Имитационное моделирование бизнес-процесса обслуживания физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка

Поиск путей повышения эффективности работы дополнительного офиса Сбербанка, используя метод построения имитационной модели бизнес-процесса потока клиентов в отделении, проведение экспериментов на ее основе для анализа "слабых мест" бизнес-процесса.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 07.08.2018
Размер файла 1,7 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Факультет Информационных систем и технологий

Направление 09.03.03 Прикладная информатика

Кафедра Экономических и информационных систем

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

(БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА)

Имитационное моделирование бизнес-процесса обслуживания физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка

Руководитель ассистент К.П. Брянцева

Н. контролер доц., к.т.н. Е.А. Матвеева

Разработала ПИ в Э-31 Я.В. Шишова

Самара 2017

Введение

Во многих областях производства, различных сферах бытового обслуживания, экономики и финансов важную роль играют специальные системы, предназначенные для многократного использования при выполнении однотипных задач. Такие системы получили название систем массового обслуживания (СМО)[9]. В качестве примера СМО, входящего в финансово-экономическую сферу, будет рассмотрена система, представляющая собой банковское отделение. В своей практической деятельности банки органично встроены в общий механизм регулирования хозяйственной жизни граждан. Во многом, региональные банки выполняют стратегическую функцию в развитии реального сектора экономики, предоставляя широкий спектр банковских продуктов. Поскольку в каждом большом городе с каждым годом увеличивается число филиалов, как уже известных крупных банков, так и совсем молодых организаций, стремительно набирающих популярность среди населения, а число предоставляемых услуг растёт в еще большей прогрессии, обостряется межбанковская конкуренция, которая заставляет банки определять основным вектором развития ориентацию на потребителей этих услуг.

Актуальность данной работы связана с тем, что для каждого банка так важно сохранить своих клиентов, и при этом приобрести как можно больше новых. В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание уже существующих. А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение будет потрачено в 25 раз больше средств[1]. Во многих случаях неудовлетворенность клиента вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет компании избежать подобных проблем.

Целью исследования является поиск путей повышения эффективности работы дополнительного офиса Сбербанка, используя метод построения имитационной модели.

Объектом исследования в данной ВКР выступает одно из банковских отделений «ПАО Сбербанк».

Среди задач, решаемых по ходу работы, можно выделить:

? анализ организации обслуживания физических лиц в данном структурном подразделении;

? построение имитационной модели бизнес-процесса потока клиентов в отделении, проведение экспериментов на ее основе для анализа «слабых мест» бизнес-процесса;

? разработка рекомендаций по повышению эффективности бизнес - процесса обслуживания клиентов.

Результаты, полученные в ходе имитационного моделирования, позволят спрогнозировать будущие состояния бизнес-процесса, при которых станет известно среднее число сотрудников для работы в каждый конкретный день, оптимальное число банкоматов-терминалов, среднее время обслуживания, количество обслуженных и необслуженных клиентов и т.д.

Методологической основой исследования являются научные труды и методические пособия отечественных ученых в области систем массового обслуживания, а также моделирования систем и экономических процессов.

Перечень условных обозначений

БП - бизнес- процесс;

з/п - заработная плата;

ИМ - имитационное моделирование;

ПОД/ФТ - противодействие отмыванию доходов и финансированию терроризма;

СВ - случайная величина;

СКО - среднеквадратическое отклонение;

СМК - система менеджмента качества;

СМО - система массового обслуживания;

СС - случайное событие;

ЮЛ - юридические лица.

1. Аналитическая часть

1.1 Анализ особенностей функционирования объекта исследования ПАО «Сбербанк»

1.1.1 Содержательное описание деятельности объекта исследования ПАО «Сбербанк»

Сберегательный банк Российской Федерации - это одно из самых крупных финансовых учреждений страны, который занимает высшие позиции в финансовом мире по некоторым особым макроэкономическим параметрам. Сбербанк, основанный в 1841 г., сегодня является современным универсальным банком, удовлетворяющим потребности разных групп клиентов в широком спектре банковских услуг. Банк занимает наиболее крупную долю на рынке вкладов (10673,5 млрд. руб. на 01.01.2016 Данные взяты из электронного источника РИАРейтинг, на котором представлен рейтинг банков по объему вкладов на 1 января 2016 года. Режим доступа: http://www.riarating.ru/banks_rankings/20160203/630008681.html свободный. ) и является ключевым кредитором экономики страны.

Основные направления деятельности банка:

? коммерческие банковские операции: предоставление услуг корпоративным клиентам и организациям по обслуживанию расчетных и текущих счетов, открытию депозитов, предоставлению всех видов финансирования, гарантий по обслуживанию внешнеторговых операций, услуг инкассации и др.;

? розничные банковские операции: оказание банковских услуг клиентам - физическим лицам по принятию средств во вклады, кредитованию, обслуживанию банковских карт, операциям с драгоценными металлами, валютно-обменным операциям, денежным переводам, платежам, хранению ценностей и др.

? операции на финансовых рынках: операции с ценными бумагами, операции по размещению и привлечению средств на межбанковском рынке, по привлечению долгосрочных средств на рынках капитала, операции с иностранной валютой и производными финансовыми инструментами, а также прочие операции на финансовых рынках.

Как и любая коммерческая компания, Сбербанк ставит своей основной целью извлечение прибыли.

К доходам от основной деятельности банк относит следующие виды доходов:

? доходы, полученные от операций кредитования (процентные и комиссионные);

? доходы от операций с ценными бумагами (процентные доходы и чистые доходы от операций с ценными бумагами);

? комиссионный доход (без учета операций кредитования);

? чистые доходы от операций с иностранной валютой и от переоценки иностранной валюты.

К внутренним структурным подразделениям кредитной организации относятся: дополнительные, операционные и кредитно-кассовые офисы, операционные кассы вне кассового узла. Дополнительный офис банка - внутреннее структурное подразделение банка или его филиала. Может осуществлять банковские операции или их часть, предусмотренные лицензией Центробанка для создавшей ее кредитной организации или филиала. Дополнительные офисы открываются в основном там, где больше всего потенциальных клиентов - возле станций метро, в оживленных кварталах, рядом с торговыми центрами и т. д.

В данной работе будет рассмотрена деятельность дополнительного офиса №6991/0331 ввиду прохождения производственной практики, что позволило изучить особенности его функционирования и собрать статистические данные для проведения исследования.

Дополнительный офис №6991/0331 Поволжского отделения Сбербанка России является универсальным внутренним структурным подразделением. Порядок открытия и закрытия дополнительного офиса регламентирован Уставом Банка. Организационные мероприятия по открытию (закрытию) дополнительных офисов осуществляет территориальный банк (или отделение, в случае делегирования ему соответствующих полномочий).

Дополнительный офис создан на основании постановления Правления Сбербанка России, действует в Октябрьском районе Самарской области, в пределах границ территории обслуживания Поволжского отделения, имеет печать с изображением эмблемы Банка и номера дополнительного офиса, штампы, бланки с использованием наименований Банка. Местонахождение дополнительного офиса: Самарская область г. Самары ул. Ново-Садовая д.239.

Дополнительный офис не имеет отдельного баланса. Операции, осуществляемые дополнительным офисом, отражаются в балансе отделения.

В своей деятельности дополнительный офис руководствуется законодательством Российский Федерации, иными нормативными правовыми актами, в том числе нормативными актами Банка России, Уставом Банка, Положением о филиале акционерного коммерческого Сберегательного Банка Российской Федерации, нормативными и распорядительными документами Банка.

Основными задачами дополнительного офиса являются:

1) Увеличение объема продаж банковских продуктов и услуг;

2) расширение клиентской базы;

3) укрепление имиджа Банка, в том числе путем улучшения качества обслуживания клиентов.

Для решения стоящих перед дополнительным офисом задач, он выполняет следующие функции:

1) Организация работы с физическими и юридическими лицами;

2) осуществление работы по привлечению в банк и на расчетно-кассовое обслуживание клиентов, по продаже банковских продуктов и услуг (кредиты, депозиты, векселя и иные продукты);

3) формирование и своевременное предоставление в отделение первичных документов и требуемой отчетности;

4) консультирование клиентов;

5) разработка предложений по изменению порядка (технологии) реализации действующих банковских продуктов и услуг и внедрению новых;

6) подготовка предложений по изменению режима работы дополнительного офиса с целью улучшения качества обслуживания клиентов;

7) проведение необходимого контроля операций клиентов, осуществление необходимых мер по предотвращению операционных, финансовых и кредитных рисков, возникающих в деятельности дополнительного офиса или доведение информации о них до отделения;

8) осуществление внутреннего контроля по выявлению операций клиентов, подлежащих обязательному контролю, и иных операций с денежными средствами или иным имуществом, связанным с легализацией (отмыванием) доходов, полученных преступным путем, и финансированием терроризма.

В составе дополнительного офиса сформированы следующие структурные подразделения:

? сектор обслуживания физических и юридических лиц;

? сектор кредитования физических лиц.

В данной работе будет рассмотрен первый сектор, а именно обслуживание физических лиц, поскольку он наиболее полно отражает систему массового обслуживания и нуждается в проведении мероприятий по повышению эффективности.

Организационная структура дополнительного офиса представлена на рис. 1.1.

Рис. 1.1 - Организационная структура дополнительного офиса №6991/0331

Каждый из секторов является функциональной частью дополнительного офиса, организационная структура которого представлена на рис.1.1, в исследовании нашего бизнес - процесса ключевую роль этой структуры занимают кассиры - операционисты, консультанты как агенты имитационной модели.

1.1.2 Идентификация функций управления дополнительным офисом

Нами в работе будет рассмотрена реализация функции управления, которая в банковском отделении представлена функцией координации, т.к. на ее основе можно проанализировать бизнес-процессы дополнительного офиса. Функция координации деятельности дополнительного офиса осуществляется в целях обеспечения согласованной и слаженной работы участвующих в процессе выполнения плановых заданий функциональных подразделений банка. Эта функция реализуется в форме воздействия на коллектив сотрудников, отдельных работников, занятых в процессе обслуживания клиентов, со стороны линейных руководителей и функциональных служб.

Основные бизнес - процессы банка:

? Обслуживание физических лиц

? Обслуживание юридических лиц

? Расчетно - кассовое обслуживание ЮЛ

? Кредитование ЮЛ

? Кредитование малого и среднего бизнеса

? Банковские карты ЮЛ

? Индивидуальные банковские ячейки (сейфы) ЮЛ

? Инкассация

? Дистанционное банковское обслуживание ЮЛ

? Брокерское обслуживание и доверительное управление

? Операции с ценными бумагами и депозитарий

? Работа на финансовых и межбанковских рынках

Обеспечивающие бизнес - процессы:

? ИТ обеспечение и связь

? Юридическое обеспечение

? Административно-хозяйственное обеспечение

? Обеспечение безопасности

? CALL- центр и телемаркетинг

? Внутренний контроль

? Управление документацией

? Управление ПОД/ ФТ

Управляющие бизнес - процессы:

? Управление финансами

? Управление персонами

? Управление маркетингом

? Управление рисками

? Управление бизнес-процессами и организационное развитие

? Управление филиальной сетью

? Управление активами и пассивами

? Стратегическое управление

? Управление качеством, СМК

Основные бизнес - процессы определяют доходы компании. Именно они имеют стратегическое значение и их ни в коем случае нельзя отдавать на аутсорсинг. Если их отдать на аутсорсинг, банк потеряет свою конкурентоспособность. По мере функционирования банка основные бизнес-процессы развиваются или умирают в зависимости от востребованности рынка и стратегии организации.

Вторая группа бизнес - процессов - это обеспечивающие процессы. В отличие от основных, обеспечивающие бизнес-процессы имеют другие цели и предназначение. Если основные бизнес-процессы приносят деньги и удовлетворяя потребности клиента, то обеспечивающие процессы поддерживают инфраструктуру банка. Клиент за них не готов платить деньги, но эти процессы нужны для того, чтобы компания существовала. Клиентами обеспечивающих процессов являются подразделения и сотрудники банка, которых при описании процессов называют внутренними клиентами.

Также выделяют управляющие процессы - бизнес-процессы, которые управляют функционированием системы.

Среди основных бизнес - процессов, процесс обслуживания физических лиц отражает реализацию функции координации, поскольку организация количества сотрудников на рабочих местах влияет на скорость обслуживания клиентов. Процесс обслуживания клиентов в дополнительном офисе - это один из этапов оказания услуги, проявляющийся в непосредственном (или опосредованном с помощью технических средств) контакте персонала банка с клиентом. Целью данного этапа является удовлетворение потребностей клиента путем предоставления ему конкретных банковских услуг с помощью выполнения одной или совокупности последовательных операций и с использованием банковских технологий.

Бизнес - процесс обслуживания физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка, является отражением системы массового обслуживания. Ежедневно через отделение банка проходит около четырехсот человек, каждый из которых желает осуществить интересующую его операцию, начиная от самых простых, связанных с выдачей и приемом наличных, заканчивая оплатой всевозможных счетов.

Данный БП должен обеспечивать максимально быстрое и комфортное обслуживание, поскольку это позволит удержать уже имеющихся клиентов и обрести новых.

Детальное рассмотрение бизнес - процесса позволит выявить его проблемные места и даст возможность поиска путей их решения. Основным недостатком функционирования данного бизнес - процесса является образование очередей в процессе обслуживания клиентов, как кассирами в окнах, так и банкоматами. В процессе имитационного моделирования будут найдены варианты сокращения времени ожидания клиентами на обслуживание.

1.2 Постановка задачи имитационного моделирования

Бизнес - процесс «Обслуживание физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка» подвергается имитационному моделированию с целью повышения эффективности работы банковских отделений за счет выявления и устранения недостатков, которые будут найдены в процессе проделанной работы. На бизнес-процесс влияет большое количество случайных факторов. Необходимо определить оптимальные условия обслуживания, чтобы по окончанию работы с клиентом сотрудниками банка, клиент остался доволен и получил соответствующий чек или квитанцию.

Построив имитационную модель, можно спрогнозировать будущие состояния бизнес-процесса, например:

? при каком количестве кассиров в окнах обслуживание клиентов происходило бы быстро, не создавая огромных очередей;

? при каком количестве банкоматов удастся разгрузить зону очереди у терминалов.

При построении имитационной модели будет решена следующая задача:

? разработка и исследование имитационной модели бизнес - процесса «Обслуживание физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка» и определение путей повышения эффективности и качества управления на основе результатов моделирования.

1.2.1 Схема и описание бизнес-процессов, подлежащих моделированию

Нами была разработана схема функционирования бизнес-процесса обслуживания физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка, исходя из исследования, проведенного на производственной практике. В ней определены ключевые случайные величины, а также входные и выходные данные, позволяющие построить имитационную модель. Схема, демонстрирующая работу БП с момента поступления заявки до определения результата выполнения операции, представлена на рис. 1.2.

Рис. 1.2 - Схема бизнес - процесса

БП Обслуживания физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка, начинается с поступления заявки клиента на обслуживание в банковском отделении по интересующей его операции. При поступлении заявки определяется вид ее реализации: будет она обслуживаться в банкомат или в окне.

При поступлении заявки на обслуживание в банкомате, консультант определяет место заявки в очереди. На данном этапе клиент может отказаться от обслуживания, либо получить свой номер в очереди и ожидать обслуживания в освободившемся банкомате. Затем консультант выбирает вид операции в заявке, которая будет осуществляться банкоматом в течение некоторого времени. Возможна ситуация, когда после выбора вида операции, потребуется обслуживание заявки в окне. В таком случае заявка переходит в очередь на обслуживание в окне. После завершения операции банкоматом, клиент получает чек на операцию, и она считается выполненной.

При обслуживании заявки в окне, консультант сначала определяет вид операции в заявке. Если операция требует обслуживания в банкомате, заявка переходит в очередь на обслуживание в банкомате. Когда операция клиента определена, заявка добавляется в очередь на обслуживание в окне, о чем свидетельствует номер талона в очереди. На данном этапе клиент может отказаться от обслуживания. Если заявка остается в очереди, она переходит на ожидание обслуживания в окне. Когда ожидание завершено, заявка поступает на обслуживание в окно, соответствующее номеру талона. В Окне операционист обрабатывает личные данные клиента, после чего либо операция выполняется касcиром, либо завершается, если данные клиента не соответствуют действительности или не могут быть обработаны. По окончании выполнения операционистом операции, клиенту выдается квитанция, свидетельствующая о выполнении операции.

1.2.2 Определение состава исходных данных для моделирования

На исследуемый бизнес процесс деятельности отделения Сбербанка оказывает влияние множество случайных факторов. Особенно важно учесть воздействие случайных величин, которые влияют на обслуживание клиентов по банковским продуктам.

Учесть влияние случайных факторов на функционирование данного бизнес - процесса возможно с помощью статистического метода имитационного моделирования, который служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени[2]. Построив имитационную модель, можно спрогнозировать будущие состояния бизнес-процесса, например, при каком количестве сотрудников дополнительного офиса банка обслуживание клиентов происходило бы быстро, без образования очередей, что способствовало бы увеличению количества удовлетворенных клиентов и привлечения новых.

На основе построенной схемы функционирования бизнес-процесса нами были определены следующие случайные величины, воздействующие на бизнес-процесс:

Случайные величины, воздействующие на бизнес-процесс:

СВ1 - время между поступающими заявками (непрерывная СВ)

СВ2 - время оформления заявки (непрерывная СВ)

СВ3 - количество отказов клиентов от обслуживания в банкомате (дискретная СВ)

СВ4 - время ожидания обслуживания в банкомате (непрерывная СВ)

СВ5 - вероятность обслуживания заявки в окне (СС)

СВ6 - время осуществления операции банкоматом (непрерывная СВ)

СВ7 - возможное невыполнение операции (СС)

СВ8 - время определения вида операции (непрерывная СВ)

СВ9 - вероятность обслуживания заявки в банкомате (СС)

СВ10 - время ожидания обслуживания в окне (непрерывная СВ)

СВ11 - количество отказов клиентов от обслуживания в банкомате (дискретная СВ)

СВ12 - время обработки данных клиента (непрерывная СВ)

СВ13 - время выполнения операции клиента в кассе (непрерывная СВ)

Таким образом, будет построена имитационная модель бизнес - процесса обслуживания физических лиц, ожидающих выполнения банковских операций в отделении Сбербанка, на основе расчетов случайных величин, представленных выше, с целью определения таких оптимальных параметров модели, при которых эффективность бизнес-процесса будет максимальна при минимальных издержках.

2. Проектная часть

2.1 Статистическое исследование бизнес - процессов, подлежащих моделированию

Исследование необходимо начать со сбора и математической обработки первичной статистической информации о бизнес-процессе.

1) Математическая обработка для СВ1

В результате первичной обработки произведённой выборки объёмом n=100, получим интервальный статистический ряд.

Таблица 2.1

Частота попадания случайных величин

в полученные интервалы для СВ1 Первичные данные для анализа были получены в ходе прохождения производственной практики в дополнительном офисе Сбербанка у руководителя отделения.

Интервалы

2 -

29,63

29,63 -

57,25

57,25 -

84,88

84,88 -

112,5

112,5 - 140,13

140,13 - 167,75

167,75 - 195,38

195,38 -

223

Частота

14

15

18

16

13

12

9

3

Таблица 2.2

Параметры выборки для СВ1

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

36,83

93

10

83

10,375

2) Математическая обработка для СВ2

Таблица 2.3

Частота попадания случайных величин в полученные интервалы для СВ2

Интервалы

3 -

5,99

5,99 -

8,99

8,99 -

11,98

11,98 -

14,98

14,98 - 17,97

17,97 -

20,97

20,97 -

23,96

23,96 -

26,96

Частота

11

13

15

21

19

10

6

5

Таблица 2.4

Параметры выборки для СВ2

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

13,57

27

3

24

3

3) Математическая обработка для СВ4

Таблица 2.5

Частота попадания случайных величин в полученные интервалы для СВ4

Интервалы

1,32 - 3

3 - 4,67

4,67 - 6,35

6,35 - 8,02

8,02 - 9,69

9,69 - 11,37

11,37 - 13,04

13,04 - 14,72

Частота

11

11

15

17

14

13

10

9

Таблица 2.6

Параметры выборки для СВ4

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

7,79

15

1

13

2

4) Математическая обработка для СВ6

Таблица 2.7

Частота попадания случайных величин в полученные интервалы для СВ6

Интервалы

3 - 7,38

7,38 -

11,75

11,75 - 16,13

16,13 - 20,50

20,50- 24,88

24,88 - 29,25

29,25 - 33,63

33,63 - 38

Частота

12

12

15

18

13

15

8

7

Таблица 2.8

Параметры выборки для СВ6

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

19,19

38

3

35

4

5) Математическая обработка для СВ8

Таблица 2.9

Частота попадания случайных величин

в полученные интервалы для СВ8

Интервалы

23 - 35,13

35,13 - 47,25

47,25 - 59,38

59,38 - 71,5

71,5- 83,63

83,63 - 95,75

95,75 - 107,88

107,88 - 120

Частота

6

13

15

19

15

12

12

8

Таблица 2.10

Параметры выборки для СВ8

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

71,26

120

23

97

12

6) Математическая обработка для СВ10

Таблица 2.11

Частота попадания случайных величин в полученные интервалы для СВ10

Интервалы

1 - 7

7 - 13

13 - 19

19 - 25

25- 31

31- 37

37 - 43

43 - 49

Частота

8

9

12

19

16

17

11

8

Таблица 2.12

Параметры выборки для СВ10

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

25,54

49

1

48

6

7) Математическая обработка для СВ12

Таблица 2.13

Частота попадания случайных величин в полученные интервалы для СВ12

Интервалы

32 - 65,5

65,5 - 99

99 - 132,5

132,5 - 166

166- 199,5

199,5- 233

233 - 266,5

266,5 - 300

Частота

11

14

20

15

14

12

11

3

Таблица 2.14

Параметры выборки для СВ12

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

147,91

300

32

268

34

8) Математическая обработка для СВ13

Таблица 2.15

Частота попадания случайных величин в полученные интервалы для СВ13

Интервалы

5 - 7,5

7,5 - 10

10 - 12,5

12,5 - 15

15- 17,5

17,5 - 20

20 - 22,5

22,5 - 25

Частота

16

12

18

18

15

11

11

9

Таблица 2.16

Параметры выборки для СВ13

Выборочное среднее

Xmax

Xmin

Размах

Длина интервалов

15,21

25

5

20

3

2.2 Идентификация законов распределения

1) СВ1 - время между поступающими заявками в секундах (непрерывная СВ)

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ1 подчиняется показательному закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05.

На основании произведённой математической обработки приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Таблица 2.17

Эмпирическое распределение для СВ1 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

(Mi)

Частость

(Wi)

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

9,62

20,05

24,00

0,24

14,83

356,00

-28,79

828,99

19895,8

2

20,05

30,48

20,00

0,20

25,27

505,31

-18,36

337,10

6741,9

3

30,48

40,91

15,00

0,15

35,70

535,46

-7,93

62,86

942,9

4

40,91

51,35

15,00

0,15

46,13

691,94

2,50

6,27

94,0

5

51,35

61,78

9,00

0,09

56,56

509,05

12,94

167,33

1505,9

6

61,78

72,21

9,00

0,09

66,99

602,94

23,37

546,04

4914,4

7

72,21

82,64

6,00

0,06

77,43

464,55

33,80

1142,4

6854,5

8

82,64

93,07

2,00

0,02

87,86

175,71

44,23

1956,43

3912,9

Итого

100,0

1,00

3840,96

44862,3

Рис. 2.1 - Частость СВ1

Внешний вид графика позволяет понять, что СВ1 действительно подчиняется показательному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблицах 2.18 - 2.19.

Таблица 2.18

Вычисление теоретических частот для СВ1

Номер

Xi

Xi+1

L*Xi

L*Xi+1

e-L*xi

e-Lxi+1

Pi

Мi'=N*Pi

1

2,00

12,43

-0,0521

-0,3237

0,9493

0,7235

0,22577

22,5772

2

12,43

22,86

-0,3237

-0,5953

0,7235

0,5514

0,17207

17,2074

3

22,86

33,30

-0,5953

-0,8669

0,5514

0,4203

0,13115

13,1148

4

33,30

43,73

-0,8669

-1,1385

0,4203

0,3203

0,09996

9,9956

5

43,73

54,16

-1,1385

-1,4101

0,3203

0,2441

0,07618

7,6183

6

54,16

64,59

-1,4101

-1,6817

0,2441

0,1861

0,05806

5,8063

7

64,59

75,02

-1,6817

-1,9533

0,1861

0,1418

0,04425

4,4254

8

75,02

85,46

-1,9533

-2,2249

0,1418

0,1081

0,03373

3,3728

Таблица 2.19

Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона для СВ1

Номер

Мi

Мi'

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

24

22,5772

1,4228

2,0245

0,08967

2

20

17,2074

2,7926

7,7984

0,45320

3

15

13,1148

1,8852

3,5539

0,27098

4

15

9,9956

5,0044

25,0439

2,50549

5

9

7,6183

1,3817

1,9092

0,25061

6

9

5,8063

3,1937

10,1994

1,75660

7

6

4,4254

1,5746

2,4795

0,56028

8

2

3,3728

-1,3728

1,8847

0,55879

хи-кв. набл.

6,44562

хи-кв. кр.

12,59159

Параметр распределения для СВ1: л = 0,026.

ч2 набл < ч2 кр ,

значит нет основания отвергнуть гипотезу Н0. Значит, расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, следовательно, данное наблюдение согласуется с гипотезой о показательном распределении совокупности заданных случайных величин[10].

2) СВ2 - время оформления заявки в секундах (непрерывная СВ)

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ2 подчиняется нормальному закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Учитывая произведённую ранее математическую обработку, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Таблица 2.20

Эмпирическое распределение для СВ2 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

Частость

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

3,00

5,99

11,00

0,11

4,50

49,47

-10,57

111,77

1229,5

2

5,99

8,99

13,00

0,13

7,49

97,40

-7,58

57,41

746,38

3

8,99

11,98

15,00

0,15

10,49

157,31

-4,58

21,00

314,95

4

11,98

14,98

21,00

0,21

13,48

283,13

-1,59

2,52

52,91

5

14,98

17,97

19,00

0,19

16,48

313,07

1,41

1,98

37,65

6

17,97

20,97

10,00

0,10

19,47

194,72

4,40

19,38

193,82

7

20,97

23,96

6,00

0,06

22,47

134,80

7,40

54,72

328,34

8

23,96

26,96

5,00

0,05

25,46

127,31

10,39

108,00

540,01

Итого

100,0

1,00

1357,21

3443,5

Внешний вид графика, представленного на рис. 2.2 позволяет понять, что СВ2 подчиняется нормальному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблицах 2.21 - 2.22.

Рис. 2.2 - Частость СВ2

Таблица 2.21

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал

Номер

xi-xcp.выб.

i+1-xcp.выб.

zi

zi+1

Ф(zi)

(zi+1)

Рi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

Мi'=N*Pi

1

-10,57

-7,5772

-1,8016

-1,2912

-0,0142

0,0483

0,06251

6,2507

2

-7,58

-4,5822

-1,2912

-0,7809

0,0483

0,1674

0,11913

11,9130

3

-4,58

-1,5873

-0,7809

-0,2705

0,1674

0,3434

0,17595

17,5949

4

-1,59

1,4076

-0,2705

0,2399

0,3434

0,5448

0,20140

20,1397

5

1,41

4,4025

0,2399

0,7502

0,5448

0,7234

0,17866

17,8660

6

4,40

7,3975

0,7502

1,2606

0,7234

0,8463

0,12283

12,2830

7

7,40

10,3924

1,2606

1,7710

0,8463

0,9117

0,06544

6,5442

8

10,39

13,3873

1,7710

2,2814

0,9117

0,9387

0,02702

2,7018

Таблица 2.22

Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона для СВ2

Номер

Мi

Мi'

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

11

6,2507

4,7493

22,5557

3,60849

2

13

11,9130

1,0870

1,1816

0,09919

3

15

17,5949

-2,5949

6,7334

0,38269

4

21

20,1397

0,8603

0,7402

0,03675

5

19

17,8660

1,1340

1,2859

0,07198

7

6

6,5442

-0,5442

0,2962

0,04526

8

5

2,7018

2,2982

5,2818

1,95491

100

хи-кв. набл.

6,62360

хи-кв. кр.

11,07050

Параметры распределения: СКО = 5,87, выборочное среднее = 13,57.

В результате вычислений получаем, что

ч2 набл < ч2 кр ,

то есть нет основания отвергнуть гипотезу Н0. Расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, следовательно, данное наблюдение согласуется с гипотезой о нормальном распределении совокупности заданных случайных величин.

3) СВ3 - количество отказов клиентов от обслуживания (дискретная СВ)

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ3 подчиняется закону распределения Пуассона по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Используя данные математической обработки, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Таблица 2.23

Эмпирическое распределение для СВ3 и его числовые характеристики

Номер

Значение СВ Xi

Частота Mi

Частость Wi

Среднее выборочное

1

1,00

5,00

0,05

0,05

2

2,00

7,00

0,07

0,14

3

3,00

9,00

0,09

0,27

4

4,00

11,00

0,11

0,44

5

5,00

14,00

0,14

0,70

6

6,00

18,00

0,18

1,08

7

7,00

14,00

0,14

0,98

8

8,00

10,00

0,10

0,80

9

9,00

7,00

0,07

0,63

10

10,00

5,00

0,05

0,50

Итого

100,00

5,59

Рис. 2.3 - Частость СВ3

Внешний вид графика позволяет понять, что СВ3 действительно подчиняется закону распределения Пуассона, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблице 2.24.

Таблица 2.24

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал случайной величины, распределенной по закону Пуассона

Номер

Значение СВ Xi

Частота Мi

Pi

Мi'=N*Pi

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

1,00

5,00

0,0209

2,0879

2,9121

8,4804

4,06175

2

2,00

7,00

0,0584

5,8356

1,1644

1,3558

0,23233

3

3,00

9,00

0,1087

10,8737

-1,8737

3,5108

0,32287

4

4,00

11,00

0,1520

15,1960

-4,1960

17,6066

1,15863

5

5,00

14,00

0,1699

16,9891

-2,9891

8,9350

0,52592

6

6,00

18,00

0,1583

15,8282

2,1718

4,7166

0,29799

7

7,00

14,00

0,1264

12,6400

1,3600

1,8497

0,14634

8

8,00

10,00

0,0883

8,8322

1,1678

1,3638

0,15441

9

9,00

7,00

0,0549

5,4858

1,5142

2,2929

0,41798

10

10,00

5,00

0,0307

3,0665

1,9335

3,7383

1,21905

0,9684

96,835067

3,1649327

хи-кв. набл.

8,53726

хи-кв. кр.

12,59159

Параметр распределения а (средняя выборочная) равен 5,59.

В данном случае нет основания отвергнуть нулевую гипотезу, так как

ч2 набл < ч2 кр .

Другими словами, расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, значит данное наблюдение согласуется с гипотезой о пуассоновском распределении совокупности заданных случайных величин[3].

4) СВ4 - время ожидания обслуживания в банкомате (непрерывная СВ)

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ4 подчиняется нормальному

закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Учитывая произведённую ранее математическую обработку, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Таблица 2.25

Эмпирическое распределение для СВ4 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

Частость

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

1,32

3,00

11,00

0,11

2,16

23,77

-6,46

41,76

459,40

2

3,00

4,67

11,00

0,11

3,83

42,18

-4,79

22,93

252,20

3

4,67

6,35

15,00

0,15

5,51

82,63

-3,11

9,70

145,46

4

6,35

8,02

17,00

0,17

7,18

122,11

-1,44

2,07

35,24

5

8,02

9,69

14,00

0,14

8,86

124,00

0,23

0,05

0,77

6

9,69

11,37

13,00

0,13

10,53

136,91

1,91

3,64

47,36

7

11,37

13,04

10,00

0,10

12,21

122,06

3,58

12,84

128,37

8

13,04

14,72

9,00

0,09

13,88

124,92

5,26

27,64

248,73

Итого

100,00

1,00

778,59

1317,52

Рис. 2.4 - Частость СВ4

Внешний вид графика позволяет понять, что СВ4 действительно подчиняется нормальному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблицах 2.26 - 2.27.

Таблица 2.26

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал для СВ4

Номер

xi-xcp.выб.

xi+1-xcp.выб.

zi

zi+1

Ф(zi)

Ф(zi+1)

Рi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

Мi'=N*Pi

1

-6,46

-4,7883

-1,7804

-1,3192

-0,0125

0,0436

0,05605

5,6053

2

-4,79

-3,1140

-1,3192

-0,8579

0,0436

0,1455

0,10191

10,1912

3

-3,11

-1,4398

-0,8579

-0,3967

0,1455

0,2958

0,15034

15,0336

4

-1,44

0,2344

-0,3967

0,0646

0,2958

0,4757

0,17994

17,9939

5

0,23

1,9086

0,0646

0,5258

0,4757

0,6505

0,17475

17,4750

6

1,91

3,5828

0,5258

0,9871

0,6505

0,7882

0,13770

13,7701

7

3,58

5,2570

0,9871

1,4483

0,7882

0,8762

0,08804

8,8040

8

5,26

6,9312

1,4483

1,9096

0,8762

0,9219

0,04567

4,5670

0,9344005

Таблица 2.27

Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона для СВ4

Номер

Мi

Мi'

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

11

5,6053

5,3947

29,1031

5,19209

2

11

10,1912

0,8088

0,6542

0,06419

3

15

15,0336

-0,0336

0,0011

0,00008

4

17

17,9939

-0,9939

0,9878

0,05490

5

14

17,4750

-3,4750

12,0756

0,69102

6

13

13,7701

-0,7701

0,5931

0,04307

7

10

8,8040

1,1960

1,4304

0,16247

8

9

4,5670

4,4330

19,6517

4,30299

100

хи-кв. набл.

10,51080

хи-кв. кр.

11,07050

Параметры распределения: СКО = 3,63, выборочное среднее = 7,79.

В результате вычислений получаем, что

ч2 набл < ч2 кр ,

то есть нет основания отвергнуть гипотезу Н0. Расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, следовательно, данное наблюдение согласуется с гипотезой о нормальном распределении совокупности заданных случайных величин.

5) СВ5 - вероятность обслуживания заявки в окне (СС)

Для того чтобы рассчитать данную вероятность, необходимо произвести выборку объёмом n=100. В результате первичной обработки данной выборки получим:

Р[1]=27/100=0,27;

Р[0]=(100-27)/100=0,73.

Вывод: вероятность того, что текущая заявка, ожидающая обслуживания в банкомате, будет обслуживаться в окне, равна 0,27. Заявка продолжит обслуживание в банкомате с вероятностью 0,73.

Поскольку СВ5 отражает вероятность наступления события, принимает всего 2 значения: 1 или 0, можно утверждать, что СВ5 имеет распределение Бернулли.

6) СВ6 - время осуществления операции банкоматом (непрерывная СВ).

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ6 подчиняется нормальному закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Учитывая произведённую ранее математическую обработку, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Внешний вид графика, изображенного на рис. 2.5, позволяет понять, что СВ6 подчиняется нормальному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблицах 2.28 - 2.30.

Таблица 2.28

Эмпирическое распределение для СВ6 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

Частость

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

3,00

7,38

12,00

0,12

5,19

62,25

-16,19

262,04

3144,42

2

7,38

11,75

12,00

0,12

9,56

114,75

-11,81

139,54

1674,42

3

11,75

16,13

15,00

0,15

13,94

209,06

-7,44

55,32

829,75

4

16,13

20,50

18,00

0,18

18,31

329,63

-3,06

9,38

168,82

5

20,50

24,88

13,00

0,13

22,69

294,94

1,31

1,72

22,39

6

24,88

29,25

15,00

0,15

27,06

405,94

5,69

32,35

485,21

7

29,25

33,63

8,00

0,08

31,44

251,50

10,06

101,25

810,03

8

33,63

38,00

7,00

0,07

35,81

250,69

14,44

208,44

1459,09

Итого

100,00

1,00

1918,75

8594,14

Рис. 2.5 - Частость для СВ6

Таблица 2.29

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал для СВ6

Номер

xi-xcp.выб.

xi+1-xcp.выб.

zi

zi+1

Ф(zi)

Ф(zi+1)

Рi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

Мi'=N*Pi

1

-16,19

-11,8125

-1,7461

-1,2742

-0,0096

0,0513

0,06090

6,0901

2

-11,81

-7,4375

-1,2742

-0,8023

0,0513

0,1612

0,10990

10,9901

3

-7,44

-3,0625

-0,8023

-0,3304

0,1612

0,3206

0,15937

15,9372

4

-3,06

1,3125

-0,3304

0,1416

0,3206

0,5063

0,18573

18,5726

5

1,31

5,6875

0,1416

0,6135

0,5063

0,6802

0,17394

17,3936

6

5,69

10,0625

0,6135

1,0854

0,6802

0,8111

0,13091

13,0906

7

10,06

14,4375

1,0854

1,5574

0,8111

0,8903

0,07917

7,9172

8

14,44

18,8125

1,5574

2,0293

0,8903

0,9288

0,03848

3,8478

0,9383924

Таблица 2.30

Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона для СВ6

Номер

Мi

Мi'

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

12

6,0901

5,9099

34,9267

5,73497

2

12

10,9901

1,0099

1,0199

0,09280

3

15

15,9372

-0,9372

0,8783

0,05511

4

18

18,5726

-0,5726

0,3279

0,01765

5

13

17,3936

-4,3936

19,3038

1,10982

6

15

13,0906

1,9094

3,6457

0,27850

7

8

7,9172

0,0828

0,0069

0,00087

8

7

3,8478

3,1522

9,9366

2,58243

100

хи-кв. набл.

9,87215

хи-кв. кр.

11,07050

Параметры распределения: СКО = 9,27, выборочное среднее = 19,19.

В результате вычислений получаем, что

ч2 набл < ч2 кр ,

то есть нет основания отвергнуть гипотезу Н0. Расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, следовательно, данное наблюдение согласуется с гипотезой о нормальном распределении совокупности заданных случайных величин.

7) СВ7 - вероятность невыполнения операции (СС).

Для того чтобы рассчитать данную вероятность, необходимо произвести выборку объёмом n=100. В результате первичной обработки данной выборки получим:

Р[1]=45/100=0,45;

Р[0]=(100-45)/100=0,55.

Вывод: вероятность того, что текущая операция не будет выполнена, равна 0,45. Вероятность выполнения операции равна 0,55.

Поскольку СВ7 отражает вероятность наступления события, принимает всего 2 значения: 1 или 0 с вероятностями Р[1] и Р[0], можно утверждать, что СВ7 имеет распределение Бернулли.

8) СВ8 - время определения вида операции.

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ8 подчиняется нормальному закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Учитывая произведённую ранее математическую обработку, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Внешний вид графика, изображенного на рис.2.6, позволяет понять, что СВ8 подчиняется нормальному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблицах 2.31 - 2.33.

Таблица 2.31

Эмпирическое распределение для СВ8 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

Частость

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

23,00

35,13

6,00

0,06

29,06

174,38

-48,26

2328,79

13972,72

2

35,13

47,25

13,00

0,13

41,19

535,44

-36,13

1305,56

16972,25

3

47,25

59,38

15,00

0,15

53,31

799,69

-24,01

576,36

8645,40

4

59,38

71,50

19,00

0,19

65,44

1243,31

-11,88

141,19

2682,68

5

71,50

83,63

15,00

0,15

77,56

1163,44

0,24

0,06

0,88

6

83,63

95,75

12,00

0,12

89,69

1076,25

12,37

152,96

1835,46

7

95,75

107,88

12,00

0,12

101,81

1221,75

24,49

599,88

7198,59

8

107,88

120,00

8,00

0,08

113,94

911,50

36,62

1340,84

10726,73

Итого

100,00

1,00

7125,75

62034,71

Рис. 2.6 - Частость для СВ8

Таблица 2.32

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал для СВ8

Номер

xi-xcp.выб.

xi+1-xcp.выб.

zi

zi+1

Ф(zi)

Ф(zi+1)

Рi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

Мi'=N*Pi

1

-48,26

-36,1325

-1,9375

-1,4507

-0,0237

0,0234

0,04709

4,7090

2

-36,13

-24,0075

-1,4507

-0,9639

0,0234

0,1175

0,09412

9,4119

3

-24,01

-11,8825

-0,9639

-0,4771

0,1175

0,2667

0,14910

14,9103

4

-11,88

0,2425

-0,4771

0,0097

0,2667

0,4539

0,18723

18,7231

5

0,24

12,3675

0,0097

0,4966

0,4539

0,6402

0,18636

18,6363

6

12,37

24,4925

0,4966

0,9834

0,6402

0,7873

0,14704

14,7039

7

24,49

36,6175

0,9834

1,4702

0,7873

0,8792

0,09196

9,1957

8

36,62

48,7425

1,4702

1,9570

0,8792

0,9248

0,04558

4,5582

0,9484856

Таблица 2.33

Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона для СВ8

Номер

Мi

Мi'

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

6

4,7090

1,2910

1,6667

0,35395

2

13

9,4119

3,5881

12,8744

1,36788

3

15

14,9103

0,0897

0,0080

0,00054

4

19

18,7231

0,2769

0,0767

0,00409

5

15

18,6363

-3,6363

13,2229

0,70952

6

12

14,7039

-2,7039

7,3112

0,49723

7

12

9,1957

2,8043

7,8640

0,85518

8

8

4,5582

3,4418

11,8458

2,59877

100

хи-кв. набл.

6,38716

хи-кв. кр.

11,07050

Параметры распределения: СКО = 24,91, выборочное среднее = 71,25.

В результате вычислений получаем, что

ч2 набл < ч2 кр ,

то есть нет основания отвергнуть гипотезу Н0. Расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, следовательно, данное наблюдение согласуется с гипотезой о нормальном распределении совокупности заданных случайных величин.

9) СВ9 - вероятность обслуживания заявки в банкомате

Для того чтобы рассчитать данную вероятность, необходимо произвести выборку объёмом n=100. В результате первичной обработки данной выборки получим:

Р[1]=32/100=0,32

Р[0]=(100-32)/100=0,68

Вывод: вероятность того, что текущая заявка, ожидающая обслуживания в окне, будет обслуживаться в банкомате, равна 0,32. Заявка продолжит обслуживание в окне с вероятностью 0,68.

Поскольку СВ9 отражает вероятность наступления события, принимает всего 2 значения: 1 или 0 с вероятностями Р[1] и Р[0], можно утверждать, что СВ9 имеет распределение Бернулли.

10) СВ10 - время ожидания обслуживания в окне

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ10 подчиняется нормальному закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Учитывая произведённую ранее математическую обработку, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Внешний вид графика, изображенного на рис. 2.7, позволяет понять, что СВ10 подчиняется нормальному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблицах 2.34 - 2.36.

Таблица 2.34

Эмпирическое распределение для СВ10 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

Частость

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

1,00

7,00

8,00

0,08

4,00

32,00

-24,54

602,21

4817,69

2

7,00

13,00

9,00

0,09

10,00

90,00

-18,54

343,73

3093,58

3

13,00

19,00

14,00

0,14

16,00

224,00

-12,54

157,25

2201,52

4

19,00

25,00

19,00

0,19

22,00

418,00

-6,54

42,77

812,66

5

25,00

31,00

15,00

0,15

28,00

420,00

-0,54

0,29

4,37

6

31,00

37,00

14,00

0,14

34,00

476,00

5,46

29,81

417,36

7

37,00

43,00

12,00

0,12

40,00

480,00

11,46

131,33

1575,98

8

43,00

49,00

9,00

0,09

46,00

414,00

17,46

304,85

2743,66

Итого

100,00

1,00

2554,00

15666,84

Рис. 2.7 - Частость для СВ10

Таблица 2.35

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал для СВ10

Номер

xi-xcp.выб.

xi+1-xcp.выб.

zi

zi+1

Ф(zi)

Ф(zi+1)

Рi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

Мi'=N*Pi

1

-24,54

-18,5400

-1,9606

-1,4812

-0,0250

0,0193

0,04431

4,4310

2

-18,54

-12,5400

-1,4812

-1,0019

0,0193

0,1082

0,08893

8,8931

3

-12,54

-6,5400

-1,0019

-0,5225

0,1082

0,2507

0,14246

14,2455

4

-6,54

-0,5400

-0,5225

-0,0431

0,2507

0,4328

0,18213

18,2133

5

-0,54

5,4600

-0,0431

0,4362

0,4328

0,6187

0,18587

18,5866

6

5,46

11,4600

0,4362

0,9156

0,6187

0,7701

0,15139

15,1395

7

11,46

17,4600

0,9156

1,3949

0,7701

0,8685

0,09843

9,8427

8

17,46

23,4600

1,3949

1,8743

0,8685

0,9196

0,05107

5,1073

0,9445907

Таблица 2.36

Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона для СВ10

Номер

Мi

Мi'

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

8

4,4310

3,5690

12,7377

2,87469

2

9

8,8931

0,1069

0,0114

0,00128

3

14

14,2455

-0,2455

0,0603

0,00423

4

19

18,2133

0,7867

0,6189

0,03398

5

15

18,5866

-3,5866

12,8637

0,69210

6

14

15,1395

-1,1395

1,2984

0,08577

7

12

9,8427

2,1573

4,6539

0,47283

8

9

5,1073

3,8927

15,1532

2,96698

100

хи-кв. набл.

7,13186

хи-кв. кр.

11,07050

Параметры распределения: СКО = 12,52, выборочное среднее = 25,54.

В результате вычислений получаем, что

ч2 набл < ч2 кр ,

то есть нет основания отвергнуть гипотезу Н0. Расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, следовательно, данное наблюдение согласуется с гипотезой о нормальном распределении совокупности заданных случайных величин.

11) СВ11 - количество отказов клиентов от обслуживания в банкомате

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ11 подчиняется закону распределения Пуассона по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Используя данные математической обработки, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Таблица 2.37

Эмпирическое распределение для СВ11 и его числовые характеристики

Номер

Значение СВ Xi

Частота Mi

Частость Wi

Среднее выборочное

1

1,00

5,00

0,05

0,05

2

2,00

8,00

0,08

0,16

3

3,00

9,00

0,09

0,27

4

4,00

11,00

0,11

0,44

5

5,00

12,00

0,12

0,60

6

6,00

18,00

0,18

1,08

7

7,00

15,00

0,15

1,05

8

8,00

10,00

0,10

0,80

9

9,00

7,00

0,07

0,63

10

10,00

5,00

0,05

0,50

Итого

100,00

5,58

Внешний вид графика, изображенного на рис. 2.8, позволяет понять, что СВ11 действительно подчиняется закону распределения Пуассона, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблице 2.38.

Рис. 2.8 - Полигон распределения для СВ11

Таблица 2.38

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал случайной величины, распределенной по закону Пуассона для СВ11

Номер

Значение СВ Xi

Частота Мi

Pi

Мi'=N*Pi

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

1,00

5,00

0,0211

2,1051

2,8949

8,3805

3,98106

2

2,00

8,00

0,0587

5,8732

2,1268

4,5233

0,77015

3

3,00

9,00

0,1092

10,9242

-1,9242

3,7024

0,33892

4

4,00

11,00

0,1524

15,2392

-4,2392

17,9709

1,17925

5

5,00

12,00

0,1701

17,0070

-5,0070

25,0696

1,47408

6

6,00

18,00

0,1582

15,8165

2,1835

4,7678

0,30145

7

7,00

15,00

0,1261

12,6080

2,3920

5,7217

0,45382

8

8,00

10,00

0,0879

8,7941

1,2059

1,4543

0,16537

9

9,00

7,00

0,0545

5,4523

1,5477

2,3953

0,43932

10

10,00

5,00

0,0304

3,0424

1,9576

3,8322

1,25960

0,9686

96,861858

3,1381418

хи-кв. набл.

10,36302

хи-кв. кр.

12,59159

Параметр распределения а (средняя выборочная) равен 5,58.

В данном случае нет основания отвергнуть нулевую гипотезу, так как

ч2 набл < ч2 кр .

Другими словами, расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, значит данное наблюдение согласуется с гипотезой о пуассоновском распределении совокупности заданных случайных величин.

12) СВ12 - время обработки данных клиента

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ12 подчиняется нормальному закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Учитывая произведённую ранее математическую обработку, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Таблица 2.39

Эмпирическое распределение для СВ12 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

Частость

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

32,00

65,5

11,00

0,11

48,75

536,25

-115,91

13435,13

147786,41

2

65,50

99,0

15,00

0,15

82,25

1233,75

-82,41

6791,41

101871,12

3

99,00

132,5

20,00

0,20

115,75

2315,00

-48,91

2392,19

47843,76

4

132,50

166,0

16,00

0,16

149,25

2388,00

-15,41

237,47

3799,49

5

166,00

199,5

13,00

0,13

182,75

2375,75

18,09

327,25

4254,23

6

199,50

233,0

12,00

0,12

216,25

2595,00

51,59

2661,53

31938,34

7

233,00

266,5

10,00

0,10

249,75

2497,50

85,09

7240,31

72403,08

8

266,50

300,0

3,00

0,03

283,25

849,75

118,59

14063,59

42190,76

Итого

100,0

1,00

14791,00

452087,19

Внешний вид графика, изображенного на рис. 2.9, позволяет понять, что СВ12 действительно подчиняется нормальному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты в таблицах 2.40 - 2.41.

Рис. 2.9 - Частость для СВ12

Таблица 2.40

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал для СВ12

Номер

xi-xcp.выб.

xi+1-xcp.выб.

zi

zi+1

Ф(zi)

Ф(zi+1)

Рi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

Мi'=N*Pi

1

-115,91

-82,4100

-1,7239

-1,2257

-0,0076

0,0602

0,06780

6,7800

2

-82,41

-48,9100

-1,2257

-0,7274

0,0602

0,1835

0,12332

12,3320

3

-48,91

-15,4100

-0,7274

-0,2292

0,1835

0,3594

0,17588

17,5878

4

-15,41

18,0900

-0,2292

0,2690

0,3594

0,5561

0,19669

19,6692

5

18,09

51,5900

0,2690

0,7673

0,5561

0,7285

0,17249

17,2490

6

51,59

85,0900

0,7673

1,2655

0,7285

0,8472

0,11861

11,8614

7

85,09

118,5900

1,2655

1,7637

0,8472

0,9111

0,06396

6,3956

8

118,59

152,0900

1,7637

2,2620

0,9111

0,9382

0,02704

2,7038

0,9457870

Таблица 2.41

Вычисление наблюдаемого значения критерия Пирсона для СВ12

Номер

Мi

Мi'

Мi-Мi'

(Мi-М'i)^2

(Мi-М'i)^2/Мi'

1

11

6,7800

4,2200

17,8082

2,62657

2

15

12,3320

2,6680

7,1184

0,57723

3

20

17,5878

2,4122

5,8188

0,33084

4

16

19,6692

-3,6692

13,4627

0,68446

5

13

17,2490

-4,2490

18,0537

1,04666

6

12

11,8614

0,1386

0,0192

0,00162

7

10

6,3956

3,6044

12,9915

2,03131

8

3

2,7038

0,2962

0,0877

0,03245

100

хи-кв. набл.

7,33115

хи-кв. кр.

11,07050

Параметры распределения: СКО = 67,24, выборочное среднее = 147,91.

В результате вычислений получаем, что

ч2 набл < ч2 кр ,

то есть нет основания отвергнуть гипотезу Н0. Расхождение теоретических и эмпирических частот незначимо, следовательно, данное наблюдение согласуется с гипотезой о нормальном распределении совокупности заданных случайных величин.

13) СВ13 - время выполнения операции клиента в кассе

Выдвинем гипотезу Н0 о том, что СВ13 подчиняется нормальному закону распределения по критерию ч2 при заданном уровне значимости 0,05. Учитывая произведённую ранее математическую обработку, приступим к проверке выдвинутой гипотезы.

Таблица 2.42

Эмпирическое распределение для СВ12 и его числовые характеристики

Номер

Нижняя граница Xi

Верхняя граница Xi+1

Частота

Частость

Центр интервала

Среднее выборочное

Отклонение от среднего

Квадрат отклонения

Дисперсия

1

5,00

7,50

6,00

0,06

6,25

37,50

-10,00

100,00

600,00

2

7,50

10,00

19,00

0,19

8,75

166,25

-7,50

56,25

1068,75

3

10,00

12,50

6,00

0,06

11,25

67,50

-5,00

25,00

150,00

4

12,50

15,00

21,00

0,21

13,75

288,75

-2,50

6,25

131,25

5

15,00

17,50

14,00

0,14

16,25

227,50

0,00

0,00

0,00

6

17,50

20,00

13,00

0,13

18,75

243,75

2,50

6,25

81,25

7

20,00

22,50

12,00

0,12

21,25

255,00

5,00

25,00

300,00

8

22,50

25,00

9,00

0,09

23,75

213,75

7,50

56,25

506,25

Итого

100,00

1,00

1500,00

2837,50

Внешний вид графика, изображенного на рис. 2.10, позволяет понять, что СВ13 подчиняется нормальному закону распределения, подтверждением этому являются расчеты, приведенные в таблицах 2.43 - 2.44.

Рис. 2.10 - Частость для СВ13

Таблица 2.43

Вычисление теоретических вероятностей попадания в заданный интервал для СВ13

Номер

xi-xcp.выб.

xi+1-xcp.выб.

zi

zi+1

Ф(zi)

Ф(zi+1)

Рi=Ф(zi+1)-Ф(zi)

Мi'=N*Pi

1

-10,13

-7,6250

-1,9446

-1,4645

-0,0241

0,0215

0,04562

4,5623

2

-7,63

-5,1250

-1,4645

-0,9843

0,0215

0,1125

0,09095

9,0947

3

-5,13

-2,6250

-0,9843

-0,5042

0,1125

0,2571

0,14459

14,4594

4

-2,63

-0,1250

-0,5042

-0,0240

0,2571

0,4404

0,18335

18,3349

5

-0,13

2,3750

-0,0240

0,4561

0,4404

0,6259

0,18543

18,5434

6

2,38

4,8750

0,4561

0,9363

0,6259

0,7754

0,14958

14,9583

7

4,88

7,3750

0,9363

1,4165

0,7754

0,8717

0,09624

9,6238

8

7,38

9,8750

1,4165

1,8966

0,8717


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.