Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебное пособие

для выполнения индивидуальных заданий

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

В.Т. Кононов, Д.С. Худяков, Г.П. Чикильдин

Новосибирск 2007

УДК 621.372.083.92 (07)

Рецензенты: канд. техн. наук Г.В.Сероклинов,

канд. техн. наук А.Б. Колкер

Данное учебное пособие составлено на базе материалов методических указаний для выполнения индивидуальных заданий по курсу «Методы цифровой фильтрации» разработанных А.С. Анисимовым и Г.П. Чикильдиным и изданных в 1995 году.

Учебное пособие содержит общие сведения о фильтрации сигналов, необходимые расчетные соотношения для проектирования различных типов нерекурсивных фильтров с линейными фазовыми частотными характеристиками на основе модифицированного гармонического ряда Фурье и рекурсивных фильтров Чебышева на базе билинейного Z-преобразованияю. Приводятся выражения для расчета частотных характеристик фильтра, соотношения для моделирования на ЦВМ нерекурсивных фильтров посредством дискретной свертки и рекурсивных фильтров по каскадной схеме, программное обеспечение проектирования и функционирования фильтров, а также примеры решения характерных модельных задач нерекурсивной и рекурсивной фильтрации

Пособие предназначено для выполнения индивидуальных заданий в рамках самостоятельной работы, практических занятий и лабораторных работ.

Новосибирский государственный технический университет, 2008 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАЦИИ

1.1 Математические модели фильтров

1.2 Типы фильтров

1.3 Погрешности фильтрации

2. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.1 Проектирование фильтра

2.2 Характеристики фильтра

2.3 Функционирование фильтра

3. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

3.1 Проектирование фильтра

3.2 Характеристики фильтра

3.3 Функционирование фильтра

4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

4.1 Общие положения

4.2 Базовые данные для выполнения лабораторных работ

4.3 Лабораторная работа № 1. Проектирование нерекурсивного фильтра

4.4 Лабораторная работа № 2. Функционирование нерекурсивного фильтра

4.5 Лабораторная работа № 3. Проектирование рекурсивного фильтра

4.6 Лабораторная работа № 4. Функционирование рекурсивного фильтра

4.7 Расчетно-графическая работа. Расчет нерекурсивного фильтра на базе модифицированного гармонического ряда Фурье

5. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ

6. ПРИМЕРЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

6.1 Общие положения

6.2 Нерекурсивный спектральный анализ

6.3 Нерекурсивное сглаживание

6.4 Нерекурсивное дифференцирование

6.5 Рекурсивный спектральный анализ

6.6 Рекурсивное сглаживание

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАХ

1.1 Математические модели фильтров

Основными задачами фильтрации являются:

спектральный анализ сигнала, т.е. выделение совокупности гармонических составляющих определенного диапазона частот;

сглаживание сигнала, т.е. уменьшение в реализации сигнала уровня высокочастотных составляющих аддитивной помехи;

дифференцирование сигнала, зашумленного аддитивной помехой с высокочастотными составляющими.

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Указанные и другие задачи решаются путем применения различных линейных фильтров, представляющих собой линейные динамические звенья. В зависимости от характера обрабатываемого сигнала различают (см. рис.1.1) непрерывные (на входе и выходе действуют непрерывные сигналы ( и ) и дискретные (на входе и выходе действуют дискретные сигналы и , , - шаг дискретизации по времени) фильтры. Последние разделяются на рекурсивные и нерекурсивные фильтры. При реализации дискретных фильтров на базе цифровой вычислительной техники возникает эффект конечной разрядности чисел и такие фильтры принято называть цифровыми фильтрами.

Математическими моделями фильтров служат соотношения или уравнения, устанавливающие связь между входным и выходным сигналами фильтра.

Математической моделью непрерывного фильтра является линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

,

или соответствующая ему дробно-рациональная передаточная функция

,

где и - оператор и переменная преобразования Лапласа;

- импульсная характеристика фильтра,

а также интегральное уравнение свертки

.

Математической моделью рекурсивного фильтра является линейное разностное уравнение -го порядка

, ,

представляющее дискретный аналог дифференциального уравнения, или соответствующая ему дробно-рациональная дискретная передаточная функция

, , ,

где и - оператор и переменная Z-преобразования.

Математической моделью нерекурсивного фильтра является дискретная форма интегрального уравнения свертки -

,

причем импульсная характеристика нерекурсивного фильтра финитна, т.е. имеет конечную длительность

при , при ,

и его передаточная функция записывается в виде

. (1.1)

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) и фазовая частотная характеристика (ФЧХ) непрерывных фильтров являются непериодическими функциями частоты и определяются на интервале . Частотные характеристики дискретных фильтров представляют собой периодические с периодом , , функции частоты , в результате чего они полностью определяются на интервале .

1.2 Типы фильтров

В зависимости от характера обработки входного сигнала фильтры обладают различными АЧХ. При атом могут быть выделены четыре основных типа фильтров (низкочастотный (НЧФ), полосовой (ПФ), режекторный (РФ) и высокочастотный (ВЧФ) фильтры), а также представляющий значительный практический интерес дифференцирующий фильтр (ДФ). Идеализированные АЧХ данных дискретных фильтров в интервале частот приведены на рис.1.2 1.6, соответственно.

На каждой АЧХ выделяются следующие полосы:

1) полоса пропускания

для НЧФ и ДФ , для ПФ ,

для РФ и , для ВЧФ ;

2) переходная полоса

для НЧФ и ДФ , для ПФ и ,

для РФ и , для ВЧФ ;

3) полоса задерживания

для НЧФ и ДФ , для ПФ и ,

для РФ , для ВЧФ .

Исходными данными при проектировании фильтра, полностью определяющими вид и качество его АЧХ, являются следующие параметры:

1) относительная неравномерность в полосе пропускания;

2) относительная неравномерность в полосе задерживания;

3) ширина переходных полос;

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

4) верхняя граничная частота полосы пропускания;

5) нижняя граничная частота полосы пропускания;

6) коэффициент усиления в полосе пропускания;

7) шаг дискретизации по времени .

Граничные частоты и характеризуют тип фильтра и конкретный вид его идеальной АЧХ (при , , ).

Относительные неравномерности и характеризуют ширину , и зон допустимых изменений реальной АЧХ фильтра в полосах пропускания и задерживания, а тем самым, совместно с шириной переходных полос, определяют качество АЧХ фильтра. С уменьшением , и качество фильтра улучшается.

При проектировании фильтра удобно характеризовать ширину переходных полос АЧХ через относительный параметр в виде

(1.2)

1.3 Погрешности фильтрации

При функционировании фильтра всегда возникает ошибка фильтрации, обусловленная отличием реального выходного сигнала фильтра от желаемого и порожденная непременно присутствующими погрешностями фильтрации. Рассмотрим погрешности фильтрации на примере задачи сглаживания измеренной реализации сигнала , искаженной высокочастотной помехой . Сглаживание осуществляется посредством НЧФ с АЧХ , полоса пропускания которой совпадает с эффективной полосой амплитудного частотного спектра сигнала и не заходит в эффективную полосу амплитудного частотного спектра помехи (см. рис. 1.7). В этом случае выходной сигнал должен воспроизводить сигнал , а ошибка фильтрации возникает из-за следующих для определенности поименованных погрешностей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 1.7

1. Переходная погрешность возникает по причине динамических свойств фильтра и может достигать на интервале длительности переходного процесса фильтра особенно больших значений. В непрерывных и рекурсивных фильтрах при эта погрешность принимает малые значения, уменьшающиеся с увеличением времени , а в нерекурсивных фильтрах из-за конечной длительности их импульсных характеристик при данная погрешность вообще отсутствует.

2. Шумовая погрешность обусловлена наличием составляющих частотного спектра помехи вне полосы пропускания АЧХ и уменьшается при уменьшении параметров и .

3. Смешанная погрешность обусловлена наличием составляющих частотного спектра сигнала вне полосы пропускания АЧХ и частотного спектра помехи в полосе пропускания АЧХ. При спектральном анализе эта погрешность отсутствует, а при сглаживании и дифференцировании ее уменьшение достигается выбором оптимального значения частоты .

4. Амплитудная погрешность возникает из-за не идеальности АЧХ в полосе пропускания и уменьшается при уменьшении параметра .

5. Фазовая погрешность обусловлена не идеальностью ФЧХ в полосе пропускания АЧХ. Если ФЧХ является строго линейной в полосе пропускания АЧХ, т.е. в этой полосе

,

то при введении в выходной сигнал фильтра запаздывания на величину фазовая погрешность полностью исключается. Отсюда возможность уменьшения уровня этой погрешности определяется степенью линейности ФЧХ, которую принято характеризовать степенью постоянства групповой или фазовой задержек фильтра в полосе пропускания АЧХ.

6. Дискретная погрешность может возникать из-за дискретизации по времени обрабатываемой реализации, что порождает эффекты отражения и наложения периодических частотных спектров и требует выбора достаточно малого шага дискретизации по времени .

7. Цифровая погрешность обусловлена конечной разрядностью представления чисел при цифровой реализации фильтра.

Уменьшение цифровой погрешности прямо связано с возможностями используемой вычислительной техники. Обеспечение требуемого уровня шумовой, смешанной, амплитудной и дискретной погрешностей достигается соответствующим выбором априори задаваемых параметров , , , и . При этом с уменьшением параметров , , и возрастает необходимый объем оперативной памяти и количество вычислений, а тем самым возможности уменьшения шумовой, амплитудной и дискретной погрешности также ограничены возможностями используемой вычислительной техники.

2. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТЫ

2.1 Проектирование фильтра

фильтрация сигнал частотный рекурсивный

Проектирование нерекурсивного фильтра сводится к синтезу его передаточной функции при которой АЧХ фильтра удовлетворяет поставленным в исходных данных требованиям. Согласно выражению (1.1) передаточная функция нерекурсивного фильтра полностью определяется отсчетами , , его импульсной характеристики. Если импульсная характеристика фильтра является симметричной или антисимметричной относительно некоторой оси симметрии, то такой фильтр обладает линейной ФЧХ. На основе аппроксимации идеальной АЧХ фильтра модифицированным гармоническим рядом Фурье могут быть синтезированы фильтры только вида 1 или вида 2, характеризующиеся нечетным значением величины

, ,

и необходимостью выполнения дополнительного условия

.

Фильтры вида 1 реализуют НЧФ, ПФ, РФ, и ВЧФ и описываются передаточной функцией

, (2.1)

а фильтры вида 2 реализуют только ДФ и описываются функцией

. (2.2)

Синтез передаточной функции или, что то же самое, импульсной характеристики , , при использовании сглаживающих множителей Кайзера производится в следующем порядке.

1. Определяется согласно выражениям (1.2) ширина переходных полос АЧХ фильтра.

2. Вычисляется параметр множителей Кайзера

,

где , при ,

, при .

3. Определяется число членов аппроксимирующего ряда Фурье

,

где - оператор выделения целой части числа.

4. Находится совокупность сглаживающих множителей Кайзера

, ,

причем значения модифицированной функции Бесселя первого рода нулевого порядка определяются в виде конечной суммы ряда

.

5. Вычисляются с учетом вводимых обозначений

, , ,

, , ,

искомые отсчеты , , импульсной характеристики:

1) для НЧФ ,

, ;

2) для ПФ ,

, ;

3) для РФ ,

, ;

4) для ВЧФ ,

, ;

5) для ДФ

, .

2.2 Характеристики фильтра

Осуществляя в передаточной функции замену

,

получаем согласно выражениям (2.1) и (2.2) следующие расчетные соотношения для АЧХ и ФЧХ фильтра в диапазоне частот :

1) в случае НЧФ, ПФ, РФ, и ВЧФ

,

;

2) в случае ДФ

,

.

Свойства фильтра во временной области непосредственно описываются импульсной характеристикой , , причем отсчеты , , определяются при проектировании фильтра, а отсчеты , , находятся согласно свойств симметрии:

1) в случае НЧФ, ПФ, РФ, ВЧФ

, ;

2) в случае ДФ

, .

2.3 Функционирование фильтра

Вычисление дискретного значения выходного сигнала фильтра в -й момент времени по дискретным значениям входного сигнала и импульсной характеристики производится в соответствии со следующими расчетными соотношениями:

1) в случае НЧФ, ПФ, РФ и ВЧФ согласно выражению (2.1)

;

2) в случае ДФ согласно выражению (2.2)

,

причем в процессе вычислений необходимо полагать

при .

3. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

3.1 Проектирование фильтра

Проектирование рекурсивного фильтра сводится к синтезу его передаточной функции , при которой АЧХ фильтра удовлетворяет предъявляемым требованиям в исходных данных. При использовании билинейного Z-преобразования принимается

(3.1)

и проектирование фильтра, реализуемого по каскадной схеме, предлагает последовательный синтез трех передаточных функций:

1) функции низкочастотного фильтра прототипа;

2) функции требуемого непрерывного фильтра;

3) функции требуемого рекурсивного фильтра.

Передаточная функция низкочастотного фильтра-прототипа Чебышева характеризуется порядком и представляется в форме

(3.2)

.

Синтез функции осуществляется на основании:

- неравномерности АЧХ в полосе пропускания;

- неравномерности АЧХ в полосе задержания;

- параметра , определяющего ширину переходных полос АЧХ, и предусматривает последовательное определение:

1) вспомогательных параметров

, ;

2) порядка передаточной функции

;

3) количества

пар комплексно-сопряженных полюсов

, , ,

передаточной функции ;

4) вспомогательного параметра

;

5) вещественных и мнимых частей комплексных полюсов

,

, ;

6) дополнительного при вещественного полюса

, ;

7) других параметров передаточной функции

, ,

Передаточная функция требуемого непрерывного фильтра представляется в форме

, (3.3)

,

при для НЧФ и ВЧФ,

Синтез функции осуществляется на основании:

- верхней граничной частоты полосы пропускания АЧХ;

- верхней граничной частоты полосы пропускания АЧХ;

- коэффициента усиления в полосе пропускания АЧХ;

- шага дискретизации по времени

посредством предварительного определния:

1) параметра

;

2) количества

пар комплексно-сопряжных полюсов

, , ,

передаточной функции ;

3) расчетных верхней и нижней граничных частот скорректированной полосы пропускания АЧХ

, ,

и последующей, соответствующей для каждого типа фильтра, замены аргумента в передаточной функции вида (3.2).

В случае НЧФ с учетом замены



находим

, ,

, , , .

В случае ПФ с учетом замены

, , ,

находим

, , ,

, ,

, ,

, ,

, , ,

, .

В случае РФ с учетом замены

, , ,

и обозначений

,

находим

, , ,

, ,

, ,

где

, ,

, , ,

, .

В случае ВЧФ с учетом замены

находим

, ,

, , , .

Передаточная функция требуемого рекурсивного фильтра представляется в форме

, (3.4)

,

Синтез функции осуществляется путем непосредственной замены аргумента в функции вида (3.3) согласно выражению

,

получаемого непосредственно из билинейного Z-преобразования (3.1).

Такая замена с учетом обозначений

, ,

приводит к последующим расчетным соотношениям:

,

,

а также при ;

1) в случае НЧФ и ВЧФ

,

2) в случае ПФ и РФ

,

и дополнительно:

1) в случае НЧФ

, , , ,

, ;

2) в случае ПФ

,

, ,

, , , , ;

3) в случае РФ

, ,

, ,

, , ;

4) в случае ВЧФ

, , , ,

, .

3.2 Характеристики фильтра

В качестве временной характеристики рекурсивного фильтра , определяющей качественные особенности и количественные показатели его переходного процесса, может быть принята реакция фильтра на какой-либо типовой входной сигнал , в частности, в дальнейшем для различных типов фильтров положим

Осуществляя в передаточной функции замену

, ,

получаем согласно выражению (3.3) следующие расчетные соотношения для АЧХ и ФЧХ фильтра в диапазоне частот :

.

3.3 Функционирование фильтра

Передаточная функция вида (3.4) определяет каскадную схему реализации фильтра, представленную на рис. 3.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 3.1

При каскадной схеме реализации отсчеты выходного сигнала фильтра находятся согласно выражению

,

где находится из последовательности рекуррентных соотношений

,

а определяется в следующей форме:

Передаточная функция характеризуется порядком

и вычисление отсчетов начинается с , а начальных отсчетов , , задаются. При нулевых начальных условиях

, ,

в случае каскадной схемы реализации фильтра полагают

, , .

4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

4.1 Общие положения

Индивидуальные задания выполняются в рамках лабораторных работ, где предусматривается:

1) изучение метода проектирования нерекурсивного фильтра с линейной ФЧХ на основе аппроксимации идеальной АЧХ фильтра модифицированным гармоническим рядом Фурье со сглаживающими множителями Кайзера;

2) изучение способа реализации нерекурсивного фильтра посредством дискретной свертки;

3) решение модельной задачи по нерекурсивной фильтрации;

4) изучение метода проектирования рекурсивного фильтра Чебышева на основе билинейного Z-преобразования;

5) изучение каскадной схемы реализации рекурсивного фильтра;

6) решение модельной задачи по рекурсивной фильтрации,

а также расчетно-графической работы, в которой производится расчет нерекурсивного фильтра на основе аппроксимации его АЧХ модифицированным гармоническим рядом Фурье.

В лабораторных работах в качестве модельных задач рассматриваются задачи спектрального анализа, сглаживания и дифференцирования сигнала

(4.1)

представляющего собой сумму полезной составляющей и помехи . Сигнал определяется на интервале времени

, , , ,

, , ,

где - время переходного процесса,

- задаваемая основная длительность интервала фильтрации,

- фазовая задержка фильтра.

В случае нерекусивного фильтра имеем

, .

В случае рекурсивного фильтра эффективная длительность временной характеристики фильтра находится из условия

, при , ,

а величина вычисляется посредством линейной аппроксимации ФЧХ в полосе пропускания () АЧХ , т.е. в виде

, .

При спектральном анализе производится выделение из сигнала

, , (4.2)

, , ,

слагаемой , представляющей собой одну или две гармоники .

При решении других задач принимается

а помеха задается в виде

, . (4.3)

Базовая помеха представляет собой установившуюся реакцию формирующего нерекурсивного полосового фильтра, АЧХ которого характеризуется полосой пропускания , шириной переходных полос и относительными неравномерностями в полосах пропускания и задерживания , на равномерно распределенный центрированный псевдослучайный белый шум. Отсюда, эффективная полоса частотного спектра помехи располагается в диапазоне

.

Идеальный (эталонный) выходной сигнал фильтра имеет вид

(4.4)

Эффективные полосы амплитудных частотных спектров сигналов и могут быть оценены по амплитудному частотному спектру синусоидального сигнала

,

заданного на целом числе периодов, т.е.

, .

В этом случае частотный спектр определяется выражением

,

и в графической форме при , , , представлен на рис. 4.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис.4.1

Точность фильтрации оценивается по относительным среднеквадратическим на интервале ошибкам между эталонным сигналом и выходным сигналом (ошибка ) и (ошибка ).

,

.

4.2 Базовые данные для выполнения лабораторных работ

При выполнении лабораторных работ общими для всех вариантов полагаются:

- шаг дискретизации по времени =0,05 с;

- основная длительность интервала фильтрации =6,3 с;

- верхняя частота спектра помехи =15,0 р/с;

- ширина переходной полосы АЧХ фильтра помехи =0,5 р/с;

- шаг дискретизации по частоте =0,1 р/с;

- начальная частота вычисления АЧХ и ФЧХ =0,0 р/с;

- конечная частота вычисления АЧХ и ФЧХ =10,0 р/с;

- длительность интервала вычисления временной характеристики рекурсивного фильтра =45 с;

- уровень усечения, определяющий эффективную длительность временной характеристики рекурсивного фильтра =0,05;

- относительная неравномерность в полосе пропускания АЧХ =0,01 для нерекурсивного фильтра, =0,02 для рекурсивного фильтра;

- относительная неравномерность в полосе задерживания АЧХ =0,01 р/с;

- коэффициент усиления в полосе пропускания АЧХ =1,0.

Варианты лабораторных работ приведены в табл. 4.1 и 4.2, где для каждого вида фильтрации указаны тип модельной задачи (СА - спектральный анализ, Сгл. - сглаживание, Диф. - дифференцирование), тип фильтра, нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания АЧХ фильтра, параметр , определяющий ширину переходных полос АЧХ фильтра, эталонный сигнал , а также уровень , нижняя граничная частота эффективной полосы частотного спектра помехи и ширина переходной полосы АЧХ фильтра, формирующего помеху.

4.3 Лабораторная работа № 1. Проектирование нерекурсивного фильтра

Цель работы

Ознакомление с методикой проектирования нерекурсивного фильтра на основе модифицированного гармонического ряда Фурье для решения задач спектрального анализа, сглаживания и дифференцирования сигналов.

Постановка задачи

Спроектировать нерекурсивный фильтр на основе модифицированного гармонического ряда Фурье и исследовать влияние параметров, определяющих качество АЧХ фильтра, на вид его ИХ.

Порядок выполнения работы

1. Согласно базовым данным (р.4.2 и табл. 4.1), спроектировать фильтр и построить графики ИХ , АЧХ и ФЧХ , зафиксировать компактную таблицу с реализацией отсчетов АЧХ и значение параметра L.

2. Исследовать влияние на параметр L:

§ неравномерности в полосе задерживания ([0,0001; 0,0500]);

§ относительной ширины переходной полосы АЧХ ([1,05; 2,50]);

§ шага ([0,05 с; 0,25 с]);

§ коэффициента усиления ([0,1; 10,0]).

Шаг изменения исследуемого параметра выбирается из расчета получения 11 значений в указанном диапазоне, включая его границы. Одновременно может изменяться только один исследуемый параметр, остальные параметры задаются аналогично базовому варианту. Полученные данные занести в таблицы. Построить графики, иллюстрирующие полученные зависимости.

Таблица 4. 1

№	Тип задачи	Тип фильтра	р/с	р/с	-		-	р/с	р/с
1	СА	НЧФ	-	2,0	1,25	x1(t)	-	-	-
2	СА	НЧФ	-	5,0	1,20	x1(t)+x2(t)	-	-	-
3	СА	РФ	6,0	2,0	1,15	x1(t)+x3(t)	-	-	-
4	СА	ПФ	3,0	5,0	1,25	x2(t)	-	-	-
5	Диф.	ДФ	-	3,0	1,25	x'(t)	0,5	5,0	1,0
6	Диф.	ДФ	-	2,0	1,25	x'(t)	0,2	3,0	0,5
7	Сгл.	НЧФ	-	1,0	1,20	x(t)	1,0	5,0	2,0
8	Сгл.	НЧФ	-	1,5	1,25	x(t)	1,0	4,0	1,5
9	Сгл.	НЧФ	-	1,5	1,50	x(t)	0,5	3,0	1,0
10	Диф.	ДФ	-	3,5	1,25	x'(t)	0,5	6,0	2,0
11	Диф.	ДФ	-	1,0	1,25	x'(t)	1,0	3,0	1,0
12	СА	ВЧФ	6,5	-	1,20	x3(t)	-	-	-
13	СА	ВЧФ	3,0	-	1,20	x2(t)+x3(t)	-	-	-
14	Сгл.	НЧФ	-	1,0	1,50	x(t)	0,5	2,0	1,0
15	Сгл.	НЧФ	-	1,5	1,40	x(t)	1,0	4,0	2,0
16	СА	ВЧФ	3,0	-	1,20	x2(t)+x3(t)	-	-	-
17	СА	ПФ	3,5	5,0	1,25	x2(t)	-	-	-
18	СА	РФ	6,0	2,5	1,15	x1(t)+x3(t)	-	-	-
19	Диф.	ДФ	-	2,5	1,50	x'(t)	1,0	4,0	2,0
20	Диф.	ДФ	-	1,5	1,20	x'(t)	0,2	2,0	0,5
21	Сгл.	НЧФ	-	1,0	1,25	x(t)	1,0	5,0	1,0
22	Сгл.	НЧФ	-	2,5	1,25	x(t)	1,0	4,0	1,5
23	Сгл.	НЧФ	-	2,5	1,25	x(t)	0,5	3,0	2,0
24	СА	ВЧФ	5,5	-	1,20	x3(t)	-	-	-
25	СА	ПФ	3,5	4,5	1,15	x2(t)	-	-	-
26	Диф.	ДФ	-	2,0	1,30	x'(t)	0,5	3,0	1,5
27	Диф.	ДФ	-	5,0	1,50	x'(t)	1,0	7,0	2,0
28	Сгл.	НЧФ	-	1,5	1,25	x(t)	0,5	2,0	0,5
29	Сгл.	НЧФ	-	2,5	1,30	x(t)	1,0	4,0	1,0
30	Сгл.	НЧФ	-	1,0	1,20	x(t)	0,5	3,0	1,5

3. Дополнительно построить:

§ графики АЧХ и ФЧХ для базового варианта, задав верхнюю частоту интервала наблюдения АЧХ и ФЧХ =150 р/с;

§ графики АЧХ и ФЧХ для базового варианта, полученные при задаваемом шаге дискретизации по времени =1 с.

4. Сделать выводы о соответствии параметров АЧХ спроектированного фильтра заданным требованиям, для чего необходимо сравнить данные из таблицы реализации АЧХ , полученной в п. 1 для базового варианта с задаваемымми данными при проектировании фильтра. Пояснить характер полученных для параметра L зависимостей, например:

Выводы:

1. Спроектирован низкочастотный фильтр со следующими параметрами АЧХ: коэффициент усиления =1,0 при заданном 1,0; верхняя граничная частота =2,1 р/с при заданной 2,0 р/с; ширина переходной полосы =0,45 р/с при заданной 0,5 р/с; неравномерности в полосах пропускания и задерживания 0,008 при заданных 0,01. Таким образом, фильтр в целом удовлетворяет заданным параметрам. Для базового варианта параметр L равен 256.

2. Зависимости параметра L от неравномерности , параметра и шага имеют монотонный характер, причем с уменьшением указанных параметров значение L возрастает. Это объясняется тем, что…

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Краткие теоретические сведения по тематике работы (расчетные соотношения проектирования фильтра, включая выражения для вычисления АЧХ и ФЧХ фильтра).

3. Исходные данные в соответствии с вариантом из табл. 1, а также общие для всех вариантов. Приводить данные, не имеющие отношения к выполняемой работе, не следует.

4. 9 графиков и 5 таблиц, содержащих результаты исследований. Иметь в виду, что графики и таблицы понадобятся при выполнении лабораторной работы № 2 - «Функционирование нерекурсивного фильтра».

5. По графику ФЧХ рассчитать величину фазовой задержки .

6. Выводы по работе.

4.4 Лабораторная работа № 2. Функционирование нерекурсивного фильтра

Цель работы

Ознакомление с методикой решения задач спектрального анализа, сглаживания и дифференцирования сигналов нерекурсивным фильтром на основе модифицированного гармонического ряда Фурье.

Постановка задачи

Осуществить обработку модельного сигнала нерекурсивным фильтром, спроектированным в лабораторной работе № 1, в соответствии с условиями задачи. Исследовать влияние на ошибки фильтрации параметров, определяющих вид АЧХ фильтра.

Порядок выполнения работы

1. Для базового варианта (табл. 4.1) выполнить требуемую задачу и построить графики сигнала на одном рисунке и сигналов на другом рисунке.

2. Исследовать влияние на ошибки фильтрации и :

§ шага дискретизации ([0,05 с , 0,25 с]);

§ неравномерности в полосе задерживания АЧХ ([0,0001; 0,0500]);

§ относительной ширины переходной полосы АЧХ ([1,05; 2,50]).

Шаг изменения исследуемого параметра выбирается так же, как и в лабораторной работе № 1 (11 точек на интервал изменения), поскольку полученные там значения длительности ИХ необходимы для исследований в данной работе. В экспериментах следует изменять только один параметр. Остальные задаются из базового варианта.

Приводятся таблицы (сводные по ошибкам, содержащие данные из работы № 1) и графики, иллюстрирующие результаты проведенных исследований. Зависимости ошибок фильтрации и для каждого исследуемого параметра строить на одном графике.

3. Сделать выводы о соответствии полученных результатов условиям модельной задачи.

Пояснить характер зависимостей ошибок фильтрации и .

Привести величину фазовой задержки, полученной по графику ФЧХ в лабораторной работе № 1, сравнить ее с величиной фазовой задержки, вычисленной программой, и сделать вывод о возможностях устранения фазовой погрешности.

Указать составляющие ошибок нерекурсивной фильтрации и проиллюстрировать эти составляющие результатами решения модельной задачи.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Краткие теоретические сведения по тематике работы (расчетные соотношения функционирования фильтра, описание модельной задачи, включающее полную информацию об обрабатываемых сигналах).

3. Исходные данные, в соответствии с вариантом из табл. 4.1, а также общие для всех вариантов. Приводить данные, не имеющие отношения к выполняемой работе, не следует.

4. Привести графики ИХ, АЧХ и ФЧХ фильтра, значение параметра L для базового варианта (можно взять из работы № 1). Также для базового варианта приводятся графики сигналов и (все три на одном рисунке) и вычисленная программой величина фазовой задержки . Приводятся графики, содержащие результаты исследований. Всего 8 графиков и 3 таблицы.

5. Выводы по работе.

4.5. Лабораторная работа № 3.

Проектирование рекурсивного фильтра

Цель работы

Ознакомление с методикой проектирования рекурсивного фильтра для решения задач спектрального анализа и сглаживания сигналов.

Постановка задачи

Спроектировать рекурсивный фильтр и исследовать влияние параметров, определяющих качество АЧХ фильтра, на порядок передаточной функции фильтра-прототипа.

Порядок выполнения работы

1. Согласно базовым данным, приведенным в р. 4.2 и табл. 4.2, спроектировать фильтр и построить график его временной характеристики в пределах эффективной длительности переходного процесса фильтра, графики АЧХ и ФЧХ , зафиксировать таблицу с реализацией отсчетов АЧХ, значение порядка n передаточной функции фильтра и вычисленных величин эффективной длительности переходного процесса и фазовой задержки .

2. Исследовать влияние на порядок n передаточной функции фильтра-прототипа, величину эффективной длительности временной характеристики и фазовой задержки :

§ неравномерности в полосе задерживания ([0,0001; 0,0500]);

§ относительной ширины переходной полосы АЧХ ([1,05; 2,50]);

§ шага ([0,05 с; 0,25 с]);

§ коэффициента усиления ([0,1; 10,0]).

Шаг изменения исследуемого параметра выбирается из расчета получения 11 значений в указанном диапазоне, включая его границы. Одновременно может изменяться только один исследуемый параметр, остальные параметры задаются аналогично базовому варианту. Полученные данные занести в таблицы

Таблица 4.2

№	Тип задачи		Тип фильтра	р/с	р/с	-	-	р/с
1	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	3,0	1,50	1,0	5,0
2	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	2,5	1,50	1,0	4,0
3	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,5	1,50	0,5	3,0
4	СА	x1(t)	НЧФ	-	2,0	1,25	-	-
5	СА	x1(t)+x2(t)	НЧФ	-	5,0	1,10	-	-
6	СА	x1(t)+x3(t)	РФ	5,0	3,0	1,15	-	-
7	СА	x2(t)	ПФ	3,0	5,0	1,25	-	-
8	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	3,5	1,25	1,0	5,0
9	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	2,0	1,50	1,0	4,0
10	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,0	2,00	0,5	3,0
11	СА	x2(t)+x3(t)	ВЧФ	2,5	-	1,20	-	-
12	СА	x3(t)	ВЧФ	6,0	-	1,10	-	-
13	СА	x1(t)+x3(t)	РФ	6,0	2,0	1,25	-	-
14	СА	x2(t)	ПФ	3,5	4,5	1,30	-	-
15	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,5	1,15	0,5	2,0
16	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	2,5	1,50	1,0	4,0
17	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,5	1,25	0,5	3,0
18	СА	x1(t)+x3(t)	РФ	7,0	1,0	1,50	-	-
19	СА	x2(t)	ПФ	3,5	4,5	1,30	-	-
20	СА	x1(t)+x3(t)	РФ	6,0	2,0	1,30	-	-
21	СА	x2(t)	ПФ	2,5	5,5	1,20	-	-
22	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,0	1,50	0,5	2,0
23	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,5	2,00	1,0	4,0
24	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,5	1,50	0,5	3,0
25	СА	x2(t)+x3(t)	ВЧФ	4,0	-	1,50	-	-
26	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	1,5	1,8	1,0	4,0
27	Сгл.	x(t)	НЧФ	-	4,5	1,25	1,0	6,0
28	СА	x1(t)+x3(t)	РФ	7,0	2,0	1,50	-	-
29	СА	x2(t)	ПФ	2,5	4,5	1,30	-	-
30	СА	x1(t)+x3(t)	РФ	6,5	2,5	1,30	-	-

(сводные по n, и ). Построить графики, иллюстрирующие полученные зависимости (по каждому параметру отдельно).

Примечание: значения параметра n фиксируются в файле perehod.txt.

3. Дополнительно построить:

§ графики АЧХ и ФЧХ для базового варианта, задав верхнюю частоту интервала наблюдения АЧХ и ФЧХ =150 р/с;

§ графики АЧХ и ФЧХ для базового варианта, полученные при задаваемом шаг дискретизации по времени =1 с.

4. По графику ФЧХ для базового варианта рассчитать оптимальную величину фазовой задержки .

5. Сделать выводы о соответствии параметров АЧХ спроектированного фильтра заданным требованиям, для чего необходимо сравнить данные из таблицы реализации АЧХ , полученной в п. 1 для базового варианта с задаваемыми данными при проектировании фильтра. Пояснить характер полученных для параметра n зависимостей.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Краткие теоретические сведения по тематике работы (расчетные соотношения проектирования фильтра, включая выражение передаточной функции требуемого фильтра в общем виде, а также выражения для вычисления АЧХ и ФЧХ фильтра).

3. Исходные данные в соответствии с вариантом из табл. 4.2, а также общие для всех вариантов. Приводить данные, не имеющие отношения к выполняемой работе, не следует.

4. 17 графиков и 5 таблиц, содержащих результаты исследований. Иметь в виду, что графики и таблицы понадобятся при выполнении работы № 4 -«Функционирование рекурсивного фильтра».

5. Выводы по работе.

4.6 Лабораторная работа № 4. Функционирование рекурсивного фильтра

Цель работы

Ознакомление с методикой решения задач спектрального анализа и сглаживания сигналов посредством рекурсивного фильтра.

Постановка задачи

Осуществить обработку модельного сигнала рекурсивным фильтром, спроектированным в лабораторной работе № 3, в соответствии с условиями задачи. Исследовать влияние на ошибки фильтрации параметров, определяющих вид АЧХ фильтра.

Порядок выполнения работы

1. Для базового варианта (табл. 4.2) выполнить требуемую задачу и построить графики сигнала на одном рисунке и сигналов на другом рисунке.

2. Исследовать влияние на ошибки фильтрации и :

§ шага дискретизации ([0,05 с , 0,25 с]);

§ неравномерности в полосе задерживания АЧХ ([0,0001; 0,0500]);

§ относительной ширины переходной полосы АЧХ ([1,05; 2,50]).

Шаг изменения исследуемого параметра выбирается так же, как и в лабораторной работе № 3 (11 точек на интервал изменения), поскольку полученные там значения параметра n передаточной функции необходимы для исследований в данной работе. В экспериментах следует изменять только один параметр. Остальные задаются из базового варианта.

Приводятся таблицы (сводные по ошибкам, содержащие данные из работы № 3) и графики, иллюстрирующие результаты проведенных исследований. Зависимости ошибок фильтрации и для каждого исследуемого параметра строить на одном рисунке.

4. Сделать выводы о соответствии полученных результатов условиям модельной задачи.

Пояснить характер зависимостей ошибок фильтрации и .

Привести значения фазовых задержек , вычисленной при проектировании фильтра и , рассчитанной по графику ФЧХ в лабораторной работе № 3, сравнить их с величиной фазовой задержки, которая просматривается визуально на полученных графиках выходных сигналов, и сделать вывод о возможностях устранения фазовой погрешности.

Указать составляющие ошибок рекурсивной фильтрации и проиллюстрировать эти составляющие результатами решения модельной задачи.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Краткие теоретические сведения по тематике работы (расчетные соотношения функционирования фильтра, описание модельной задачи, включающее полную информацию об обрабатываемых сигналах).

3. Исходные данные, в соответствии с вариантом из табл. 4.2, а также общие для всех вариантов. Приводить данные, не имеющие отношения к выполняемой работе, не следует.

4. Графики временной характеристики, АЧХ и ФЧХ фильтра, значение порядка n и вычисленных программой величин эффективной длительности временной характеристики и фазовой задержки для базового варианта (можно взять из работы № 3). Также для базового варианта приводятся графики сигналов и (все три на одном рисунке) и вычисленная программой величина фазовой задержки . Приводятся графики, содержащие результаты исследований. Всего 8 графиков и 3 таблицы.

5. Выводы по работе.

4.7 Расчетно-графическая работа. Расчет нерекурсивного фильтра на основе модифицированного гармонического ряда Фурье

Цель работы.

Приобретение навыков проектирования и расчета нерекурсивных фильтров.

Постановка задачи.

В соответствии с исходными данными (табл. 4.3) определить параметры цифрового нерекурсивного фильтра (количество L отсчетов ИХ, параметры и значения сглаживающих множителей, значения отсчетов ИХ, АЧХ и ФЧХ) и по полученным данным построить графики сглаживающих множителей, ИХ, АЧХ и ФЧХ. Типы сглаживающих множителей и их аналитические выражения приведены в табл. 4.4.

Дополнительное задание.

Осуществить спектральный анализ либо дифференцирование сигнала (в зависимости от типа спроектированного фильтра).

В спектральном анализе входной сигнал формируется из синусоидальных гармоник, числом равным числу участков полос пропускания и задерживания (т.е. 2 либо 3 гармоники в зависимости от типа спроектированного фильтра). Гармоники должны попадать в каждую из полос.

При дифференцировании входной сигнал следует формировать в виде суммы двух синусоидальных гармоник, одна из которых попадает в полосу пропускания фильтра, а вторая лежит за ее пределами.

После соответствующей обработки (спектральный анализ или дифференцирование) осуществить коррекцию выходного сигнала с целью получения минимального значения погрешностей за счет удаления переходной и фазовой составляющих ошибки фильтрации.

Таблица 4.3

№	Тип	р/с	р/с	р/с				Тип сглаживающих множителей	ФИО
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ	- 1.0 5.0 1.0 - - 3.0 6.0 3.0 - - 2.0 5.0 5.0 - - 7.0 10.0 7.0 - - 9.0 12.0 9.0 - - 12.0 15.0 12.0 - - 15.0 18.0 15.0 - - 18.0 21.0 18.0 -	1.0 5.0 1.0 - 1.0 3.0 6.0 3.0 - 3.0 5.0 5.0 2.0 - 5.0 7.0 10.0 7.0 - 7.0 9.0 12.0 9.0 - 9.0 12.0 15.0 12.0 - 12.0 15.0 18.0 15.0 - 15.0 18.0 21.0 18.0 - 18.0	0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5	0.2 100 75 150 200 125 175 225 0.1 225 175 125 200 150 75 100 0.01 125 175 225 100 75 150 200 0.02 75 150 200 125 175 225 100 0.2 150 200 125 175 225 100 75	0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 0.5	0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2	Кайзера единичные Бартлетта Парзена Ланцоша Хэмминга Хэннинга Блэкмана Кайзера единичные Бартлетта Парзена Ланцоша Хэмминга Хэннинга Блэкмана Кайзера единичные Бартлетта Парзена Ланцоша Хэмминга Хэннинга Блэкмана Кайзера единичные Бартлетта Парзена Ланцоша Хэмминга Хэннинга Блэкмана Кайзера единичные Бартлетта Парзена Ланцоша Хэмминга Хэннинга Блэкмана	23
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52	НЧФ ПФ РФ ВЧФ ДФ РФ ПФ ВЧФ НЧФ ДФ РФ ПФ	- 21.0 24.0 21.0 - 10.0 14.0 24.0 - - 19.0 13.5	21.0 24.0 21.0 - 21.0 6.5 19.0 - 23.0 22.0 13.0 17.5	1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 1.0 1.0 1.5 1.0 1.5 1.5 1.0	0.05 200 125 175 225 100 75 150 0.03 125 175 225	1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 1.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 1.0	0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1	Кайзера единичные Бартлетта Парзена Ланцоша Хэмминга Хэннинга Блэкмана Кайзера единичные Бартлетта Парзена

в вариантах с множителями Кайзера задан параметр , в остальных - L.

Таблица 4.4

Тип множителя	Аналитическое выражение
Бартлетта
Ланцоша	,
Хэмминга, Хэннинга	, - множители Хэмминга, - множители Хэннинга (Ханна)
Блэкмана
Кайзера	, - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Парзена

Содержание пояснительной записки.

В пояснительной записке обязательно должны быть приведены:

1)исходные данные в соответствии с вариантом (все используемые в расчетах);

2) формульные выражения для расчетов и значения

· числа членов аппроксимирующего ряда Фурье,

· параметров сглаживающих множителей и совокупность их значений в виде таблицы,

· ИХ, АЧХ и ФЧХ в виде таблиц,

· выходного сигнала (таблица), полученного при решении задачи спектрального анализа или дифференцирования (только при выполнении дополнительного задания);

3)рассчитанное значение фазовой задержки;

4) графики ИХ, АЧХ и ФЧХ спроектированного фильтра, а также (только для дополнительного задания) графики входного, выходного идеального, не скорректированного и скорректированнного сигналов;

5) выводы о соответствии полученных параметров характеристик фильтра требуемым данным согласно задания, а также (только для дополнительного задания) о соответствии выходного сигнала идеальному;

6) листинг программы.

Таким образом, в пояснительной записке должны содержаться 3 таблицы и 3 графика по основному заданию и 4 графика на одном рисунке по дополнительному заданию.

Примечания.

1. Расчетно-графическая работа выполняется посредством составления программы на одном из широко используемых языков программирования, подходящих для решения вычислительных задач (FORTRAN, C, C++, VBA) и выполнением ее на компьютере. Допускается отсутствие в программе операторов ввода и жесткая в соответствии с вариантом структура. В тексте программы должны присутствовать поясняющие комментарии;

2. Пояснительная записка должна быть оформлена в соответствии с существующими требованиями к оформлению отчетов по лабораторным работам. Размер графиков - половина страницы, аргументом должны являться физические величины, а не номера отсчетов;

3. При выполнении расчетов следует использовать только данное учебное пособие и никакое другое во избежание ошибок, поскольку в другом пособии формульные выражения могут несколько отличаться из-за применения другой методики расчетов;

4. Если в формулах, прямой расчет принципиально невозможен (например, бесконечные ряды), следует отразить в отчете предложенный способ выхода из такой ситуации и обосновать его. В случае необходимости использования каких-либо дополнительных параметров следует указать, как и откуда они берутся, и привести соответствующие расчеты;

5. С целью более глубокого усвоения материала курса некоторые варианты заданий содержат данные, делающие процедуру проектирования фильтра с заданными требованиями невыполнимой. В этом случае рекомендуется убедиться в правильности работы составленной программы, а затем обнаружить и изменить некорректно заданные параметры так, чтобы вычисления стали возможными. Не следует изменять корректируемый параметр больше, чем этого требуется для осуществления расчетов. Максимальное изменение - не более чем в два раза. Отразить эти обстоятельства в отчете. В случае получения фильтра с характеристиками, не соответствующими заданным, следует поступать аналогичным образом, однако в отчете наряду со скорректированными характеристиками необходимо привести также и графики ИХ, АЧХ и ФЧХ для изначально спроектированного по исходным данным фильтра;

6. Графики сигналов строить по окончании переходного процесса фильтра. Интервал определения выходного сигнала должен соответствовать периоду самой низкочастотной гармоники входного сигнала;

5. ПРОГРАМНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ

Программное обеспечение фильтрации выполнено в виде пакета FILTR, работающего в режимах проектирования и функционирования фильтра.

В режиме проектирования фильтра производится:

1) синтез ИХ , , требуемого нерекурсивного фильтра или передаточной функции требуемого рекурсивного фильтра по задаваемым исходным данным , , , , , и ;

2) вычисление массива отсчетов АЧХ и ФЧХ фильтра в задаваемом диапазоне частот с выбранным шагом дискретизации по частоте ;

3) линейную аппроксимацию ФЧХ в полосе пропускания АЧХ и определение приближенного значения фазовой задержки при рекурсивной фильтрации;

4) вычисление массива отсчетов временной характеристики в задаваемом диапазоне времени с выбранным шагом дискретизации по времени и определение по задаваемому уровню эффективной длительности переходного процесса рекурсивного фильтра.

В режиме функционирования производится:

1) формирование массива отсчетов входного сигнала и эталонного выходного сигнала в задаваемом диапазоне времени с задаваемым шагом дискретизации по времени ;

2) синтез ИХ , , требуемого нерекурсивного фильтра или передаточной функции требуемого рекурсивного фильтра по задаваемым исходным данным , , , , , , ;

3) вычисление массива отсчетов выходного сигнала в диапазоне времени с шагом дискретизации ;

4) вычисление относительных среднеквадратических ошибок фильтрации и .

Программа FILTR работает в оконном режиме. В программе задаются следующие параметры:

режим работы, а именно:

· проектирование фильтра,

· функционирование фильтра;

вид фильтра, а именно:

· нерекурсивный фильтр,

· рекурсивный фильтр;

тип фильтра, а именно:

· низкочастотный фильтр (НЧФ),

· полосовой фильтр (ПФ),

· режекторный фильтр (РФ),

· высокочастотный фильтр (ВЧФ),

· дифференцирующий фильтр (ДФ);

шаг дискретизации по времени ;

в зависимости от режима работы:

1) в режиме проектирования фильтра:

· шаг дискретизации по частоте ;

· нижняя частота диапазона определения АЧХ и ФЧХ;

· верхняя частота диапазона определения АЧХ и ФЧХ;

и дополнительно при рекурсивной фильтрации:

· уровень , определяющий эффективную длительность временной характеристики ;

· длительность определения временной характеристики ;

2) в режиме функционирования фильтра:

тип модельной задачи, а именно:

· спектральный анализ сигнала;

· сглаживание сигнала;

· дифференцирование сигнала;

основная длительность интервала фильтрации;

в зависимости от вида фильтрации:

1) при нерекурсивной фильтрации:

· параметр L длительности ИХ;

2) при рекурсивной фильтрации:

· эффективная длительность переходного процесса фильтра;

· фазовая задержка фильтра ;

в зависимости от типа модельной задачи:

1) при спектральном анализе сигнала:

индекс, определяющий эталонный выходной сигнал, а именно:

· 1 - при ,

· 2 - при ,

· 3 - при ,

· 4 - при ,

· 5 - при ,

· 6 - при ;

2) при сглаживании и дифференцировании сигнала:

· уровень помехи ;

· нижняя частота эффективной полосы частотного спектра помехи ;

· верхняя частота эффективной полосы частотного спектра помехи ;

· ширина переходных полос АЧХ фильтра, формирующего помеху ,

а также при любом режиме работы:

· неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания;

· неравномерность АЧХ фильтра в полосе задерживания;

· параметр , определяющий ширину переходных полос АЧХ;

· верхняя граничная частота полосы пропускания АЧХ фильтра в случае НЧФ, ПФ, РФ и ДФ;

· нижняя граничная частота полосы пропускания АЧХ фильтра в случае ПФ, РФ и ВЧФ;

· коэффициент усиления в полосе пропускания АЧХ фильтра.

Выходными параметрами программы являются следующие:

1) в режиме проектирования фильтра

при нерекурсивной фильтрации:

- L - параметр L длительности ИХ;

- W(K) - массив отсчетов ИХ , ;

при рекурсивной фильтрации:

- Y(K) - массив отсчетов переходной (временной) характеристики фильтра

, , , где

- количество отсчетов эффективной длительности временной характеристики, фазовой задержки и интервала наблюдения выходного сигнала фильтра соответственно;

и при любом виде фильтрации:

- A(K) - массив отсчетов АЧХ фильтра , ;

- F(K) - массив отсчетов ФЧХ фильтра , ;

2) в режиме функционирования фильтра

- X(K) - массив отсчетов входного сигнала фильтра , ;

- Y(K) - массив отсчетов выходного сигнала фильтра , ;

- Z(K) - массив отсчетов скорректированного выходного сигнала фильтра , ;

- V(K) - массив отсчетов эталонного выходного сигнала фильтра , ;

- EY - ошибка фильтрации ;

- EZ - скорректированная ошибка фильтрации .

Выходные параметры программы FILTR записываются в файлы данных. Структура файлов такова, что помимо комментариев каждый файл содержит соответствующее количество колонок. Первая колонка представляет собой порядковый номер элементов массива данных. Во второй колонке расположены значения аргумента (время в для временных характеристик фильтра и сигналов или частота в для частотных характеристик), а далее следуют колонки, содержащие значения соответствующих функций.

В файл impuls.txt записывается массив ИХ нерекурсивного фильтра - F(K), .

В файл perehod.txt записывается массив переходной характеристики рекурсивного фильтра - Y(K), .

В файл characts.txt записываются массивы частотных характеристик фильтра: AЧХ и ФЧХ, .

В файл signals.txt записываются массивы сигналов X(K), Y(K), Z(K), V(K), .

В программе FILTR предусмотрена возможность графического изображения данных на экране монитора с последующим сохранением графиков в файл или буфер обмена.

6. ПРИМЕРЫ ФИЛЬТРАЦИИ

6.1 Общие положения

Ниже приведены примеры нерекурсивной и рекурсивной фильтрации сигнала при фиксированных значениях ряда параметров , , , , , , , , , . На рис. 6.1 показан отрезок входного сигнала вида (4.2), используемого при решении задач спектрального анализа, а на рис. 6.2 и рис. 6.3

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.1

представлены отрезки входного сигнала вида (4.1), содержащего случайную помеху вида (4.3) и эталонного выходного сигнала вида (4.4), используемых при решении задач сглаживания (рис. 6.2) и дифференцирования (рис. 6.3).

6.2 Нерекурсивный спектральный анализ

Рассмотрим задачу выделения из сигнала вида (4.2), слагаемой . Поставленная задача спектрального анализа сигнала может быть решена посредством использования, например, ВЧФ, проектируемого по следующим исходным данным:

, , .

При проектировании фильтра получаем .

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.2



Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.3

Графики ИХ, АЧХ и ФЧХ фильтра приведены на рис. 6.4 - рис. 6.6.

На рис. 6.7 показаны отрезки сигналов , и , причем ошибки фильтрации составляют

, .

Ошибки фильтрации порождаются следующими факторами:

1) не идеальностью АЧХ фильтра , обусловленной ненулевыми неравномерностями и в полосах пропускания и задерживания и ненулевой шириной переходной полосы АЧХ фильтра;

2) не идеальностью ФЧХ фильтра (ошибка );

3) ненулевыми значениями амплитудного спектра полезной составляющей вне полосы пропускания АЧХ фильтра;

4) ненулевыми значениями амплитудного спектра помехи вне полосы задерживания АЧХ фильтра;

5) конечной разрядностью чисел в используемой ЦВМ.



Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.4

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.5 Рис. 6.6



Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.7

6.3 Нерекурсивное сглаживание

Рассмотрим задачу сглаживания сигнала вида (4.1), содержащего случайную помеху вида (4.3).

Поставленная задача сглаживания сигнала решается посредством использования НЧФ, проектируемого, например, по следующим данным:

, , .

При проектировании фильтра получаем .

Графики ИХ, АЧХ и ФЧХ фильтра приведены на рис. 6.8 - рис. 6.10.



Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.8

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.9 Рис. 6.10

На рис. 6.11 показаны отрезки сигналов , и , причем ошибки фильтрации составляют , и порождаются теми же факторами, что и при спектральном анализе сигнала.



Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.11

6.4 Нерекурсивное дифференцирование

Рассмотрим задачу дифференцирования сигнала вида (4.1), содержащего случайную помеху вида (4.3).

Задача дифференцирования сигнала решается посредством использования ДФ, проектируемого, например, по следующим данным:

, , .

При проектировании фильтра получаем .

Графики ИХ, АЧХ и ФЧХ фильтра приведены на рис. 6.12 - рис. 6.14.

На рис. 6.15 показаны отрезки сигналов , и , причем ошибки фильтрации составляют , и порождаются теми же факторами, что и при спектральном анализе сигнала.



Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.12

Размещено на http://www.allbest.ru/

68

Рис. 6.13 Рис. 6.14