98

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

И.Н. ЛИПАТОВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО КУРСУ “ПРИКЛАДНАЯ

ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ”

(учебное пособие)

ПЕРМЬ

1996

ОГЛAВЛЕНИЕ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1. Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2. Аналитическое определение количественных характеристик надежности изделия.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3. Последовательное соединение элементов в систему.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4. Расчет надежности системы с постоянным резервированием.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5. Резервирование замещением в режиме облегченного (теплого) резерва и в режиме ненагруженного (холодного) резерва.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6. Расчет надежности системы с поэлементным резервированием.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7. Резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным резервом.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8. Скользящее резервирование при экспоненциальном законе надежности.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ№ 9. Расчет показателей надежности резервированных систем с учетом восстановления.

ЛИТЕРАТУРА

ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 1.

Определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия.

Теоретические сведения

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах оценивается выражением

, (1.1)

где n(t) - число изделий, не отказавших к моменту времени t; N- число изделий, поставленных на испытания; Р*(t) - статистическая оценка вероятности безотказной работы изделия.

Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо соотношение

, (1.2)

где N-n(t)- число изделий, отказавших к моменту времени t; q*(t) - статистическая оценка вероятности отказа изделия.

Частота отказов по статистическим данным об отказах определяется выражением:

, (1.3)

где n(t) - число отказавших изделий на участке времени (t, t+t); f*(t) - статистическая оценка частоты отказов изделия; t - интервал врeмени.

Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах определяется формулой

, (1.4)

где n(t)- число изделий, не отказавших к моменту времени t; n(t) - число отказавших изделий на участке времени (t, t+t);*(t)- статистическая оценка интенсивности отказов изделия.

Среднее время безотказной работы изделия по статистическим данным оценивается выражением:

, (1.5)

где t_i - время безотказной работы i- го изделия; N- общее число изделий, поставленных на испытания; m_t* - статистическая оценка среднего времени безотказной работы изделия.

Для определения m_t* по формуле (1.5) необходимо знать моменты выхода из строя всех N изделий. Можно определять m_t* из уравнения

, (1.6)

где n_i - количество вышедших из строя изделий в i- ом интервале времени;

t_ср.i = (t_i-1+t_i)/2; m=t_k/t; t=t_i+1-t_i; t_i-1 -время начала i- го интервала; t_i- время конца i- го интервала; t_k - время, в течение которого вышли из строя все изделия; t-интервал времени.

Дисперсия времени безотказной работы изделия по статистическим данным определяется формулой:

, (1.7)

где D_t*- статистическая оценка дисперсии времени безотказной работы изделия.

Решение типовых задач

Задача 1.1. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп, за 3000 час. отказало 80 ламп. Требуется определить P*(t), q*(t) при t = 3000 час.

Решeниe. В данном случае N= 1000; n(t)=1000-80=920; N-n(t)=1000-920=80. По формулам (1.1) и (1. 2) определяем

или

Задача 1.2. На испытание было поставлено 1000 однотипных ламп. За первые 3000 час. отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000 - 4000 час. отказало еще 50 ламп. Требуется определить статистическую оценку частоты и интенсивности отказов элвктронных ламп в промежутке времени 3000 - 4000 час.

Решение. В данном случае N=1000; t=3000 час; t =1000 час; n(t)=50; n(t)=920.

По формулам (1.3) и (1.4) находим

час

1/час

Задача 1.3. На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3000 час отказало 200 изделий, т.е. n(t) = 400-200=200.За интервал времени (t, t+t), где t= 100 час, отказало 100 изделий, т.е. n(t)= 100. Требуется определить Р*(3000),

P*(3100), f*(3000), *(3000).

Решение. По формуле (1.1) находим

Используя формулы (1.3) и (1.4), получим

(1/час)

(1/час)

Задача 1.4. На испытание поставлено 6 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti - время 6езотказной работы i- го изделия): t1 =280 час; t2 = 350 час; t3 =400 час; t4 =320 час; t5 =380 час; t6 =330 час. Определить статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.

Решение. По формуле (1.5) имеем час.

Задача 1.5. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 7 отказов. Время восстановления составило:

t1 =12мин.; t2=23мин.; t3 =15мин.; t4=9мин.; t5=17мин.; t6=28мин.; t7=25мин.; t8=31мин. Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры .

Решение.

мин.

Задача 1.6. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в табл.1.1. Требуется определить m_е*.

Таблица 1.1

ti,час.	Ni	ti,час.	ni	ti,час.	ni
0-5	1	30-35	4	60-65	3
5-10	5	35-40	3	65-70	3
10-15	8	40-45	0	70-75	3
15-20	2	45-50	1	75-80	1
20-25	5	50-55	0
25-30	6	55-60	0

Решение. В данном случае

Используя формулу (1.6), получим

_ч.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.7. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4000 час. отказало 50 изделий. За интервал времени 4000 - 4100 час. отказало ещё 20 изделий. Требуется определить f*(t),*(t) при t=4000 час.

Задача 1.8. На испытание поставлено 100 однотипных изделий.

За 4000 час. отказало 50 изделий. Требуется определить p*(t) и q*(t) при t=4000 час.

Задача 1.9. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени 1000 - 1100 час. отказал еще один гироскоп. Требуется определить f*(t), *(t) при t =1000 час.

Задача 1.10. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 час. отказало 80 ламп. За интервал времени 3000 - 4000 час. отказало еще 50 ламп. Требуется определить p*(t) и q*(t) при t=4000 час.

Задача 1.11. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=1300 час. вышло из строя 288 штук изделий. За последующий интервал времени 1300-1400 час. вышло из строя еще 13 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=1300час. и t=1400 час.; f*(t), *(t) при t =1300 час.

Задача 1.12. На испытание поставлено 45 изделий. За время t=60 час. вышло из строя 35 штук изделий. За последующий интервал времени 60-65 час. вышло из строя еще 3 изделия. Необходимо вычислить p*(t) при t=60час. и t=65 час.; f*(t), *(t) при t =60 час.

Задача 1.13. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования, которые прошли предварительную 80-часовую приработку, получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в табл.1.2. Необходимо определить m_t*.

Таблица 1.2.

ti,час.	Ni	ti,час.	ni	ti,час.	ni
0-10	19	30-40	3	60-70	1
10-20	13	40-50	0
20-30	8	50-60	1

Задача 1.14. На испытание поставлено 8 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti - время безотказной работы i-го изделия):

t1 =560час.; t2=700час.; t3 =800час.; t4=650час.; t5=580час.; t6=760час.; t7=920час.; t8=850час. Определить статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.

Задача1.15. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зарегистрировано 6 отказов. Время восстановления составило: t1 =15мин.; t2=20мин.; t3 =10мин.; t4=28мин.; t5=22мин.; t6=30мин. Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры .

Задача1.16. На испытание поставлено 1000 изделий. За время t=11000 час. вышло из строя 410 изделий. Зв последующий интервал времени 11000-12000 час. вышло из строя еще 40 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=11000 час. иt=12000 час., а также f*(t), *(t) при t=11000 час.

ПРАКТИЧЕСКОЕ 3АНЯТИЕ № 2.

Аналитическое определение количественных характеристик надёжности изделия.

Теоретические сведения

Выпишем формулы, по которым определяются количественные характеристики надежности изделия

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

где p(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t; q(t) - вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t; f(t)-частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия Т;

(t)- интенcивность отказов изделия; m_t - среднее время безотказной работы изделия.

Формулы (2.1) - (2.5) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид

; (2.6)

; (2.7)

; (2.8)

; (2.9)

. (2.10)

Формулы (2.1) - (2.5) для нормального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид

; (2.11)

; (2.12)

; ; (2.13)

, (2.14)

где Ф(U) - функция Лапласа, обладающая свойствами

Ф(0)=0 ; (2. 15)

Ф(-U) =-Ф(U);(2.16)

Ф()=0.5. (2.17)

Значения функции Лапласа приведены в приложении П.7.13 [ 1 ].

Значения функции (U) приведены в приложении П.7.17 [ 1 ].

Здесь m_t - среднее значение случайной величины Т; _t² - дисперсия случайной величины Т; Т- время безотказной работы изделия.

Формуды (2.1) - (2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказной работы изделия имеют вид

; (2.18)

; (2.19)

; (2.20)

; (2.21)

, (2.22)

где a,k- параметры закона распределения Вейбулла. Г (x) - гамма-функция, значения которой приведены в приложении П.7.18 [ 1 ].

Формулы (2.1) - (2.5) для закона распределвния Релея времени безотказной работы изделия имеют вид

; (2.23)

; (2.24)

; (2.25)

; (2.26)

, (2.27)

где _t - мода распределения случайной величины Т; Т - время безотказной работы изделия.

Решение типовых задач.

Задача 2.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром =2.510^-5 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),m_t для t=1000час.

Решение. Используем формулы (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) для p(t),q(t),f(t),m_t.

1. Вычислим вероятность безотказной работы:

.

Используя данные таблицы П.7.14 [ 1 ] получим

.

2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем

q(1000)=1-p(1000)=0.0247 .

3. Вычислим частоту отказов

1/час.

4. Вычислим среднее время безотказной работы

час.

Задача 2. 2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m_t =8000 час, _t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t),f(t),(t),m_t для t=10000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.11), (2.12), (2.13),(2.14) для p(t), f(t), (t),m_t.

1. Вычислим вероятность безотказной работы

p(t)=0.5Ф(U); U=(t-m_t)/_t;

U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413;

p(10000)=0.5-0.3413=0.1587. 2. Определим частоту отказа f(t)

.

Введем обозначение

.

Тогда

f(t)=(U)/_t; U=(t-m_t)/_t;

f(1000)=(1)/2000=0.242/2000=12.110^-5 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t);

(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110^-5 /0.1587=76.410^-5 1/час.

4. Среднее время безотказной работы элемента

m_t = 8000 час.

Задача 2.3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m_t для t=1000час, если параметр распределения _t=1000 час.

Решение. Воспользуемся формулами (2.23), (2.25), (2.27),(2.26) для p(t),f(t), m_t, (t).

1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)

2. Определим частоту отказа f(t)

f(t)=tp(t)/_t^{2 ;}

f(1000)=10000.606/1000²=0.60610^-3 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов

(t)= t/_t ² ;

(1000)=1000/1000² =10^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия

час.

Задача 2.4. Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k=1.5; a=10^-41/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m_t.

Решение.1. Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18). Имеем

p(t)=exp(-at^k ); p(100)=exp(-10^-4 100^1.5 ); x=100^1.5 ;

lg x=1,5lg 100=3; x=1000; p(100)=e^-0,1 =0,9048.

2. Определим частоту отказов f(t)

f(t)=akt^k-1 p(t);

f(100)=10^-4 1,5100^0,5 0,90481,3510^-31/час.

3. Определим интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t);

(100)=f(100)/p(100)=1,3510^-3 /0.90481,510^-31/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия m_t

;

Так как zГ(z)=Г(z+1), то

;

x=10^-2,666;lg x=-2,666lg10=-2,666=; x=0,00215.

Используя приложение П.7.18 [1], получим

m _t =0,90167/0,00215=426 час.

Задача 2.5. В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде

.

Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), (t),m_t.

Решение.1. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1) имеем

Вычислим сумму С₁+ С₂ Так как , то

.

Тогда

2. Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по формуле

Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основании формулы (2.5) будем иметь

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 2.6.Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления цилиндров автомобильного двигателя в течении 120 час равна 0.9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность отказов и частоту отказов линии для момента времени t =120 час., а также среднее время безотказной работы.

Задача 2.7. Среднее время безотказной работы автоматической системы управления равно 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 час., частоту отказов для момента времени t=120 час и интенсивность отказов.

Задача 2.8. Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами m_t = 8000 час., _t =1000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t), f(t), (t), m_t для t=8000 час.

Задача 2.9.Время безотказной работы прибора подчинено закону Релея с параметром _t= 1860 час. Требуется вычислить Р(t), f(t),(t) для t = 1000 час и среднее время безотказной работы прибора.

Задача 2.10. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников подчинено закону Вейбулла с параметрами к=2,6; а= 1,65*10^-7 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t), f(t), (t) для t=150 час. и среднее время безотказной работы шарикоподшипников.

Задача 2.11.Вероятность безотказной работы изделия в течение t=1000 час. Р(1000)=0,95. Время исправной работы подчинено закону Релея. Требуется определить количественные характеристики надежности f(t), (t), m_t.

Задача 2.12. Среднее время исправной работы изделия равно 1260 час. Время исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные характеристики надежности P(t), f(t), (t) для t=1000 час.

Задача 2.13. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что частота отказов имеет вид f(t)=2e^-t (1-e^-t ). Необходимо найти количественные характеристики надежности P(t), (t), m_t.

Задача 2.14. В результате анализа данных об отказах изделий установлено, что вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=3e^-t-3e^-2t+e^-3t. Требуется найти количественные характеристики надежности P(t), (t), m_t.

Задача 2.15. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы m_t=1500 час. и среднее квадратическое отклонение _t= 100 час.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3.

Последовательное соединение элементов в систему.

Теоретические сведения

Соединение элементов называется последовательным, если отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединенных элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все ее элементы.

Вероятность безотказной работы системы за время t определяется формулой

P_c(t) =P₁(t)*P₂(t)...P_n(t)= (3.1)

где Р_i(t) - вероятность безотказной работы i-го элемента за время t.

Если Р_i (t) =Р(t) то,

P_c(t)=Pⁿ(t). (3.2)

Выразим Р_с(t) через интенсивность отказов _i(t)элементов системы.

Имеем:

(3. 3)

или

(3.4)

где

(3.5)

Здесь _i(t) - интенсивность отказов i-го элемента; _с(t) - интенсивность отказов системы.

Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t ) равна

(3.6)

Частота отказов системы f_c(t) определяется соотношением

(3.7)

Интенсивность отказов системы

(3.8)

Среднее время безотказной работы системы:

(3. 9)

В случае экспоненциального закона надежности всех элементов системы имеем

. (3.10)

; (3.11)

; (3.12)

; (3.13)

; (3.14)

; (3.15)

; (3.16)

, (3.17)

где m_ti - среднее время безотказной работы i - го элемента.

При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и извлекать корни. При значениях Р(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам:

(3.18)

где q_i (t)-- вероятность отказа i - го элемента.

Решение типовых задач.

Задача 3.1. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна ₁=0,16*10^-3 1/час = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами

₂=0,23*10^-4t 1/час, ₃=0,06*10^-6t^2,6 1/час.

Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.

Решение. На основании формулы (3.3) имеем

Для t=100 час

.

Задача 3.2. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно: m_t1=160 час; m_t2 =320 час; m_t3 = 600 час.

Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.17) получим

Здесь _i - интенсивность отказов i -го блока. На основании формулы (3.11) имеем

1/час.

Здесь _c - интенсивность отказов системы.

На основании формулы (3.16) получим:

час.

Задача 3.3. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср=0,32*10^-6 1/час. Требуется определить P_c(t), q_c(t), f_c(t), m_tc, для t=50 час.

Здесь P_c(t) - вероятность безотказной работы системы в течение времени t;

q_c(t) - вероятность отказа системы в течение времени t;

f_c(t) - частота отказов или плотность вероятности времени T безотказной работы системы;

m_tс - среднее время безотказной работы системы.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11) будет

_с=_ср*n=0,32*10^-6*12600=4,032*10^-3 1/час.

Из (3.13) имеем

Р_с(t)=e^-ct; Р_с(50)=e^{-4?032*0,001*50}0,82.

Из (3.15) получим

q_c(t)=_ce^-ct=_cP_c(t); q_c(50)=1-P_c(50) 0,18.

Из (3.14) имеем

f_c(t)=_ce^-ct=_cP_c(t); f_c(50)=4,032*10^-3*0,82=3,28*10^-3 1/час.

Из (3.16) получим

m_tс=1/_c=1/4,032*10^-3250 час.

Задача 3.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 час равны: Р₁(100) = 0,95; Р₂(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы.

Решение. Найдем вероятность безотказной работы изделия:

Р_с(100)=Р₁(100)*Р₂(100)=0,95*0,97=0,92.

Найдем интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой

Р_с(t)=e^-ct

или

Р_с(100)=0,92=e^{-c100 .}

По таблице П.7.14[1] имеем

_с*1000,083 или _с=0,83*10^-3 1/час.

Тогда

m_tс=1/_c=1/(0,83*10^-3)=1200 час.

Задача 3.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени tравна P(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы равнаР_c(t)= Pⁿ(t)=(0,9997)¹⁰⁰.

Вероятность Р_c(t) близка к единице, поэтому для ее вычисления воспользуемся формулой (3.18). В нашем случае q(t)=1-P(t)=1-0,9997=0,0003.

Тогда Р_c(t) 1-nq(t)=1-100*0,0003=0,97.

Задача.З.6.Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Р_c(t)=0,95. Система состоит из n= 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет

Так как Р(t) близка к единице, то вычисления Р(t) удобно выполнить по формуле (3.18).

В нашем случае q_c(t)=1- Р_c(t)=1-0,95=0,05.

Тогда

Задача 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср =0,32*10^-6 1/час.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (З.11) будет

_с=_ср*n=0,32*10^-6*12600=4,032*10^-3 1/час.

Тогда на основании (З.13)

Р_c(t)= е^-ct

или

Р_c(50)= е^{-4,032*0,001*50} 0,82.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.8. Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср= 0,33 * 10^-5 1/час.

Необходимо определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течении t = 200 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.

Задача 3.9. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность отказов которых =0,2 * 10^-6 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течении t = 24 часа и среднее время безотказной работы электронной машины.

Задача 3.10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср. = 0,16*10^-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t = 50 час и среднее время безотказной работы.

Задача 3.11. Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: P₁(t)=0,98; P₂(t)=0,99; P₃(t)=0,998; P₄(t)=0,975; P₅(t)=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора.

Задача 3.12. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно: m_t1=83 час; m_t2=220 час; m_t3=280 час; m_t4=400 час; m_t5=700 час. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача З.1З. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P₁(50)=0,98; P₂(50)=0,99; P₃(50)=0,998; P₄(50)=0,975; P₅(50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4

Расчет надежности системы с постоянным резервированием.

Теоретические сведения

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2 соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается (рис.4.1.).

Вероятность отказа системы q_c(t) определяется формулой

(4.1)

где q_j(t) - вероятность отказа j - го элемента.

Вероятность безотказной работы системы

(4.2)

где Р_j(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента

Если Р_j(t) =Р(t), j = 0, 1, …., m, то

(4.3)

При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем

(4.4)

Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов. Схема общего резервирования показана на рис.4.2. Основная цепь содержит n элементов. Число резервных цепей равно m, т. е. кратность резервирования равна m.

Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервированием (резервные цепи включены постоянно).

Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи

(4.5)

где Р_ij(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Э_ij.

Вероятность отказа j - ой цепи

.(4.6)

Вероятность отказа системы с общим резервированием

. (4.7)

Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием

. (4.8)

Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.

Р_ij(t)=P_i(t).(4.9)

Тогда

(4.10)

(4.11)

Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.

P_i(t)=e^-it.(4.12)

В этом случае формулы (5.10), (5.11) примут вид

q_c(t)=(1-e^-0t)^m+1,(4.13)

P_c(t)=1-(1-e^-0t)^m+1,(4.14)

, (4.15)

где ₀ - интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.

Частота отказов системы с о6щим резервированием

. (4.16)

Интенсивность отказов системы с общим резервированием

(4.17)

Среднее время безотказной работы резервированной системы

, (4.18)

где Т₀ = 1/₀, - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.

Решение типовых задач.

Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы m_tc, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

Решение.

а) ,

где с - интенсивность отказов системы; _i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10.

_i=1/m_ti = 1/1000=0,001; i = 1,2,...,n; =_i;

_c=n=0,001*10=0,01 1/час;

m_tc=1/_c=100 час;

f_c(t)=_c(t) P_c(t);

_c(50)=_c; P_c(t)=e^-ct;

f_c(50)=_ce^-ct=0,01*e^-0,01*506*10^-3 1/час;

_c(50)=0,01 1/час.

б) ; m=1; час ;

; ₀ =_c =0.01 1/час ;

;

;

;

f_c(50)4.810^-3 1/час; _c(50)5.710^-3 1/час.

Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала =10^-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р_с(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В данном случае n=1; _i=; ₀=n=;m=1. По формуле (4.14) имеем

Р_с(t)=1-(1-e^-t)²;

Р_с(10)=1-(1-e^-0,1)².

Из приложения П.7.14 [1] получим

e^-0,1=0,9048.

Тогда

Р_c(10)=1-(1-0,9048)² =1-0,0952²1-0,01=0,99.

Определим m_tс. Из формулы (4.4) имеем

час.

Определим частоту отказов f_c(t). Получим

Определим интенсивность отказов _с(t). Имеем

3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна

P_c(t)=1-(1-e^-nt)²

или

P_c(t)=1-[1-Pⁿ(t)]²,

где

P(t)=e^-t.

Здесь Р(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

1-[1-Pⁿ(t)]²0,9,

то

.

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t, получим

1-t1-6,32*10^-5

или

(6,32*10^-5)/t=(6,32*10^-5)/10=6,32*10^-6 1/час.

Задачи для самостоятельного решения.

3адача 4.4. Приемник состоит из трех. блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности отказов этих блоков соответственно равны: ₁= 4*10^-4 1/час; ₂= 2,5*10^-4 1/час; ₃= 3*10^-4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для следующих случаев:

а) резерв отсутствует; б) имеется общее дублирование приемника в целом.

Задача 4.5. Для изображенной на рис.4.3. логической схемы системы определить P_c(t), m_tc, f_c(t), _c(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.

Задача 4.6. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов ( n = 3) применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отказов каскада равна =5*10^-4 1/час. Определить P_c(t), m_tc, f_c(t), _c(t) радиопередатчика с дублированием.

Задача 4. 7. Для изображенной на рис.4.4. логической схемы системы определить интенсивность отказов _с(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.

Задача 4.8. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I, II, III. Интенсивности отказов этих трех блоков соответственно равны: ₁, ₂, ₃. Требуется определить вероятность безотказной работы аппаратуры P_c(t) для следующих случаев:

а) резерв отсутствует;

б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом.

Задача 4.9.Схема расчета надежности изделия показана на рис.4.5. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Интенсивности отказов элементов имеют значения: ₁= 0,3*10^-3 1/час; ₂= 0,7*10^-3 1/час. Требуется найти вероятность безотказной работы изделия в течении времени t = 100 чаc, среднее время безотказной работы изделия, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=100 час.

Задача 4.10. В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика, применено общее дублирование. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов _п=2*10^-3 1/час, _пр=1*10^-3 1/час, соответственно. Схема канала представлена на рис.4.6. Требуется определить вероятность безотказной работы канала Р_c(t), среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t).

Задача 4.11. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.4.7. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Требуется определить интенсивность отказов изделия, если интенсивности отказов элементов имеют значения ₁, ₂.

Задача 4.12. Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов. Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t = 100 час. Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение заданной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в следующих случаях: а) резервирование отсутствует; б) применено общее ду6лирование.

Задача 4.13. Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность безотказной ра6оты устройства Р_y(t_i) в течение ( 0, t_i) должна быть не менее 0,9. Определить, какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение ( 0, t_i ) для случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всего устройства в целом; в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам.

Задача 4.14. Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и характеризующихся соответственно интенсивностями отказов ₁=120,54*10^-6 1/час и ₂=185,66*10^-6 1/час. Выполнено пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всей системы (блока 1 и 2) (см.рис.4.8). Требуется определить вероятность безотказной работы Р_с (t) вычислителя, среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) вычислителя. Определить Р_с(t) при t = 20 час.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5

Резервирование замещением в режиме облегченного (теплого) резерва и в режиме ненагруженного (холодного) резерва.

Теоретические сведения.

В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их включения в работу. Надежность резервного элемента в этом случав выше надежности основного элемента, так как резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента их включения в работу.

Вероятность отказа резервированной системы с облегченным резервированием определяется соотношением

(5.1)

где

(5.2)

Здесь ₁ - интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента включения его в работу; ₀ - интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы; m - кратность резервирования или количество резервных элементов. Вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием определяется формулой

(5.3)Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем

(5.4)

где

(5.5)

Определим частоту отказов f_c(t) системы с облегченным резервированием.

Имеем

(5.6).

Определим интенсивность отказов _с(t) системы с облегченным резервированием.

Получим

(5.7)

При ₁ =0 имеем режим ненагруженного (холодного) резерва. Вероятность отказа резервированной системы с ненагруженным резервированием определяется соотношением

 (5.8)

Вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется формулой

(5.9)

Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом. Имеем

(5.10)

Определим частоту отказов f_c(t) системы с ненагруженным резервом.

Имеем

(5.11)

Определим интенсивность отказов _с(t) системы с ненагруженным резервом.

Получим

(5. 12)

Решение типовых задач.

Задача 5.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы Р_с(t), среднее время безотказной работы системы m_tс, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с (t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагруженный резерв).

Решение:

а)

где _с - интенсивность отказов системы, _i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10,

1/час,

час;p_c(t)= ;

f_c(t)=_c(t)p_c(t) ;_c(50)=_c ;

f_c(50)=_c=0.01e^-0.0150610^-3 1/час;

_c(50)=0.01 1/час.

б)m_tc=; m=1 ;

m_tc==200 час.

Определяем Р_c(t) по формуле

Так как ₀=_с, то

P_c(t)=e^-сt(1+_ct).

Определяем fc(t). Имеем

Определяем _c (t). Получим

_c(t)=

0пределяем P_c(50), f_c(50), _c(50).Имеем

p_c(50)=e^-0.0150(1+0.0150)=e^-0.51.5=0.60651.50.91,

f_c(50)=0.01²50e^-0.0150=0.010.5e^-0.5310^-3 1/час,

_c(50)= 1/час.

Задача 5.2. Радиопередатчик имеет интенсивность отказов ₀=0,4*10^-3 1/час. Его дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного передатчика в режиме ожидания (в режиме облегченного резерва). В этом режиме интенсивность отказов передатчика ₁= 0,06*10^-3 1/час. Требуется вычислить вероятность безотказной работы передающей системы в течение времени t = 100 час., а также среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t).

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.З), получим

;

;.

Тогда

(5.13)

Из (5.13) имеем

0.96[1+6.67-6.67(1-0.006)]0.998.

Определим m_tс по формуле (5.4.). Получим

=4668 час.

Определим f_c(t). Имеем

=

Перепишем (5.13) в виде

Определим_с(t). Получим

Задача 5.3. Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в переменный в течении времени t=1000 час. равна 0,95, т. е. Р(1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь, который включается в работу при отказе первого (режим ненагруженного резерва). Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднее время безотказной работы системы, состоящей из двух преобразователей, а также определить частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.9), получим

(5.14)

Так как для отдельного преобразователя имеет место экспоненциальный закон надежности, то

P(t)=e^-оt, (5.15)

где Р(t)- вероятность безотказной работы преобразователя; ₀ - интенсивность отказов преобразователя в состоянии работы.

Из (5.15) имеем

P(1000)=e^-o1000 =0,95.

Из приложения П.7.14 [1] получим

₀*1000=0,051,

откуда

₀=0,051/10000,5*10^-4 1/час.

Тогда из (5.14) имеем

P_c(1000)=0,95(1+0,05)=0,9975.

Определим m_tc по формуле (5.10). Получим

m_tc = (m+1)/₀=2/₀=2/(0,5*10^-4) = 40000 час.

Отметим, что среднее время безотказной работы нерезервированного преобразователя равно

m_tc =1/₀=20000 час.

Определим частоту отказовf_c(t)по формуле (5.11). Имеем

Определим _с(t). Получим

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 5.4. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения ее надежности конструктор предложил дублирование системы по способу замещения с ненагруженным состоянием резерва (рис.5.1). Интенсивность отказов элемента равна . Требуется определить вероятность безотказной работы системы P_c(t), среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t).

Задача 5.5. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.5.2. Необходимо определить вероятность безотказной работы P_c(t), частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) изделия. Найти _с(t) при t = 0.

Задача 5.6. Схема расчета надежности системы приведена на рис.5.3, где А, Б, В, Г - блоки системы. Определить вероятность безотказной работы P_c(t) системы.

Задача 5.7. Схема расчета надежности системы приведена на рис.5.4. Определить вероятность безотказной работы Pc(t) системы.

Задача 5.8. Передающее устройство состоит из одного работающего передатчика (=8*10^-3 1/час) и одного передатчика в облегченном резерве (₀ = 8*10^-4 1/час). Требуется определить вероятность безотказной работы устройства P_c(t), среднее время безотказной работы устройства m_tc. Определить Pc(t) при t = 20 час.

Задача 5.9. В радиопередающем канале связной системы используется основной передатчик П₁, два передатчика П₂ и П₃, находящиеся в ненагруженном резерве. Интенсивность отказов основного работающего передатчика равна ₀=10^-3 1/час. С момента отказа передатчика П₁ в работу включается П₂, после отказа передатчика П₂ включается П₃. При включении резервного передатчика в работу его интенсивность отказов становится равной ₀. Считая переключатель абсолютно надежным, определить вероятность безотказной работы P_c(t) радиопередающего канала, среднее время безотказной работы m_tc канала. Определить также P_c(t) при t=100 час.

Задача 5.10. Устройство автоматического поиска неисправностей состоит из двух логических блоков. Среднее время безотказной работы этих блоков одинаково и для каждого из них равно m_t= 200 час. Требуется определить среднее время безотказной работы устройства m_tc для двух случаев: а) имеется ненагруженный резерв всего устройства; б) имеется ненагруженный резерв каждого блока.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6

Расчет надежности системы с поэлементным резервированием.

Теоретические сведения

При поэлементном резервировании резервируются отдельно элементы системы (рис.6.1.). Определим количественные характеристики надежности системы.

Запишем вероятность отказа i - ой группы. Имеем

; (6.1)

где q_ij(t) - вероятность отказа элемента Э_ij на интервале времени (0, t).

Запишем вероятность безотказной работы j-ой группы. Получим

;, (6.2)

где P_ij(t) - вероятность безотказной работы элемента Э_ij на интервале времени (0,t); m_i - кратность резервирования элемента j-ой группы.

Запишем вероятность безотказной работы системы с поэлементным резервированием

или

(6.3)

Для равнонадежных элементов системы и m_i=m=const имеем

P_ij(t)=P(t); (6.4)

P_c(t) =[1-[1-P(t)]^m+1]^{n .} (6.5)

Если

P_ij(t)=P_i(t),(6.6)

то формула (6.З) примет вид

. (6.7)

При экспоненциальном законе надежности, когда P_i(t)=e^-it,

(6.8)

В этом случае формула (6.5) примет вид

(6.9)

а среднее время безотказной работы системы определяется соотношением

 (6.10)

Подставляя (6.9) в (6.10),получим

(6.11)

где _j=(j+1)/(m+1).

Решение типовых задач

Задача 6.1.Для повышения надежности усилителя все его элементы дублированы. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Необходимо найти вероятность безотказной работы усилителя в течение t =5000 час. Состав элементов нерезервированного усилителя и данные по интенсивности отказов элементов приведены в табл.6.1.

Таблица 6.1.

Элементы	Количество элементов	Интенсивность отказов элемента , 10-5 1/час
Транзисторы	1	2,16
Резисторы	5	0,23
Конденсаторы	3	0,32
Диоды	1	0,78
Катушки индуктивности	1	0,09

Решение. В рассматриваемом случае имеет место раздельное резервирование с кратностью m_i = m= 1, число элементов нерезервированного усилителя n = 11. Тогда, используя данные табл.6.1., на основании формулы (6.8) получим

Так как _i<<1, то для приближенного вычисления показательную функцию можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения: 1-exp(-5000_i)5000_i.

Тогда

=1-2510^-6[2.16²+50.23²+30.32²+0.78²+0.09²]10^-100.985.

Задача 6.2. Схема расчета надежности резервированного устройства приведена на рис.6.2. Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения: ₁=0,23*10^-3 1/час; ₂=0,5*10^-4 1/час; ₃=0,4*10^-3 1/час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы. Необходимо найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность безотказной работы устройства, интенсивность отказов устройства.

Решение.

(6.12)

где P_c(t) - вероятность безотказной работы устройства. Очевидно

P_c(t) =P_I(t)*P_II(t) *P_III(t). (6. 13)

Здесь P_I(t), P_II(t), P_III(t) - вероятность безотказной работы I,П и Ш группы элементов. Имеем

P_I(t) =1-q_I(t); q_I(t)=[1-P₁(t) ]²;

P_I(t) =1-[1-P₁(t) ]²=2P₁(t) -P₁²(t);

P_II(t) =P₂(t);

P_III(t) =1-q_III(t); q_III(t)=[1-P₃(t) ]²;

P_III(t) =1-[1-P₃(t) ]²=2P₃(t) -P₃²(t).

Из (16.13) имеем

P_c(t) =[2P₁(t) -P₁²(t)]P₂(t) [2P₃(t) -P₃²(t)]=

=4P₁(t) P₂(t) P₃(t) - 2P₁²(t)P₂(t) P₃(t)- 2P₁(t)P₂(t) P₃²(t)+P₁²(t)P₂(t) P₃²(t).

Так как P₁(t) =; P₂(t) =; P₃(t) =, то

P_c(t) =4 - 2 - +

или

P_c(t) =4e^{-0,68*0,001*t}-2e^{-0,91*0,001*t}-2e^{-1,08*0,001*t}+e^{-1,31*0,001*t .} (6.14)

Подставляя (6.14) в (6.12), получим

или

час.

Известно, что

.(6.15)

Oпределим f_c(t). Имеем

(6.16)

или

Из (6.15) получим

Задача 6.3. Схема расчета надежности устройства приведена на рис. 6.3. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности, для элементов устройства и все элементы устройства равнонадежны. Интенсивность отказов элемента = 1,33*10^-31/час. Требуется определить f_c(t), m_tc, P_c(t), _с(t) резервированного устройства.

Решение

;(6.17)

P_c(t)=P_I(t)P_II(t)= , т.к. P_I(t)=P_II(t);

P_I(t)=1-q_I(t) ; q_I(t)=q²(t) ;q(t)=1-P(t) ; P(t)=e^-t ;

q(t)=1-e^-t ;q_I(t)=(1-e^-t)² ;P_I(t)=1-(1-e^-t)²;

P_c(t)=[1-(1-e^-t)²]²

или

P_c(t )=(1-1+2e^{- t}-e^{- 2t})² = 4e^{- 2t} - 4e^{- 3t} + e^{- 4t} . (6.18)

Подставляя (6.18) в (6.17), получим

час.

0пределим f_c(t), Имеем

Определим _с(t). Имеем

Задача 6.4. Нерезервированная система управления состоит из n=5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести раздельное дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы cистемы P_c(t) = 0,9 при t = 10 час, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение, Вероятность безотказной работы системы при раздельном дублировании и равнонадежных элементах равна:

гдеР(t) - вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

то

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t) =exp(-t)1-t,интенсивность отказов элемента должна быть