Опыт деятельностного подхода к реконструкции памятников архитектуры

108 PRINT «УГОЛ БЕТА 1=»; V0; «град=»; V1; «град»; V2; «мин=»; V1; «град»; V3; «мин»; V4; «сек»

Здесь V - величина угла в радианах, V0 - величина этого угла в градусах, представленная в десятичном виде, V1 - количество полных градусов, V2 - количество минут, содержащихся в дробной части градусной меры V0, V3 - количество полных минут в V2, V4 - количество секунд, содержащихся в дробной части минутной меры V2.

Запустив программу в новом варианте, получаем:

H0=66.90215 м.

УГОЛ БЕТА 1 = 51.19806град = 51град11.88377мин = 51град11мин53.02643сек.

После разумного округления получаем, что высота пирамиды Микерина равна 66,9 м, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 5112. Вообще, относительная погрешность для стороны основания находится в диапазоне между 0,4 % до 0,84 %, для высоты - в диапазоне между 0,6 % и 0,75 %, для угла наклона боковой грани к плоскости основания - в диапазоне между 0,26 % и 0,62 %.

9.3. Нетрудно проверить и для пирамиды Микерина утверждение о приближении числа : если провести вычисления, аналогичные п. 5, то получим число 3,22, которое дает приближение с точностью до одной десятой, или, точнее - до шести сотых, относительная погрешность 2,4 %. Отсюда видно, что это тоже приближение, но менее точное, чем в пирамиде Хеопса.

9.4. Теперь возникает вопрос - а не является ли полученный при построении пирамиды Микерина прямоугольный треугольник египетским? Проверить это можно аналогично тому, как мы это делали для прямоугольного треугольника пирамиды Хеопса. В результате получим ответ: да, с максимальной относительной погрешностью 4%. А это говорит о том, что рассматриваемый треугольник более «египетский», чем вспомогательный треугольник, но менее «египетский», чем прямоугольный треугольник из пирамиды Хеопса.

10. Пирамида Хефрена. Реконструкцию пирамиды начнем, как и во всех других случаях, с основания. В литературе упоминаются следующие его размеры: 215,3 м 215,3 м в [5], с. 46; 210,5 м 210,5 м в [10]. Разделив первый размер пополам, получим 107,65 м, что очень напоминает размер малой стороны основания пирамиды Джосера. А это значит, что в качестве половины стороны основания пирамиды Хефрена мы можем взять эту малую сторону пирамиды Джосера, сделав все расчеты аналогично п. 2.2, только не при R = 60 м, а при R = 120 м. После обращения к компьютеру с помощью программы 1 получим результат: 215,1781 м 215,18 м, что очень близко к первому из упомянутых выше размеров.

10.1. Для высоты пирамиды Хефрена известен размер 143,5 м.. Приблизительно такую высоту мы можем получить, если за высоту возьмем высоту S0P2, построенную аналогично высоте пирамиды Микерина (см. предыдущий пункт), которая равна высоте вспомогательного треугольника, но не при R = 60 м, а при R = 130 м. Для вычисления ее длины воспользуемся программой 2 с добавлением строки 101, введенной в п. 3.1.4. В результате получим H0пир 144,9547 м 144,955 м.

10.2. Таким образом, мы построили и вычислили сторону основания и высоту пирамиды. Соединив вершину с концами основания, получим апофемы пирамиды Хефрена и ее вертикальный разрез по плоскости, параллельной основанию пирамиды и проходящей через ее высоту. Острый угол при основании даст нам угол наклона боковой грани пирамиды к ее основанию. Обозначим его 2. Чтобы вычислить его значение, воспользуемся методикой предыдущего пункта (см строки 107 и 108), предварительно введя в компьютер уже имеющиеся у нас значения длин а = 107,589 м и Н0пир = 144,955 м:

ПРОГРАММА 3

10 REM угол наклона боковой грани к основанию в пирамиде ХЕФРЕНА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ a и Н0»

30 INPUT a, H0

40 V = ATN(H0/a) : V0=V180/3.14159 : V1=INT(V0) : V2=(V0-V1)60 : V3=INT(V2) : V4=(V2-V3)60

50 PRINT «УГОЛ БЕТА 2=»; V0; «град=»; V1; «град»; V2; «мин=»; V1; «град»; V3; «мин»; V4; «сек»

60 END

В результате получаем:

УГОЛ БЕТА 2 = 53.41631град = 53град24.97833 мин = 53 град24мин58.69995сек

После округления до минут приходим к значению угла наклона, равному 5325. Из литературы известны значения этого угла, равные 537 и 5220, как видим, достаточно близкие к полученному нами.

Относительные погрешности для основных трех параметров пирамиды Хефрена следующие: для стороны основания - 0,05 %, для высоты - 1 %, для угла наклона боковых граней к плоскости основания - 0,6 %.

10.3. Испытание на приближение числа в рассмотренной реконструкции пирамида Хефрена практически не выдерживает, так как в результате соответствующих вычислений (см..п. 5 и п. 9.3) получаем число 2,9689 3, которое можно рассматривать разве что как приближение с точностью до целых, или, точнее, до двух десятых, относительная погрешность 5,5 %.

10.4. Испытание рассматриваемого прямоугольного треугольника на «египетскость», проведенное по методике п. 8.2, дает очень хороший результат - относительная погрешность не превышает 0,6%, который значительно лучше, чем в пирамидах Хеопса и Микерина (ср. с результатами п. 8 и п. 9.4).

11. Общие расчетные модули. присутствие в реконструкции общего модуля: вспомогательного треугольника, а в построении основания - общего отрезка АС (см. п. 2.2) с длиной 8,966 м, которому кратна длина малой стороны пирамиды Джосера и длины сторон оснований всех пирамид в Гизе. А поскольку все вспомогательные элементы получены, исходя из отрезка в 10 м, то именно отрезок длины 10 м является модулем, общим для всех пирамид.

Как и ранее, рассматривая настоящее исследование как методическую разработку, можем предложить учащимся целый ряд вопросов и заданий, в частности, задание нарисовать с помощью компьютера вспомогательный треугольник, а также воспроизвести на экране дисплея все «теоретически» проведенные нами построения разрезов пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина. Эта работа с еще большей очевидностью покажет учащимся, что в основе всех построений лежит вспомогательный треугольник. Построив его, далее, как из кирпичиков, из размноженных вспомогательных треугольников складываем разрез пирамиды Хеопса, а затем, проведя всего несколько отрезков получаем и разрезы пирамид Хефрена и Микерина. Тем самым, учащиеся практически удостоверяются в том, что вспомогательный треугольник действительно является строительным модулем.

Заметим, что построение вспомогательного треугольника для настоящей работы мы провели с использованием графического оператора SCREEN.

Соответствующая программа выглядит следующим образом:

ПРОГРАММА 4

10 REM ПОСТРОЕНИЕ ВСПОМОГАТ. ТРЕУГОЛЬНИКА

20 SCREEN 12

30 а=8.96575: Н0=11.15036 : Т=1.28182

40 X0=Н0/Т

50 LINE (0,Н010)-(а10,Н010)

60 LINE (0,Н010)-(X010,0)

60 LINE (X010,0)-(а10,Н010)

70 END

Здесь а, Н0, как и прежде, обозначают длины а и Н0 соответственно, Х0 - абсциссу x0 вершины А. Последняя определяется по формуле строки 40, где Т обозначает tg. Числовые значения a, H0, tg, (см. строку 30) были вычислены нами ранее - см. формулу (5) в п.3.1.3, п. 3.1.4 и формулу (13) в п. 3.2.2 соответственно. В настоящей программе операторы LINE использованы для построения сторон вспомогательного треугольника АВС: в строке 50 - стороны ВС, в строке 60 - стороны ВА, в строке 70 - стороны АС.

Интересным может быть решение задачи компьютерной реконструкции разреза пирамиды Хеопса - оно, естественно, отличается от предложенного нами, поскольку дает в руки учащимся совершенно иные средства, определяемые математическим обеспечением компьютера и вытекающими из него возможностями. Это станет предельно понятно, если предложить учащимся построить рисунки, приведенные в данной работе.

А еще раньше, при делении угла COD пополам (см. п. 3), когда нам было нужно на стороне ОС отложить отрезок ОС1, равный отрезку OD1, можно сразу взять отрезок ОD1 составленным из двух половин, затем, отдублировав одну половину, повернуть ее на 90 и двигать ее внутри угла СОD до тех пор, пока ее концы не окажутся на сторонах угла. Тогда конец, находящийся на стороне ОС, и будет искомой точкой С1 (докажите!). Затем, отдублировав отрезок OD1, передвинем его копию так, чтобы ее левый конец попал в точку С1. Тогда ее правый конец О1 будет лежать на биссектрисе угла СОD (докажите!). Далее остается только провести луч, являющийся биссектрисой, что делается без особого труда.

12. Египетский прямоугольный треугольник. При реконструкции всех трех гизских пирамид мы получали различные треугольники - прямоугольные и «почти прямоугольные», и все они были «почти египетскими» (см. п.п. 8, 9.4, 10.4).

А теперь рассмотрим еще один вариант реконструкции пирамиды Хефрена. Прежде всего, обратим внимание на то, что при построении половины ее основания мы должны 12 раз отложить отрезок с длиной a = 8,966 м, т. е. один раз - отрезок с длиной:

12 а = 3 4 а = 3 (4 а).

Последняя запись означает, что нужный отрезок можно получить, если на луче отложить последовательно три раза отрезок длины а1 = 4а 35,864 м. Если сравнить эту длину с периметром вспомогательного треугольника, то можно заметить удивительную вещь - они различаются всего на 1,596 м! Это значит, что разметку как стороны основания, так и вертикальную разметку можно производить одним шнуром с отмеченными на нем всего-навсего четырьмя отрезками, которым соответствуют точки (узлы), отмеченные (завязанные):

1) в его начале, и на следующих расстояниях от начала:

2) a = 8,966 м,

3) a + b = 8,966 м + 11,154 м = 20,12 м,

4) a + b + c = 20,12 м + 14,142 м = 34,262 м (см. п. 6) и

5) 4а = 35,864 м,

т. е. всего пять точек (узлов).

Остается сделать всего один шаг - при разметке вертикального разреза на вертикальной оси отложить четыре отрезка длины а1. Таким образом, получим прямоугольный треугольник, у которого отношение катетов равно

3а1/4а1 = ѕ. (15)

Легко проверить, что прямоугольный треугольник с такими катетами является египетским.

Ну а теперь спросим себя: а зачем нам это надо - какое отношение имеют наши, может быть, схоластические, рассуждения и диктуемые ими построения к пирамиде Хефрена? Естественно, имеют, если мы выскажем гипотезу о том, что проведенные нами построения дадут наилучшее приближение к известным из литературы размерам, в частности, высоты этой пирамиды. Чтобы проверить это утверждение, с помощью соотношения (15) найдем вертикальный катет прямоугольного треугольника с горизонтальным катетом, равным половине стороны пирамиды Хефрена: 4 107,589/3 м = 143,452 м 143,5 м. А это значение точно совпадает с единодушно приводимым в источниках.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что, возможно, к моменту строительства пирамиды Хефрена египтяне уже знали точные параметры египетского треугольника. Очень возможно, что помогли им придти к этому треугольнику все предыдущие описанные нами построения как пирамиды Джосера, так и гизских пирамид, в которых очень часто использовалась кратность числу 12; если присовокупить к этому еще и естественное стремление рационализировать процесс построения, которое могло получить свою практическую реализацию описанным выше способом, то становится очевидным тот факт, что появление египетского треугольника в самом точном виде было подготовлено всем ходом развития древней науки и практики разметки пирамид.

Проблема адекватной реконструкции археологического памятника выходит далеко за рамки интересов собственно археологов, историков, искусствоведов. Искаженная модель невольно порождает искаженное представление о прототипе, которое переходит на страницы учебников, на страницы научно-популярной и художественной литературы, попадает на экраны кино и телевидения … и порождает искаженный образ целого этапа развития человеческой культуры. Одна из форм искажения - это включение в пространство технологических возможностей исследуемой эпохи методов и средств, появившихся на самом деле в более позднее время. Деятельностный подход к реконструкции практически исключает вероятность такого искажения, хотя и предполагает возможность использования в процессе исследования любых современных методов, как гуманитарных, так и естественнонаучных. Предложенный здесь материал как раз демонстрирует эмпирически возникшие в те далекие времена методы и гарантирует их достоверность, основываясь на последующие достижения в развитии геометрии и вычислительных методов, начиная с ручного счета и использования математических таблиц до проверки тех же вычислений или самостоятельного расчета в решении поставленных задач с помощью компьютера.

Итак, мы закончили реконструкцию геометрической логики построения египетских пирамид. Эта практическая задача решена с допусками, которые были проанализированы нами на основании математических вычислений, проведенных как вручную и с помощью таблиц, так и с использованием компьютера. Теоретическая задача решалась в условиях, максимально приближенных к предполагаемым обстоятельствам, т. е. выводы делались не на основании суммы исторически сложившихся к настоящему времени представлений о способе мышления египтян того исторического периода, а из внутренней логики предложенного варианта реконструкции.

Безусловно, путь раскрытия этой логики был намного длиннее и сложнее, чем представленные варианты. Ложность или правильность этого пути смогут подтвердить только факты. Возможная зона поиска этих фактов - сохранившиеся до нас предметные остатки древнейшей культуры и, в первую очередь, египетские пирамиды. При этом в присутствие метра в исторической эпохе, отстоящей от официального утверждения этой единицы измерения, почти на пять тысячелетий, мы не видим никакого парадокса. О широком использовании этой меры длины в древности см., например, в [5], с. 149: «… абсолютное большинство блоков пирамиды Хеопса имеют форму куба с длиной ребра в один метр».

Грандиозные пирамиды Древнего Египта свидетельствуют о высоком инженерном искусстве египтян, создавших замечательные сооружения пять тысячелетий назад, когда только начала складываться одна из древнейших цивилизаций. Иногда высказывается мнение, что пирамиды не мог построить народ, живший в медном веке и что в создании этих колоссальных сооружений принимали участие астронавты с других планет, обладающих высокой цивилизацией. Однако из древних папирусов хорошо известно, как в то время добывали блоки, как их обрабатывали и перевозили, поднимали и укладывали. В ряде случаев до нас дошли и имена архитекторов, которые проектировали пирамиды и руководили строительством. К тому же пирамиды - это не какие-то внезапно появившиеся сооружения, они завершают длительный процесс создания египетских гробниц. Наш опыт реконструкции пирамид показывает реальность выполнения разметки при строительстве пирамид на том уровне развития практической стороны науки геометрии, которая была присуща тем давним временам.

Как бы там ни было, несомненно, настоящий материал доступен учащимся средней школы, упражняет их ум в необычной ситуации, заставляет их повторить многие положения из геометрии, развить их пространственное воображение, использовать при этом навыки, полученные ими на уроках черчения, применить их знания из информатики. Кроме того, настоящая работа может быть им интересна хотя бы тем, что дает возможность «активно» соприкоснуться с Великим - с одним (первым!) из семи чудес света, единственным из них, сохранившимся до настоящего времени.

При этом, поскольку сведений о разметке этих шедевров не сохранилось совсем, рассмотренные задачи можно решать с использованием, причем, в полную силу, проблемного метода. Настоящий материал уникален именно с точки зрения полноценной демонстрации деятельностного подхода к решению задач с помощью проблемного метода. Реализация сочетания этих двух категорий теории обучения готовит учащихся к успешному разрешению по-настоящему жизненных ситуаций в их будущей деятельности, будь то на рабочем месте, или в обычной жизни.

Вообще, рассматривая настоящие материалы как методические разработки для проведения творческих работ с учащимися, необходимо отметить, что многое из подробно описанного здесь можно (по усмотрению преподавателя) подать учащимся в качестве как проблемных задач, так и задач на доказательство, задач на вычисление, оценочных задач, геометрических или чертежных задач на построение (и их интегрированных вариантов), практических задач на алгоритмизацию разметочных процессов, задач на различные варианты получения результатов вычислений (ручной счет плюс использование таблиц и с помощью компьютера).

Литература

1. Энциклопедия для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1 / Глав. ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1997. - 688 с.

2. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1998. - 688 с.

3. Геометрия: Учебник для 7 - 9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 335 с.

4. Снисаренко А. Гармония и алгебра Великой пирамиды // Техника - молодежи, 1978, № 12.

5. Проскуряков С.Б. Строители пирамид из созвездия Большого Пса. - Орел: Книга, 1992. - 287 с.

6. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. - М.: Просвещение, 1988. - 96 с.

7. Хохлов А.И. Математические таблицы. - 3-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 206 с.

8. Брычков Е.Ю., Кузнецова Т.И. Введение в информатику: Учебное пособие. - М.: УРСС, 1997. - 208 с.

9. Замаровский В. Их величества пирамиды. - М., 1981, 1986.

10. Целлар К. Архитектура страны фараонов: Жилище живых, усопших и богов / Пер. с венг. А.Д. Рагимбекова; Под ред. В.Л. Глазычева. - М.: Стройиздат, 1990. - 160 с. - (Научно-попул. б-ка школьника).

11. СЭС. - М.: СЭ, 1979. - 1600 с.

12. Ройтман И.А., Владимиров Я.В. Черчение: Учеб. пособие для учащихся 9 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - 328 с.

13. Ботвинников А.Д. и др. Черчение: Учеб. для 7 - 8 кл. общеобразоват. учреждений / А.Д. Ботвинников, В.Н. Виноградов, И.С. Вышнепольский. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 222 с.

14. Нейхард А.А., Шишова И.А. Семь чудес древней Ойкумены. - М.:Наука, 1990. - 128 с. - (Серия «Из истории мировой культуры»).

15. Лебединский В.И., Кириченко Л.П. Книга о камне. - М.: Недра, 1989. - 192 с. - (Научно-популярная библиотека школьника).

16. Кузнецова Т.И. Методика использования информатики для активизации усвоения математического материала в предвузовском образовании // Вестник ЦМО МГУ, № 2, ч. 3. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. Центр международного образования: Изд. отдел УНЦ ДО МГУ, 1999, с. 54 - 86.

17. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1987. - 159 с.

18. Малый энциклопедический словарь: в 4 т. Т. 3 / Репринтное воспроизведение издания Брокгауза - Ефрона, 1907 г. - М.: Терра, 1994. - 1055 с.

19. Глейзер Г.И. История математики в школе: IV - VI кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

20. Бабенко В., Гаков Вл. Четыре истории пирамид // Наука и религия, 1985, № 10.

21. Морэ А. Во времена фараонов. - М., 1913.

Размещено на Allbest.ru