Теорія власних і вимушених електромагнітних коливань у відкритих двовимірних структурах

Размещено на http://www.allbest.ru

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна

01.04.03 - Радіофізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико - математичних наук

Теорія власних і вимушених електромагнітних коливань у відкритих двовимірних структурах

Мележик Петро Миколайович

Харків - 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова

Національної академії наук України.

Науковий консультант: доктор фізико - математичних наук, професор,

академік НАН України В П. Шестопалов .

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Литвиненко Леонід Миколайович,

Радіоастрономічний інститут

НАН України (м. Харків), директор;

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Назарчук Зіновій Теодорович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка

НАН України (м. Львів), заступник директора;

доктор фізико-математичних наук, професор,

Нерух Олександр Георгійович,

Харківський державний технічний університет

радіоелектроніки Міністерства освіти і науки

України, завідувач кафедри вищої математики.

Провідна установа:Національний науковий центр

“Харківський фізико-технічний інститут”

Інститут плазмової електроніки і нових методів

прискорювання Міністерства освіти і науки України.

Захист відбудеться 15.06.2001 року о 12 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.02 Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 3-09.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4.

Автореферат розісланий 28.04.2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ляховський А.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У сучасній радіофізиці, що досліджує коливальні та хвильові процеси, самостійне значення має напрям, пов'язаний із вивченням фізичної природи та закономірностей реалізації різних резонансних та аномальних явищ, які проявляються при дифракції, поширенні та випромінюванні електромагнітних хвиль. Отримані тут результати важливі не тільки для розвитку теоретичних уявлень про ці процеси для відповідних структур, але й для правильного вибору адекватних принципів роботи і способів технічної реалізації створюваних нових функціональних елементів. Достовірність і повнота відомих і знову одержуваних знань у цій області багато в чому визначаються обґрунтованістю й ефективністю математичного апарату і фізичної концепції, що використовуються для кількісного і якісного дослідження цих процесів. Результативність аналізу істотно зростає, якщо математичний апарат і фізичні концепції максимально враховують специфіку досліджуваних об'єктів і того частотного діапазону, в якому вони використовуються. Тому взаємозалежний розвиток математично обґрунтованих методів моделювання і фізичного уявлення про можливі і спостережувані хвильові процеси є актуальними задачами.

У зв'язку з освоєнням міліметрового (мм) і субміліметрового (субмм) діапазонів електромагнітних хвиль у радіофізиці й електроніці знаходять широке застосування відкриті резонатори (ВР). Вони використовуються у квантовій і дифракційній електроніці при створенні генераторів і підсилювальних пристроїв. За допомогою ВР можна досліджувати поверхневі властивості металів, визначати ступінь поглинання енергії в газах, здійснювати діагностику плазми й електронних потоків, вимірювати діелектричні властивості твердих речовин і рідин і т.п. Але, незважаючи на таке різноманітне застосування ВР, їхнє теоретичне дослідження тривалий час проводилося на основі асимптотичних і евристичних методів (геометричної оптики, променевого методу, методу параболічного рівняння і т.д.). З їхньою допомогою в припущенні асимптотичної малості довжини хвилі в порівнянні з геометричними розмірами ВР або навпаки в випадку, коли довжина хвилі набагато перевищує розміри ВР, побудовані наближені моделі, що дають змогу описати тільки частину спектру власних частот ВР. Цій частині відповідають або короткохвильові коливання, наприклад, типу “стрибучого м'ячика”, або довгохвильові коливання. При цьому дотепер не вирішені повною мірою питання про точність наближених розв'язків і про межі областей їхнього застосування. Саме ці питання особливо загострюється в ситуації, коли довжина хвилі порівнянна з характерними розмірами ВР, що типово для мм і субмм діапазонів хвиль. Крім того, асимптотичні й евристичні методи стають непридатними для аналізу спектральних характеристик і вимушених коливань ВР із включеннями різної природи, коли розміри останніх порівнянні з довжиною хвилі. Таким чином, подальший розвиток і використання ВР, у тому числі з включеннями, вимагає їхнього детального теоретичного дослідження на базі строгих математичних моделей. Через те, що коливальні процеси у відкритих структурах супроводжуються випромінюванням електромагнітної енергії у вільний простір їх коректне вивчення може бути проведено тільки на підставі методів теорії несамоспряжених операторів. Важливу інформацію може дати також аналітичне продовження розв'язків відповідних крайових задач в області комплексних (нефізичних) значень ряду параметрів. При цьому математичні моделі створюють достатньо великі можливості для ефективного абстрактного аналізу. А його результати завжди можуть бути конвертовані в області первинних фізичних уявлень. Таким чином можливості, які відкриваються при коректному математичному моделюванні, повинні використовуватися в повному обсязі.

У зв'язку з викладеним, актуальною є проблема побудови строгих математичних моделей відкритих резонансних структур, що не потребують апріорних обмежень на їх параметри і параметри включень, які знаходяться в них, і проведення на основі цього всебічного аналізу їх спектральних і дифракційних властивостей. Це дасть змогу визначити всі фізичні особливості власних електромагнітних полів у цих структурах, у тім числі й такі, що мають істотне значення при їхньому практичному використанні, але не можуть бути описані наближеними моделями, а також установити межі областей застосування різних асимптотичних, наближених і евристичних методів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках планів комплексної науково-дослідної програми НАН України "Фундаментальні дослідження в області міліметрових і субміліметрових хвиль і використання їхніх результатів у народному господарстві". Дисертаційна робота є узагальненням результатів досліджень, проведених автором у відділі "Теорії дифракції і дифракційної електроніки" ІРЕ ім. О.Я. Усикова НАН України з 1980 по 2000 рік, які входять в науково-технічні звіти НДР №ДР.81.014.288 (1980 р.), ДР.01.84.0053359 (1984 р.), №ДР.0188.0078386 (1988 р.), №ДР.01.93U42279 (1993 р.), №ДР.01.98U001474 (1998 р.).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова строгих в математичному відношенні спектральної теорії і теорії дифракції одного класу відкритих резонаторів, дзеркала яких співпадають з частинами незамкнутих кругових циліндричних поверхонь, що містять включення різної фізичної природи (магнітодіелектрики, ідеальні провідники і плазму); дослідження за допомогою методів цих теорій якісних та кількісних характеристик спектрів комплексних власних частот і резонансних властивостей цих ВР; виявлення основних властивостей хвильових процесів у таких структурах при змінюванні їхніх геометричних і електродинамічних параметрів; визначення меж областей застосування різних асимптотичних і наближених методів дослідження відкритих структур; а також розробка рекомендацій із практичного використання отриманих результатів для створення елементної бази і радіосистем мм і субмм діапазонів довжин хвиль.

Для досягнення зазначеної мети необхідно вирішити такі наукові задачі:

створити строгу і математично обґрунтовану модель, яка описує власні коливання та фізичні процеси збудження коливань в ВР, дзеркала яких співпадають з частинами незамкнутих кругових циліндричних поверхонь, що містять включення різної фізичної природи (магнітодіелектрики, ідеальні провідники і плазму). Обґрунтувати адекватність побудованої моделі початковій крайовій задачі, довести теореми еквівалентності, теореми існування та єдиності розв'язку систем отриманих операторних рівнянь, теорему про дискретність і скінченну кратність спектру власних коливань ВР.

за допомогою побудованих моделей провести детальний чисельний аналіз електродинамічних характеристик (спектрів комплексних власних частот і резонансних типів коливань) досліджуваних відкритих структур при зміні різних параметрів - геометричних деформацій дзеркал, матеріальних параметрів і розмірів включень та місця їх розташування в ситуації, коли характерні розміри ВР та включень порівнянні з довжиною хвилі. Отримані результати порівняти з відомими та визначити межі областей застосування асимптотичних та наближених методів.

побудувати математичну строгу модель явища міжтипового зв'язку власних електромагнітних коливань у відкритих електродинамічних структурах, вивчити його основні закономірності, з'ясувати, яким чином це явище впливає на характер поведінки спектральних характеристик і дати фізичну інтерпретацію отриманим результатам.

Об'єктом дослідження в роботі є фізичний процес взаємодії високочастотного електромагнітного поля з відкритими електродинамічними структурами, в тому числі такими, що містять матеріальні включення різної фізичної природи (магнітодіелектричні, металеві і плазмові).

Предметом дослідження в роботі є спектр комплексних власних частот, а також власні і резонансні електромагнітні коливання в відкритих резонаторах, в тому числі таких, які містять просторово обмежені магнітодіелектричні, ідеально провідні та плазмові включення.

В роботі для розв'язання поставлених задач були використані такі методи:

метод розділення змінних в локальних системах координат і метод задачі Рімана-Гільберта для приведення вихідної спектральної задачі до задачі на характеристичні числа матричної оператор-функції, яка скінченномероморфно залежить від спектрального параметра, а також для побудови лівого еквівалентного регуляризатора при розв'язанні задачі дифракції;

методи спектральної теорії скінченномероморфних оператор-функцій для доведення дискретності і скінченної кратності спектру комплексних власних частот класу відкритих структур, які досліджуються;

метод редукції для обчислювального розв'язання систем операторних рівнянь для задач дифракції та дисперсійного рівняння для спектральних задач;

метод січних, Трауба, Ньютона та зворотної інтерполяції для побудови високоефективних обчислювальних алгоритмів пошуку комплексних власних частот, які є коренями дисперсійних рівнянь, що задаються нескінченними визначниками.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1.В роботі створено, послідовно розвинуто та апробовано нові методи аналізу фізичних властивостей одного класу відкритих структур з включеннями різної фізичної природи, на основі яких побудовано обґрунтовані математичні моделі, які дали змогу дослідити та вивчити властивості спектру власних комплексних частот і резонансних електромагнітних коливань. В основу теоретичних побудувань було покладено ідею зведення вихідної спектральної задачі в термінах диференціальних рівнянь Максвела до задачі на характеристичні числа ядерної матричної оператор-функції в гільбертовому просторові, яка скінченномероморфно залежить від спектрального параметра. Методи спектральної теорії скінченномероморфних оператор-функцій дали змогу теоретично проаналізувати аналітичні властивості спектру власних комплексних частот досліджуваних відкритих структур і вперше довести, що він є дискретним (тобто утворює обліковану ізольовану множину) і має скінченну кратність (тобто кожній комплексній власній частоті відповідає не більш ніж скінченне число власних коливань). Побудовано високоефективні математично обґрунтовані обчислювальні алгоритми розрахунку власних комплексних частот і власних коливань, проведено теоретичне дослідження і обґрунтування алгоритмів і доведено їх збіжність, а також досліджено швидкість цієї збіжності. коливання електромагнітний спектр частота

2.Вперше в резонансній області довжин хвиль, коли характерні геометричні розміри відкритих резонаторів та включень зрівнянні з довжиною хвилі електромагнітного поля, і асимптотичні та наближені теорії не можуть бути застосовані, проведено всебічний чисельний аналіз властивостей спектру власних комплексних частот та резонансних коливань при змінюванні геометричних та матеріальних параметрів відкритих резонаторів та включень. Вперше в строгій постановці вивчено вплив на спектр власних частот та структуру резонансних полів відкритого резонатора різного типу деформацій дзеркал відкритого резонатора: зміна апертури та радіусу кривизни одного із дзеркал; перекіс дзеркал. Виявлено та досліджено ефект резонансного підвищення добротності кругового циліндра з подовжньою щілиною при внесенні в його середину вузької ідеально провідної стрічки. Вперше досліджено спектр власних частот та резонансні коливання відкритого резонатора, одне із дзеркал якого є не фокусуючим, а навпаки розсіюючим, і показано, що в такому резонаторі можливе існування одного достатньо добротного коливання в смузі частот, яка дорівнює октаві.

3.Вперше установлено зв'язок внутрішніх и зовнішніх власних коливань в системі двох дифракційно зв'язаних відкритих резонаторів. Показано, що при безперервному зменшенні резонансного об'єму одного із резонаторів до нуля, деякі із внутрішніх власних частот системи резонаторів переходять у зовнішні власні частоти резонатора, який залишається. Виявлено, що симетрична система із трьох дифракційно зв'язаних відкритих резонаторів має двократно вироджені точки спектру та показано, що будь-яке порушення симетрії призводить до зняття виродження і до появи в спектрі власних комплексних частот нової частоти і нового власного коливання.

4.Вперше в резонансній області частот чисельно вивчені спектральні та резонансні характеристики (спектр власних комплексних частот, власні та вимушені електромагнітні коливання) відкритих резонаторів, в резонансному об'ємі яких знаходяться магнітодіелектричні, в тому числі неоднорідні та ідеально провідні включення. Виявлено та досліджено ефект резонансного збільшення добротності відкритого резонатора з діелектричним стержнем, який має малі втрати, в порівнянні з добротністю порожнього резонатора. Показано, що, незважаючи на те, що добротність власних електромагнітних коливань такого стержня мала, збудження їх у відкритому резонаторі призводить до резонансного зростання добротності системи ВР з включенням. Побудовані моделі відкритих резонаторів з включеннями вперше створили можливість проаналізувати дію методу пробного тіла, який широко використовується на практиці для вимірювання відносного амплітудного розподілу полів власних коливань відкритих резонаторів.

5.Побудовано строгу математичну модель явища міжтипового зв'язку власних коливань у відкритих структурах; на основі проведених досліджень показано, що це явище має важливе значення і без його урахування неможливо дати адекватний опис хвильових процесів у відкритих структурах. Установлено, що наявність морсовських критичних точок у дисперсійних рівнянь суттєво впливає на характер поведінки власних комплексних частот і власних електромагнітних коливань у відкритих структурах при змінюванні їх параметрів в околі цих точок. Показано, що асимптотичні та наближені моделі ВР, які апріорі не враховують явища міжтипового зв'язку, мають суттєво меншу область застосування, особливо це стосується добротності типів коливань, які вони описують.

6.Вперше в строгій постановці досліджено спектральні та резонансні характеристики (спектр власних комплексних частот, власні та вимушені електромагнітні коливання) відкритих резонаторів, в резонансному об'ємі яких знаходяться плазмові включення. Показано, що зміна плазмових параметрів: плазмової та циклотронної частоти і частоти зіткнення електронів плазми, приводить до характерних змін комплексних власних частот відкритого резонатора, що може бути використано при діагностиці плазми. Показано, що введення зовнішнього постійного магнітного поля приводить до розщеплення власних частот азимутальних поверхневих коливань плазмового циліндра, що пов'язано з невзаємністю цих власних коливань. Вперше установлено факт міжтипового зв'язку власних коливань, які мають різну фізичну природу, а саме: власних коливань відкритого резонатора і власних азимутальних поверхневих коливань плазмового циліндра. Досліджено вплив цього зв'язку на характер поведінки як власних частот ВР, так і власних частот плазмового циліндра.

Практичне значення отриманих результатів полягає в тому, що вони створюють наукову основу і дають практичні рекомендації для побудови строгих математично обґрунтованих моделей інших класів відкритих структур та їх фізичного аналізу в резонансній області частот. Отримані результати мають важливе самостійне значення, вони дають підстави зробити висновок про складний характер поведінки комплексних власних частот у відкритих резонансних структурах, в тому числі з включеннями різної матеріальної природи, за зміни їхніх параметрів та про фізичні процеси формування резонансних коливань в них. Установлені, раніше невідомі, ефекти вказують на фізичні механізми формування полів у ВР, використання яких дозволяє створити нові відкриті резонансні структури. Побудована математична модель явища міжтипового зв'язку коливань послужила основою для аналізу цього явища в інших електродинамічних структурах і дала змогу створити чітку фізичну інтерпретацію деяких теоретичних і експериментальних даних при дослідженні відкритих резонаторів, діелектричних резонаторів, смужкових ліній, хвилеводних резонаторів та інших електродинамічних структур. На основі проведених досліджень та виявлених ефектів запропоновані нові пристрої мм і субмм діапазонів довжин хвиль.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі узагальнені матеріали досліджень, що становлять результат багаторічної самостійної роботи автора. В дисертацію увійшли також результати, отримані в співавторстві за його безпосередньої участі. Із спільних публікацій використані тільки ті матеріали, в які автор зробив визначний внесок, тобто: постановка задачі та мети досліджень; побудова їх розв'язків; обговорення теоретичних та чисельних результатів, їх обробка, фізична інтерпретація та узагальнення. Автор був ініціатором більшості спільних робіт. Фізичні ідеї, методи дослідження, наукові висновки та положення, які виносяться на захист, належать авторові особисто.

Апробація результатів дисертації проводилася на національних та міжнародних конференціях і симпозіумах: Всесоюзній науково - технічній конференції “Проектування радіоелектронних пристроїв на діелектричних хвилеводах і резонаторах” (Тбілісі, 1988 р.); Всесоюзній науково - технічній конференції “ Математичне моделювання і САПР радіоелектронних систем НВЧ на ОІС” (Москва, 1989 р. ); I Українському симпозіумі “Фізика і техніка мм та субмм хвиль” (Харків, 1991 р.); VIII-th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Kharkov, 2000 ).

Публікації. За темою дисертації автор має 21 статтю в співавторстві, 5 статей без співавторів в національних та зарубіжних наукових журналах, 3 авторських свідоцтва СРСР, а також 7 тез доповідей на конференціях.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, семи розділів, висновків, списку літератури та двох додатків. Загальний обсяг роботи складає 334 сторінки, включаючи 148 рисунків та 2 таблиці (із них 56 стор. цілком містять рисунки і таблиці), список цитованої літератури з 234 найменувань на 24 сторінках, а також 2 додатки на 14 стор.

Зміст дисертації

Вступ містить в собі загальну характеристику стану проблеми, обґрунтування необхідності проведення досліджень за темою дисертації та їх актуальність. В ньому сформульовані мета та задачі дисертаційної роботи, розглянуто коло питань, розв'язання яких лягло в основу дисертаційної роботи, визначено новизну і практичну цінність отриманих результатів.

Перший розділ “Власні електромагнітні коливання системи незамкнутих циліндричних екранів з однорідним діелектричним включенням” присвячено побудові строгого математично обґрунтованого розв'язку задачі про спектр власних двовимірних електромагнітних коливань відкритої структури, утвореної скінченним числом ідеально провідних незамкнутих кругових циліндричних поверхонь та включень у вигляді круглих діелектричних стержнів. В цьому розділі зроблено огляд літератури, в якому розглянуто стан проблеми та основні напрямки дослідження відкритих електродинамічних структур. Цей огляд приводить до висновку, що методи дослідження відкритих резонаторів, в тому числі з діелектричними включеннями, для аналізу їх спектральних та дифракційних характеристик розвинуті недостатньо і не у всіх випадках адекватно описують фізичні процеси у цих структурах і, таким чином, побудова математично строгої моделі ВР, яка не вимагає ніяких апріорних обмежень на параметри досліджуваних структур (за винятком ідеальної провідності дзеркал), є актуальною потребою і визначається широким застосуванням відкритих структур.

У цьому розділі описується геометрія класу відкритих структур, які розглядаються, та сформульовано вихідну спектральну задачу, яка полягає в тому, що: потрібно визначити значення спектрального параметра (власної частоти , - швидкість світла в вакуумі), при яких існують нетривіальні розв'язки однорідного рівняння Гельмгольця

, \, (1)

які задовольняють граничним умовам

|= 0 ( - випадок) чи |= 0 ( - випадок), (2)

умовам спряження на границях включень

|, | ( - випадок), (3)

| ( - випадок),

умовам типу Мейкснера

для будь якого компакту , (4)

умовам випромінювання Рейхарда (часова залежність вибрана у вигляді )

(5)

для достатньо великих ,

тут , , , - дзеркала ВР,

- діелектричні включення, , - границя , граничні значення на , причому (+) зсередини , а (-) - ззовні;

Функція описує паралельну твірним дзеркал ВР компоненту магнітного ( - коливання) чи електричного ( - коливання) полів. Залежність від спектрального параметра в (5) розглядається в комплексній площині з розрізом удовж променя . Специфічною особливістю класу спектральних задач, які розглядаються, є те, що спектральний параметр входить нелінійно в умови випромінювання (5), що суттєво ускладнює пряме дослідження поставленої задачі.

Задача (1) - (5) (докладно розглянуто випадок - коливань) на основі метода розділення змінних в локальних координатах (з використанням теорем додавання для циліндричних функцій) та методу задачі Рімана-Гільберта зведено до задачі на характеристичні числа канонічної фредгольмової оператор-функції

. (6)

Тут - відповідно тотожний оператор і нульовий елемент в . Доведено, що матричні оператори є аналітичними ядерними оператор-функціями для будь якого , де - деяка дискретна множина в комплексній площині.

Доведено наступну

Т е о р е м у (еквівалентності)

Спектральна задача (1) - (5) і задача (6) на характеристичні числа оператор-функції еквівалентні. Спектр власних частот відкритого резонатора з включенням співпадає з множиною характеристичних чисел оператор-функції .

Еквівалентність розуміється в такому сенсі. Нехай - множині характеристичних чисел і - нетривіальний розв'язок (власний вектор) рівняння (6) при . Тоді функція виду

(7)

де - локальні полярні координати, які зв'язані з - тим елементом структури , а

не дорівнює тотожньо нулю і є розв'язком задачі (1)-(5) при , таким чином - власна частота. Навпаки, якщо функція виду (7) є розв'язком задачі (1)-(5) при деякому , то .

Таким чином, спектральні характеристики (спектр власних частот, типи резонансних коливань) класу відкритих структур, який розглядається, можна вивчати засобами функціонального аналізу стосовно оператор-функції . В роботі досліджуються аналітичні властивості як функції спектрального параметра. Установлено, що є скінченномероморфною оператор-функцією в комплексній площині з розрізом вподовж променя . Використавши теорему Фредгольма про скінченномероморфну оператор-функцію і теорему існування розв'язку задачі дифракції, доведено, що множина характеристичних чисел (власних частот) є дискретною і скінченнократною і розташована в області . Отже для будь яких в області може знаходитися тільки скінченне число власних частот задачі (1)-(5). Певно, ця фундаментальна властивість спектру (дискретність і скінченна кратність) притаманна всім відкритим структурам, спектр власних коливань яких може бути описаний в термінах задачі (1)-(5).

Побудовано ефективний обчислювальний алгоритм розрахунку власних частот. Нехай

: ортопроектор, де , :, , . За допомогою послідовності ортопроекторів побудовано послідовність скінченновимірних оператор-функцій . Доведено таку

Т е о р е м у

1)Якщо , тобто при існує нетривіальний розв'язок операторного рівняння (6), то існує послідовність комплексних чисел така, що і .

2) Якщо і , тоді межа є власною частотою відкритої структури , якщо , де , - комплексна площина, а - множина ізольованих особливих точок оператор - функції . Тут через позначено множину характеристичних чисел оператор-функції .

Таким чином, власні частоти задачі (1)-(5) можна апроксимувати коренями послідовності рівнянь . Отримано таку оцінку швидкості збіжності алгоритму: при .

У другому розділі “Збудження монохроматичних електромагнітних коливань в системі незамкнутих циліндричних екранів з діелектричними включеннями” в строгій постановці розв'язана задача дифракції монохроматичної плоскої (і циліндричної) електромагнітної хвилі на відкритій структурі, спектральні характеристики якої досліджені в першому розділі. Вихідні задачі дифракції (задачі про функції Гріна, які відповідають двом типам поляризації збуджуючого поля) на основі розділення змінних в локальних координатах переформулюються в термінах зв'язаних систем функціональних рівнянь з тригонометричними ядрами (крайові умови на ідеально провідних дзеркалах відкритого резонатора) і нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь (умови спряження на межах включень). Доведено, що у зв'язаних систем парних функціональних рівнянь існує лівий еквівалентний регуляризатор, який ефективно будується методом задачі Рімана-Гільберта. В результаті отримані системи операторних рівнянь II - го роду з ядерними операторами. Доведено теорему існування та єдиності розв'язку вказаних систем і теорему еквівалентності. Встановлено зв'язок між задачами дифракції і спектральною задачею (1)-(5). Обговорюються чисельно-аналітичні методи побудови розв'язку задач. Доведено законність застосування методу редукції для числового розв'язання систем операторних рівнянь і отримано асимптотичну оцінку похибки наближених розв'язків при застосуванні цього методу.

В третьому розділі “Власні електромагнітні коливання відкритого резонатора з неоднорідними включеннями” на основі підходів, розвинутих у першому розділі, побудовано строго математично обґрунтовані розв'язки задач про спектри власних двовимірних електромагнітних коливань відкритих резонаторів, утворених скінченним числом ідеально провідних незамкнутих кругових циліндричних поверхонь та включень у вигляді циліндричних шаруватих стержнів (, тут - множина точок внутрішніх шарів діелектричного циліндра, а ), неоднорідних ( і ) магнітодіелектричних стержнів, а також плазмових круглих циліндричних стержнів

(, , тут , , і

- відповідно плазмова та електронна частота, - частота зіткнень електронів плазми). В цьому розділі зроблено огляд літератури, в якому розглянуто стан проблеми та основні напрямки дослідження відкритих електродинамічних структур з такими включеннями.

Як і в першому розділі, сформульовано спектральні задачі, аналогічні (1)-(5) і побудовано формальні розв'язки в вигляді операторних рівнянь типу (6). Досліджено аналітичні властивості відповідних оператор-функцій і доведено, що вони також є ядерними. Таким чином, для них справедливі всі основні теореми, які було доведено в першому розділі, щодо властивостей спектрів власних електромагнітних коливань цих відкритих структур, а також можливості їх обчислювального аналізу.

В четвертому розділі “Спектральні характеристики двовимірних відкритих резонаторів” на основі обчислювальної реалізації строгої математичної моделі ВР з діелектричним включенням, побудованої в першому і другому розділах, на базі обчислювальних експериментів проведено фізичний аналіз спектральних характеристик таких двовимірних відкритих структур:

1.конфокального і неконфокального відкритого резонатора;

2.відкритого коаксіального щілинного резонатора (ВКЩР), утвореного двома співвісними незамкнутими циліндричними дзеркалами;

3.відкритого резонатора з нефокусуючим дзеркалом;

4.системи двох и трьох дифракційно зв'язаних відкритих резонаторів.

Основна увага приділяється вивченню залежності спектральних характеристик (власних частот, добротностей, типів коливань) від різних неспектральних параметрів у ситуації, коли характерні розміри відкритих структур зрівняні з довжиною хвилі електромагнітного поля, де неприйнятні різні асимптотичні та наближені методи.

Проведено аналіз спектральних характеристик конфокального і неконфокального ВР, утвореного двома паралельними ідеально провідними незамкнутими круговими циліндричними поверхнями. Дана класифікація спектру - поляризованих () власних коливань в ситуації, коли резонансна довжина хвилі зрівняна з радіусами кривизни і апертури дзеркал. Показано, що нарівні з коливаннями типу (тип коливання позначається як , коли компонента магнітного поля приймає значення нуль - разів на осі ВР і - разів на осі, перпендикулярній їй ), які наближено описуються асимптотичними спектральними теоріями, існують коливання типу , для яких ці теорії неприйнятні. Визначені межі застосування ряду формул асимптотичних моделей ВР. Так, наприклад, встановлено, що відносна похибка асимптотичних формул Л.А. Вайнштейна для дійсних частин власних частот коливань типу симетричного ВР становить % вже для (при цьому власні частоти обчислювалися з точністю до 4-5 значущих цифр). З ростом індексу похибка швидко зменшується. Цікаво відзначити, що навіть для коливань типу ця формула дає порівняно малу відносну похибку %. Але, як показали детальні дослідження, існують діапазони зміни геометричних параметрів ВР, в яких проявляється явище міжтипового зв'язку власних коливань, де асимптотичні формули неадекватно описують поведінку власних частот (див. рис.1). На рис.1 пунктирні лінії відповідають розрахункам за асимптотичними формулами. Ці випадки детально розглянуті в п'ятому розділі.

Досліджено вплив на спектр власних частот і структуру резонансних полів різного роду деформацій дзеркал (зменшення апертури одного із дзеркал, перекіс дзеркал, зменшення радіуса кривизни одного із дзеркал) для ВР з доконфокальною, конфокальною і законфокальною геометрією. Показано, що в випадку ВР з доконфокальною геометрією при (- радіуси кривизни дзеркал) дійсні частини власних частот коливань типу монотонно збільшуються. При цьому для коливань типу и крутизна відповідних залежностей різко відрізняється одна від одної так, що для коливань типу вона набагато вища. Це також характерно і для ВР із законфокальною геометрією. Проте, в поведінці добротностей коливань мають місце суттєві відмінності. Наприклад, для ВР із доконфокальною геометрією зміна на знижує добротність коливання типу майже на порядок, в той же час, для аналогічного коливання ВР із законфокальною геометрією - всього в рази.

Досліджено спектр власних - поляризованих коливань ВКЩР в довгохвильовому та середньохвильовому діапазонах. Виявлено, що ВКЩР в довгохвильовій області має високодобротне (?) власне коливання (при цьому резонансна довжина хвилі майже в десять разів перевищує радіус кривизни зовнішнього екрану). Для цього типу коливань визначені значення кута орієнтації внутрішнього екрану і відношення радіусів кривизни екранів (при фіксованих розмірах щілин в екранах), при яких добротність максимальна. Проведена класифікація резонансних коливань ВКЩР в середньохвильовому діапазоні і вивчено залежності комплексних власних частот від розміру щілини і кута орієнтації внутрішнього дзеркала. Виявлено і досліджено ефект різкого збільшення (на декілька порядків) добротності коливань типу кругового циліндра з поздовжньою щілиною при внесенні всередину його вузької циліндричної стрічки. Встановлено, що існують такі резонансні значення кутового розміру цієї стрічки і місця її знаходження, при яких поверхневий струм на зовнішньому екрані ВКЩР розподіляється таким чином, що місцезнаходження щілини на ньому відповідає мінімальному чи навіть нульовому значенню цього струму, що і призводить до такого збільшення добротності відкритої структури.

Базуючись на висновках теореми Куранта про кількість та властивості власних значень рівняння Гельмогольця в довільній області з узагальнюючими граничними умовами, проведено дослідження спектру власних частот відкритого резонатора, одне із дзеркал якого, з точки зору геометричної оптики, не має фокусуючих властивостей, а навпаки, є розсіюючим. Показано, що відповідним добором параметрів такого ВР в ньому можна отримати один достатньо добротний і стійкий резонанс у смузі частот шириною в октаву.

Досліджено спектр власних частот системи двох дифракційно зв'язаних відкритих резонаторів - циліндрів з подовжніми щілинами. Введено поняття “внутрішніх власних частот”, пов'язаних з резонансним збудженням електромагнітних полів всередині ВР, із яких складається система, і “зовнішніх власних частот”, які відповідають формуванню власного електромагнітного поля зовні ВР. Визначено, що спектр власних частот симетричної системи дифракційно зв'язаних ВР, коли резонатори, з яких складається ця система, мають одинакові геометричні параметри, подвоюється в порівнянні з одиночним резонатором. Це пов'язано із синфазним та протифазним збудженням в ВР, які складають систему, власних електромагнітних коливань. Показано, що, коли один із резонансних об'ємів системи дифракційно зв'язаних ВР безперервно зменшується до нуля або віддаляється на нескінченність, “внутрішні власні частоти” синфазних власних коливань системи дифракційно зв'язаних відкритих резонаторів завжди переходять у відповідні “внутрішні власні частоти” одиночного ВР, а протифазних - в одних випадках в “зовнішні власні частоти” одиночного ВР, а в інших спрямовуються в нескінченність. Показано, що коли один із резонаторів системи спрямовується в нескінченність “внутрішні власні коливання” багаторазово вступають у міжтиповий зв'язок із “зовнішніми власними коливаннями

Вивчені спектральні властивості симетричної системи дифракційно зв'язаних відкритих резонаторів, яка складається із трьох однакових кругових циліндрів, центри яких співпадають з вершинами рівностороннього трикутника, з однаковими подовжніми щілинами, середини яких орієнтовані на центр трикутника. Така система має кругову симетрію, а також симетрична відносно прямих, які проходять через центр кожного циліндра та центр трикутника. Показано, що в довгохвильовій області спектр власних частот такої структури складається із двох точок, власні коливання яких мають такі властивості: на більш низькій частоті - електромагнітне поле власного коливання у кожному із циліндрів має одинакові фазу і амплітуду, а на більш високій - електромагнітне поле в одному із циліндрів має фазу, протилежну полям у двох інших циліндрах, при цьому модуль його амплітуди в два рази більший модуля поля в тих циліндрах, де він одинаковий. Встановлено, що якщо порушити симетрію системи будь яким із способів (наприклад, зменшити радіус кривизни одного із циліндрів чи змінити в ньому кутові розміри щілини, чи кут її орієнтації), то в довгохвильовій області з'являється третя точка спектру. Власне коливання її характеризується тим, що електромагнітне поле в тих циліндрах, де не змінювалися параметри, протифазне одне відносно іншого і має одинаковий модуль амплітуди, а в циліндрі, де параметри змінювалися, модуль поля практично дорівнює нулю.

В п'ятому розділі “ Явище міжтипового зв'язку власних коливань у відкритих резонаторах” на основі строгої спектральної теорії двохвимірних ВР, розвинутої в першому розділі, побудовано строгу математичну модель явища міжтипового зв'язку власних коливань у відкритих структурах. Розглядається характеристичне рівняння, якому задовольняють власні частоти відкритої структури, в вигляді

, (8)

тут - спектральний параметр, а - неспектральний параметр (наприклад, це може бути відстань між дзеркалами ВР чи радіус їх кривизни та ін.), який змінюється в деякій області , де функція аналітична ( - комплексна площина). Без утрати загальності, допускається, що спектральний параметр (власна частота) , .

Введемо підмножину в двовимірному комплексному просторі вигляду . Для кожного позначимо через множину характеристичних чисел (власних частот відкритої структури) оператор - функції . У силу ядерності множина нулів характеристичного рівняння збігається з .

Враховуючи те, що є аналітичною функцією за сукупністю змінних в області , можна визначити аналітичну поверхню в області такого вигляду

.

Очевидно, що

.

З теорії критичних точок комплексно-аналітичних функцій багатьох змінних відомо, що якщо поблизу існує ізольована критична точка функції (тобто точка, для якої =, де - часткові похідні по і відповідно), то локальна структура в околі цієї точки визначається розташуванням і типом точки . На віддалі ж від критичних точок функції аналітична поверхня локально влаштована як гіперплощина . Отже, малим змінам параметра в околі регулярної точки (тобто такої, що або ) відповідають і малі зміни .

Розглянемо тепер - множину морсовських критичних точок характеристичного рівняння відкритої структури . За визначенням:

.

Тут і далі через позначені другі часткові похідні функції за спектральноми і неспектральноми параметрами. Відомо, що якщо - замкнута обмежена підмножина у , то перетинання і складається не більше ніж з кінечного числа точок. Нехай - ізольована морсівська критична точка (тобто ) розташована досить близько до . У деякому околі цієї точки характеристичне рівняння (8) може бути зображене у вигляді

, (9)

де , а - кубічно малі члени. Уточнимо тепер, що означає "точка розташована досить близько до ". Припустімо існування околу точки з жордановою межою такою, що на межі виконується нерівність

. (10)

Умова (10) у силу теореми Руше гарантує, що перетин із зазначеним околом не порожній. Далі, існує нелінійна неособлива заміна змінних , що приводить рівняння (9) до вигляду

, (11)

звідки отримуємо, що

.

Очевидно, що якісно структури розв'язків рівнянь (9) і (11) співпадають, оскільки вони зв'язані неособливими гладкими, й у малому, лінійними перетвореннями.

Таким чином, показано, що якщо - ізольована морсовська критична точка характеристичного рівняння, яка відпоаідає умові (10), то в околі , це рівняння з точністю до членів вищого порядку малості збігається з невиродженою квадратичною формою з комплексними коефіцієнтами. Крім того, множина таких значень , може бути не більш ніж облікованою ізольованою множиною, тому що перетин з будь-якою замкнутою обмеженою підмножиною в не більш, ніж скінченний.

Нехай морсовська критична точка така, що , тоді з (11) отримуємо , тобто маємо в точці дворазове виродження характеристичного рівняння, як за спектральним, так і неспектральним параметрами. У цьому випадку малі відхилення параметра від значення відповідають добре відомому явищу зняття виродження (при спектр власних частот відкритої структури містить дворазово вироджене значення спектрального параметра).

Розглянемо випадок . Для вивчення типових якісних особливостей залежностей комплексних власних частот, як розв'язків рівнянь (8), (9) у фізичній області зміни неспектрального параметра (наприклад, якщо - нормована відстань між дзеркалами резонатора, то ця область визначається умовою ), достатньо дослідити залежності розв'язків рівняння (11), коли комплексний параметр змінюється вздовж прямих , де - дійсний параметр прямої, - характеризує кут її нахилу, при :

, (12)

Де

,,

.

Отримане двопараметричне по і сімейство кривих містить при заданих залежності, аналогічні відомому "графіку Віна" для резонансних частот зв'язаних коливальних контурів. Важливо, що існують й інші типи залежностей.

На рис.3 при різних значеннях зображені сімейства для, очевидно, всіх якісно можливих ситуацій. Ці сімейства кривих будемо називати діаграмами зв'язку. Залежності , що відповідають показані суцільними лініями, їхні збурювання малими значеннями зображені штриховими лініями. Поряд із зображеними діаграмами зв'язку рівноправно можливі типи залежностей, які отрмуються з представлених тут заміною .

Таким чином, установлено, що наявність ізольованої морсівської критичної точки характеристичного рівняння відкритої структури призводить до існування в околі двох розв'язків рівняння . Якісна поведінка цих розв'язків при зміні цілком визначається рівнянням (11). У розділі розглянуто конкретні приклади прояву явища міжтипового зв'язку власних коливань у дводзеркальних відкритих резонаторах у випадках, коли

параметрами настройки резонатора є апертура дзеркал або відстань між ними. Показано, що і в конкретних відкритих резонаторах міжтиповий зв'язок власних коливань описується не тільки відомим графіком Віна, а й іншими залежностями власних комплексних частот від неспектральних параметрів ВР, які аналогічні зображеним на рис.3. Важливо зазначити, що відомі асимптотичні та наближені моделі ВР в діапазонах зміни неспектральних параметрів, де проявляється міжтиповий зв'язок, неадекватно описують поведінку власних комплексних частот. Особливо це стосується їх уявних частин, що свідчить про їх неприйнятність у цих випадках

Вивчені також структури резонансних типів коливань, які мають гібридний характер, на частотах поблизу морсівської критичної точки

В шостому розділі “Спектральні характеристики двовимірного відкритого резонатора з діелектричними включеннями” вивчаються спектральні характеристики - поляризованих власних коливань ВР з включеннями в вигляді діелектричного, шаруватого діелектричного й ідеально провідного кругового стержня, вісь якого паралельна твірним дзеркал. Діелектрична проникність включення припускалася комплексною, тобто в системі відкритий резонатор з включенням допускалася наявність втрат не тільки на випромінювання, але і в матеріалі включення. Основна увага приділялася вивченню залежностей спектра комплексних частот від матеріальних параметрів включення, його геометричних розмірів та місця його розташування в відкритому резонаторі. Хвильові розміри включення змінювалися в широкому діапазоні, зокрема, були такими, де неприйнятні асимптотичні теорії. Встановлено, що характер залежностей комплексних власних частот від величини діелектричної проникності () включення суттєво визначається такими факторами:

а) знаходиться включення в “пучності” чи “вузлі” власного електричного поля відкритого резонатора;

б) чи ( - діаметр включення, , - власна частота, - швидкість світла в вакуумі).

Так, для включення з , розташованого в “пучності” електричного поля, при спектральні характеристики (власна частота та добротність) асимптотично наближаються до аналогічних величин відкритого резонатора з ідеально провідним включенням (такого ж розміру, що й діелектричне включення). Наприклад, власна частота та добротність коливання типу (включення знаходиться в центрі ВР і ) при практично співпадає з власною частотою ВР з ідеально провідним включенням. Для включення, яке знаходиться в “вузлі” електричного поля (наприклад, коливання типу , включення - в центі ВР) власна частота і добротність практично не залежить від із достатньо великого інтервалу (де - в основному визначається параметром , чим він менший, тим більша величина ). При цьому, рівномірно по задовольняється нерівність , де - власна частота порожнього ВР, - відстань між дзеркалами. Коли дійсні частини власних частот монотонно зменшуються при збільшенні . Ситуація принципово змінюється, коли . В цьому випадку власні частоти різко зменшуються з ростом , а для залежностей добротностей характерна поява локального максимуму (наприклад, для коливання типу максимум при ). Подальше збільшення приводить до значного зростання дифракційних втрат, що пов'язано зі збільшенням розсіюючих властивостей включення.

Аналіз динаміки поведінки спектру власних частот при змінюванні діаметра включення показав, що дійсні частини комплексних власних частот монотонно зменшуються, коли , а залежності добротностей коливань типу мають яскраво виражений резонансний характер. При достатньо малих втратах в матеріалі включення () можливі ситуації, коли добротність системи ВР з включенням майже на порядок перевищує добротність пустого ВР (див.Рис.6). Встановлено, що такий характер поведінки добротності пов'язаний зі збуренням полем відкритого резонатора власних коливань самого включення.

Досліджено поведінку спектральних характеристик коливань типу симетричного конфокального ВР як функції місця знаходження включення на осі резонатора. Встановлено, що для включень з великими втратами () залежності резонансних частот і добротностей мають яскраво виражений осцилюючий характер. Максимальне (мінімальне) відхилення резонансної частоти і добротності від відповідних величин порожнього ВР спостерігається, коли включення знаходиться в “пучності” (“вузлі”) електричного поля. Зі збільшенням діаметра включення амплітуда осциляцій частоти збільшується, а добротності - зменшується. При залежності частоти та добротності практично не осцилюють. Суттєво змінюється поведінка спектральних характеристик, коли включення є ідеально провідним. У цьому випадку резонансні частоти можуть бути як більші, так і менші, чи навіть рівні резонансній частоті порожнього ВР (для діелектричних включень завжди - резонансна частота пустого ВР, - радіус кривизни дзеркал). Для достатньо малих ідеально провідних включень залежність від місця знаходження включення є періодичною функцією. Причому, період приблизно співпадає з резонансною довжиною хвилі відповідного власного коливання порожнього ВР. Показано, що , коли включення знаходиться в “вузлі” електричного поля, , коли в “пучності”. Випадок реалізується, коли в місці знаходження включення амплітуди електричного і магнітного полів порожнього ВР є рівними. Останні результати моделюють метод пробного тіла, який широко використовується на практиці при вивченні амплітудно - фазового розподілу електромагнітного поля у відкритих резонаторах.

Досліджені закономірності поведінки спектральних характеристик ВР з включенням, коли останнє складається з двох шарів із різними діелектричними проникностями при зміні їх діаметрів і діелектричних проникностей. Проаналізовано явище міжтипового зв'язку власних коливань у цьому випадку і показано, що його властивостями можна управляти не тільки за допомогою зміни геометричних параметрів ВР, але й зміною матеріальних параметрів включення. Таким чином встановлено, що якщо міжтиповий зв'язок власних коливань у відкритому резонаторі має паразитарний характер, то внесення в його резонансний об'єм діелектричного включення з відповідними параметрами дає змогу зруйнувати цей зв'язок і отримати резонатор з потрібними характеристиками і потрібним робочим типом коливання.

Сьомий розділ “Відкритий резонатор з плазмовим включенням” присвячений дослідженню спектральних характеристик відкритого резонатора, всередині якого знаходиться круговий плазмовий циліндр. Вивчено поведінку власної частоти і декремента згасання як функції ефективного хвильового вектора , (тут - номер азимутальної гармоніки, - плазмова частота, - радіус металевого циліндра) при випромінюванні азимутальних поверхневих хвиль крізь вузьку щілину в хвилеводі і проведено порівняння з результатами, отриманими за допомогою наближених методів. Встановлено, що наближена модель якісно описує тільки поведінку зрушення дійсної частини власної частоти азимутальних поверхневих хвиль плазмового циліндра, яке обумовлене прорізанням щілини. Щодо декремента згасання , то наближена модель не враховує того факту, що характер його поведінки від параметра суттєво залежить від парності номера азимутальної гармоніки. Показано, що для парних і непарних номерів азимутальних поверхневих гармонік декременти згасання ведуть себе по-різному

Досліджено поведінку спектральних характеристик циліндра з подовжньою щілиною із плазмовим круговим циліндром в довгохвильовій області в залежності від зміни параметрів плазми. Ця область характеризується тим, що в ній сам плазмовий циліндр наділений власним коливанням, дійсна частина власної частоти якого наближено дорівнює так званій граничній частоті . З іншого боку, в випадку - поляризованих коливань, в цій області сам циліндр з подовжньою щілиною має власне коливання, дійсна частина власної частоти якого визначається співвідношенням (тут - кутовий розмір щілини). Показано, що існують діапазони зміни параметрів системи, в яких на характер поведінки цих спектральних характеристик суттєво впливає явище міжтипового зв'язку власних коливань, які мають різну фізичну природу, а саме, коливань відкритого резонатора й азимутальних поверхневих коливань плазмового утворення.

Проаналізовано спектральні характеристики конфокального відкритого резонатора, в центрі якого знаходиться круговий плазмовий циліндр, при різних співвідношеннях частоти високочастотного електромагнітного поля відкритого резонатора і плазмової частоти включення, тобто при і , а також при відсутності () і наявності зовнішнього постійного магнітного поля (). Встановлено, що на характер поведінки комплексних власних частот такої системи суттєво впливають співвідношення як параметрів плазмового включення, так і частотних і геометричних параметрів самого відкритого резонатора. Існують діапазони зміни параметрів, коли в такій системі резонансним чином збуджуються гібридні коливання, тобто проявляється явище міжтипового зв'язку, і це потрібно враховувати, наприклад, при використанні резонаторних методів діагностики плазми. На прикладі деяких типів азимутальних поверхневих коливань плазмового циліндра в відкритому резонаторі вивчено їх так звану властивість невзаємності, коли введення зовнішнього подовжнього магнітного поля приводить до розщеплення їх власної частоти, яку вони мають при , на дві, які відрізняються тим більше, чим більше магнітне поле