2 Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/fc, мкФ) и вычислить значения элементов

где С2 и R4 имеют произвольные значения. Если значение добротности Q = невелико, то значение емкости С2 можно выбрать близким значению С1, а если Q велико, то значение С2 выбирается большим, чем С1. В любом случае сопротивление R4 необходимо выбирать таким образом, чтобы минимизировать разброс значений сопротивлений.

3 Выбрать номинальные значения сопротивлений и емкостей как можно ближе к вычисленным значениям и реализовать фильтр или его звенья в соответствии со схемой показанной на рис.4.13.

Комментарии

а. Комментарии пп. а, б и е для фильтра с МОС в § 4.8 используются непосредственно, за исключением того, что в п. б сопротивление Req каждого ОУ определяется значением сопротивления R1 или R4 подключенного к его инвертирующему входному контакту.

б. Эта схема может использоваться для высоких и для низких значений добротности Q, верхний предел которой равен 100.

в. Настройка осуществляется следующим образом: сначала, изменяя сопротивление R1, устанавливают максимальное подавление на частоте fz (см. рис.4.7), затем, изменяя сопротивление R2, размещают подъем амплитудно-частотной характеристики на частоте fm и, наконец, изменяя сопротивление R3, получают требуемое значение Km. Для низкодобротных звеньев последние два этапа, возможно, необходимо будет повторить.

г. Эта схема обеспечивает инвертирующий коэффициент усиления К = С3/С2.

Схема на трех конденсаторах бала рассмотрена в § 4.5.

4.13 РАСЧЕТ БИКВАДРАТНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА ВЕРХНИХ ЧАСТОТ

Для расчета эллиптического или инверсного Чебышева фильтра верхних частот второго порядка или звена второго порядка фильтра более высокого порядка, обладающего заданной частотой среза fc (Гц), или (рад/с), коэффициентом усиления К, минимальным затуханием в полосе задерживания (MSL), а в случае эллиптического фильтра и неравномерностью передачи в полосе пропускания (PRW) необходимо выполнить следующие шаги.

1 Найти нормированное значение коэффициентов нижних частот А, В и С из соответствующей таблицы в приложении Б или В.

2 Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/fc, мкФ) и вычислить значения элементов

Значения С2 и R7 выбираются произвольно в зависимости от коэффициента усиления К и добротности Q = для минимизации разброса значений сопротивлений.

Для небольших значений К и Q их приемлемые значения составляют: С2 = С1 и R7 = 1/cC1.

3 Выбрать номинальные значения сопротивлений и емкостей как можно ближе к вычисленным значениям и реализовать фильтр или его звенья в соответствии со схемой показанной на рис.4.14.

Комментарии

а. Комментарии пп. а, б и е для фильтра с МОС в § 4.8 используются непосредственно, за исключением того, что в п. б сопротивление Req каждого ОУ определяется значением сопротивления R1, R6 или R7 подключенного к его инвертирующему входу.

б. Эта схема может использоваться для высоких и для низких значений добротности Q, верхний предел которой равен 100.

в. Настройка осуществляется следующим образом: сначала, изменяя сопротивление R4, R3, R2 и R1 устанавливают соответственно максимальное подавление на частоте fz, частоту среза, добротность Q и коэффициент усиления.

г. Эта схема обеспечивает инвертирующий коэффициент усиления, равный R2/R1.

Биквадратный эллиптический фильтр был рассмотрен в § 4.5.

4.14 РАСЧЕТ ФИЛЬТРА ВЕРХНИХ ЧАСТОТ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА

Для расчета звена первого порядка фильтра верхних частот более высокого нечетного порядка заданного типа (например, фильтра Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева или эллиптического) обладающего заданной частотой среза fc (Гц), или (рад/с), коэффициентом усиления К, минимальным затуханием в полосе задерживания (MSL), и если используется в полосе пропускания (PRW), необходимо выполнить следующие шаги.

1 Найти нормированное значение коэффициент нижних частот С для звена первого порядка из соответствующей таблицы в приложении А, Б или В.

2 Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/fc, мкФ).

3.а) Если К > 1, вычислить значения сопротивлений

и реализовать этот фильтр в соответствии со схемой показанной на рис.4.15.

б) Если К = 1, использовать сопротивление R1 из п.3.а) и заменить сопротивление R2 разомкнутой, а сопротивление R3 короткозамкнутой цепями. В результате получим схему на повторителе напряжения.

4. Звенья второго порядка этого фильтра нечетного порядка можно реализовать с помощью рассмотренных в предыдущих параграфах методов на основе каскадного их соединения со звеном первого порядка.

Комментарии

а. Комментарии пп. а, б и е для фильтра с МОС в § 4.8 используются непосредственно, за исключением того, что в п. б Req = R1.

б. Значения сопротивлений R2 и R3 выбираются таким образом, чтобы минимизировать смещение ОУ по постоянному току. Можно использовать другие их значения при условии, что сохраняется их отношение, и в этом случае

.

в. Коэффициент усиления К > 1 можно настроить, используя вместо резисторов R2 и R3 потенциометр, центральный отвод которого подключен к инвертирующему входу ОУ. Требуемая частота среза получается при изменении сопротивления R1. Характеристика должна иметь вид, показанный на рис.4.6, б.

Фильтр верхних частот первого порядка был рассмотрен в § 4.7.

5 ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ

5.1 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Полосно-пропускающий фильтр представляет собой устройство, которое пропускает сигналы в диапазоне частот с шириной полосы BW, расположенной приблизительно вокруг центральной частоты 0 (рад/с), или (Гц). На рис.5.1 изображены идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики. В реальной характеристике частоты L и U представляют собой нижнюю и верхнюю частоты среза и определяют полосу пропускания L < < U и ее ширину BW = U - L.

В полосе пропускания амплитудно-частотная характеристика никогда не превышает некоторого определенного значения, например, А1 на рис.5.1. Существует также две полосы задерживания 0 < < 1 и > 2, где значение амплитудно-частотной характеристики никогда не превышает заранее выбранного значения, скажем, А2. Диапазоны частот между полосами задерживания и пропускания, а именно 1 < < L и U < < 2, образуют соответственно нижнюю и верхнюю переходные области, в которых характеристика является монотонной.

Отношение Q = 0/BW характеризует качество самого фильтра и является мерой его избирательности. Высокому значению Q соответствует относительно узкая, а низкому значению Q - относительно широкая ширина полосы пропускания. Коэффициент усиления фильтра К определяется как значение его амплитудно-частотной характеристики на нейтральной частоте; таким образом, К = Н(j0).

Передаточные функции полосно-пропускающих фильтров можно получить из нормированных функций нижних частот переменной S с помощью преобразования

.(5.1)

Таким образом, порядок полосно-пропускающего фильтра в 2 раза выше, чем порядок соответствующего ему фильтра нижних частот и, следовательно, всегда является четным. Результирующая амплитудно-частотная характеристика полосно-пропускающего фильтра обладает центральной частотой 0 и полосой пропускания BW и имеет сходство с характеристикой нижних частот, сдвинутой вверх по частоте от 0 до 0. Таким образом, амплитудно-частотная характеристика полосно-пропускающего фильтра Баттерворта (полученная из функции Баттерворта нижних частот) изменяется монотонно в любую сторону от своего максимального значения и имеет максимально плоскую полосу пропускания, как показано на рис.5.1. Полосно-пропускающий фильтр Чебышева обладает пульсациями в полосе пропускания, полосно-пропускающий инверсный фильтр Чебышева - пульсациями в полосах задерживания, а полосно-пропускающий эллиптический фильтр содержит пульсации, как в полосе пропускания, так и в полосах задерживания. В каждом случае центральная частота и частоты среза связанны следующим соотношением

,

где

(5.2)

На рис.5.2 и 5.3 изображены примеры амплитудно-частотных характеристик фильтра Баттерворта четвертого порядка и фильтра Чебышева четвертого порядка с неравномерностью передачи 1 дБ для частоты 0 = 1 рад/с и различных значений добротности Q. Из этих результатов следует, что увеличение добротности Q приводит к более узким полосам пропускания.

Примеры реальных амплитудно-частотных характеристик полосно-пропускающего фильтра показаны на рис.5.4 и 5.5. Это характеристики соответственно фильтра Баттерворта четвертого порядка и фильтра Чебышева четвертого порядка с неравномерностью передачи 0,5 дБ с добротностями Q = 5.

Реальная амплитудно-частотная характеристика полосно-пропускающего эллиптического фильтра четвертого порядка приведена на рис.5.6. Он имеет значение добротности Q, равное 10, неравномерность передачи в полосе пропускания 0,5 дБ и минимальное затухание в полосах задерживания 40 дБ. Поскольку последнее значение велико, то пульсации в полосах задерживания трудно различимы, так что, кроме крутизны среза, эта характеристика очень похожа на характеристику фильтра Чебышева.

5.2 ПРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Так как передаточные функции полосно-пропускающих фильтров получаются с помощью использования преобразования вида (5.1) соответствующих функций нижних частот, то передаточная функция полосно-пропускающего фильтра будет состоять из произведения сомножителей, каждый из которых получается из сомножителя функции нижних частот. Для сомножителя функции нижних частот первого порядка

(5.3)

соответствующий сомножитель полосно-пропускающего фильтра представляет собой функцию второго порядка вида

,(5.4)

где С - нормированный коэффициент соответствующего звена нижних частот первого порядка, приведенный в приложении А для фильтров Баттерворта и Чебышева, в приложении Б - для инверсного фильтра Чебышева и в приложении В - для эллиптического фильтра.

Полосно-пропускающий фильтр второго порядка получается в том случае, когда соответствующий фильтр нижних частот имеет первый порядок. Таким образом, эта функция нижних частот описывается единственным уравнением (5.3) с С = 1. В этом случае из (5.4) получаем передаточную функцию

(5.5)

полосно-пропускающего фильтра второго порядка.

Передаточную функцию вида (5.5) можно определить как функцию полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева второго порядка, поскольку уравнение (5.3) при С = 1 описывает функцию Баттерворта или масштабированную функцию Чебышева нижних частот первого порядка. Однако на (5.5) обычно ссылаются как на передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка, а их наименование, а именно Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева и эллиптическая, используют для полосно-пропускающего фильтра более высокого порядка.

Получаемые из функций нижних частот второго порядка сомножители передаточных функций полосно-пропускающих фильтров Баттерворта или Чебышева имеют следующий вид:

,(5.6)

где В и С - соответствующие коэффициенты нижних частот из приложения А. В (5.4) значение К определяет коэффициент усиления звена, а в (5.6) К - общий коэффициент усиления двух звеньев второго порядка, соединенных каскадно для реализации функции четвертого порядка.

Передаточную функцию, заданную уравнением (5.6), можно представить в виде произведения двух функций второго порядка

(5.7)

,(5.8)

Где

(5.9)

.(5.10)

Таким образом, для каждого сомножителя второго порядка в соответствующем фильтре нижних частот передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева с порядком n = 4, 6, 8, … будет содержать сомножители, один из которых описывается уравнением (5.7), а другой - уравнением (5.8); К1 и К2 представляют собой коэффициенты усиления двух полосно-пропускающих звеньев и должны выбираться таким образом, чтобы К1К2 = К.

Типовую передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка или звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева более низкого порядка можно записать в следующем виде:

,(5.11)

где параметры , и получаются с помощью приравнивания уравнения (5.11) к соответствующим уравнениям (5.4), (5.5), (5.7) или (5.8).

Интересно отметить, что параметр Е представляет собой добротность Q каждого звена (см. (5.7) и (5.8)). Как и для фильтров нижних частот и верхних частот, для реализации высоких значений Q обычно требуются высококачественные схемы.

Для иллюстрации применения (5.11) предположим, что необходимо получить передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра Баттерворта четвертого порядка с коэффициентом усиления К = 4, центральной частотой 0 = 1 рад/с и Q = 5. Из приложения А находим, что В = 1,414214 и С = 1. Поскольку соответствующий фильтр нижних частот имеет только одно звено второго порядка, получим, что для одного сомножителя уравнение (5.11) имеет вид (5.7), а для другого - (5.8). Определим числители уравнений (5.7) и (5.8), выбирая произвольно значения К1 = К2 = 2, так чтобы К1К2 = К. Из (5.9) находим Е = 7,088812, которое совместно с В и Q в (5.10) дает D = 1,073397. Эти величины определяют знаменатели. Тогда уравнения (5.7) и (5.8) имеют вид:

.

Для эллиптических и инверсных Чебышева полосно-пропускающих фильтров передаточную функцию можно также представить в виде произведения функций второго порядка. Если же соответствующий фильтр нижних частот имеет нечетный порядок, то получаемый из функции нижних частот первого порядка сомножитель полосно-пропускающего фильтра описывается уравнением (5.4), который, как было определено ранее, является частным случаем уравнения (5.11). Два сомножителя, соответствующие каждому сомножителю фильтра нижних частот второго порядка, имеют следующий вид:

(5.12)

,(5.13)

где Е и D определяются из (5.9) и (5.10), а

.(5.14)

Коэффициенты А, В и С представляют собой коэффициенты нормированных функций нижних частот в приложении Б или В, а К1 и К2 - коэффициенты усиления звеньев.

Обобщенное представление уравнений (5.12) и (5.13)

(5.15)

по виду идентично функции нижних частот (3.16), при условии, что частота 0 заменяется на с.

5.3 ШИРИНА ПЕРЕХОДНЫХ ОБЛАСТЕЙ

В § 5.1 было установлено, что полосно-пропускающий фильтр обладает двумя полосами задерживания 0 < < 1 и > 2, где 1 и 2 - выбранные частоты. Существует также две переходные области, а именно нижняя переходная область 1 < < L с шириной

(5.16)

и верхняя переходная область U < < 2 с шириной

.(5.17)

Для получения передаточной функции полосно-пропускающего фильтра используется преобразование функции нижних частот вида (5.1), которое также связывает ширину переходных областей полосно-пропускающего фильтра и соответствующего ему фильтра нижних частот. В результате получаем, что

,(5.18)

,(5.19)

где TW представляет собой нормированную ширину переходной области соответствующего фильтра нижних частот. Для высокодобротных схем хорошее приближение к (5.18) и (5.19) дает соотношение

,(5.20)

которое определяет среднее значение ширины этих двух переходных областей. Для фильтров Баттерворта и Чебышева значения TW находятся из (2.16) и (2.17) при с = 1, а для инверсных фильтров Чебышева - из (3.7). Для эллиптических фильтров значения TW приведены в таблицах приложения В.

В качестве примера найдем ширину переходных областей эллиптического полосно-пропускающего фильтра восьмого порядка с PRW = 0,5 дБ, MSL = 60 дБ, f0 = = 1000 Гц и Q = 5. Из приложения В находим TW = 0,1243, а из (5.18) следует, что

,

или TWL = 11,1172 Гц. Подобным же образом из (5.19) определяем, что TWU = 13,7428 Гц. Задаваемое уравнением (5.20) приближение дает ширину обеих переходных областей 12,43 Гц. Результаты приведены в герцах, поскольку в основном используется частота f0, а не 0.

Если необходим полосно-пропускающий фильтр с шириной переходных областей, меньшей некоторого выбранного значения, то можно определить для соответствующего случая нижних частот максимально допустимое значение TW и использовать это значение для выбора подходящего фильтра нижних частот. Полосно-пропускающая функция находится тогда по исходным данным на функцию нижних частот. Поскольку из (5.18) и (5.19) следует, что TWU > TWL, то можно выбрать заданное значение TWU как максимально допустимую ширину переходных областей полосно-пропускающего фильтра. Тогда TWL также будет меньше этого максимально допустимого значения. Из (5.19) соответствующая нормированная ширина TW нижних частот определяется следующим образом:

.(5.21)

В качестве примера предположим, что необходимо получить эллиптический полосно-пропускающий фильтр с f0 = 1000 Гц, PRW = 1 дБ, MSL = 50 дБ, Q = 10 и шириной переходных областей не более 10 Гц. Выбираем TWU = 10Гц, получаем Q (TWU)/0 = 10 (10)/1000 = 0,1, а из (5.21)

.

Из приложения Г следует, что наименьший порядок, который необходимо выбрать, N = 7 и для него TW = 0,1013 ( для N = 6 соответствует TW = 0,1989, которая слишком велика). Для N = 7 из (5.18) и (5.19) находим реальную ширину переходных областей

TWL = 4,8; TWU = 5,3 Гц,

которые обе меньше допустимого значения, а именно 10 Гц.

5.4 ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ С МНОГОПЕТЛЕВОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ И БЕСКОНЕЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ

Схема с многопетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления изображенная на рис.5.7, представляет собой один из наиболее простых полосно-пропускающих фильтров второго порядка.

Она реализует функцию полосно-пропускающего фильтра (5.11) при инвертирующем коэффициенте усиления (для > 0 получаем значение - ), где

(5.22)

При заданных параметрах 0, , и значения сопротивлений определяются из следующих соотношений:

(5.23)

где С1 и С2 имеют произвольные значения. Таким образом, можно выбрать значения емкостей С1 (предпочтительно более близкое к значению 10/f0, мкФ) и С2 так, чтобы R2 > 0, и определить значения сопротивлений. Значение емкости С2 находится из условия

.(5.24)

В качестве примера предположим, что необходимо реализовать полосно-пропускающий фильтр второго порядка с центральной частотой f0 = 1000 Гц, Q = 5 и коэффициентом усиления К = 2. Передаточная функция, задаваемая уравнением (5.5), имеет вид:

.

Сравнивая ее с (5.11), находим, что = 0,4, = 0,2 и = 1. Выбирая С1 = 10/f0 = 0,01 мкФ из уравнения (5.24), получаем

мкФ.

Следовательно, допустимо любое положительное значение емкости С2. Тогда, выбирая С2 = 0,01 мкФ, из (5.23) получаем R1 = 39,79 кОм; R2 = 1,66 кОм; R3 = 159,15 кОм.

Полосно-пропускающий фильтр с МОС, подобно его аналогам нижних и верхних частот, обладает минимальным числом элементов, инвертирующим коэффициентом усиления и способностью обеспечивать значение добротности Q < 10 при небольших коэффициентах усиления. Краткое изложение методики его расчета приведено в § 5.10.

5.5 ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ НА ИНУН

Схема на ИНУН, изображенная на рис.5.8, реализует функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка (5.11), где

(5.25)

при

.(5.26)

Значения сопротивлений для схемы, приведенной на рис.5.8, равны

(5.27)

где С1 и имеют произвольные значения и

.(5.28)

Можно добиться значительного упрощения, если выбрать = 2 или, что эквивалентно, R4 = R5. В этом случае уравнение (5.27) имеет вид:

(5.29)

Этот полосно-пропускающий фильтр на ИНУН обладает теми же преимуществами, что и рассмотренные ранее фильтры на ИНУН нижних и верхних частот. Он обеспечивает неинвертирующий коэффициент усиления и может реализовывать при небольших коэффициентах усиления значения добротности Q < 10. Методика его расчета приведена в § 5.11.

5.6 БИКВАДРАТНЫЕ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ

На рис.5.9 изображена биквадратная схема, которая реализует передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка вида (5.11). Эта схема реализует уравнение (5.11) при

(5.30)

Значения сопротивлений равны

(5.31)

где С1 и R4 имеют произвольные значения. Коэффициент усиления является неинвертирующим, однако можно получить и инвертирующий коэффициент усиления, если снимать выходной сигнал с узла «а».

Биквадратная схема требует большего числа элементов, чем схемы с МОС и на ИНУН, однако из-за ее стабильности и прекрасных возможностей по настройке она очень популярна. На ней можно реализовывать значения добротности Q вплоть до 100. Краткое изложение методики расчета приведено в § 5.12.

5.7 ИНВЕРСНЫЕ ЧЕБЫШЕВА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ

Как было установлено ранее, полосно-пропускающее звено второго порядка инверсного Чебышева или эллиптического фильтра, получаемое из звена первого порядка соответствующего фильтра нижних частот, имеет функцию, описываемую уравнением (5.11). Таким образом, его можно реализовать с помощью сформулированных в трех предыдущих параграфах методов. Звенья второго порядка, получаемые из соответствующих звеньев нижних частот второго порядка, встречаются парами и обладают передаточными функциями вида (5.12) и (5.13). Они представляют собой частные случаи обобщенной функции (5.15). Эта функция идентична приведенной в § 3.3 передаточной функции нижних частот (3.16) при замене частоты с на 0. Следовательно, можно использовать приведенные в § 3.3 - 3.5 результаты и схемы для реализации полосно-пропускающего звена с соответствующими параметрами , , и . Это будет рассмотрено в § 5.13 - 5.15.

5.8 НАСТРОЙКА ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Настройка полосно-пропускающего звена второго порядка с передаточной функцией

(5.32)

осуществляется наиболее просто, если имеется возможность наблюдать общий вид его амплитудно-частотной характеристики. Она изображена на рис.5.10, где значение ее подъема равно

(5.33)

на частоте (Гц)

,(5.34)

где

.

Частоты f1 и f2 представляют собой точки по уровню 3 дБ и определяются следующим образом:

(5.35)

Передаточная функция (5.32) описывает полосно-пропускающий фильтр второго порядка, а из (5.5) находим, что = К/Q, = 1/Q и = 1. Она также представляет собой передаточную функцию звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра более высокого порядка фильтров Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева или эллиптического. В этом случае из (5.4) находим = КС/Q, = С/Q и = 1. Наконец, уравнение (5.32) описывает передаточную функцию двух полосно-пропускающих звеньев, получаемых из соответствующего фильтра Баттерворта или Чебышева нижних частот второго порядка. В этом случае из (5.7) и (5.8) находим для двух звеньев …

Звенья второго порядка эллиптического или инверсного Чебышева полосно-пропускающего фильтра, соответствующие звеньям нижних частот второго порядка, имеют передаточные функции вида (5.15):

.(5.36)

Каждому звену нижних частот соответствуют два полосно-пропускающих звена с функциями вида (5.36). Эти функции описываются уравнениями (5.12) и (5.13), из которых следует, что = А1, = D/E, = D2 в первом случае = 1/А1, = 1/DE, = 1/D2 во втором случае. Одна из них соответствует звену нижних частот, амплитудно-частотная характеристика которого показана на рис.3.11, а или б. Другая соответствует звену верхних частот с амплитудно-частотной характеристикой, изображенной на рис.4.7, а или б. Функция (5.12) является функцией звена нижних частот при А1 > D2 и функцией звена верхних частот в остальных случаях. Подъем амплитудно-частотной характеристики на рис.3.11, а и 4.7, а

(5.37)

и расположен на частоте

.(5.38)

На постоянном токе значения амплитудно-частотной характеристики равно / и во всех четырех случаях (см. рис.3.11 и 4.7).

Методики настройки отдельных полосно-пропускающих фильтров будут приведены далее.

5.9 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ И ПОСТРОЕНИЮ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩЕГО ФИЛЬТРА

Далее приведены схемы и сокращенные методики получения полосно-пропускающих фильтров второго порядка и звеньев второго порядка фильтров Баттерворта, Чебышева, инверсных Чебышева и эллиптических высокого порядка. Для получения полосно-пропускающих фильтров будут использоваться приведенные в приложениях А, Б и В исходные данные соответствующих фильтров нижних частот.

Состоящие из одного звена второго порядка фильтры можно реализовать, используя приведенные в § 5.10, 5.11 или 5.12 схемы с МОС, на ИНУН и биквадратные схемы.

Для фильтров высокого порядка число звеньев второго порядка равно порядку соответствующего фильтра нижних частот. Полосно-пропускающее звено, соответствующее звену нижних частот первого порядка, можно реализовать на основе схем с МОС, на ИНУН и биквадратных схем. Каждому звену нижних частот второго порядка будут соответствовать два полосно-пропускающих звена второго порядка. Для полосно-пропускающих фильтров Баттерворта или Чебышева это могут быть также схемы с МОС, на ИНУН и биквадратные схемы, а инверсных Чебышева и эллиптических полосно-пропускающих фильтров реализация должна осуществляться как изложено в § 5.13, 5.14 или 5.15.

В качестве примера предположим, что требуется получить полосно-пропускающий инверсный фильтр Чебышева шестого порядка с К = 8, f0 = 1000 Гц, Q = 5 и MLS = 40 дБ. Из приложения Б для N = 3 находим звено нижних частот первого порядка с С = 1,060226 и звено нижних частот второго порядка с А = 12,075684, В = 0,969938 и С = 1,028354. Поскольку имеется три полосно-пропускающих звена второго порядка, то выберем коэффициент усиления каждого звена равным 2. Функция звена, соответствующая сомножителю функции нижних частот первого порядка, определяется уравнением (5.4), и для которого

;

.

Эту функцию можно реализовать с помощью схемы с МОС, на ИНУН или биквадратной схемы.

Функции двух звеньев, соответствующих сомножителю функции нижних частот второго порядка, описывается уравнениями (5.12) и (5.13), где К1 = К2 = 2. Из (5.14), (5.10) и (5.9) получаем А1 = 1,977, D = 1,093 и Е = 10,351. Поскольку А1 > D2, то (5.12) соответствует функции нижних частот, а (5.13) - функции верхних частот. Эти два звена можно реализовать на основе схем, приведенных в § 3.3, 3.4 или 3.5.

5.10 РАСЧЕТ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩЕГО ФИЛЬТРА С МНОГОПЕТЛЕВОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Для расчета а) полосно-пропускающего фильтра второго порядка, б) звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева или эллиптического более высокого порядка соответствующего звену нижних частот первого порядка или в) звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева высокого порядка, соответствующего звену нижних частот второго порядка обладающих заданной центральной частотой f0 (Гц) или (рад/с), коэффициентом усиления звена К и добротностью Q, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Для расчета п.б найти нормированный коэффициент С звена нижних частот первого порядка, а для расчета п.в - нормированные коэффициенты В и С звена нижних частот второго порядка из соответствующей таблицы в приложении А, Б и В.

2. Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/f0 мкФ) и номинальное значение емкости С2, удовлетворяющее условию

и вычислить сопротивления

Для п.а получаем

= К/Q; = 1/Q; = 1;

Для п.б

= КС/Q; = С/Q; = 1;

Для фильтров в п.в соответствуют два звена, первое имеет

а второе

где

3. Выбрать номинальные значения сопротивлений, наиболее близкие к вычисленным значениям, и реализовать фильтр или его звенья в соответствии со схемой, показанной на рис.5.11 (см. также общие сведения по различным фильтровым звеньям, приведенные в § 5.9).

Комментарии

а. Для обеспечения лучших рабочих характеристик номинальные значения элементов должны выбираться наиболее близкими к выбранным и вычисленным значениям. Фильтры высокого порядка требуют применения более точных значений элементов, чем фильтры сравнительно низкого порядка. Рабочая характеристика фильтра не изменится, если значения всех сопротивлений умножить, а емкостей поделить на общий множитель.

б. Входное полное сопротивление ОУ должно быть по крайней мере 10Req, где Req = R2.

Коэффициент усиления ОУ с разомкнутой обратной связью должен по крайней мере в 50 раз превышать значение амплитудно-частотной характеристики фильтра или звена на частоте fa - наибольшей требуемой частоте в полосе пропускания, а его скорость нарастания (В/мкс) должна в 0,5а10-5 раз превосходить максимальный размах выходного напряжения.

в. Инвертирующий коэффициент усиления

Следовательно, коэффициент усиления можно настроить, изменяя сопротивление R1. Для получения требуемой добротности Q изменяют сопротивление R2, и, изменяя одновременно сопротивления R2 и R3 в одинаковом процентном отношении, можно, не влияя на добротность Q, установить центральную частоту. При необходимости эти этапы можно повторить (см. также § 5.8).

г. Эту схему можно использовать только для фильтровых звеньев с коэффициентом усиления К = / и добротностью Q = не более 10. Коэффициент усиления может быть и больше для небольших значений Q, при выполнении ограничения КQ = 100 и Q = 10.

д. Порядок фильтра, требуемый для обеспечения заданной ширины верхней и нижней переходных областей, или, наоборот, ширину переходных областей соответствующих заданному порядку, можно найти по методике из § 5.3.

Полосно-пропускающий фильтр с МОС был рассмотрен в § 5.4.

5.11 РАСЧЕТ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩЕГО ФИЛЬТРА НА ИНУН

Для расчета а) полосно-пропускающего фильтра второго порядка, б) звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева или эллиптического более высокого порядка соответствующего звену нижних частот первого порядка или в) звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева высокого порядка, обладающих заданной центральной частотой f0 (Гц) или (рад/с), коэффициентом усиления звена К и добротностью Q, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Для расчета п.б найти нормированный коэффициент С звена нижних частот первого порядка, а для расчета п.в - нормированные коэффициенты В и С звена нижних частот второго порядка из соответствующей таблицы в приложении А, Б или В.

2. Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/f0 мкФ) и вычислить сопротивления

(Более общий расчет для случая R4 R5 приведен в § 5.5.)

Для п.а получаем

= К/Q; = 1/Q; = 1;

а для п.б

= КС/Q; = С/Q; = 1;

Для фильтров в п.в соответствуют два звена, первое имеет

а второе



Где

3. Выбрать номинальные значения сопротивлений, наиболее близкие к вычисленным значениям, и реализовать фильтр или его звенья в соответствии со схемой, показанной на рис.5.12 (см. также общие сведения по различным фильтровым звеньям, приведенные в § 5.9).

Комментарии

а. Комментарии пп.а, б, г и д для фильтра с МОС в § 5.10 используются непосредственно.

б. Значения сопротивлений R4 и R5 выбираются таким образом, чтобы минимизировать смещение ОУ по постоянному току. Можно использовать другие значения при условии, что их отношение R5/R4 = 1 (или 1+ R5/R4 = , которое применяется при более общем расчете в § 5.5).

в. Неинвертирующий коэффициент усиления этого фильтра можно настроить путем изменения сопротивления R1 (или при более общем расчете в § 5.5 изменением отношения R5/R4). Центральная частота устанавливается изменением сопротивления R3, добротность Q - сопротивлений R2 и R3. Эти этапы влияют друг на друга, однако их можно повторять. (См. в § 5.8 другие особенности настройки.)

Полосно-пропускающий фильтр на ИНУН был рассмотрен в § 5.5.

5.12 РАСЧЕТ БИКВАДРАТНОГО ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩЕГО ФИЛЬТРА

Для расчета а) полосно-пропускающего фильтра второго порядка, б) звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта, Чебышева, инверсного Чебышева или эллиптического более высокого порядка соответствующего звену нижних частот первого порядка или в) звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева высокого порядка, соответствующего звену нижних частот второго порядка, обладающих заданной центральной частотой f0 (Гц) или (рад/с), коэффициентом усиления звена К и добротностью Q, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Для расчета п.б найти нормированный коэффициент С звена нижних частот первого порядка, а для расчета п.в - нормированные коэффициенты В и С звена нижних частот второго порядка из соответствующей таблицы в приложении А, Б или В.

2. Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/f0 мкФ) и вычислить сопротивления

где сопротивление R4 имеет произвольное значение.

Его приемлемое значение равно

Для п.а получаем

= К/Q; = 1/Q; = 1;

а для п.б

= КС/Q; = С/Q; = 1;

Для фильтров в п.в соответствуют два звена, первое имеет

а второе

где

3. Выбрать номинальные значения сопротивлений, наиболее близкие к вычисленным значениям, и реализовать фильтр или его звенья в соответствии со схемой, показанной на рис.5.13 (см. также общие сведения по различным фильтровым звеньям, приведенные в § 5.9).

Комментарии

а. Комментарии пп.а, б, г и д для фильтра с МОС в § 5.10 используются непосредственно, за исключением того, что в п.б сопротивление Req каждого ОУ определяется значением сопротивления R1 или R4, соединенного с его инвертирующим входным контактом.

б. Коэффициент усиления звена является неинвертирующим и определяется соотношением: К = R2/R1. Если же требуется инвертирующий коэффициент усиления, то выходной сигнал можно снимать с узла «а».

в. Настройка осуществляется следующим образом: изменяя сопротивления R3, R2 и R1, устанавливают соответственно центральную частоту, добротность Q = и коэффициент усиления. Значения сопротивления R4 можно выбирать произвольно и таким образом, чтобы минимизировать разброс значений сопротивлений (см. в § 5.8 другие особенности настройки).

г. Эту схему можно применять для значений добротности Q < 100.

Биквадратный полосно-пропускающий фильтр был рассмотрен в § 5.6.

5.13 РАСЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩЕГО ФИЛЬТРА НА ИНУН

Для расчета двух полосно-пропускающих звеньев второго порядка эллиптического или инверсного Чебышева полосно-пропускающего фильтра высокого порядка, соответствующих звену нижних частот второго порядка, обладающих заданной центральной частотой f0 (Гц) или (рад/с), коэффициентом усиления звена К и добротностью Q, необходимо выполнить следующие шаги. (Если фильтр нижних частот имеет звено первого порядка, то соответствующее полосно-пропускающее звено второго порядка можно реализовать, используя приведенные в § 5.10, 5.11 или 5.12 схемы, как показано в § 5.9.)

1. Найти значения нормированных коэффициентов А, В и С соответствующего звена нижних частот второго порядка из подходящей таблицы в приложении Б или В.

2. Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/f0 мкФ) и вычислить значения сопротивлений.

Для первого звена:

Для второго звена:

В обоих случаях С2, R5 и > 1 имеют произвольные значения, а А1, Е и D определяются следующими соотношениями

Если К и добротность Q = Е имеют небольшие значения, допустим, не более 10, то приемлемые значения этих произвольных параметров равны

а = 2 (в этом случае R6 = R7). Если К и /или Е имеют высокие значения, допустим, более 10, то С2, R5 и должны выбираться таким образом, чтобы сохранился небольшой разброс значений сопротивлений.

3. Выбрать номинальные значения сопротивлений, наиболее близкие к вычисленным значениям, и реализовать звенья фильтра в соответствии со схемой, показанной на рис.5.14.

4. Если требуется = 1, то сопротивление R6 заменяется разомкнутой, а сопротивление R7 короткозамкнутой цепями при условии, что значения других сопротивлений определяется как на шаге 2. В этом случае схема представляет собой фильтр на повторителе напряжения (см. рис.3.6).

Комментарии

а. Комментарии пп.а, б и д для фильтра с МОС в § 5.10 используются непосредственно, за исключением того, что в п.б сопротивление Req каждого ОУ определяется значением сопротивления R1, R2 или R5, соединенного с его инвертирующим входным контактом.

б. Эта схема может использоваться как для высоких, так и для низких значений добротности Q = E с помощью выбора произвольных параметров на шаге 2 таким образом, чтобы сохранялся относительно небольшой разброс значений сопротивлений. Для небольших коэффициентов усиления значения Е могут достигать 100.

в. Настройка осуществляется следующим образом: изменяя отношение R4/R5 устанавливают максимальное подавление в звене нижних частот (А1 > D2) на частоте fz, как показано на рис.3.11, а для звена верхних частот (А1 < D2) - на рис.4.7. Коэффициент усиления ИНУН

можно настроить, следовательно, с помощью изменения отношения R7/R6, размещая подъем Кm на частоте fm, где для первого звена

а для второго

Наконец, значение Кm устанавливают изменяя сопротивление R2. Эти этапы можно повторять до тех пор, пока звенья не будут настроены (см. также § 5.8).

г. Эта схема обеспечивает инвертирующий коэффициент усиления - К (К > 0).

Полосно-пропускающий эллиптический фильтр на ИНУН был рассмотрен в § 5.7.

5.14 РАСЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮ-ЩЕГО ФИЛЬТРА НА ТРЕХ КОНДЕНСАТОРАХ

Для расчета двух полосно-пропускающих звеньев второго порядка инверсного Чебышева или эллиптического полосно-пропускающего фильтра высокого порядка, соответствующих звену нижних частот второго порядка, обладающих заданной центральной частотой f0 (Гц), или (рад/с), коэффициентом усиления звена К и добротностью Q, необходимо выполнить следующие шаги. (Если фильтр нижних частот имеет звено первого порядка, то соответствующее полосно-пропускающее звено второго порядка можно реализовать, используя приведенные в § 5.10, 5.11 или 5.12 схемы, как описано в § 5.9.)

1. Найти значения нормированных коэффициентов А, В и С соответствующего звена нижних частот второго порядка из подходящей таблицы в приложении Б или В.

2. Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/f0 мкФ) и вычислить значения элементов.

Для первого звена:

Для второго звена:

В обоих случаях С2 и R4 имеют произвольные значения, а А1, Е и D определяются следующими соотношениями

Если добротность Q = Е невелика, то значение емкости С2 выбирается близким к С1, а если Е велико, то значение емкости С2 должно превышать С1. В любом случае сопротивление R4 выбирается таким образом, чтобы минимизировать разброс значений сопротивлений.

3. Выбрать номинальные значения сопротивлений и емкостей, наиболее близкие к вычисленным значениям, и реализовать звенья фильтра в соответствии со схемой, показанной на рис.5.15.

Комментарии

а. Комментарии пп.а, б и д для фильтра с МОС в § 5.10 используются непосредственно, за исключением того, что в п.б сопротивление Req каждого ОУ определяется значением сопротивления R1 или R4, соединенного с его инвертирующим входным контактом.

б. Эта схема может использоваться как для высоких, так и для низких значений добротности Q = E, верхний предел которой приблизительно равен 100.

в. Настройка осуществляется следующим образом: сначала, изменяя сопротивление R1, добиваются максимального подавления на частоте fz, как показано на рси.3.11 для звена нижних частот (А1 > D2) и на рис.4.7 для звена верхних частот (А1 < D2). Подъем амплитудно-частотной характеристики Кm можно установить на частоте fm, изменяя сопротивление R2; значения Кm и fm двух звеньев указаны в п.в комментария в § 5.13. Наконец, изменяя сопротивление R3, можно добиться требуемого значения Кm. Для низких значений Q = Е последние два этапа при необходимости можно повторить.

г. Эта схема обеспечивает инвертирующий коэффициент усиления - К (К > 0).

Схема на трех конденсаторах была рассмотрена в § 5.7.

5.15 РАСЧЕТ БИКВАДРАТНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩЕГО ФИЛЬТРА

Для расчета двух полосно-пропускающих звеньев второго порядка инверсного Чебышева или эллиптического полосно-пропускающего фильтра высокого порядка, соответствующих звену нижних частот второго порядка, обладающих заданной центральной частотой f0 (Гц), или (рад/с), коэффициентом усиления звена К и добротностью Q, необходимо выполнить следующие шаги. (Если фильтр нижних частот имеет звено первого порядка, то соответствующее полосно-пропускающее звено второго порядка можно реализовать, используя приведенные в § 5.10, 5.11 или 5.12 схемы, как описано в § 5.9.)

1. Найти значения нормированных коэффициентов А, В и С соответствующего звена нижних частот второго порядка из подходящей таблицы в приложении Б или В.

2. Выбрать номинальное значение емкости С1 (предпочтительно близкое к значению 10/f0 мкФ) и вычислить значения элементов.

Для первого звена:

Для второго звена:

В обоих случаях С2 и R7 имеют произвольные значения, а А1, Е и D определяются следующими соотношениями

В зависимости от коэффициента усиления К и добротности Q = E значение С2 и R7 выбираются таким образом, чтобы минимизировать разброс значений сопротивлений.

3. Выбрать номинальные значения сопротивлений и емкостей, наиболее близкие к вычисленным значениям, и реализовать звенья фильтра в соответствии со схемой, показанной на рис.5.16.

Комментарии

а. Комментарии пп.а, б и д для фильтра с МОС в § 5.10 используются непосредственно, за исключением того, что в п.б сопротивление Req каждого ОУ определяется значением сопротивления R6 или R7, соединенного с его инвертирующим входным контактом.

б. Эта схема может использоваться как для высоких, так и для низких значений добротности Q = E, верхний предел которой приблизительно равен 100.

в. Настройка осуществляется следующим образом: изменяя сопротивления R4, R3, R1 или R5, устанавливают соответственно максимальное подавление на частоте fz, центральную частоту, добротность Q и коэффициент усиления.

г. Эта схема обеспечивает инвертирующий коэффициент усиления - К (К > 0), который пропорционален R2/R1.

Биквадратная эллиптическая схема была рассмотрена в § 5.7.

Литература

1. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. - Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и Связь, 1990 г.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986 г.

3. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. - Задачи и упражнения. Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и Связь, 1992 г.

4. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. - М.: Высшая школа, 1982 г.

5. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. - Справочник - М.: Радио и Связь, 1985 г.

6. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация. - М.: Радио и связь, 1982.

7. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. - М.: Радио и связь, 1983г.

8. Крук Б.И. и др. 25 вопросов по цифровым фильтрам. Издание НЭИС, 1990 г.

9. Зеневич А.Ф. Дискретные сигналы и цепи. Учебное пособие. Издание НЭИС, 1992 г.