Теория электрических цепей

Размещено на http://www.allbest.ru

«Казахский национальный университет им. Аль-Фараби»

МОН РК

Система менеджмента качества

Стандарт университета

Структура учебно-методического комплекса

СМК ЕНУ С 04-2008

Теория электрических цепей

Конспект лекций

Алматы 2014

СОСТАВИТЕЛЬ: К.Т. Бажиков.

Теория электрических цепей. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальностей 050704 - Вычислительная техника и программное обеспечение и 050719 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации.

Алматы: КазНУ, 2014..- 77с.

Конспект лекций содержит 17 лекций по разделам: линейные электрические цепи постоянного тока, электрические цепи однофазного синусоидального тока, резонансные явления в электрических цепях, четырехполюсники и фильтры. Конспект лекций предназначен для студентов специальности 050704 - Вычислительная техника и программное обеспечение и 050719- Радиотехника, электроника и телекоммуникации.

Ил. 108, табл.1, библиогр.- 5 назв.

Рецензент: канд. техн. наук, проф. Г.С. Казиева.

Печатается по плану издания «Казахский национальный университет им. Аль-Фараби» на 2014г.

© «Казахский национальный университет им. Аль-Фараби» на 2014 г.

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Теория электрических цепей» является основным базовым обязательным курсом для подготовки бакалавров в области радиотехники, вычислительной техники и связи. Назначение дисциплины заключается в изучении и описании как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных процессов и явлений, происходящих в различного рода радиотехнических установках, устройствах вычислительной техники и связи.

Предлагаемый конспект лекций включает следующие разделы: линейные электрические цепи постоянного тока, электрические цепи однофазного синусоидального тока, резонансные явления в электрических цепях, четырехполюсники и фильтры. В первом разделе рассмотрены основные свойства линейных электрических цепей постоянного тока, такие как метод по законам Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора.

Во втором разделе рассмотрены особенности описания цепей при синусоидальных токах и напряжениях, показано применение метода комплексных амплитуд с использованием векторных и топографических диаграмм для анализа цепей синусоидального тока, рассмотрено явление фазового резонанса в последовательном и параллельном контурах, показан расчет цепей при наличии взаимной индукции.

В третьем разделе рассмотрены четырехполюсники и электрические фильтры.

Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальностям 050719 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации, 050704 - Вычислительная техника и программное обеспечение.

электрический цепь резонанс индукция

ЛЕКЦИЯ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ

1.1 Основные понятия

Электромагнитные процессы, протекающие в электрических цепях можно описать с помощью таких интегральных понятий, как: напряжение, ток, электродвижущая сила (ЭДС). Электротехнические устройства, производящие электрическую энергию, называются генераторами или источниками электрической энергии, а устройства, потребляющие ее - приемниками электрической энергии. Все элементы электрической цепи условно можно разделить на активные и пассивные. Активным называется элемент, содержащий в своей структуре источник электрической энергии. К пассивным относятся элементы, в которых рассеивается (резисторы) или накапливается (катушка индуктивности и конденсаторы) энергия. Если элементы описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями, то они называются линейными, в противном случае они относятся к классу нелинейных. Если параметры элемента не являются функциями пространственных координат, определяющих его геометрические размеры, то он называется элементом с сосредоточенными параметрами. Цепи, содержащие только линейные элементы, называются линейными. Наличие в схеме хотя бы одного нелинейного элемента относит ее к классу нелинейных.

1.2 Резистивный элемент (резистор)

Рисунок 1.1

Резистор - это пассивный элемент, характеризующийся резистивным сопротивлением (рисунок 1.1,а). Основной характеристикой резистивного элемента является зависимость , называемая вольтамперной характеристикой (ВАХ). Если зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (см.рисунок 1.1,б), то резистор называется линейным и описывается соотношением

Нелинейным резистивным элементом называется элемент, ВАХ которого нелинейна (рисунок 1.1,б).

1.3 Индуктивный элемент

Рисунок 1.2

Индуктивность определяется отношением потокосцепления к току, протекающему по виткам катушки (рисунок 1.2,а),

Основной характеристикой катушки индуктивности является зависимость , называемая вебер-амперной характеристикой. Для линейных катушек индуктивности зависимость представляет собой прямую линию (рисунок 1.2,б); при этом. Для нелинейных - зависимость нелинейная (рисунок 1.2,б).

1.4 Емкостный элемент

Конденсатор (рисунок 1.3,а) - это пассивный элемент, характеризующийся емкостью. Емкость определяется отношением .

Рисунок 1.3

Большинство диэлектриков, используемых на практике, линейны, т.е. у них относительная диэлектрическая проницаемость =const. В этом случае зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, (см. рисунок 1.3,б) и

.

У нелинейных диэлектриков (сегнетоэлектриков) диэлектрическая проницаемость является функцией напряженности поля, что обусловливает нелинейность зависимости (рисунок 1.3,б).

1.5 Источники электрической энергии

Источники электрической энергии, питающие электрические цепи могут быть независимыми и зависимыми. Источники напряжения или источники тока, в которых напряжение или ток в одной из ветвей зависит от напряжения или тока в другой, называются зависимыми. Различают четыре типа зависимых источников: источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) (рисунок 1.4, а ) источник напряжения, управляемым током (ИНУТ) (рисунок 1.4, б) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) (рисунок 1.4,в) источник тока, управляемый током (ИТУТ) (рисунок 1.4,г). На рисунках приведены соотношения, описывающие связи зависимых значений, выраженные через коэффициенты k, r, g, в, которые, как правило, являются положительными или отрицательными числами и однозначно полно характеризуют зависимый источник.



Рисунок 1.4

Источники напряжения или источники тока, в которых напряжение или ток в одной из ветвей не зависит от напряжения или тока в другой, называются независимыми.

Свойства источника электрической энергии описываются ВАХ , называемой внешней характеристикой источника. ВАХ источника может быть определена экспериментально (рисунок 1.5,а).

Рисунок 1.5

В общем случае ВАХ источника является нелинейной (кривая 1 на рисунке 1.5,б). Она имеет две характерные точки, которые соответствуют: а - режиму холостого хода;в - режиму короткого замыкания .

Прямая 2 на рисунке 1.5,б описывается линейным уравнением

(1.1)

где - напряжение на зажимах источника при отключенной нагрузке; - внутреннее сопротивление источника.

Уравнение (1.1) позволяет составить последовательную схему замещения источника энергии источником Э.Д.С. (см. рисунок 1.6,а). На этой схеме символом Е обозначен элемент, называемый идеальным источником ЭДС, ему соответствует ВАХ на рисунке 1.6,б, у такого источника .

Рисунок 1.6

Существует также параллельная схема замещения источника. Для ее описания разделим левую и правую части соотношения (1.1) на . В результате получим

или

где ; - внутренняя проводимость источника.

Уравнению (1.2) соответствует схема замещения источника на рисунке 1.7,а.

Рисунок 1.7

На этой схеме символом J обозначен элемент, называемый идеальным источником тока. Ток в ветви с этим элементом равен и не зависит от напряжения на зажимах источника, следовательно, ему соответствует ВАХ на рисунке 1.7,б. На этом основании с учетом (1.2) у такого источника , т.е. его внутреннее сопротивление .В расчетном плане при выполнении условия последовательная и параллельная схемы замещения источника являются эквивалентными. На практике важное значение имеет согласованный режим работы? когда , при котором нагрузкой от источника потребляется максимальная мощность

.(1.3)

ЛЕКЦИЯ 2. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. ЗАКОН ОМА. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА

Цель лекции: ознакомить с простейшими методами преобразования цепей и законом Ома.

2.1 Методы преобразования

Во всех cлучаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалент-ным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений

R_ЭК =. (2.1)

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям

U₁: U₂: …: U_n = R₁: R₂: …: R_n.

В частном случае двух последовательно соединённых сопротивлений

U₁ / U₂ = R₁ / R₂; U₁= U R₁ / (R1+ R₂); U₂=U R₂ / (R₁+ R₂)

где U -- общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления R₁ и R_2.

Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединевны к одной паре узлов.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений, определяется из формулы

, или . (2.2)

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R₁ и R₂ эквивалентное сопротивление

.

Рисунок 2.1

При параллельном соединении n сопротивлений (рисунок 2.1, а) токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям

I₁ : I₂ : … : I_n = :: … : = G₁: G₂ : … : G_n.

Ток I_S в каждой из них вычисляется через ток I в неразветвленной части цепи

I_s = I .

В частном случае двух параллельных ветвей (рисунок 2.1, б)

I₂ = I₁ , I₃ = I₁

или

I₂ = I₁, I₃ = I_1.

Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешенное соединение это сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений. Например, сопротивления R₁ , R₂ и R₃ (рисунок 2.1,б) соединены смешанно.

Их эквивалентное сопротивление

R_эк = R₁ + = .

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рисунок 2.2, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рисунок 2.2, б) и наоборот имеют вид

R₁ = , R₂ = , R₃ = , (2.3)

G₁₂ =, G₂₃ = , G₃₁ = (2.4)

где G - проводимость соответствующей ветви.

Формулы (2.4) можно записать через сопротивления

R₁₂=R₁+R₂+, R₂₃= R₂+R₃+, R₃₁=R₃+R₁+. (2.5)

Рисунок 2.2

2.2 Закон Ома

Этот закон применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений).

При написании закона Ома следует, прежде всего, выбрать произвольно некоторое положительное направление тока.

Для ветви, состоящей только из резисторов и не содержащей э.д.с. (например, для ветви вка), при положительном направлении тока от точки в к точке а (рисунок 2.3)

Й = =

где _а и _в -- потенциалы точек а и в;

U_{ва -} разность потенциалов или напряжение между точками в и а;

R_ва = R₄ + R₅ - полное сопротивление ветви между точками в и а.

Рисунок 2.3

Для ветви цепи, содержащей э. д. с. и резисторы (например, для ветви асb, рисунок 2.3)

I₁ = = (2.6)

где U_ab = - напряжение на концах ветви аb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока;

-- алгебраическая сумма э. д. с., находящихся в этой ветви; R_ab - арифметическая сумма ее сопротивлений.

В ветви асb = Е₁ - Е₂, R_ab =R₁+R₂+R₃.

Формулу (2.6) называют обобщенным законом Ома.

Для замкнутой одноконтурной цепи

I = (2.7)

где ?R -- арифметическая сумма всех внешних и внутренних сопротивлений цепи;

?Е -- алгебраическая сумма электродвижущих сил.

Со знаком плюс берут те эдс., направления которых совпадают с выбранным положительным направлением тока, а со знаком минус - э. д. с. с противоположными направлениями.

2.3 Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат - потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме. Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 Рисунок 2.5

При параметрах схемы ; ; ; ; и токи в ветвях схемы равны: ; ; .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль

Таким образом, кординаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рисунке 2.5 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

2.4 Метод наложения

Если в электрической цепи заданными величинами являются э.д.с. источников и токи источников тока, то расчет токов по методу наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней э.д.с. каждого источника э. д. с. в отдельности и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником э. д. с. или тока, то остальные источники э. д. с. в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока размыкаются.

ЛЕКЦИЯ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Цель лекции: ознакомить с основными методами расчета линейных электрических цепей постоянного тока.

3.1 Законы Кирхгофа

Для написания законов Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов каждой ветви.

Первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю

. (3.1)

Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему - отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма э.д.с. замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нём

. (3.2)

Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства э.д.с., направления которых совпадают с выбранным направлением обхода, принимаются положительными, а э.д.с., направленные против - отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода, а со знаком минус падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно.

Пусть цепь состоит из N_в ветвей, имеет N_у узлов и N_т источников тока.

П р и м е н е н и е з а к о н о в К и р х г о ф а.

Устанавливаем число неизвестных токов, равное N_в -- N_т. Для каждой ветви задаются положительным направлением тока.

Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу (N_в--Nт) неизвестных токов. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно (N_у-1). Число взаимонезависимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа

К =(N_в --N_т ) -- (N_у - 1). (3.3)

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.

3.2 Метод контурных токов

Метод основан на том, что ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. При пользовании этим методом выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви цепи должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Общее число контурных токов равно К =(N_в --N_т ) -- (N_у - 1). Рекомендуется выбирать N_т, контурных токов так, чтобы каждый из них - проходил через один источник тока. Эти контурные токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока J₁, J_{2, .} . ., J_NT, и они обычно являются заданными условиями задачи. Для них уравнения не составляют, но учитывают при составлении уравнений для других контуров.

Оставшиеся К =(N_в --N_т ) -- (N_у - 1) контурные токи выбирают проходящими по ветвям, не содержащим источников тока. Для определения последних контурных токов по второму закону Кирхгофа для этих контуров составляют К уравнений в виде

R₁₁I₁₁ + R₁₂Й₂₂ + … +R_1kI_kk+ … +J_nR_n = Е_11,

R₂₁I₁₁ + R₂₂Й₂₂ + … +R_2kI_kk+ … +J_nR_n = Е_22, (3.4)

R_k1I₁₁ + R_k2Й₂₂ + … +R_kkI_kk+ … +J_nR_n = Е_kk

где R_nn -- собственное сопротивление контура n (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n);

R_nl -- общее сопротивление контуров n и L, причем R_nl = R_ln.. Если направления контурных токов в общей ветви для n и L, совпадают, то R_nl положительно, в противном случае R_nl отрицательно;

Е_nn- алгебраическая сумма э. д. с., включенных в ветви, образующие контур n;

R_n -- общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока J_n.

3.3 Метод узловых потенциалов.

Он позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

m = N_у - 1. (3.5)

Сущность метода заключается в том, что вначале путем решения системы уравнений определяют потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома.

При составлении уравнений по методу узловых потенциалов вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным).

Для определения потенциалов оставшихся (m = N_у --1) узлов составляется следующая система уравнений

(3.6)

Здесь G_ss - сумма проводимостей ветвей, присоединённых к узлу S;

G_sq - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел S с узлом q ;

- алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу S, на их проводимости; при этом со знаком плюс берутся те э.д.с., которые действуют в направлении узла S, и со знаком минус - в направлении от узла S;

- алгебраическая сумма источников тока, присоединённых к узлу S; при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу S, а со знаком минус - в направлении от узла S.

Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками э.д.с., то число m уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается

m = N_у - Nи - 1 (3.7)

где Nи - число ветвей, содержащих только идеальные источники э.д.с. В этом случае за нуль принимается один из узлов, принадлежащих ветви с идеальным источником э.д.с., тогда потенциал другого равен _{_} Е. Плюс, если двигаться по э.д.с., минус -если против.

3.5 Метод двух узлов

Для схем, имеющих два узла (например,узлы a и b), узловое напряжение U_ab определяется формулой

U_ab = (3.8)

где ?Е_n G_n - алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей (э.д.с. считаются положительными, если они направлены к узлу а, и отрицательными, если направлены от узла а, к узлу b) на проводимости этих ветвей;

J_n - токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу а, и отрицательны, если направлены от узла а, к узлу b);

- сумма проводимости всех ветвей, соединяющих узлы а и b.

3.6 Метод замены нескольких соединенных параллельно источников э.д.с. одним эквивалентным

Если имеется несколько источников с э.д.с. Е₁, Е₂ … , Е _п и внутренним сопротивлениями R₁, R₂, … , R_n, работающих параллельно на общее сопротивление нагрузки R (рисунок 3.1, а), то они могут быть заменены одним эквивалентным источником, э.д.с. которого Е_эк, а внутреннее сопротивление R_эк (рисунок 3.1, б). При этом

(3.9)

Рисунок 3.1

3.7 Метод замены параллельно соединенных источников тока одним эквивалентным

Если несколько источников тока с токами J₁, J₂, … , J_n и внутренними проводимостями G₁, G₂, …, G_n соединены параллельно (рисунок 3.2,а), то их можно заменить одним эквивалентным источником тока (рисунок 3.2, б), ток которого J_эк равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость G_эк равна сумме внутренних проводимостей отдельных источников

J =

G_эк=. (3.10)



Рисунок 3.2

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

Цель лекции: научить пользоваться методом эквивалентного источника и составлять баланс мощностей.

4.1 Метод эквивалентного генератора

Применение метода эквивалентного генератора (метода активного двухполюсника или метода холостого хода и короткого замыкания) целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Имеется два варианта метода: 1) метод эквивалентного источника э.д.с. и 2) метод эквивалентного источника тока.

Метод эквивалентного источника э.д.с. Для нахождения тока I в произвольной ветви ab, сопротивление которой R (рисунок 4.1, а; буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рисунок 4.1, б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с э.д.с. Е_эк и внутренним сопротивлением R_эк (рисунок 4.1, в).

Э.д.с. Е_эк этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода)

Е_эк = U_abx =(ц_a - ц_b). (4.1)

Расчет схем в режиме холостого хода (рисунок 4.1,б) для определения Е_эк проводится любым известным способом.

Внутреннее сопротивление R_эк эквивалентного источника э.д.с. равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов a и b исходной схемы, из которой исключены все источники (источники э.д.с. заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены, рисунок 4.1, г; буква П указывает на пассивный характер цепи), при разомкнутой ветви ab. Сопротивление R_эк можно вычислить непосредственно по схеме рисунка 4.1, г.

Ток в искомой ветви схемы (рисунок 4.1, д), имеющей сопротивление R, определяется по закону Ома

I == (4.2)

Метод эквивалентного источника тока. Для расчета тока в ветви ab, сопротивление которой R, надо заменить часть схемы относительно зажимов a и b (при замкнутой ab) эквивалентным источником тока, ток которого J_эк а проводимость G_эк (рисунок 4.1, е).

Рисунок 4.1

Для нахождения тока J_эк надо зажимы a и b закоротить и любым способом рассчитать ток которого замыкания I_k , протекающий по закороченному участку (рисунок 4.1, ж). При этом J_эк = I_k . Сопротивление R_эк можно найти, как и при расчете по методу эквивалентного источника э.д.с. (см. рисунок 4.1,г). Это же сопротивление может быть рассчитано, как это видно из схемы замещения заданной схемы в режиме короткого замыкания (рисунок 4.1,з) по формуле

R_эк=Е_эк/I_k=Е_эк/J_эк=1/G_эк. (4.3)

Ток в ветви R (рисунок 4.1,и)

I=J_{эк .} (4.4)

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рисунке 4.2 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

Рисунок 4.2 Рисунок 4.3

Для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 4.3, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи

.

Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рисунке 4.4.

Рисунок 4.4 Рисунок 4.5

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно

Таким образом, для показания амперметра в схеме на рисунке 4.2 в соответствии с (4.2) можно записать

(4.5)

Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (4.2) получаем кривую на рисунке 4.5.

4.2 Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р_И, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Р_п, расходуемых в приемниках энергии

=, или . (4.6)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (4.6) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (4.6) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

Где У Е_k I_k - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. Е_k и соответствующего тока I_k совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно;

У Е_k J_k - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам источника тока) и его ток J_k совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрицательно.

4.3 Расчет цепей с зависимыми источниками

Для расчета цепей, содержащих зависимые источники, применимы все методы, известные для расчета цепей с независимыми источниками.

Наиболее часто используются методы узловых напряжений и контурных токов.

Пример 1. В цепи (рисунок 4.6) действуют независимый источник тока J и ИНУТ с ЭДС Е =rI₂. Дано: R₁, R₂, r, J. Найти напряжение U_ab.

Рисунок 4.6 Рисунок 4.7

Решение. Выберем для решения метод контурных токов. Контурное уравнение: I₁₁ (R₁+R₂)+J R₂=E.Учитывая, что I₂=I₁₁+J, I₁₁ (R₁+R₂)+J R₂=r(I₁₁+J) или I₁₁(R₁+R₂ - r)= J (r - R₂). Из этого уравнения определим ток I₁₁. Напряжение U_ab = I₂ R₂.

Пример 2. В цепи (рис.4.7) действуют независимые источник напряжения с ЭДС E₁ и ИНУН с ЭДС E₂=k U_ab. Найти токи в ветвях, если даны R₁,R₂,R₃, k. Решение. Для решения выберем метод узловых потенциалов. Приняв ц_b = 0, запишем уравнение для узла б

ц_б (1 / R₁+1 / R₂+1 / R₃) = E₁ / R₁+E₂ / R₂.

Учитывая, что U_ab = ц_a-ц_b, E₂=kц_а имеем

ц_б (1 / R₁+1 / R₂+1 / R₃) = E₁ / R₁+ kц_а / R₂.

Решая уравнение, получим ц_a= U_ab. Токи в ветвях I₁= (U_ab+E₁)/ R₁;

I₂=(U_ab- E₂) / R₂, I₃= U_ab / R₃.

ЛЕКЦИЯ 5. СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ЕГО ВЕЛИЧИНЫ

Цель лекции: усвоить основные понятия о синусоидальных токах и напряжениях и особенности их протекания в основных элементах.

5.1 Синусоидальные электрические величины

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися (переменными) токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, - периодом Т. Для периодического тока имеем

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01ё10 Гц - в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) - до сверхвысоких (3000ё 300000 МГц - миллиметровые волны: (радиолокация, радиоастрономия). Промышленная частота f = 50Гц.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой: i -мгновенное значение тока; u- мгновенное значение напряжения; е - мгновенное значение ЭДС ; р - мгновенное значение мощности . Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее обозначают заглавной буквой с индексом m): - амплитуда тока;- амплитуда напряжения;- амплитуда ЭДС.

5.2 Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока

. (5.3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения. В соответствии с выражением (5.3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

. (5.4)

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных токов, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз.

5.3 Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рисунке 5.1, 5.2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ соответствуют уравнения.

Рисунок 5.1 Рисунок 5.2

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0): и - начальной фазой ().

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть где f- частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

(5.5).

5.4 Синусоидальный ток в сопротивлении

Если синусоидальное напряжение приложено к сопротивлению r (рисунок 5.3а), то через сопротивление пройдет синусоидальный ток .

Риунок 5.3

Напряжение на зажимах сопротивления и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу или, как говорят, совпадают по фазе. (рисунок 5.3 ,б).

В данном случае сдвиг по фазе равен нулю

(5.6)

При прохождении синусоидального тока через сопротивление r не только мгновенные значения напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны законом Ома

5.5 Синусоидальный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L (рисунок 5.4,а) проходит ток



Рисунок 5.4

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле

(5.7)

Значит напряжение на индуктивности

(5.8)

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол (рисунок 5.4,б).

Фазовый сдвиг равен

(5.9)

Амплитуда так же, как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома

(5.10)

Величина , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина называется индуктивной проводимостью.

(5.11)

5.6 Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости С (рисунок 5.5,а) синусоидально:

Рисунок 5.5

Ток в емкости

(5.12)

Выражение (5.12) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол (рисунок 5.5,б).

Сдвиг по фазе .

Амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связаны соотношением, подобным закону Ома

 (5.13)

Величина , имеющая размерность сопротивления, называется емкостным сопротивлением. Обратная ей величина называется емкостной проводимостью. Следовательно,

(5.14)

ЛЕКЦИЯ 6. ОСНОВЫ СИМВОЛИЧЕСКОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Цель лекции: ознакомить с применением метода комплексных амплитуд.

6.1 Представление синусоидальных функций в виде векторов и комплексных чисел

Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиус-вектором этой точки (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 Рисунок 6.2

Комплексное число может быть представлено в показательной тригонометрической и алгебраической формах

здесь А - модуль; - аргумент или фаза; .

Вектор, вращающийся в положительном направлении, т.е. против хода часовой стрелки, с угловой скоростью может быть выражен следующим образом

(6.1)

где - комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = 0 (рисунок 6.2).

Синусоидальная функция может рассматриваться как мнимая часть комплексной функции (6.1) или как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

Условно это записывается так

(6.2)

Рисунок 6.3

На рисунке 6.3, а показаны две синусоидальные функции: и имеющие одинаковую угловую частоту . Функция опережает по фазе функцию , причем фазовый сдвиг равен разности начальных фаз Этот угол образует векторы, показанные на рисунке 6.3,б. При равенстве начальных фаз, т.е. при фазовом сдвиге, равном нулю, векторы совпадают по фазе. При фазовом сдвиге 180⁰ векторы находятся в противофазе. Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

6.2 Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически - путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком - малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности. Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме. Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

6.3 Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд в случае последовательного соединения элементов r, L и С (рисунок 6.4).

Рисунок 6.4

Положим, что в уравнении Кирхгофа

заданными являются параметры r, L, С и напряжение , а искомой величиной является ток i. Решение этого дифференциального уравнения должно дать синусоидальную функцию вида .

Комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно

Комплексное уравнение, соответствующее уравнению (6.3)

(6.4)

Комплексное сопротивление рассматриваемой электрической цепи

(6.5)

Таким образом, получается уравнение, выражающее закон Ома для комплексных амплитуд и действующих значений.

и . (6.6)

Комплексное сопротивление в тригонометрической и показательной формах имеет вид

(6.8)

Здесь - модуль комплексного числа, представляет собой полное сопротивление цепи; а -- аргумент комплексного числа

(6.9)

На основании (6.6) комплексная амплитуда тока

где - начальная фаза тока. Следовательно, искомый ток в тригонометрической форме

Рисунок 6.5

На рисунке 6.5 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.4). Рисунок 6.5,а относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (х>0) и >0. Рисунок 6.5,б относится к случаю, когда реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (х<0), и <0.

Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рисунке 6.5, -- напряжение на сопротивлении r (совпадает по фазе с током ), --напряжение на индуктивности L (опережает ток на угол ) и -- напряжение на емкости С (отстает от тока I на угол ).

Геометрическая сумма векторов дает вектор приложенного к цепи напряжения U.

6.4 Параллельное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С (рисунок 6.6), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток, проходящий через эту цепь, равен .

Рисунок 6.6 Рисунок 6.7

Ток в сопротивлении r совпадает по фазе с напряжением и, ток в индуктивности L отстает, а ток в емкости С опережает напряжение на (рисунок 6.7).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен



Величина называется реактивной проводимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b>0) или емкостный (b<0) характер. Величина g = 1/r называется активной проводимостью.

В соответствии с первым законом Кирхгофа

(6.11)

где - ток в сопротивлении (совпадает по фазе с напряжением );

- ток в индуктивности (отстает от напряжения на -);

- ток в емкости (опережает напряжение на ).

Выражение комплексной проводимости

. (6.12)

Уравнение закона Ома в комплексной форме

. (6.13)

Тригонометрическая и показательная формы комплексной проводимости имеют следующий вид

здесь - модуль комплексного числа;

- представляет собой полную проводимость цепи;

а -- аргумент комплексного числа .

. (6.14)

Комплексный ток равен

что соответствует синусоидальному току

На рисунке 6.8 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.11). Рисунок 6.8, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b>0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения . Рисунок 6.8, б относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостный характер (b<0) и соответственно ток опережает по фазе напряжение ().



Рисунок 6.8

ЛЕКЦИЯ 7. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ КИРХГОФА, МЕТОДА КОНТУРНЫХ ТОКОВ И УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ. ВЕКТОРНЫЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ДИАГРАММЫ

Цель лекции: познакомить с основными методами расчета цепей синусоидального тока, научиться строить векторные и топографические диаграммы.

7.1 Применение законов Кирхгофа, метода контурных токов и узловых потенциалов для расчета цепей синусоидального тока символическим метом.

7.1.1 Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

. (7.1)

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

. (7.2)

Пример. Составим уравнения по законам Кирхгофа (рисунок 7.1)

Рисунок. 7.1

7.1.2 Метод контурных токов

Пример. Составим уравнения методом контурных токов(рисунок 7.2)

Рисунок 7.2

Решим их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найдем последние.

, .

7.1.3 Метод узловых потенциалов

Пример. Составим уравнения методом узловых потенциалов (рисунок 7.3).

Рисунок 7.3

Составим уравнения по методу узловых потенциалов для узлов а и в. Потенциал узла =0.

.

Токи ветвей выразим по закону Ома

.

7.2 Векторные и топографические диаграммы

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения. При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый вектор следует принимать вектор тока. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый вектор следует принять вектор напряжения, ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях. Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы (см. рисунок 7.4).



Рисунок 7.4

Параметры схемы

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы предварительно найденные значения токов равны

, ,.

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рисунок 7.5). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы. Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней. Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов.

Обозначив на схеме (рисунку 7.4) разнопотенциальные точки и приняв потенциал точки а за нуль(), определим потенциалы остальных точек

или

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что , т.е равно напряжению U, приложенному к цепи. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма (рисунок 7.5). В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи.



Рисунок 7.5

ЛЕКЦИЯ 8. МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА. ВХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Цель лекции: рассмотреть вопросы преобразования энергии в электрической цепи, в мгновенную, активную, реактивную и полную мощности синусоидального тока.

8.1 Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности в цепях синусоидального тока

Передача энергии w по электрической цепи, рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р

. (8.1)

Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид

. (8.2)

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим

. (8.3)

Рисунок 8.1

Когда мгновенная мощность отрицательна (рисунок 8.1), , т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника к источнику питания. Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью .

. (8.4)

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=0, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.