Теория электрических цепей

Резистор (идеальное активное сопротивление).



Рисунок 8.2

Здесь напряжение и ток (см. рисунок 8.2) совпадают по фазе , поэтому мощность всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

(8.5)

Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (8.3) можно записать

(8.6)

Рисунок 8.3

Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

Конденсатор (идеальная емкость).

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (8.3) вытекает, что . Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0). Происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х_L и Х_С, в отличие от активного сопротивления R резистора, - реактивными. Интенсивность обмена энергии принято характеризовать реактивной мощностью.

. (8.7)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу измерения реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

8.2 Полная мощность

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности

. (8.8)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением

. (8.9)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак

. (8.10)

8.3 Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а .

Тогда комплекс полной мощности

(8.11)

где - комплекс, сопряженный с комплексом .

 (8.12)

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рисунок 8.4). Рисунок 8.4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка).

Рисунок 8.5

8.4 Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(8.13)

Баланс соблюдается и для реактивных мощностей

(8.14)

“-” где знак “+” относится к индуктивным элементам ; - к емкостным .

Умножив (8.14) на “j” и сложив полученный результат с (8.13), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности)

или

(8.16)

ЛЕКЦИЯ 9. ВХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Цель лекции: исследовать входные и передаточные характеристики простейших цепей.

9.1 Входные характеристики

Под входной характеристикой понимают зависимость , которая в свою очередь состоит из двух характеристик АЧХ - и ФЧХ - .

Рассмотрим входные характеристики простейших цепей (рисунок 9.1) и (рисунок 9.4). Граничная частота - это частота, при которой модуль реактивного сопротивления равен активному.

Для цепи тогда или .

Для цепи ,тогда или .

Рисунок 9.1

(9.1) (9.2)

На основании (9.1 и 9.2) построим соответственно (рисунок 9.2) и (рисунок 9.3) для цепи .

(9.3)

(9.4)

На основании (9.3 и 9.4) построим соответственно (рисунок 9.5) и (рисунок 9.6) для цепи .



Рисунок 9.5 Рисунок 9.6

9.2 Передаточная функция по напряжению

Комплексным коэффициентом передачи по напряжению называется отношение

где - выходное;

- входное напряжение.

Совокупность коэффициентов передачи на различных частотах называется комплексной передаточной функцией и обозначается

или

где H- АЧХ передаточной функции;

- ФЧХ передаточной функции.

Рассмотрим передаточные функции по напряжению на примере простейших цепей (рисунок 9.7) и (рисунок 9.10).

Рисунок 9.7

(9.5)

(9.6)

По выражениям (9.5) и (9.6) построим соответственно АЧХ передаточной функции (рисунок 9.8) и ФЧХ передаточной функции (рисунок 9.9).

Рисунок 9.8 Рисунок 9.9



Рисунок 9.10

(9.7)

(9.8)

По выражениям (9.7) и (9.8) построим соответственно АЧХ (рисунок 9.11) и ФЧХ передаточной функции (рисунок 9.12) для цепи .

Рисунок 9.11 Рисунок 9.12

ЛЕКЦИЯ 10. ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ

Цель лекции: изучение методов расчета электрических цепей с взаимной индуктивностью.

10.1 Индуктивно связанные элементы цепи

Два элемента индуктивно связаны, если изменение тока в одном элементе приводит к появлению э.д.с. в другом элементе. Возникающая э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции (рисунок 10.1,а,б).

а) б)

Рисунок 10.1

При наличии тока i₁ в первой катушке, витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф₁₁, а витки второй катушки сцеплены с

магнитным потоком взаимной индукции Ф₂₁. (рисунок 10.1).

Потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции первой и второй катушек

,

где w₁,w₂- число витков первой и второй катушек. При наличии тока i₂ во второй катушке, витки второй катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф₂₂, а витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком взаимной индукции Ф₁₂. Потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции второй и первой катушек: ; , где w₁,w₂- число витков первой и второй катушек. Индуктивность первой и второй катушек и их взаимная индуктивность определяются по формулам

, , , , . (10.1)

Степень индуктивной связи двух индуктивно связанных элементов цепи характеризуется коэффициентом связи

. (10.2)

10.2 Электродвижущая сила (э.д.с.) и напряжение взаимной индукции

При изменении тока в одном из индуктивно связанных элементов в другом элементе возникает э.д.с. взаимной индукции е_м и на его разомкнутых выводах появляется напряжение u_м:

;

. (10.3)

Для определения знака е_м и u_м делают специальную разметку выводов индуктивно связанных элементов.

Два вывода принадлежащие двум разным индуктивно связанным элементам называются одноимёнными и обозначаются одинаковыми значками: _**,,??, если при одинаковом направлении токов в обоих элементах относительно этих выводов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе складываются.

При одинаковом направлении тока в элементе 2, ,в элементе 1 и тока в элементе 1, ,в элементе 2 (рисунок 10.1,а)

, , (10.4)

, . (10.5)

Напряжение взаимной индукции опережает ток на , напряжение взаимной индукции опережает ток на .

При различном направлении тока в элементе 2, ,в элементе 1 и тока в элементе 1, , в элементе 2 (рисунок 10.1,б)

, . (10.6)

, . (10.7)

Напряжение взаимной индукции отстаёт от тока на , напряжение взаимной индукции отстаёт от тока на .

Величина называется сопротивлением взаимной индукции, величина называется комплексным сопротивлением взаимной индукции.

10.3 Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Две индуктивно связанные катушки с сопротивлениями , и индуктивностями соединены последовательно. Возможны два вида включения: согласное и встречное.

а) б)

Рисунок 10.2

Согласное включение. При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены одинаково относительно одноименных выводов (рисунок 10.2,а). Поэтому потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе складываются

,.

Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов при согласном включении равна

(10.8)

Напряжение на зажимах первой и второй катушках в комплексной форме

, (10.9)

. (10.10)

Напряжение на зажимах цепи (рисунок 10.2,а)

(10.11)

где - входное сопротивление цепи при согласном включении;

;

;

.

Векторная диаграмма для согласного включения показана на рисунке 10.3,а.

Встречное включение. При встречном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены различно относительно одноименных выводов (рисунок 10.2,б). Поэтому потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе вычитаются , . Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов при встречном включении равна

(10.12)

Напряжение на зажимах первой и второй катушках в комплексной форме

, (10.13)

. (10.14)

Напряжение на зажимах цепи (рисунок 10.2,б)

(10.15)

где - входное сопротивление цепи при встречном включении;

;

.

Векторная диаграмма для встречного включения (при и ) показана на рисунке 10.3,б.

а) б)

Рисунок 10.3

10.4 Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Две индуктивно связанные катушки с сопротивлениями , и индуктивностями соединены параллельно, причем одноименные выводы присоединены к одному и тому же узлу (рисунок 10.4).

Рисунок 10.4

Запишем законы Кирхгофа для цепи (рисунок 10.4)

} (10.16)

где , ,.

Решая систему уравнений (10.16), получим

(10.17)

Входное сопротивление цепи

. (10.18)

Если индуктивно связанные элементы присоединены к узлу разноименными выводами

(10.19)

10.5 Расчёт разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности

Для разветвлённых цепей с индуктивными связями применяются законы Кирхгофа и метод контурных токов. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа э.д.с. взаимной индукции учитывается как соответствующее напряжение на элементе К, обусловленное током в элементе S. Напряжение записывается с положительным знаком, если направление обхода элемента К и положительное направление тока в элементе S одинаковы относительно одноимённых выводов.

Рисунок 10.5

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для схемы (рисунок 10.5).

}(10.20)

ЛЕКЦИЯ 11. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Цель лекции: изучить резонансные явления в последовательном колебательном контуре.

11.1 Резонанс напряжений

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Рисунок 11.1

Для цепи на рисунке 11.1 имеет место

где

, (11.1)

. (11.2)

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а, следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке 11.2,а.

Рисунок 11.2

2. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рисунке 11.2,б.

3. - случай резонанса напряжений (рисунок 11.2,с).

Условие резонанса напряжений

. (11.3)

При этом, как следует из (11.1) и (11.2), .

При резонансе напряжений ток в цепи наибольший . Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Как показывает анализ уравнения (11.3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (11.3) для резонансной частоты можно записать

(11.4)

11.2 Добротность и затухание последовательного колебательного контура

Добротность Q определяется отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе в режиме резонанса к входному напряжению

(11.5)

Добротность характеризует “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания

.

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

(11.6)

или с учетом (11.4) и (11.5) для можно записать

. (11.7)

Тогда добротность

. (11.8)

Затухание величина обратная добротности

. (11.9)

11.3 Частотные характеристики последовательного колебательного контура

Зависимость реактивного сопротивления контура от частоты (рисунок 11.3), где

, .



Рисунок 11.3 Рисунок 11.4

Зависимость полного сопротивления контура от частоты

,

(рисунок 11.4).До резонанса характер сопротивления контура активно- емкостной, при резонансе активный, после резонанса активно- индуктивный.

Зависимость - амплитудно - частотная характеристика (АЧХ),

(рисунок 11.5).

Зависимости ,, (рисунок 11.6).

Рисунок 11.5 Рисунок 11.6

Зависимость - фазо-частотная характеристика (ФЧХ), (рисунок 11.7).

Рисунок 11.7

11.4 Последовательный колебательный контур при узкой полосе частот

В технике связи часто имеют дело с контурами высокой добротности, работающими в диапозоне частот, мало отличающихся от резонансной. В этом случае расчетным формулам можно придать более общий вид, если ввести в них новые независимые переменные.

Обобщенная расстройка , при резонансе (), при

(11.10)

где (11.11)

(11.13)

Абсолютная расстрой-ка:

Относительная расстройка.

Удобно для сравнения резонансных кривых пользоваться относительными единицами.

АЧХ в относительных единицах - (рисунок 11.8)

(11.14)

где

Рисунок 11.8 Рисунок 11.9

ФЧХ в относительных единицах (рисунок 11.9)

. (11.5)

ЛЕКЦИЯ 12. РЕЗОНАНС ТОКОВ

Цель лекции: исследование резонансных явлений в параллельном колебательном контуре.

12.1 Резонанс токов

Резонанс токов возникает в параллельном колебательном контуре при условии, что входная реактивная проводимость

,. (12.1)

Рисунок 12.1 Рисунок 12.2

Учитывая (12.1), видно, что полная проводимость чисто активная

(12.2)

При резонансе токов общий ток наименьший и совпадает с напряжением на входе (рисунок 12.2)

, (12.3)

. (11.4)

Добротность контура

(12.5)

где -активное сопротивление контура;

- полоса пропускания.

. (12.6)

12.2 Резонансная частота параллельного колебательного контура

По условию резонанса токов

где , (12.7)

Решая совместно (12.7), получим

(12.8)

Резонанс токов возможен при , если:

а) R₁; R₂ R₁; R₂;

б) R₁=R₂ или R₁ и R₂ .

В случае, когда R₁=R₂= получаем неопределенность, т.е. может быть любое значение резонансной частоты.

Резонанс, не при какой частоте не возникает, если R₁, а R₂ или наоборот.

12.3 Сопротивление параллельного колебательного контура

Рисунок 12.3

Эквивалентное сопротивление параллельного колебательного контура

;

где X=X_L-X_C ; R₁ X_LR₂ X_c.

После преобразований, получим

 (12.9)

где R=R₁+R₂ активное сопротивление.

При резонансе

(12.10)

Тогда в режиме, отличном от резонансного

= (12.11)

Из выражения (12.11) видно, что

; (12.12)

Модуль эквивалентного сопротивления

(12.13)

Найдем для эквивалентной схемы

12.4 Влияние шунта на свойства параллельного колебательного контура

Рисунок 12.4

При резонансе активное сопротивление шунтированного контура

Учитывая (12.10), получим

С другой стороны , т.е .

Таким образом добротность шунтированного контура

(12.14)

12.5 Частотные характеристики идеального параллельного контура

Рисунок 12.5

Так как то в этом случае резонансная частота .

Проводимость катушки , проводимость конденсатора в=в_L- в_с (рисунок 12.6).

Рисунок 12.6 Рисунок 12.7

Так как ток I=/в/ U, значит в соответствующем масштабе резонансная кривая тока это график .

Угол , график приведен на рисунке 12.7. Идеальный колебательный контур, шунтированный активным сопротивлением

Рисунок 12.8 Рисунок 12.9

Для рассматриваемого контура резонансная частота

Для резонансного режима векторная диаграмма привидена на рисунке 12.9

где .

Напряжение на контуре .

В режиме резонанса .

Частотные зависимости приведены на рисунках 12.10, 12.11

Рисунок 12.10 Рисунок 12.11

Полосой пропускания параллельного колебательного контура называется полоса частот, в пределах которой напряжение на контуре не падает ниже (рисунок 12.12).

Рисунок 12.12

Полоса пропускания

(12.15)

Добротность

(12.16)

ЛЕКЦИЯ 13. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОКАХ

Цель лекции: изучение методов расчета линейных электрических цепей при несинусоидальных периодических токах.

13.1 Несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи

На практике э.д.с., напряжения и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников. В радиотехнике, вычислительной технике и т.п. применяются генераторы периодических несинусоидальных импульсов.

В общем случае характер изменения несинусоидальных величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данной лекции будут рассматриваться цепи только с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями и токами.

В качестве примера (рисунок 13.1,а) представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (рисунок 13.1,б).

Рисунок 13.1

13.2 Разложение периодических несинусоидальных кривых в ряд Фурье

Периодическая функция

где Т - период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

. (13.1)

Здесь - постоянная составляющая или нулевая гармоника;

- первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой

где Т - период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (13.1) . Коэффициенты А₀, а_К и b_K определяются по формулам

, , .

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией:

Рисунок 13.2

а) кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рисунок 13. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. ;

Рисунок 13.3 Рисунок 13.4

б) кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (рисунок 13.3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. ;

в) кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рисунок 13.4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

13.3 Действующее значение периодической несинусоидальной переменной. Действующее значение периодического тока

. (13.2)

Разложим периодический несинусоидальный ток в тригонометрический ряд

и подставим в формулу (13.2), после преобразования получим

. (13.3)

Аналогичные выражения имеют место для э.д.с. напряжения

, .

13.4 Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Выразим мгновенные значения напряжения и тока в виде тригонометрических рядов

.

Тогда для активной мощности можно записать

После интегрирования, получим:

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

.

Для несинусоидального тока .

13.5 Расчёт цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями, токами

Расчёт линейных электрических цепей несинусоидального тока распадается на три этапа:

а) разложение несинусоидальных э.д.с. и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (т.е. в тригонометрический ряд Фурье);

б) применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности. При расчете цепи с постоянными составляющими э.д.с. и тока источника следует учитывать, что индуктивное сопротивление равно 0 и индуктивность в эквивалентной схеме заменяется короткозамкнутым участком, а ёмкостное равнои ветвь с ёмкостью размыкается. При расчете цепи для каждой синусоидальной составляющей э.д.с. и тока источника можно пользоваться комплексным методом, но недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных синусоидальных составляющих. Необходимо учитывать, что индуктивное и емкостное сопротивления для различных частот неодинаковы, индуктивное сопротивление для k-й гармоники равно:

,

а емкостное сопротивление для k-й гармоники равно:

;

в) совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих. Причём суммируются только мгновенные значения составляющих токов и напряжений.

ЛЕКЦИЯ 14. ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКИ. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

Цель лекции: изучение основ теории четырёхполюсников и получение навыков расчета линейных пассивных четырёхполюсников.

14.1 Основные определения и классификация четырёхполюсников

Четырёхполюсником называется электрическая цепь или её часть, имеющая две пары зажимов (полюсов), для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. К четырёхполюсникам относятся трансформаторы, усилители, электрические фильтры, линии передачи электрической энергии и т.д. Таким образом, теория четырёхполюсников позволяет едиными методами анализировать системы различные по структуре и принципу действия.

Условное изображения четырёхполюсников показано на рисунке 14.1.

Рисунок 14.1

Пара зажимов называются первичными, называются вторичными, зажимы, к которым подключается источник называются входными, зажимы, к которым подключается приёмник называются выходными. Положительные направления напряжений и токов показано на рисунке 14.1.

Активные и пассивные четырехполюсники.

Активные четырехполюсники содержат независимые и зависимые источники, пассивные четырехполюсники не содержат источников электрической энергии.

Линейные и нелинейные четырёхполюсники.

Линейные четырёхполюсники не содержат нелинейные элементы, нелинейные четырёхполюсники содержат нелинейные элементы.

Обратимые и необратимые четырёхполюсники.

Для обратимых четырёхполюсников выполняется теорема обратимости или взаимности: отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов. Пассивные четырёхполюсники всегда обратимы.

Симметричные и несимметричные четырёхполюсники.

В симметричном четырёхполюснике перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи.

Схемы типовых пассивных четырёхполюсников показаны на рисунках 14.2 а), 14.2 б), 14.2 в),14.2 г).

Рисунок 14.2

14.2 Уравнения передачи четырёхполюсника

Уравнения определяющие зависимость между называются уравнениями передачи четырёхполюсника. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называются параметрами четырёхполюсника.

Уравнения передачи в Y-параметрах

}. (14.1)

Коэффициенты называются Y-параметрами и имеют размерность проводимостей.

Уравнения передачи в Z-параметрах

}. (14.2)

Коэффициенты называются Z-параметрами и имеют размерность сопротивлений.

Уравнения передачи в А- параметрах

}. (14.3)

Коэффициенты называются А- параметрами или обобщенными параметрами. А₁₁,А₂₂-безразмерные, А₁₂ имеет размерность сопротивления, А₂₁ имеет размерность проводимости.

Уравнения передачи в А - параметрах применяют при передаче энергии через четырёхполюсник от зажимов к зажимам.

При передаче энергии от зажимов к зажимам уравнения передачи для обратимых четырёхполюсников могут быть записаны через А - параметры, при этом коэффициенты А₁₁ и А₂₂ меняются местами

}. (14.4)

Уравнение передачи в Н - параметрах

}. (14.5)

Системы Y-,Z-,A-,H-параметров называются параметрами коэффициентами. Параметры - коэффициенты являются комплексными величинами, определяются только схемой четырёхполюсника и её элементами, между различными системами параметров - коэффициентов существует однозначная связь. Для пассивного четырёхполюсника , ,для А- параметров справедливо соотношение

?А=.

Для симметричного четырёхполюсника:

А₁₁=А₂₂, Y₁₁=-Y₂₂, Z₁₁=-Z₂₂.

14.3 Входные сопротивления четырёхполюсника, параметры холостого хода и короткого замыкания

Если к зажимам подключить произвольное сопротивление нагрузки Z_H2 (рисунок 14.3, а), то входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов будет равно . Входное сопротивление можно выразить через А-параметры

. (14.6)

Аналогично определяется входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов, если к к зажимам подключить произвольное сопротивление нагрузки Z_H1 (рисунок 14.3,б)

. (14.7)

а) б)

Рисунок 14.3

Параметрами холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ) называются и при разомкнутых и замкнутых накоротко зажимах четырёхполюсника.

Входные сопротивления четырёхполюсника в режиме холостого хода на зажимах (Z_H2=, I₂=0) и (Z_H1=, I₁=0) соответственно равны

, .

При коротком замыкании зажимов (Z_H2=0, U₂=0) и (Z_H1=0, U₁=0) входные сопротивления четырёхполюсника, соответственно, равны

, .

Параметры ХХ и КЗ удовлетворяют соотношению:, т.е.только три параметра из четырёх независимы и их достаточно для составления уравнений передачи пассивных четырёхполюсников, из параметров ХХ и КЗ может быть получена любая система параметров-коэффициентов пассивных четырёхполюсников. Для симметричных четырёхполюсников А₁₁=А₂₂, Z_X1=Z_X2, Z_K1=Z_K2.

ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА. УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

Цель лекции: изучение характеристических параметров четырехполюсника, получение навыков расчета режимов работы линейных пассивных четырёхполюсников с использованием характеристических параметров.

15.1 Характеристические параметры четырёхполюсника

К характеристическим параметрам четырёхполюсника относятся характеристические сопротивления и характеристическая постоянная передачи.

а)

б)

Рисунок 15.1

Характеристическими сопротивлениями четырёхполюсника называется такая пара сопротивлений и , которая удовлетворяет условию:

при имеем и при имеем (рисунки 15.1а,15.1б). можно выразить через А- параметры и параметры ХХ и КЗ

, , (15.1)

, (152)

Для симметричного четырёхполюсника:

.

Согласованное включение четырёхполюсника

Режим, при котором внутреннее сопротивление генератора выбрано равным , а сопротивление нагрузки (рисунок15.2) называется режимом согласованного включения. Режим согласованного включения наиболее благоприятен при передаче сигнала.

Рисунок 15.2

Режим согласованного включения симметричного четырёхполюсника (рисунок 15.3) ; .

Рисунок 15.3

Характеристическая постоянная передачи четырёхполюсника

Характеристическая постоянная передачи четырёхполюсника определяется в режиме согласованного включения и равна

, (15.3)

так как и получим

. (15.4)

Характеристическую постоянную передачи можно выразить через

А-параметры и параметры ХХ и КЗ

, . (15.5)

Подставим в уравнение

(15.3),

получим

(15.6)

где А_С -характеристическое (собственное) ослабление четырёхполюсника

(15.7)

единица измерения А_С в масштабе натуральных логарифмов называется непером (Нп). На практике принято измерять А_С в децибелах (дБ).

В_С - фазовая постоянная четырёхполюсника, измеряется в радианах или градусах

(15.8)

симметричного четырёхполюсника ,

, .

15.2 Уравнения передачи четырёхполюсника с гиперболическими функциями

А- параметры могут быть выражены через характеристические параметры

(15.9)

Подставим (15.9) в уравнение передачи в А-параметрах (14.3) и получим уравнение передачи с гиперболическими функциями

,

. (15.10)

Для симметричного четырёхполюсника () уравнение передачи с гиперболическими функциями имеет вид

, . (15.11)

15.3 Характеристические параметры Т- и П- образных симметричных четырёхполюсников (рисунки 15.4 а, 15.4 б).

Рисунок 15.4

Для Т- и П-образных симметричных четырёхполюсников

Характеристические сопротивления для Т-и П- образных схем

, . (15.12)

ЛЕКЦИЯ 16. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ФИЛЬТРЫ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Цель лекции: изучение частотных электрических фильтров и их принципа действия.

16.1 Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым ослаблением) пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим ослаблением) токов других частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром без ослабления (или с малым ослаблением), называется полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим ослаблением, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства.

Таблица 16.1- Классификация фильтров

Название фильтров	Диапазон пропускаемых частот
Низкочастотные фильтры (НЧФ)
Высокочастотные фильтры (ВЧФ)
Полосовые фильтры (ПФ)
Заграждающие или режекторные фильтры (ЗФ или РФ)	и , где

Частота называется частотой среза или граничной частотой.

Фильтры используются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике.

Применяются: пассивные LC-фильтры и RC-фильтры; активные RC-фильтры (АRC-фильтры); цифровые фильтры.

16.2 RC- фильтры

В устройствах техники связи широко применяются активные RC- фильтры (ARC-фильтры). Элементной базой ARC-фильтров являются: пассивные (резисторы и конденсаторы) и активные элементы. В качестве активного элемента обычно служит операционный усилитель (ОУ). Рассмотрим пассивные RC- фильтры. Для всех RC- фильтров в рабочей зоне коэффициент ослабления .

Для НЧФ (рисунок 16.1) рабочая зона находится в диапазоне частот от до, при , а =3дБ (рисунок 16.2). Коэффициент ослабления определяется по формуле

. (16.1)

Рисунок 16.1 Рисунок 16.2

Для ВЧФ (рисунок 16.3) рабочая зона находится в диапазоне частот от , при которой, а =3дБ, до , когда (рисунок 16.4).

Коэффициент ослабления определяется по формуле

. (16.2)

Рисунок 16.3 Рисунок 16.4

Для ПФ (рисунок 16.5) минимальное значение коэффициента ослабления имеет место при (рисунок 16.6) , коэффициент ослабления определяется по формуле

. (16.3)

Рисунок 16.5 Рисунок 16.6

16.3 Пассивные реактивные LC-фильтры. Фильтры типа К.

Фильтры, у которых произведение их комплексных сопротивлений во всём диапазоне частот не зависит от частоты, называются фильтрами типа К.

К фильтрам типа К относятся низкочастотные, высокочастотные, полосовые и заграждающие реактивные LC-фильтры. Рассмотрим пассивные реактивные LC-фильтры, составленные из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными сопротивлением и проводимостью.

Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами - резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной Т - или П-образной схеме.

Рисунок 16.7

Симметричный фильтр определяется двумя параметрами характеристическим сопротивлением и постоянной передачи , где -коэффициент ослабления, - коэффициент фазы. Для фильтров с согласованной нагрузкой (при всех частотах)

. (16.4)

Так как - реактивные сопротивления, тодействительная величина, отсюда получим , (16.5)

. (16.6)

16.4 Полоса пропускания и полоса задерживания реактивного LC- фильтра

При согласованной нагрузки фильтра ()

и . (16.6)

В идеальном случае в полосе пропускания (прозрачности) фильтра , отсюда следует, что в полосе пропускания (формула 16.6).

Выражение (16.5) запишется в виде и . (16.7)

Так как , то . (16.8)

Из условия (16.7) следует, что сопротивления должны иметь различный характер: а) или б) .

Выражение (16.8) можно записать в виде , отсюда получим условие для граничных частот . (16.9)

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания.

Полоса пропускания . (16.10)

Полоса задерживания . (16.11)

ЛЕКЦИЯ 17. ПАССИВНЫЕ РЕАКТИВНЫЕ LC-ФИЛЬТРЫ

Цель лекции: изучение принципа действия низкочастотных, высокочастотных, полосовых и задерживающих пассивных реактивных LC-фильтров.

17.1 Низкочастотные фильтры

Т-и П-образные схемы низкочастотного фильтра приведены на рисунке17.1.

Рисунок 17.1

Найдём произведение сопротивлений и : (17.1)

где - номинальное характеристическое сопротивление.

Как видно из выражения (17.1), НЧФ являются фильтрами типа К.

Определим . (17. 2)

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания НЧФ получим из (16.10) и (16.11) с учетом выражения (17.2).

Полоса пропускания . (17. 3)

Полоса задерживани . (17. 4)

Из условий (16.9) и получим граничные частоты и .

АЧХ и ФЧХ для НЧФ приведены на рисунке

Рисунок 17.2

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания и частотные характеристики и получены при согласовании фильтра с нагрузкой () во всем диапазоне частот.

17.2 Характеристические сопротивления НЧФ

В лекции 15 были получены характеристические сопротивления для Т-и П- образных симметричных схем

, .

Отсюда получим характеристические сопротивления для НЧФ

, (17.5)

. (17.6)

Как видно из (17.5) и (17.6), характеристические сопротивления зависят от частоты, при : , при :, .

В полосе пропускания характеристические сопротивления активные. При согласовании фильтра с нагрузкой() входное сопротивление фильтра , отсюда следует, что напряжение и ток на входе фильтра совпадают по фазе и в полосе пропускания фильтр работает в режиме резонанса.

Зависимость , представлена на рисунке 17.3. Так как характеристические сопротивления зависят от частоты, то невозможно согласовать фильтр с нагрузкой во всем диапазоне частот.

Рисунок 17.3

17.3 Высокочастотные фильтры

Т-и П- образные схемы высокочастотного фильтра приведены на рисунке 17.4.



Рисунок 17.4

Найдём произведение сопротивлений и :

(17.7)

где - номинальное характеристическое сопротивление.

Как видно из выражения (17.7), ВЧФ являются фильтрами типа К.

Определим . (17.8)

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания ВЧФ получим из (16.10) и (16.11) с учетом выражения (17. 8).

Полоса пропускания . (17. 9)

Полоса задерживания ,

. (17.10)

Из условий (16.9) и получим граничные частоты и .

АЧХ и ФЧХ для ВЧФ приведены на рисунке 17.5.

Рисунок 17.5 Рисунок 17.6

Условия для полосы пропускания и полосы задерживания и частотные характеристики и получены при согласовании фильтра с нагрузкой () во всем диапазоне частот.

17.4 Характеристические сопротивления ВЧФ

В лекции 15 были получены характеристические сопротивления для Т-и П- образных симметричных схем

.

Отсюда получим характеристические сопротивления для ВЧФ

, (17.11)

. (17.12)

Как видно из (17.11) и (17.12), характеристические сопротивления зависят от частоты, при : , при :, .

В полосе пропускания характеристические сопротивления активные. При согласовании фильтра с нагрузкой() входное сопротивление фильтра , отсюда следует, что напряжение и ток на входе фильтра совпадают по фазе и в полосе пропускания фильтр работает в режиме резонанса.

Зависимость , представлена на рисунке 17.6.

17.5 Полосовые фильтры

Полоса пропускания полосового фильтра лежит в диапазоне частот от до . Полосовой фильтр может быть образован путём соединения низкочастотного фильтра с полосой пропускания от 0 до и высокочастотного фильтра с полосой пропускания от до , причем >.

Т-и П- образные схемы полосового фильтра приведены на рисунке 17.7.

Рисунок 17.7

Выберем , тогда при частоте в продольной ветви наступает резонанс напряжений, в поперечной резонанс токов. Поэтому частота принадлежит полосе пропускания. Частотные характеристики полосового фильтра представлены на рисунке 17.8.

17.6 Заграждающие или режекторные фильтры

Полоса пропускания заграждающего фильтра лежит в диапазоне частот от 0 до и от до. Заграждающие фильтры могут быть получены путём совмещения свойств НЧФ и ВЧФ. Т-и П- образные схемы заграждающего фильтра приведены на рисунке 17.10.

Рисунок 17.10

Частотные характеристики ЗФ представлены на рисунке 17.9.

В заключение необходимо отметить, что для улучшения характеристик фильтров всех типов их целесообразно выполнять в виде цепной схемы, представляющей собой каскадное включенные четырехполюсники. При обеспечении согласованного режима работы всех n звеньев схемы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бакалов В. П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.Е. Основы теории цепей: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2000.-592с.

2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. - т.1. - Санкт-Петербург, Питер, 2003.-463с.

3. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. - т.2. - Санкт-Петербург, Питер, 2003.-576с.

4. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. - М.: Энергоатомиздат, 1989.-528с.

5. Шебес М. Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1990.-544с.

Размещено на Allbest.ru