Опыт деятельностного подхода к реконструкции памятников архитектуры

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Деятельностный подход к реконструкции предполагает не только и не столько восстановление первоначального облика археологического памятника, сколько восстановление процесса создания его материальных объектов. Мы предлагаем варианты возможной реконструкции процесса проведения разметочных работ - одной из составляющих создания древних египетских усыпальниц - пирамиды Джосера и трех больших гизских пирамид - Хеопса, Хефрена и Микерина. Они возведены, как считают египтологи, в период Древнего царства: пирамида Джосера, основателя III династии фараонов, - в период 2780 - 2760 г. до н. э.; ансамбль пирамид в Гизе - при IV династии фараонов - Хеопса, его сына Хефрена и внука Микерина - в 27 в. до н. э. Пирамиды с давних пор безоговорочно считаются первым из семи чудес света.

Ни в одном из дошедших до нас древнеегипетских литературных источников, которых в настоящее время насчитывается уже порядка четырех миллионов, не рассказывается о процессе разметки при строительстве этих замечательных сооружений. Между тем загадки египетских пирамид по-прежнему будоражат умы научной общественности.

В предлагаемых нами фрагментах возможных вариантов разметки зримо прослеживается преемственность всех этих пирамид, особо отметим преемственность двух мало похожих друг на друга пирамид Джосера и Хеопса.

1. Инструментарий. Техника геометрического построения при проведении разметочных работ в строительстве во многом зависит от свойств и возможностей измерительно-разметочного инструмента. Традиционный для Древнего Египта инструмент представлял собой сплетенный из человеческого волоса шнур. Свободно двигающиеся по шнуру петлеобразные ползунки, имеющие зажимы-фиксаторы, позволяли быстро и без деформирования шнура делать «засечки». Универсальное приспособление для натягивания шнура и крюк давали возможность манипулировать шнуром как в горизонтальном, так и в вертикальном положениях. Напоминанием об этих инструментах могут служить изображения на древних египетских постройках - см., например, лотосовидную колонн, на которой угадывается приспособление для натягивания шнура, скульптурные изображения - см., например, статую Каапера из его гробницы в Саккаре (середина III тысячелетия до н. э.), составным элементом которой является посох - тонкий, ровный, доходящий до плеча его владельца, без каких-либо ярко выраженных украшений, только в верхней части имеющий некоторые утолщения, как будто специально для удобства закрепления шнура - удивительно похожий больше на инструмент для построений на местности, чем на символ власти, а тем более, на «палку», служащую для поддержки такого крепкого дородного человека.

Необходимо отметить также и некоторые иероглифы, обозначающие числа и напоминающие приспособление для натягивания шнура (1000), а также крюки (100), петли (10), петлеобразные ползунки с зажимами. Последнее не удивительно, поскольку появление иероглифической письменности датируется приблизительно тем же периодом, что и начало и активное строительство пирамид (около 3 - 2,5 тыс. лет до н. э.). Интересно, что иероглиф, по нашему мнению напоминающий приспособление для натягивания шнура, некоторые авторы сравнивают с цветком лотоса. Наверное, одно другого не исключает.

Подводя итог сказанному, отметим, что обсуждаемые приспособления для разметки, естественно, использовались не только при строительстве пирамид, но и в обычной практике разметки земельных участков и строительстве всевозможных построек; шнуром и шестами при разметке строители и землемеры пользуются и по сей день - там, где нет возможности или нет необходимости использовать более точные, более современные приспособления. Этим и объясняется такое широкое их отражение в различных областях человеческой культуры. Поэтому пирамиды можно расценивать как конкретный пример из строительной практики, т. е. как один из многих.

«Отбивка» линии на размечаемой поверхности производилась меловым порошком по тени от шнура - это гарантировало точность проведения прямой вне зависимости от рельефа поверхности. Такой технический прием обусловил время проведения работ по разметке площадок под основание пирамид - полуденные часы в течение шести дней летнего солнцестояния, когда тень от шнура почти совпадает с тенью от приспособления для натягивания. Жесткое ограничение времени, отпущенного на разметку оснований пирамид, требовало не только четкой согласованности взаимодействия тех, кто производил разметку, но и максимальной упрощенности техники геометрического построения.

2. Пирамида Джосера. Ориентирование пирамид относительно сторон света производилось также с помощью тени, но только не от шнура, а от шеста. Предполагаемые размеры основания определяли количество шестов, устанавливаемых друг от друга на длину тени. Операция «закладки» центральной оси пирамид проводилась, скорее всего, в первый день летнего солнцестояния, когда солнце поднимается почти на востоке, - на восходе, с момента появления верхнего края солнца над горизонтом и до момента отрыва его нижнего края от линии горизонта - тогда шест отбрасывал четкую длинную тень. За этот промежуток времени надо было успеть «провесить», как говорят землемеры, прямую линию по тени от шестов-посохов. Отметим, что в отличие от «отбивки» линии, служащей для «проведения» отрезка по его концам, здесь строится луч с началом в предварительно выбранной точке и с направлением, задаваемым исключительно солнцем!

Построив таким образом (по тени) центральную ось основания, переходим к следующей операции - построению перпендикулярной оси. Будем считать, что при разметке прямоугольника основания пирамиды Джосера все операции производились с помощью шнура длиной 20 м (и это, возможно, не случайно - ведь это главный строительный модуль, который ввел и обосновал А. Снисаренко и поддержал С.Б. Проскуряков в своей книге). Поэтому на построенной ранее оси откладываем отрезок, равный 20 м, отметив при этом его середину. Ясно, что середину шнура легко определить, аккуратно перегнув его и совместив его концы. Построение взаимно-перпендикулярных осей и сторон вспомогательного квадрата будем делать с помощью одного и того же технического приема - закрепления концов шнура в нужных точках и оттягивания его середины, т. е., говоря геометрическим языком, с помощью построения сначала равностороннего треугольника со стороной 10 м., а потом - равнобедренного треугольника с такой же боковой стороной. Из геометрии известно, что треугольник - фигура жесткая, т. е. он однозначно определяется своими сторонами (в отличие, например, от параллелограмма), а это и обеспечивает однозначность проводимых таким образом построений.

Используя свойства равностороннего треугольника и его медианы (она является и высотой), нетрудно обосновать проведенные построения второй оси и сделать вывод о том, что она перпендикулярна первой оси.

2.1. Вспомогательный квадрат. На второй оси в обе стороны от точки пересечения осей отметим отрезки OD и OD0 с длинами 10 м, а затем вышеуказанным способом построим вспомогательный квадрат D1D2D3D4. Обоснование этих построений провести тоже нетрудно, опираясь на известный признак квадрата - это четырехугольник, у которого все стороны равны между собой и один угол - прямой.

Правильность построения вспомогательного квадрата проверяется тем же шнуром с «засечкой», отмечающей длину диагонали каждой из четвертей квадрата - вспомним один из основных признаков прямоугольника, в частности, в нашем случае, квадрата, - равенство диагоналей

2.2. Прямоугольник основания пирамиды. Исходный отрезок для построения малой стороны прямоугольника-основания пирамиды определим как отрезок АС диагонали АD четверти вспомогательного квадрата, где точка С является точкой пересечения этой диагонали со стороной ОВ равностороннего треугольника ОАВ, построенного в самом начале. На сторонах D1D2 и D3D4 вспомогательного квадрата от его первой оси влево и вправо откладываем отрезки A0A1 = A0A2 = AA3 = AA4, равные отрезку АС. Через концы этих отрезков проводим отрезки A1A4, A2A3 и получаем прямоугольник, являющийся исходным для построения основания пирамиды Джосера.

Теперь необходимо этот прямоугольник экстраполировать до нужных размеров. Естественно для ускорения экстраполяции наряду со шнуром длины 20 м использовать и шнур, длина которого равна удвоенной длине отрезка АС. В нашей реконструкции размеры сторон основания пирамиды Джосера - 120 м и 107,52 м. Размер первой стороны получается просто, так как он кратен 20 м и, следовательно, большой стороне исходного прямоугольника: 120 м = 20 м 6. Чтобы обосновать размер второй стороны, рассчитаем длину малой стороны исходного треугольника. Ясно, что в треугольнике ОАС угол АОС равен 60 (как угол равностороннего треугольника ОАВ) и угол ОАС равен 45 (как один из острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника ОАD); поэтому нетрудно установить, что угол ОСА равен 75 (ОСА = 180 - 60 - 45 = 75). Тогда по теореме синусов:

, откуда получаем

Далее, воспользовавшись четырехзначными таблицами В.М. Брадиса [6], получаем k = sin 60/sin 75 0,8660 / 0,9659 0,89657 0,8966,

|АC| = 10 м k 8,966 м.

Значит, длина малой стороны исходного прямоугольника равна 2 |АC| 17,932 м 17,93 м, а длина малой стороны основания пирамиды равна (с точностью до четырех значащих цифр) 6 17,93 м 107,589 м 107,6 м.

Если воспользоваться более точными таблицами - пятизначными таблицами А.И. Хохлова [7], то получим следующие результаты: k 0,86603/0,96593 0,896576 0,89658, |АC| 8,9658 м 8,966 м (с точностью до 0,5 мм), длина малой стороны пирамиды равна (с точностью до пяти значащих цифр) 2 6 8,9658 м 107,589 м 107,59 м.

Для ускорения вычислений можно воспользоваться компьютером, если составить соответствующую программу, обозначив |OА| через R и использовав стандартную функцию SIN:

ПРОГРАММА 1

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ МАЛОЙ СТОРОНЫ ОСНОВАНИЯ ПИРАМИДЫ ДЖОСЕРА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R»

30 INPUT R

40 k=SIN(3.14159/3)/SIN(753.14159/180) : PRINT «k=»;k

50 АC=Rk : PRINT «АС=»;АC; «м», «МАЛАЯ СТОРОНА ОСНОВАНИЯ =»; 12АC; «м»

60 END

При составлении программы использовалась методика пособия [8]. При этом, так как программное обеспечение компьютера осуществляет работу только с радианным выражением величин углов, при вычислении коэффициента k (см. строку 40) мы использовали формулу перехода от градусной меры к радианной (см. [8], c. 66). Для прочности число мы взяли с шестью значащими цифрами: 3,14159.

Введя в компьютер R = 10, получаем:

k = .8965753

АС = 8.965753 м МАЛАЯ СТОРОНА ОСНОВАНИЯ = 107.589 м

Это вполне соответствует ранее полученным результатам. Округлив полученные длины с точностью до мм, получаем, что длина отрезка АС равна 8 м 96 см 6 мм, а длина малой стороны пирамиды Джосера равна 107 м 58 см 9 мм.

Таким образом, основание пирамиды Джосера получается из 6 6 исходных прямоугольников, а это значит, что если разметчики шли «нашим» путем, они могли оставить какие-то следы такой экстраполяции. Так, в [14] на с. 19 - 20 авторы, в общем-то, далекие от реконструкции, которой занимаемся мы, делают следующее предположение: «Возможно, до начала строительных работ всю поверхность выровненной скалы разбивали на квадраты, высекая в ней канавки. Это была предварительная разметка граней пирамиды. Только после этого приступали к непосредственному сооружению пирамиды». Наша реконструкция предполагает именно такой подход, правда, у нас фигурирует не квадрат, а прямоугольник, но в данном ракурсе не это важно. Тем более, авторы [14] наверняка не придавали большого значения такому уточнению - скорее всего, как для них, так в данном случае и для нас, принципиален вопрос о канавках, с помощью которых задавалась сетка, определяющая размеры пирамиды.

Полученные нами размеры основания пирамиды Джосера несколько разнятся с размерами, указанными в литературе, однако и в литературе нет единого мнения по этому вопросу. Так, в книге С.Б Проскурякова, где приведена таблица основных египетских пирамид (по В. Замаровскому [9]), даны размеры 125 м 115 м., а в книге К. Целлар - размеры 118 м 140 м. Как видно из приведенных размеров, они достаточно сильно отличаются друг от друга. Это и понятно, если вспомнить возраст пирамиды.

2.3. Ступени. Перейдем к ступеням, из которых состоит пирамида. Приведем продолжение цитаты, приведенной несколькими строками выше: «Строители возводили громаду пирамиды, укладывая блоки гигантскими ступенями. Среди этих блоков, по словам Геродота, не было ни одного, который не достигал бы 9 метров».

Предположим, что высота ступеней равна 10 м. Тогда общая высота пирамиды, которая имеет шесть ступеней, будет равна 60 м, что вполне соответствует литературным источникам - 61 м в [5] и 60 м в [10].

Определим наклон ступеней, руководствуясь, как и ранее, условием простоты: воспользуемся логикой построения исходного прямоугольника - глубину и высоту скоса ступеней определим как разность стороны четверти вспомогательного квадрата и отрезка АС: 10 - |АС| 10 м - 8,966 м = 1,034 м. При этом учтено, что глубина ступеней у их основания с меньшей стороны равна 10 м, а с большей стороны - длине отрезка АС, т. е. 8,966 м. Таким образом, |С1С2| = |С4С5| = |С6С7| = |С9С10| = 1,04 м; |С2С3| = |С3С4| = |С7С8| 8,966 м; |С8С9| 8,966 м - 1,034 м = 7,932 м.

Из проведенного исследования видно, что при решении данной задачи мы фактически пользовались не только модулем в 20 м, но и модулем в 10 м. Чтобы это понять, вспомним определение модуля: «В архитектуре и строительстве исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров комплексов, сооружений и их частей».

Рассматривая настоящее исследование как методическую разработку, можем предложить учащимся целый ряд вопросов и заданий, работающих не только на развитие математических умений, но и дающих выход в школьный предмет, связывающий математику с архитектурным строительством, т. е. в черчение, предоставив учащимся таким образом дополнительные возможности для дальнейших исследований. А если прибавить еще и задания по использованию компьютера для проверки проведенных расчетов и, более того, для проведения описанной реконструкции не только привычными геометрическими методами с помощью различных чертежных инструментов (линейки, угольников разных видов, масштабной линейки, циркулей разных видов, транспортира), но и на экране дисплея компьютера, то демонстрация интеграции математики, черчения и информатики, не только как учебных предметов, но и как объективных составных частей практически всякого исследования рассматриваемого вида, становится достаточно убедительной. Так, кроме уже предложенных ранее «теоретических» заданий на доказательство, можно дать учащимся, например, такие «практические» задания:

- воспроизвести (повторить) процесс реконструкции основания пирамиды Джосера:

а) с помощью шнура, пусть даже с помощью современной веревки - во дворе, на спортивной площадке, или в коридоре школы, т. е. в любом месте, где имеется разровненная площадка достаточного размера. Поскольку полностью соблюсти условия построения первой оси очень сложно, выбрать ее из соображений удобства. Модуль выбрать с учетом объективных обстоятельств, которые задаются, естественно, размерами выбранной площадки;

б) привычными чертежными инструментами (по выбору) на листе бумаги; направление первой оси и модуль выбрать, как и в предыдущем случае, с учетом размера этого листа;

в) на экране дисплея компьютера. При этом могут возникнуть затруднения с построением равностороннего треугольника ОАВ. Решить эту проблему одним из следующих способов:

) геометрически, например, сначала разделив отрезок ОА пополам (любым возможным способом, вплоть до того, что первоначально отрезок ОА составить из двух равных отрезков), а затем проведя через полученную середину горизонтальную прямую и с помощью палетки с нанесенным на ее крае отрезком, равным ОА, из точки О этим радиусом засечь на проведенной горизонтальной прямой точку В;

) с помощью координатного метода, догадавшись, а затем и доказав, что ордината точки В та же самая, что и у середины отрезка ОА, а абсцисса отличается от абсциссы той же точки на . При этом, естественно, нужно будет составить соответствующую программу с применением графических операторов.

- нарисовать в аксонометрической проекции:

а) угол одной из ступеней пирамиды,

б) верхнюю ступень пирамиды,

- начертить пирамиду Джосера в системе прямоугольных проекций.

Естественно, для выполнения этих заданий необходимо вспомнить не только традиционную геометрию, но и элементы аналитической геометрии, которые изучаются в средней школе, а также, конечно, черчение информатику. Таким образом, рассматриваемый материал, так же как и предложенная система заданий, служат для осуществления как внутрипредметных, так и межпредметных связей.

3. Пирамида Хеопса. В большинстве источников считается, что в ее основании лежит квадрат. Так, в [10] дается предполагаемый первоначальный размер основания 232,5 м 232,5 м и в настоящее время - размер 230 м 230 м, в [14] говорится, что длина каждой стороны основания составляет 233 м. Однако в [4] и [5] приводятся размеры 233 м 233,16 м, которые говорят о том, что, возможно, основание пирамиды Хеопса - прямоугольное. Несмотря на это, мы все-таки будем считать, что в основании пирамиды Хеопса лежит квадрат. Его разметка может быть произведена с использованием тех же геометрических принципов, что и разметка основания пирамиды Джосера, с той только разницей, что при построении взаимно перпендикулярных осей здесь используются не только равносторонние треугольники, как в реконструкции пирамиды Джосера, но и два разносторонних треугольника со сторонами, равными диагонали АD четверти вспомогательного квадрата, ее отрезку АС, построенному ранее и ее же отрезку АЕ, отсеченному биссектрисой угла СОD. Назовем этот треугольник вспомогательным и построим его. Обозначим длины его сторон через a, b, c (a = |AС|, b = |AE|, c = |AD|), а величины его углов, как обычно: - величина угла, лежащего против стороны с длиной a, - величина угла, лежащего против стороны с длиной b, и, наконец, - величина угла, лежащего против стороны с длиной c.

С практической точки зрения построение на местности сторон этого треугольника с помощью упомянутых ранее инструментов не составляет труда, если учесть, что построение биссектрисы можно провести без построения дуг окружностей, но, например, путем построения ромба с получившимся ранее углом СОD при помощи того же шнура, а именно, куска шнура любой длины, разделенного пополам, используя прием, неединожды примененный нами ранее (см. п. 2). Вершина угла, противоположного углу COD, и определит биссектрису угла СOD.

Интересно, что в качестве сторон вспомогательного треугольника можно использовать и другие отрезки, равные рассмотренным ранее, но построенные несколько иначе, а именно, вместо отрезков АD, АC и AE можно взять соответственно равные им (докажите!) отрезки - диагональ OD4 и ее отрезки OF и OK. Здесь F - точка пересечения диагонали OD4 со стороной АВ равностороннего треугольника ОАВ, К - точка пересечения той же диагонали OD4 с лучом DB, проведенным из вершины D четверти вспомогательного квадрата через вершину В треугольника ОАВ. Возможно, и это скорее всего, построение второй тройки отрезков на местности осуществить проще, чем построение первой, так как включает в себя исключительно проведение отрезков прямых и определение точек их пересечения; отметим, что при этом совсем не обязательно «проводить» луч DB - достаточно засечь точку (K) его пересечения с диагональю OD4.

3.1. Решение вспомогательного треугольника. Вернемся теперь к первоначальному варианту определения сторон вспомогательного треугольника и вычислим длины его сторон и величины его углов, т. е. решим этот треугольник.

3.1.1. Использовав обозначение длины отрезка ОА через R, из треугольника ОАD находим: |AD| = R. Длина стороны АС, как было выведено ранее, равна R k, где k = sin60/sin75.

Далее, найдем длину отрезка АЕ. В треугольнике ОАЕ угол ОАЕ, как было отмечено ранее, равен 45; угол АОЕ равен 75 (действительно, он равен сумме угла АОС, равного 60, и угла СОЕ, равного половине угла СОD, т. е. 30/2 = 15); следовательно, угол ОЕА равен 180 - 45 - 75 = 60. Тогда по теореме синусов

, откуда получаем

Вспомнив обозначения |AС| = a, |AE| = b, |AD| = c, запишем выражения для вычисления длин сторон вспомогательного треугольника:

a = Rk, b = R / k, c = R .(1)

Отсюда видно, что все стороны пропорциональны R, следовательно, углы этого треугольника не зависят от R.

3.1.2. Чтобы решить вспомогательный треугольник полностью, необходимо найти и величины его углов , а это можно сделать, воспользовавшись два (для контроля - три) раза теоремой косинусов:

cos = (b2 + c2 - a2) / 2bc, (2)

cos = (a2 + c2 - b2) / 2ac, (3)

cos = (a2 + b2 - c2) / 2ab. (4)

Вычислив значения косинусов углов, по таблицам (например, [6] или [7]) определяем величины этих углов. Для контроля сложим полученные значения и, если сумма получится равной 180, то задача решена верно. В свое время, лет 12 назад, мы так и сделали, но, конечно, потратили на это очень много времени, поскольку хотели получить достаточно точный результат и поэтому в промежуточных вычислениях сохраняли достаточно много знаков. Тогда, взяв R = 10 м и использовав таблицы, например, [7], по формулам (1) мы получили следующие длины сторон «элементарного» вспомогательного треугольника:

a = Rk 10 м 0,896576 8,96576 м 8,966 м = 8 м 96 см 6 мм;

b = R / k 10 м / 0,896576 11,15354 м 11,154 м = 11 м 15 см 4 мм;

c = R 10 м 1,414213 11,14213 м 11,142 м = 11 м 14 см 2 мм.

Для пирамиды Хеопса мы взяли R = 130 м, и, пропустив процесс экстраполяции, аналогично сразу получили следующие результаты:

a = Rk 130 м 0,896576 116,55488 м 116,555 м = 116 м 55 см 5 мм;

b = R / k 130 м / 0,896576 144,9960 м 144,996 м = 144 м 99 см 6 мм;

c = R 130 м 1,414213 183,8473 м 183,847 м = 183 м 84 см 7 мм.

В последнем вычислении, чтобы обеспечить вычисление с точностью до шести значащих цифр, нам пришлось «вспомнить молодость» и извлечь корень самим - с помощью алгоритма, которому обучали нас в школе несколько десятилетий назад. К сожалению, современная школа это не дает, а в таблицах [6] да и в других таблицах для школьников, например, в справочнике М.Я. Выгодского, даются только четыре значащие цифры; что касается [7], то там вообще таблицы квадратных корней нет.

Далее, подставив полученные значения длин сторон вспомогательного треугольника в формулы (2) - (4), мы получили: cos 0,77350, cos 0,61510, cos 0,023934, откуда по таблице II «Натуральные значения тригонометрических функций» и «Таблице пропорциональных частей» [7] находим 3919,85 = 391951, 522,4 = 52224, 8837,7 = 88242. Для проверки мы сложили величины всех этих углов и получили 1795957, что, как нам казалось, свидетельствует о достаточно хорошей точности вычислений.

3.1.3. В настоящее время, когда компьютер прочно вошел в практику обучения, для решения вспомогательного треугольника можно использовать разработки [16], п. III, 3, где предлагается компьютерный вариант решения треугольников, причем, рассматриваются случаи любых треугольников - остроугольных, прямоугольных и тупоугольных. Отрешившись от вышеприведенного решения вспомогательного треугольника вручную и с помощью таблиц, составим программу для нашего случая, попытавшись упростить вышеупомянутую программу из [16].

Но, как известно, для «настоящих математиков» рисунок - не доказательство, а лишь намек, который еще надо увидеть, понять и принять на вооружение и как руководство к действию. Итак, интуитивно следуя рассуждениям, докажем, что вспомогательный треугольник - остроугольный. Для начала отметим, что сторона c - наибольшая, так как две другие стороны (a и b) являются ее частями - по пятой аксиоме Евклида: «Целое больше части». Поэтому угол - наибольший угол треугольника (так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол - вспомнили?). Если мы удостоверимся в том, что угол - острый, то другие два угла тем более будут острыми.

Для доказательства того, что угол - острый, рассмотрим выражение (4) его косинуса через длины сторон треугольника, из которого видно, что, так как, естественно, a > 0 и b > 0, то знак косинуса определяется знаком выражения числителя. Рассмотрим это выражение подробнее: подставив в него выражения (1), получим R2(k2 + 1/k2 - 2), откуда ясно, что знак определяется знаком выражения k2 + 1/k2 - 2, которое при условии k 1 всегда больше нуля, что следует из известного неравенства оценки суммы двух взаимно обратных положительных чисел (x + 1/x > 2 при xR+\{1} - вспомните или докажите!). Известно, что из положительности косинуса угла следует, что он - острый (вспомните, почему, или докажите!). Следовательно, - острый угол и вспомогательный треугольник - остроугольный, что и требовалось доказать.

Вследствие этого свойства вспомогательного треугольника, вычисление его углов будет проходить сразу по второй формуле из отмеченных ранее сложных тройных формул, например, по формуле из:

= arctg,

где, как видно из только что проведенных рассуждений, cos определяется формулой (4).

Теперь мы можем составить компьютерную программу для вычисления сторон и углов вспомогательного треугольника, воспользовавшись при этом алгоритмическим языком БЭЙСИК и методикой пособия [8]:

ПРОГРАММА 2

10 REM РЕШЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R»

30 INPUT R

40 k=SIN(3.14159/3)/SIN(753.14159/180) : PRINT «k=»;k

50 a=Rk : b=R/k : c=RSQR(2)

60 PRINT «a=»;a;«м », «b=»;b;«м », «c=»;c;«м »

70 x=b : y=c : z=a

80 PRINT «УГОЛ АЛЬФА=»; : GOSUB 140

90 x=a : y=c : z=b

100 PRINT «УГОЛ БЕТА =»; : GOSUB 140

110 x=a : y=b : z=c

120 PRINT «УГОЛ ГАММА =»; : GOSUB 140

130 GOTO 200

140 REM ПОДПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА

150 KO=(x2+y2-z2)/(2xy)

160 U=ATN(SQR(1/(KOKO)-1)) : U0=U180/3.14159

170 U1=INT(U0) : U2=(U0-U1)60 : U3=INT(U2) : U4=(U2-U3)60

180 PRINT U; «рад=»; U0;«град=»;U1;«град»;U2;«мин=»;U1;«град»;U3;«мин»;U4;«сек»

190 RETURN

200 END

Здесь для большинства переменных приняты естественные обозначения, совпадающие с введенными ранее, за исключением обозначений косинуса (КО) и числовых значений величин углов (U, U0, U1, U2, U3, U4).

В строках 40 - 60, как и в программе 1, вычисляются длины сторон, далее - величины углов, при этом используется подпрограмма вычисления угла треугольника (строки 140 - 190).Так как, как отмечалось ранее, программное обеспечение компьютера обеспечивает работу только с радианным выражением величин углов, то после вычисления величин углов мы воспользовались формулой перехода от радианной меры к градусной (см. строку 160). Так как при этом доли градуса получаются в десятичном виде, то при выводе результата мы были вынуждены использовать формулы перевода десятичного выражения долей градуса в минуты, а затем десятичных долей минуты в секунды (см. строку 170). В последнем случае два раза использовалась стандартная функция целой части (INT) при следующих обозначениях: U - величина угла в радианах, U0 - величина этого угла в градусах, представленная в десятичном виде, U1 - количество полных градусов, U2 - количество минут, содержащихся в дробной части градусной меры U0, U3 - количество полных минут в U2, U4 - количество секунд, содержащихся в дробной части минутной меры U2.

Введя в компьютер R = 130 м, получаем:

k = 0.8965753 (5)

а = 8.965753 м b = 11.15355 м c = 14.14214 м (6)

УГОЛ АЛЬФА = .6864469рад = 39.33054град = 39град 19мин 49.95667сек (7)

УГОЛ БЕТА = .908284рад = 52.04088град = 52град 2мин 27.1756 сек (8)

УГОЛ ГАММА = 1.546862рад = 88.62872град = 88град 37мин 43.40332 сек (9)

Введя в компьютер R = 130 м, получаем:

а = 116.5548 м b = 144.9962 м c = 183.8478 м

После округления с точностью до 0,5 мм приходим к окончательным результатам:

a 116,555 м; b 144,996 м; c 183,848 м,

которые практически совпадают с полученными ранее вручную и с применением таблиц.

3.1.4. Для дальнейшего исследования нам будет необходима длина высоты вспомогательного треугольника, опущенной на сторону с длиной а. Обозначим ее длину через H0. Тогда:

H0 = c sin = Rsin.(10)

Если мы хотим провести вычисления вручную, то для начала вычислим

sin = , а затем sin 1,414213 0,788449 1,115035.

Следовательно:

H0 1,115035R.(11)

Если воспользоваться компьютером, то достаточно в программу 2 добавить строку:

101 H0 = RSIN(U)SQR(2) : PRINT «H0=»;H0; «м»

Для элементарного вспомогательного треугольника, т. е. при R = 10 м, получим H0 11,15035 м 11м 15 см 0,4 мм. А для пирамиды Хеопса, т. е. при R = 130 м, H0пир 144,9547 м 144 м 95 см 5 мм.

3.2. Пространственная реконструкция пирамиды Хеопса. Представим себе правильную четырехугольную пирамиду, в основании которой - квадрат со стороной длины 2а, а угол наклона боковой грани к основанию равен . Рассмотрим разрез этой пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды параллельно стороне основания. Тогда вспомогательный треугольник окажется внутри получившегося прямоугольного треугольника со стороной длины а. При этом, как видно из рисунка, в построенном сечении содержатся два вспомогательных треугольника, симметричные относительно высоты пирамиды. Проведенный анализ показывает, что построение высоты пирамиды можно осуществить с помощью все того же вспомогательного треугольника, точнее, двух вспомогательных треугольников, противоположно ориентированных. Итак, 3.2.1. Построение высоты пирамиды. Построим перпендикулярный разрез, описанный выше. Сделаем это следующим образом:

а) на луче P1P от точки Р1 последовательно один за другим отложим два отрезка длины а (|Р1Р2| = |Р2Р3| = a). В одну сторону от прямой Р1Р отложим два вспомогательных треугольника P1P2P4 и P3P2P5 так, чтобы, естественно, их стороны с длиной а совпали с отмеченными на луче Р1Р отрезками, а вершины углов с величиной попали в точки Р1 и Р3;

б) продлим сторону Р1Р4 за вершину Р4 и сторону Р3Р5 за вершину Р5 до их пересечения. Таким образом, получаем S - вершину пирамиды. Соединим точки S и Р2.

Оказывается, что SP2 P1P3 (докажите) и, следовательно, SP2 - высота. Перейдем к вычислению ее длины.

3.2.2. Вычисление длины высоты пирамиды. Обозначим длину высоты SP2 через H. Из построенного прямоугольного треугольника вычисляем H по формуле:

геометрический программирование пирамида

H = a tg = R k tg, (12)

где так как sin 0,788449 (см. п. 3.1.4),

tg = . (13)

Следовательно:

H R 0,896576 1,28182 1,14929R. (14)

Для элементарного вспомогательного треугольника, т. е. при R = 10 м, имеем H 11,493 м, а для пирамиды Хеопса, т. е. при R = 130 м, получаем Hпир 149,402 м.

Для вычисления длины высоты H с помощью компьютера можно в соответствии с формулой (12) в программу 2 добавить всего одну строку:

102 PRINT «H=»;RKTAN(U);«м»

После запуска программы 2 с таким добавлением для пирамиды Хеопса получаем: H = 149.4027 м

Разумно округлив эти результаты, приходим к тому, что Hпир 149,403 м, и это значение практически совпадает с значением, полученным нами вручную с использованием таблиц.

3.3. Сравнительные оценки. Итак, для пирамиды Хеопса мы получили:

1) длина стороны основания равна 2а = 2 116,555 м = 233, 11 м;

2) длина высоты равна Hпир = 149, 403 м;

3) величина угла наклона боковой грани к плоскости основания равна = 52227.

Сравним полученные нами параметры для реконструкции пирамиды Хеопса с известными в литературе. Как было отмечено в самом начале настоящего пункта, длина стороны основания колеблется от 232,5 м до 233, 16 м, откуда видно, что наш результат входит в указанный диапазон.

Поскольку в настоящее время вершины у пирамиды Хеопса нет, предполагаемая высота пирамиды Хеопса в разных источниках приводится разная:

145 м;

146,52 м;

146,59 м;

146,6 м;

147,8 м;

147 м;

148,5 м.

Полученная нами длина высоты превосходит приведенные варианты, однако не на много: наибольшее из приведенных выше значений высоты (148,5 м) - на 0,9 м, что дает относительную погрешность всего 0,6 %, а наиболее часто приводимое значение (146,6 м) - на 2,8 м, что дает относительную погрешность не более 2 % .

Величина угла наклона боковой грани пирамиды к основанию дается следующая:

5130;

5152.

Разница полученного нами значения величины угла 522,5 с этими значениями находится между 8,5 и 32,5, что дает диапазон относительных погрешностей от 0,27% до 1%.

Таким образом, сконструированная нами пирамида является достаточно точной реконструкцией пирамиды Хеопса.

4. Насыпь. Геометрическая организация пространства пирамид Джосера и Хеопса, на первый взгляд, проходила неодинаково: в первом случае мы видим продолжение традиции строительства мастаб (древнеегипетских гробниц, имеющих форму лежащего бруса с наклоненными к центру стенами, 3-е тыс. до н. э., во втором - принципиально новое архитектурное решение. На самом деле, геометрия пирамиды Хеопса в какой-то мере является продолжением геометрии пирамиды Джосера - та же ступенчатость, хотя и закамуфлированная гладкой облицовкой, тот же ритмичный повтор при возведении ступеней. Есть еще один признак «родства», но он уже связан не столько с геометрической организацией, сколько с технологическим просчетом во время строительства первой пирамиды и относится он к насыпи: во время подвозки материала грунт, из которого делалась наклонная насыпь, к моменту завершения строительства четырехступенчатой пирамиды (проектная высота) пирамиды уплотнился настолько, что убрать эту насыпь можно было только разрезая ее на блоки. Вероятнее всего, возникло иное решение: насыпь-монолит оставить и на этом готовом фундаменте достроить пирамиду до высоты шести ступеней. При этом вновь появившуюся насыпь своевременно разрезали на блоки, которые потом были использованы для достройки.

Естественно, при строительстве пирамиды Хеопса такое использование насыпи уже могли включить в проект. Именно такое объяснение дает обоснование сенсационному факту, установленному не далее как в 1981 году американским профессором-химиком Джозефом Давидовицем, который после тщательного обследования химическими средствами и с помощью микроскопа пяти блоков пирамиды Хеопса установил, что эти блоки имеют искусственное происхождение. При этом в одном из них был обнаружен человеческий волос длиной 21 см, который, по мнению исследователя, упал с головы строителя. Однако Давидовиц после этого сделал неверный вывод о том, что все блоки пирамиды рукотворны. Наиболее решительно против этой новой гипотезы выступил профессор-египтолог Римского университета Серджо Донадони, который утверждал, что сердцевина пирамиды Хеопса состоит из блоков известняка-ракушечника, в точности подобного тому, который по сей день добывается в окрестных карьерах. То, что речь идет о естественных, а не искусственно изготовляемых кусках камня, по-видимому, доказано наличием на них маркировки - «фабричных меток», указывающих, в каком карьере и какой бригадой камнерезов добыт камень, указания на дату или другие обстоятельства. Если принять наш вариант, который принимает и объясняет наличие в кладке пирамид как естественных блоков, так и рукотворных, то все встает на свои места.

Рассмотрим некоторые интересные задачи, обсуждаемые в литературе в связи с пирамидой Хеопса.

5. Приближение числа ? В литературе обсуждается вопрос о том, что отношение периметра основания пирамиды Хеопса к ее удвоенной высоте является некоторым приближением числа . Впервые эту идею выдвинул в 60-ых годах XIX века основатель пирамидологии Джон Тейлор, до сих пор ее поддерживают его многочисленные современные последователи (см., например, [4]). Однако с 80-ых годов XX века эта идея некоторыми специалистами отвергается. Так, в статье «Четыре загадки пирамид», опубликованной в журнале «Наука и религия» (см. [20]), В Бабенко и В. Гаков делают упор на то, что в соотношении периметра основания Великой пирамиды (так часто называют пирамиду Хеопса египтологи) к ее удвоенной высоте нет числа «пи». Сомнению подвергает этот факт и С.П. Проскуряков, отмечая, что на фоне самой пирамиды Хеопса, как архитектурного и строительного сооружения, наличие числа «пи» в таком, заметном с первого взгляда, соотношении весьма примитивно. В то же время представители цифровой мистики продолжают следовать идее Тейлора.

Проверим справедливость этой идеи в нашем варианте реконструкции пирамиды Хеопса. Для этого составим соответствующее выражение 8a/2Hпир = 4a/Hпир и вычислим его по данным п. 3.3: 4 116,555/149,403 3,12, что дает приближение числа с точностью до двух сотых с относительной погрешностью, не превышающей 0,7%!

6. Прямоугольный треугольник? Из построения разреза пирамиды Хеопса описанным методом возникает гипотеза о том, что вспомогательный треугольник мог приниматься строителями за прямоугольный. Из наших вычислений ясно, что это не так, поскольку в нем нет угла, равного 90. Однако значение 883743,4 очень близко к 90. Действительно, разница между ними не превосходит 12216,6. Чтобы понять, что это достаточно малое расхождения для проведения строительной разметки с помощью шнура, вспомним, что все построения мы проводили с помощью вспомогательного треугольника, рассчитанного при R = 10 м, т. е. с помощью треугольника со сторонами a 8,966 м 8 м 96 см 6 мм, b 11,15354 м 11 м 15 см 3,5 мм, c 14,14213 м 14 м 14 см 2 мм (см. формулы (1) при R = 10 м). Особо обратим внимание на длину стороны b - сравним ее с длиной высоты этого треугольника H0 11,15035 м 11м 15 см 0,4 мм. Для этого рассмотрим разность

b - H0 11,15354 - 11,15035 = 0,00319 (м) 3,2 мм!

И это при общей длине разметочного шнура порядка 35 м! (a + b + c 34,262 м). Ясно, что в элементарном треугольнике такую разницу заметить трудно, поэтому, возможно, гарпедонавты (разметчики пирамид) вполне могли считать вспомогательный треугольник прямоугольным.

Оценим его «прямоугольность» с другой стороны, вычислив c1 = и сравнив полученное значение с c:

c1 14,31 м; d = c1 - c 0,168 м; = % 1,175556 % 1,2 %.

Однако, как показали наши построения, и это естественно - следует из теории приближений, см. об абсолютной погрешности - при проводимом нами многократном построении элементарного вспомогательного треугольника разница увеличивается, и в результате вверху получается внушительный разрыв. Вычислим величину этого разрыва, т. е. длину отрезка S0P4, умножив ее затем на 2.

Высота размеченной с помощью элементарного вспомогательного треугольника части пирамиды равна

H0пир = H0 13 11,15035 м 13 = 144,95455 м 144, 955 м.

Поэтому, используя результаты п. 3.2.2 (в частности, формулу (11)), из прямоугольного треугольника S0P4S находим:

|S0P4| = (Hпир - H0пир)/tg 4.44815 м / 1.28182 3,47 м,

и, следовательно, разрыв равен 2 3,47 м 6, 94 м.

Таким образом, образовалась шахта, разрез которой имеет вид остроугольного равнобедренного треугольника P4Р2P5 с основанием P4P5 (в вершинной части пирамиды) длины 6,94 м, вершиной Р2 в центре основания пирамиды, боковой стороной длины 144,996 м и углом при вершине, равным 2 12216,6 = 24433,2.

Так или иначе, элементарный вспомогательный треугольник приближенно мог быть использован гарпедонавтами в качестве прямоугольного.

При построении разреза пирамиды Хеопса у нас естественным образом получился действительно прямоугольный треугольник P1SP2. Возможно, что египтяне, если они шли нашим путем, узнали этот прямоугольный треугольник через продемонстрированную нами практику разметки.

7. А была ли вершина у пирамиды Хеопса? Из наших рассуждений предыдущего пункта вытекает вопрос: а, может быть, вершина пирамиды Хеопса никогда не разрушалась? Может быть, ее вообще не было, а в отверстие шахты можно было наблюдать небо, и иногда туда заглядывала звезда …, светило солнце? Ведь не зря именно в годы царствования фараона Хеопса культ фараона-бога достиг своего апогея, и его преемников величали титулом сына Солнца! Ведь именно в это время родилась вера в то, что душа царя возносится в небо, его жизнь проходит между пирамидой на земле и небесами.

В этом плане интересно обратить внимание на статьи о пирамидах, помещенные в МЭС Брокгауза - Ефрона:

«Пирамиды, древние египетские четырехгранные, кверху суживающиеся постройки, грандиозные гробницы фараонов» (1).

А в предыдущей статье читаем:

«Пирамида, геом., многогранник, основание которого четырехугольник (или многоугольник), а все другие грани суть треугольники, вершины которых сходятся в одной точке»(2).

Какой контраст! Такая разница в описаниях явно свидетельствует о том, что, по крайней мере, к 1907 г. (т. е. к году издания цитируемого словаря) вершины у египетских пирамид отсутствовали, иначе осторожные и правдивые историки связали бы цитируемые трактовки понятия «пирамида», а именно, при описании формы древних египетских пирамид (1) сослались бы на соответствующее геометрическое понятие (2).

Там же, в МЭС, отмечается, что «теперь» (т. е. к 1907 г.) высота пирамиды Хеопса равна 145 м! Отметим, что «сегодня пирамида Хуфу [Хефрена - Т.К.] возвышается над пустыней лишь на 137 м»., что подтверждает то, что разрушающее воздействие издержек цивилизации (таких, например, как загрязнение окружающей среды и вандализм туристов) докатилось и до египетских пирамид, вынуждая поставить под сомнение истинность высказывания арабского писателя, жившего в XIII в., часто выдаваемого в качестве египетской пословицы: «Все на земле боится времени, но время боится пирамид».

Интересно, что рассчитанная нами высота пирамиды Хеопса без верхушки равна H0пир 144,955 м, т. е. практически совпадает с длиной высоты 145 м из МЭС. Приведенные аргументы подтверждают высказанную выше мысль о достаточно большой вероятности того, что вершины у пирамиды Хеопса не было с самого начала.

Если не так, то, возможно, строители не очень-то прочно закрыли отверстие вершиной, которая уже с давних пор, по свидетельствам историков, отсутствует …А это, по крайней мере, странно, поскольку во всех источниках, рассказывающих о строительстве пирамид, высказывается не только утверждение о прочности этих пирамид, но и восхищение ею. Например, в [15] читаем: «Блоки настолько тщательно пригнаны друг к другу, что в щель между соседними камнями нельзя вставить лезвие ножа! Неудивительно, что при фотографировании кладки линию стыка приходилось обводить краской, иначе на снимках ее не было видно ... Древние камнерезы знали свойства горных пород, их не останавливали ни твердость, ни вязкость камня. Они получали из камня строительные детали и изделия любой формы, и в том числе колоссальные скульптуры. Твердый камень в руках египетских мастеров был податливым пластичным материалом».

Вряд ли «древние туристы», вроде Наполеона Бонапарта, могли разобрать вершину на сувениры…, да и о посягательствах на цельность пирамид во время военных действиях в тех краях тоже не говорится ни в одном источнике. Более того, все, кто видел пирамиды, единодушно испытывали чувство поклонения. Величием гробниц фараонов был поражен молодой генерал Бонапарт, не без основания лелеявший надежду затмить славу знаменитых полководцев всех времен и народов. Перед началом решающей битвы между французскими войсками и мамлюками в 1798 г. он обратился к своим войскам со следующими словами: «Солдаты! Сорок веков смотрят на вас сегодня с высоты этих пирамид!»

Французский ученый Жомар, сопровождавший Бонапарта во время египетской экспедиции, так говорит о своих сильных чувствах, которые вызвали у него пирамиды: «Их вершины, виднеющиеся издалека, производили впечатление, сходное с тем, какое испытываешь при виде пирамидальных верхушек высоких гор, стремящихся и врывающихся в небо. Чем ближе подходишь, тем впечатление слабее. Но в непосредственной близости этих правильных громад оно сменяется другим - вы сражены неожиданностью; едва ступив на берег, вы чувствуете себя во власти другого настроения. У самого подножия пирамид охватывает острое могучее ощущение с примесью изумления и подавленности. Верхушка и углы теряются из виду. Испытываемое чувство не есть восхищение перед созданием искусства, оно глубже. Оно навеяно величием и простотой форм, контрастом между человеком и огромностью труда его рук; глаз не в состоянии охватить его, мысль отказывается воспринять. Вот когда начинаешь проникаться всем величием этой громадной гряды отесанных камней, нагроможденных в стройном порядке на баснословную высоту».

Наполеон I, пришедший со своими войсками в Египет с захватническими целями, еще раз подтвердил весьма нередкий парадокс, заключающийся в том, что «пушки и штыки - лучшее средство для расширения сферы научных интересов». Он сам провел калькуляцию количества камня в пирамиде Хеопса. «В то время, когда французские войска стояли у Гизы и многие офицеры и солдаты взбирались на пирамиды, чтобы полюбоваться открывающимся видом, Бонапарт был занят вычислениями. Он подсчитал, что из камня пирамид можно построить стену высотой 3 м и толщиной 30 см, опоясывающую Францию». Именно с его легкой руки «после вторжения французов в Египет на Европейском континенте возник бум вокруг пирамиды Хеопса и в целом родилась египтология, одна из самых удивительных и увлекательных наук, а вслед за ней и ее падчерица - пирамидология …».

Что уж тогда говорить о мирных историках и путешественниках! Так, древнегреческий историк и путешественник Геродот, живший в V в. до н. э. и объездивший многие страны, был первым ученым, подробно сообщившим собранные им сведения о пирамидах.

Первая глава прославленной «Истории» Геродота начиналась словами: «Нижеследующие изыскания Геродот Галикарнасец представляет для того, чтобы от времени не изгладились из нашей памяти деяния людей, а также чтобы не были бесславно забыты огромные удивления достойные сооружения …».

А первые русские путешественники, попавшие в Египет, называли пирамиды «рукотворными горами».

8. Египетский треугольник? Из литературы известно, что «это - единственный прямоугольный треугольник, который знали в Древнем Египте». Рассмотрим теперь наш вспомогательный треугольник, а затем прямоугольный треугольник P1SP2. Не являются ли они с достаточно хорошим приближением египетскими треугольниками, т. е. не соотносятся ли длины их сторон как 3 : 4 : 5?

8.1. Начнем с вспомогательного треугольника. Вычислим:

t1 = (a + b + c) / 12,

а затем абсолютные погрешности:

d11 = |a - 3t1|, d12 = |b - 4t1|, d13 = |c - 5t1|.

Тогда относительные погрешности можно будет вычислить по формулам:

11 = d11 100/a (%), 12 = d12 100/b (%), 13 = d13 100/c (%).

В соответствии с этими формулами добавим в программу 2 следующие строки:

103 t1=(a + b + c)/12: d11= ABS(a - 3t1) : d011 = d11100/a : d12 = ABS(b - 4t1) : d021 = d12100/b : d13 = ABS(c - 5t1) : d031 = d13100/c

104 PRINT «t1=»;t1«м», «d11=»;d11;«м», «d011=»;d011;«%», «d12=»;d12;«м», «d021=»;d021;«%», «d13=»;d13;«м», «d031=»;d031;«%».

Здесь относительные погрешности обозначены той же буквой, что и абсолютная, и отличается от нее только дополнительным нулем в начале индекса. После введения в компьютер модуля R = 10 м получаем:

t1 = 2.855119 м d11 = .4004025 м d011 = 4.465908 % d12 = .2669373 м d021 = 2.393296 % d13 = .1334662 м d031 = .9437492 %

откуда видно, что наибольшая относительная погрешность не превышает 4,47 %.

8.2. Теперь перейдем к прямоугольному треугольнику P1SP2 и по аналогии с вспомогательным треугольником вычислим для него:

t2 = (a + H + ,

а затем абсолютные погрешности:

d21 = |a - 3t2|, d22 = |H - 4t2|, d23 = |- 5t2|.

Тогда относительные погрешности можно будет вычислить по формулам:

21= d21 100/a (%), 22 = d22 100/H (%), 23 = d23 100/(%).

В соответствии с этими формулами добавим в программу 2 следующие строки:

105 t2=(a + H + SQR(a2 + H2))/12: d21= ABS(a - 3t2) : d021 = d21100/a : d22 = ABS(H - 4t2) : d022 = d22100/H : d23 = ABS(SQR(a2 + H2) - 5t2) : d023 = d23100/ SQR(a2 + H2)

106 PRINT «t2=»;t2«м», «d21=»;d21;«м», «d021=»;d021;«%», «d22=»;d22;«м», «d022=»;d022;«%», «d23=»;d23;«м», «d023=»;d023;«%».

После введения в компьютер модуля R = 10 м получаем:

t2 = 2.919531 м d21 = .2071607 м d021 = 2.310578 % d22 = .185607 м d022 = 1.615025 % d23 = 2.155512E-02 м d023 = .1478799 %,

откуда видно, что наибольшая относительная погрешность не превышает 2,31 %, что меньше, чем в случае вспомогательного треугольника. Из сделанных оценок ясно одно: как вспомогательный треугольник, так и треугольник P1SP2, являются некоторыми приближениями египетского треугольника, причем, второй - лучше первого. Если полученные проценты приемлемы, то рассматриваемые треугольники (или второй из них) можно считать египетскими, а точнее, родоначальниками египетского треугольника. В таких случаях наш метод построения рассматриваемых треугольников (или только второго треугольника) можно рассматривать как изначальный метод построения египетского треугольника.

Теперь перейдем к реконструкции пирамид Хефрена и Микерина - спутниц пирамиды Хеопса, второй и третьей по величине после нее пирамидам в Гизе. Начнем с пирамиды Микерина, поскольку, хотя она и была построена позднее, ее реконструкция проще реконструкции Пирамиды Хефрена.

9. Пирамида Микерина. Возьмем R = 60 м и введем его в Программу 2. В результате компьютер выдаст а = 53,795 м, что вполне соответствует половине длины стороны основания пирамиды Микерина. Действительно, известно, что длина стороны ее основания может быть равна 108,04 м. В нашем случае получается близкое значение - 107,59 м.

9.1. Чтобы, как и в пирамиде Хеопса, построить вертикальный разрез, проходящий через высоту пирамиды параллельно стороне ее основания, как и при реконструкции пирамиды Хеопса, воспользуемся модулем 10 м и вспомогательным треугольником, рассчитанным на компьютере. Пропустив процесс экстраполяции, как и в случае пирамиды Хеопса, построим два вспомогательных треугольника, только за вершину пирамиды возьмем середину S0 отрезка Р4Р5. Эту точку можно было получить и как пересечение высоты SP2 с отрезком Р4Р5 или без построения точки S - просто соединив точки Р4 и Р5 отрезком, а затем разделив его пополам (например, с помощью шнура). Далее, соединив точку S0 с точками Р1 и Р3, получим разрез пирамиды Микерина.

9.2. Вычислить важные для нас параметры этой пирамиды (длину высоты и угол наклона боковой грани к основанию) можно, догадавшись, что искомая высота равна высоте вспомогательного треугольника, например, треугольника Р1Р2Р4 (докажите!), проведенной из вершины Р4. Следовательно, H0пир 1,115035R и для пирамиды Микерина, т.е. при R = 60 м, получаем H0пир 66,9021 м 66,902 м.

Обозначим величину угла наклона боковой грани пирамиды к плоскости ее основания, т. е. угла Р2Р1S0, через 1. Ясно, что tg1 = H0/a, откуда получаем 1 = arctg(H0/a). Для вычисления величины угла 1 на компьютере добавим в программу 2 следующие строки:

107 V = ATN(H0/a) : V0=V180/3.14159 : V1=INT(V0) : V2=(V0-V1)60 : V3=INT(V2) : V4=(V2-V3)60