1.4.1 Оценки прямых показателей качества по ЧХ

Для анализа переходных процессов в системе не обязательно строить временные характеристики этих процессов. Поскольку частотные характеристики представляют собой одну из форм описания системы, то по ним можно вести анализ САР во временной области. Так в рассматривается использование ВЧХ системы для построения кривой ее переходного процесса. А в рассматривается оценка прямых показателей качества системы по виду ее ВЧХ.

ПФ также является формой описания системы и по ее виду можно судить о свойствах протекающих в системе переходных процессов. Ранее нами получены ПФ скорректированной замкнутой системы по основным выходам - формулы - На основе этих формул можно провести простейший анализ переходных процессов, вызванных подачей на вход системы единичного ступенчатого сигнала. Реакция системы на такое входное воздействие есть, по определению, переходная характеристика h.

Согласно теореме о предельных значениях справедливы формулы

.

Переходная характеристика может быть найдена по формуле

.

Подставляя выражение в формулу получим соотношения, позволяющие на основе ПФ замкнутой системы определять начальное и установившееся значения ее переходной характеристики.

.

Используя полученные соотношения, можно определить начальное и установившееся значения переходных характеристик замкнутой системы по различным выходам. Для этого следует поочередно подставлять ПФ - в соотношения. Проделав, это прейдем к следующим результатам.

Таблица 1.8 - Начальные и установившиеся значения переходных характеристик

Из всех приведенных в таблице 1.8 значений от параметров системы зависят только два: установившееся значений переходной характеристики на выходе системы и начальное значение переходной характеристики, соответствующей выходу УМ. Выражения этих значений через параметры системы имеют вид:

и .

Первое значение h_уст зависит лишь от коэффициента передачи ДОС. Здесь имеет место уже рассмотренная в подразделе 1.3.2 связь между выходным сигналом системы и сигналом с ДОС. Второе значение h₀ на выходе УМ определяется многими параметрами системы: коэффициентом передачи от входа системы до входа ОУ и постоянными времени КУ. Т.е. это значения определяется всеми параметрами участка цепи от входа системы до выхода УМ. Заметим, что полученное значение h₀ соответствует графику АЧХ замкнутой системы «вход-выход УМ». Остальные найденные значения можно также проверить по Рафикам АЧХ. Только следует учитывать, что начальное значение АЧХ соответствует установившемуся значению переходной функции и наоборот.

По частотным характеристикам САР можно также оценить прямые показатели качества, такие как время регулирования и перерегулирование. Удобнее всего для этого воспользоваться вещественной частотной характеристикой замкнутой системы, представленной на рисунке 1.22. Связь между ЧХ и прямыми показателями качества нами уже рассматривалась при синтезе КУ. Только там мы решали обратную задачу: по заданным прямым показателям качества получить частотные. Рассмотрение ВЧХ соответствует ранее разобранной методике Солодовникова. Найдем прямые показатели качества.

Из графика ВЧХ нам известны величины и рад/с. Солодовниковым получены графики зависимостей этих величин от прямых показателей качества. По этим графикам найдем искомые значения

,

с.

Полученные значения носят оценочный характер ввиду того, что связь между прямыми и частотными показателями качества опирается на рассмотрение Солодовниковым типовой ВЧХ системы. ВЧХ исследуемой нами системы несколько отклоняется от нее в диапазоне частот, правее w_п.

Прямые показатели качества можно определить, исходя из методики Бесекерского, а именно по используемой зависимости времени регулирования и перерегулирования от показателя колебательности. Найденное ранее, значение показателя колебательности скорректированной системы M = 1.21. В приводятся графики необходимых зависимостей. По этим графикам найдем , с.

Полученные значения и близки к найденным до этого и.

Значение базовой частоты определяется формулой.

Полученные оценки соответствуют замкнутой системе «вход выход ДОС».

1.4.2 Коэффициенты ошибок скорректированной САР

Первым требованием к проектируемой нами системе согласно ТЗ является требование по точности при воспроизведении сигнала с постоянной скоростью. Это требование накладывает ограничение на коэффициент ошибки C₁, соответствующий такому входному сигналу. Исследуем точность скорректированной системы.

Точность системы можно определять по коэффициентам ошибок. Коэффициенты ошибок характеризуют влияние каждой производной входного сигнала на вынужденную составляющую ошибки системы. В пункте 1.1.2 было рассмотрено определение коэффициентов ошибок и основные теоретические понятия, связанные с ними. Так сущность определения коэффициентов ошибок отражена формулой, из которой следует формула, используемая для нахождения произвольного коэффициента ошибок. Найдем на основе этой формулы первые три коэффициента ошибок скорректированной замкнутой системы, учитывая, что ПФ по ошибке нам известна - формула.

Таблица 1.9 - Коэффициенты ошибок скорректированной САР

Проанализируем полученные данные. Равенство нулю первого коэффициента ошибок очевидно, в силу того, что рассматриваемая нами система имеет первый порядок астатизма. Второй коэффициент ошибок имеет значение, удовлетворяющее требованиям ТЗ. Кроме того, имеется определенный запас по точности у линеаризованной скорректированной САР, определяемый разностью полученного значения C₁ и предельного, указанного в ТЗ. Коэффициент ошибок C₃ имеет значение, примерно в четыре раза меньшее значения предыдущего коэффициента C₁. Это соответствует хорошей точности скорректированной САР.

Все найденные значения коэффициентов ошибок зависят от коэффициента передачи разомкнутой системы. Кроме того, от него будут зависеть и коэффициенты ошибок большего порядка, причем характер зависимости - обратный. В связи с этим наиболее эффективный способ повышения точности системы - увеличение коэффициента передачи разомкнутого контура. Зависимость коэффициента C₂ от постоянных времени носит прямой порядок. Т.е. инерционность системы неблагоприятно влияет на ее точность.

Заметим, что область применения формулы для нахождения коэффициентов ошибок, сильно ограничена. ПФ реальных систем обычно имеют большой порядок. В связи с этим непосредственное дифференцирование становится проблематичным и ограничивается обычно третьим-четвертым порядком. Для отыскания коэффициентов ошибок более высокого порядка могут использоваться другие методы, например, метод деления многочлена числителя ПФ по ошибке на многочлен знаменателя.

1.4.3 Корневые оценки прямых показателей качества САР

Оценку прямых показателей качества системы можно произвести на базе корневых показателей. Корневые показатели качества САР основаны на значениях нулей и полюсов ПФ, их расположении на комплексной плоскости. Основными корневыми показателями качества являются:

1) Степень устойчивости з - абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси полюса ПФ рассматриваемой системы. Степень устойчивости применяется для оценки быстродействия системы, т.е. времени регулирования.

2) Коэффициент колебательности м - максимальное отношение мнимой части комплексного корня характеристического уравнения системы к действительной части. Коэффициент колебательности является оценкой запаса устойчивости системы и характеризует склонность системы к колебательным переходным процессам. Эти же свойства оценивает прямой показатель качества - перерегулирование.

3) Параметр о - абсолютное значение действительной части наиболее удаленного от мнимой оси полюса ПФ рассматриваемой системы. Может применяться в совокупности с другими показателями качества для характеристики разброса полюсов ПФ. В частности по этим трем показателям можно построить в комплексно плоскости трапецию, в которой будут находиться все корни характеристического уравнения системы.

Вопрос применения корневых показателей качества хорошо освещен в.

Рассмотрим вариант замкнутой проектируемой системы, когда выходом является сигнал с ДОС. В этом случае ПФ замкнутой системы имеет вид. Знаменатель ПФ соответствует характеристическому уравнению системы. Его корни - полюса ПФ. Нули ПФ многочлена числителя. Определим нули и полюсы ПФ замкнутой системы.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Уравнение для нулей ПФ замкнутой системы:

.

Найденные корни уравнений сведены в таблицу.

Таблица 1.10 - Нули и полюсы ПФ замкнутой системы «вход-выход ДОС»

Полученные значения нулей и полюсов удобно изобразить на комплексной плоскости.

Рисунок 1.23 - Нули и полюсы ПФ замкнутой системы «вход-выход ДОС»

На рисунках 1.23 и 1.24 изображены комплексные плоскости с нанесенными на них нулями и полюсами ПФ замкнутой системы. На первом рисунке используется мелкий масштаб, позволяющий вместить все точки. На втором рисунке комплексная плоскость представлена в крупном масштабе, позволяющим анализировать расположение наиболее существенных корней характеристического уравнения системы. Заметим, что характеристическое уравнение системы не зависит от того, какой сигнал мы считаем выходным при замыкании. В самом деле, из формул - видно, что знаменатель ПФ замкнутой системы всегда одинаковый, а меняется лишь числитель.

Как видно из таблицы 1.10 и рисунков 1.23 и 1.24 среди корней характеристического уравнения системы есть одна пара комплексно-сопряженных. Остальные три корня являются действительными. Единственный ноль ПФ является действительным. Следовательно, замкнутую систему можно рассматривать как последовательное соединение одного форсирующего звена, трех апериодических и одного колебательного. Последнее, в основном, характеризует колебательные свойства переходных процессов в системе. В дальнейшем будет рассмотрено, как влияет расположение нулей и полюсов ПФ на переходные процессы в рассматриваемой системе.

Рисунок 1.24 - Нули и полюсы ПФ замкнутой системы «вход-выход ДОС»

Определим корневые показатели качества замкнутой САР. Заметим, что они определяются лишь полюсами ПФ, и, следовательно, не зависят от выбранного выхода системы.

Таблица 1.11 - Корневые показатели качества замкнутой САР

При рассмотрении полюсов ПФ можно выделить доминирующие полюсы. Доминирующими являются те полюсы ПФ, влияние которых на некоторое свойство системы преобладает. Причем свойство системы обычно сопоставляется с некоторым показателем качества.

Если рассматривать быстродействие системы, то оно определяется временем затухания свободных составляющих решения дифференциального уравнения системы. Скорость затухания различных составляющих разная. Она определяется показателем экспоненты, соответствующей рассматриваемой составляющей. При оценке быстродействия можно не учитывать экспоненты с большими отрицательными показателями, вследствие их относительно быстрого затухания. Для наиболее простого приближения, логично рассмотреть лишь экспоненту с наименьшим отрицательным показателем.

Показателями экспонент в свободных составляющих решения д.у. системы являются действительные части корней характеристического уравнения или полюсов ПФ системы. Следовательно, наиболее медленно затухающей экспоненте соответствует ближайший к мнимой оси полюс ПФ. Этот полюс при характеристике быстродействия является доминирующим. В нашем случае это 5-й полюс в таблице 1.10. В общем случае доминирующим полюсом по быстродействию являются тот, которому соответствует степень устойчивости з.

При рассмотрении колебательных свойств переходных процессов в системе следует анализировать пары комплексно сопряженных полюсов. Именно эти полюсы, которым соответствуют колебательные звенья, обуславливают колебательные переходные процессы. Это вызвано тем, что свободная составляющая решения д.у. системы в этом случае определяется как произведение экспоненциальной функции на синусоидальную. Можно показать, что колебательные свойства будут проявляться тем больше, чем больше аргумент комплексного полюса ПФ. Исходя из этого, в качестве доминирующих полюсов по колебательности следует выбрать ту пару комплексно-сопряженных полюсов, которой соответствует коэффициент колебательности м. В нашем случае это 3-й и 4-й полюс в таблице 1.10.

По найденным корневым показателям качества можно оценить прямые показатели качества: время регулирования и перерегулирование.

Таблица 1.12 - Корневые оценки прямых показателей качества

Сравним приведенные в таблице 1.12 значения прямых показателей качества с ранее найденными оценочными значениями, полученными по частотным показателям качества, которым соответствуют формулы и. Видим, что значения отличаются. Причем приоритет следует отдавать именно значениям и как более точным. В самом деле, оценки по корневым показателям качества носят сильно приближенный характер. При оценке быстродействия учитывается время затухания самой медленной экспоненты. Этот подход справедлив, если все слагаемые свободной составляющей решения д.у. представляют собой чисто экспоненциальные функции. В нашем же случае достаточно близко к мнимой оси располагается пара комплексно-сопряженных полюсов ПФ. Им соответствует «экспоненциально-синусоидальная» свободная составляющая, при некоторых параметрах которой возможно снижение времени переходного процесса.

Приведенное в таблице 1.12 оценочное значение перерегулирования получено при аппроксимации проектируемой системы колебательным звеном. Этот подход не всегда дает точный результата в силу того, что не учитываются реакции других апериодических и колебательных звеньев.

Заметим, что к оценке качества переходных процессов по корневым показателям следует подходить очень осторожно. Общая реакция системы на входное воздействие формируется наложением всех реакций апериодических и колебательных звеньев. При этом возможны самые разнообразные случаи. Так можно получить переходный процесс, очень близкий к колебательному, при отсутствии комплексно-сопряженных полюсов ПФ, в результате суммирования экспоненциальных свободных составляющих.

Рассмотрим подробнее влияние расположения нулей и полюсов ПФ на свойства переходного процесса в системе. Реакция линейной системы на входное воздействие складывается из свободной и вынужденной составляющих. Вынужденная составляющая соответствует входному сигналу. Свободная составляющая определяет переходный процесс системы. Пусть задана некоторая ПФ:

.

Свободная составляющая решения дифференциального уравнения, соответствующего этой ПФ может быть записана в виде

.

Если есть некоторая пара комплексно-сопряженных корней, то им соответствует составляющая следующего вида:

.

Следовательно, полюса ПФ определяют показатели экспоненциальных функций и частоты синусоидальных функций. Коэффициенты этих функций определяются как полюсами, так и нулями ПФ.

Суммарная свободная составляющая получается в результате суммирования всех компонент, обусловленных полюсами ПФ. Т.е. она представляет собой сумму экспоненциальных функций и экспоненциально затухающих колебаний с различными параметрами. В результате суммирования могут получаться различные зависимости, определяющие монотонные и колебательные переходные процессы с перерегулированием и без него. Для конкретной системы, зная нули и полюсы ее ПФ, можно приближенно построить суммарную свободную составляющую. После чего построить кривую переходного процесса. Причем наиболее удобным является рассмотрение переходной характеристики, т. к. в этом случае вынужденная составляющая решения д.у. есть константа. Кроме того, приближенную оценку вида переходных процессов можно сделать, рассматривая доминирующие полюсы ПФ системы.

В общем случае установить закономерность между расположением нулей и полюсов ПФ на комплексной плоскости и видом, а тем более качеством, переходных процессов весьма проблематично. Для этого удобнее использовать ЧХ.

В приводятся следующие рекомендации к расположению нулей и полюсов.

1) Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей от области полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе.

2) Для уменьшения отклонений в переходном процессе частот бывает выгодно удалять полюсы друг от друга.

3) Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которые расположены далеко от мнимой оси.

2. Отработка типовых входных сигналов

2.1 Единичное ступенчатое воздействие

линеаризация корректирующий синтезированный сигнал

В предыдущих пунктах работы рассматривались различные оценки прямых показателей качества проектируемой системы. Были найдены оценки прямых показателей качества по ВЧХ - формулы и, по АЧХ - формулы и, а также корневые оценки, приведенные в таблице 1.12. Все эти значения носят приближенный оценочный характер. Действительные значения прямых показателей качества определяются по временным характеристикам системы. В данном разделе мы рассмотрим временные характеристики проектируемой САР при воздействии на вход системы типовых входных сигналов, перечисленных в ТЗ. Каждый типовой сигнал соответствует определенному идеализированному режиму работы системы, имеющему практическую важность.

Самым распространенным входным воздействием является ступенчатый сигнал. Он позволяет исследовать качество переходных и установившихся режимов работы системы. В начальный момент времени ошибка в системе становится максимальной, и начинается переходный процесс. Этот процесс легко анализировать, учитывая, что установившейся значение соответствует входной ступеньке. По параметрам отклонения от этой ступеньки в течение переходного режима можно делать выводы о качестве переходного режима. После того, как переходный процесс завершился можно установить точность системы на основе разницы уровней текущего установившегося значения и требуемого, которое определяется амплитудой ступеньки и коэффициентом передачи замкнутой системы.

Для расчета переходных характеристик будем использовать встроенный метод среды MatLab. Его входными данными являются передаточная функция системы и интересующий нас интервал времени, на котором будет построена переходная характеристика. На выходе получаем готовый график переходной характеристики, построенный по заданному количеству точек.

В основе встроенного метода лежит преобразование исходной модели «вход-выход» в модель «вход-состояние-выход». Затем преобразованная модель дискретизируется с определенным периодом дискретизации. После чего используется итеративный алгоритм приближенного интегрирования 1-го порядка.

Данный метод интегрирования имеет не высокую точность по отношению к другим, но при достаточно малом шаге интегрирования вопрос о точности отпадает.

При использовании встроенного метода получения временных характеристик расчет велся не менее чем по 10000 точек. Вследствие чего можно говорить о приемлемой точности. Кроме того, несмотря на то, что используется метод интегрирования 1-го порядка, шаг интегрирования представляет собой динамическую величину, поэтому переходный режим отражается с большей точностью, нежели установивший режим.

Используя описанный метод, вычислим переходные характеристики скорректированной САР по разным выходам. Для этого воспользуемся ранее полученными ПФ замкнутой системы по выходу Y, по выходу ДОС, по выходу УМ.

Заметим, что ПФ есть отношение изображений по Лапласу выходной координаты к входной. Поэтому можно просто определить изображение временной характеристики как произведение ПФ на изображение входного сигнала. Однако мы будем пользоваться встроенным методом среды MatLab.

Рисунок 2.1 - Переходная характеристика САР по выходу Y

Рисунок 2.2 - Переходная характеристика САР по выходу ДОС

Проанализируем полученные зависимости. На рисунках 2.1 и 2.2 приведены переходные характеристики системы по выходу Y и выходу УМ. Сравнивая их, отмечаем почти полное совпадение кривых. Единственным заметным различием является масштаб по оси ординат. Как отмечалось ранее при анализе АЧХ замкнутой системы, при низких и средних частотах сигналов выход Y и выход ДОС отличаются только масштабным коэффициентом K_ДОС.

Рисунок 2.3 - Переходная характеристика САР по выходу УМ

Это обусловлено тем, что ДОС - по сути, фильтр низких частот с большой полосой пропускания. Поэтому график переходной характеристики по выходу ДОС можно получить, увеличив пропорционально в K_ДОС раз график характеристики по выходу Y. Однако следует учитывать, что равенство в этом случае будет приближенное. В дальнейшем при анализе предпочтение будем отдавать характеристикам, снятым с выхода ДОС.

График переходной характеристики по выходу ДОС имеет всего одно отчетливое колебание, по которому определяется перерегулирование системы. Это, безусловно, хороший показатель, т. к. редко требуется, чтобы переходный процесс был колебательным. Можно даже полагать, что переходная характеристика имеет вид монотонного переходного процесса с перерегулированием. Монотонные переходные процессы характеризуются меньшим временем регулирования. Как видим из рисунков 2.1 и 2.2 время регулирования заметно ниже требуемого в ТЗ значения. При определении времени затухания переходного процесса использовалась полоса шириной 5% от установившегося значения.

Анализируя переходную характеристику по выходу УМ, отмечаем ее отличие от предыдущих графиков. В начальный момент времени на ОУ подается сигнал максимальной амплитуды, а в установившемся режиме нулевой сигнал. Это соответствует реальности. Как отмечалось во введении нами реализовано управление по отклонению. В начальный момент времени ошибка в системе максимальна. Следовательно, на вход ОУ подается сигнал максимальной амплитуды. После протекания переходного процесса ОУ перемещается в новое желаемое положение равновесия. Ошибка принимает минимальное значение. Вследствие чего, на ОУ не должен подаваться никакой сигнал, что видно на графике.

Ранее, в пункте 1.4.1, при помощи теоремы о предельных значениях были найдены начальные и установившиеся значения переходных характеристик. Сравним значения, приведенные в таблице 1.8, с аналогичными значениями, непосредственно определенными по графикам переходных характеристик. Заметим, что среда MatLab позволяет как угодно масштабировать анализируемые графики, вследствие этого их можно использовать для точного определения значений. В этом одно из важнейших преимуществ электронного варианта графической зависимости над бумажным, используемым только для выявления общих закономерностей.

Таблица 2.1 - Сравнение граничных значений переходных характеристик

Как видно, значения совпадают со значениями, определенными в данном пункте. Этого следовало ожидать, т.к. в основе обоих методов лежат математически обоснованные суждения. Возможные расхождения результатов, обусловленные численным интегрированием, пресекаются высокой точностью моделирования в среде MatLab.

2.1.2 Определение прямых показателей качества

Прямые показатели качества, по определению, это значения, характеризующие близость системы к некому идеалу в рассматриваемой области свойств, определяемы непосредственно по графику переходной характеристики. Среди множества прямых показателей качества мы рассматриваем два наиболее распространенных: перерегулирование и время регулирования. Именно на них наложены ограничения в ТЗ. Определим по графикам переходных характеристик для выхода системы и выхода ДОС прямые показатели качества скорректированной САР.

Время регулирования определяется как момент времени, начиная с которого значения переходной характеристики не отклоняются от установившегося значения более чем на 5%. Для удобства определения времени регулирования на графиках переходных характеристик построена пятипроцентная область отклонений от установившегося значения. С физической точки зрения времени регулирования соответствует время, за которое в системе затухают все переходные процессы.

Перерегулирование характеризует максимальное превышение графиком h его установившегося значения. При определении перерегулирования справедлива формула

.

Найденные прямые показатели качества удобно представить в виде таблице. Также в эту таблицу для сравнения можно включить определенные в предыдущих пунктах оценки прямых показателей качества - и корневые оценки - таблица 1.12).

Таблица 2.2 - Прямые показатели качества проектируемой САР

Сравним приведенные в таблице 2.2 значения. Еще раз отмечаем приближенное равенство показателей качества системы по выходу Y и по выходу ДОС, причины которого разобраны в предыдущих пунктах работы. Среди оценочных значений наиболее близкими являются оценки по АЧХ замкнутой системы. Именно этим оценкам было отдано предпочтение при синтезе КУ. Как видим, выбор себя оправдал. Оценки по ВЧХ также являются достаточно близкими. Однако оценочное значение времени регулирования по ЧХ в обоих случаях завышено. Корневые оценки прямых показателей качества в нашем случае наиболее далеки от истины. Оценка времени регулирования превышена более чем в 2 раза, а оценка перерегулирования в 2 раза занижена. Из анализа таблицы 2.2 можно сделать вывод о том, что частотные оценки прямых показателей качества по точности превосходят корневые оценки.

Сравнивая действительные значения прямых показателей качества по выходу ДОС, с ограничениями, приведенными в ТЗ, отмечаем, что скорректированная система им удовлетворяет. Кроме того, существует определенный запас по качеству: для перерегулирования около 2.5% и для времени регулирования около 0.19. Т.е. по быстродействию скорректированная система более чем в 2 раза превышает требования ТЗ. Этому способствует хороший вид переходной характеристики - монотонный переходный процесс с перерегулированием. Превышение качества следует считать положительным фактором, т. к. оно позволяет оставаться в заданных в ТЗ пределах даже при некоторых отклонениях параметров САР, обусловленных погрешностями технической реализации. На стоимости это вряд ли отразится, т.к. при синтезе КУ учитывалась и простота его реализации. Однако следует помнить, что мы рассматриваем линеаризованную модель.

Одной из нелинейностей является ограничение на зону линейности УМ. Найдем граничную величину амплитуды ступенчатого сигнала, при которой УМ будет работать в зоне линейного усиления. Для этого воспользуемся переходной характеристикой по выходу УМ. Ее максимальное значение есть В. УМ будет работать в зоне линейности, если на выходе будет сигнал с амплитудой не более В. При изменении амплитуды ступеньки, пропорционально меняется масштаб графика h по оси ординат. Следовательно, для того, чтобы величина h₀ не превосходила , необходимо, чтобы амплитуда ступеньки не превосходила значения:

В.

При амплитуде ступеньки не более чем X₀ УМ будет работать в зоне линейности.

2.2 Сигнал с постоянной скоростью