Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Специальность 05.13.17 - теоретические основы информатики

Модели и методы управления риском и их применение к эколого-экономическим системам

Золотова Татьяна Валерьяновна

Москва 2010

Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете

Научный консультант	доктор физико-математических наук, профессор Горелик Виктор Александрович
Официальные оппоненты:	Член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Рудаков Константин Владимирович
	Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Жуковский Владислав Иосифович
	доктор физико-математических наук Макеев Сергей Петрович
Ведущая организация	Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им.В.А. Трапезникова РАН

Защита диссертации состоится "____" ____________ 2010 г. в ______ часов на заседании диссертационного совета Д002.017.02 в Учреждении Российской академии наук Вычислительном центре им.А. А. Дородницына РАН по адресу: 119 333, г. Москва, ул. Вавилова, д.40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Вычислительного центра им.А. А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан "____" ____________ 2010 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д002.017.02,доктор физико-математических наук, профессорВ.В. Рязанов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблема устойчивого развития общества требует определения приоритетов государственной политики в области безопасности и принятия на всех уровнях руководства обоснованных и рациональных решений по управлению различными сложными системами. Современные процессы управления протекают в условиях, когда выбор альтернативы требует анализа сложной информации различной природы. Поэтому особое значение приобретают научные знания о процессах обработки информации и общих принципах принятия решений в условиях неполной информации, развитие которых составляет предмет теоретических основ информатики.

При моделировании процессов управления в сложных системах неизбежно возникает вопрос о соотношении эффективности и устойчивости их функционирования. В теории управления существуют различные понятия устойчивости или гомеостазиса системы. Представляется интересной научной задачей развитие концептуального подхода к формализации и решению проблемы устойчивости сложных систем и процессов на основе понятия риска, что требует введения оценок системного и коллективного риска.

В настоящее время в отношении понятия "риск" не сложилось однозначного толкования. Риск в широком смысле - это непредсказуемость состояния системы или течения процесса как результат неполноты информации. Как правило, под ситуацией риска понимается функционирование системы в условиях случайного воздействия. В данной работе это понятие используется более широко, а именно как неизбежная неоднозначность результата при принятии решений в условиях неполной информации различной природы (случайного или неопределенного воздействия внешней среды, внутрисистемной неопределенности, связанной с децентрализацией управления, неточности исходных данных). При этом под обеспечением устойчивости системы подразумевается достижение достаточно низкого уровня риска, оцениваемого величиной возможных потерь, связанных с принятием решений в условиях неполной информации.

В последнее время появилось много работ, использующих понятие "управление риском", но в основном они относятся к финансово-экономической сфере деятельности. Концептуальных общих моделей управления риском до сих пор не было разработано. В связи с этим поясним, что мы понимаем под управлением риском и общей моделью управления риском. Под управлением риском понимается управление системой или процессом, непременным атрибутом которого являются процедуры учета и оценки факторов риска в целях максимального снижения неопределенности при принятии решений и обеспечения устойчивости (или безопасности функционирования) системы. Под общей моделью управления риском, естественно, понимается не общая модель управления вообще, а ее конкретизация применительно к задачам управления риском.

Ситуация риска связана с возможностью возникновения некоторых событий, которые нарушают текущее состояние системы или естественное (прогнозируемое) течение процесса. Поэтому проблему управления риском целесообразно рассматривать в двух вариантах: при "естественном" ходе процессов и при нарушении существующих тенденций. Соответственно, общая модель управления риском состоит из двух подмоделей: модель функционирования системы при прогнозируемых значениях внешних факторов (плановый сценарий) и модель функционирования системы при отклонении от прогноза.

Проблема оценки и управления риском в общем виде есть комплексная проблема теоретических основ информатики, которая относится к таким научным направлениям исследований, как разработка и анализ моделей информационных процессов, разработка и исследование моделей и алгоритмов анализа и прогнозирования данных, разработка методов распознавания объектов и ситуаций.

Некоторые вопросы совместного управления эффективностью и риском рассматривались рядом исследователей, но математические модели были построены в основном для конкретных задач фондового инвестирования в стохастических условиях. В таких задачах эффективность (доходность) является случайной величиной, а степень риска определяется исследователями по-разному. В задаче Г. Марковица риск задается в метрике l₂² как дисперсия доходности портфеля ценных бумаг.У. Шарп, Г. Александер при управлении портфелем использовали риск в метрике l₂ как среднее квадратическое отклонение (СКО).Г. Конно и Г. Ямазаки оценивали риск в метрике l₁.

При управлении в условиях неопределенности риск рассматривается как возможная опасность потерь, связанная с любым внешним воздействием. При этом используется информация только о множестве возможных состояний внешней среды. Выбор альтернативы на основе какого-то одного из используемых в данном случае классических критериев (Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа) не всегда в полной мере отражает часто противоречащие друг другу предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Значит, одной из актуальных задач принятия решений в условиях неопределенности является определение других критериев оптимальности, в которых учитывались бы противоречивые предпочтения ЛПР.

В иерархических системах управления эффективность функционирования определяется согласованностью интересов всех ее элементов. Большой вклад в решение задач управления в иерархических структурах в рамках информационной теории иерархических систем внесли Н.Н. Моисеев, Ю.Б. Гермейер, В.А. Горелик, А.Ф. Кононенко, а в рамках теории активных систем - В.Н. Бурков, Д.А. Новиков и их сотрудники. При этом вопросы устойчивости (или гомеостазиса) иерархических систем, связанные с возможной несогласованностью действий подсистем в условиях децентрализованного управления, требуют дополнительного исследования. Их интерпретация в терминах риска позволяет рассматривать задачи управления иерархическими системами в рамках общей модели управления риском.

Исследование устойчивости и эффективности различных процессов и систем связано не только с видом математической модели управления, но и с точностью и непротиворечивостью исходных данных моделей. В связи с этим можно выделить направление исследования несобственных оптимизационных задач (с несовместными системами ограничений), основанное на идеях минимальной коррекции параметров модели. Основные результаты этих исследований отражены в работах И.И. Еремина, А.А. Ватолина, В.А. Горелика, Л.Д. Попова и других авторов. При этом задачи со связанными корректируемыми параметрами не рассматривались. Однако существует ряд содержательных прикладных задач, в которых коррекция одних параметров оказывает влияние на значения других параметров. Игнорирование этого влияния при коррекции каких-то одних параметров может привести к ухудшению свойств и степени адекватности скорректированной модели, а значит, и результатов управления эффективностью и риском с использованием таких моделей.

При решении задач учета и классификации рисков вне зависимости от их характера (экономические, экологические, техногенные и т.д.), представляется целесообразным использование методов распознавания объектов и ситуаций. Большой вклад в разработку и исследование математических методов теории распознавания образов внесли Ю.И. Журавлев, В.Л. Матросов, К.В. Рудаков, В.В. Рязанов и другие видные ученые. В работе данный математический аппарат используется при классификации и прогнозировании рисков.

Актуальной задачей в последнее время является задача снижения не только экономических, но и экологических рисков. Совместное рассмотрение вопросов управления эффективностью и риском в различных сложных эколого-экономических системах и процессах приводит в свою очередь к необходимости разработки новых математических подходов для нахождения механизмов управления в условиях неполной информации, приводящих к устойчивым состояниям системы и обеспечивающих при этом наибольшую возможную эффективность. Большой вклад в разработку моделей экономических систем и имитацию экономических процессов внесли А.А. Петров, Ю.Н. Павловский, И.Г. Поспелов и другие. Следует отметить, что в данной работе акцент сделан на моделировании не самих процессов функционирования, а механизмов управления эколого-экономическими системами с учетом риска.

Таким образом, актуальной проблемой теоретической информатики, имеющей важное научное и хозяйственное значение, является разработка математической теории, описывающей широкий класс процессов управления риском и включающей общие модели оценки и управления риском и методы решения комплекса математических задач нахождения оптимальных решений с точки зрения эффективности и риска функционирования сложных систем в условиях неполной информации. Этой проблеме и посвящено настоящее исследование.

Целью работы является создание математических основ научного направления теоретической информатики - управления риском, а именно, формализация и структуризация задач управления риском, разработка методов их решения и применение разработанных методов к построению механизмов управления эколого-экономическими системами.

Объектом исследования являются математические модели информационных процессов, методы и алгоритмы анализа и прогнозирования данных как основа принятия решений в условиях неполной информации.

Предмет исследования - разработка методов управления риском, связанным со случайным или неопределенным воздействием внешней среды, возможным внутрисистемным нарушением гомеостазиса, вызванным децентрализацией управления, неточностью или противоречивостью исходных данных.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, математического программирования, прогнозирования и распознавания, теории иерархических систем, компьютерной обработки данных.

Для реализации поставленной цели решались следующие задачи:

определение критериев оптимальности на основе свертки критериев эффективности и риска в стохастических процессах;

применение предложенных критериев оптимальности к задачам принятия решений для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов;

разработка и исследование свойств комбинированных критериев оптимальности в условиях неопределенности на основе свертки критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа;

определение необходимых и достаточных условий оптимальности управления в иерархических системах с учетом требования гомеостазиса системы;

доказательство идеальной согласованности интересов уровней иерархии при различных механизмах управления центра для региональной и корпоративной моделей управления;

исследование вопросов одновременной передачи различных видов информации центром в иерархических системах и доказательство существования регулируемого равновесия и идеальной согласованности интересов верхнего и нижнего уровня для территориальной корпоративной модели, включающей параметры воздействия на окружающую среду;

исследование проблем связанной коррекции для несобственных моделей систем и применение полученных методов коррекции данных к эколого-экономическим системам.

Научная новизна и теоретическая значимость. В работе представлен новый единый подход к решению проблемы устойчивости и эффективности функционирования сложных систем и процессов в условиях неполной информации с использованием процедур управления риском. Предложены и исследованы конкретные механизмы управления на основе соизмерения оценок эффективности и риска в эколого-экономических системах.

В числе наиболее важных теоретических результатов, характеризующих новизну работы, назовем следующие:

Предложен общий подход к управлению риском в условиях случайного воздействия внешней среды на основе свертки критериев эффективности и риска с использованием функций риска в различных метриках. Обосновано применение конкретной свертки критериев эффективности и риска и функции риска в задачах принятия решений для коррелированных и некоррелированных стохастических процессов. Доказано, что каждую задачу управления риском в условиях случайного воздействия можно свести к определенному классу задач математического программирования. Сформулированы динамические задачи управления риском с непрерывным и дискретным временем. Для непрерывной динамической задачи доказано существование оптимального управления и получены необходимые условия оптимальности.

Для коррелированных стохастических процессов введены оценки системного и коллективного риска с использованием коэффициентов корреляции (на примере инвестиционных портфелей). Доказано, что оптимальные решения приводят к положительному значению ковариации портфелей и, как следствие, к возможному нарушению устойчивости системы. Предложена оценка устойчивости системы как мера разнообразия поведения инвесторов с использованием понятия энтропии.

Для управления риском в условиях неопределенности разработаны новые комбинированные критерии оптимальности на основе свертки критериев Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, соизмеряющие оценки эффективности и риска. Доказано, что каждая задача управления риском в условиях неопределенности при использовании комбинированных критериев сводится к определенному классу задач математического программирования. Исследованы свойства предложенных критериев оптимальности и показано, что для них выполняется большинство основных свойств классических критериев.

В сложных системах, имеющих иерархическую структуру, риск определяется как отсутствие согласованности интересов элементов иерархической системы, приводящее к снижению эффективности для центра и возможно к нарушению глобальных ограничений и потере гомеостазиса системы. Впервые получены не только необходимые, но и достаточные условия оптимальности управления центра, обеспечивающего общее условие устойчивости и эффективности функционирования иерархической системы.

Для региональных и корпоративных иерархических моделей эколого-экономических систем с помощью полученных условий оптимальности доказана идеальная согласованность интересов уровней иерархии при предлагаемых механизмах управления, в которых центр может назначать цены на продукцию и ресурсы, величины штрафов и квот, регулировать объемы финансовых средств.

Предложены новые модели информационного регулирования, включающие одновременную передачу центром элементам нижнего уровня информации, носящей как неопределенный, так и случайный характер. Доказано существование регулируемого равновесия на нижнем уровне для территориальной корпоративной иерархической модели в случае воздействия элементов нижнего уровня на окружающую среду и исследованы его свойства. Построен механизм информационного регулирования, обеспечивающий идеальную согласованность интересов уровней системы.

Предложена новая отраслевая корпоративная модель планирования производственной деятельности, включающая ограничения по дефицитным и природным ресурсам и уровню загрязнения природной среды. Доказана возможность согласования интересов уровней иерархической системы с помощью предлагаемых механизмов расчетных цен, тарифов, квот по уровню загрязнения природной среды и штрафов за их превышение.

Введен новый класс задач связанной коррекции несобственных линейных моделей управления, в которых данные могут быть заданы неточно или параметры требуют целенаправленного изменения вследствие неустойчивости или неэффективности системы. Разработан метод сведения поставленных задач коррекции данных по минимуму нормы l к задаче линейного программирования или последовательности задач линейного программирования.

Практическая значимость. Предложенные методы управления риском для решения вопросов устойчивости и эффективности могут быть использованы в широком классе эколого-экономических систем. Новые подходы к принятию решений с точки зрения эффективности и риска позволяют адекватно описывать реальные процессы функционирования различных систем с учетом требований безопасности, а также определять оптимальные решения в сфере управления в различных видах человеческой деятельности. Разработанные методы и алгоритмы позволяют решать реальные прикладные задачи, что подтверждается конкретными примерами и вычислительными экспериментами, содержащимися в приложениях.

Результаты диссертационного исследования использованы при оценке эффективности и риска в принятии инвестиционных решений Акционерным коммерческим банком "Межрегиональный инвестиционный банк", при формировании бизнес-плана на 5-летний период "РН-Комсомольский НПЗ", при проектировании узлов связи Интернет ЗАО "Технодизайн", что подтверждается справками о внедрении.

Математические модели и методы, разработанные в диссертации, используются в учебном процессе на факультете компьютерных технологий КнАГТУ в рамках дисциплин "Математическое моделирование", "Теория игр и исследование операций", спецкурса "Математическое обеспечение фондового рынка", что подтверждается актом о внедрении.

Основные положения, выносимые на защиту:

предлагаемая общая модель управления риском, включающая подмодели оценки эффективности системы и оценки риска ее функционирования, может служить теоретической основой процедур управления сложными системами в условиях неполной информации и быть конкретизирована применительно к различным классам систем, функционирующих в условиях случайного или неопределенного воздействия внешней среды и децентрализованных схем управления;

проведенная классификация стохастических процессов в подсистемах сложных систем на коррелированные и некоррелированные является основой выбора метрик для функций риска и вида сверток критериев эффективности и риска, что, в свою очередь, определяет типы возникающих математических задач и методы их решения;

задачи управления риском в условиях неопределенности следует решать на основе сверток классических критериев оптимальности Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, так как получающиеся комбинированные критерии оптимальности более полно отражают сочетание требований эффективности и риска и при этом выполняется большинство важнейших свойств классических критериев;

для основных типов региональных и корпоративных иерархических моделей эколого-экономических систем использование предлагаемых механизмов управления обеспечивает максимальную эффективность функционирования системы при выполнении требования гомеостазиса, т.е. позволяет нейтрализовать риск, связанный с частичной децентрализацией управления;

условие гомеостазиса системы может приводить к несобственным моделям управления, требующим решения задач минимальной связанной коррекции данных моделей, которые в свою очередь при использовании нормы l сводятся к задаче линейного программирования или к последовательности задач линейного программирования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 3-й Международной научно-практической конференции "Составляющие научно-технического прогресса" (Тамбов, апрель, 2007); на Международной научно-практической конференции в области экологии и безопасности жизнедеятельности "Дальневосточная весна 2007" (Комсомольск-на-Амуре, июнь, 2007); на 8-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Москва, октябрь, 2007); на 3-м Международном форуме (8-й Международной конференции)"Актуальные проблемы современной науки" (Самара, ноябрь, 2007); Международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, май, 2008); на 7-й Международной конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" (Петрозаводск, июнь, 2008); на Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, февраль, 2009); на региональной научно-практической конференции "Актуальные проблемы математики, физики, информатики в вузе и школе" (Комсомольск-на-Амуре, март, 2009); 3-й международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем" (Москва, октябрь 2009); на Международной научно-практической конференции "Теория активных систем" (Москва, ноябрь 2009); на научном семинаре в Институте проблем управления им.В.А. Трапезникова РАН, на научном семинаре в Вычислительном центре им.А. А. Дородницына РАН, на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 32 печатных работах: в научной монографии [1], в научных статьях [2-20], из них 11 опубликовано в журналах, рекомендованных ВАК РФ [2-12], в материалах научных конференций [21-32].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 171 источник, четырех приложений. Общий объем диссертации составляет 330 страниц, в том числе основного текста работы - 258 страниц.

Основное содержание работы

Во введении содержится анализ подходов к исследованию задач оценки эффективности и риска, обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, формулируются математические задачи, которые необходимо было решить для реализации поставленной цели, указывается методологическая основа исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, выдвигаются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава "Модели управления риском в условиях случайного воздействия внешней среды" (1.1 - 1.4) посвящена описанию общей модели управления риском и задачам управления при воздействии на систему случайных внешних факторов с заданными законами распределения (далее для краткости будем использовать термин "в условиях стохастики").

Предлагается общая модель управления риском, которая задается оператором

, (1)

определяющим принцип (или критерий) оптимальности управления на основе соизмерения оценок эффективности и риска, являющихся выходами подмодели оценки эффективности F (x,u,y, I) и подмодели оценки риска G (x,u,y, I). Оператор отображает совокупность выходов подмоделей оценок эффективности и риска во множество U_I⁰, определяемое как множество оптимальных управлений.

В (1) x, u, y - переменные в моделях F (·) и G (·), x - состояние системы или процесса в некотором фазовом пространстве, u - управление, y - неконтролируемые факторы, влияющие на функционирование системы. Исходные данные моделей определяются информационной компонентой I, включающей описание вида неконтролируемых факторов и информированности управляющего органа системы (законы распределения случайных параметров, область значений неопределенных факторов, схемы передачи информации в системе, процедуры обработки информации).

Переменные x, y, u моделей F (·) и G (·) являются, в общем случае, взаимосвязанными величинами. На выбор управления u оказывает влияние состояние x, в котором находится система, а также внешние факторы y, для описания которых используется информационная компонента I. Управление u (x, y) для любых значений x и y должно удовлетворять ограничению u (x, y) U. При этом закон управления u (·, ·) принадлежит некоторому классу функций U_I, определяемому согласно имеющейся информации: u (·, ·) U_I. Состояние x системы, в свою очередь, определяется выбираемым управлением и зависит от воздействия на систему внешних факторов, т.е. является некоторой функцией управления и значений внешних факторов: x= (u, y).

Заметим, что в статических моделях нет смысла разделять параметры на фазовые переменные и управления, поэтому в статическом случае управление (или стратегию) будем обозначать, как правило, переменной x.

Если внешние факторы y носят случайный характер и имеется статистическая информация об их значениях, то информационная компонента I включает описание закона распределения случайной величины. Если внешние факторы y неопределенные и информация о них представляет собой только описание области возможных значений Y, то информационная компонента включает условие вида yY. Возможно сочетание случайных и неопределенных факторов, в том числе неточного знания закона распределения, параметры которого при этом оказываются неопределенными факторами. Если в системе осуществляется обмен информацией между подсистемами, для каждой из которых переданная информация является внешним фактором, то информационная компонента включает схемы передачи и содержание информации для каждой подсистемы. При этом схема управления может носить децентрализованный характер, а управление подсистем представлять собой функции от управлений других элементов системы, определяемые поступающей к ним информацией. Если для принятия решения в системе требуется определение или уточнение значений некоторых параметров модели управления, то к информационной компоненте относятся процедуры получения и обработки информации и, возможно, коррекции параметров.

Пусть дана оценка значения внешнего фактора согласно имеющейся информации (прогноз, математическое ожидание и т.п.). Тогда оценку эффективности (выход модели F (x,u,y, I)) при плановом варианте функционирования системы (базовый сценарий, среднее значение, текущее состояние и т.д.) можно представить в виде

u, где x= (u,). (2)

Модель оценки риска функционирования системы G (x,u,y, I) включает определение области гомеостазиса системы Х, процесса функционирования системы при любых значениях неконтролируемых факторов и множества допустимых управлений D_u, обеспечивающих условие гомеостазиса. Например, в случае воздействия на систему неопределенных неконтролируемых факторов yY множество D_u имеет вид

D_u={u (·, ·) U_I | u (x, y) U, x= (u, y) X yY}.

Введем также в рассмотрение величину потерь W_I (u, y) как результат воздействия неконтролируемых факторов y и оценку потерь в сравнении с плановым вариантом функционирования системы при имеющейся информации о неконтролируемых факторах (вероятности внешних воздействий, пессимистические, оптимистические сценарии и т.д.)

u. (3)

Оценка риска (выход модели G (x,u,y, I)) включает множество допустимых управлений D_u, оценку потерь (3) и может определяться выходом модели оценки эффективности F (x,u,y, I).

Тогда оператор Ш конкретизируется как отображение совокупности в подмножество оптимальных управлений U_I⁰ множества допустимых управлений:

Ш: U_I⁰. (4)

Отметим, что отображение Ш может зависеть только от части совокупности , а некоторые из компонент этой совокупности могут быть константами (не зависеть от u).

Модель (4) конкретизируется для систем, функционирующих в условиях случайного или неопределенного воздействия внешней среды, внутрисистемной неопределенности, связанной с различной информированностью подсистем в условиях децентрализованного управления, неточности исходных данных.

Математические модели индивидуального риска в различных сферах деятельности представлены в работах многих авторов. В то же время отсутствуют сколь либо общие математические методы исследования системного и коллективного риска. Поэтому основной акцент нашего исследования задач управления риском сделан на оценках системного и коллективного риска. При этом под системным риском будем понимать оценку риска системы в целом на основе оценок риска ее подсистем, а под коллективным риском - оценку риска системы на основе принципов индивидуального поведения подсистем в условиях риска.

Далее в данной главе внешние факторы y считаются случайными величинами, информационная компонента I представляет собой описание их законов распределения. Модель F (·) задает оценку эффективности системы как вектор математических ожиданий критериев эффективности подсистем или значений этих критериев эффективности при среднем значении неконтролируемых факторов (в линейном случае это одно и то же). Модель G (·) определяет величину потерь W_I (u, y) как множество значений отклонения эффективности системы от ее математического ожидания при всевозможных значениях y (отличных, вообще говоря, от ) и в соответствии с вероятностной мерой некоторую оценку риска (например, дисперсию).

Если оценка риска присутствует в ограничениях, то область гомеостазиса представляет собой множество состояний системы, для которых возможные потери не превосходят в среднем некоторого заданного значения или вероятность того, что возможные потери превосходят заданное значение, меньше заданной малой величины. Множество D_u в этом случае представляет собой множество таких управлений из U, для которых мера риска не превосходят некоторого значения (в данном случае устойчивость системы понимается в вероятностном смысле). Если в задаче не накладываются ограничения на значения риска, то оценка риска понимается как мера устойчивости системы с "размытой" областью гомеостазиса. Принцип оптимальности предполагает оптимизацию различных сверток оценок эффективности и риска на множестве допустимых управлений, т.е. отображает оценки эффективности и риска во множество точек экстремума конкретной свертки.

Предлагается ряд оценок риска (функций риска), применимых для различных видов стохастических процессов как в статических, так и в динамических моделях. Проведена классификация стохастических процессов в подсистемах сложной системы на коррелированные и некоррелированные, что является основой выбора метрик для функции риска и вида сверток критериев эффективности и риска.

Рассмотрим задачи управления риском для коррелированных стохастических процессов. Модель F (·) определяет в данном случае ожидаемый результат деятельности системы (математическое ожидание эффективности), модель G (·) - функцию риска, заданную в метрике l₂² (дисперсия), или l₂ (СКО), или как вероятностную функцию (VAR).

Пусть - случайная величина эффективности деятельности i-й подсистемы (неконтролируемые факторы), - математическое ожидание эффективности деятельности i-й подсистемы (оценка значений неконтролируемого фактора), , - ковариация результатов деятельности i-й и j-й подсистем, - управление в системе (например, - доля средств, вкладываемая в развитие i-й подсистемы; в соответствии с ранее сделанным замечанием здесь и далее в статических задачах управление обозначено x). Если использовать свертку типа отношения оценки системного риска как СКО эффективности системы в целом и оценки эффективности как математического ожидания, то задачу управления риском всей системы можно представить в виде

(5)

где .

Теорема 1.2.1 В задаче (5) свертка критериев эффективности и риска достигает минимума на заданном множестве в точке такой, что , , а является решением задачи квадратичного программирования:

Необходимые и достаточные условия экстремума для ненулевых , , сводятся к системе линейных алгебраических уравнений:

Для коррелированных стохастических процессов рассматриваются следующие вероятностные функции риска: , , , , где через обозначена функция, определяющая случайное значение эффективности системы при управлении x как результат внешних воздействий, а через - функция, определяющая ожидаемое значение эффективности. Если в качестве оценки системного риска использовать функцию риска, представляющую собой вероятность того, что случайное значение эффективности системы меньше требуемого (планового) значения , а область значений оператора - множество точек экстремума этой функции, то задача управления риском имеет вид

управление риск информационный математический

(6)

Для задачи (6) справедлив следующий результат.

Теорема 1.2.2 Пусть - система нормально распределенных случайных величин с математическими ожиданиями и ковариационной матрицей . Тогда в задаче (6) критерий эффективности достигает минимума на заданном множестве в точке такой, что , , а является решением задачи квадратичного программирования:

В отличие от традиционных задач с использованием VAR, заключающихся в нахождении такого значения случайной величины, которое обеспечивается с заданной вероятностью, в задаче (6) минимизируется вероятность того, что случайная величина будет меньше требуемого значения (гомеостазис в вероятностном смысле).

Введем оценку коллективного риска (на примере задач инвестирования).

Рассмотрим сначала индивидуальное поведение подсистемы как инвестора. Управление подсистемы есть вектор x (портфель инвестиций), компоненты которого - доли средств, вкладываемых в проекты, список которых един для всех подсистем. Определим оптимальное управление (портфель) как решение задачи на экстремум линейной свертки двух критериев "математическое ожидание - дисперсия":

, (7)

где б (0;1) - весовой коэффициент, определяющий важности критериев, и у_ij - математические ожидания и ковариационные моменты значений эффективности как неконтролируемых факторов (в данном случае от слова return - доход или доходность). Будем называть портфель полноразмерным, если у составляющего его вектора x все компоненты отличны от нуля.

Для оценки устойчивости системы в целом вычислим корреляционные моменты оптимальных портфелей подсистем (инвесторов) с различным отношением к риску, выражающимся в различных значениях коэффициентов .

Теорема 1.2.3 Если определитель ковариационной матрицы detу0, то ковариация cov (x⁰¹, x⁰²) двух полноразмерных оптимальных портфелей положительна. Если дополнительно ковариационная матрица у строго положительно определена, то ковариация любых двух оптимальных портфелей положительна.

В теореме 1.2.3, в частности, показано, что составы x⁰¹, x⁰² оптимальных полноразмерных портфелей инвесторов с разными весовыми коэффициентами имеют вид

x⁰¹=С₀+С₁в₁, x⁰²=С₀+С₁в₂, (8) где

, , (9) е= (1,…,1), .

Здесь и далее мы не делаем различия в обозначении вектора-строки и вектора-столбца, считая их соответствующими требованиям операций умножения матриц и векторов.

Теорема 1.2.4 Если определитель ковариационной матрицы detу0, то для того, чтобы оптимальный портфель x⁰ был полноразмерным, необходимо и достаточно выполнения условия

, (10)

где С₀= (С₀₁,…, С_0j,…, С_0n), С₁= (С₁₁,…, С_1j,…, С_1n) вычисляются по формулам (9). При этом коэффициент корреляции двух полноразмерных портфелей x⁰¹ и x⁰² равен

,

монотонно убывает с ростом величины д=в₁-в₂ и принимает значения из интервала ,

.

Таким образом, справедлив интересный и, на наш взгляд, неожиданный результат, что несмотря на возможное наличие компонент портфеля с отрицательными ковариациями, обеспечивающих хеджирование риска для индивидуального инвестора, положительно коррелированны не только полноразмерные оптимальные портфели, соответствующие сравнительно узкому диапазону значений , но и любые оптимальные портфели со сколь угодно различающимся отношением инвесторов к риску. Так как положительная корреляция может вызывать большие колебания системы (например, фондового рынка), то однотипное поведение инвесторов (оптимальное согласно (7)) с одинаковой информированностью даже при разном отношении к риску увеличивает коллективный риск (создает своего рода явление резонанса). В связи с этим проведено исследование корреляционной зависимости оптимальных портфелей при разной информированности инвесторов о внешних факторах, а именно, разной оценке ожидаемых эффективностей (например, доходностей финансовых инструментов).

Пусть первый инвестор оценивает вектор ожидаемых доходностей компонент портфеля как , а второй - , ковариационная матрица у при этом оценивается одинаково.

Теорема 1.2.5 Если определитель ковариационной матрицы detу0, то ковариация cov (x⁰¹, x⁰²) двух полноразмерных оптимальных портфелей отрицательна для , и у, удовлетворяющих условию

.

Предложен подход к оценке устойчивости системы как совокупности подсистем-инвесторов с использованием понятия энтропии. Для ее определения разобьем множество портфелей инвесторов на некоторое число классов k. В качестве априорных представителей каждого класса выберем оптимальные портфели для некоторого диапазона значений параметра б. Например, пять классов: очень осторожные портфели (0?б<0,2), осторожные (0,2?б<0,4), умеренные (0,4?б<0,6), рискованные (0,6?б<0,8), очень рискованные (0,8?б?1). В каждом диапазоне значений параметра б определим составы некоторого количества (порядка десяти) оптимальных портфелей с равным шагом изменения параметра б. Для реально существующих портфелей значения б неизвестны, да и построены они могут быть на основании других принципов поведения. Однако с той или иной степенью точности составы портфелей могут быть оценены (например, на основе анализа информации о сделках купли-продажи и решения обратной задачи инвестирования, если рассматривается фондовый рынок). Используем пространство Х как признаковое пространство, определим в нем меру близости, например, среднеквадратическое расстояние портфеля от всех представителей данного класса, и будем относить каждый портфель к ближайшему классу. В результате все реальные портфели будут разбиты на k классов. Найдем доли реальных портфелей от их общего числа в каждом классе q_i, i=1,…,k. Тогда энтропия системы есть (основание логарифма может быть любым, например, равным 2). В качестве меры устойчивости конкретной системы можно взять отношение ее энтропии к максимальному значению энтропии . Чем больше значение этого отношения (ближе к единице), тем больше разнообразие портфелей и меньше коллективный риск. Если в системе имеется центральный регулирующий орган, то в качестве способа снижения коллективного риска он может использовать механизм различного информирования подсистем.

Для некоррелированных стохастических процессов в работе сформулированы статические и динамические минимаксные задачи управления риском. Для оценки риска всей системы (системный риск) в этом случае использовалась функция риска

, (11)

где - функция риска для -й подсистемы, заданная, например, в одной из следующих метрик: , , , , M - математическое ожидание, - переменная, характеризующая деятельность -й подсистемы (например, интенсивность функционирования), - функция, определяющая случайное значение эффективности -й подсистемы при управлении x как результат внешних воздействий, - функция, определяющая ожидаемое значение эффективности. Функция (11) предполагает гарантированную оценку риска всей системы (по наиболее рискованной подсистеме) и основана на предположении некоррелированности стохастических процессов в подсистемах.

Если деятельность системы направлена на увеличение значения некоторого критерия эффективности f (x) (выход модели оценки эффективности), то выбор управления с точки зрения соотношения эффективности f (x) и риска R (x) может быть представлен как решение задачи оптимизации свертки f (x) и R (x). В работе рассматриваются линейные свертки и свертки типа отношения, для всех соответствующих оптимизационных задач получены условия оптимальности или методы их сведения к известным задачам математического программирования.

Например, если область значений оператора Ш есть множество точек максимума линейной свертки критериев эффективности и риска, то получаем задачу управления риском

, (12)

для которой необходимые условия оптимальности для внутренних точек X имеют вид

(13)

Рассмотрены, в частности, линейные задачи управления риском, в которых кроме линейной свертки критериев эффективности и риска используются еще две другие процедуры: свертка типа отношения и перевод одного критерия в ограничение.

Пусть на предприятии существует производственных процессов, не связанных между собой в одну технологическую цепочку. Каждый производственный процесс выпускает продукцию определенного вида в количестве , . Вектор представляет собой производственный план предприятия. Прибыль с единицы продукции -го производственного процесса в текущем производственном периоде есть случайная величина (неконтролируемый фактор). В качестве ее оценки используется математическое ожидание . Тогда прибыль от продукции в количестве есть , а прибыль от всех производственных процессов есть . Ущерб (или риск) на единицу продукции -го производственного процесса также есть случайная величина, которая оценивается в стоимостном выражении и равна . Общий ожидаемый ущерб на -м производственном процессе считается пропорционален интенсивности (объему производства), т.е. равен величине . Функция риска всей системы (предприятия) имеет вид

(14)

Рассмотрим в качестве примера аварию на Саяно-Шушинской ГЭС. Для получения наибольшей эффективности функционирования ГЭС были введены в работу все десять турбин (подсистем). Одновременная работа всех турбин создает вибрацию всей платины, что увеличивает риск возникновения аварии, однако в первом приближении можно считать, что турбины не связаны между собой. При стационарном режиме риск растет с увеличением интенсивности работы турбин. Примем линейную зависимость, тогда для оценки риска функционирования ГЭС можно использовать функцию риска (14), с помощью которой определить наиболее рискованные турбины, авария на которых наиболее вероятна и требуется их остановка для технического осмотра на предмет предотвращения возможной аварии. В данном случае это был второй агрегат, о чем имелась необходимая информация.

Для линейных функций и свертки типа отношения задача управления риском имеет вид

, (15)

. Задача (15) сводится к следующей задаче линейного программирования (ЛП)

(16)

а именно, если - решение задачи (16), то , , - компоненты оптимального плана задачи (15).

Рассмотрены постановки непрерывной и дискретной минимаксной динамической задачи управления риском для некоррелированных стохастических процессов.

Для непрерывной минимаксной динамической задачи рассматривается интервал функционирования системы , управление на котором задается векторной функцией произвольной размерности (функцию в целом будем обозначать в отличие от ее значения в момент ). В фиксированный момент времени состояние системы описывается вектором фазовых переменных , а процесс функционирования системы на отрезке описывается векторной функцией - траекторией системы.

Будем считать, что в фиксированный момент времени эффективность -й подсистемы определяется функцией , а оценка ущерба осуществляется с помощью функции риска , где - траектория -й подсистемы в пространстве фазовых переменных, функции и представляют собой результаты осреднения значений эффективности и риска по законам распределения случайных неконтролируемых факторов y. Траектория , т.е. процесс функционирования подсистемы в соответствующем пространстве, описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

(17)

с заданным начальным состоянием

. (18)

Критерий функционирования системы, состоящей из n подсистем, на отрезке времени [0,T] в предположении гарантированной оценки риска и линейной свертки эффективность-риск представляет собой интегральный функционал

, (19)

где определяется при данном из (17), (18).

В качестве управлений будем рассматривать измеримые вектор-функции с интегрируемыми на квадратами каждой компоненты, т.е. из пространства , и со значениями из выпуклого компакта ( - -мерное евклидово пространство). Таким образом, множество функций управления имеет вид . Область значений отображения представляет собой совокупность точек максимума функционала при дифференциальных связях (17) с начальными условиями (18).

Теорема 1.4.1 Пусть функции непрерывны по , дифференцируемы по , линейны по , измеримы по , удовлетворяют условию Липшица по и условию ; функции и ограничены сверху на , дифференцируемы по , линейны по и удовлетворяют условию Липшица по ; - выпуклый компакт в . Пусть - оптимальное управление в задаче максимизации (19) при ограничениях (17), (18); - соответствующие ему траектории (17), (18). Тогда существуют неотрицательные скалярные измеримые функции , , , при и вектор-функции , удовлетворяющие уравнениям

такие, что функция Гамильтона

достигает максимума по на управлении при почти всех .

Условия оптимальности использованы для конкретной системы. Пусть - средства, вкладываемые в -ю подсистему (развитие производства, управление проектами) в момент времени , . Тогда - распределение средств между подсистемами. Траектория системы представляет собой вектор , где - скалярная величина, описывающая состояние -й подсистемы в момент времени (например, выпуск продукции). Процесс функционирования каждой подсистемы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с заданным начальным условием:

, (20)

где означает издержки на единицу (например, затраты или амортизация). Пусть эффективность функционирования подсистемы определяется критерием , где коэффициент может быть, например, прибылью с единицы выпущенной продукции. При этом оценка риска есть функция , где - возможные потери с единицы (например, потери прибыли). Оценка функционирования системы на всем отрезке имеет вид

. (21)

Найдем решение задачи максимизации (21) по , при условиях (20).

Функция Гамильтона для данной модели имеет вид

. (22)

Тогда уравнения для нахождения вектор-функции есть

, . (23)

Из содержательного смысла модели следует, что . Решение уравнений для нахождения вектор-функции имеет вид

(24)

Нетрудно заметить, что все для .

Так как функция (22) является линейной функцией переменной , а множество - выпуклый многогранник, то оптимальное управление определяется из условий

(25)

Таким образом, весь объем имеющихся средств в любой фиксированный момент времени распределяется между теми подсистемами (предприятиями, проектами), для которых величина максимальна.

Оптимальная траектория согласно (20) находится из решения уравнений

(26)

Или, более подробно

При этом для нахождения скалярных функций нужно решить систему уравнений

(27)

Величина риска в дискретной минимаксной динамической задаче для каждого процесса за T периодов аппроксимирована средним значением по всем периодам. Решены задачи управления риском с использованием функции риска, представляющей собой максимальное по всем процессам среднее значение риска (метрика l), и с использованием функции риска, представляющей собой среднее максимальное по всем процессам значение риска. Для таких задач установлено, что среднее максимальное значение риска в оптимальной точке необязательно превышает максимальное по всем процессам среднее значение риска в оптимальной точке.

Вторая глава "Управление риском в условиях неопределенности на основе комбинированных критериев" (2.1 - 2.4) посвящена задачам принятия решений в условиях неполной информации, когда относительно внешнего воздействия известна только область его возможных значений. Предлагается подход к выбору оптимального управления, основанный на идеях векторной оптимизации, а именно, совместном использовании классических критериев оптимальности Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа. Некоторые конкретные реализации этого подхода рассматривались рядом авторов. Отличие данной работы состоит в том, что в ней рассматриваются комбинации всех классических критериев с использованием различных видов сверток и, главное, проведено исследование свойств комбинированных критериев, что является теоретическим обоснованием правомерности их использования.