Работа с символьным процессором

3

Работа с символьным процессором



Возможности символьного процессора (Symbolic)

Символьными называются такие вычисления, результаты работы которых представляются в аналитическом виде, т. е. В виде формул. В частном случае он может быть и числом. Вычисления в символьном виде отличаются большей общностью и позволяют судить о математических, физических и иных закономерностях решаемых задач. Системы компьютерной математики, выполняющие символьные вычисления, принято называть системами символьной математики или системами компьютерной алгебры.

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения символьных вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше этих формул в ядре, тем надежней работа символьного процессора и тем вероятнее, что поставленная задача будет решена, если такое решение существует в принципе, что бывает далеко не всегда.

Меню Symbolics

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция. Само выражение в таком случае не выделяется, т.к. и так ясно, что если выделена переменная какого-либо выражения, то символьная операция относится к этому выражению.

Символьные.

Рассмотрим только символьные вычисления, выполняемые в командном режиме, т.е. те, которые реализуются командами меню Symbolics (Символы).

Символьные вычисления в командном режиме имеют два важных аспекта:

Они выполняются только над явными выражениями, поэтому присутствие в выражениях функций пользователя недопустимо;

Результат может выводиться ниже исходного выражения, справа или слева от него. Способ вывода задается командой Evaluate Style (стиль преобразования).

При выполнении символьных операций иногда приходится сталкиваться с неприятной и трудной проблемой- «разбуханием» результатов, как промежуточных, так и конечных. Решения, которые хорошо известны, система обычно выдает в виде, описанном в справочнике или учебнике. Но иногда даже незначительное усложнение задачи может породить очень сложное и громоздкое решение. В этом случае решение (по запросу системы) можно поместить в буфер обмена и использовать его для оценки пользователем (но не для дальнейших преобразований системой в автоматическом режиме).

Операции с выделенными выражениями

С выделенными выражениями допустимы следующие операции:

Evaluate (Вычислить) -- преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю;

Simplify (Упростить) -- упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение дроби к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т. д.;

Expand (Разложить по степеням) -- раскрыть выражение, например, для (Х+ Y) (Х- Y) получаем X²- Y²;

Factor (Разложить на множители) -- разложить число или выражение на множители, например X²-Y² даст (X+ Y) (X-Y);

Collect (Разложить по подвыражениям) -- собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения);

Polynomial Coefficients(Полиномиальные коэффициенты) -- найти коэффициенты полинома по заданной переменной, приближающего выражения, в котором эта переменная использована.

Операции с выделенными переменными

С выделенными переменными можно выполнять следующие операции:

Solve (Решить) -- решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной, т.е. найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю;

Substitute (Заменить переменную) -- заменить указанную переменную содержимым буфера обмена, т.е. обеспечить подстановку;

Differentiate(Дифференцировать) -- дифференцировать все выражение, содержащее выделенную переменную, по отношению к этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы);

Integrate (Интегрировать) -- интегрировать все выражение, содержащее выделенную переменную, по этой переменной;

Expand to Series(Разложить в ряд) -- найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной;

Convert to Partial Fraction(Разложить на элементарные дроби) -- разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.



Операции с выделенными матрицами

В подменю Matrix (Матричные операции), имеется свое подменю со следующими командами:

Transpose (Транспонировать) -- получить транспонированную матрицу;

Invert (Обратить) -- получить обратную матрицу;

Determinant (Определитель) -- вычислить детерминант (определитель) матрицы.

Операции преобразования

Подменю Transform(преобразования) меню Symbolics содержит раздел операций преобразования

Fourier(Преобразование Фурье) -- выполнить прямое преобразование Фурье

относительно выделенной переменной;

Inverse Fourier(Обратное преобразование Фурье) -- выполнить обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Laplace (Преобразование Лапласа) -- выполнить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат -- функция от переменной s);

Inverse Laplace(Обратное преобразование Лапласа) -- выполнить обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат -- функция от переменной t);

Z (Z-преобразование) -- выполнить прямое Z-преобразование выражения относительно выделенной переменной (результат -- функция от переменной z);

Inverse Z(Обратное Z-преобразование) -- выполнить обратное Z-преобразование относительно выделенной переменной (результат -- функция от переменной n) .

Управление выводом результатов символьных преобразований

Для управления выводом символьных операций служит команда

Evaluation Style(Стиль преобразования), которая задает, где будет выведен результат символьной операции - под основным выражением, рядом с ним или вместо него.

Выделение объектов символьных операций

Для проведения символьных операций нужно, прежде всего, выделить объект, над которым эти операции будут выполняться. Если объект не выделен, соответствующие команды меню Symbolics недоступны, а сами операции выделены затененным шрифтом. Объектом операции может быть самостоятельное математическое выражение, часть такого выражения или заданной пользователем функции, результат предшествующей операции и т. д.

Напомним, что есть два вида выделения: пунктирными линиями и сплошными. Чтобы выделить выражение пунктирной линией, достаточно установить на него курсор-крестик, нажать клавишу Ctrl или Shift и воспользоваться левой клавишей мыши.

Можно заключить один или несколько объектов в рамку выделения. После отпускания кнопки мыши объекты оказываются выделенными - обведенными пунктирной линией.

Выделение пунктирной линией используется для перемещения объектов по окну. Для этого достаточно внутрь отмеченного объекта (выражения) поместить курсор мыши, нажать левую клавишу и, удерживая ее нажатой, перемещать мышь. При этом объект (или сразу несколько объектов) будет перемещаться по экрану и его можно оставить (отпустив клавишу мыши) на новом месте Напоминаем, что нажатие клавиши F3 ведет к переносу выражений в буфер обмена и стиранию их в окне. Нажатие клавиши F4 переносит выражения из буфера обмена на место, указанное курсором. Курсор можно перемещать как мышью, так и обычными клавишами управления им.

Для выполнения операций с символьным процессором нужно выделить объект (целое выражение или его часть) сплошными линиями, синими на экране цветного дисплея. Для выделения некоторой переменной в объекте нужно подвести к ее концу курсор мыши и нажать левую клавишу. Переменная будет помечена синим уголком, расположенным сразу после переменной. Перемещая указатель по полю объекта и нажимая левую клавишу повторно, можно выделить отдельные части выражения или выражение целиком.

Часть символьных операций производится указанием на объект как на выражение или его часть. Например, расширение или упрощение выражений требуют такого указания на объект Другие операции, такие, как вычисление производной или интеграла, требуют указания переменной, относительно которой производится операция, допустим, дифференцирования или интегрирования.

Если заданная операция невыполнима, система выводит в дополнительном окне сообщение об ошибке или просто повторяет выделенное выражение. Последнее означает, что операция задана корректно, но результат не может быть получен, например, если делается попытка разложить на множители объект, уже разложенный или не содержащий такого разложения в принципе.

Система MathCAD содержит пять типов символьных операций, выполняемых над объектами -- выделенными математическими выражениями. При этом под математическим выражением подразумевается как полная математическая формула, так и функционально полная часть какой-либо формулы. Ниже представлено описание символьных операций над выражениями.

Выполнение символьных вычислений

Подменю Evaluate (вычислить) содержит следующие команды:

o Symbolically(символические)- выполнить символьное вычисление выражения;

o Floating Point(с плавающей точкой)- выполнить арифметические операции в выражении, результат которого должен быть представлен в форме числа с плавающей точкой;

o Complex(в комплексном виде)- выполнить вычисление с представлением результата в комплексном виде.

Команда Symbolically (символические)

Команда Symbolically обеспечивает работу с математическими выражениями, содержащими встроенные в систему функции. При этом выражение может быть представлено в различном виде: полиномиальном, дробно-рациональном, в виде сумм и произведений, производных и интегралов и т. д. Данная символьная операция стремится произвести все возможные численные вычисления и представить выражение в наиболее простом виде. Возможно проведение этой операции над матрицами с символьными элементами. Производные и определенные интегралы, символьные значения которых вычисляются, должны быть представлены в своей естественной форме.

Операция Symbolically одна из самых мощных. Как видно на рисунке, она позволяет в символьном виде вычислять суммы (и произведения) рядов, производные и неопределенные интегралы, выполнять символьные и численные операции с матрицами.

Команда Floating Point

В MathCAD имеется возможность выполнения численных вычислений с повышенной точностью -- 20 знаков после запятой. Для перехода в такой режим вычислений нужно числовые константы в вычисляемых объектах задавать с обязательным указанием десятичной точки, например 10. 0 или 3. 0, а не 10 или 3. Этот признак является указанием на проведение вычислений такого типа.

Команда Floating Point практически лишена ограничения на количество цифр результата. Точнее говоря, она может дать результат с 4000 верными цифрами. При выборе этой команды появляется окно, в котором надо задать число цифр результата от 1 до 4000.

Однако, если количество цифр результата велико, система предлагает поместить результат в буфер обмена.

Команда Complex

Многие вычисления имеют смысл, только если задан режим комплексных вычислений. Таковы, например, вычисления квадратного корня из выражения, дающего отрицательное значение, вычисление asin(x) при x>1 и т.д. режим комплексных вычислений существенно расширяет возможности вычислений. Комплексные числа и функции широко используются в электротехнике, радиотехнике и в других областях науки и техники.

Упрощение выражений

Символьная операция Simplify (Упростить) позволяет упрощать математические выражения, содержащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами (полиномами).

Упрощение означает замену более сложных фрагментов выражений более простыми.

Эта команда открывает широкие возможности для упрощения сложных и плохо упорядоченных алгебраических выражений. На рисунке даны примеры применения операции Simplify.

С помощью операции Simplify можно выполнять символьные вычисления производных и определенных интегралов. Результатом вычислений могут быть специальные математические функции (см. пример, в котором символьное значение интеграла дает результат, выраженный через интегральный синус).

Вычисление производных

С помощью команды Simplify (Упростить) вполне возможно вычисление производных высшего порядка. На рисунке показано последовательное применение операции Simplify для вычисления производных алгебраического выражения, от первой до пятой включительно.

Для вычисления производных с помощью команды Simplify (Упростить) запись производных надо задать в явном виде - с применением операторов вычисления производных.

Вычисление интегралов

Система MathCAD содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенным численным методом. Ею целесообразно пользоваться, когда нужно просто получить значение определенного интеграла в виде числа. Однако команда Simplify применительно к вычислениям определенных интегралов делает гораздо больше -- она ищет аналитическое выражение для интеграла. Более того, она способна делать это и при вычислении кратных интегралов, пределы которых -- функции. Наглядный пример этому следующий:

Для вычисления интегралов с помощью команды Simplify (Упростить) запись вычисляемых интегралов надо задать в явном виде - с применением шаблонов интегралов.

Вычисление сумм и произведений

На рисунке показано применение операции Simplify для вычисления сумм и произведений символьных последовательностей. Результат операции получается в символьной форме (если она существует).

Для вычисления сумм и произведений с помощью команды Simplify (Упростить) их надо задать в явном виде - с применением шаблонов.

Надо помнить, что символьный процессор системы MathCAD обладает заметно урезанной библиотекой функций и преобразований. Поэтому часто система не находит решения в замкнутом виде, хотя оно и приводится в справочнике. Тогда система повторяет введенное выражение или сообщает об ошибке.

В результате преобразований могут появляться специальные функции -- как встроенные в систему (функции Бесселя, гамма-функция, интеграл вероятности и др.), так и ряд функций, дополнительно определенных при загрузке символьного процессора (интегральные синус и косинус, интегралы Френеля, эллиптические интегралы и др.) Последние нельзя использовать при создании математических выражений.

Расширение выражений

Действие команды Expand (Разложить по степеням) в известном смысле противоположно действию операции Simplify. Подвергаемое преобразованию выражение расширяется с использованием известных (и введенных в символьное ядро) соотношений, например алгебраических разложений многочленов, произведений углов и т. д. Разумеется, расширение происходит только в том случае, когда его результат однозначно возможен. Иначе нельзя считать, что действие этой операции противоположно действию операции Simplify. К примеру, операция Simplify преобразует сумму квадратов синуса и косинуса в 1, тогда как обратное преобразование многозначно и потому в общем виде невыполнимо.

При преобразовании выражений командой Expand система старается более простые функции представить через более сложные, свести алгебраические выражения, представленные в сжатом виде, к выражениям в развернутом виде и т. д. Примеры действия команды Expand приведены на рисунке.

Последний пример на этом рисунке показывает, что результатом операции может быть специальная математическая функция, которая считается более сложным выражением, чем порождающее ее выражение. С виду, однако, выражения со специальными математическими функциями обычно выглядят гораздо проще, чем исходные выражения

Разложение выражений (Factor)

Команда Factor (Разложить на множители) используется для факторизации -- разложения выражений или чисел на простые множители. Команда способствует выявлению математической сущности выражений, например, она наглядно выявляет представление полинома через его действительные корни. В том случае, когда разложение части полинома содержит комплексно- сопряженные корни, порождающее их выражение представляется квадратичным трехчленом. Примеры действия этой команды следующие:

В большинстве случаев (но не всегда) операция факторизации ведет к упрощению выражений. Термин факторизация не является общепризнанным в отечественной математической литературе, но мы его оставляем в связи с созвучностью с англоязычным именем этой операции.

В MathCAD 2000 разложение чисел на простые множители записывается как произведение множителей, причем повторяющиеся n раз сомножители записываются в степени n.

Разложение по подвыражениям (Collect)

Команда Collect (Разложить по подвыражениям) обеспечивает замену указанного выражения выражением, скомплектованным по базису указанной переменной, если такое представление возможно. В противном случае появляется окно с сообщением о невозможности комплектования по указанному базису. Эта команда особенно удобна, когда заданное выражение есть функция ряда переменных и нужно представить его в виде функции заданной переменной, имеющей вид степенного многочлена. При этом другие переменные входят в сомножители указанной переменной, представленной в порядке уменьшения ее степени.

В том случае, когда комплектование по базису указанной переменной невозможно, система выдает сообщение об этом. Оно выводится в отдельном небольшом информационном окошке.

Вычисление коэффициентов полиномов (Polynomial Coefficients)

Команда Polynomial Coefficients (коэффициенты полинома) служит для вычисления коэффициентов полинома. Операция применяется, если заданное выражение -- полином (степенной многочлен) или может быть представлено таковым относительно выделенной переменной. На рисунке показаны примеры применения этой операции

Результатом операции является вектор с коэффициентами полинома. Операция полезна при решении задач полиномиальной аппроксимации и регрессии.

Операции относительно заданной переменной

Следующая группа символьных операций выполняется с выражениями, требующими указания переменной, по отношению к которой выполняется операция. Для этого достаточно установить на переменной курсор ввода. Само выражение при этом выделять не надо, поскольку указание в нем переменной является одновременно и указанием на само выражение. Если выражение содержит другие переменные, то они рассматриваются как константы. Изучим операции этой группы, начиная с операции дифференцирования.

Дифференцирование (Differentiate)

Нахождение символьного значения производной -- одна из самых распространенных задач в аналитических вычислениях. Команда Differentiate (Переменная Дифференцировать) дифференцирует выражение по той переменной, которая указана курсором. Для вычисления производных высшего порядка (свыше 1) нужно повторить вычисление необходимое число раз. На рисунке показано применение операции дифференцирования.

В трех последних примерах показано, что в выражениях, производная которых вычисляется, могут стоять и встроенные в систему специальные математические функции. Они могут появляться и в результатах вычислений.

Если результат вычисления представлен в виде функций или действий, содержащихся в ядре символьных операций системы, но недоступных символьному процессору, то он помещается в буфер обмена. Его можно вызвать из буфера обмена командой Paste (Вставить). Такой результат нельзя использовать в других операциях прямо, но он вполне подходит для творческого осмысления пользователем. Тот и решает, полезен результат или нет

Интегрирование по заданной переменной (Integrate)

Другая не менее важная операция при символьных вычислениях -- вычисление интегралов (или нахождение первообразных) для аналитически заданной функции. Для этого используется операция Integrate (Переменная Интегрировать). Она возвращает символьное значение неопределенного интеграла по указанной курсором ввода переменной. Выражение, в состав которого входит переменная, является подынтегральной функцией.

Показаны примеры символьного интегрирования по переменной х. Визуализация таких вычислений (как и описанных выше), прямо скажем, не велика если бы не поясняющие текстовые комментарии, то было бы совсем неясно, откуда берутся выражения в документе и результаты чего они представляют.

Как и для операции дифференцирования, в состав исходных выражений и результатов символьного интегрирования могут входить встроенные в систему специальные математические функции.

Решение уравнений (Solve)

Если задано некоторое выражение F (x) и выделена переменная х, то команда Solve (Переменная Решить) возвращает символьные значения указанной переменной х, при которых F (x) ==0. Это очень удобно для решения алгебраических уравнений, например квадратных и кубических, или для вычисления корней полинома. Рисунок содержит примеры решения квадратного уравнения и нахождения комплексных корней полинома четвертой степени.

Ранее отмечалось, что усложнение уравнения, например переход от квадратного уравнения к кубическому, может вызвать и существенное усложнение результата. Тогда система представляет решение в более компактном виде (но без общепринятой математической символики) и предлагает занести его в буфер обмена.

С помощью команды Paste (Вставить) в позиции Edit (Правка) главного меню можно перенести решение в основное окно системы, но оно имеет уже тип текстового комментария, а не математического выражения, пригодного для дальнейших преобразований. Впрочем, часть его можно (опять-таки с помощью буфера обмена) ввести в формульные блоки для последующих преобразований и вычислений.

Последний пример наглядно иллюстрирует проблему "разбухания" результатов. Если при решении квадратного уравнения получены простые выражения, то при увеличении порядка уравнения всего на единицу результат оказался представленным весьма громоздкими и малопригодными для анализа формулами. Хорошо еще, что существующими!

В случаях, подобных приведенному, пользователю надо реально оценить свои силы в упрощении решения. Это придется сделать вручную. При технических расчетах специалист нередко знает, какие из параметров решения несущественны и может отбросить их. Однако для строгих математических расчетов это не всегда возможно, поэтому даже громоздкий результат может быть весьма полезным с познавательной точки зрения.

Подстановка (Substitute)

Команда Substitute (Переменная Подстановка) возвращает новое выражение, полученное путем подстановки на место указанной переменной некоторого другого выражения. Последнее должно быть подготовлено и помещено командами Cut(вырезать) или Copy(копировать) в буфер обмена. Наряду с получением результата в символьном виде эта команда позволяет найти и числовые значения функции некоторой переменной путем замены ее аргумента числовым значением.

Подстановки и замены переменных довольно часто встречаются в математических расчетах, что делает эту операцию весьма полезной. Кроме того, она дает возможность перейти от символьного представления результата к числовому.

Разложение в ряд Тейлора (Expand to Series...)

Команда Expand to Series... (Переменная Разложить в ряд) возвращает разложение в ряд Тейлора выражения относительно выделенной переменной с заданным по запросу числом членов ряда n (число определяется по степеням ряда). По умолчанию п=6. Разложение возможно для функции заданной переменной. В разложении указывается остаточная погрешность разложения. На рисунке представлено применение этой операции для разложения функции sin (x)/x. Минимальная погрешность получается при малых значениях х (см. графическое представление функции и ее ряда).

Символьные операции нередко можно комбинировать для решения сложных задач.

Если пользователя интересует просто числовое значение интеграла, надо лишь поставить после интеграла знак вывода = и значение интеграла будет вычислено адаптивным численным методом Симпсона. Однако вычислить такой интеграл с помощью операции Simplify (Упростить) окажется неудачной: после долгих попыток система сообщит, что интеграл в замкнутой форме не берется.

Разложение на правильные дроби (Convert to Partial Fraction)

Команда Convert to Partial Fraction (Переменная Разложить на элементарные дроби) возвращает символьное разложение выражения, представленное относительно заданной переменной в виде суммы правильных дробей.

Как видно из представленных примеров, применение этой операции в большинстве случаев делает результат более длинным, чем исходное выражение. Однако он более нагляден и содействует выявлению математической сущности исходного выражения

Матричные операции

Символьный процессор системы MathCAD обеспечивает проведение в символьном виде трех наиболее распространенных матричных операций: транспонирование и обращение матриц, а также вычисление их детерминанта.

Эти команды в подменю Matrix обозначены так: Transpose (Транспонировать), Invert (Обратить) и Determinant (Определитель). Если элементы матрицы -- числа, то выполняются соответствующие операции в числовой форме.

Транспонирование матрицы означает перестановку строк и столбцов. Оно реализуется операцией Transpose (Транспонировать). Подлежащая транспонированию матрица должна быть выделена.

Обращение матриц означает создание такой матрицы А^-1, для которой произведение ее на исходную матрицу А дает единичную матрицу, т. е. матрицу с диагональными элементами, равными 1, и остальными -- нулевыми. Обращение допустимо для квадратных матриц с размером NxN, где N> 1 -- число строк и столбцов матрицы. Такую же размерность имеет и обращенная матрица.

На рисунке приведены примеры выполнения типовых матричных операций. Последняя из них -- обращение матрицы в символьной форме с помощью операции Invert.

При выполнении матричных операций в символьной форме проблема "разбухания" результатов становится весьма серьезной. Если, к примеру, для обратной матрицы с размером 2х2 или 3х3 еще можно получить ответ, размещающийся в окне документа, то для матриц большего размера это становится невозможным. Впрочем, большинство аналитических задач очень редко оперирует такими матрицами.

Функции преобразований Фурье, Лапласа и Z-преобразований

Для выполнения широко распространенных в технических и научных приложениях преобразований Фурье (Fourier и Inverse Fourier), Лапласа (Laplace и Inverse Laplace) и Z-преобразований (Z и Inverse Z) служат соответствующие операции в подменю позиции Symbolic (символы) главного меню.

Для применения этих операций следует записать исходное выражение и отметить в нем переменную, относительно которой будет производиться преобразование, только после этого указанные выше команды становятся доступными

Не вдаваясь в суть перечисленных достаточно известных преобразований, приведем простейшие примеры их применения

Не следует полагать, что для всех случаев результаты преобразования будут в точности совпадать со справочными и что результат двойного преобразования (вначале прямого, а затем обратного) приведет к первоначальной функции. Указанные преобразования довольно сложны, и грамотное применение их требует соответствующих математических познаний

Установка стиля вывода символьных выражений (Evolution Style...)

Последняя позиция подменю Symbolic -- Evalution Style... -- служит для установки стиля вывода выражений, над которыми выполняются символьные операции. Напомним, что под выводом математических выражений в данном случае подразумевается изменение их вида в результате символьных преобразований.

Данная операция выводит окно с установками стиля эволюции, показанное на рисунке

В этом окне можно установить три типа вывода результата символьных преобразований:

§ Vertically, inserting lines (Вертикально, включая линии)-- расположение результата под основным выражением с включением линий;

§ Vertically, without inserting lines(Вертикально, без линий) -- расположение результата прямо под основным выражением;

§ Gorizontally (По горизонтали) -- расположение результата рядом (по горизонтали) с основным выражением.

§ Кроме того, имеются два флажка:

§ Show Comments (Просмотр комментариев) -- отображать комментарии;

§ Evaluate in Place (Замещать) -- заместить исходное выражение результатом его символьного преобразования.

Интерпретация результатов символьных операций в буфере обмена

Необходимо отметить, что не всегда результат символьных операций выводится в окно редактирования. Иногда он оказывается настолько громоздким, что MathCAD использует специальную компактную форму его представления и помещает в буфер обмена. Уже оттуда его можно вызвать в текстовом формате в окно редактирования, нажав клавишу F4 или клавиши Shift+ Ins. To же самое можно сделать с помощью команды Paste (вставить) в позиции Edit (Правка) главного меню.

Записи математических выражений в буфере обмена напоминают их записи на языке Фортран:

- справедливы операторы арифметических операций +, -,* и /;

- возведение в степень обозначается как **;

- первая производная функции f (x) записывается в виде diff (f (x), x), а п-я производная в виде diff (f (x), x$n);

- частная производная обозначается как D, п-го порядка (D, n), а производная по п-му аргументу как (D [n]);

- интеграл с подынтегральной функцией f(x) записывается как int (f (x), x);

- операторы суммы и произведения обозначаются как sum () и product ();

- композиция функций указывается символом @ , например, (exp@cos) (x) означает exp (sin (x)),

- кратная композиция указывается символами @@ , например, (f (@@3) (x) означает f (f (f (x)));

- корень уравнения указывается записью RootOf (уравнение), например, оба корня i и -i уравнения Z** 2+ 1=0 представляются записью RootOf (Z** 2+ l).

С помощью команды Save As... (Сохранить как) в позиции File папки обмена можно сохранить последнее содержимое буфера обмена в виде текстового файла.