Економіко-математичні методи і моделі

Будівельна дільниця має в наявності три групи взаємопов'язаних механізмів (М₁, М₂, М₃). Фонд робочого часу відповідно становить 800, 900 і 600 машино-змін за місяць. Дільниці встановлено план виконання п'яти видів робіт (Р₁, Р₁, Р₃, Р₄, Р₅) в такому обсязі 450,320,640,520 і 280 м³. Норми витрат часу за видами робіт і групами механізмів наведено в табл. 21.

Таблиця 21. Норми витрат часу за видами робіт і групами механізмів

Групи механізмів	Норми витрат часу на одиницю виконаної роботи відповідним механізмом, машино-змін
	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
М1	0,2	0,3	0,5	0,25	0,4
М2	0,4	0,45	0,56	0,6	0,5
М3	0,41	0,65	0,56	0,45	0,3

Собівартість одиниці роботи, виконаної відповідною групою механізмів наведено в табл. 22

Таблиця 22. Собівартість одиниці роботи, виконаної відповідною групою механізмів

Група механізмів	Собівартість одиниці виконаної роботи відповідним механізмом, грн.
	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
М1	20	30	40	35	45
М2	30	25	35	40	40
М3	35	20	30	30	55

Потрібно знайти оптимальний план розподілу продукції по видах обладнання, який забезпечить мінімальні витрати на виробництво.

Розв'язання:

Для побудови моделі введемо невідому величину x_ij - обсяг j-го виду роботи (j=1,2,...,5), яка виконується і-им механізмом (і=1,2,3).

.

Цільова функція мінімуму витрат набуде вигляду: F(x)=20х₁₁+30х₁₂+40х₁₃+35х₁₄+45х₁₅+30х₂₁+25х₂₂+35х₂₃+40х₂₄+40х₂₅+35х₃₁+20х₃₂++30х₃₃+30х₃₄+55х₃₅min.

За такими обмеженнями:

1) по використанню наявного фонду робочого часу механізмів:

М₁: 0,2х₁₁+0,3х₁₂+0,5х₁₃+0,25х₁₄+0,4х₁₅<=800;

М₂: 0,4х₂₁+0,45х₂₂+0,56х₂₃+0,6х₂₄+0,5х₂₅<=900;

М₃: 0,41х₃₁+0,65х₃₂+0,56х₃₃+0,45х₃₄+0,3х₃₅<=600;

2) по виконанню гарантованого плану відповідних механізованих робіт:

Р₁: х₁₁+х₂₁+х₃₁>=450;

Р₂: х₁₂+х₂₂+х₃₂>=320;

Р₃: х₁₃+х₂₃+х₃₃>=640;

Р₄: х₁₄+х₂₄+х₃₄>=520;

Р₅: х₁₅+х₂₅+х₃₅>=280;

3) умова невід'ємності змінних:

x_ij>=0, i=1,2,3; j=1,2,3,4,5.

Розв'язавши дану задачу, бачимо, що всі будівельні роботи будуть виконані в запланованих обсягах.

Оптимальний план завантаження механізмів буде такий:

.

Висновок: Це свідчить про те, що для того щоб загальна собівартість робіт була мінімальною потрібно: на першому механізмі виконувати роботу Р₁ в обсязі 450 одиниць і роботу Р₅ в обсязі 280 одиниць; на другому механізмі - роботу Р₂ - 308,3 одиниць; на третьому механізмі: роботу Р₂ в обсязі 11,7 одиниць, роботу Р₃ - 640 та роботу Р₄ - 520 одиниць продукції.

Модель оптимального розподілу випуску продукції виробничого об'єднання

Приклад

У структуру виробничого об'єднання входять три підприємства, які здійснюють випуск п'яти найменувань продукції (П₁, П₂, П₃, П₄ ,П₅) на основі трьох видів ресурсів, запаси яких обмежені і становлять відповідно Q_jr (j - індекс підприємства, j=1,2,3; r - індекс виду ресурсів, r=1,2,3).

Для виробничого об'єднання задано план випуску чотирьох видів продукції (П₁, П₂, П₃, П₄) в такій кількості: А₁=100, А₂=150, А₃=200, А₄=250 тис. одиниць.

Виконання планового обсягу виробництва необхідно розподілити між трьома підприємствами (j=1,2,3) таким чином, щоб досягнути максимального загального прибутку в цілому по виробничому об'єднанню.

Техніко-економічні показники та обсяг випуску продукції по підприємствах наведені в табл. 23

Виробниче об'єднання планує виробити не менше як А_і одиниць продукції і-го виду (і - індекс найменувань продукції, і=1,2,3,4,5). Для випуску одиниці продукції і-го виду потреба r-ресурсу на j-му підприємстві задається за допомогою матриці [a_irj]. Виробничі потужності підприємств задаються за допомогою нижньої [d_ij] і верхньої [b_ij] границь випуску продукції. Прибуток від реалізації одиниці продукції і-го виду, виробленої на j-му підприємстві, становить C_ij. Розрахувати оптимальну виробничу програму, взявши за критерій оптимізації максимум суми прибутку.

Запаси ресурсів відповідно підприємств задані матрицею

[ Q_jr ]=.

Таблиця 23. Техніко-економічні показники та обсяг випуску продукції по підприємствах виробничого об'єднання

Підприємство	Вид продукції, ресурси	Норми витрат ресурсів	Виробничі потужності, тис. од.	Прибуток, тис. грн.
		R1	R2	R3	ij	ij
Перше	П1	2,6	5,0	1,0			20
	П2	3,6	4,4	2,3			35
	П3	4,2	3,6	3,2	80	150	40
	П4	5,4	2,5	4,5			50
	Обсяг ресурсів, тис. од.	950	1200	800
Друге	П1	2,2	5,3	1,2			21
	П2	3,3	4,6	2,5			30
	П3	4,0	3,2	3,1			48
	П4	5,1	2,1	4,0	100	200	40
	Обсяг ресурсів, тис. од.	1500	1800	1600
Третє	П1	2,4	5,6	1,5	50	80	28
	П2	2,8	4,6	2,0			36
	П3	4,6	3,5	3,6			46
	П4	5,5	2,0	4,2			45
	Обсяг ресурсів, тис. од.	1000	950	1200

Розв'язання:

Математична модель набуде такого вигляду. Знайти оптимальний план розподілу продукції між підприємствами виробничого об'єднання (x_ij) , який забезпечить максимальний прибуток об'єднання.

i - індекс виду продукції, i=1;2;3;4; j - індекс підприємства, j=1;2;3;

.

F(x)=20х₁₁+35х₂₁+40х₃₁+50х₄₁+21х₁₂+30х₂₂+48х₃₂+40х₄₂+28х₁₃+36х₂₃+46х₃₃++45х₄₃max

при виконанні таких умов:

1) по випуску виробничим об'єднанням продукції:

П₁: х₁₁+х₁₂+х₁₃>=100;

П₂: х₂₁+х₂₂+х₂₃>=150;

П₃: х₃₁+х₃₂+х₃₃>=200;

П₄: х₄₁+х₄₂+х₄₃>=250;

2) по використанню першим підприємством виробничих ресурсів:

R₁: 2,6х₁₁+3,6х₂₁+4,2х₃₁+5,4х₄₁<=950;

R₂: 5,0х₁₁+4,4х₂₁+3,6х₃₁+2,5х₄₁<=1200

R₃: х₁₁+2,3х₂₁+3,2х₃₁+4,5х₄₁<=800;

3) по використанню другим підприємством виробничих ресурсів:

R₁: 2,2х₁₂+3,3х₂₂+4х₃₂+5,1х₄₂<=1500;

R₂: 5,3х₁₂+4,6х₂₂+3,2х₃₂+2,1х₄₂<=1800;

R₃: 1,2х₁₂+2,5х₂₂+3,1х₃₂+4х₄₂<=1600;

4) по використанню третім підприємством виробничих ресурсів:

R₁: 2,4х₁₃+2,8х₂₃+4,6х₃₃+5,5х₄₃<=1000;

R₂: 5,6х₁₃+4,6х₂₃+3,5х₃₃+2,0х₄₃<=950;

R₃: 1,5х₁₃+2х₂₃+3,6х₃₃+4,2х₄₃<=1200;

5) по випуску продукції деяких видів на першому, другому і третьому підприємстві:

х₃₁<=150; x₃₁>=80; x₄₂<=200; x₄₂>=100; x₁₃<=80; x₁₃>=50;

6) умова невід'ємності даних:

x_ij>=0.

У результаті розв'язку даної задачі отримаємо оптимальний план розподілу продукції між підприємствами виробничого об'єднання (табл. 24).

Таблиця 24. Оптимальний план розподілу продукції між підприємствами виробничого об'єднання

Продукція	Підприємство	Всього
	1	2	3
П1	50,0	0	50,0	100,0
П2	68,01	0	106,65	174,66
П3	60,0	247,5	0	327,5
П4	44,29	100,0	105,71	250,0

Висновки: Для того щоб витрати виробничого об'єднання були мінімальними, потрібно, щоб на першому заводі вироблялося 50 од. продукції П₁, 68 - П₂, 60 - П₃ і 44,29 - П₄; на другому заводі: 247,5 - П₃ і 100 - П₄; на третьому заводі: 50 -П₁, 106,65 - П₂ і 105,71 - П₄.

Матричне моделювання (балансові моделі планування виробництва) на рівні народного господарства і підприємства

Матричне моделювання на рівні народного господарства

Приклад

Побудувати плановий міжгосподарський баланс народного господарства на основі звітного (табл. 25).

На основі звітного міжгосподарського балансу розрахувати на плановий період: коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат; внутрішньогосподарські пропорції; обсяг виробництва валової продукції, якщо кінцева продукція цих галузей в плановому періоді збільшиться відповідно на 30,10,15,20 і 25%.

Розподілити чисту продукцію на оплату праці і чистий прибуток, зберігаючи між ними співвідношення, що були у звітному періоді.

Таблиця 25. Звітний баланс виробничого планування галузей народного господарства

Продукція галузей виробництва (і)	Продукція галузей споживання (j)	Кінцева продукція (yi)
	1	2	3	4	5
1	21	19	10	7	16	50
2	34	14	19	16	11	50
3	18	8	14	29	10	60
4	14	13	9	22	11	70
5	12	15	10	21	2	65
Оплата праці	10	20	25	15	12

Розв'язання:

1. Спочатку знайдемо валову продукцію x_i за звітний період за формулою:

, і=1,2,...,5;

х₁=123; х₂=144; х₃=139; х₄=139; х₅=125.

2. Знайдемо чистий прибуток за звітний період за формулою:

, j=1,2,...,5,

або

m₁=14; m₂=55; m₃=52; m₄=29; m₅=63.

Знайдемо коефіцієнти прямих матеріальних витрат за звітний період за формулою:

a_ij=x_ij/x_j, де і=1,2,...,n.

; ;

а₁₁=х₁₁/х₁=21/123=0,17;

а₁₂=х₁₂/х₂=19/144=0,13;

а₂₁=х₂₁/х₁=34/123=0,28; і так далі.

.

5. Знайдемо величину кінцевої продукції на плановий період:

y₁=50*1,3=65;

y₂=50*1,1=55;

y₃=60*1,15=69;

y₄=70*1,2=84;

y₅=65*1,25=81,25.

5. Для розрахунку валової продукції складаємо систему рівнянь за формулою:

, де і=1,2,...,n.

х₁=0,17х₁+0,13х₂+0,07х₃+0,05х₄+0,13х₅+у₁;

х₂=0,28х₁+0,09х₂+0,14х₃+0,16х₄+0,09х₅+у₂;

х₃=0,15х₁+0,06х₂+0,10х₃+0,21х₄+0,08х₅+у₃;

х₄=0,11х₁+0,09х₂+0,06х₃+0,16х₄+0,09х₅+у₄;

х₅=0,09х₁+0,10х₂+0,07х₃+0,15х₄+0,02х₅+у₅.

Спрощуємо систему, підставимо значення валової продукції і отримаємо:

0,83х₁-0,13х₂-0,07х₃-0,05х₄-0,13х₅=65;

-0,28х₁+0,91х₂-0,14х₃-0,16х₄-0,09х₅=55;

-0,15х₁-0,06х₂+0,9х₃-0,21х₄-0,08х₅=69;

-0,11х₁-0,09х₂-0,06х₃+0,84х₄-0,09х₅=84;

-0,09х₁-0,10х₂-0,07х₃-0,15х₄+0,98х₅=81,25.

Вирішимо систему одним із методів лінійного програмування (симплекс-методом) і отримаємо значення валової продукції на плановий період:

.

Користуючись тим, що x_ij=a_ij*x_j, визначимо на плановий період міжгалузеві потоки:

х₁₁=а₁₁*х₁=0,17*159,589=27,03;

х₁₂=а₁₂*х₂=0,13*203,963=26,39;

х₂₁=а₂₁*х₁=0,28*159,589=44,5; і так далі.

.

7. Чисту продукцію знайдемо за формулою:

;

.

v₁+m₁=x₁-(x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁+x₅₁);

v₂+m₂=x₂-(x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂+x₅₂);

...

v₅+m₅=x₅-(x₁₅+x₂₅+x₃₅+x₄₅+x₅₅).

Отримаємо :

v₁+m₁=159,589-(27,0+44,5+23,9+17,5+14,3)=31,8;

v₂+m₂=203,963-(26,4+18,3+12,2+18,3+20,3)=107,5;

v₃+m₃=170,885-(11,9+23,8+1,7+10,2+11,9)=110,5;

v₄+m₄=171,766-(8,6+27,5+35,9+27,4+25,7)=45,9;

v₅+m₅=156,874-(20,3+14,1+12,5+14,0+3,1)=92,0.

8. Зберігаючи пропорції між оплатою праці і чистим прибутком в загальному обсязі чистої продукції за звітний період, знайдемо чистий прибуток і оплату праці в плановому періоді:

v₁=(10/(10+14))*31,8=13,2; m₁=31,8-13,2=18,6;

v₂=(20/(20+55))*107,5=28,4; m₂=107,5-28,7=78,8;

v₃=(25/(25+52))*110,5=35,9; m₃=110,5-35,9=74,6;

v₄=(15/(15+29))*45,9=15,6; m₄=45,9-15,6=30,3;

v₅=(12/(12+63))*92,0=18,4. m₅=92,0-18,4=73,6.

9. Коефіцієнти повних матеріальних витрат визначаються за формулою:

, де i=1,2,...,n.

.

А₁₁=х₁/у₁=159,589/65=2,45;

А₁₂=х₁/у₂=159,589/55=2,89;

А₁₃=х₁/у₃=159,589/69=2,30;

А₂₁=х₂/у₁=203,963/65=3,12;

А₃₁=х₃/у₁=170,885/65=2,62; і т.д.

Отримаємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат:

.

10. Складаємо плановий баланс (табл. 26).

Таблиця 26. Плановий баланс виробничого планування галузей народного господарства

Продукція галузей виробництва(і)	Продукція галузей споживання (j)	Кінцева продукція (yi)	Валова продукція (xi)
	1	2	3	4	5
1	27,03	26,4	11,9	8,6	20,3	65	159,59
2	44,5	18,3	23,8	27,5	14,1	55	203,96
3	23,9	12,2	1,70	35,9	12,1	69	170,89
4	17,5	18,3	10,2	27,4	14,0	84	171,77
5	14,3	20,3	11,9	25,7	3,1	81,25	156,87
Оплата праці	13,2	28,7	35,9	15,6	18,4
Чистий прибуток	18,6	78,8	74,6	30,3	73,6	х	х
Валова продукція	159,59	203,96	170,89	171,77	156,87	х	х

Матрична модель виробничого планування на підприємстві

Приклад

Для промислового підприємства, яке складається із двох цехів основного та допоміжного виробництва, міжцехові виробничі зв'язки за звітний період характеризуються на основі матриць міжцехових потоків [X_i], витрат сировини та матеріалів [D_rj], використання робочої сили в розрізі професійно-кваліфікаційних груп робітників [T_kj], витрат машинного часу в розрізі існуючих груп обладнання [F_lj], а також обсягом валової продукції за цехами Х_і.

Розрахувати на плановий період план випуску валової продукції підрозділами підприємства, міжцехові потоки продукції, план потреби цехів у сировині, матеріалах і робочій силі, якщо випуск товарної продукції за цехами становить Y_i.

Вихідні дані для вирішення задачі:

[ X_ij ] = ; [ D_rj ]= ;

[ F_lj ]= ; [ T_kj ]= ;

; .

Розв'язання:

1. Знайдемо матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат за формулою:

a_ij=x_ij/x_j, де і=1,2,...,n.

а₁₁=х₁₁/х₁=20/180=0,11;

а₁₂=х₁₂/х₂=15/160=0,094;

а₂₁=х₂₁/х₁=14/180=0,078; і так далі.

.

2. Знайдемо коефіцієнти витрат живої праці k-того виду на одиницю продукції j-того виду за формулою:

t_kj=T_kj/x_j.

t₁₁=250/180=1,39;

t₁₂=220/160=1,38;

t₁₃=90/100=1,9;

t₁₄=160/110=1,45;

t₂₁=210/180=1,17;

t₂₂=230/160=1,28;

t₂₃=160/100=1,6;

t₂₄=150/110=1,36.

[t_kj]= .

3. Знайдемо коефіцієнти витрат ресурсів r-виду на одиницю продукції j-того виду за формулою:

d_rj=D_rj/x_j.

[d_rj]= .

4. Знайдемо коефіцієнти витрат обладнання l-виду на одиницю продукції j-того виду за формулою:

f_lj=F_lj/x_j.

[f_lj]= .

5. Розрахуємо обсяг валової продукції на плановий період, для цього побудуємо систему рівнянь за формулою:

, i=1,2,...,n.

х₁=0,11х₁+0,094х₂+0,1х₃+0,15х₄+80;

х₂=0,078х₁+0,14х₂+0,12х₃+0,18х₄+100;

х₃=0,056х₁+0,13х₂+0,3х₃+0,91х₄+10;

х₄=0,083х₁+0,16х₂+0,16х₃+0,16х₄;

Проведемо відповідні перетворення і отримаємо спрощену систему рівнянь:

0,89х₁-0,094х₂-0,1х₃-0,15х₄=80;

-0,78х₁+0,86х₂-0,12х₃-0,18х₄=100;

-0,056х₁-0,13х₂+0,7х₃-0,091х₄=10;

-0,083х₁-0,16х₂-0,16х₃+0,84=0.

6. Розв'яжемо систему за допомогою симплекс-методу і отримаємо:

х₁=143,89;

х₂=275,55;

х₃=87,72;

х₄=83,31.

7. Розрахуємо на плановий період міжцехові потоки продукції за формулою:

x_ij=x_j*a_ij, де і=1,2,...,n.

х₁₁=а₁₁*х₁=0,11*143,89=15,72;

х₁₂=а₁₂*х₂=0,094*275,55=25,9;

х₂₁=а₂₁*х₁=0,078*143,89=11,75 і так далі.

[X_ij] = .

8. Визначимо на плановий період потребу в робочій силі по двох групах за формулою:

T_kj=t_kj*x_j.

Т₁₁=t₁₁*x₁=1,39*143,89=198,62;

T₂₁=t₂₁*x₁=1,17*143,89=167,18;

T₁₂=t₁₂*x₂=1,38*275,55=380,26 і так далі.

[T_kj]= .

Визначимо на плановий період потребу в обладнанні по двох групах за формулою:

F_lj=f_lj*x_j.

 [F_lj]= .

Визначимо на плановий період потребу в сировині по двох групах за формулою:

D_rj=d_rj*x_j.

[D_rj]= .

9. Отримані результати введемо в таблицю-баланс (табл. 27-28).

Таблиця 27. Баланс за звітний період

Підрозділи споживання	Підрозділи виробництва	Кінцева продукція	Валова продукція
	№1	№2	№3	№4
№1	20	15	10	16	119	180
№2	14	22	12	20	92	160
№3	10	20	30	10	30	100
№4	15	25	16	18	36	110
Витрати сировини	210	220	160	150	х	х
	190	220	180	140	х	х
Витрати часу	250	220	190	160	х	х
	210	230	160	150	х	х
Витрати обладнання	240	200	180	160	х	х
	230	220	140	170	х	х

Таблиця28. Баланс на плановий період

Підрозділи споживання	Підрозділи виробництва	Кінцева продукція	Валова продукція
	№1	№2	№3	№4
№1	15,72	25,90	8,77	13,50	80	143,89
№2	11,15	38,58	10,58	15,00	100	275,55
№3	8,00	35,82	26,32	7,98	10	87,72
№4	11,86	44,09	14,04	13,33	0	83,31
Витрати сировини	198,62	380,26	166,67	120,80	х	х
	167,18	352,70	140,35	113,30	х	х
Витрати часу	190,04	344,44	157,90	120,80	х	х
	182,90	369,24	122,81	129,13	х	х
Витрати обладнання	238,63	344,44	140,35	113,3	х	х
	151,46	369,24	157,90	105,80	х	х

Планування роботи транспорту (транспортна задача)

Приклад

У сировинній зоні маємо чотири молочних заводи. Крім того, маємо три групи господарств, які постачають молоко на молочні заводи. Відомі наведені витрати на закупку і доставку сировини від j-того господарства до і-того молочного заводу - t_ij , (грн. на тонну).

.

Потреби заводів в сировині, відповідно, такі: 27, 25, 30 і 35т молока.

Потужності господарств щодо постачань молока відповідно, такі: 40, 40 і 60 т молока.

Потрібно побудувати оптимальний план перевезень сировини, який забезпечить мінімальні витрати на закупку і перевезення сировини.

Розв'язання:

Х_ij - кількість одиниць продукції, що поступає на і-тий молочний завод від j-того господарства;

Функція цілі мінімум витрат на перевезення продукції:

F(X)=70Х₁₁+85Х₁₂+55Х₁₃+120Х₁₄+80Х₂₁+90Х₂₂+95Х₂₃+110Х₂₄+75Х₃₁+

+80Х₃₂+95Х₃₃+90Х₃₄ > міn;

Обмеження за потребами заводів:

1.За потребами заводів:

- першого: Х₁₁+Х₂₁+Х₃₁=27;

- другого: Х₁₂+Х₂₂+Х₃₂=25;

- третього: Х₁₃+Х₂₃+Х₃₃=30;

- четвертого: Х₁₄+Х₂₄+Х₃₄=35;

2.За потужностями господарств:

- А: Х₁₁+Х₁₂+Х₁₃+Х₁₄40;

- В: Х₂₁+Х₂₂+Х₂₃+Х₂₄40;

- С: Х₃₁+Х₃₂+Х₃₃+Х₃₄60;

3.Умова невід'ємності даних:

Х_ij0.

Вирішуємо задачу за допомогою симплекс методу в Excel, в результаті отримали рішення, що наведено у табл.29.

Таблиця 29. Оптимальний план перевезень сировини

Господарство	Оптимальний план перевезень, од продукції
	1 завод	2 завод	3 завод	4 завод
1	9,9	0	30	0
2	17	0	0	0
3	0	25	0	36

Мінімальні загальні витрати на перевезення продукції - 8860 грн.

Висновки: Для того, щоб витрати були мінімальні, потрібно на перший завод перевозити 9,9 т молока від першого господарства і 17 т молока від другого. На другий завод потрібно перевозити 25 т молока від третього господарства. На третій завод потрібно перевозити 30 т молока від першого господарства. На четвертий завод потрібно перевозити 36 т молока від третього господарства. В цьому випадку мінімальні витрати на перевезення становлять 8860 грн.

Планування роботи транспорту на перспективу

Приклад

В даній сировинній зоні маємо три групи господарств (j - індекс господарства), які постачають сировину чотирьом заводам (і - індекс заводу). Сума постачань сировини збільшує можливий обсяг переробки. Відомі наведені витрати на закупку і доставляння сировини t_ij гривень.

Виробничі потужності підприємств (т) задані матрицею [A_i], а собівартість одиниці продукції (грн.), що виробляється, на підприємствах - матрицею [C_i].

; .

Потужності господарств (т) задані матрицею [B_j] , витрати на покупку і доставляння сировини до нового підприємства - матрицею [t_jн].

; .

Оскільки наявні виробничі потужності менше можливостей своїх постачальників, то на перспективу планується збільшити потужність галузі на цю величину. Для цього пропонується побудувати один новий завод потужністю 100 од. перероблення сировини за зміну і провести реконструкцію першого і другого заводу для збільшення потужності на 60 од.

Відома собівартість одиниці продукції на підприємствах після реконструкції: на першому підприємстві - С_1р=8 грн.; на другому - С_2р=14 грн. і на новому - С_н=22 грн. Питомі витрати на реконструкцію і будівництво відповідно становлять: на першому підприємстві - ЕК₁=30 грн., на другому - ЕК₂=25 грн. і на новому - ЕК_н=35 грн.

Визначити оптимальний варіант приросту потужностей галузі і ефективний план постачання сировини господарствами на перспективу.

Розв'язання:

Сформулюємо загальну постановку задачі у вигляді вихідної матриці суми всіх витрат (табл. 30.)

Таблиця 30. Вихідна матриця суми всіх витрат, грн.

Підприємства	№ господарства	Фіктивний постачальник	Потужність підприємств
	1	2	3
Завод 1	24+10=34	28+10=38	32+10=42	0	250
Завод 2	30+15=45	25+15=40	26+15=41	0	140
Завод 3	45+12=57	48+12=60	46+12=58	0	160
Завод 4	30+16=46	28+16=44	28+16=44	0	240
Реконструкція 1 заводу	24+8+30=62	28+8+30=66	32+8+30=70		60
Реконструкція 2 заводу	30+14+25=69	25+14+25=64	26+14+25=65		60
Нове будівництво	44+22+35=101	45+22+35=102	49+22+35=106		100
Потужності господарств	300	300	310	100	1010

Побудуємо математичну модель задачі:

Xij - кількість продукції, яку постачає j-тий постачальник (господарство) i-тому споживачеві (підприємству) .

.

Функція цілі - мінімізація витрат на закупку і доставляння сировини і на виробництво продукції:

f(x)=34х₁₁+38х₁₂+42х₁₃+45х₂₁+40х₂₂+41х₂₃+57х₃₁+60х₃₂+58х₃₃+46х₄₁+44х₄₂+54х₄₃+62х₅₁+66х₅₂+70х₅₃+69х₆₁+64х₆₂+65х₆₃+101х₇₁+102х₇₂+106х₇₃ > min.

При виконанні умов:

1. За потребою підприємств в продукції першого господарства:

х₁₁+х₂₁+х₃₁+х₄₁+х₅₁+х₆₁+х₇₁=300;

По потребі підприємств в продукції другого господарства:

х₁₂+х₂₂+х₃₂+х₄₂+х₅₂+х₆₂+х₇₂=300;

По потребі підприємств в продукції третього господарства:

х₁₃+х₂₃+х₃₃+х₄₃+х₅₃+х₆₃+х₇₃=310;

По потребі підприємств в продукції фіктивного господарства:

х₁₄+х₂₄+х₃₄+х₄₄+х₅₄+х₆₄+х₇₄=100.

2. по виробничих потужностях підприємств:

першого - х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄=250;

другого - х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄=140;

третього - х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄=160;

четвертого - х₄₁+х₄₂+х₄₃+х₄₄=240;

реконструкції першого - х₅₁+х₅₂+х₅₃+х₅₄=60;

реконструкції другого - х₆₁+х₆₂+х₆₃+х₆₄=60;

будівництва нового - х₇₁+х₇₂+х₇₃+х₇₄=100.

3. умова невід'ємності даних

x_ij>=0.

В результаті розв'язання даної задачі отримаємо таке рішення: х₁₁=250; х₂₃=140; х₃₃=160; х₄₄=80; х₄₂=240; х₅₁=10; х₅₄=50; х₆₁=60; х₆₃=10; х₆₄=50; х₇₁=40; х₇₂=60.

Тепер запишемо рішення у вигляді матриці (табл. 31) і зробимо відповідні висновки.

Таблиця 31. План перевезень сировини від господарств до підприємств

Підприємства	Господарства	Потужність підприємств
	№1	№2	№3
№1	250			250
№2		34	106	140
№3			160	160
№4		240		240
Реконструкція 1 підприємства	50	10		60
Реконструкція 2 підприємства		16	44	60
Нове будівництво				0
Потужність господарств	300	300	310

Висновки: Для того щоб витрати на закупку і доставляння сировини були найменшими, потрібно від першого господарства перевозити на підприємство №1 - 250 од.; від другого господарства на підприємство №2 - 34 і №4 - 240 од.; від третього господарства на підприємство №2 - 106 і №3 - 160 од. продукції. Реконструкція першого і другого заводів повинна збільшити їхню потужність на 60 од. продукції на кожному. При чому перше підприємство буде отримувати додаткову кількість сировини від першого господарства в обсязі 50 од. і від другого господарства - 10 од. продукції. Друге підприємство буде отримувати додаткову кількість продукції від другого - 16 од. і від третього господарств - 44 од. продукції. Нове будівництво недоцільно, так як весь обсяг перевезень на нове підприємство припадає на фіктивного постачальника.

Сітьове планування

Побудова сітьових моделей в реальному масштабі часу включає такі етапи:

1. Побудова вісі часу - t.

2. Критичний шлях орієнтовно розташовують в центрі майбутнього розташування сітьового графіка із вказанням векторів робіт і номерів подій.

3. Послідовно від початку до кінця сітьового графіка вище і нижче критичного шляху розташовуються некритичні роботи і події без збереження масштабу по вертикалі.

4. По кожній некритичній роботі штрихами вказують в реальному масштабі часу резерв кожної некритичної роботи.

5. Некритичні події розташовують за часом раннього звершення цих подій.

6. Тонкими лініями і додатковими стрілками вказують вхід і вихід кожної некритичної роботи.

7. На кожній роботі проставляється чисельність зайнятих в ній чоловік.

Приклад

На рис. 10 зображено сітьовий графік з урахуванням тривалості і послідовності робіт і чисельності чоловік, що приймають в них участь.

Рис. 10. Сітьовий графік до оптимізації

Тривалість критичного шляху 18 днів, L(1,3,5,7)=18 днів.

Часові характеристики сітьового графіку до оптимізації наведено у табл. 32.

Таблиця 32. Часові характеристики сітьового графіку до оптимізації

№ п/п	ij Індекси початку і закінчення роботи	tij, Тривалість роботи, дні	tijрп, Ранній початок роботи, дні	tijрз, Раннє завершення роботи, дні	tijпп, Пізній початок роботи, дні	tijпз, Пізнє завершення роботи, дні	Pijповн, Резерв часу по роботі, дні
1	12	3	0	3	8	11	8
2	13	6	0	6	0	6	0
3	24	3	3	6	12	15	9
4	25	2	3	5	11	13	8
5	35	7	6	13	6	13	0
6	36	4	6	10	13	17	7
7	47	3	6	9	15	18	9
8	56	3	13	16	14	17	1
9	57	5	13	18	13	18	0
10	67	1	16	17	17	18	1

Оптимізація сітьових моделей за критерієм мінімум часу включає в себе такі дії:

1. Вибір робіт, що мають найбільші резерви часу.

2. Розрахунок трудомісткості вибраних робіт, а також тих робіт на які буде переводитись частина трудових ресурсів.

3. Розрахунок характеристик робіт, що включені в оптимізацію.

4. Перерахунок всього сітьового графіка.

5. Визначення ефективності проведеної оптимізації.

Таблиця 33. Чисельність і трудомісткість робіт сітьового графіку

№ пор.	ij	tij	Чисельність	Трудомісткість
1	12	3	8	24
2	13	6	2	12
3	24	3	5	15
4	25	2	4	8
5	35	7	3	21
6	36	4	6	24
7	47	3	6	18
8	56	3	5	15
9	57	5	3	15
10	67	1	3	3

З роботи (24) із загальною трудомісткістю 15 людино.днів переведемо 2 чоловіка на роботу (57) із загальною трудомісткістю 15 людино.днів таким чином щоб загальна трудомісткість цих робіт залишилася незмінною.

Раніше в роботі (24) приймало участь 5 чоловік, що працювали 3 дні, тепер в цій роботі приймають участь 3 чоловіка, що повинні працювати 5 днів.

Раніше в роботі (57) приймало участь 3 чоловіка, що працювали 5 днів, тепер в цій роботі беруть участь 5 чоловік, що повинні працювати 3 дні.

На рис. 11 зображено параметри сітьового графіка після оптимізації.

Рис. 11. Оптимальний сітьовий графік

Перерахуємо основні параметри сітьового графіка з новими тривалостями робіт (24) і (57). Отримали новий критичний шлях тривалістю 17 днів. Тобто економія часу складе 1 день або 1/17*100%. Тривалість критичного шляху тепер становить 17 днів, L(1, 3, 5, 6, 7)=17 днів.

Моделі управління запасами сировини і готової продукції

Приклад 1

На швейну фабрику доставляють тканину у контейнерах. Місячний обсяг потреби у тканині 800 м. Кількість робочих днів у місяці 21. Витрати, пов'язані із доставкою одного контейнера - 12 грн. Витрати на зберігання 1 м тканини протягом місяця - 0,12 грн.

Потрібно визначити: оптимальний розмір поставки тканини; час, через який ця поставка повинна виконуватись; мінімальний розмір витрат на доставку і зберігання тканин.

Розв'язання:

Використовуючи прийняті позначення Q=800 м; С_д=12 грн.; С_з=0,12 грн./м; Т=21.

Користуючись формулами знайдемо:

Графічне зображення вартості подачі замовлення, витрат зберігання і загальної вартості запасів показано на рис.12.

Рис.12 Графічне зображення вартості подачі замовлення, витрат зберігання і загальної вартості запасів

- вартість запасів;

- вартість доставки партії замовлення.

Тобто, якщо швейна фабрика буде замовляти 400 метрів тканини через кожні 10-11 днів, то вона буде мати мінімальні витрати на доставку і зберігання тканин в розмірі 48 гривень, причому кожного місяця відбудеться дві поставки.

Приклад 2

Обсяг продажу деякого магазину складає 500 упаковок пакетного супу на рік. Величина попиту рівномірно розподіляється протягом року. Ціна покупки одного пакету складає 2 грн. За одне замовлення власник магазину повинен заплатити 10 грн. Час доставляння замовлення від постачальника складає 12 робочих днів. За оцінками спеціалістів, витрати на зберігання складають 20% середньорічної вартості замовлення. Скільки пакетів повинен замовляти власник магазину кожен раз, якщо його мета мінімізація загальної вартості запасів? Припустимо, що магазин працює 300 днів на рік, визначимо, з якою частотою потрібно здійснювати подачу замовлень і рівень повторного замовлення. Постачальник надає знижки на закупівельні ціни в залежності від розміру замовлення. Знижки на ціни, які надає постачальник подані в табл. 34

Таблиця 34. Система знижок постачальника

Розмір замовлення	Знижка, %	Ціна за упаковку, грн.
0-199	0	2,00
200-499	2	1,96
більше 500	4	1,92

Чи доцільно власнику магазина скористатись однією із знижок?

Розв'язання:

Економічний розмір замовлення складає:

Кількість пакетів, що замовляється, повинна бути цілим числом, тому приймемо значення 158 пакетів.

Мінімальне значення загальної вартості замовлення не враховуючи закупівельну ціну складає:

грн. на рік.

Загальна вартість покупки 500 упаковок пакетного супу на рік складає 63,2+2*500=1063,2 грн. Таким чином, вартість запасу складає 6% загальної вартості покупки на рік.

Подачу нового замовлення власник магазину повинен здійснювати кожен раз через 158/500 року. Оскільки магазин працює 300 днів на рік, то інтервал повторного замовлення буде дорівнювати:

днів.

Частота замовлень на рік складає nопт=500/158=3,16 разів на рік.

Обсяг продаж пакетних супів за 12 днів поставки складає (500/300)*12=20 упаковок. Відповідно рівень повторного замовлення дорівнює 20 упаковкам. Таким чином, подача нового замовлення проводиться в той момент, коли рівень запасу складає 20 пакетів.

Якщо власник магазину хоче отримати одну із знижок, то розмір замовлення збільшиться, оскільки в цьому випадку він повинен замовляти 200 упаковок супу, а не 158 як розраховано оптимальний розмір замовлення.

Оскільки розмір замовлення збільшується, то потрібно визначити зміни загальної вартості замовлення. Для цього потрібно порівняти відповідні частини трьох кривих, що позначують ціни за одиницю продукції, як 2,00; 1,96 і 1,92 грн.

Якщо закупівельна ціна дорівнює 2,00 грн. за упаковку, то розмір замовлення в екстремальній точці кривої загальної вартості дорівнює 158 упаковок, а відповідна загальна вартість покупки 500 пакетів на рік складає 1063,2 грн.

Якщо закупівельна ціна дорівнює 1,96 грн. за упаковку, то оптимальний розмір замовлення складає:

Це значення менше за нижню межу інтервалу надання першої знижки, 200-499, відповідно, екстремальна точка кривої, що відповідає закупівельній ціні в 1,96 грн. за упаковку, не є допустимим розміром замовлення. Мінімальну можливу вартість буде отримано , якщо розмір замовлення буде 200 упаковок. Мінімальна загальна вартість покупки за рік в цьому випадку буде грн.

Якщо закупівельна ціна дорівнює 1,92 грн. за упаковку, то оптимальний розмір замовлення складає:

Це значення менше, ніж нижня межа інтервалу надання другої знижки, але більше 500, відповідно, екстремальна точка кривої, що відповідає закупівельній ціні в 1,92 грн. за упаковку, не є допустимим розміром замовлення. Мінімальну можливу вартість буде отримано, якщо розмір замовлення буде 500 упаковок. Мінімальна загальна вартість покупки за рік в цьому випадку буде грн.

Порівняємо три отриманих рішення в табл. 35.

Таблиця 35. Порівняння мінімальних значень загальної вартості замовлень, що відповідають трьом рівням закупівельних цін

Ціна однієї упаковки, грн.	Розмір замовлення	Мінімальна загальна вартість замовлення, грн.
2,00	158	1063,20
1,96	200	1044,20
1,92	500	1066,00

Таким чином, для власника магазину доцільно використовувати тільки першу знижку, для отримання якої йому потрібно замовити 200 упаковок супу. Це рішення призведе до зниження загальної вартості замовлення на 19 грн. на рік (1063,20-1044).

Факторний аналіз досліджуваних показників (дослідження впливу окремих факторів на результуючий показник)

Приклад 1

Визначити вплив зміни факторів (вартості одиниці сировини і кількості сировини, що необхідна для виготовлення одиниці продукції) на зміну загальної собівартості продукції індексним методом.

Таблиця 36. Вихідні дані

Показники	Вартість одиниці сировини, грн.	Кількість одиниць сировини, шт.
	Сировина 1	Сировина 2	Сировина 1	Сировина 2
Попередній період	20	17	240	115
Поточний період	22	16	238	121

Розв'язання:

Собівартість у попередньому періоді:

грн.

- вартість одинці сировини і-того виду у попередньому періоді;

- кількість одиниць сировини і-того виду у попередньому періоді.

n - кількість видів сировини (n=2).

Собівартість у поточному періоді:

грн.

- вартість одинці сировини і-того виду у поточному періоді;

- кількість одиниць сировини і-того виду у поточному періоді.

n - кількість видів сировини (n=2).

Загальна зміна собівартості продукції:

грн.

Загальний індекс зміни собівартості продукції:

.

Зміна собівартості за рахунок зміни кількості сировини:

грн.

Індекс змін собівартості продукції за рахунок зміни кількості сировини:

.

Зміна собівартості за рахунок зміни вартості одиниці сировини:

грн.

Індекс змін собівартості продукції за рахунок зміни кількості сировини:

.

Перевірка: грн.

.

У результаті факторного аналізу індексним методом виявлено, що за розглянутий проміжок часу собівартість реалізації продукції збільшилась на 417 грн., з 6755 грн. в попередньому періоді до 7172 грн. в поточному періоді, тобто в 1,062 рази, при чому за рахунок змін кількості виготовляємої продукції собівартість зросла на 62 грн., тобто у 1,009 рози, а за рахунок зміни вартості одиниці сировини собівартість збільшилась на 355 грн., тобто у 1,052 рази. Отже, у розглянутому періоді значно більший вплив на зміну собівартості продукції мала зміна вартості одиниці сировини, ніж зміна кількості виготовленої продукції.

Приклад 2

Визначити вплив факторів (коефіцієнта оборотності і середньорічної вартості оборотних коштів) на зміну результативного показника - виручки від реалізації продукції методом ланцюгових підстановок.

Таблиця 37. Вихідні дані

Показники	Коефіцієнт оборотності, об. на рік	Середньорічна вартість оборотних коштів, тис. грн.
Попередній період	24	368
Поточний період	25,4	375

Розв'язання:

Виручка у попередньому періоді:

тис. грн.,

де К₀ - коефіцієнт оборотності оборотних коштів у попередньому періоді;

ОК₀ - вартість оборотних коштів у попередньому періоді.

Виручка у поточному періоді:

тис. грн.,

де К₁ - коефіцієнт оборотності оборотних коштів у поточному періоді;

ОК₁ - вартість оборотних коштів у поточному періоді.

Загальна зміна виручки:

тис. грн.

Зміна виручки за рахунок зміни середньорічної вартості оборотних коштів:

тис. грн.;

Зміна виручки за рахунок зміни коефіцієнта оборотності оборотних коштів:

тис. грн.

Перевірка: 168+525=693 тис. грн.

Приклад 3

Визначити вплив зміни факторів (власного і позиченого капіталів) на зміну результативного показника (коефіцієнта фінансової автономії) методом простого додавання нерозкладаного залишку.

Таблиця 38. Вихідні дані

Показники	Власний капітал, тис. грн.	Позичений капітал, тис. грн.
Попередній період	35	35
Поточний період	36	33

Розв'язання:

Значення коефіцієнта автономії у попередньому періоді:

,

де ВК₀ - власний капітал підприємства у попередньому році;

ПК₀ - позичений капітал підприємства у попередньому році.

Значення коефіцієнта автономії у поточному періоді:

,

де ВК₁ - власний капітал підприємства у поточному році;

ПК₁ - позичений капітал підприємства у поточному році.

Загальна зміна коефіцієнта автономії:

.

Варіант 1.

Зміна коефіцієнта автономії за рахунок зміни власного капіталу:

.

Зміна коефіцієнта автономії за рахунок зміни позиченого капіталу:

.

Перевірка: .

Отже, за цим варіантом на зміну показника автономії більше впливала зміна позиченого капіталу, за рахунок якої коефіцієнт автономії збільшився на 0,0147, а за рахунок зміни власного капіталу він зріс лише на 0,00704.

Варіант 2.

Зміна коефіцієнта автономії за рахунок зміни позиченого капіталу:

.

Зміна коефіцієнта автономії за рахунок зміни власного капіталу:

.

Перевірка: .

Отже, за цим варіантом на зміну показника автономії більше впливала зміна позиченого капіталу, за рахунок якої коефіцієнт автономії збільшився на 0,0147, а за рахунок зміни власного капіталу він зріс лише на 0,006994.

Приклад 4

Розрахувати зміну місячного фонду оплати праці за рахунок зміни факторів: кількості працівників, величини годинної оплати праці і кількості годин, відпрацьованих одним працівником, методом зважених кінцевих різниць (паралельним методом).

Таблиця 39. Вихідні дані

Показники	Базовий період	Звітний період
Кількість працівників,осіб	45	42
Величина погодинної оплати праці, грн./год.	7	9
Кількість відпрацьованих годин за місяць одним працівником	168	182

Розв'язання:

Місячний фонд оплати праці у базовому періоді:

грн.,

де Ч₀ - чисельність працівників у базовому періоді,

Оп₀ - величина погодинної оплати праці у базовому періоді,

Кг₀ - кількість відпрацьованих годин за місяць одним працівником у базовому періоді.

Місячний фонд оплати праці у звітному періоді:

грн.,

де Ч₁ - чисельність працівників у звітному періоді,

Оп₁ - величина погодинної оплати праці у звітному періоді,

Кг₁ - кількість відпрацьованих годин за місяць одним працівником у звітному періоді.

Розраховуємо вплив зміни факторів (кількості працівників, величини погодинної оплати праці та кількості відпрацьованих годин) на зміну результативного показника методом ланцюгових підстановок з різною послідовністю підстановок (у нашому випадку для трьох факторів таких варіантів підстановок буде 6).

1-й варіант підстановки:

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості працівників:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін величини погодинної оплати праці:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості відпрацьованих годин:

грн.;

2-й варіант підстановки:

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості працівників:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін величини погодинної оплати праці:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості відпрацьованих годин:

грн.;

3-й варіант підстановки:

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості працівників:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін величини погодинної оплати праці:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості відпрацьованих годин:

грн.;

4-й варіант підстановки:

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості працівників:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін величини погодинної оплати праці:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості відпрацьованих годин:

грн.;

5-й варіант підстановки:

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості працівників:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін величини погодинної оплати праці:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості відпрацьованих годин:

грн.;

6-й варіант підстановки:

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості працівників:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін величини погодинної оплати праці:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості відпрацьованих годин:

грн.;

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості працівників методом зважених кінцевих різниць:

грн.

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін величини погодинної оплати праці методом зважених кінцевих різниць:

грн.

Зміна фонду оплати праці за рахунок змін кількості відпрацьованих годин методом зважених кінцевих різниць:

грн.

Перевірка:

грн.

У результаті факторного аналізу методом зважених кінцевих різниць виявлено, що за розглянутий проміжок часу місячний фонд оплати праці збільшився на 15876 грн. з 52920 грн. в базовому періоді до 68796 грн. у звітному періоді, зокрема за рахунок зміни кількості працівників місячний фонд оплати праці зменшився на 4207 грн., за рахунок зміни погодинної оплати праці - зріс на 1528 грн., а за рахунок зміни кількості відпрацьованих годин одним працівником - зріс на 4865 грн. Отже, значно більший вплив на збільшення фонду оплати праці мала зміна кількості відпрацьованих годин, ніж зміна погодинної оплати праці, проте зміна кількості працівників мала негативний вплив на зміну фонду оплати праці.

Приклад 5

Визначити вплив зміни факторів (кількість і ціни) на обсяг реалізованої продукції логарифмічним методом.

Таблиця 40. Вихідні дані

Показники	Базовий рік	Звітний рік
Кількість одиниць реалізованої продукції, шт.	2050	2234
Ціна одиниці реалізованої продукції, грн.	54	61

Розв'язання:

Обсяг реалізованої продукції в базовому році:

грн.,

де Q₀ - кількість реалізованої продукції у базовому році;

P₀ - ціна одиниці реалізованої продукції у базовому році.

Обсяг реалізованої продукції у звітному році:

грн.,

де Q₁ - кількість реалізованої продукції у звітному році;

P₁ - ціна одиниці реалізованої продукції у звітному році.

Загальна зміна обсягу реалізованої продукції:

грн.

Зміна обсягу реалізованої продукції за рахунок зміни кількості реалізованої продукції:

грн.

Зміна обсягу реалізованої продукції за рахунок зміни ціни одиниці продукції:

грн.

Перевірка:

грн.

Висновки: У результаті факторного аналізу логарифмічним методом виявлено, що за розглянутий проміжок часу обсяг реалізованої продукції збільшився на 25574 грн. з 110700 грн. до 136274 грн., зокрема за рахунок зміни кількості одиниць реалізованої продукції збільшився на 10576,14 грн., за рахунок зміни ціни одиниці продукції зріс на 14997,86 грн. Отже, дещо більший вплив на збільшення обсягу реалізованої продукції мала зміна ціни одиниці продукції, ніж зміна кількості одиниць реалізованої продукції.

Приклад 6

Визначити вплив факторів (кількості і собівартості одиниці продукції) на загальну собівартість продукції інтегральним методом.

Таблиця 41. Вихідні дані

Показники	Попередній рік	Звітний рік
Кількість одиниці реалізованої продукції, од.	984	1067
Собівартість одиниці реалізованої продукції, грн.	83	87

Розв'язання:

Загальна собівартість продукції в попередньому році:

грн.,

Загальна собівартість продукції у звітному році:

грн.,

де Q₀, Q₁ - кількість одиниць реалізованої продукції відповідно у попередньому і звітному році;

С₀, С₁ - собівартість одиниці реалізованої продукції відповідно у попередньому і звітному році.

Загальна зміна собівартості реалізованої продукції:

грн.

Функція загальної собівартості є функцією двох змінних - кількості одиниць реалізованої продукції і та собівартості одиниці реалізованої продукції.

.

Часткова похідна загальної собівартості продукції за кількістю одиниць реалізованої продукції:

.

Часткова похідна загальної собівартості продукції за собівартістю одиниці реалізованої продукції:

.

Зміна кількості реалізованої продукції:

одиниці.

Зміна собівартості одиниці реалізованої продукції:

грн.

Відношення зміни собівартості одиниці реалізованої продукції до зміни кількості реалізованої продукції:

.

Для зручності інтегрування по одній змінній приймаємо, що собівартість одиниці реалізованої продукції змінюється прямо пропорційно до зміни кількості реалізованої продукції:

.

Зміна загальної собівартості реалізованої продукції за рахунок зміни кількості одиниць реалізованої продукції:

Зміна загальної собівартості реалізованої продукції за рахунок зміни собівартості одиниці реалізованої продукції:

Перевірка:

грн.

Висновки: У результаті факторного аналізу інтегральним методом виявлено, що за розглянутий період загальна собівартості продукції збільшилася на 11157 грн. з 81672 грн. до 92829 грн. Зокрема, за рахунок зміни кількості реалізованої продукції загальна собівартість зросла на 7055 грн., за рахунок зміни собівартості одиниці реалізованої продукції - зросла на 4102 грн. отже більший вплив на збільшення загальної собівартості продукції мала зміна кількості реалізованої продукції.

Приклад 7

Використовуючи інтегральний метод оцінити вплив на рентабельність інвестиційної діяльності підприємства змін чистого прибутку, власного капіталу і довгострокових зобов'язань за даними, що наведено у табл. 42.

Таблиця 42. Вихідні дані

Показник	За попередній період, тис. грн.	За звітний період, тис. грн.	Абсолютне відхилення, тис. грн.	Відносне відхилення, %
Чистий прибуток (ЧП), тис. грн.	129,5	182,8	53,3	41,16
Власний капітал (ВК), тис. грн.	7815	9274	1459	18,67
Довгострокові зобов'язання (ДЗ), тис. грн.	400	535	135	33,75
Рентабельність інвестиційної діяльності підприємства (Р), %	1,58	1,86	0,287	-

Розв'язання:

;

;

.

.

Висновки: У результаті факторного аналізу інтегральним методом виявлено, що за розглянутий період рентабельність інвестиційної діяльності підприємства збільшилася на 0,00593 процентні пункти. За рахунок зміни власного капіталу рентабельність знизилась на 0,0028 процентні пункти, за рахунок зміни довгострокових зобов'язань - зменшилась на 0,00026 процентні пункти. Отже позитивно вплинуло на збільшення рентабельності інвестиційної діяльності серед досліджуваних факторів лише збільшення чистого прибутку.

Аналіз ризику інвестиційного проекту за допомогою методів чутливості і сценарного аналізу

Головна ідея аналізу власного ризику проекту - це оцінка невизначеності сподіваної чистої приведеної вартості від даного проекту.

Практично всі розрахункові значення грошових потоків, на котрих базується проектний аналіз, є сподіваними значеннями випадкових величин з відомими законами розподілу ймовірностей. Ці розподіли можуть мати більшу або меншу варіацію, що відображує більшу або меншу ступінь ризику.

Найбільш поширені такі методи оцінки власного ризику:

1. Аналіз чутливості.

2. Сценарний аналіз.

3. Імітаційне моделювання методом Монте-Карло.

4. Аналіз точки беззбитковості.

Аналіз чутливості - техніка аналізу проектного ризику, яка показує, як змінюється значення вихідних грошових потоків проекту при заданій зміні вхідної змінної за інших незмінних умов.

Алгоритм аналізу чутливості:

1. Визначення ключових вхідних змінних, які впливають на чисту приведену вартість проекту і є найбільш цікавими для аналітика.

2. Встановлення аналітичної залежності чистої приведеної вартості проекту від ключових вхідних змінних.

3. Розрахунок базової ситуації - встановлення сподіваного базового значення чистої приведеної вартості при сподіваних базових значення ключових змінних.

4. Зміна однієї із вхідних ключових досліджуваних змінних на деяку величину (у %), при цьому інші ключові змінні мають фіксоване значення.