Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• Обзор методов
• Постановка задачи
• Раздел I Основная часть. Сведения математических моделей сетей
• 1.1 Математические модели сетей связи
• 1.2 Вывод систем дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей состояний моделей
• 1.3 Матричное представление систем дифференциальных уравнений, определяющих коммуникационные сети
• 1.4. Матричное представление систем, определяющих коммуникационные сети
• Раздел II Исследование результатов. Модели коммуникационных сетей
• 2.1 Матричное представление системы, определяющих функционирование сетей
• 2.2 Метод асимптотического анализа
• 2.3 Асимптотический анализ коммуникационных сетей
• 2.4 Численное исследоавание коммуниакационной сети
• 2.4 Многоканальные сети с различными протоколами обслуживания
• 2.5 Возможности исследования математических моделей различных сетей связи
• Заключение
• Список использованной литературы


Введение

Целью данной дипломной работы является создание математической модели коммуникационных сетей.

Для создания адекватной модели помимо знания факторов, влияющих на стоимость услуги, необходимо достаточно глубокое изучение физических основ её оказания и технических характеристик. С этой целью в процессе работы были изучены, а в настоящей пояснительной записке изложены основные технические характеристики и способы расчетов.

В качестве базы для моделирования были предоставлены данные о примеры работы коммуникационных сетей.

Спрос определяется способностью потреблять традиционные услуги связи и в определенной степени генерировать потребность в новых. Спрос и предложение складываются под воздействием множества факторов, которые, взаимодействуя, формируют закономерности развития рынка услуг связи и его конъюнктуру.

Проблема прогнозирования, вследствие быстрых, порой плохо предсказуемых изменений внешней среды, за последнее десятилетие стала особенно сложной. С учетом этих трудностей и критичности ошибок в прогнозах некоторые специалисты были вынуждены заговорить о тщетности прогнозирования. На самом деле прогнозирование -- это обязанность, которую в явной или неявной форме неизбежно должны выполнять все фирмы. сеть связь асимптотический коммуникационный

Ясно, что в условиях турбулентной внешней среды интуиция и воображение способны стать важными инструментами восприятия реальности, дополняя количественные подходы, которые, по определению, опираются только на наблюдаемые факторы. С другой стороны, понятно, что чисто качественному методу также присущи значительные погрешности и что интуиция должна в возможно большей степени проверяться с помощью доступных фактов и знаний. Таким образом, следует обеспечить совместное использование этих двух подходов.

Методы математического моделирования и создаваемая модель, призваны помочь сотрудникам службы маркетинга, в частности лицам, принимающим решения, в выборе наиболее эффективных маркетинговых мероприятий, а также в выборе и обосновании тарифных планов.



Обзор методов

С прикладным коммуникативным анализом мы сталкиваемся, решая конкретные задачи в области коммуникации. В частности, прикладные задачи ставятся для таких стандартных коммуникативных потоков, как PR, реклама, пропаганда.

Прикладной коммуникативный анализ отслеживает составляющие коммуникативной цепочки: при наличии одного из ее звеньев делаются предсказания на наиболее вероятный вид другой.

Математическая модель

К. Шеннон выделил три уровня коммуникации: технический, семантический и уровень эффективности. Технические проблемы связаны с точностью передачи информации от отправителя к получателю. Семантические проблемы - с интерпретацией сообщения получателем сравнительно с тем значением, которое было послано отправителем. Проблема эффективности отражает успешность, с которой удается изменить поведение в связи с переданным сообщением.

Систему коммуникации, по мнению К. Шеннона, можно представить в следующем виде: центральная проблема - это вопрос передачи информации, но при этом главным становится не то, что сказано, а то, что могло быть сказано. Информация есть степень свободы выбора при выборе сообщения. Когда вы имеете выбор из двух альтернативных сообщений, тогда можно условно говорить, что информация равна единице. Информация (или энтропия) в этой модели предстает с точки зрения свободы выбора. Можно высчитать максимальную энтропию, которую в состоянии иметь этот источник с тем же набором символов. Естественный язык в этом плане избыточен: так, для английского эта цифра составляет 50 %. Такая высокая избыточность позволяет исправлять ошибки, возникающие при передаче: чем больше уровень шума, тем избыточность необходимее.

К. Шеннон также предлагает на пути от источника к получателю поставить еще один элемент - семантический шум. Он будет отражать изменения в значении, которые невольно вносит источник информации.

Таким образом, применяя такую модель при разработке и осуществлении PR и рекламной деятельности, необходимо учитывать тот факт, что восприятие той или иной информации положительно возрастает при наличии признака альтернативности. Например, существует огромное количество рекламы на ТВ, которая представляет свой товар наряду с другими и выделяет отличительные признаки, характеризующие этот товар как наиболее оптимальный и лучший. Здесь отслеживается та самая «шенноновская недосказанность», которая свидетельствует о том, что все другие аналоги нашей продукции неприемлемы и намного хуже по своим качественным характеристикам, чем наш товар.

Кибернетическая модель

Здесь нас интересует только один аспект - обратная связь. Н. Винер приводит пример термостата, поддерживающего температуру приблизительно на постоянном уровне. Любая система работает эффективно, когда она получает информацию о состоянии этой системы и на основе ее модернизирует свои управляющие сигналы. По мнению Н. Винера, информация, поступающая обратно в управляющий центр, стремится противодействовать отклонению управляемой величины от управляющей.

В отдельной главе Н. Винер рассматривает функционирование общественной информации. Например, группа необщественных животных имеет мало информации, поскольку ее члены недостаточно взаимодействуют, делятся информацией. В случае эффективной организации - информации больше, чем содержит каждый из ее отдельных членов. Это же относится и к людям.

Каждая организация имеет в своей структуре отдел, занимающийся вопросами PR и рекламы. Он производит системный анализ собранной информации, которая несет в себе элементы отношения общественности к деятельности данной организации и к продукции, которую она производит. Здесь как раз и применяется кибернетическая модель коммуникации, а именно - модель обратной связи. Проанализированная информация составляет ядро дальнейших действий в области PRи рекламы. На ней базируются перспективы роста компании, укоренения в сознании людей позитивности данной организации.

В продолжение этого подхода С. Бир определяет обратную связь как возврат части выходной информации на ее вход, которая затем изменится. По его мнению, положительная обратная связь вызывает увеличение уровня сигнала на выходе и, следовательно, на входе; отрицательная обратная связь при увеличении сигнала на выходе вызывает уменьшение сигнала на входе и, таким образом, в принципе, является стабилизирующей.

Следует отметить, что в системе обратной связи должна присутствовать только достоверная информация. В противном случае система не работает, т.к. направления деятельности субъекта PR изменяются и ведут совсем не в ту сторону. Поэтому многие организации, где нет эффективно работающего PR-отдела, зачастую дольше добиваются желаемого результата.

Разведывательная модель

Книга В. Плэтта «Информационная работа стратегической разведки» выглядит как типичный учебник по журналистике. И это понятно. Ее реальная суть - умение эффективно собирать и анализировать фактическую информацию.

Можно предположить, что логичнее данную модель следовало рассмотреть перед моделью обратных связей, однако это представляется ошибочным, т.к. предыдущая модель убедила нас в необходимости сбора информации для PR, а теперь мы будем рассматривать, как эффективно это делать. Поэтому в основе подхода лежит взгляд на информационную работу как на профессию.

По мнению В. Плэтта, полезность разведывательной информации определяется такими качествами, как полнота, точность и своевременность. Последняя характеристика весьма важна для потоков коммуникации в разведке, т.к. время играет особую роль и по той причине, что со временем происходит падение ценности информации. Средние нормы падения ценности информации выглядят следующим образом. Оперативно-тактическая разведывательная информация теряет 10 % ценности в день. Информация стратегической разведки во время войны теряет 10 % ценности в месяц. В мирное время - 20 % ценности в год.

Однако следует заметить, что в связи с огромной скоростью происходящих в мире изменений, ростом научно-технического прогресса эти данные также устаревают и снижение ценности информации со временем увеличивается.



Постановка задачи

Рациональное построение транспортной сети телекоммуникационной

системы (ТС ТКС) включает следующий комплекс задач [1], [2]:

- обоснование свойств и возможностей ТС по передаче потоков информации с учетом различных ее состояний;

- разработка методики и алгоритмов синтеза структуры ТС с взаимоувязанным решением задачи по формированию системы сетевой тактовой

синхронизации (ССТС) и системы единого времени (СЕВ);

- обеспечение требуемой структурно-потоковой устойчивости (СПУ);

- эффективное управление пропускной способностью в процессе функционирования ТС.

Для решения перечисленных задач необходима разработка унифицированного методического аппарата для принятия научно обоснованных решений по рациональному построению ТС ТКС. В основу разрабатываемого методического аппарата должна быть положена совокупность математических моделей, методик и алгоритмов анализа и синтеза ТС.



Раздел I Основная часть. Сведения математических моделей сетей

1.1 Математические модели сетей связи

Одноканальные сети связи с оповещением о конфликте

Сеть связи с оповещением о конфликте объединяет большое число территориально-распределенных абонентских станций общим ресурсом, в качестве которого может быть моноканал в сетях шинной топологии, пассивный центральный узел в звездообразных сетях или спутниковый канал связи в спутниковых сетях. Доступ к общему ресурсу реализуется протоколом случайного множественного доступа, то есть любая абонентская станция, сформировав сообщение для передачи, немедленно отправляет его в общий ресурс. При этом возможно наложение передаваемых сообщений от двух и более абонентских станций. В этом случае сообщения искажаются и требуют повторной передачи. Такая ситуация называется конфликтом. От момента возникновения конфликта рассылается сигнал оповещения о конфликте. Предполагается, что в сети существует возможность обнаружения возникающих конфликтов и реализация сигнала оповещения. Если ресурс свободен, начинает осуществляться передача сообщения, которая считается успешной, если в это время не поступали другие сообщения. Сообщения, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, считаются искаженными и подлежат повторной передаче после случайной задержки, говорят, что они переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Далее процедура повторяется.

Создание и эксплуатация подобных сетей сопряжены с большим количеством сложностей и требуют вложения значительных ресурсов, поэтому особенно актуальной становится проблема нахождения возможных характеристик работы сети связи и определение оптимальных значений ее параметров еще на этапе проектирования. В качестве основных характеристик работы сети могут выступать пропускная способность сети, вероятность возникновения конфликта, среднее число повторных попыток, требующихся для успешной передачи, среднее время доставки сообщения и т.д. Для исследования описанной сети связи и нахождения ее характеристик применяется метод математического моделирования и аппарат теории массового обслуживания.

В качестве математической модели описанной сети связи можно рассмотреть однолинейную систему массового обслуживания (СМО), на вход которой поступает простейший поток заявок с параметром ? . Обслуживающий прибор может находиться в

одном из трех состояний:

k ? 0 , если свободен;

k ? 1 , когда он занят;

k ? 2 , когда на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, немедленно начинает обслуживаться. Если за это время другие требования не поступали, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в ИПВ, из которого вновь обращаются с попыткой повторного обслуживания. Повторное обращение происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром ? . Время обслуживания заявок рекуррентное с функцией распределения B(s) .

Длины интервалов оповещения о конфликте имеют функцию распределения A(s) . Обозначим через i число заявок в ИПВ.

Модель будем называть марковской, если функции распределения

B(s) и

A(s)

экспоненциальные с параметром ? для обслуживания и 1/ a для оповещения о конфликте.

Одноканальные сети связи с h-настойчивым протоколом обслуживания

Аналогичную структуру имеют также h-настойчивые одноканальные сети связи. В них изменен сам протокол обслуживания: после конфликта каждая абонентская станция,сообщение которой искажено, с вероятностью

(1 ? h)

отказывается от дальнейшихпопыток повторных передач, а с вероятностью h такую попытку повторяет.

Одноканальные сети связи с резервированием канала и оповещением о конфликте

Отличие сети связи с резервированием канала и оповещением о конфликте (сети Ethernet, IEEE 802.3) от сети с оповещением о конфликте заключается в том, что в сети с резервированием канала абонентская станция, прежде чем начать передачу сообщения, посылает сигнал запрос на резервирование канала. Конфликты возможны лишь между этими запросами. Если резервирование канала реализовано успешно, то передаваемое сообщение не искажается, а запросы, поступившие в это время, переходят в ИПВ.

Следовательно, в качестве математической модели такой сети можно рассмотреть однолинейную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью ? . Прибор может находиться в одном из четырех состояний: k ? 0 , когда прибор свободен;

k ? 1 , если на приборе реализуется первый этап обслуживания (т.е. всети передается сигнал запрос); k ? 2 , на приборе второй этап обслуживания (т.е. в канале осуществляется передача сообщения);

k ? 3 , когда прибор находится в состояния оповещения о конфликте. Поступившая заявка занимает прибор, если он свободен. Если прибор находится в состоянии k ? 1 , то обе заявки - поступившая и обслуживаемая - переходят в ИПВ, а прибор переходит в состояние k ? 3 - оповещение о конфликте. Если прибор находится в состояниях k ? 2

и k ? 3 , то поступившая заявка переходит в ИПВ,не искажая текущих режимов обслуживающего прибора. Обозначим i - число заявок в ИПВ. Заявки из ИПВ обращаются к прибору после случайной задержки, длительность которой распределена по экспоненциальному закону с параметром ? .

Математическую модель для данной сети будем называть марковской, если продолжительность обслуживания в любом из трех режимов имеет экспоненциальное обслуживание с параметрами: ?k , k ? 1,2,3 .

Двухканальные сети случайного доступа с оповещением о конфликте

Рассмотрим математическую модель двухканальной сети случайного доступа с оповещением о конфликте. Отличие данных сетей от описанных выше заключается в том, что в системе имеется два канала связи. При этом возможны различные реализации протоколов распределения заявок между этими каналами. В качестве примера рассмотрим протокол, при котором сообщения распределяются между каналами по биномиальной схеме, в остальном протокол сети аналогичен протоколу сети связи с оповещением о конфликте.

В качестве математической модели двухканальной сети случайного доступа рассмотрим двулинейную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок интенсивности ? . С вероятностью r поступившая заявка обращается к первому, а с вероятностью (1? r) ко второму прибору.

Если соответствующий прибор занят обслуживанием другой заявки, то обе попадают в конфликт и переходят в источник повторных вызовов. От этого момента в соответствующем канале начинает распространяться сигнал оповещения о конфликте.

При этом возможны две ситуации:

Сигналы оповещения о конфликтах на первом и втором приборах неразличимы.

Сигналы оповещения о конфликтах на первом и втором приборах различимы физически или информационно.

Естественно, что во втором случае поступившая заявка обращается к тому прибору, для которого отсутствует сигнал оповещения о конфликте.

В данной работе рассмотрим ситуацию, когда сигналы оповещения о конфликтах неразличимы. Заявки, обратившиеся к прибору во время распространения сигнала оповещения, переходят в ИПВ. Если заявка принята к обслуживанию, и в течение этого времени другие заявки к данному прибору не обращались, то обслуженная заявка покидает систему. После задержки в ИПВ, время задержки случайно и распределено по экспоненциальному закону с параметром ? , заявка вновь обращается к одному из приборов по вышеописанной схеме с повторной попыткой успешного обслуживания.

Математическую модель для данной сети будем называть марковской, если, вопервых, время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметрами ?1для первого и ? 2 для второго прибора, а, во-вторых, сигналы оповещения о конфликте случайной продолжительности имеют экспоненциальное распределение с параметрами 1 a1 и 1 a2 для первого и второго каналов соответственно. Здесь a1 и a2 средние значения времени распространения сигнала оповещения.

Состояния приборов определяются двумерным вектором

(k1 , k2 ) , где

k? ? 0 , если прибор свободен,

k? ? 1, если в нем обслуживается заявка и

k ? ? 2 , если на приборе

реализуется сигнал оповещения о конфликте. Состояние источника повторных вызовов определим величиной i - число заявок в ИПВ. Состояние сети в целом определяется трехмерным вектором ?k1, k2 , i?.

Двухканальные и многоканальные сети случайного множественного доступа со статическими протоколами обслуживания

Аналогичным образом можно описать модели и других двухканальных и многоканальных сетей связи, в частности:

двухканальной сети связи, управляемой протоколом случайного множественного доступа с резервированием канала и оповещением о конфликте;

h-настойчивые двухканальные сети связи;

многоканальные сети связи с различными статическими протоколами обслуживания (с оповещением о конфликте, с оповещением о конфликте и резервированием канала, h-настойчивые, с протоколом модифицированная АЛОХА и т.д.).

1.2 Вывод систем дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей состояний моделей

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из задачи 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния S_i в S_j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями l_ij(i, j=0,1,2,3); так, переход системы из состояния S₀ в S₁ будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S₁ в S₀ -- под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п. Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S₀, S₁, S₂, S₃. Вероятностью i-го состояния называется вероятность p_i(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_i. Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице: . Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток Dt, найдем вероятность p₀(t+Dt) того, что система в момент t+ Dt будет находиться в состоянии S₀. Это достигается разными способами. 1. Система в момент t с вероятностью p₀(t) находилась в состоянии S₀, а за время Dt не вышла из него. Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью (l₀₁+l₀₂), т.е. в соответствии с (15.7), с вероятностью, приближенно равной (l₀₁+l₀₂)Dt. А вероятность того, что система не выйдет из состояния S₀, равна [1-(l₀₁+l₀₂)Dt]. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₀, по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии S₀ и не выйдет из него за время Dt), равна по теореме умножения вероятностей: . 2. Система в момент t с вероятностями р₁(t) (или p₂(t)) находилась в состоянии S₁ или S₂ и за время Dt перешла в состояние S₀. Потоком интенсивностью l₁₀ (или l ₂₀ -- см. рис. 1) система перейдет в состояние S₀ с вероятностью, приближенно равной l₁₀Dt (или l₂₀Dt). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₀ по этому способу, равна р₁(t)Чl₁₀Dt (или р₂(t)Чl₂₀Dt). Применяя теорему сложения вероятностей, получим , откуда , Переходя к пределу при Dt®0 (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную p'₀(t) (обозначим ее для простоты p'₀): . Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка. Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(9)

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части -- сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния). В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8). Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном, случае вероятности состояний системы в начальный момент t = 0. Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии S₀, т.е. при начальных условиях p₀(0)=1, p₁(0)=p₂(0)=p₃(0)=0. Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы p_i(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t® Ґ, которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

1.3 Матричное представление систем дифференциальных уравнений, определяющих коммуникационные сети

Процедура преобразования дифференциального уравнения -го порядка в векторно-матричное уравнение, состоящее издифференциальных уравнений первого порядка, осуществляется путем введения дополнительных переменных. Эти дополнительные переменные называются переменными состояния системы, объекта.

Рассмотрим алгоритм такого преобразования на примере. Допустим, динамическое движение системы описывается уравнением



где - задающее (входное) воздействие,- выходная переменная.

Введем дополнительные переменные и обозначим:

Тогда исходное уравнение представляется в виде системы уравнений, в которых слева от знака равенства первые производные введенных переменных:

(6.4)

Каждое уравнение этой системы уравнений записано в форме Коши. В векторно-матричной форме система (6.4) принимает следующий вид

или в компактной форме

,

где - вектор 3-го порядка матрица переменных состояния;- матрица коэффициентов переменных состояния матрица ;- вектор 3-го порядка матрица коэффициентов задающего воздействия;- скалярное управляющее воздействие.



1.4 Матричное представление систем, определяющих коммуникационные сети

Графическое предстаавление сетей (особенно содержаащих большое количесатво дуг и узлов) в виде сетевых диаграмм неудобно для хранения, обработаки, анализа и, в первую очередь, компьютаерной реализаации алгоритамов сетевого анализа. Взаимосвязь между узлами сети, а также количесатвенные характеаристики дуг сети (величины потоков, направлаения и т.п.) могут быть предстаавлены с помощью матриц смежносати и потоков. Матричное предстаавление сетей обеспечаивает возможнаость хранения и обработаки сетей в электроанном виде.

Матрицей смежносати ориентиарованной сети называеатся квадратаная матрица , где:

.

Очевидно, что матрица смежносати - это матрица размера, где- количесатво узлов сетиG. Приведем в качестве примера матрицу смежносати сети, изображаенную на рис. 3.9:

В терминах матриц смежносати легко формулиаруются не только основные определаения, приведеанные в п.п. 3.4.1, но и многие другие свойства сетей. Например, в матрице смежносати связной сети строка (столбец) с номером i состоит из одних нулей тогда и только тогда, когда в этой сети узел с номеромi является стоком (источниаком). Единица на главной диагонаали матрицы смежносати означает наличие петли у соответаствующего узла, след матрицыХ

равен общему числу петель в сети. Сеть не содержит петель тогда и только тогда, когда

Сумма всех элементаов матрицы смежносати равна числу дуг в сети G:

Каждый столбец матрицы смежносати древовиадности содержит не более одной единицы, и у такой матрицы обязатеально имеется один нулевой столбец, соответаствующий корню дерева. Это означает, что связная сеть тогда и только тогда - древовиадность, когда

т.е. число дуг в этой сети на единицу меньше числа узлов.

Для предстаавления и хранения информаации о раскрасаке данной сети удобно ввести понятие вектора раскрасаки сетиG.Пусть множеставо узлов сетиG состоит изnэлементов, и каждый узелпомечен меткой(т.е. выкрашен в цвет). Вектором раскрасаки сетиG будем называтьn-мерный вектор,i-ая компонеанта которого есть цвет (метка) узла. Пример: вектор- это вектор раскрасаки сети, изображаенной на рис. 3.13. Очевидно, что задание вектора раскрасакиоднознаачно определаяет раскрасаку даннойn-элементаной сети.

Для организаации, хранения и обработаки информаации не только о наличии связей между узлами в сетях, но и о количесатвенных характеаристиках потоков между этими узлами использауется понятие «матрица потоков сети» .

C формальаной точки зрения потоком в сети называеатся произвоальная функция:А R, определаенная на множеставе дуг сети так, что ее значение на дугеудовлетаворяет следующаим условиям:

1) для всех дуг

2) , где- некотораая фиксироаванная констаната - пропусканая способнаость дуги.

Необходимо отметить, что в математаической литератауре, посвящеанной анализу сетей, в определаение потока добавляают еще одно (третье) условие: условие сохранеания потока. Оно выражает тот факт, что в узле, не являющиамся ни источниаком, ни стоком, количесатво втекающаего равно количесатву вытекаюащего, т.е. в таком узле ничего не пропадаает и поток через такой узел сохраняается. Математически условие сохранеания потока записываается так:

т.е. cумма всех потоков, входящих в узел j, равна сумме всех потоков, из этого узла выходящаих. Далее не будем заранее связываать себя подобным ограничаением, поскольаку в реальной ситуации, при рассмотарении, скажем, финансоавых потоков, суммы входящих и исходящаих потоков за данный период времени, как правило, различны, и измененаие финансоавых потоков в данном узле (хозяйставующем субъекте) - это одна из важнейшаих количесатвенных характеаристик рассматариваемого субъекта.

Матрица потоков сети определаяется аналогиачно матрице смежносати следующаим образом:

Для реализаации некотораых алгоритамов иногда удобней и естестваенней бывает определаить матрицу потоков следующаим образом:

Использование символа бесконеачности разумно, когда под потоком подразуамевается стоимосать перевозаок из пунктаi в пункт j. Если из пункта i в пункт j нет дороги (в сети нет дуги ), то перевозака невозмоажна и ее стоимосать бесконеачна.

Приведем в качестве примера матрицу потоков сети, изображаенной на рис. 3.9.

Основные свойства матрицы потоков во многом аналогиачны свойстваам матрицы смежносати: ненулеваое число на главной диагонаали означает наличие петли, нулевые столбцы соответаствуют источниакам, нулевые строки - стокам сети. Условие сохранеания потока в данном узле j предстаавляется особенно ясным - сумма всех элементаов вj-ом столбце должна быть равна сумме всех элементаов j-ой строки.

Для нас в теории сетей крайне важно то обстоятаельство, что задание матрицы смежносати, вектора раскрасаки и матрицы потоков сети определаяет эту сеть с точностаью до изоморфаизма, т.е. по данному вектору раскрасаки и матрицам смежносати и потоков можно восстанаовить всю сетевую диаграмаму. Получается, что задание сети, т.е. построеание математаической модели сетевого объекта исследоавания (структуары управлеания, системы связей между структуарными единицаами, иерархии или планетаарной структуары взаимооатношений) будет закончеано, как только будут сформираованы матрицы смежносати и матрицы потоков исследуаемых сетевых объектов. Все последуающие постаноавки задач оптимизаации сети, максимиазации или минимизаации тех или иных количесатвенных ее характеаристик осущеставляются при наличии графичеаского и матричнаого предстаавлений на основе реальной интерпраетации (указания реальноаго смысла) всех входящих в это предстаавление параметаров.



Раздел II Исследование результатов. Модели коммуникационных сетей

2.1 Матричное представление системы, определяющих функционирование сетей

Матричные системы. Под матричными системами или матричными процессорами обычно понимается многопроцессорная система, в которой процессоры с помощью той или иной сети связи объединены в матрицу.

Задача устройства управления матричным процессором совместно с операционной системой -- эффективная загрузка матрицы процессоров и эффективная (быстрая) передача промежуточных результатов.

Однородные системы -- параллелизм этапов задач

В этой матричной системе элементами матрицы являются полные процессоры с собственной оперативной памятью. Вершины графа вычислительного процесса (этапы) задачи распределяются между процессорами матрицы, а указанные графом связи по управлению и данным реализуются с помощью соединительной сети.

Эффективность функционирования такой системы требует однородности этапов (подзадач) по времени выполнения и однородности этапов по требуемым ресурсам, что и объясняет название -- однородные матричные системы.

Т.е. однородность аппаратной реализации должна быть согласована с однородностью подзадач.

При условии, что на любом процессоре однородной матричной системы каждая подзадача выполняется за одинаковое время, параллельные ветви в графе вычислительного процесса будут завершены одновременно. Выполнение этого условия обеспечивает эффективность использования однородной системы, минимизируя время ожидания запуска следующего этапа.

В связи с тем, что разные задачи обладают разными графами вычислительного процесса, реально задействованная структура процессорных элементов и связей между ними существенно меняется для разных задач -- в связи с этим такие системы получили название матричных систем с перестраиваемой структурой.

Рис. 1. Однородная матричная система с перестраиваемой структурой

Идея однородных систем была предложена в начале 60-х годов Э.В. Евреиновым и Ю.Г. Косыревым в виде следующих трех принципов построения систем:

1. параллельность подзадач в алгоритмах (гипотеза параллельности -- для сложной задачи можно предложить эффективный параллельный алгоритм решения);

2. переменность логической структуры;

3. конструктивная однородность элементов и связей между ними. Наиболее сложной задачей реализации однородных систем считается задача программирования связей.

Очевидно, что такая идеология связана с избыточностью однородной матрицы, т.к. минимально необходимое количество процессорных элементов равно максимальному количеству параллельных этапов в графе вычислительного процесса. В однородной системе, однако, количество процессорных элементов должно быть больше или равно общему количеству вершин графа.

2.2 Метод асимптотического анализа

Многочисленные исследования [1] телекоммуникационных потоков в реальных компьютерных сетях связи, выполненные зарубежными и отечественными специалистами, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей случайных потоков (пуассоновских и рекуррентных) реальным информационным потокам, поэтому актуальной является задача существенного расширения класса математических моделей случайных потоков однородных событий, а также развитие методов их исследования.

Пусть эргодическая цепь Маркова задана инфинитезимальными характеристиками, также заданы: набор неотрицательных чисел, вероятности , для любых , при этом в матрице изменения состояния управляющей цепи Маркова события наступают с вероятностью , так же введем величину .

Случайный поток однородных событий называется МАР-потоком [2], [3], управляемым процессом, если для- числа событий МАР-потока, наступивших за время выполняются равенства

Не трудно показать, что распределение вероятностей двумерной цепи Маркова удовлетворяет системе уравнений Колмогорова

(1)



2.3 Асимптотический анализ коммуникационных сетей

Метод асимптотического анализа МАР-потока

Обозначим , где- мнимая единица. Определим вектор-строку

Очевидно, что , где - вектор стационаарного распредаеления вероятнаостей состоянаий цепи Маркова. Из (1) следует, что для можно записать

, (2)

Здесь - матрица инфинитаезимальных характеаристик управляающей потоком цепи Маркова и- сумма двух матриц и, где- диагонаальная матрица с элементаами на главной диагонаали, а- матрица, составлаенная из элементаов

, тогда характеаРазмещено на http://www.allbest.ru/

ристическая функция числа событий, наступиавших в рассматариваемом потоке за время , имеет вид , где - единичнаый вектор-столбец.

Выберем достатоачно большое значение величины, полагая , и в уравненаии (2) выполним замены

, (3)

тогда (2) запишем в виде



. (4)

Имеет место следующаее утверждаение

Теорема 1. Если при существауют пределы,

, то имеет вид

, (5)

где - вектор, определаяемый системой

, (6)

и условием нормироавки, а величина определаяется равенставом

. (7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Следствие. Для достатоачно больших значений времени имеет место равенставо

, (8)

здесь - бесконеачно малая величина порядка.

Равенство (8) будем называть асимптоатикой первого порядка характеаристической функции процесса.

Асимптотика первого порядка аналогиачно закону больших чисел дает детермианированную аппроксаимацию процесса, то есть позволяает для процесса найти асимптоатическое среднее значение, которое в рассматариваемом случае составлаяет. Величина имеет смысл интенсиавности рассматариваемого МАР-потока [4].

Естественно среднее значение недостааточно полно характеаризует число , поэтому возникаает необходаимость более детальнаого исследоавания этого процесса.

Асимптотика второго порядка

Решение уравненаия (2) будем искать в виде

,

тогда для получим уравненаие

, (9)

где - единичнаая диагонаальная матрица. Аналогично (3) в уравненаии выполним замены

(10)

Здесь важно отметить то, что в заменах (3) , а в заменах (10) . Этот факт будет использаован ниже при построеании аппроксаимации второго порядка.

Выполнив замены (10) в (9), получим уравненаие для в виде

. (11)

Имеет место следующаее утверждаение.

Теорема 2. Если при существауют пределы, , то имеет вид



, (12)

где определаяется равенставом

(13)

в котором вектор является решением неоднораодной системы линейных алгебрааических уравненаий

,(14)

удовлетаворяющим условию .

Следствие. Для достатоачно больших значений времени имеет место равенставо

. (15)

Равенство (15) будем называть асимптоатикой второго порядка характеаристической функции процесса .

Отметим, что асимптоатика второго порядка позволяает найти не только асимптоатическое среднее значение процесса, но также построиать гауссоваскую аппроксаимацию дискретаного распредаеления вероятнаостей, поэтому асимптоатику второго порядка будем также называть гауссоваской аппроксаимацией.

Для применеания асимптоатических результаатов в допредеальном случае найдем последоавательность, для которой выполняается равенставо, которая в силу (15) дает аппроксаимацию распредаеления. Очевидно



Умножим уравненаия системы (16) на соответаственно и получим

Сложив эти уравненаия, получим равенставо

Теперь проинтеагрируем его по в интерваале , найдем

. (17)

Полученное равенставо будем называть аппроксаимацией второго порядка допредеального распредаеления . Из нее можно получить гауссоваскую аппроксаимацию следующаим образом. Пренебрегая значениаем величин, рассмотарим функцию, определаяющую равенставо (17).

Очевидно, что- линейное диффереанциальное уравненаие первого порядка, его решение, удовлетаворяющее начальнаому условию, имеет вид



. (18)

Сделав замену , получим.

Это равенставо будем называть гауссоваской аппроксаимацией. Найдем модуль разницы между гауссоваской аппроксаимацией и аппроксаимацией второго порядка

величина для разных значений равна

Таким образом, при можно пользовааться гауссоваской аппроксаимацией вместо аппроксаимации второго порядка для распредаеления .

2.4 Численное исследоавание коммуниакационной сети

Коммуникационные сети в малых группах могут иметь различнааые конфигуаарации, что оказывааает значитеаальное влияние на процессы коммуниаакации и поведенааие членов организааации.

Каждая из коммуниааакационных сетей в малых группах приспосаааоблена для решения определаааенных управлеааанческих и произвоааадственных задач. Следует обратить внимание на положенаааие лидера в группе. Функции лидера заключааааются в обработаааке, коррекцаааии информаааации и передаче ее другим членам малой группы «для исполнеааания».

а) «Круг» - децентраааализованная сеть в малой группе, что выражаеааатся в положенаааии лидера, подобноаааго всем членам группы. При такой форме сети информаааация циркулиааарует по кругу, постоянааано обновляаааясь, и каждый член группы способен повлиять на общий ход коммуниааакационного процесса, а роль лидера заключаааается в регулираааовании циркулиааарующих потоков информаааации и соблюдеааании направлаааения ее движения строго по кругу, исключеааании хаотичнаааости. Сети такого типа наиболее эффектиааавны при выполнеааании групповаааых задач, требующаааих творчесааакого подхода, способсааатвуют тому, что членов группы удовлетаааворяет их деятельаааность, поскольаааку соблюдааааются формальаааное равенстаааво в отношенаааии принятия решений и демокраааатизм в отношенаааиях между членами группы и лидером. Многочисленные исследоааавания, проведеааанные в малых группах, показали, что в коммуниааакационной сети типа «круг» (например, «круглый стол») резко снижаетааася возможнаааость возникнаааовения деструкааативных конфликааатов.

6) «Штурвал» - сильно централаааизованная сеть, т.е. информаааационный лидер группы находитааася в центре, к нему сходятся все коммуниааакационные потоки. Данная сеть не предусмаааатривает общения членов группы между собой. Эта сеть идеально подходит для выполнеааания группой достатоааачно простых задач с высокой скоростаааью, когда каждый член группы получает четкое задание и предостаааавляет информаааацию о его выполнеааании только лидеру, не получая никакой дополниааательной информаааации со стороны. Как правило, при такой конфигуааарации возникаааает большое количесааатво ошибок вследстааавие слабости обратных связей и невозмоааажности взаимных коррекцаааий ошибок между членами группы. При усложнеааании заданий или увеличеааании численнаааости членов группы, постоянааано связаннаааых с лидером, у последнаааего наступаааает информаааационная перегруааазка, что приводит к еще большему количесааатву ошибок и некачесааатвенному выполнеааанию заданий. Коммуникационная сеть «штурвал» эффектиааавна при жесткой централаааизации власти в руках руководаааителя или лидера и слабой включенаааности рядовых членов группы в процесс принятия управлеааанческих решений.

в) «Цепь» - сеть со слабой централаааизацией. Такая сеть использааауется в условиях многозваааенных технолоааагий (при большом количесааатве последоааавательно выполняаааемых операций). Здесь лидер фиксируааает лишь конечный результаааат и дает указание на выполнеааание следующаааего технолоааагического цикла. Поскольку «цепь» содержит большое количесааатво звеньев, происхоааадит сильное искаженаааие информаааации (обратная связь осущестааавляется последоааавательно через все звенья цепи к лидеру), когда, например, исполниааатель (последнаааее звено цепи) вносит какое-либо предложаааение и оно проходит «по инстанцаааиям» к высшему руководаааству, причем каждый следующаааий член сети может внести корректаааивы в это предложаааение. Такая сеть, в которой лидер фактичеаааски не может осущестааавлять эффектиааавный контроль на всех участках, примениааама только в случае, когда члены группы сами заинтераааесованы в выполнеааании порученаааных заданий и контролаааируют действия своих ближайшаааих «соседей».

Например, сети типа «цепь» использааауются в японской системе организаааации произвоааадства «точно вовремя». Здесь каждый исполниааатель получает строго определаааенное количесааатво деталей мелкими партиями; так, если сборщик должен собрать двадцать узлов, то он получает строго двадцать болтов. Если в этой партии попадетааася один некачесааатвенный болт, то сборщик не сможет собрать один узел. Поскольку санкции осущестааавляются по конечноаааму результаааату, то за некачесааатвенный болт ответстааавенность должен нести сборщик. Поэтому он стремитааася сам контролаааировать деятельаааность рабочего, изготаваааливающего болты. Очевидно, что такой контроль возможен только при общей заинтераааесованности в результаааатах работы.

г) «Игрек», или «цепь со сторожем» - сеть, имеющая разветваааления. Здесь «сторож», перерабаааатывающий информаааацию для лидеров, ставится на разветвааалении сети. Присутствие «сторожа» исключиааательно важно для лидера, так как позволяааает ему получать обобщенаааную информаааацию сразу из двух цепей без информаааационной перегруааазки. Конфигурация «игрек» характеааарна, в частносааати, для линейных иерархиаааческих структур; в этом случае к руководаааителю поступаааает обобщенаааная информаааация о деятельаааности нескольаааких отделов от заместиааателя, помощниааака или диспетчаааера. При многих достоинаааствах разветваааленных коммуниааакационных сетей они имеют ряд недостаааатков: наличие искаженаааий в сетях и, самое главное, концентааарация больших ресурсов информаааационной власти у «сторожей», которые могут обобщать, перерабаааатывать и передаваааать информаааацию в нужном для них виде, что снижает значимоааасть и возможнаааости управлеааания у руководаааителя или лидера. Например, руководаааитель поручает своему секретаааарю, выполняааающему роль «сторожа», контролаааировать потоки информаааации, которые стекаютааася к нему от многих подраздаааелений. Секретарь, располаааагая слабой степенью контроля, может дозироваааать и распредаааелять информаааацию, так как имеет дополниааательные властные ресурсы.

Цепи типа «игрек» или «шпора» наиболее характеааарны для функциоааанальных структур организаааации.

д) «Тент» - конфигуааарация сети, которая часто использааауется в продуктаааовых или многопраааофильных структуааарах управлеааания. Здесь предусмаааатривается прохождаааение информаааации по отдельнаааым ветвям структуааары с разделеааанием по отдельнаааым регионам или продуктаааам.

е) «Палатка» - сеть, в которой наряду с вертикаааальными официалаааьно допускааааются горизонааатальные каналы коммуниааакации, но не все, а только между верхними эшелонаааами управлеааанческой структуааары; горизонааатальные связи не предусмаааотрены на средних и низших уровнях управлеааания. Таким образом, «палатка» не предусмаааатривает участие низших слоев организаааации в управлеааании процессаааами в организаааации, но она позволяааает образоваааывать коалиции между предстаааавителями высшего уровня руководаааства.

ж) «Дом» - сеть, в которой существаааует постоянаааный обмен информаааацией между руководаааителями всех структуааарных уровней управлеааания. Здесь информаааация может исходить от высшего органа управлеааания и контролаааируется им по каналу обратной связи. Однако обратная связь, в которой задейстааавованы предстаааавители разных подраздаааелений одного уровня управлеааания, может оказываааать отрицатаааельное воздейсааатвие на качество управлеааанческих решений, так как в большинааастве случаев предстаааавители разных структуааарных подраздаааелений имеют разные интересы в организаааации и могут находитаааься даже в состоянаааии конфликааата по причине распредаааеления и перерасааапределения ресурсов между данными подраздаааелениями.

з) «Паутина» - сеть, характеаааризуемая большим количесааатвом беспоряааадочных коммуниааакационных связей, хаотичнаааым контролаааем и сложносааатями при передаче строго дозироваааанной и надежной информаааации. Представление о «паутине» дает группа, в которой каждый говорит с каждым и со всеми, улавливаааая в этом огромном потоке информаааации только ту, которая необходаааима ему в настоящаааий момент, а контролаааирующая и управляааающая роль лидера сведена к минимуму. Такая сеть однознаааачно признаеааатся исследоааавателями неэффекааативной для организаааации, но это не значит, что она будет неэффекааативной в условиях неформаааальной коалиции или в дружескаааой компании.

В целом можно сказать, что в сетевой модели коммуниааакационного процесса в организаааации коммуниааакация рассматаааривается как «совокупаааность большого числа сетей, частично совпадаааающих и взаимосааавязанных так, что они образуют глобальаааную организаааационную сеть, состоящаааую из меньших, относитаааельно автономаааных сетей». При этом главная задача, решаемая с помощью сетевого подхода, состоит в выявленаааии полных коммуниааакационных сетей (формальаааных и неформаааальных), исследоааавании их положенаааия и условий существаааования в организаааации, а также возможнаааых совмещеаааний и дублироааавания при передачи информаааации. Такой подход позволяааает ответить на следующаааие вопросы:

правильааано ли организаааация разбита на структуааарные составлаааяющие (подраздаааеления и службы);

какие механизааамы эффектиааавны для координаааации действий работниаааков;

достатоааачно ли в организаааации должносааатей (функциоааанальных ролей) для осущестааавления регулираааования, фильтраааации и связываааания информаааационных потоков, передачи идей и технолоааагий.

Сетевой анализ позволяааает понять также динамику коммуниааакационных процессаааов и особеннаааости поведенаааия членов организаааации, так как нередко сети в организаааации возникаааают спонтанааано (в результаааате появленаааия новых целей и в ходе повседнаааевного общения членов организаааации) и постоянааано меняются.

Вместе с тем использаааование сетевого подхода сопровоаааждается рядом трудносааатей, обусловаааленных прежде всего тем, что при анализе взаимосааавязей между подраздаааелениями и индивидаааами в организаааации возникаааает сложная картина, напоминаааающая густую паутину, вследстааавие чего осложняааается поиск оптималаааьных путей передачи информаааации. Единственный способ избежать этих затруднаааений - выделенаааие значимых связей, которые оказываааают наибольааашее влияние на деятельаааность организаааации, однако при этом возникаааает опасносааать не заметить скрытые коммуниааакационные связи, которые могут изменить поведенаааие работниаааков и повлиять на деятельаааность социальаааных групп в организаааации.

Коммуникационная сеть - это соединеаание определааенным образом участвуаающих в коммуниаакационном процессе индивидааов с помощью информааационных потоков. В данном случае рассматаариваются не индивиды как таковые, а коммуниаакационные отношенааия между индивидааами. Коммуникационная сеть включает потоки посланий или сигналов между двумя и более индивидааами. Коммуникационная сеть концентаарируется на выработааанных в организааации образцах этих потоков. А не на том, удалось ли передать значение или смысл послания.