Главная Коллекция "Otherreferats" Программирование, компьютеры и кибернетика Динамический синтез системы

Динамический синтез системы

Подбор корректирующего устройства для заданных требований синтеза регулятора, линеаризация рассматриваемой системы. Передаточная функция синтезированного корректирующего устройства. Оценки прямых показателей качества и отработка типовых входных сигналов.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 25.01.2011
Размер файла 836,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Синтез линейной системы

1.1 Анализ неизменяемой части системы

1.1.1 Составление и линеаризация модели системы

На основании выводов, сделанных во введении, функциональная схема проектируемой САР имеет вид замкнутого контура с отрицательной обратной связью.

Рисунок 1.1 - Функциональная схема САР

Разомкнутая система содержит корректирующее устройство, усилитель мощности, объект управления, кинематическую связь и датчик обратной связи. Параметры и характеристики каждого звена приведены в техническом задании. Входным воздействием САР является сигнал задания.

Целью данной работы является подбор корректирующего устройства, обеспечивающего заданные требования по качеству системы, иными словами, синтез регулятора. На начальном этапе синтеза удобно работать с линеаризованной моделью системы, поскольку для линейных систем математический аппарат теории автоматического управления наиболее развит и прост.

Проведем линеаризацию рассматриваемой системы. Как видно из рисунка 1.1. и технического задания в цепь системы включены два нелинейных звена - УМ и КС. Нелинейность УМ проявляется в ограничении зоны линейности. Устранить эту нелинейность можно, положив, что ограничений на зону линейности нет. В этом случае УМ можно заменить простым усилительным безынерционным звеном с коэффициентом усиления, равным тангенсу угла наклона среднего участка характеристики УМ. Рассчитаем значение этого коэффициента усиления.

.

В кинематической связи между ОУ и ДОС присутствует нелинейность - люфт. Эта нелинейность проявляется при смене знака производной входного сигнала Y. Если смены знака нет, то зависимость между входным и выходным сигналами КС описывается линейной функцией с коэффициентом наклона 1 град•с. Люфт, по сути, добавляет к входному сигналу Y определенную погрешность: YДОС = Y ± Д. На начальном этапе синтеза пренебрежем этой погрешностью и будем полагать, что YДОС = 1 • Y.

Кроме того, заметим, что выходная величина системы Y имеет размерность и соответствует углу поворота. ДОС предназначен для измерения углов в градусах. Следовательно, для обеспечения согласования размерностей на расчетном этапе положим, что ДОС измеряет углы в радианах. Для этого необходимо преобразовать его коэффициент передачи от к по формуле:

.

Начинать анализ системы следует с рассмотрения пропорционального регулятора. Такой регулятор реализует простейший линейный закон управления, при котором управляющий сигнал, подаваемый на вход ОУ, представляет собой усиленный сигнал ошибки. В системах с невысокими требованиями такой закон иногда может обеспечить достаточное качество регулирования.

Таким образом, приняв допущения о том, что

1) УМ имеет неограниченную зону линейности,

2) зазор в КС отсутствует, а коэффициент передачи равен единице, и представив КУ пропорциональным регулятором с коэффициентом передачи Kр, перейдем к линейной модели проектируемой САР.

Рисунок 1.2 - Структурная схема линеаризованной САР

Передаточные функции звеньев ОУ и ДОС приведены в техническом задании. Полученная система является линейной односвязной. В передаточной функции ОУ присутствует один нулевой полюс, вследствие чего полученная линейная система является астатической с порядком астатизма н = 1.

Линеаризованная модель проектируемой системы, как видно на рисунке 1.2, имеет не единичную обратную связь. Стандартные методики анализа и синтеза ориентированы на каноническую структуру системы в виде соединения с единичной обратной связью. Кроме того, как отмечено в аннотации, эффективным измеряемым выходным сигналом в системе является не Y, а сигнал с датчика обратной связи - UДОС. Поэтому структурную схему полученной линейной системы необходимо преобразовать к следующему виду:

Рисунок 1.3 - Преобразованная структурная схема линеаризованной САР

Нижняя ветвь структурной схемы, соответствующая сигналу Y, в большинстве случаев может не учитываться, поскольку анализ и синтез ведется преимущественно по отношению к сигналу с ДОС. Относительно этого выхода заданы все показатели качества.

Для дальнейшего анализа необходимо знать передаточные функции полученной САР по отношению к основным выходам.

ПФ разомкнутой системы:

,

где .

ПФ замкнутой системы по ошибке:

.

ПФ замкнутой системы по выходу Y:

.

ПФ замкнутой системы по выходу ДОС:

.

Передаточная функция является опорным элементом в большинстве методик теории автоматического управления, представляющим собой способ однозначного описании линейной системы. Полученные соотношения позволяют исследовать свойства рассматриваемой САР, анализировать ее реакции на произвольное входное воздействие, получаемые на разных выходах САР.

1.1.2 Определение коэффициента передачи регулятора

Еще раз отметим, что нами рассматривается вариант САР с простейшим пропорциональным регулятором. В некоторых случаях его применение позволяет добиться желаемого качества системы, обычно, в случае, когда требования к показателям качества достаточно низкие.

Все показатели качества можно разделить на две группы: показатели, характеризующие установившийся режим системы, и показатели, соответствующие переходному режиму САР. Показатели первой группы связаны с понятием точности системы. Они характеризуют точность воспроизведения системой входного воздействия. Показатели второй группы характеризую переходные процессы в системе, вызванные изменением входного сигнала.

В техническом задании требования к точности системы указаны в виде максимального значения коэффициента ошибки С1, соответствующего скорости изменения входного сигнала.

Коэффициентами ошибок называются коэффициенты разложения передаточной функции системы по ошибке в ряд по степеням s.

,

где - коэффициенты ошибок.

Найдем коэффициент C1 исследуемой САР. Взяв первую производную выражения в точке s = 0, согласно формуле получим:

.

Т.е данный коэффициент ошибки зависит только от коэффициента усиления разомкнутой системы. В техническом задании присутствует следующее ограничение по точности:

, где .

Следовательно, минимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы, обеспечивающее заданную точность, составляет

.

Коэффициент передачи регулятора, соответствующий найденному минимальному значению, найдем по формуле.

.

При значениях коэффициента передачи регулятора, не меньших полученного значения, будут обеспечены заданные требования по точности системы в установившемся режиме. Т.е. какое бы корректирующее устройство не рассматривалось, его коэффициент передачи должен быть большим или равным значения, полученного в формуле. В противном случае, требования технического задания будут нарушены.

Однако следует учитывать, что при больших значениях коэффициента усиления разомкнутой системы возможна потеря устойчивости замкнутой системы. Очевидно, что это недопустимо. Поэтому, примем коэффициент передачи регулятора, равным минимальному значению и исследуем устойчивость замкнутой системы.

Для исследования устойчивости системы воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица. Для применения этого критерия необходимо получить характеристическое уравнение исследуемой САР. Характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить, если сложить полиномы числителя и знаменателя ПФ разомкнутой системы. Таким образом, характеристическое уравнение системы с пропорциональным регулятором

.

Вычислим коэффициенты характеристического уравнения для рассматриваемого варианта системы.

Таблица 1.1 - Коэффициенты характеристического уравнения

a0

a1

a2

a3

a4

1

K = Kmin

8.97 • 10-7

6.538 • 10-4

0.0757

1

83.333

Все полученные коэффициенты характеристического уравнения положительные, что позволяет говорить о выполнении необходимого условия устойчивости.

Согласно критерию устойчивости Гурвица у устойчивой системы все главные определители матрицы Гурвица положительные. Матрица Гурвица для системы четвертого порядка имеет вид

.

Вычислим все главные определители матрицы Гурвица.

, ,

, .

Все главные определители Гурвица положительные. Следовательно, рассматриваемая система устойчива.

Таким образом, при выборе коэффициента передачи разомкнутой системы равным найденному по формуле минимальному значению Kmin мы получим устойчивую систему, удовлетворяющую требованиям по точности. Однако помимо точности присутствуют и требования на качество переходного процесса. Для интереса можно построить переходную функцию данной САР.

Очевидно, что такой переходный процесс не удовлетворяет требованиям технического задания даже в грубом приближении. Следовательно, использование пропорционального регулятора не позволяет получить требуемого качества проектируемой системы.

Рисунок 1.4 - Переходная характеристика САР с пропорциональным регулятором

В самом деле, увеличение коэффициента передачи разомкнутой системы приведет к еще большему росту колебательных свойств, отраженных на графике переходной функции недопустимо большим значением перерегулирования. Уменьшение коэффициента передачи позволит уменьшить перерегулирование, однако будет потеряна требуемая точность, что также недопустимо.

1.1.3 Частотные характеристики разомкнутой системы

В теории автоматического управления анализ и синтез систем часто ведется не во временной, а в частотной области. По частотным характеристикам системы могут определяться ее показатели качества, устанавливаться ряд особенностей, не очевидных из анализа во временной области. При этом могут рассматриваться характеристики как разомкнутой, так и замкнутой систем.

Логарифмические частотные характеристики исследуемой САР с пропорциональным регулятором, если выходом считать выход ДОС, имеют вид.

Рисунок 1.5 - ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы с пропорциональным регулятором

Графики частотных характеристик строились при помощи среды MatLab, имеющей свои стандарты обозначений. Здесь и в дальнейшем на графиках сохраняется система обозначений MatLab и добавляется стандартная система обозначений в ТАУ. Так запасы устойчивости на рисунке 1.5 обозначены как LЗАП и цЗАП в стандартной системе обозначений и как Gm и Pm в системе обозначений MatLab. Кроме того, обозначения координатных осей также продублированы. В дальнейшем внимание на этом заостряться не будет.

Проанализируем приведенные на рисунке 1.5 частотные характеристики разомкнутой системы. Логарифмическая амплитудная характеристика при низких частотах, стремящихся к нулевой, стремится к асимптоте с наклоном -20 дБдек, где н - порядок астатизма. Пересечение ЛАХ оси ординат происходит при амплитуде, равной 20lgK. В данном случае значение K соответствует значению Kmin, найденному по формуле. Частота среза находится левее критической частоты, что позволяет говорить об устойчивости замкнутой системы. Подробнее этот вопрос обсужден ниже. Логарифмическая фазовая характеристика начинается от уровня -90? и заканчивается уровнем -360?, что соответствует системе 4-го порядка с первым порядком астатизма.

ЛЧХ разомкнутой системы с пропорциональным регулятором изображены также на рисунках 1.11 и 1.12 - кривые соответствующие «располагаемой» системе. На основе их в дальнейшем осуществляется синтез корректирующего устройства.

Другой формой представления частотных характеристик, помимо ЛЧХ, является годограф амплитудно-фазочастотной характеристики W - АФЧХ. В случае разомкнутой системы он также носит название годографа Найквиста. Рассмотрим годограф Найквиста исследуемой САР с пропорциональным регулятором.

Рисунок 1.6 - Годограф Найквиста рассматриваемой системы

Поскольку в большинстве случаев достаточно сложно представить годограф Найквиста в виде, удобном для анализа, на рисунке 1.6 приведено два графика годографа Найквиста при разных масштабах. Из левого графика можно сделать вывод о начальной низкочастотной области АФЧХ. Так при частоте, стремящейся к нулю, амплитуда WР стремится к бесконечности, а фаза - к минус 90 градусам. Аналогичные выводы были получены из анализа ЛЧХ. Справа, на рисунке 1.6, изображен график годографа Найквиста в окрестности критической точки -1+j0. В таком масштабе удобно анализировать диапазон средних частот АФЧХ. Точка пересечения годографом окружности единичного радиуса, соответствует частоте среза, а точка пересечения действительной отрицательной полуоси - критической частоте. По значениям АФЧХ на этих частотах определяются запасы устойчивости. Рисунок 1.6 не позволяет анализировать высокочастотный диапазон. Но в этом нет необходимости, а если она возникнет, то можно обратиться к ЛЧХ. Отметим лишь, что при частоте, стремящейся к бесконечности, амплитуда АФЧХ стремится к нулю, а фаза - к минус 360 градусам.

Следует особо отметить, что ЛЧХ и АФЧХ - это две эквивалентные формы представления частотных характеристик системы. ЛЧХ могут быть получены по АФЧХ и наоборот. ЛЧХ удобны в том плане, что логарифмический масштаб позволяет одновременно анализировать низкочастотный, среднечастотный и высокочастотный диапазоны. АФЧХ наглядно демонстрируют движение радиус-вектора WР при изменении частоты.

По частотным характеристикам разомкнутой системы можно анализировать устойчивость замкнутой системы. Для этого предназначен критерий устойчивости Найквиста. Воспользуемся им для анализа устойчивости рассматриваемой САР с пропорциональным регулятором.

Критерий Найквиста для систем устойчивых в разомкнутом состоянии имеет следующую формулировку. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста не охватывал критическую точку. Рассматриваемая нами система устойчива в разомкнутом состоянии, в чем нетрудно убедиться при рассмотрении ее ПФ - формула. Однако система является астатической, а в этом случае применение критерия Найквиста в приведенной выше формулировке затруднено. В самом деле, из анализа годографа Найквиста не ясно: охватывает годограф критическую точку или нет. Эта неясность обуславливается наличием нулевого полюса, лежащего на границе между левыми и правыми полюсами. В этом случае предлагается считать, что нулевой полюс является левым. Для этого в комплексной плоскости корней характеристического уравнения рассматриваемой системы нулевой полюс обходят по дуге бесконечно малого радиуса справа. При переходе на плоскость АФЧХ эта дуга отражается дугой бесконечно большого радиуса, которой дополняется годограф Найквиста в окрестности нулевой частоты. Подробно этот вопрос раскрыт в.

Таким образом, годограф Найквиста необходимо дополнить дугой бесконечно большого радиуса, которая начинается на действительной положительной полуоси и заканчивается на бесконечно удаленном конце годографа, соответствующем нулевой частоте. Эта дуга показана на рисунке 1.6 пунктирной линией. Все точки дуги соответствуют окрестности нулевой частоты. Аналогичным образом можно дополнить и ЛФХ. В этом случае ЛФХ при нулевой частоте будет начинаться не от 90?, а с уровня - ноль градусов.

В результате осуществления указанных дополнений становится возможным применение критерия Найквиста. В самом деле, из рисунка 1.6 при учете пунктирной линии видно, что годограф АФЧХ не охватывает критической точки. Следовательно, по критерию Найквиста рассматриваемая система устойчива.

Критерий Найквиста можно сформулировать и для ЛЧХ разомкнутой системы. Для того чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот ЛЧХ левее частоты среза, где усиление положительно, суммарное число переходов фазовой характеристики уровней равнялось нулю. Положительным считается переход при увеличении фазы, отрицательным - при уменьшении фазы. Выполнение указанного условия, по сути, позволяет говорить о том, что годограф АФЧХ не охватывает критическую точку. Подробно вопрос анализа устойчивости системы по ЛЧХ освещен в. Исходя из приведенной формулировки критерия Найквиста для ЛЧХ и анализа ЛЧХ исследуемой системы, делаем вывод, что замкнутая система устойчива.

Заметим, что для систем, у которых ЛФХ имеет одну единственную точку пересечения уровня -180? критерий устойчивости Найквиста можно свести к простому сравнению критической частоты и частоты среза. В этом случае, если последняя меньше критической частоты, то замкнутая система устойчива.

Исследуя устойчивость САР с пропорциональным регулятором по частотным критериям устойчивости, мы получили результаты, аналогичные ранее полученным в результате применения алгебраического критерия устойчивости Гурвица. Известно, что устойчивость является лишь необходимым условием работоспособности системы. Кроме устойчивости у системы должно быть и вполне определенное качество.

1.1.4 Качество САР с пропорциональным регулятором

Существует множество критериев, по которым можно характеризовать качество САР, например, быстродействие, точность, помехоустойчивость, простота реализации и ряд других. Кроме того, качество САР можно анализировать на основе различных видов ее описания: временные характеристики, частотные характеристики, нули и полюса ПФ и т.д. Если анализируемая система представлена своими временными характеристиками, то можно определять прямые показатели качества. По частотным характеристикам САР устанавливаются частотные показатели качества. По расположению корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости можно судить о корневых показателях качества.

Ввиду того, что нами в предыдущем пункте получены частотные характеристики разомкнутой системы, оценим частотные показатели качества САР с пропорциональным регулятором. Основными частотными показателями качества являются:

1) Запасы устойчивости по амплитуде и фазе - и ,

2) Частоты среза разомкнутой и замкнутой систем - и ,

3) Показатель колебательности - M,

4) Частоты амплитудного и фазового резонансов - и ,

5) Граничная частота полосы пропускания - .

Часть из этих показателей удобнее определять по ЧХ разомкнутой системы, часть - по ЧХ замкнутой системы. Рассмотрим каждый показатель качества в отдельности.

Запас устойчивости по амплитуде находится как модуль амплитуды частотной передаточной функции разомкнутой системы WР на критической частоте, при которой фаза WР равна -180?. Обычно он измеряется в дБ. Запас устойчивости по амплитуде показывает, на сколько можно увеличить усиление в системе до попадания на границу устойчивости. Очевидно, что в случае неустойчивой системы запасы устойчивости не существуют, как и все другие показатели качества.

Запас устойчивости по фазе определяется как угол между лучом действительной отрицательной полуоси комплексной плоскости и радиус вектором WР, соответствующим частоте среза. Запас устойчивости по фазе показывает, на сколько можно увеличить запаздывание в системе до попадания на границу устойчивости.

Смысл определения запасов устойчивости становится наиболее ясным при рассмотрении критерия устойчивости Найквиста. Эти показатели качества характеризуют удаленность системы от границы устойчивости. Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе удобно определять по ЛЧХ разомкнутой системы. В этом случае справедливы следующие формулы:

и .

Используя эти формулы или рисунок 1.5 можно найти запасы устойчивости исследуемой системы. Среда MatLab производит автоматическое определение этих параметров. Найденные таким способом запасы устойчивости указаны на рисунке 1.5 .Частоты, указанные в скобках, соответствуют частоте среза и критической частоте.

Показатель колебательности M представляет собой относительную высоту резонансного пика АЧХ замкнутой системы. Т.е. он находится как отношение максимальной амплитуды АЧХ к амплитуде при нулевой частоте. Заметим, что определить показатель колебательности можно также по годографу Найквиста. Для этого используются линии замыкания, каждая из которых соответствует определенной амплитуде ЧХ замкнутой системы. Показатель колебательности - максимальное значение амплитуды ЧХ замкнутой системы. Следовательно, для его определения требуется найти окружность минимального радиуса, которой касается годограф Найквиста. Амплитуда, соответствующая этой окружности, будет определять показатель колебательности.

Рисунок 1.7 - АЧХ замкнутой системы относительно выхода ДОС

Частота, соответствующая максимуму АЧХ замкнутой системы называется частотой амплитудного резонанса.

Частота амплитудного резонанса может быть найдена как по рисунку 1.7, так и по рисунку 1.8. Однако первый случай более прост.

Рисунок 1.8 - Годограф Найквиста исследуемой САР

Частоты срезы определяются как ненулевые частоты, в которых АЧХ равна единице. Т.е. частоты, при которых входной и выходной гармонические сигналы имеют одинаковые амплитуды. При рассмотрении ЛАХ частота среза соответствует точке пересечения ЛАХ оси абсцисс. Для определения частот среза рассматриваемой системы в замкнутом и разомкнутом состояниях можно воспользоваться рисунками 1.5 - 1.9. Также частоту среза можно получить, приравняв модуль выражения или к единице. Найденные значения показателей качества представлены в таблице 1.2

Граничная частота полосы пропускания находится из условия равенства амплитуды ЧХ замкнутой системы значению , где А0 - амплитуда при нулевой частоте. Граничную частоту полосы пропускания можно определить из рисунка 1.7 или, решив уравнение, полученное в результате приравнивания модуля выражения к величине .

Частота фазового резонанса определяется как точка, в которой частотная характеристика замкнутой системы имеет фазу, равную -90?. Для определения этой частоты можно воспользоваться рисунком 1.9. Заметим, что частоты амплитудного и фазового резонансов обычно получаются достаточно близкими друг к другу.

Используемый пакет MatLab позволяет анализировать графики с большой точностью, вследствие чего, большинство показателей качества определено графически.

Рисунок 1.9 - ЛЧХ замкнутой системы относительно выхода ДОС

Все найденные частотные показатели качества рассматриваемой САР с пропорциональным регулятором удобно представить в виде единой таблицы.

Таблица 1.2 - Частотные показатели качества нескорректированной САР

, дБ

, ?

M

, рад/с

, рад/с

, рад/с

, рад/с

, рад/с

2.696

6.311

9.493

33.298

47.686

52.384

33.835

33.332

Приведенные в таблице 1.2 показатели позволяют судить о качестве рассматриваемого варианта САР с пропорциональным регулятором. Напомним, что некоторые выводы уже были сделаны в предыдущем пункте.

Прежде всего, отмечаем, что система находится крайне близко к границе устойчивости. Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе имеют недостаточные значения. Так в отмечается, что в хорошо демпфированных системах величина запаса по амплитуде составляет 6…20 дБ, а величина запаса по фазе находится в интервале 30…60?. Исследуемая система с пропорциональным регулятором этим требованиям не удовлетворяет. Плохое качество системы подтверждается также большой величиной показателя колебательности. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1.1…1.5. Рассмотренные три показателя качества характеризуют близость системы к границе устойчивости, обуславливающую рост колебательных свойств переходных процессов.

Остальные показатели качества: частоты среза, резонанса, полоса пропускания в основном характеризуют быстродействие исследуемой системы. Причем между величиной этих показателей и быстродействием существует прямая связь в случае, если система удалена от границы устойчивости. В нашем случае, наоборот, система находится достаточно близко к границе устойчивости. Это обуславливает колебательный характер переходных процессов, вследствие чего время переходного процесса увеличивается.

Сопоставляя показатели качества, приведенные в таблице 1.2, следует отметить, что значения частот амплитудного и фазового резонанса, а также частоты среза разомкнутой системы достаточно близки друг к другу. Близость частоты фазового резонанса и частоты среза разомкнутой системы объясняется близостью системы к границе устойчивости.

По величине запаса устойчивости по амплитуде можно определить критический коэффициент усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система попадет на границу устойчивости. Анализируя ЛЧХ разомкнутой системы, заметим, что вертикальный параллельный сдвиг ЛАХ вверх на величину запаса устойчивости по фазе обеспечит попадание системы на границу устойчивости. Этот сдвиг можно осуществить увеличением коэффициента передачи разомкнутой системы. Следовательно, критический коэффициент передачи можно найти, умножив текущий коэффициент передачи, выбранный нами в соответствии с формулой, на абсолютную величину запаса устойчивости по амплитуде.

.

Коэффициент передачи регулятора, соответствующий этому максимальному значению, составляет

.

Таким образом, при использовании в проектируемой САР пропорционального регулятора, его коэффициент передачи должен лежать в диапазоне , определяемом требованиями устойчивости и заданной точности. Этот диапазон достаточно мал и соответствует низкому качеству в переходных процессах. Поэтому применение пропорционального регулятора в проектируемой САР не обеспечивает требований по качеству, приведенных в техническом задании.

Часть, найденных в данном пункте работы показателей качества, могла определяться по асимптотической ЛАХ и ЛЧХ разомкнутой системы. Однако при этом следует учитывать, что на частоте среза каждого звена первого порядка его ЛАХ проходит на 3 дБ ниже, чем асимптотическая ЛАХ.

1.2 Синтез регулятора

1.2.1 Постановка задачи синтеза

В предыдущем пункте был исследован вариант САР с простейшим пропорциональным регулятором. Было показано, что применение такого регулятора не позволяет достичь нужного качества. Поэтому встает вопрос о синтезе такого корректирующего устройства, которое обеспечит выполнение требований технического задания.

Задача синтеза всегда имеет множество решений. Даже если руководствоваться всеми требованиями технического задания, то все равно возможно создание бесконечного множества корректирующих устройств, удовлетворяющих этим требованиям. Ввиду этого необходимо ввести в рассмотрение ряд дополнительных критериев, позволяющих свести к минимуму количество учитываемых решений задачи синтеза. На основе сказанного перейдем к следующей постановке задачи.

Требуется провести синтез корректирующего устройства, включаемого последовательно в разомкнутую цепь системы и обеспечивающего выполнение следующих условий:

1) все требования по качеству САР, указанные в техническом задании,

2) минимизация частоты среза замкнутой системы,

3) простота структуры синтезируемого КУ.

Первое требования является очевидным. Выполнение требования минимизации частоты среза замкнутой системы приводит к упрощению технической реализации проектируемой системы. Это проявляется в снижении потребляемой техническими устройствами мощности и повышении помехозащищенности. Условие простоты структуры КУ соответствует условию простоты его последующей технической реализации.

Решение поставленной задачи синтеза можно получить различными способами. В данной работе используется метод синтеза по частотным характеристикам, как наиболее простой и эффективный в теоретическом плане, а также наглядный. Этот метод предполагает рассмотрение ЛЧХ располагаемой системы, в качестве которой выступает исследованный в предыдущем подразделе вариант САР с пропорциональным регулятором. Затем строится ЛЧХ желаемой системы, которая должна удовлетворять всем обозначенным требованиям. ЛЧХ корректирующего устройства в случае последовательного его включения находятся как разность между ЛЧХ желаемой и располагаемой систем. По полученным ЛЧХ КУ восстанавливается его ПФ.

Существенно облегчает применение данной методики использования асимптотических ЛАХ. Они позволяют выявлять структуру системы, которой они соответствуют, при введении в рассмотрение понятий асимптотических ЛАХ типовых звеньев. В самом деле, всю асимптотическую ЛАХ можно представить как сумму аналогичных ЛАХ инерционных и форсирующих звеньев с определенными постоянными времени. Кроме того, графики асимптотических ЛАХ удобно складывать и вычитать. Использование аппроксимированных характеристик не приводит также к потере точности. Отклонение реальной ЛАХ от ее асимптотического представления заметно лишь в окрестности частоты среза, на которой реальная ЛАХ ниже на 3 дБ.

Центральным вопросом в методике синтеза КУ по частотным характеристикам является построение ЛАХ желаемой системы. Необходимо так провести желаемую ЛАХ, чтобы обеспечить систему определенным качеством. Обычно рассматриваются ЛЧХ разомкнутой системы, а показатели качества задаются по отношению к замкнутой системе. Таким образом, встает вопрос об отражении заданных показателей качества в плоскость рассматриваемых ЛЧХ разомкнутой системы.

Есть две базовые методики построения желаемой ЛАХ разомкнутой системы: методика Солодовникова и методика Бесекерского. В обеих методиках плоскость ЛЧХ разделяется на 3 части:

1) Область низких частот, которой соответствует диапазон частот меньших частоты среза. Низкочастотный диапазон ЛЧХ определяет качество системы в установившихся режимах, т.е. точность системы.

2) Область средних частот, определяемой окрестностью частоты среза, характеризует качество системы в переходных режимах.

3) Область высоких частот находится правее частоты среза. Она оказывает малое влияние на переходный режим работы системы, а также определяет помехоустойчивость.

Построение низкочастотного, среднечастотного и высокочастотного участков ЛАХ осуществляется раздельно, исходя из заданных требований качества. Затем выполняется сопряжение построенных участков. В результате получается ЛАХ желаемой системы, удовлетворяющей требованиям качества.

1.2.2 Построение низкочастотного участка желаемой ЛАХ

Низкочастотный участок ЛАХ строится, исходя из соображений по обеспечению точности системы. В техническом задании требования по точности представлены в виде ограничения на величину коэффициента ошибки при воспроизведении сигнала с постоянной скоростью. По формуле для данного коэффициента ошибки был рассчитан минимальный коэффициент передачи разомкнутой системы, обеспечивающий заданную точность. Исходя из этого, можно предъявить первое требование к низкочастотному участку ЛАХ. Низкочастотная асимптота желаемой ЛАХ не должна пересекать ось ординат ниже точки 20lgKmin.

Рассматриваемая нами САР имеет первый порядок астатизма. Вследствие этого, низкочастотная асимптота имеет наклон -20 дБс.

Таким образом, запретная зона по точности образуется линией с наклоном -20 дБдек и -40 дБдек пересечет ось абсцисс.

раддек будет определена позже из условия сопряжения со среднечастотным участком. Заметим, что положение низкочастотного участка ЛАХ, построенной по методике Солодовникова и по методике Бесекерского, одинаково.

1.2.3 Построение среднечастотного участка желаемой ЛАХ

Среднечастотный участок ЛАХ определяет качество системы в переходных режимах. В ТЗ приведены ограничения на прямые показатели качества переходного режима - перерегулирование у и время регулирования tркг. Сложность состоит в определении данных параметров переходного процесса замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Различные подходы к решению этой задачи предлагаются Солодовниковым и Бесекерским. Однако в обоих случаях рекомендуется в качестве среднечастотного участка желаемой ЛАХ рассматривать отрезок с наклоном -20 дБс. На основе найденного интервала положительности выбирается значение частоты среза желаемой ЛАХ по формуле . По найденным величинам Pmax и Pmin можно определить значения L1 и L2, ограничивающие сверху и снизу среднечастотный участок ЛАХ: L1 = 16 дБ и L2 = -16 дБ. При этом в среднечастотном диапазоне, определяемом шириной соответствующего участка ЛАХ, должен быть запас по фазе не менее 45?.

По описанной методике на рисунке 1.10 построен среднечастотный участок желаемой ЛАХ. Он представляет собой отрезок с наклоном -20 дБс. Частота среза раддек. Начальная точка данного отрезка определяется как точка, в которой второй отрезок низкочастотного участка ЛАХ с наклоном -40 дБс. Конечная точка среднечастотного участка определяется из условия обеспечения нужного запаса по фазе. Однако в данном случае эту точку удобно сопоставить с частотой сопряжения , что позволит получить более простую структуру проектируемого КУ.

Таким образом, построенный по методике Бесекерского среднечастотный участок желаемой ЛАХ описывается следующими точками: и . Он изображен на рисунке 1.11. Частота среза в этом случае равна раддек.

Построим высокочастотный участок ЛАХ по методике Солодовникова. Чтобы добиться максимального приближения желаемой ЛАХ к располагаемой, логично дополнить уже имеющуюся часть ЛАХ двумя отрезками. Первый отрезок с наклоном -60 дБдек. При таком выборе высокочастотного участка желаемой ЛАХ КУ в высокочастотном диапазоне будет иметь ЛАХ, параллельную оси абсцисс, т.е. с нулевым наклоном.

Параметры желаемой ЛАХ, построенной по методике Солодовникова, удобно представить в виде единой таблицы.

Таблица 1.3 - Параметры желаемой ЛАХ

Диапазон

НЧ

СЧ

ВЧ

№ отрезка

1

2

3

4

5

Наклон, дБ/дек

-20

-40

-20

-60

-80

Начальная частота, рад/с

0

Начальная амплитуда, дБ

-

34

16

-16

-32.5

Частота среза

47.8 рад/с

Заметим, что при рассмотрении минимально фазовых звеньев ЛФХ для методики Солодовникова можно не строить, а ограничиться лишь ЛАХ.

При построении высокочастотного участка желаемой ЛАХ по методике Бесекерского необходимо помимо требования близости желаемой и располагаемой ЛАХ, рассмотреть еще одно требование. Это требование позволяет обеспечить нужный запас по фазе в среднечастотном диапазоне. Вывод приведенного ниже условия изложен в.

,

где постоянные времени Ti, соответствуют однократному излому i_го отрезка ЛАХ.

Постоянную времени T3 мы определили ранее. Постоянную времени T5 удобно выбрать равной TC, исходя из требований простоты проектируемого КУ. Оставшуюся постоянную T4 необходимо определить по формуле. В результате получим T4 ? 0.005.

Однако в силу того, что методика Бесекерского носит достаточный характер, на практике оказывается возможным несколько улучшить постоянную T4. В результате моделирования было определено, что требования ТЗ удовлетворяются и при T4 = 0.006.

Высокочастотный участок желаемой ЛАХ для данного случая образован тремя отрезками с наклонами -40, -60 и -80 дБ/дек. При этом удалось добиться достаточной близости желаемой и располагаемой ЛАХ. Параметры желаемой ЛАХ, построенной по методике Бесекерского, сведены в таблицу.

Таблица 1.4 - Параметры желаемой ЛАХ

Диапазон

НЧ

СЧ

ВЧ

№ отрезка

1

2

3

4

5

6

Наклон, дБ/дек

-20

-40

-20

-40

-60

-80

Начальная частота, рад/с

0

Начальная амплитуда, дБ

-

33

14

-10

-15

-48

Частота среза

37.66 рад/с

На рисунке 1.12 приведены ЛФХ для данного случая. Кроме того, по формуле там построена запретная область по выбранному показателю колебательности M = 1.25.

1.2.5 Расчет параметров КУ

В предыдущих пунктах работы нами было построено два варианта желаемой ЛАХ проектируемой системы. Для получения ЛАХ синтезируемого КУ последовательного типа необходимо из ЛАХ желаемой системы вычесть ЛАХ располагаемой системы. На рисунке 1.10 получена асимптотическая ЛАХ КУ синтезированного по методике Солодовникова. На рисунке 1.11 приведена асимптотическая ЛАХ КУ синтезированного по методике Бесекерского. И тот, и другой вариант КУ обеспечивает заданные в ТЗ требования по качеству САР. Сравним полученные ЛАХ КУ и выберем оптимальный вариант.

При рассмотрении низкочастотного и среднечастотного диапазонов отмечаем, что оба варианта КУ имеют схожие характеристики. Однако есть существенное различие в высокочастотном диапазоне. ЛАХ КУ, синтезированного по методике Солодовникова, содержит отрезок с положительным наклоном 40 дБ/дек. Это значительно ухудшает его характеристики - вводится два дополнительных звена и увеличивается расстояние от оси абсцисс до высокочастотной асимптоты. Следовательно, из двух полученных вариантов КУ следует выбрать КУ, синтезированное по методике Бесекерского. Кроме того, следует признать, что методика синтеза КУ Бесекерского позволяет достичь значительно лучших результатов, в связи с чем, ее применение является приоритетней. Однако из этого не следует вывод, что от методики Солодовникова нужно отказаться.

Таким образом, ЛАХ синтезированного нами корректирующего устройства изображена на рисунке 1.11. Заметим, что пунктиром показана ЛАХ, построенная при значении постоянной времени T4, определенной из условия. В результате моделирования системы в среде MatLab было установлено, что требуемые показатели качества заметно превышены. Поэтому было решено несколько упростить КУ, увеличив постоянную времени T4 до 0.006. Процедура синтеза всегда носит итерационный характер и во многом определяется опытом проектировщика.

Целью синтеза является получение передаточной функции КУ. Асимптотическая ЛАХ КУ имеет следующие параметры:

Таблица 1.5 - Параметры ЛАХ синтезированного КУ

Диапазон

НЧ

СЧ

ВЧ

№ отрезка

1

2

3

4

5

Наклон, дБ/дек

0

-20

0

20

0

Начальная частота, рад/с

0

Начальная амплитуда, дБ

-

3

-6

-6

14

Следует учесть, что в качестве располагаемой системы нами рассматривался вариант САР с пропорциональным регулятором. Т.е. синтезированное КУ должно включаться в последовательную цепь САР перед пропорциональным регулятором с коэффициентом передачи KРmin. Для простоты будем считать, что пропорциональный регулятор отсутствует, а его коэффициент передачи учтем в коэффициенте передачи КУ. Этот же результат можно получить, если рассматривать в качестве располагаемой - систему без пропорционального регулятора.

Рассчитаем с учетом указанной особенности коэффициент передачи синтезированного регулятора, используя формулу.

.

По построенным асимптотическим ЛАХ восстановим ПФ скорректированной системы и КУ.

Передаточная функция разомкнутой цепи скорректированной САР:

.

Передаточная функция синтезированного корректирующего устройства:

.

Передаточная функция неизменяемой части САР:

.

Параметры приведенных выше передаточных функций представим в виде таблицы.

Таблица 1.6 - Параметры ПФ и ЛАХ скорректированной САР

T, с

w, рад/с

w, рад/с

K

T1 = 0.37448

w1 = 2.6704

wр*ср = 37.664

wр*кр = 113.39

w0 = 17.729

K* = 117.71

K*Р = 18.677

T2 = 0.12612

w2 = 7.9288

T3 = Tb = 0.008

w3 = wb = 125

T4 = 0.006

w4 = 166.67

T5 = Tc = 0.0017

w5 = wc = 588.24

Ta = 0.066

wa = 15.152

Таким образом, нами решена задача синтеза КУ. Система с включенным в ее состав синтезированным регулятором - скорректированная система удовлетворяет всем требованиям к качеству, указанным в ТЗ. Обеспечение требований по точности реализуется за счет выбора низкочастотного участка ЛАХ. Требования по качеству переходных режимов выполняются, поскольку ЛФХ желаемой системы не заходит в запретную область по показателю колебательности M = 1.25, построенную на рисунке 1.12. Полученная ПФ КУ свидетельствует о достаточной простоте его структуры. Частота среза и коэффициент передачи желаемой разомкнутой системы выбраны минимальными, обеспечивающими заданную точность и быстродействие.

КУ - регулятор следует включить перед усилителем мощности в маломощную цепь ошибки, как показано на рисунке 1.1. При этом следует помнить, что весь расчет ведется для линеаризованной модели САР, и вопрос согласования выхода КУ и входа УМ пока не затрагивается.

1.3 Анализ скорректированной САР в частотной области

1.3.1 Частотные характеристики разомкнутой системы

В предыдущем подразделе данной работы была решена задача синтеза КУ. Были получены его ПФ - формула и ПФ скорректированной разомкнутой системы. Процедура синтеза осуществлялась, исходя из достаточных соображений обеспечения качества проектируемой САР, определенного в ТЗ. В связи с этим, реальное качество скорректированной САР несколько выше заданного. Это позволит при малых отклонениях параметров системы, вызванных погрешностями технической реализации, сохранить номинальные показатели качества.

Следующая решаемая нами задача заключается в подробном исследовании скорректированной системы. Необходимо наглядно показать результаты коррекции, установить новые показатели качества. Решение данной задачи начнем с рассмотрения характеристик САР в частотной области. Напомним, что синтез велся частотными методами, т.е. на основе частотных характеристик.

Исследование начнем с рассмотрения ЧХ разомкнутого контура системы.

Рисунок 1.13 - ЛЧХ скорректированной разомкнутой САР

На рисунке 1.13 жирной линией изображены ЛЧХ скорректированной разомкнутой системы. Пунктиром показаны аналогичные характеристики нескорректированной системы. Это позволяет наглядно показать результаты коррекции. Как видим из рисунка, коррекция проявляется в деформации фазовой характеристики в окрестности частоты среза. При этом амплитудные характеристики исходной и преобразованной систем практически одинаковые. Различие есть только в высокочастотном диапазоне. Деформация фазовой характеристики, как видно из рисунка, позволяет значительно увеличит запасы устойчивости системы.

По частотным характеристикам разомкнутой системы велся синтез КУ. На рисунке 1.11 представлены асимптотические ЛАХ исходной и скорректированной систем. На рисунке 1.12 изображены ЛФХ этих систем, причем на этом рисунке по формулам и построена запретная область по показателю колебательности M = 1.25. Т.к. деформированная ЛФХ не заходит в запретную область, то можно утверждать о выполнении требований по качеству в переходных режимах.

Эквивалентной формой представления ЧХ разомкнутой системы является годограф Найквиста.

Рисунок 1.14 - Годографы Найквиста скорректированной системы

На рисунке 1.14 изображен годограф Найквиста скорректированной системы в двух масштабах. Слева годограф имеет маленький масштаб, что позволяет анализировать поведение АФЧХ в диапазоне низких частот. Из этого рисунка видно, что замкнутая система имеет первый порядок астатизма. Справа годограф Найквиста представлен в крупном масштабе, который показывает высокочастотный диапазон АФЧХ разомкнутой системы. Из этого рисунка, например, видно, что годограф заканчивается в первом квадранте, т.е. при частоте, стремящейся к бесконечности, фаза частотной ПФ стремится к нулю.

Рисунок 1.15 - Годограф Найквиста скорректированной САР в среднем масштабе

На рисунке 1.15 нанесены линии уровня по логарифмической амплитуде замкнутой системы, построенные по формулам. По этим линиям уровня можно построить ЛЧХ замкнутой системы или определить некоторые показатели качества. Так показатель колебательности проектируемой САР можно найти как амплитуду, соответствующую линии уровня, которая касается годографа Найквиста. В самом деле, амплитуда замкнутой системы возрастает с уменьшением радиуса окружности. Следовательно, максимальная амплитуда будет при минимальном радиусе. А минимальный радиус будет у окружности, касающейся годографа АФЧХ разомкнутой системы.

Таким образом, в плоскости АФЧХ можно построить запретную зону по показателю колебательности, которая будет представлять собой окружность с центром и радиусом, вычисляемыми по формуле. На рисунке 1.15 уже имеется окружность, соответствующая 2 дБ амплитуды замкнутой системы. Если 2 дБ преобразовать в абсолютное значение амплитуды, получим M = 1.2589. Однако годограф Найквиста не заходит в эту окружность. Следовательно, реальное значение показателя колебательности скорректированной системы ниже 1.25. Т.е. требования ТЗ выполнены. Точное значение показателя колебательности будет определено позже, т.к. годограф Найквиста не удобен для точного определения значений.

На рисунке 1.15 пунктиром показан годограф Найквиста нескорректированной системы. Это позволяет наглядно оценить результаты коррекции, которая проявляется в деформации АФЧХ в среднечастотном диапазоне. За счет этого повышается качество переходных процессов в системе. Из рисунка 1.15 можно также оценить увеличение запасов устойчивости скорректированной САР. Напомним, что запас устойчивости по амплитуде определяется точкой пересечения годографом Найквиста отрицательной действительной полуоси комплексной плоскости. Запас устойчивости по фазе находится как угол между этой полуосью и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографом АФЧХ окружности единичного радиуса. Как видим из рисунка, включение в контур САР КУ позволило повысить запас устойчивости по амплитуде не менее чем в 3 раза, а запас устойчивости по фазе более чем в 5 раз. Точные значения запасов устойчивости скорректированной САР можно определить по графикам ЛЧХ, приведенным на рисунке 1.13, используя функции среды MatLab.

Полученные значения: дБ на частоте радс.

Эти значения можно получить и без помощи средств автоматизации типа MatLab. Для этого нужно найти частоту среза разомкнутой системы и критическую частоту из условий:

и ,

где - ЛАХ, - ЛФХ разомкнутой САР.

Аналитические выражения для ЛАХ и ЛФХ можно получить из формулы, выполнив подстановку s = jw и выделив из полученной комплексной функции выражения для амплитуды и фазы. Запасы устойчивости находятся по формулам:

- запас устойчивости по амплитуде,

- запас устойчивости по фазе.

По величине запаса устойчивости по амплитуде можно найти критическое значение коэффициента передачи разомкнутого контура САР, при котором система попадет на границу устойчивости. В пункте 1.1.4 это значение вычислялось для системы с пропорциональным регулятором. Для этого использовалась формула.

.

Соответствующий коэффициент усиления КУ равен

.

Таким образом, скорректированная система имеет значительный запас устойчивости. Сравнивая, полученные ранее значения запасов, приведенные в таблице 1.2, с текущими значениями, отмечаем положительные результаты коррекции. Заметим, что согласно хорошо демпфированная система имеет запас устойчивости по амплитуде 6…20 дБ и запас устойчивости по фазе 30…60?. Скорректированная система этим требованиям удовлетворяет. Следовательно, можно говорить о положительных результатах синтеза КУ для проектируемой САР.

1.3.2 Частотные характеристики замкнутой системы

Для характеристики процессов в замкнутой системе необходимо получить соответствующие ПФ. При этом следует учитывать, что вид ПФ зависит как от входной, так и от выходной переменной. Выражения для ПФ замкнутой скорректированной САР по различным выходам представлены ниже. Для их получения использовались формулы, а также исходные данные, приведенные в ТЗ.

1) Передаточная функция разомкнутой системы:

.

2) Передаточная функция «вход - выход ДОС»:

.

3) Передаточная функция «вход - выход системы»:

.

4) Передаточная функция «вход - выход УМ»:

.

5) Передаточная функция «вход - ошибка системы»:

.

Кроме того, справедливы следующие соотношения:

,

.

Все параметры приведенных ПФ заданы в ТЗ и таблице 1.6. На основе этих формул могут быть получены частотные характеристики исследуемой замкнутой системы, в результате подстановки s = jw. Форма представления ЧХ может быть различной - годограф АФЧХ, АЧХ и ФЧХ, ЛАХ и ЛФХ, ВЧХ и МЧХ, однако смысл остается неизменным. ЧХ отражают реакцию системы на гармонический сигнал произвольной частоты, по которой можно однозначно судить о параметрах минимальнофазовой системы. Неминимальнофазовые системы в рамках данной работы не рассматриваются.

Рассмотрение частотных характеристик замкнутой системы начнем с ЛЧХ.

Рисунок 1.16 - ЛЧХ скорректированной замкнутой САР «вход-выход ДОС»

На рисунке 1.16 жирной линией изображены ЛЧХ скорректированной системы. Пунктиром показаны аналогичные ЛЧХ системы с пропорциональным регулятором. Из рассмотрения этого рисунка можно сделать выводы о результатах коррекции. ЛАХ исходной системы имела ярко выраженный пик, свидетельствующий о близости к границе устойчивости. Если бы система находилась на границе устойчивости, то этот пик ушел бы в бесконечность, образуя вертикальную асимптоту. Такую характеристику, например, имеет консервативное звено 2-го порядка. В скорректированной системе пик значительно меньше - едва заметен. Следовательно, показатель колебательности, определяемый этим пиком будет также иметь маленькое значение.

ЛФХ исходной системы имеет заметный излом на частоте, соответствующей пику ЛАХ. Этот вертикальный участок также имеет место на фазовой характеристике консервативного звена. При рассмотрении ЧХ некоторой системы очень часто можно наблюдать их схожесть с ЧХ типовых звеньев. В некоторых случаях, если схожесть очевидна, то возникает возможность аппроксимации более сложных характеристик простыми выражениями. При этом ПФ типовых звеньев известны с точностью до постоянных времени, которые необходимо определить аналитически. Однако в случае рассматриваемой системы аппроксимация не принесет результатов.

Сравним ЛЧХ разомкнутой и замкнутой скорректированной системы.

Рисунок 1.17 - ЛЧХ разомкнутой и замкнутой системы «вход-выход ДОС»

На рисунке 1.17 жирная линия соответствует ЛЧХ замкнутой системы, тонкая линия - ЛЧХ разомкнутой системы. Данный рисунок показывает, как отражается замыкание жесткой обратной связи на частотных характеристиках системы. Как видим, в диапазоне высоких частот ЛЧХ разомкнутой и замкнутой системы не имеют заметных различий. Высокочастотный диапазон мало влияет на качество системы, поэтому, исходя из данного факта, сложно судить о преимуществах или недостатках замкнутой системы. Однако в диапазоне низких и средних частот характеристики различаются. Прежде всего, из рисунка видно наличие нулевого полюса в ПФ разомкнутой системы. В замкнутой системе этот полюс пропадает, аналогично тому, как охват интегратора обратной связью преобразует его в апериодическое звено. Исходя из теорем Ляпунова об устойчивости, наличие нулевого полюса соответствует безразличному положению равновесия системы, или устойчивому равновесию относительно скорости. Проектируемая нами система не должна находиться в состоянии безразличного равновесия, когда выходная величина зависит не только от входной величины. Поэтому охват системы ОС необходимая мера, позволяющая формировать управления, на основе текущего состояния объекта.

Отметим также, что замкнутая система не имеет признаков форсирующих свойств, как, например, наличие точки максимума ЛФХ разомкнутой системы. В свою очередь, ЛАХ разомкнутой системы не имеет резонансного пика, соответствующего колебательным звеньям. Т.е. замыкание ОС преобразует некоторые звенья 1_го порядка в колебательные.

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены