Методи ідентифікації параметрів стохастичних систем із слабкою та сильною залежністю

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова

Автореферат

дисертації на здобуття наукового cтупеня кандидата фізико-математичних наук

МЕТОДИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ ІЗ СЛАБКОЮ ТА СИЛЬНОЮ ЗАЛЕЖНІСТЮ

Молдавська Еліна Моісовна

01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики

Анотація

Молдавська Е.М. Методи ідентифікації параметрів стохастичних систем із слабкою та сильною залежністю. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2003.

Дисертацію присвячено дослідженню ідентифікації параметрів стохастичних систем із слабкою та сильною залежністю. Певний клас оцінок параметра спектральної щільності випадкових процесів та полів інтерпретується як оцінки мінімального контрасту. Наведено умови конзистентності та асимптотичної нормальності цих оцінок для стохастичних систем із слабкою та сильною залежністю та неперервним аргументом. Знайдено умови конзистентності оцінок параметра регресії для критеріїв, які полягають у мінімізації функціоналів певного класу. Вперше розглядаються оцінки найменших квадратів у лінійних регресійних моделях із сильною залежністю, неперервним часом та нелінійними обмеженнями-нерівностями на параметр. Досліджується розв'язок задачі мінімізації функціонала найменших квадратів лінійної регресії з довгим радіусом залежності та нелінійними обмеженняминерівностями на параметр. Доводиться, що цей розв'язок, центрований і нормований відповідним чином, збігається за розподілом до розв'язку задачі квадратичного програмування. Даний розв'язок є негауссівським, на відміну від відомих результатів для моделей із сильною залежністю без обмежень на параметр, де аналогічне перетворення розв'язку такої задачі мінімізації є асимптотично гауссівським у типових випадках. Знайдено швидкість спадання дисперсії оцінки математичного сподівання випадкового процесу з сильною залежністю та нерегулярними спостереженнями; доведено, що ця швидкість залежить від швидкості спадання кореляційної функції до нуля.

Ключові слова: слабка та сильна залежність, cпектральна щільність, оцінки мінімального контрасту, неперервний час, регресія, оцінки найменших квадратів, нерівностіобмеження, конзистентність, асимптотична нормальність.

Аннотация

Молдавская Э. М. Методы идентификации параметров стохастических систем со слабой и сильной зависимостью. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертационная работа включает введение, три раздела, выводы, приложение и список литературы. Полный объём работы составляет 165 страниц машинописного текста. Из них приложение занимает 2 страницы, список литературы - 13 страниц и содержит 122 наименования.

Во введении проанализировано состояние проблемы, отмечена актуальность развития методов идентификации параметров стохастических систем со слабой и сильной зависимостью, подчёркивается их значимость в качестве приложений в различных областях современной науки и производства, дана общая характеристика новизны и ценности полученных результатов, изложены основные результаты работы в сокращённом виде.

Первый раздел диссертационной работы посвящен обзору литературы. Рассматриваются этапы развития проблемы в трудах отечественных и зарубежных учёных. Сделан аналитический обзор состояния исследований по избранной тематике, определяющий место работы автора в решении проблемы.

Во втором разделе определённый класс оценок интерпретируется как оценки минимального контраста. Представлены условия состоятельности и асимптотической нормальности оценок минимального контраста параметров спектральной плотности в стохастических моделях с сильной и слабой зависимостью и непрерывным аргументом. В двух группах теорем рассматривается гауссовский и общий случай для моделей с возможной сильной зависимостью. Отдельно выделяется случай мультипликативного параметра спектральной плотности. Также рассматривается применение теорем о мультипликативном параметре на примере дробного движения Рисса - Бесселя.

В третьем разделе изучаются критерии оценок параметров регрессии, заключающиеся в минимизации определённого класса функционалов. Находятся условия сильной состоятельности оценок параметров регрессии в моделях с непрерывным временем и сильной зависимостью для критериев любого типа этого класса.

Далее рассматриваются оценки наименьших квадратов параметров линейной регрессии с неперерывным временем, сильной зависимостью и нелинейными ограничениями-неравенствами на параметр. Такая модель рассматривается впервые, в отличие от рассматриваемых ранее моделей с сильной зависимостью без ограничений на параметр, с одной стороны, а также моделей с независимыми или слабо зависимыми ошибками и ограничениями на параметр - с другой.

Исследуется решение задачи минимизации функционала наименьших квадратов в схеме линейной регрессии с сильной зависимостью и нелинейными ограничениями-неравенствами на параметр. Доказывается, что это решение, центрированное и нормированное соответствующим образом, сходится по распределениям к решению задачи квадратичного программирования, которое имеет негауссовское распределение, в отличие от известных результатов без ограничений-неравенств на параметры, когда аналогичное преобразование решения упомянутой задачи минимизации асимптотически гауссовское в типичных случаях.

Находится скорость убывания дисперсии оценки математического ожидания случайного процесса с сильной зависимостью и нерегулярными наблюдениями. Доказывается, что эта скорость зависит от скорости убывания корреляционной функции к нулю.

Ключевые слова: слабая и сильная зависимость, спектральная плотность, оценки минимального контраста, непрерывное время, регрессия, оценки наименьших квадратов, неравенства-ограничения, состоятельность, асимптотическая нормальность.

спектральний конзистентність асимптотичний

Summary

Moldavskaya E.M. Methods of parameters іdentіfіcatіon іn stochastіc systems wіth weak and strong dependence. - Manuscrіpt.

Thesіs for a candіdate degree on physіcs and mathematіcs (Ph. D.) by specіalіty 01.05.01- the theoretіcal fundamentals of іnformatіcs and cybernetіcs (mathematіcal cybernetіcs).-V.M. Glushkov Іnstіtute of Cybernetіcs of The Natіonal Academy of Scіences of Ukraіne, Kyіv, 2003.

The dіssertatіon іs devoted to іnvestіgatіon of parameters іdentіfіcatіon іn stochastіc systems wіth weak and strong dependence. Some estіmators of the unknown parameter are treated as mіnіmum contrast estіmators. Condіtіons of consіstency and asymptotіc normalіty are proposed for mіnіmum contrast estіmators of the spectral densіty of contіnuous tіme random fіelds іn the stochastіc systems wіth weak and strong dependence. Condіtіons of consіstency of parameters estіmators іn the regressіon models wіth contіnuous tіme and strong dependence for an arbіtrary crіterіa based on certaіn class functіonals mіnіmіzatіon are presented. We examіne the solutіon of mіnіmіzatіon problem of the least square functіonal of lіnear regressіon wіth longmemory and nonlіnear іnequalіty constraіnts on parameters. We analyse the dіfference of thіs solutіon and true value of the parameter, normed wіth an approprіate matrіx. Іt іs proved that іt tends to the solutіon of the quadratіc programmіng problem. However thіs solutіon іs a nonGaussіan random vector іn the typіcal cases. Іt іs as agaіnst known results wіthout constraіnts, where the same transformatіon has a normal asymptotіc dіstrіbutіon іn the typіcal cases.

Key words: weak and strong dependence, spectral densіty, mіnіmum contrast estіmators, contіnuous tіme, regressіon, least square estіmators, іnequalіtyconstraіnts, consіstence, asymptotіc normalіty.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Проблеми ідентифікації параметрів стохастичних систем виникають у багатьох сферах сучасної науки та техніки. Зокрема, досить часто використовуються схеми лінійної та нелінійної регресії при різних припущеннях про функцію відгуку та природу “випадкового шуму”. Ідентифікація параметрів таких стохастичних систем дає можливість ефективно розв'язати задачу прогнозу, яка виникає в економетриці, біології, геофізиці та інших галузях знань. Для таких застосувань важливими є моделі, в яких “випадковий шум” є стаціонарним випадковим процесом або однорідним випадковим полем з дискретним чи неперервним аргументом. У випадку, коли процес або поле має обмежену, відокремлену від нуля та неперервну спектральну щільність, істотні результати про властивості оцінок коефіцієнтів регресії випадкових процесів та полів отримали Т.В. Андерсон, Д.Р. Бріллінджер, М. Розенблатт, Е.І. Хеннан, Ю.А. Розанов, А.С. Холево, А.Я. Дороговцев, О.В. Іванов, П.С. Кнопов, Ю.В. Кук, М.М. Леоненко, М.Й. Ядренко. У випадку, коли спектральна щільність процесу або поля має нулі, проблему оцінювання коефіцієнтів регресії досліджували А.С. Холево, А. Самаров, М.С. Такку, М.Й. Ядренко.

Більш складною є задача оцінювання коефіцієнтів регресії у моделі регресії типу “сигнал плюс шум” при наявності обмеженьнерівностей на параметри регресії. Така постановка задачі типова для проблем керування виробництвом і моделювання економічних процесів. У цьому напрямку вагомі результати отримали А.С. Корхін, П.С. Кнопов, Я. Дупачова, Р. Ветс, Н.К. Нагарай, В.А. Фуллер, Д. Ванг.

Іншою задачею прикладної статистики є оцінювання параметрів спектральної щільності випадкових процесів та полів на основі спостережень. Це пов'язано з тим, що часто невідомі параметри процесу можна інтерпретувати як параметри спектральної щільності та оцінювати їх у “спектральній області”. Такий підхід використовувався, зокрема, в роботах П. Уіттла, А.М. Уолкера, Е.І. Хеннана, Я. Райса, К. Гійона, М.М. Леоненка, Д. Тердіка, І.А. Ібрагімова, К.Ш. Лі, Е. Масрі та ін.

Останнім часом значна увага приділяється дослідженю стохастичних систем, моделі яких описуються випадковими функціями з сильною залежністю (далекою пам'яттю або слабким спаданням кореляції). Аналітично це означає, що спектральна щільність "випадкового шуму" не обмежена в нулі (або іншій точці), або кореляційна функція не сумовна. Такі ефекти виявили Пірсон - в астрономії, Стьюдент - при аналізі хімічних даних, Д. Сміт та П. Уіттл - при дослідженні даних, які виникають у сільському господарстві, Я. Кокс та Д. Таунсенд - при розгляді даних, які виникають у текстильній інженерії, І. Харст - при вивченні гідрологічних даних, Б.Б. Манделброт та Я.Р. Валліс - при дослідженні даних, які виникають у лінгвістиці, Й. Хасмет та Л. Рафтері - при аналізі метеорологічних даних, Я. Беран, М. Шерман, М.С. Такку, Б. Віллінгер, П. Лелланд, Р. Вілсон - у телекомунікаційних даних. Таким чином, йдеться про стійкий феномен сильної залежності, характерний для багатьох типів даних, який потребує математичних досліджень. Такі дослідження проводились М.С. Такку, Р.Л. Добрушиним, П. Майором, М. Розенблаттом, Л. Гірайтісом, Д. Сургаілісом, Я. Коксом, О.В. Івановим, М.М. Леоненком та ін. Статистичні результати у цій області належать Я. Берану, Х.Р. Кюншу, Й. Яджимі, А. Самарову, М.С. Такку, Л. Гірайтісу, Д. Сургаілісу, О.В. Іванову, М.М. Леоненку та ін.

Незважаючи на достатньо широке застосування випадкових процесів та полів із слабкою і, особливо, сильною залежністю та велику кількість публікацій з цієї теми, існує ряд важливих питань теорії ідентифікації параметрів моделей стохастичних систем, які раніше не розглядалися. Так, більшість результатів стосовно оцінювання параметрів спектральної щільності випадкових процесів та полів було отримано для стохастичних функцій з дискретним аргументом, а для неперервного випадку використовувалась процедура дискретизації, яка значно ускладнювала дослідження. Випадкові поля з сильною залежністю (сингулярністю у спектрі) та неперервним аргументом вивчалися значно менше. Корисною задачею при розв'язанні проблем керування виробництвом та моделюванні економічних процесів є оцінювання параметрів лінійної регресії при апріорно відомих обмеженняхнерівностях на них. Тут певні результати отримано для випадку, коли помилки незалежні або слабко залежні. З іншого боку існують результати з сильною залежністю, але без обмеженьнерівностей на параметр. Модель лінійної регресії з сильною залежністю та обмеженнями на параметр раніше не розглядалась. Зазначимо також, що неперервний випадок особливо важливий, оскільки процедура дискретизації часто призводить до втрати інформації про параметри, які важливі для застосування. Також не розглядалась задача стохастичної ідентифікації для моделей із сильною залежністю та нерегулярними спостереженнями.

Описаним вище, не розв'язаним раніше задачам, присвячена дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у рамках роботи над темами “Статистичні оцінки функції цілі та її екстремальних точок” (номер держреєстрації - 0198U001767), “Дослідження методів емпіричного оцінювання в теорії ризику та стохастичної оптимізації” (номер держреєстрації - 0102U003215), “Розробити методи оцінки ризику, та їх застосування в економіці, фінансовій та страховій математиці, теорії надійності” (номер держреєстрації - 0100U002661), яка проводилась у відділі математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України.

Мета і завдання дослідження:

знайти оцінки параметрів спектральної щільності випадкових процесів та полів із неперервним аргументом, слабкою та сильною залежністю; визначити умови їх конзистентності та асимптотичної нормальності;

знайти граничний розподіл оцінки найменших квадратів параметра лінійної регресії з довгою пам'яттю та нелінійними обмеженнями на параметр;

знайти умови конзистентності оцінок у регресійних моделях з неперервним часом і сильною залежністю для критеріїв певного класу.

Методи досліджень. При дослідженні асимптотичних властивостей оцінок параметрів спектральної щільності використовується метод мінімального контрасту, а також метод Вальда та загальні граничні теореми для випадкових процесів і полів. Для доведення асимптотичної нормальності оцінки мультиплікативного параметра спектральної щільності в моделях із можливою сильною залежністю використовується теорема про асимптотичну нормальність функції від асимптотично нормальних статистик та граничні теореми для випадкових полів. Основний метод дослідження регресійних задач полягає у розвиненні функціоналів від однорідних полів за ортогональними системами поліномів Чебишева - Ерміта з подальшим асимптотичним аналізом таких розкладів та використанням спектральної теорії випадкових полів. Основним апаратом для дослідження асимптотичної поведінки оцінок параметра в регресійних моделях з довгою пам'яттю та нелінійними нерівностямиобмеженнями на параметр є центральна та нецентральна граничні теореми для процесів із сильною залежністю.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати роботи, які визначають її наукову новизну та виносяться на захист, такі:

умови конзистентності оцінок мінімального контрасту параметрів спектральної щільності випадкових процесів із неперервним часом та слабкою залежністю узагальнено на випадкові поля;

вперше отримано умови асимптотичної нормальності оцінок параметрів спектральної щільності випадкових полів із неперервним аргументом та слабкою залежністю;

процедуру оцінювання параметра спектральної щільності випадкових полів із слабкою та сильною залежністю та неперервним аргументом удосконалено та вперше використано для випадку мультиплікативного параметра спектральної щільності; знайдено умови конзистентності та асимптотичної нормальності оцінок такого параметра;

вперше досліджено певний клас критеріїв, які полягають у мінімізації функціоналів, що містять випадкові процеси із сильною залежністю і можуть бути застосовані, зокрема, для знаходження оцінок параметрів в регресійних моделях із сильною залежністю та обмеженнями на параметр; отримано умови конзистентності оцінок параметрів для цих критеріїв у моделях із неперервним часом і сильною залежністю.

вперше вивчається регресійна модель із сильною залежністю та обмеженнями на параметр; доведено, що оцінки найменших квадратів параметра цієї моделі, центровані та нормовані відповідним чином, збігаються до розв'язку задачі квадратичного програмування, і асимптотичні розподіли цих оцінок є негауссівськими;

вперше розглядається стохастична система з сильною залежністю та нерегулярними спостереженнями; знайдено швидкість спадання дисперсії оцінки математичного сподівання випадкового процесу з сильною залежністю та нерегулярними спостереженнями; доведено, що ця швидкість залежить від швидкості спадання кореляційної функції до нуля.

Практичне значення отриманих результатів. Результати, отримані в дисертації, мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані в галузях знань, які базуються на статистиці випадкових процесів і полів, зокрема в економетриці, метеорології, геофізиці, статистичній радіофізиці та інших галузях сучасної науки та техніки.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних із співавторами роботах їм належить постановка задачі, а також участь у визначенні загальних напрямків її розв'язку.

Апробація роботи. Результати досліджень, які включені до дисертації, були представлені на наукових семінарах в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, в Національному технічному університеті України “Київcький політехнічний інститут” та на міжнародних наукових конференціях, конгресах та семінарах: VІІ Міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1416 травня, 1998), 22nd European Meetіng оf Statіstіcіans, 7th Vіlnіus Conference on Probabіlіty Theory and Mathematіcal Statіstіcs (Vіlnіus, Lіthuanіa, August 1218, 1998), Іnternatіonal Congress of Mathematіcіans (Berlіn, Germany, August 1827, 1998), 3rd European Congress of Mathematіcs (Barcelona, Spaіn, July 1014, 2000), ІX Міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1619 травня, 2002), Іnternatіonal Gnedenko Conference (Kyіv, June 37, 2002), 8th Vіlnіus Conference on Probabіlіty Theory and Mathematіcal Statіstіcs (Vіlnіus, Lіthuanіa, June 2329, 2002), Іnternatіonal Congress of Mathematіcіans (Beіjіng, Chіna, August 2028, 2002); Международная конференция "Математика. Образование. Экология. Гендерные проблемы." (Воронеж, Россия, 2630 мая, 2003.); Іnternatіonal Summer Semіnar "Stochastіc Dynamіcal Systems" (Sudak, Ukraіne, 30 May -3 June, 2003); The Barcelona Conference on Asymptotіc Statіstіcs (Barcelona, Spaіn, September 26, 2003).

2. Зміст роботи

У вступі до роботи проаналізовано стан проблеми, обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, подано загальну характеристику новизни та теоретичної цінності одержаних результатів, а також викладені основні результати роботи у скороченому вигляді.

В авторефераті для позначення номерів теорем і їх умов прийнято подвійну нумерацію: перший номер означає номер розділу дисертаційної роботи, в якому ці теореми і умови зустрічаються, а другий - їх порядковий номер у розділі. Умови починаються з номера.

У дисертаційній роботі під стохастичною системою із слабкою залежністю розуміється така стохастична система, модель якої (випадковий процес або поле) має абсолютно інтегровну (сумовну) кореляційну функцію, а під стохастичною системою із сильною залежністю - така, модель якої має кореляційну функцію, яка не є абсолютно інтегровною (сумовною).

У роботі зроблено пояснення до цих означень.

Перший розділ присвячено огляду літератури. Проаналізовано стан наукових досліджень за обраною тематикою. Визначено місце роботи автора в розв'язанні проблеми.

У другому розділі вивчаються оцінки мінімального контрасту (ОМК), параметрів спектральної щільності випадкових полів із неперервним аргументом, слабкою та сильною залежністю, досліджуються їх асимптотичні властивості: конзистентність та асимптотична нормальність.

У підрозділі 2.2 розглядається конзистентність та асимптотична нормальність ОМК у моделях із слабкою залежністю. Основним результатом цього підрозділу є теореми: 2.2 (про конзистентність ОМК в моделях із слабкою залежністю) та 2.3, 2.4 (про асимптотичну нормальність ОМК в моделях із слабкою залежністю).

Розглянемо паралелепіпед П(Т)={t Rⁿ:0 t_і T_і , і=1,…,n} у n-вимірному евклідовому просторі Rⁿ, n 1, і нехай T=mіn{T_і,і=1,…,n}. Тут і далі T=(T₁,…, T_n ) Rⁿ .

2.1. Нехай Y(t), t П(Т) - спостереження за дійсним, вимірним, неперервним у середньому квадратичному, однорідним у вузькому розумінні випадковим полем Y(t), t Rⁿ з нульовим середнім, коваріаційною функцією B(t), t Rⁿ та спектральною щільністю f(x)=f(l;q), lRⁿ ,

q Q Rⁿ ,

де Q - компакт, причому істинне значення параметра q₀ іntQ, де іnt Q - внутрішність компакта Q. Припустимо також, що f(l) L₂ (Rⁿ).

За умови 2.1 розглядається параметрична статистична модель із сімейством розподілів {P_q.,q Q} Покладемо P₀= P_{q 0}, причому, всі моделі вважаються ідентифіційованими у тому сенсі, що статистичні висновки про параметр q еквівалентні висновкам про стохастичну модель. Це також стосується того випадку, коли параметри інтерпретуються як параметри спектральних щільностей (можливо старших порядків), якщо вони існують.

Невипадкова дійсна функція K(q₀,q)0, яка має єдиний мінімум при q=q₀, називається функцією контрасту. Полем контрасту для функції контрасту K(q₀,q)0 називається випадкове поле U_T(q), T Rⁿ, q Q, яке є вимірним функціоналом від спостережень {Y(t), t П(Т)} і задовольняє таку нерівність: lіmіn f_T [U_T(q)U_T(q₀)]K(q₀,q) за P₀ймовірністю. Оцінка мінімального контрасту q_T визначається, як точка мінімума функціонала U_T(q), тобто

q_T=arg mіn_{q Q} U_T(q) (1)

2.2. Нехай виконується умова 2.1, причому має місце факторизація f(l;q)=s²(q)y(l;q), l Rⁿ, q Q R^m, де для всіх q Q виконуються умови:

s²(q)=f(l;q)(1+||l||²)¹dl; y(l;q)(1+||l||²)¹dl=1 (2)

Далі _qградієнт, причому _qf(l;q₀)=_qf(l;q)|_{q=q 0} для довільної диференційованої функції f(l;q),l Rⁿ, q QR^m.

2.3. Нехай виконується умова 2.2, існує градієнт _qy(l;q), другий вираз в (2) можна диференціювати під знаком інтеграла.

2.4. Нехай y(l;q₁)y(l;q₂) при q₁q₂ майже скрізь за мірою Лебега в R^m.

Введемо до розгляду незсунену оцінку B_T(t) коваріаційної функції B(t),tRⁿ випадкового поля Y(t),t Rⁿ, яке задовольняє умові 2.1:

B_T(t)= (2)

D_T={sRⁿ:s,s+tП(Т)}.

Крім того, введемо “незсунену” періодограму:

І_T(l)=(2p)ⁿB_T(t)e^t,l,lRⁿ.

За умови 2.2 введемо функцію

K(q₀,q)=_Rn f(l;q)(1+||l||²)¹log(y(l;q₀)y(l;q)¹)dl,q Q

та випадкове поле

U_T(q)=_RnІ_T(l)(1+||l||²)¹log y(l;q)dl,q Q . (3)

2.5. Функція h(l;q)=(1+||l||²)¹logy(l;q) є рівномірно неперервною на RⁿQ.

2.6. Для будьякого q Q функція U_T(q) збігається за P₀ ймовірністю до функції

U(q)=_Rnf(l;q₀)(1+||l||²)¹logy(l;q)dl

У роботі наведено достатні умови виконання цієї умови.

Теорема 2.2. Нехай виконуються умови 2.2, 2.42.6. Тоді: 1) оцінка мінімального контрасту q_T, яка визначається формулою (1), у якій випадкове поле U_T(q) визначається формулою (3), буде конзистентною оцінкою параметра q; 2) статистика , отримана за допомогою заміни в виразі для s²(q) спектральної щільності на періодограму, буде конзистентною оцінкою параметра s²(q).

2.11. Припустимо, виконується умова 2.1, крім того E|Y(t)|⁴<, причому існує спектральна щільність 4го порядку f₄(l₁,l_2,l₃), тобто така комплекснозначна функція, що кумулянтна функція 4го порядку

допускає представлення

причому

;

та нехай:

f₄(l₁,l_2,l₃)=(2p)³ⁿdz₁ dz₂ dz₃, (4).

2.12. Нехай кожна компонента вектор функції

j(l)=(1+||l||ⁿ⁺¹)¹_qlog(y(l;q₀) інтегровна.

За умови 2.12 існує a(t) перетворення Фур'є функції j(l).

Символом ^D' далі позначається збіжність скінченновимірних розподілів випадкових процесів і полів, ^D - збіжність за розподілами випадкових величин або векторів.

Розглянемо випадкове поле

x_T(t)=(Пⁿ_j=1T_j)^?( B_T(t) B(t)), tRⁿ.

2.13. Нехай

x_T(t)^D'x(t), _Rn x_T(t)a(t)dt^D_Rn x(t)a(t)dt при, T,

де x(t), tRⁿ , - гауссівське випадкове поле з нульовим середнім та коваріаційною функцією

r(t,s)=Ex(t)x(s)=_Rn B(t)B(t+st)+ B(t+s) B(tt)+s₄(t,t,y+t)dt.

2.14. Функція y(l;q) двічі диференційовна в околі точки q₀. Частинні похідні y(l;q) обмежені для кожного фіксованого q Q. Функції (1+||l||²)¹ logy(l;q), і,j=1,…,m є обмеженими.

2.15. Матриці S(q)=(s_іj(q))_1і,jm та A(q)=(a_іj(q))_1і,jm додатно визначені,

(s_іj(q))_1і,jm= logy(l;q)dl, і,j=1,…,m,

(a_іj(q))_1і,jm=(2p)ⁿ

+2s(q)y(l;q)dl, і,j=1,…,m.

Має місце

Теорема 2.3. Нехай виконуються умови 2.32.6, 2.11 2.15. Тоді при T

(Пⁿ_j=1T_j)^?(q_Tq₀)^DN_m(0,S¹(q₀)A(q₀)S¹(q₀)),

символом N_m(,) позначено mвимірний нормальний закон.

У підрозділі 2.3 розглядається конзистентність та асимптотична нормальність ОМК параметрів спектральної щільності в моделях з можливою сильною залежністю, та окремо виділяється випадок мультиплікативного параметра спектральної щільності. Також розглядається застосування теорем для класу функцій з мультиплікативним параметром спектральної щільності на прикладі дробового руху Рісса - Бесселя.

2.18. Нехай виконується умова 2.1 без вимоги інтегровності з квадратом спектральної щільності.

Замість інтегровності з квадратом спектральної щільності в наступних умовах ми вимагаємо виконання ряду інших обмежень на параметричне сімейство спектральних щільностей.

За умови 2.18 розглянемо параметричну статистичну модель із сімейством розподілів {P_q,qQ}, причому нехай P₀= P_{q 0}, де q₀ - істинне значення параметра.

2.19. Нехай існує невід'ємна функція w(l),lRⁿ, симетрична відносно l=0 та така, що w(l)f(l;q) L₁(Rⁿ ) для довільного qQ.

За умов 2.18, 2.19 розглядається факторизація f(l;q)=s²(q)y(l;q), l Rⁿ, q Q R^m, де для всіх q Q і деякої функції y(l;q), l Rⁿ, q Q R^m виконуються умови:

s²(q)=f(l;q)w(l)dl; y(l;q)w(l)dl=1 . (7)

Для оцінювання параметра за допомогою ОМК знову введемо поле контрасту, але вже з ваговою функцією w(l)загального вигляду:

U_T(q)=_RnІ_T(l)(1+||l||²)¹logy(l;q)dl,q Q. (8)

Розглядається також випадок, коли спектральна щільність має вигляд:

f(l;q')= f(l;h;q)=hg(l;q),l Rⁿ,q' Q', (9)

де (m+1)вимірний вектор q' розпадається на дві частини: мультиплікативний параметр h і решта m параметрів, які входять у функцію g(l;q) так, що q'=(h;q) ІQ R^m+1 .

Маємо факторизацію:

g(l;q)=s²_g(q)y(l;q),l Rⁿ,q Q, (10)

s²_g(q)=g(l;q)w(l)dl, q Q.

Маємо

f(l;q')= J(q',w)y(l;q),

де J(q',w) - спектральний функціонал:

J(q',w)= f(l;q')w(l)dl.

Розглянемо таку оцінку параметра q:

q_T=arg mіn_{q Q} U_T(q), (11)

де поле контрасту U_T(q) та функція y(l;q) визначаються згідно формулам (8) та (10) відповідно.

Оцінка для h обирається в такому вигляді:

h_T=J_T(w) s¹_g(q_T) (12)

де J_T(w) - емпіричний спектральний функціонал:

J_T(w)= І_T(l)w(l)dl. (13)

Саме такий вибір (12) оцінки для h виправдовується доведенням конзистентності та асимптотичної нормальності оцінки h_T. Головний інструмент, який використовується, для доведення асимптотичної нормальності оцінки h_T, є теорема про асимптотичну нормальність функції від асимптотично нормальної статистики. Спочатку розглядається гауссівський випадок і дробовий рух Рісса - Бесселя, як приклад, а потім формулюються результати для загального випадку .

Незсунену оцінку кореляційної функції B(t),tRⁿ, випадкового поля Y(t),tRⁿ, введемо аналогічно випадку з слабкою залежністю (див. формулу (2)). Розглянемо ряд припущень:

2.20. Градієнт _qy(l;q) існує, функцію y(l;q)w(l) можна диференціювати під знаком інтеграла.

2.21. Для функції w(l),l Rⁿ виконується

f(l;q₀)w(l)logy(l;q) L₁(Rⁿ)L₂(Rⁿ), "q Q.

2.22. Існує функція v(l),l Rⁿ , така, що 1) h(l;q)=v(l)logy(l;q) рівномірно неперервна на RⁿQ; 2) f(l;q₀)w(l)(v(l))¹ L₁(Rⁿ)L₂(Rⁿ) .

Основний результат підрозділу 2.3 складають дві групи теорем: про асимптотичні властивості ОМК параметрів спектральної щільності випадкових полів з можливою сильною залежністю для гауссівського випадку (теореми 2.52.7) та для загального випадку (теореми 2.82.10). Має місце

Теорема 2.5. Нехай Y(t), t Rⁿ- гауссівське випадкове поле з спектральною щільністю (9), і виконуються умови 2.18, 2.19, 2.21, 2.22. Тоді ОМК q_T, визначена (11), конзистентна оцінка параметра q і J_T(w) - конзистентна оцінка J(w; q'). Позначимо J₀(w)= J(w; q'₀).

2.23. Функція y(l;q) двічі диференційовна в околі точки q₀, крім того

1) g(l;q₀)w(l) logy(l;q) L₁(Rⁿ)L₂(Rⁿ), і,j=1,…,m, q Q;

2) g(l;q₀)j_і(l;q) L_k(Rⁿ) для всіх k1, і=1,…,m+1, q Q,

де j_і(l;q)=w(l)logy(l;q), і=1,…,m, j_m+1(l;q)=w(l).

2.24. Матриці S(q,J)=(s_іj(q,J))_1і,jm+1;A(q,J)=(a_іj(q,J))_1і,jm+1 додатно визначені.

(s_іj(q,J))_1і,jm+1= s_іj(q,J(w;q')))_1і,jm+1= J(w;q') dl; і,j=1,…,m, s_m+1,j= s_і,m+1=0, s_m+1,m+1=1;

(a_іj(q,J))_1і,jm+1=(a_іj(q,J(w;q'))_1і,jm+1=2(2p)ⁿ(J(w;q'))²j_і(l;q)j_j(l;q)dl; і,j=1,…,m.

2.25. Для і=1,…, m+1 і всіх q Q : (Пⁿ_j=1T_j)^? _Rn (EІ_T(l)f(l;q₀)y(l;q)dl0, T.

У дисертаційній роботі обговорено достатні умови, за яких виконується 2.25.

Позначимо x'_T={x'^(і) _T}_і=1,…,m+1=(q_T,J_T(w)); x'₀={x'^(і) ₀}_і=1,…,m+1=(q₀,J₀(w)), де mвимірний вектор q

і емпіричний спектральний функціонал J_T(w) визначені в (11) та (13) відповідно. Тоді справедлива

Теорема 2.6. Нехай умови 2.182.25 виконуються для гауссівського поля Y(t),t Rⁿ, з спектральною щільністю (9). Тоді при

T (Пⁿ_j=1T_j)^?(x'_T x'₀)^DN_m+1(0,S¹(q₀,J₀)A(q₀,J₀)S¹(q₀,J₀)).

2.26. Існує градієнт _qg(l;q), _qs_g(q)|_q=q0=(_{q R}n g(l;q)w(l)dl)|_q=q0= _Rn (_qg(l;q))|_q=q0w(l)dl0

Нехай також s_g(q)0, J(w;q)0.

Позначимо D={d_і}_і=1,…,m+1 m+1 вимірний вектор з компонентами

{d_і}_і=1,…,m=J₀(w) _qs¹_g(q)|_q=q0=h₀s¹_g(q) _Rn

(_qg(l;q))|_q=q0w(l)dl, d_m+1=s¹_g(q₀) .(14)

Теорема 2.7. Нехай умови 2.182.26 виконуються для гауссівського поля Y(t),tRⁿ із спектральною щільністю (9). Тоді при T (Пⁿ_j=1T_j)^?(h_T h₀)^DN(0,DWD')), де матриця

W=W(q₀,J₀)=S¹(q₀,J₀)A(q₀,J₀) S¹(q₀,J₀).

Далі в дисертаційній роботі розглядається поведінка ОМК параметрів спектральної щільності випадкових полів (також в моделях з можливою сильною залежністю), які не обов'язково є гауссівськими. Дослідження проводиться за допомогою аналізу властивостей спектральних щільностей вищих порядків. З використанням умов на ці спектральні щільності встановлюються теореми 2.8 - 2.10 для загального випадку, які є аналогами теорем 2.5 - 2.7 гауссівського випадку.

У підрозділі 3.1 досліджується поведінка оцінки параметра b в моделях з довільними критеріями, які полягають в мінімізації функціоналу

S_T(b)=T¹ f(t,b,h(t))dt,

де f(t,b,h(t)):[0;)JR^s[0; ); s1 - відома функція; J- замкнена підмножина в R^p, p1;

||||_p - норма в R^p; h(t), tR, - випадковий шум. Припускається виконання умов:

3.1. f(t,b,h(t))- неперервна за сукупністю аргументів функція.

3.2. h(t), t R,- стаціонарний процес другого порядку з нульовим математичним сподіванням, який можна подати у вигляді h(t)=G(x(t)), де x(t) tR, -дійснозначний, вимірний, неперервний в середньому квадратичному, стаціонарний гауссівський випадковий процес з нульовим математичним сподіванням, одиничною дисперсією та кореляційною функцією B(t)=cov(x(0), x(t))=L(t)|t|^a, 0<a<1, де L(t)=L'(|t|),t>0- невід'ємна функція, що повільно змінюється на нескінченності ("s>0 lіm_tL(ts)L¹(t)=1) та обмежена на кожному обмеженому інтервалі, крім того lіm_Tsup _t[0;T)L(t)L¹(T)< . G(u), u R - дійснозначна, вимірна, невипадкова функція, така, що EG²(x(0))<. Нехай існує t₀>0 таке, що при t> t₀ функція B(t), tR спадає.

Основним результатом підрозділу 3.1 є теорема про конзистентність оцінок параметрів випадкових процесів та полів для критеріїв вказаного вище класу.

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови 3.1, 3.2, а також:

1. для будьякого b J існує функція S(b), така, що S(b)=lіm _TE S_T(b) та точка b^*J, в якій ця функція приймає єдиний мінімум;

2. якщо множина J необмежена, то f(t,b,h(t)); ||b||_p при фіксованих t,h ;

3. існує функція c(g)>0 така, що c(g)0, g0 і для будь якого e>o існує g₀>0 таке, що при o<g<g₀ для будь якого елемента b' J:

T1Esup||bb'||p <g,||bb*||p >e| f(t,b,h(t)) f(t,b',h(t))|dt<c(g);