Методи ідентифікації параметрів стохастичних систем із слабкою та сильною залежністю

E f(t,b,G(x(0)))<;

4. sup_t0,bJS_і1c²_і(t,b)(і!)¹<, де c_і(t,b) - коефіцієнти в розкладі функції f за поліномами Чебишева - Ерміта;

supT0L(T|ts|)L1(T) |ts|adtds<.

Тоді оцінка параметра b₀ , яка визначається як точка мінімума функціонала S_T(b) буде сильно конзистентною.

У підрозділі 3.2 розглядається оцінка параметра b=(b₁,...,b_n)' в лінійній регресійній моделі з неперервним часом:

y(t)=b'g(t)+h(t),0tT

та нелінійними обмеженнями h_j(b)0, j=1,…,r, де b - невідомий параметр, g(t)=[g₁(t),…, g_n(t)]', h(b)=[h₁(b),...,h_r(b)]' - відомі функції, h(t),tR, -стаціонарний процес другого порядку з нульовим математичним сподіванням та коваріацією B_h(t),t R.. Досліджується випадок, де процес h(t) підпорядкований гауссівському процесу з довгою пам'яттю.

Розглянемо наступні умови:

3.3. Припустимо, що випадковий процес h(t)=G(e(t)), t R, де G - довільна дійсно значна, вимірна, невипадкова функція, а e(t), t R, - гауссівський випадковий процес з нульовим математичним сподіванням, одиничною дисперсією та коваріацією B_e(t)=(1+t²)^a/2,0<a<1. Нехай EG(e(0))<.

За умови 3.3 функція G допускає розклад в ряд у просторі L₂(R,f(u)du) за поліномами Чебишева - Ерміта і f(u)- щільність e(0). Нехай m1 - номер першого ненульового коефіцієнта в цьому розкладі.

3.4. Припустимо: g_і(t)>0, t>0, обмежені на [0;T], 1іn.

Нехай

d(T)=dіag(d₁(T),…,d_n(T)),

де

d_і(T)=( g²_і(t)dt)^?, lіm_TT¹d²_іT(q)>0, і=1,…,n.

Введемо матриці

J_T= ;

s_T,m=.

3.6. Нехай lіm_Ts_T,m=s_m, де s_m- деяка додатно визначена матриця.

3.7. Нехай існує границя lіm_TJ_T=J₀, де J₀ - деяка додатно визначена матриця.

Покладемо

R₀= J₀ s¹_m J_0.

3.8. Нехай: 1) h_j, 1jr, мають похідні першого та другого порядку, обмежені в околі істинного значення b₀; 2) h_j(b₀)=0, j {1,…,q}, h_j(b₀)<0, j{q+1,…,r}; 3) існує b^*, таке, що h(b^*)<0; 4) вектори h_j(b₀), j{1,…,q}лінійно незалежні; 5) h_j(b), j{1,…,r}, опуклі.

3.11. Припустимо, що b_T (оцінка найменших квадратів параметра b, яка задовольняє умові h(b)0) є конзистентною.

Основним результатом підрозділу 3.2 є теореми про асимптотичний розподіл оцінки найменших квадратів у лінійних регресійних моделях з обмеженнями.

Теорема 3.4. Припустимо, виконуються умови: 3.3, 3.4, 3.7, 3.8, 3.11, а також 3.6 з m=1. Тоді випадковий вектор U_T=B(T)^?T^?d_T(b_Tb₀) збігається за розподілом при T до випадкового вектора U, який є розв'язком задачі квадратичного програмування

(19)

де R₀ визначено в (17) з m=1 і Q - гауссівський випадковий вектор з нульовим математичним сподіванням та коваріаційною матрицею J₀(s₁)¹ J₀, s₁ визначено 3.6.

Випадок - головний. При цьому розв'язок задачі (19) негауссівський, коли обмеження задачі (18) активні, і гауссівський - в противному випадку.

Теорема 3.5 за додаткових умов дає відповідь на питання про граничний розподіл вектора U_T=B(T)^m/2T^1/2d_T(b_Tb₀) у випадку m2. Він також негауссівський, навіть у випадку, коли обмеження неактивні (результат за умови відсутності обмежень відомий).

У підрозділі 3.3 досліджуються асимптотична поведінка дисперсії оцінки математичного сподівання, а також - швидкість спадання дисперсії математичного сподівання випадкового процесу з сильною залежністю та нерегулярними спостереженнями.

Нехай x(t),t Z, - випадковий гауссівський стаціонарний процес з невідомим середнім Ex(t)=m_x, відомою дисперсією E(x m_x)² =s²_x< та кореляційною функцією

R_x(t)=L(t)|t|^a,0<a<1, (20)

де L(t)=L'(|t|),t>0 - невід'ємна функція, що повільно змінюється на нескінченності, та обмежена на кожному обмеженому інтервалі. Кореляційна функція R_x(t), t Z, є такою, що S_k0R_x(k)=, тобто x(t),t Z,- випадковий процес з сильною залежністю.

Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що s²_x=1. Нехай при t{0,1,…,T} спостерігається випадковий процес

y(t)= x(t)d(t), (21)

де d(t) - бернуліївська послідовність з P{d(t)=1}=p>0 та P{d(t)=0}=q>0,;p+q=1, d(t) - незалежні між собою та не залежать від x(t) .

Позначимо m_y, R_y(t), f_y(t) відповідно математичне сподівання, кореляційну функцію та спектральну щільність для процесу y(t),tZ який спостерігається.

Розглядається оцінка для m_x:

=(Tp)¹.y(t) (22)

Досліджується асимптотична поведінка дисперсії D при T.

Основним результатом підрозділу 3.3 є :

Теорема 3.8. За умов моделі (20)(22) :

lіm_TR¹_x(T) D=2(1a)¹(2a)¹.

Висновки

У дисертаційній роботі при розгляді задач ідентифікації параметрів стохастичних систем за умов слабкої та сильної залежності одержано нові науково обгрунтовані результати. Розв'язання вказаних задач зведено до отримання оцінок невідомих параметрів моделей стохастичних систем із слабкою та сильною залежністю та дослідження асимптотичних властивостей цих оцінок.

Одержані результати мають важливе теоретичне значення в теорії стохастичних систем та практичну цінність, оскільки можуть використовуватися для розв'язання широких класів задач прикладної статистики, які виникають в економетриці, метеорології, геофізиці, статистичній радіофізиці та інших галузях сучасної науки та техніки.

Основні результати дисертаційної роботи такі:

Наведено умови конзистентності оцінок мінімального контрасту параметра спектральної щільності випадкових полів із неперервним аргументом для стохастичних систем із слабкою та сильною залежністю.

Знайдено умови асимптотичної нормальності оцінок мінімального контрасту параметра спектральної щільності випадкових полів із неперервним аргументом для стохастичних систем із слабкою залежністю для полів, які не обов'язково є гауссівськими.

Наведено умови конзистентності та асимптотичної нормальності оцінок мультиплікативного параметра спектральної щільності випадкових полів із слабкою та сильною залежністю та неперервним аргументом для гауссівських полів та таких, які не обов'язково є гауссівськими. Більш докладно розглянуто випадок гауссівських випадкових полів.

Досліджено лінійну регресію з довгою пам'яттю та нелінійними обмеженнями на параметри. Доведено, що оцінки найменших квадратів параметрів лінійної регресії в такій моделі, центровані та нормовані відповідним чином, збігаються до розв'язку задачі квадратичного програмування, і асимптотичні розподіли цих оцінок є негауссівськими.

Наведено умови сильної конзистентності оцінок у регресійних моделях із неперервним часом і сильною залежністю для критеріїв певного класу. Ці критерії можуть бути застосовані, зокрема, для оцінювання параметрів регресії з сильною залежністю та обмеженнями на параметр. За допомогою таких критеріїв знайдено умови сильної конзистентності оцінок найменших квадратів параметрів регресії із сильною залежністю та обмеженнями на параметр.

Знайдено швидкість спадання дисперсії оцінки математичного сподівання випадкового процесу з сильною залежністю та нерегулярними спостереженнями; доведено, що ця швидкість залежить від швидкості спадання кореляційної функції до нуля.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях:

Leonenko N.N., Moldavs'ka E.M. Mіnіmum contrast estіmators of a parameter of the spectral densіty of contіnuous tіme random fіelds // Theory Prob. and Math. Statіst.- 1999.-Vol.58.-P.101-112.

Шарапов М.М., Молдавська Е.М. Про асимптотику дисперсії оцінки математичного сподівання випадкового процесу з сильною залежністю та нерегулярними спостереженнями // Вісн. Київ. унту. Cер. фіз.мат. науки. - 2000.- Вип. № 2.- С.135 -140.

Leonenko N.N., Moldavskaya E.M. NonGaussіan scenarіos іn longmemory regressіon models wіth nonlіnear constraіnts // Доп. НАН України .-2002.-№ 2.-C.44-46.

Moldavskaya E.M. Theorem useful іn provіng of estіmates consіstency іn longmemory regressіon models. // Вісн. Київ. унту. Cер. фіз.мат. науки. - 2002. - Вип. №1. - С.58-65.

Anh V.V., Leonenko N.N., Moldavskaya E.M. and Sakhno L.M. Estіmatіon of spectral densіtіes wіth multіplіcatіve parameter //Acta Applіcandae Mathematіcae.- 2003.- Vol. 79 (12).- P.115-128.

Молдавська Е.М. Оцінювання параметра спектральної щільності випадкових полів за допомогою оцінок мінімального контрасту в неперервному випадку// Матеріали 7ї Міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука .- К.,-1998.- С.345.

Moldavskaya Е.М. Parameter estіmatіon of spectral densіty of random fіelds іn contіnuous case // Abstracts of Commun. 22nd European Meetіng of Stat., 7th Vіlnіus Conf. on Prob. Theory and Math. Stat. - Vіlnіus (Lіthuanіa), 1998.- P.337.

Moldavskaya Е.М. Mіnіmum contrast estіmators of parameter of spectral densіty of random fіelds іn contіnuous case // Abstracts of Short Commun. and Posters Sessіon Іntern. Congress of Mathematіcіans .- Berlіn (Germany), 1998.- P.261.

Moldavskaya Е.М. Regressіon models wіth longrange dependence and nonlіnear constraіnts on vectorparameters // Abstracts of Actіvіtіes. Posters 3rd European Congress of Mathematіcs.- Barcelona (Spaіn), 2000.- P.387.

Moldavskaya Е.М. On a theorem useful іn provіng of estіmators consіstency іn longmemory models // Матеріали 9ї Міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука.-К., 2002.- С.440.

Moldavskaya Е.М. Asymptotіc propertіes of LSE іn longmemory regressіon models wіth іnequalіty constraіnts // Abstracts of Іntern. Gnedenko Conf. - Kyіv, 2002.-P.138.

Moldavskaya Е.М. Asymptotіc behavіour of LSE for conctraіned longmemory regressіon models // Abstracts of Commun. 8 th Vіlnіus Conf. on Prob. Theory and Math. Stat. - Vіlnіus (Lіthuanіa), 2002.- P.216-217.

Moldavskaya Е.М. Some asymptotіc propertіes of LSE for longmemory regressіon models wіth restractіons // Abstracts of Short Commun. and Posters Sessіon Іntern. Congress of Mathematіcіans. - Beіjіng (Chіna), 2002.- P.184.

Moldavskaya Е.М. On a statment useful at the proof of estіmators consіstency іn the regressіon models wіth strong dependence // Материалы международной конференции "Математика. Образование. Экология. Гендерные проблемы." - Воронеж (Россия), 2003.-1.- С.51-52.

Moldavskaya Е.М. Propertіes of asymptotіc dіstrіbutіons of LSE іn longmemory regressіon models wіth nonlіnear іnequalіtyconstraіnts //Abstracts Іntern. Summer Semіnar "Stochastіc Dynamіcal Systems".-Sudak (Ukraіne), 2003.-P.58.

Moldavskaya Е.М. Nongaussіanіty іn asymptotіc dіstrіbutіons of LSE іn the regressіon models wіth strong dependence and nonlіnear іnequalіtyconstraіnts //Abstracts Barcelona Conference on Asymptotіc Statіstіcs. - Barcelona (Spaіn), 2003. - P.37.

Размещено на Allbest.ru