	1083,73	1043,29	37,883	31,172	142,914	8,043
6	38,9	37,27	1449,80	1389,05	1513,21	47,656	76,672	28,672	2,292
7	41,58	30,97	1287,73	959,14	1728,90	33,502	65,251	7,154	22,906
8	48,02	33,58	1612,51	1127,62	2305,92	39,366	74,891	14,178	4,735
9	43,3	35,62	1542,35	1268,78	1874,89	43,949	0,422	0,911	0,018
10	51,78	34,99	1811,78	1224,30	2681,17	42,534	85,492	56,631	0,587
11	52,14	39,34	2051,19	1547,64	2718,58	52,307	0,028	62,178	12,845
12	54,94	41,5	2280,01	1722,25	3018,40	57,160	4,927	114,176	32,994
13	59,18	45,58	2697,42	2077,54	3502,27	66,326	51,068	222,765	96,511
14	62,22	41,08	2556,00	1687,57	3871,33	56,216	36,047	322,753	28,345
15	63,62	40,54	2579,15	1643,49	4047,50	55,003	74,254	375,016	22,887
	663,82	536,34	24508,95	19521,62	31709,56	663,822	594,837	2332,432	344,244

Зауваження: у середовищі пакету Excel за методом найменших квадратів оцінки параметрів можна обчислити за допомогою вбудованих функцій ОТРЕЗОК (оцінка а₀ ) та НАКЛОН (оцінка а₁ ).

Побудуємо графік регресійної функції .

У нашому випадку - це пряма Y_р=-36,078+2,2467X.

Побудуємо цю пряму на графіку (рис. 2).

Рис. 2. Графічне представлення лінійної кореляційної залежності витрат на одиницю продукції і витрат на рекламу.

Коефіцієнт регресії а₁ говорить на скільки одиниць зміниться залежна змінна Y при зміні аргументу - Х на одну одиницю, тобто при збільшенні витрат на рекламу на 1 тис. грн. витрати на одиницю продукції зростуть на 2,2467 грн.

3-й крок.

Обчислимо відносну похибку розрахункових значень регресії у вигляді табл. 3.

Таблиця 3. Відносна похибка розрахункових значень регресії

№ п/п	і
1	-14,969
2	-17,848
3	-24,637
4	-0,007
5	-17,285
6	-22,510
7	19,427
8	18,022
9	-1,499
10	17,857
11	-0,320
12	-4,040
13	-12,075
14	9,649
15	13,545
	-36,691

Обчислимо середнє значення відносної похибки ,

_сер =-2,44575%_.

Обчислимо середньоквадратичне значення похибки за формулою:

_е =6,76437.

_е - стандартна помилка, чим менша вона, тим краще підібрана функція регресії відповідає дослідним даним;

N - кількість пар змінних;

m - кількість факторів в моделі; m=1.

Проведемо перевірку тісноти загального впливу незалежної змінної на залежну змінну, для цього розрахуємо коефіцієнт детермінації.

.

d=0,74497 або 74,497%.

Коефіцієнт детермінації задовільний, отже варіація витрат на рекламу суттєво впливає на варіацію витрат на одиницю продукції, тобто 74,497% загальної варіації витрат на одиницю продукції залежить від витрат на рекламу.

Перевіримо значущість коефіцієнтів регресії. Для цього обчислюємо F - статистику за формулою

, F=16,2122.

Обчислене значення F- критерію порівняємо з табличним F_табл(f₁,f₂, ) при ступенях вільності f₁=m=1 і f₂=N-m-1=15-1-1=13 і вибраному рівні значущості =0,05 (рівень помилки) або р=1-=1-0,05=0,95 (довірчий рівень); F_табл(1,13, 0,05)=4,67.

У середовищі пакета Excel для знаходження F_табл можна використовувати вбудовану функцію FРАСПОБР.

Оскільки F>F_табл(1,13,0,05), то гіпотезу Н₀: а₁=0 про неістотність зв'язку між залежною і незалежною змінною моделі відкидаємо з ризиком =0,05, тобто коефіцієнт а₁ значущий.

Оцінка достовірності регресійного рівняння можна також провести за розрахунковим критерієм Фішера:

.

F_pозр=4,92.

Табличне значення коефіцієнта Фішера (F_табл) визначається по таблицях коефіцієнтів для рівня достовірності 0,95 і 0,99 в залежності від ступенів вільності f₁ i f₂, які можна знайти за формулами:

f₁=m=1 і f2=N-m-1=15-1-1=13 .

N - кількість спостережень;

m - кількість незалежних змінних.

F_табл (f₁,f₂,)= F_табл (1,13,0,01)=9,0738.

Оскільки F_табл (1,13,0,01)>F_розр для рівня достовірності 0,99, то можна вважати, що отримана кореляційна модель для даної вибіркової сукупності не відповідає моделі, яка існує в генеральній сукупності з ймовірністю 0,99.

F_табл (f₁,f₂,)= F_табл (1,13,0,05)=4,667.

Оскільки F_табл (1,13,0,05)<F_розр для рівня достовірності 0,95 , то можна сказати, що отримана кореляційна модель для даної вибіркової сукупності відповідає моделі, яка існує в генеральній сукупності з ймовірністю 0,95.

4-й крок.

Обчислимо коефіцієнт кореляції за формулою

.

Значення коефіцієнт кореляції лежить у діапазоні від -1 до +1. При r=0 змінні не можуть мати лінійного кореляційного зв'язку. Ступінь тісноти їх лінійної залежності зростає при наближенні коефіцієнту кореляції до ±1. Між показниками існує функціональний зв'язок при r= ±1 Коли r>0, то зв'язок між показниками прямий, якщо r<0 - обернений.

Таблиця. В залежності від значення коефіцієнта кореляції зв'язок між перемінними класифікується наступним чином:

r = 0,9 і вище	- зв'язок між показниками вельми високий,
r = 0,9 0,7	- високий,
r = 0,7 0,5	- зв'язок помітний,
r = 0,5 0,3	- зв'язок помірний,
r = 0,1 0,3	- зв'язок між показниками слабий.

Для нашого прикладу коефіцієнт кореляції r=0,86312. Він показує тісноту лінійного зв'язку незалежної змінної Х із залежною змінною Y, за значенням зв'язок між змінними тісний, так як він прямує до одиниці. Знак коефіцієнта кореляції співпадає із знаком а₁, тобто він додатний, що свідчить про прямий зв'язок між змінними.

Перевіримо на значущість коефіцієнт кореляції. Для цього запишемо t- статистику за формулою

,

t_розрах=7,25993.

За таблицями t-статистики знаходимо критичне значення

t_табл(,N-2)=t_табл(0,05,13)=2,16 і порівнюємо його з обчисленою t- статистикою.

У середовищі пакета Excel для знаходження t_табл. можна використовувати вбудовану функцію СТЬЮДРАСПОБР.

Оскільки t_розрах>t_табл (,N-2), то коефіцієнт кореляції є значущим.

Для обраного рівня значущості =0,05 і відповідного ступеня вільності k=N-2=13 запишемо межі надійності для r: (r-r;r+r), де

,

r=0,082;

отже , (r-r;r+r)=(0,78112; 0,94512).

5-й крок.

Обчислимо коефіцієнт еластичності витрат на одиницю продукції залежно від витрат на рекламу за формулою

;

де а₁ - коефіцієнт регресії;

X_сер - середнє значення фактора;

Y_сер - середнє значення залежної змінної.

Е₁ =1,815242.

Коефіцієнт еластичності є показником впливу зміни питомої ваги Х на Y у припущенні, що вплив інших факторів відсутній, тобто можна стверджувати, що при збільшенні витрат на рекламу на 1% витрати на одиницю продукції підвищуються на 1,81%.

6-й крок.

Знайдемо надійні інтервали для лінії регресії. Для цього:

Знайдемо коефіцієнт Стьюдента t_табл(,N-2) для обраного рівня значущості =0,05 і відповідного ступеня вільності k=N-2=13 - t_табл(,N-2)=t_табл(0,05,13)=2,16.

Обчислимо дисперсію за формулою

, ² _х =22,9496.

Визначимо .

Знайдемо надійні інтервали для лінії регресії (Y_рі -Y_рі ; Y_рі +Y_рі ).

Результати запишемо в табл.5.

Таблиця 5. Надійні інтервали лінії регресії

№ п/п	Yрі	Yрі	Yрі -Yрі	Yрі +Yрі
1	29,593	6,3752	23,2	35,9
2	29,863	6,2993	23,5	36,1
3	38,962	4,2041	34,7	43,1
4	33,502	5,3326	28,1	38,8
5	37,883	4,3840	33,4	42,2
6	47,656	3,9565	43,6	51,6
7	33,502	5,3326	28,1	38,8
8	39,366	4,1435	35,2	43,5
9	43,949	3,7741	40,1	47,7
10	42,534	3,8205	38,7	46,3
11	52,307	4,7115	47,5	57,0
12	57,160	5,8901	51,2	63,0
13	66,326	8,6071	57,7	74,9
14	56,216	5,6400	50,5	61,0
15	55,003	5,3315	49,6	60,3

З'єднавши неперервною лінією на графіку всі значення (Y_рі -Y_рі ; Y_рі +Y_рі ), отримаємо зону надійності.

Побудуємо зони надійності на рис.3



Рис. 3. Надійні інтервали лінії регресії

8-й крок

Визначимо прогнозні значення та знайдемо межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозних значень (точковий прогноз).

Для обчислення прогнозного значення Y_пі у рівняння Y_р=-36,078+2,2467X підставимо задане значення Х_пі =48,34, яке лежить за межами базового періоду (точковий прогноз): Y_пі =72,53.

Знайдемо межі надійного інтервалу індивідуального прогнозного значення за формулою

;

Y_рі =18,054.

Запишемо межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозних значень: (Y_рі -Y_рі ; Y_рі +Y_рі ) =(54,476;90,584).

Приклад 2 (лінійна кореляційна залежність із двома факторами)

Проведемо аналіз залежності рентабельності продукції (Y) від коефіцієнтів фінансової стійкості (Х1) і коефіцієнту швидкої ліквідності (Х2).

Вихідні дані для розрахунку знаходяться в табл. 6.

Таблиця 6. Вихідні дані для побудови множинної регресійної моделі

Період (рік)	Y	Х1	Х2
2001	0,9200	0,015	0,44
2002	0,9000	0,020	0,40
2003	0,8955	0,020	0,39
2004	0,8334	0,010	0,29
2005	0,8333	0,010	0,23

Розв'язання:

В результаті були знайдені коефіцієнти регресії:

Таблиця

А0	0,719165
А1	0,886681
А2	0,411357

Запишемо шукану функцію регресії з урахуванням знайдених оцінок коефіцієнтів моделі:

Y_р=0,719165+0,886681Х₁+0,411357Х₂.

Це означає за даними нашої задачі, що рентабельність продукції в середньому по сукупності зросте на 0,886681 процентні пункти при зростанні коефіцієнту фінансової стійкості на одиницю; рентабельність продукції зросте на 0,411357 процентні пункти при зростанні коефіцієнту швидкої ліквідності на одиницю.

Регресійна статистика, яка була отримана в Excel при використанні інструмента «Регресія» в «Пакеті аналізу», знаходиться в табл.7.

Таблиця 7. Регресійна статистика

Множинний коефіцієнт кореляції	0,972386
Коефіцієнт детермінації	0,945534
Нормованый R-квадрат	0,891068
Стандартна похибка	0,013335
Спостереження	5

Обчислимо середньоквадратичну помилку дисперсії залишків за формулою:

_е =0,013335.

_е - стандартна помилка, чим менша вона, тим краще підібрана функція регресії відповідає дослідним даним;

N - кількість пар змінних;

m - кількість факторів в моделі; m=2.

Проведемо перевірку тісноти загального впливу незалежної змінної на залежну змінну, для цього розрахуємо коефіцієнт детермінації.

,

d=0,945534.

Коефіцієнт детермінації задовільний, отже варіація залежної змінної Y значною мірою визначається варіацією незалежних змінних , тобто 94,55% загальної варіації витрат на одиницю продукції залежить від всіх факторів моделі.

Обчислимо коефіцієнт кореляції за формулою

або

r=0,972386. Він показує тісноту лінійного зв'язку всіх незалежних змінних Х₁, Х₂, Х₃ із залежною змінною Y. За значенням зв'язок між змінними тісний, так як коефіцієнт кореляції наближається до одиниці. Він показує високу ступінь відповідності побудованої регресії фактичним даним. Для множинних регресійних моделей коефіцієнт кореляції знаку не має.

Перевіримо на значущість коефіцієнти регресії.

Визначимо F - статистику за формулою (спрощений варіант для перевірки нульової гіпотези H₀: а_і=а₁=а₂=а₃=...=а_m=0);

F=6,079183,

Обчислене значення F- критерію порівняємо з табличним F_табл(f₁,f₂, ) при ступенях вільності f₁=m=2 і f₂=N-m-1=2 і вибраному рівні значущості =0,05 (рівень помилки) або р=1-=1-0,05=0,95 (довірчий рівень).

У середовищі пакета Excel для знаходження F _табл. можна використовувати вбудовану функцію FРАСПОБР. F_табл(2,2, 0,05)=3,59; оскільки F>F_табл(2,2,0,05), то нульову гіпотезу про неістотність зв'язку між залежною і незалежними змінними моделі відкидаємо з ризиком =0,05, тобто коефіцієнти а₁, а₂,а₃...а_m значущі з рівнем довіри 0,95.

Обчислимо коефіцієнти еластичності за формулою



Е₁=0,46487; Е₂=0,76085.

Коефіцієнт еластичності є показником впливу зміни питомої ваги Х_і на Y у припущенні, що вплив інших факторів відсутній: у нашому прикладі він показує, що рентабельність продукції збільшиться на 0,46%, якщо коефіцієнт фінансової стійкості зросте на 1%; рентабельність продукції зросте на 0,76%, якщо коефіцієнт швидкої ліквідності зросте на 1%. Найбільший вплив на витрати на одиницю продукції оказує обсяг інвестицій.

Загальна еластичність Е_заг від усіх факторів Х_і становить

Е_заг=1,22.

Загальна еластичність показує, що на 1,22 % підвищиться рентабельність продукції, якщо одночасно збільшити на 1% всі фактори: коефіцієнт фінансової стійкості і коефіцієнт швидкої ліквідності.

Виробнича функція

Приклад

Побудувати виробничу функцію Кобба-Дугласа за статистичними спостереженнями:

Y - вартість випущеної продукції, тис.грн;

Х₁ - вартість основних виробничих фондів, тис. грн;

Х₂ - витрати праці, людгод.

Оцінити точність і достовірність моделі. Обчислити основні характеристики виробничої функції. Побудувати ізокванту для Y₁₀=const.

Дані для розрахунків наведено в табл. .

Розв'язання:

Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд

Проведемо логарифмування для отримання лінійної моделі:

Приймемо такі позначення:

Y*=lgY; A₀*=lgA₀; X₁*=lgX₁; X₂*=lgX₂.

В результаті підстановки отримаємо лінійну модель:

Таблиця 8. Вихідні дані для розрахунків

Y	X1	X2	lgY	lgX1	lgX2
10	28	4	1	1,447	0,602
15	29	8	1,176	1,462	0,903
17	30	10	1,230	1,477	1
21	31	12	1,322	1,491	1,079
24	32	16	1,380	1,505	1,204
25	34	18	1,398	1,531	1,255
27	36	19	1,431	1,556	1,279
29	37	17	1,462	1,568	1,230
33	39	19	1,519	1,591	1,279
37	39	20	1,568	1,591	1,301
Y=238	=335	=143	х	х	х

За допомогою програми множинної кореляції отримаємо таку регресивну модель:

Так як А₁>1, тобто збільшення вартості основних виробничих фондів на 1 тис. грн. збільшує вартість випущеної продукції, а 0<А₂<1, тобто збільшення витрат праці зменшує вартість випущеної продукції.

Коефіцієнт кореляції дорівнює 0,98, зв'язок між змінними в моделі дуже тісний. За показниками точності і достовірності модель можна використовувати для аналізу виробничого процесу.

Проведемо аналіз отриманих результатів:

1. Середня продуктивність за фіксованих обсягів становить (у формули підставимо середні значення Х₁ і Х₂ )

де С₁ - середня фондовіддача; С₂ - середня продуктивність праці.

2. Гранична продуктивність за фіксованих обсягів інших ресурсів або середня кількість продукції на одиницю Х₁ або Х₂

Г₁ показує, скільки додаткових одиниць продукції дає 1 тис. грн. витрачених фондів за незмінних витрат праці; Г₂ - скільки додаткових одиниць продукції дає 1 людгод. за фіксованих основних виробничих фондів.

3. Відносна зміна результатів виробництва на одиницю

Е₁=А₁=1,387;

Е₂=А₂=0,458.

Е₁ показує, що зміна основних виробничих фондів на 1 % за незмінних витрат праці викликає зміну обсягу продукції на 1,387 %. Е₂ - що зміна витрат праці на 1 % за незмінних витрат основних фондів спричиняє зміну обсягу продукції на 0,458 %.

Витрати основних фондів більше впливають на зміни вартості випущеної продукції, ніж витрати праці.

4. Потреба у будь-якому ресурсі за умов, що відомі величини випуску і обсягів інших ресурсів

Х₁ показує, скільки потрібно основних виробничих фондів для того щоб отримати відомий випуск продукції Y, якщо відома кількість витрат праці; Х₂ - скільки потрібно витрат праці для того щоб отримати відомий випуск продукції Y, якщо відома кількість витрат основних фондів.

5. Співвідношення заміни та взаємодії ресурсів, а саме фондоозброєність - це взаємодія трудових ресурсів і основних фондів



Х₁/Х₂ - середня фондоозброєність, взаємодія основних фондів і витрат праці.

6. Гранична норма заміни ресурсів, а саме гранична норма заміни витрат праці виробничими фондами (знак мінус означає, що за сталого обсягу виробництва збільшення одного ресурсу відповідає зменшенню другого і навпаки)

За сталого обсягу виробництва збільшення основних виробничих фондів відповідає зменшенню трудових ресурсів: чим вище Х₁/Х₂, тобто фондоозброєність, тим вища і норма заміни ручної праці фондами.

7. Ефект одночасного пропорційного збільшення обох видів ресурсів обчислюється сумарним коефіцієнтом еластичності:

А=А₁+А₂=1,387+0,458=1,845>1, тобто збільшення ресурсів у k разів приведе до збільшення випуску продукції більше ніж у k разів, а саме у k^1,845 разів.

8. Темпи приросту показника виражаються лінійно через темпи приросту факторів

9. Для наочного уявлення взаємозамінюваності факторів побудуємо ізокванту (рис.4 ). Для цього спочатку обчислимо значення параметра b.



Графік ізокванти будуємо за точками взаємодії ресурсів обладнання і праці (табл. 9.), сама ізокванта зображена на рис.4.

Таблиця 9. Розрахунок точок для побудови ізокванти

Y	37	37	37	37	37	37	37	37	37	37
X1	71,08	56,55	52,53	49,46	44,98	43,27	42,50	44,09	42,50	41,79
X2	4	8	10	12	16	18	19	17	19	20

Рис.4. Ізокванта

Трендові моделі прогнозування економічних показників з адитивною і мультиплікативною компонентою

Приклад. Прогноз з адитивною компонентою

За даними про кількість продукції, що була продана компанією на протязі останніх 13 кварталів, побудувати прогноз на 14 квартал за допомогою моделі з адитивною компонентою.

Розв'язання:

Побудуємо діаграму квартального обсягу продаж компанії щоб побачити, що сезонна варіація приблизно стала (рис. 5). Це свідчить про існування адитивної моделі прогнозу.

Рис. Сезонна варіація квартального обсягу продаж компанії

Спочатку розрахуємо десезоналізовану середню величину за допомогою центрованої ковзної середньої (табл.10.).

Таблиця 10. Центрована ковзна середня і сезонна адитивна компонента

Період, номер кварталу	Обсяг продажу, тис. шт.	Сума за 4 квартали	Ковзна середня за 4 квартали	Центрована ковзна середня	Сезонна компонента А-Т=S+E
1	239
2	201
		919	229,75
3	182			240,4	-58,4
		1004	251
4	297			260,6	+36,4
		1081	270,25
5	324			279,6	+44,4
		1156	289
6	278			299,9	-21,9
		1243	310,75
7	257			320,4	-63,4
		1320	330
8	384			340,3	+43,8
		1402	350,5
9	401			360,2	+40,8
		1480	370
10	360			379,8	-19,8
		1558	389,5
11	335			399,5	-64,5
		1638	409
12	462
13	481

Знайдемо середні значення сезонних оцінок для кожного сезону року (табл. 11).

Таблиця 11. Середні значення сезонних оцінок для кожного сезону року

Показники	Номер кварталу
	1	2	3	4
	-	-	-58,4	+36,4
	+44,4	-21,9	-63,4	+43,8
	+40,8	-19,8	-64,5	-
Сума	+85,2	-41,7	-186,3	+80,2
Середнє значення	+42,6	-20,8	-62,1	+40,1
Коректування сезонної компоненти (сума всіх значень =0)	+42,6	-20,7	-62,0	+40,1

Після цього можна провести десезоналізацію вихідних даних, тобто віднімання відповідних значень сезонної компоненти із фактичних значень даних за кожен квартал (А-S=Т+Е).

Таблиця 12. Десезоналізований обсяг продаж з адитивною компонентою

Період, номер кварталу	Обсяг продаж, тис. шт.	Сезонна компонента	Десезоналізований обсяг продаж, тис. шт. А-S=Т+Е
1	239	+42,6	196,4
2	201	-20,7	221,7
3	182	-62,0	244,0
4	297	+40,1	256,9
5	324	+42,6	281,4
6	278	-20,7	298,7
7	257	-62,0	319,0
8	384	+40,1	343,9
9	401	+42,6	358,6
10	360	-20,7	380,7
11	335	-62,0	397,1
12	462	+40,1	421,9
13	481	+42,6	438,4

Нові оцінки значень тренду разом із помилкою можна використовувати для побудови моделі основного тренду (рис. 6)

Рис. 6. Основний лінійний тренд квартального обсягу продаж компанії і його адитивна сезонна компонента

Якщо нанести ці значення на графік, то можна зробити висновок про існування лінійного тренду. Рівняння лінії тренду має вигляд

Т=а₀+а₁t,

де t- номер кварталу;

а₀ і а₁ - характеризують точку перетинання з віссю ординат і нахил лінії тренда.

Для визначення параметрів прямої використаємо метод найменших квадратів і знайдемо а₀=180,046; а₁=19,978.

Для визначення а₀ використаємо вбудовану в Excel функцію «ОТРЕЗОК», а для а₁ - «НАКЛОН».

Рівняння моделі тренда має вигляд Т=180,046+19,978t, де t - період часу.

Після того, як знайдені трендові значення моделі прогнозу, приступаємо до розрахунків помилок або залишків. Наша модель з адитивною компонентою має вигляд А=Т+S+Е. Ми знайшли вже значення S і Т. Для знаходження помилок або залишків перетворимо формулу у такий вигляд А-S-Т=Е і запишемо результати в табл. 13.

Таблиця 13. Помилки прогнозу

Період, номер кварталу	Обсяг продаж, тис. шт.	Сезонна компонента (S)	Трендові значення, тис. шт. (Т)	Помилка, тис. шт. (Е)
1	239	+42,6	200	-3,6
2	201	-20,7	220	+1,7
3	182	-62,0	240	+4,0
4	297	+40,1	260	-3,1
5	324	+42,6	280	+1,4
6	278	-20,7	300	-1,3
7	257	-62,0	320	-1,0
8	384	+40,1	340	+3,9
9	401	+42,6	360	-1,6
10	360	-20,7	380	+0,7
11	335	-62,0	400	-3,0
12	462	+40,1	420	+1,9
13	481	+42,6	440	-1,6

Останній стовпець таблиці можна використовувати для розрахунків середнього квадратичного відхилення

.

В нашому випадку помилка мала, що говорить про стійку тенденцію, яка дозволить отримати непогані короткотермінові прогнози.

Прогнозні значення моделі розраховуються за формулою

П=Т+S,

де Т- трендові значення, Т=180,046+19,978t;

S - сезонна компонента, складає в першому кварталі +42,6, в другому кварталі - 20,7; в третьому кварталі - 62,0 і в четвертому кварталі +40,1.

Прогнозне значення на наступний період розрахуємо за формулою:

П(14)=180+20*14-20,7=439,3 тис. шт.

Потрібно пам'ятати, що чим більше віддаляється прогноз від строку останнього фактичного спостереження, тим менша обґрунтованість прогнозу.

Прогноз з мультиплікативною компонентою

В деяких часових рядах значення сезонної компоненти не є константа, а представляє собою долю трендового значення. Таким чином, значення сезонної компоненти збільшуються із збільшенням значень тренду. До таких даних потрібно застосовувати модель із мультиплікативною компонентою за формулою:

А=Т*S*Е.

Приклад

За даними про кількість продукції, що була продана компанією на протязі останніх 13 кварталів, побудувати прогноз на 14 квартал за допомогою моделі з мультиплікативною компонентою.

Розв'язання:

Спочатку побудуємо точкову діаграму квартального обсягу продаж компанії (рис. 7). Ми бачимо посилення сезонної варіації із зростанням тренда, що вказує на існування мультиплікативної моделі прогнозу.

Рис. 7. Сезонна варіація квартального обсягу продаж компанії

Розрахуємо значення сезонної компоненти за допомогою центрованих ковзних середніх оцінок для трендових значень. Оцінки сезонної компоненти - це коефіцієнти, що можна отримати за формулою А/Т=S*Е (табл. 14).

Таблиця 14. Центрована ковзна середня і коефіцієнт сезонності

Період, номер кварталу	Обсяг продаж, тис. шт.	Середня ковзна за чотири квартали	Центрована середня ковзна	Коефіцієнт сезонності А/Т=S*Е
1	70
2	66
		68
3	65		69,13	0,940
		70,25
4	71		70,25	1,011
		70,25
5	79		70,50	1,121
		70,75
6	66		72,13	0,915
		73,50
7	67		74,13	0,904
		74,75
8	82		75,13	1,092
		75,50
9	84		76,13	1,103
		76,75
10	69		77,38	0,892
		78,00
11	72		79,25	0,909
		80,50
12	87
13	94

Значення сезонних коефіцієнтів отримані на основі квартальних оцінок аналогічно як в моделі з адитивною компонентою. Оскільки значення сезонної компоненти - це долі, а кількість сезонів - чотири, то необхідно щоб їх сума дорівнювала чотирьом, а не нулю, як у попередньому прикладу. Якщо кількість сезонів була, наприклад, сім, то загальна сума значень сезонної компоненти повинна була б дорівнювати семи. Якщо ця сума не дорівнює чотирьом, як у даному випадку, то проводиться коректування значень сезонної компоненти. Розрахунок значень сезонної компоненти в табл. 15.

Таблиця 15. Середні значення сезонних оцінок для кожного сезону року

Показники	Номер кварталу	Сума
	1	2	3	4
	-	-	0,940	1,011
	1,121	0,915	0,904	1,092
	1,103	0,892	0,909	-
Сума	2,224	1,807	2,753	2,103
Середнє значення	2,224/2	1,807/2	2,753/3	2,103/2
Оцінка сезонної компоненти	1,112	0,903	0,918	1,051	Сума = 3,984
Скоректована сезонна компонента	1,116	0,907	0,922	1,055	Сума=4

Після того, як визначена сезонна компонента, проводимо десезоналізацію даних за формулою А/S=Т*Е (табл. 16).

Таблиця 16. Десезоналізований обсяг продаж з мультиплікативною компонентою

Номер кварталу	Обсяг продаж, тис. шт.	Коефіцієнт сезонності	Десезоналізований обсяг продаж, тис. шт. А/S=Т*Е
1	70	1,116	62,7
2	66	0,907	72,8
3	65	0,922	70,6
4	71	1,055	67,3
5	79	1,116	70,8
6	66	0,907	72,8
7	67	0,922	72,7
8	82	1,055	77,7
9	84	1,116	75,2
10	69	0,907	76,1
11	72	0,922	78,2
12	87	1,055	82,4
13	94	1,116	84,2

 Отримані трендові значення наносяться на вихідну точкову діаграму (рис. 8).

Рис. 8. Основний лінійний тренд квартального обсягу продаж компанії і його мультиплікативна сезонна компонента

Точки, що утворюють на графіку тренд, мають розкиданий характер. Потрібно прийняти рішення, який вигляд буде мати рівняння тренда. За лінію тренда приймемо пряму лінію. За допомогою метода найменших квадратів знайдемо рівняння лінійного тренду. Рівняння прийме такий вигляд Т=64,6+1,36t.

Після того, як знайдено рівняння тренду і значення сезонних компонент, приступимо до знаходження похибок (табл. 17).

Таблиця 17. Помилки прогнозу

Номер кварталу	Обсяг продаж, тис. шт. (А)	Сезонна компонента (S)	Трендове значення, тис. шт. (Т)	Похибка
				T*S	A/(T*S)=Е	A- (T*S) (абсолютне значення Е)
1	70	1,116	66,0	73,7	0,95	-3,7
2	66	0,907	67,3	61,0	1,08	+5,0
3	65	0,922	68,7	63,3	1,03	+1,7
4	71	1,055	70,0	73,9	0,96	-2,9
5	79	1,116	71,4	79,7	0,99	-0,7
6	66	0,907	72,8	66,0	1,00	0
7	67	0,922	74,1	68,3	0,98	-1,3
8	82	1,055	75,5	79,7	1,03	+2,3
9	84	1,116	76,8	85,7	0,98	-1,7
10	69	0,907	78,2	70,9	0,97	-1,9
11	72	0,922	79,6	73,3	0,98	-1,3
12	87	1,055	80,9	85,4	1,02	+1,6
13	94	1,116	82,3	91,9	1,02	+2,1

Процедура побудови прогнозу аналогічна як у попередньому прикладі. Прогнозні значення визначаються за формулою П=Т*S=(64,6+1,36t)*S. Сезонна компонента у першому кварталі 1,116, у другому - 0,907, у третьому - 0,922 і в четвертому - 1,055.

На наступний період прогноз буде такий:

П(14)=(64,6+1,36*14)*0,907=75,9 тис. шт.

Середнє квадратичне відхилення прогнозу розраховують за формулою:

.

В нашому випадку помилка мала, що говорить про стійку тенденцію, яка дозволить отримати непогані короткотермінові прогнози.

Дерево рішень

Для побудови «дерева рішень» використовують наступний алгоритм:

Побудувати схему «дерева рішень», яка відображає всі можливі наслідки. Щоразу коли виникає проблема вибору у схемі з'являється верхівка з якої виходять «гілки» альтернативи.

Невизначеність відображається як ймовірність того, що відбудеться та чи інша подія.

Визначається показник функціонального оцінювання за допомогою якого обирається оптимальне рішення і визначається значення цього показника на кожному «листі».

Визначається сподіване значення показника для різних варіантів дій серед яких обирається оптимальне.

Приклад

Для фінансування проекту підприємцю потрібно взяти позику 15 тис. грн. строком на 1 рік. Банк надає кредит під 15% річних або може вкласти гроші в безризикові проекти під 9% річних. Банку із минулого відомо, що 4% таких клієнтів позики не повертають потрібно прийняти рішення чи давати позику.

Потрібно прийняти рішення про інвестиційні вкладення банку за допомогою схеми «дерево рішень».

Розв'язання:

Представимо всі можливі варіанти інвестиційних вкладень у вигляді таблиці (табл.18). Обчислимо сподіваний дохід для кожного варіанту вкладень і запишемо в таблицю.

Таблиця 18. Варіанти інвестиційних вкладень підприємця

Можливі результати	Можливі рішення	Ймовірність (р)
	Давати позику	Не давати позику
Клієнт повертає позику	2250	1350	0,96
Клієнт не повертає позику	-15000	1350	0,04
Сподіваний доход банку	1560 (макс)	1350

Найкращий варіант за критерієм сподіваного доходу - це надати позику.

2250*0,96-150000,04=1560 грн.

На рис. 9 зображено схема «дерево рішень», в якій показані всі можливі рішення і їх наслідки для банку.

Рис. 9. Схема «дерево рішень» щодо видачі банком позики

Сподіваний дохід наступний:

М(А)=17250*0,96+0,04-15000=1560 грн.

М(В)=16350*1-1500=1350 грн.

Отже висновок, що краще надати кредит бо в цьому випадку банк отримає більший прибуток 1560 грн., а ризик неотримання позики дуже низький.

Оптимізація виробничої програми підприємства

Приклад

В табл. 19 подано дані щодо асортименту виробів, що випускаються в розрізі основних показників роботи ковбасного цеху підприємства.

Таблиця 19. Вихідні дані для оптимізації ковбасного виробництва

Найменування ковбаси	Норми витрат сировини, т/т	Ціна 1 т, грн.	Витрати на 1 т, грн.	Трудомісткість 1 т, люд. год.	Норми часу роб. обладнання, год. на т	Випуск продукції до оптимізації, т	Максимальний попит
	яловичина	свинина
1.Останкінська	0,6	0,35	5170	4500	58,4	4,0	500	700
2.Лікарська	0,5	0,45	4870	4320	54,6	4,0	600	900
3.Шахтарська	0,7	0,25	3850	3360	55,2	3,8	1000	1200
4.Чайна	0,8	0,15	3320	3010	57,5	3,8	300	500

Потрібно: побудувати модель оптимальної виробничої річної програми підприємства в за критерієм - максимум прибутку; врахувати обсяг ресурсів на свій асортимент; побудувати матрицю коефіцієнтів; розв`язати задачу на ПК; зробити економічний аналіз отриманих результатів, тобто порівняти як зміняться показники роботи підприємства якщо воно перейде на оптимальний випуск продукції; визначити які ресурси є лімітними для даної задачі; визначити тіньові ціни ресурсів і зробити відповідні висновки щодо збільшення випуску продукції на підприємстві.

Розв'язання:

Спочатку побудуємо математичну модель задачі, для цього визначимо спочатку змінні: X_j - випуск продукції j - того виду. В даній моделі чотири змінні Х₁, Х₂, Х₃ і Х₄ - це відповідно випуск ковбас «Останкінська», «Лікарська», «Шахтарська» і «Чайна». Наявність на підприємстві ресурсів така: яловичини - 2000 т; свинини - 750 т; загальна трудомісткість - 190000 люд.год.; час роботи обладнання - 20000 год. на рік.

Для того, щоб побудувати функцію цілі максимум річного прибутку потрібно визначити прибуток 1 т всіх видів продукції:

«Останкінська»: 5170-4500=670 грн.;

«Лікарська»: 4870-4320=550 грн.;

«Шахтарська»: 3850-3360=490 грн.;

«Чайна» 3320-3010=310 грн.

Функція цілі максимум прибутку запишеться так:

F(x)=670Х₁+550Х₂+490Х₃+310Х₄max

Обмеження задачі:

- за яловичиною:

0,6Х₁+0,5Х₂+0,7Х₃+0,8Х₄2000;

- за свининою:

0,35Х₁+0,45Х₂+0,25Х₃+0,15Х₄750;

- за трудомісткістю:

58,4Х₁+54,6Х₂+55,2Х₃+57,2Х₄190000;

- за часом роботи обладнання:

4Х₁+4Х₂+3,8Х₃+3,8Х₄20000;

- за попитом:

Х₁700; Х₂900; Х₃1200; Х₄500;

- умова невід'ємності даних:

Х₁,Х₂,Х₃,Х₄0.

Вирішуємо задачу за допомогою симплекс-методу в Excel, для цього використаємо інструмент «Поиск решения» в меню «Сервис». Отримали таке рішення задачі:

Х₁=700 т; Х₂=280 т; Х₃=1200 т; Х₄=500 т.

Таблиця 20. Економічна ефективність оптимального рішення

Найменування показника	Значення показника	Відхилення
	До оптимізації	Після оптимізації	Абсолютне	Відносне, %
1. Випуск продукції, т
«Останкінська»	500	700	200	40
«Лікарська»	600	280	-320	-53,33
«Шахтарська»	1000	1200	200	20
«Чайна»	300	500	200	66,67
2. Вартість випущеної продукції, грн.	10353000	11262600	909600	8,79
3. Вартість витрат на випущену продукцію, грн.	9105000	9896600	791600	8,69
4. Прибуток, грн.	1248000	1366000	118000	9,46
5. Рентабельність продукції, %	13,7	13,8	0,10	-
6. Витрати на одиницю продукції, грн.	0,8795	0,8787	-0,0007	-0,08
7. Використання ресурсів:
- яловичина, т	2000	1800	-200	-10,00
- свинина, т	750	750	0	0,00
- трудомісткість, люд. год.	190000	151158	-38842	-20,44
- час роботи обладнання, год.	20000	10380	-9620	-48,10

Вартість продукції до і після оптимізації розраховуємо, як суму добутків ціни 1 т і відповідної кількості продукції до і після оптимізації. Аналогічно розраховуємо собівартість випуску продукції до і після оптимізації як суму добутків собівартості 1 т продукції і відповідної кількості продукції до і після оптимізації.

Висновки: Дану оптимізацію виробничої програми можна вважати доцільною, так як прибуток зростає на 9,6% і складе 1366 тис. грн., також рентабельність продукції зросте на 0,1 процентний пункт, а витрати на одиницю продукції знизяться на 0,07 коп., що говорить про підвищення ефективності виробництва.

Серед ресурсів повністю використовується лише свинина, тобто цей ресурс є лімітним на підприємстві.

Для того, щоб знайти тіньові ціни ресурсів потрібно побудувати двоїсту задачу, для цього приймемо позначення: Y₁, Y₂, Y₃ і Y₄ - це вартість одиниці відповідної виду ресурсу.

Функція цілі мінімум загальної вартості ресурсів і попиту на випуск продукції:

G(Y) = 2000Y₁+ 750Y₂ + 190000Y₃ + 20000Y₄ + 700Y₅ + 900Y₆ + 1200Y₇ + 500Y₈ min

Обмеження двоїстої задачі:

- прибуток від Х₁:

0,6Y₁+0,3Y₂+58,4Y₃+4Y₄+Y₅670;

- прибуток від Х2:

0,5Y₁+0,5Y₂+54,6Y₃+4Y₄+Y₆550;

- прибуток від Х3:

0,7Y₁+0,25Y₂+55,2Y₃+3,8Y₄+Y₇490;

- прибуток від Х4:

0,8Y1+0,2Y2+57,5Y3+3,8Y4+Y8500.

Вирішивши аналогічно задачу, отримаємо таке рішення:

Вартість 1 т свинини: Y₂=1100 грн.;

Вартість попиту на Х₁: Y₅=340 грн.;

Вартість попиту на Х₃: Y₇=215 грн.;

Вартість попиту на Х₄: Y₈=280 грн.

Функція цілі - мінімальна загальна вартість ресурсів і попиту на випуск продукції 1366 тис. грн.

Як ми бачимо із рішення задачі тіньова ціна 1 т свинини складає 1100 грн. за 1 т, підприємство має в наявності всі ресурси для збільшення випуску продукції крім свинини, а значить для того щоб збільшити випуск продукції потрібно, щоб витрати на закупку свинини були не більше за 1100 грн. за 1 т. Для того щоб збільшити випуск продукції Х₁, Х₃ і Х₄ потрібно врахувати, що витрати на створення попиту не повинні перевищувати відповідно 340, 215 і 280 грн. за 1 т, в протилежному випадку не відбудеться збільшення прибутку від випуску продукції.

Модель оптимального завантаження обладнання

Приклад

Виробнича дільниця має в наявності три види взаємозв'язаного обладнання. Фонд робочого часу відповідно становить А_і годин на місяць. Дільниці встановлено план випуску п'яти видів продукції (Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅) механізованим способом в обсязі B_j тонн. Норми витрат часу за видами продукції і обладнання a_ij год. на тону подано в табл. 21 (і - індекс виду обладнання, j - індекс виду продукції). Собівартість одиниці виробленої продукції відповідним видом обладнання c_ij гривень наведено в табл. 22.