Сила аналогий: творчество Людвига Больцмана

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сила аналогий. Творчество Людвига Больцмана

Новиков Н.Б.

Аннотация

Работы замечательного австрийского ученого Людвига Больцмана (1844-1906) имеют непреходящую ценность в силу новизны и глубины фундаментальных физических проблем, решавшихся им. Результаты, полученные Л.Больцманом в области молекулярно-кинетической теории, статистической механики, теории излучения, проникли в основные представления нашей физической картины мира. Ни один из современных учебников физики не обходится без упоминания его новаторских трудов, явившихся бесценным вкладом в физическую науку. Л.Больцман вынес на своих плечах основную тяжесть борьбы за атомистику, оппонентами которой были В.Оствальд и Э.Мах. В настоящей статье мы намерены провести анализ наиболее значимых идей Л.Больцмана, появившихся на свет благодаря логической (логико-вероятностной) процедуре под названием «аналогия».

Ключевые слова: новые идеи, физические теории, обнаружение сходства, проведение аналогии.

Abstract

Novikov N.B.

The works of the remarkable Austrian scientist Ludwig Boltzmann (1844-1906) are of lasting value due to the novelty and depth of the fundamental physical problems solved by him. The results obtained by L. Boltzmann in the field of molecular kinetic theory, statistical mechanics, and radiation theory have penetrated into the basic concepts of our physical picture of the world. None of the modern physics textbooks is complete without mentioning his innovative works, which were an invaluable contribution to physical science. L. Boltzmann bore on his shoulders the brunt of the struggle for the atomic theory, whose opponents were W. Ostwald and E. Mach. In this article we intend to analyze the most significant ideas of L. Boltzmann, which were born due to a logical (logical-probabilistic) procedure called “analogy”.

Key words: new ideas, physical theories, discovery of similarities, drawing analogies.

Аналогия первая: формулировка закона распределения Максвелла-Больцмана

Перечислим основные открытия, сделанные в термодинамике и молекулярно-кинетической теории к моменту, когда Л.Больцман начал свою научную деятельность в этих разделах физики. К середине XIX века паровая машина получает всё большее и большее распространение в промышленности. Вместе с этим существенное значение начинает приобретать теория самой машины. Французский физик и математик Сади Карно публикует сочинение «О движущей силе огня» (1824), в котором вводит понятие идеальной тепловой машины, обратимости и необратимости термодинамических процессов. Джеймс Джоуль, Роберт Майер и Герман Гельмгольц (1850 -е гг.) определили механический эквивалент теплоты и сформулировали закон сохранения энергии, позднее названный первым началом термодинамики. Вильям Томсон (лорд Кельвин) и Рудольф Клаузиус приходят к выводу, что живая сила (энергия), способная совершать работу, постоянно уменьшается в силу выравнивания температур между разными телами. Назвав этот процесс уменьшения (рассеяния) энергии термином «энтропия», Р.Клаузиус получил возможность описать общефизическую тенденцию фразой «энтропия мира стремится к максимуму». Тем самым немецкий физик открыл второе начало термодинамики.

Под влиянием различных экспериментов (в том числе опытов Б.Румфорда по сверлению пушечных стволов) ученые начинают отказываться от концепции теплорода в пользу представления, связывающего теплоту с движением мельчайших частиц вещества. В начале XIX века Джон Дальтон применил атомистическую гипотезу для объяснения закона парциальных давлений, открытого им в 1801 г. После того, как Жозеф Гей-Люссак (1808) обнаружил, что газы соединяются всегда в кратных объемных отношениях, А.Авогадро отметил необходимость различать два типа частиц: атомы и молекулы.

Первые работы по молекулярно-кинетической теории газов появились благодаря исследованиям Джона Герапата (1790-1868), Джона Уотерстона (1811-1883) и Августа Крёнига (1822-1879). Дж.Герапат (1820) показал, что кинетическая теория может дать простое объяснение многим явлениям: изменению состояния, диффузии, распространению звука. Он говорил, что тепло растет в результате интенсивного движения атомов и пропорционально их импульсу (то есть и, а не и2). Дж.Уотерстон (1845) впервые в явном виде отождествил абсолютную температуру газа с квадратом скорости его молекул. Он заявил, что соударения газовых частиц, находящихся в постоянном движении, можно описывать при помощи законов теории удара из области теоретической механики. Дж.Уотерстон проводил аналогию между поведением реального газа и идеальной системы упругих шаров. К сожалению, работа Д.Уотерстона не была опубликована Королевским обществом (Англия), члены которого не смогли понять доводов автора.

Этой участи избежали Дж.Герапат и А.Крёниг. Немецкий физик А.Крёниг (1856) вывел закон идеального газа из простейшего предположения об упругих шарах (молекулах), движущихся параллельно трем взаимно перпендикулярным осям с общей скоростью и. Он получил формулу, которая связывает давление газовых молекул с их числом, скоростью и объемом газа. Предположив, что температура, измеренная от абсолютного нуля, равна mu2, А.Крёниг продемонстрировал, что его формула эквивалентна законам Бойля -

Мариотта и Гей-Люссака. Напомним, что первый закон - это обратно пропорциональная зависимость между давлением газа и его объемом, а второй - утверждение о том, что объем газа равен абсолютной температуре.

Развивая идеи А.Крёнига и Дж.Герапата (а также Дж.Джоуля), Р.Клаузиус сделал важный вклад в кинетическую теорию газов - ввел понятие средней длины свободного пробега молекулы. Однако он допускал, что все молекулы имеют равные скорости. С этим не согласился шотландский физик Джеймс Максвелл, который в работе «Пояснения к динамической теории газов» (1860) впервые сформулировал закон распределения газовых молекул по скоростям. В дальнейшем Дж.Максвелл неоднократно уточнял и совершенствовал доказательство этого закона. Сразу укажем, что Дж.Максвелл открыл указанный закон распределения молекул по аналогии с законом распределения ошибок наблюдений, сформулированным математиком Карлом Гауссом (1809) в связи с разработкой метода наименьших квадратов. При этом было понятно, что закон распределения ошибок К.Гаусса - теорема, относящаяся к математической теории вероятностей (это понимал еще П.Лаплас). Поэтому можно сказать, что Дж.Максвелл был одним из первых ученых, кто перенес в молекулярно - кинетическую теорию один из важных результатов, взятых из теории вероятностей. больцман молекулярный кинетический аналогия

Следует также упомянуть, что в 1866 г. профессор Венского университета И.Лошмидт опубликовал статью «О величине молекул воздуха», в которой дал расчет диаметра молекул воздуха. Другими словами, ему впервые удалось вычислить размер газовой молекулы.

Еще обучаясь в Венском университете, Л.Больцман познакомился с работами Дж.Максвелла. Сначала будущий основатель статистической механики изучил статьи Дж.Максвелла, посвященные электромагнитной теории поля, а затем - его работы, связанные с развитием молекулярнокинетической теории. Закон распределения молекул газа по скоростям, выведенный шотландским физиком, произвел на Л.Больцмана большое впечатление. Он решил обобщить его, то есть перенести на более общую ситуацию, которую, естественно, не рассматривал сам автор закона. Конкретно, австрийский физик предположил, что аналог закона распределения Максвелла должен существовать в том случае, когда газ состоит из многоатомных молекул и находится во внешнем силовом поле. Это предположение, основанное на аналогии, и привело Л.Больцмана к формулировке закона распределения молекул, более общего, чем исходный результат создателя электромагнитной теории.

Б.И.Спасский во 2-ом томе книги «История физики» [1] пишет: «Уже в 1866 г. Больцман приводит усовершенствованный вариант доказательства закона распределения скоростей молекул газа, исходя, подобно Максвеллу, из рассмотрения соударения молекул, а затем совершенствует его. При этом он рассмотрел и более общий случай идеального газа, находящегося в силовом поле, обобщил на этот случай закон распределения Максвелла-Больцмана...» [1, с.48].

Об этом же сообщает Я.М.Гельфер в монографии «История и методология термодинамики и статистической физики» [2]: «...Больцман отмечает роль Максвелла в выявлении роли теории вероятностей в молекулярно-кинетической теории газов, и говорит, что Максвелл ограничился исследованием закона распределения только для случая одноатомного газа. Поэтому следующий шаг должен заключаться в распространении найденного им закона на газы, находящиеся в силовом поле и состоящие из многоатомных молекул. Он показывает, что многоатомный газ, молекулы которого можно рассматривать как систему связанных между собой материальных точек, в равновесном состоянии будет также подчиняться закону распределения Максвелла» [2, с.296].

Аналогичные сведения можно найти в статье А.Фламма «Памяти Людвига Больцмана» [3], где автор указывает: «Для одноатомных идеальных газов был известен максвелловский закон распределения скоростей, который определял распределение молекул газов по скоростям в состоянии термодинамического равновесия. Больцман обобщил формулу Максвелла для многоатомных молекул, приняв во внимание не только энергию поступательного движения молекул, но также и энергию их вращения, колебательную энергию атомов в молекуле, а также внешние силы, действующие на молекулы» [3, с.3-4].

Аналогия вторая: формулировка теоремы о неизменности объема фазового пространства молекулярной системы

Занимаясь статистической теорией молекулярных систем, Л.Больцман пришел к выводу о том, что в данных системах элемент объема фазового пространства должен оставаться неизменным (постоянным). Этот вывод впоследствии получил название теоремы о постоянстве фазового объема, которая имеет множество эквивалентных формулировок. Приведем некоторые из них: 1) в фазовом пространстве объем во время движения системы сохраняется; 2) объем фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого каноническими уравнениями Гамильтона; 3) фазовый поток гамильтоновых уравнений сохраняет фазовый объем; 4) «фазовая жидкость несжимаема».

Теорема Л.Больцмана о постоянстве фазового объема нашла широкое применение в молекулярно-кинетической теории. Современник Л.Больцмана, американский физик и математик Джозайя Уиллард Гиббс (1839 -1903) сделал эту теорему одним из основных принципов статистической механики. Введя понятие фазы системы как совокупности значений всех ее координат и импульсов в данный момент и понятие «фазового пространства», Дж.Гиббс на основе упомянутой теоремы Л.Больцмана формулирует принцип сохранения фазового объема: «Если фазы, ограничивающие фазовый объем, изменяются с течением времени согласно динамическим законам системы, находящейся под действием сил, которые являются функциями либо только координат, либо координат и времени, то величина ограниченного таким образом фазового объема остается постоянной» [2, с.375].

Как же Л.Больцман открыл теорему о неизменности объема фазового пространства молекулярной (статистической) системы? По аналогии с теоремой Ж.Лиувилля о том, что функциональный определитель канонического преобразования равен единице. Все формулировки теоремы Л.Больцмана, приведенные выше, справедливы и для теоремы Ж.Лиувилля, то есть ее можно выразить той же короткой фразой «фазовая жидкость несжимаема». Изложенная теорема была впервые опубликована и доказана в 1838 г. французским математиком Жозефом Лиувиллем (1809-1882), который в то время занимался исследованием преобразований канонических переменных в уравнениях Гамильтона. Л.Больцман перенес результат Ж.Лиувилля из классической динамики в молекулярно -кинетическую теорию, вполне обоснованно решив, что этот результат окажется весьма полезным в статистической теории молекулярных систем.

Я.М.Гельфер в уже упоминавшейся книге [2] отмечает: «Больцман также впервые выяснил роль теоремы Лиувилля в построении статистической теории молекулярных систем. Еще задолго до создания статистической механики французский математик Ж.Лиувилль, занимаясь исследованием преобразования канонических переменных в уравнениях Гамильтона, доказал в 1838 г. теорему, согласно которой функциональный определитель канонического преобразования равен единице. Применив эту теорему к анализу движения молекулярной системы, Больцман нашел, что элемент объема фазового пространства остается неизменным» [2, с.375].

Л.С.Полак в книге «Людвиг Больцман» [4] говорит о теореме Лиувилля: «Впервые применил ее в статистической механике Больцман, в исследованиях которого эта теорема играет существенную и даже основную роль (она играет важную роль также и в исследованиях по механике Якоби). Фундаментальная теорема Лиувилля управляет временным поведением (эволюцией) ансамблей. Она позволяет рассмотреть условия статистического равновесия и обоснованно ввести основное допущение классической статистики: гипотезу равных a priori вероятностей для различных классических состояний, определенных равными объемами в фазовом пространстве, относящемся к исследуемой системе. Надо отметить еще раз замечательную интуицию Больцмана в выборе теоремы Лиувилля как основы статистической механики, связывающей классическую механику с движением несжимаемого потока плотности вероятности. Конечно, в этом ему помогло великолепное знание основных принципов механики...» [4, с.160].

Теорема Лиувилля - Больцмана играет существенную роль и в статистической теории неравновесных термодинамических процессов, основы которой заложены Л.Онсагером и И.Пригожиным. Бельгийский физико- химик, создатель теории диссипативных систем, Илья Пригожин упоминает об этой теореме в книге «Время. Хаос. Квант» [5] «.Динамическая эволюция сохраняет число представляющих точек в фазовом пространстве. Это фундаментальное свойство приводит к теореме Лиувилля, которую мы уже излагали. Эта теорема утверждает, что плотность p ведет себя как несжимаемая жидкость: для любой динамической системы объем области, занятой представляющими точками в фазовом пространстве, сохраняется в ходе эволюции. Однако, как уже упоминалось, теорема Лиувилля отнюдь не исключает изменения формы области, занятой представляющими точками» [5, с.132].

Аналогия третья: открытие кинетического уравнения Больцмана

В 1872 г., исследуя, при каких условиях газовая система может приближаться к равновесному состоянию (распределению Максвелла) и пребывать в нем значительное время, Л.Больцман вывел свое знаменитое кинетическое уравнение. При выводе данного уравнения ему пришлось сделать ряд упрощающих предположений. В частности, принимались во внимание только парные соударения молекул, выдвигалась гипотеза молекулярного хаоса (молекулярного беспорядка), согласно которой положение и скорость каждой молекулы газа не должны зависеть от положения и скоростей всех остальных молекул. Другими словами, предполагается, что корреляции между частицами газа являются несущественными. Несмотря на то, что это предположение вызвало множество дискуссий, именно упрощающее допущение о статистической независимости молекул позволило получить уравнение Больцмана как замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения. «Развитый Больцманом подход имел поразительный успех и наложил глубокий отпечаток на всю историю физики» [4, с.92].

Кинетическое уравнение, выведенное Л.Больцманом (1872), описывает эволюцию функции распределения в фазовом пространстве одной частицы. Уравнение содержит два члена: 1) потоковый, описывающий движение молекул по траекториям в фазовом пространстве и представленный дифференциальным оператором; 2) столкновительный - описывающий изменения скорости молекул, обусловленные столкновениями (этот член представлен интегральным оператором). Следовательно, уравнение Больцмана, - это интегро-дифференциальное уравнение, причем столкновительный член является нелинейным. В этой нелинейности состоит одна из трудностей для построения методов точного решения уравнения.

Тем не менее, существуют способы линеаризовать уравнение Больцмана, то есть превратить его в линейное уравнение, которое оказалось необычайно полезным в различных областях физики. Например, кинетическое уравнение Больцмана (опять же по аналогии) было перенесено в теорию электрон -ионной плазмы, в физику твердого тела, нейтронную физику (теорию ядерных реакторов), теорию распределения звезд в галактике (звездную динамику). Уравнение Больцмана также используется в космологии для описания ряда физических процессов, характерных для начальных стадий развития Вселенной.

Как же Л.Больцман открыл свое знаменитое кинетическое уравнение? Выше мы отметили, что оно состоит из двух членов - потокового и столкновительного. Потоковая (левая) часть уравнения была открыта великим австрийским физиком по аналогии с уравнением Лиувилля для функции распределения частиц в классической (гамильтоновой) системе. Данное уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения частиц в фазовом пространстве классической механической системы. Таким образом, Л.Больцман перенес в статистическую физику (молекулярно-кинетическую теорию) указанное уравнение Лиувилля, взятое из классической механики. Добавив к этому уравнению столкновительный член, учитывающий парные взаимодействия между молекулами, Л.Больцман и получил свое знаменитое кинетическое уравнение.

Об этой аналогии пишет В.В.Козлов в книге «Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре» [6]: «Основным достижением Больцмана является его кинетическое уравнение

% + (f .») = f 1 d30 1 d=e [f f , -ff] |(ш - и) xe|,

которое описывает изменение плотности вероятности f (г, и, t) того, что частицы (являющиеся твердыми шарами диаметра 5) в момент времени t находятся в точке г Є R3 и имеют скорость и. Выражение в левой части уравнения Больцмана представляет левую часть уравнения Лиувилля для одной свободной частицы» [6, с.43].

Теперь несколько слов о гипотезе молекулярного хаоса, введенной австрийским физиком при выводе упомянутого уравнения. Одна из причин, заставивших Л.Больцмана ввести эту гипотезу (идею о статистической независимости молекул), состояла в его стремлении использовать в молекулярно-кинетической теории результаты математической теории вероятностей. Теория вероятностей времен Л.Больцмана не могла описывать зависимые события: ситуация стала меняться лишь после работ Андрея Андреевича Маркова (1856-1922), который распространил закон больших чисел на зависимые события, т.е. на «цепи Маркова».

Как отмечает Л.С.Полак [4], раскрывая мотивацию Л.Больцмана, «последовательные соударения какой-либо молекулы должны рассматриваться как независимые события для того, чтобы к ним можно было применить законы исчисления вероятностей» [4, с.93]. Таким образом, желание использовать аналогию, то есть перенести идеи и методы математической теории вероятностей в молекулярно-кинетическую теорию и побудило Л.Больцмана «изобрести» гипотезу молекулярного беспорядка.

В процессе вывода кинетического уравнения Л.Больцман также сформулировал свою известную H-теорему, которая описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых термодинамических процессах. В свое время И.Лошмидт заявил, что H-теорема Л.Больцмана противоречит тому теоретически возможному обстоятельству, что любую газовую систему, перешедшую от упорядоченного состояния к хаосу, можно снова сделать упорядоченной, просто «обратив» импульсы всех частиц без изменения полной кинетической энергии системы. Иначе говоря, И.Лошмидт считал, что достаточно сменить знаки всех скоростей молекул на противоположные, чтобы система начала развиваться в обратном направлении (чтобы газ, занявший весь объем сосуда, самопроизвольно собрался в половине сосуда). Л.Больцман ответил оппоненту весьма лаконично: «Ступайте и поверните эти скорости! Посмотрим, как это у вас получится» [7, с.26].

Аналогия четвертая: открытие статистической природы второго начала термодинамики

Первоначально Л.Больцман, как и многие другие ученые (Р.Клаузиус, Г.Гельмгольц), был уверен в возможности найти строгое аналитическое доказательство второго начала термодинамики, то есть вывести его из какого - либо общего принципа классической механики. В определенный момент Л.Больцман пришел к заключению, что достичь успеха можно, если использовать принцип наименьшего действия (принцип П.Мопертюи). В 1866 г. австрийский физик опубликовал работу «О механическом смысле второго начала теории теплоты», в которой предпринял попытку вывести принцип роста энтропии из упомянутого принципа наименьшего действия. Однако вскоре Л.Больцман понял ошибочность своего подхода. Поиск других «механических» принципов, позволяющих дать аналитическое обоснование второго закона термодинамики, также не увенчался успехом. Всякий крупный ученый способен анализировать свои ошибки и делать правильные выводы из результатов такого анализа. Неудача, постигшая Л.Больцмана, индуктивно натолкнула его на мысль о невозможности решить стоящую задачу средствами механики (о бесперспективности поисков механического принципа, из которого чисто дедуктивно можно вывести постулат о стремлении энтропии к максимуму). Именно на этой стадии исследований ученый решил использовать теоретико-вероятностные положения и, в конце концов, пришел к выводу о чисто статистическом смысле второго начала термодинамики.

Этой «интеллектуальной трансформации» Л.Больцмана способствовали, по меньшей мере, три аналогии. Во-первых, он обратил внимание на то, что сформулированный Дж.Максвеллом закон распределения молекул газа по скоростям является статистическим законом. Вспомним, что шотландский физик открыл его по аналогии со статистическим законом распределения ошибок наблюдений, выведенным К.Гауссом. Л.Больцман рассуждал: если закон распределения газовых молекул по скоростям имеет статистический (вероятностный) характер, то, скорее всего, и принцип роста энтропии относится к категории вероятностных принципов. Впоследствии (в полемике с Э.Цермело) австрийский физик специально подчеркивал статистическую природу закона распределения Максвелла: «Я часто указывал с максимально возможной для меня ясностью, что максвелловский закон распределения скоростей между молекулами газа никоим образом не является теоремой обычной механики, которую можно доказать, опираясь только на уравнения движения; напротив, можно лишь доказать, что он обладает весьма высокой степенью вероятности...» [4, с.156].

Во-вторых, в книге Дж.Максвелла «Теория теплоты» (1871) был описан мысленный эксперимент, в котором хитроумное существо, названное «демоном Максвелла», могло сортировать находящиеся в замкнутом сосуде молекулы газа по скоростям таким образом, что величина энтропии газа не увеличивалась, а уменьшалась. Еще ранее Дж.Максвелл сообщал об этом «демоне» в письме, адресованном П.Тэту (1867). Данный мысленный эксперимент использовался автором «Теории теплоты», чтобы иллюстрировать статистическую природу принципа роста энтропии. Иначе говоря, уже Дж.Максвелл рассуждал о статистическом характере второго начала термодинамики, и его аргументация не могла не повлиять на Л.Больцмана.

М.А.Ельяшевич и Т.С.Протько в статье «Вклад Максвелла в развитие молекулярной физики и статистических методов» [8] указывают: «Весьма существенно, что Максвелл был первым, кто понял статистическую природу второго начала термодинамики. Задолго до появления известной H -теоремы Больцмана, Максвелл в письме к Тэту в декабре 1867 г. применил своего «демона» для иллюстрации статистической природы второго начала термодинамики. Максвелл отмечал, что второе начало термодинамики применимо только к системе, состоящей из большого числа молекул, и может нарушаться отдельными молекулами» [8, с.411].

Об этом же сообщает Я.Г.Дорфман во 2-м томе книги «Всемирная история физики» [9]: «Интересно отметить, что Максвелл с самого начала считал второе начало законом статистическим и относился резко критически к любым попыткам вывести его из каких-либо принципов механики» [9, с.133].

В-третьих, чтобы осознать статистический характер второго закона термодинамики, нужно было проанализировать роль статистических представлений в различных областях науки и убедиться в том, что эти представления продуктивны (плодотворны). Плодотворность статистического подхода в одной научной области по аналогии «намекала» на целесообразность его использования в другой области. Бельгийский ученый Адольф Кетле (1796-1874), широко применявший статистические методы в демографии и социологии, своими работами смог убедить Дж.Максвелла и Л.Больцмана в том, что и в молекулярно-кинетической теории эти методы могут оказаться полезными. Следует отметить, что после того, как в 1846 г. А.Кетле опубликовал в Брюсселе книгу «Человек и развитие его способностей. Опыт общественной физики», она была немедленно переведена на английский язык. Джон Гершель (1792-1871), сын Вильяма Гершеля, первооткрывателя планеты Уран, опубликовал в 1850 г. обзор этой книги, в котором попытался дать строгое доказательство закона распределения ошибок К.Гаусса. С этим доказательством был знаком Дж.Максвелл.

О том, что работы А.Кетле повлияли на исследования Дж.Максвелла и Л.Больцмана в области статистической физики, пишут многие авторы. Л.Млодинов в книге «Несовершенная случайность» [10] отмечает: «...Работа Кетле проникла в биологию. Однако внесла она оживление и в физику: Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман, двое из основателей статистической физики, черпали свое вдохновение из теорий Кетле» [10, с.240].

«Вооруженные теориями Кетле, они создали новую область - статистическую физику, прибегнув к математически подкрепленной вероятности и статистике, - чтобы объяснить, каким образом свойства жидкостей происходят из движения (тогда гипотетического) атомов, их составляющих» [10, с.242].

Ф.Болл в монографии «Критическая масса» [11] пишет о том, что Дж.Максвелл ознакомился со многими статистическими идеями А.Кетле, прочитав сочинение Генри Томаса Бокля «История цивилизации в Англии» (1861): «...Когда Максвелл занялся описанием газовых систем, в которых молекулы постоянно двигаются и сталкиваются в таком количестве, что любые точные расчеты становятся невозможными, он четко осознал аналогию этой задачи с проблемой Бокля, описывающего общество, в котором поведение каждой отдельной личности непредсказуемо и непостижимо.» [11, с.81]. «В 1873 году, - продолжает автор, - Максвелл подчеркнул, что именно опыт социальных статистиков убедил его в корректности методов статистики, позволяющих, образно говоря, извлекать порядок из микроскопического хаоса.» [11, с.82].

Далее автор говорит об обзоре Джона Гершеля (1850), где содержалась первая попытка доказать закон распределения ошибок К.Гаусса: «Кстати, в этом обзоре Гершель указывал на возможную аналогию между социальной физикой (которую вводил А.Кетле - Н.Н.Б.) и возникающей в эти годы кинетической теорией» [11, с.82]. Переходя к анализу исходных посылок идей Л.Больцмана, автор «Критической массы» подчеркивает: «Больцман тоже был знаком с работами Бокля и сразу понял почти прямую аналогию между поведением частиц газа и отдельных личностей в статистических данных переписей, используемых Боклем.» [11, с.82-83].

Приведем еще один источник, свидетельствующий о том, что Л.Больцман переносил в молекулярно-кинетическую теорию статистические методы, применявшиеся в «социальной физике» А.Кетле и Г.Т.Бокля. Б.Г.Кузнецов в книге «Развитие физических идей от Галилея до Эйнштейна в свете современной науки» [12] повествует о докладе, прочитанном Л.Больцманом в 1886 г. на заседании Венской академии наук: «Больцман ссылается на примеры статистических закономерностей, широко известные благодаря развитию демографической и социальной статистики. Пока существенно не изменяются внешние обстоятельства, число так называемых добровольных поступков, например, преступлений, самоубийств и т.д., число случайных поступков (например, число писем, опущенных в почтовый ящик без адреса), число рождений, смертей и болезней остается для больших масс населения неизменным. «И в области молекулярных явлений дело происходит подобным же образом», - говорит Больцман. Эта ассоциация показывает не только корни статистических идей в сознании самого Больцмана, т.е. «онтогенез» статистической физики в творчестве мыслителя, но также действительную историческую связь между демографической статистикой и статистической физикой - «филогенез» последней. Образы демографической статистики так же воздействовали на интуицию физика, как строгие выводы математической теории вероятностей на математический аппарат термодинамики» [12, с.275- 276].

Аналогия пятая: интерпретация формирования беспорядка в газовой системе

Аргументы И.Лошмидта о том, что при обращении знака скоростей молекул можно добиться возвращения газовой системы в окрестность исходного (упорядоченного) состояния, заставили Л.Больцмана более глубоко рассмотреть природу порядка и его противоположности - хаоса. Нужно было найти примеры эволюции системы от порядка к беспорядочному состоянию и описать механизм процесса. Разумеется, австрийский физик нашел подобные примеры и показал, что переход динамической системы в равновесное состояние, характеризующееся средними значениями скоростей и положений частиц, более вероятно, чем обратный процесс. Капля чернил расплывается в воде, поскольку случайные блуждания частиц красящего вещества с очень большой вероятностью разводят эти частицы по объему; гораздо менее вероятен противоположный процесс, когда все эти частицы случайным образом вновь соберутся в каплю. Похожая ситуация - тасовка игральных карт, когда на смену упорядоченному расположению карт (распределенных по мастям) приходит их хаотичное расположение. Заслуга Л.Больцмана в том, что он провел аналогию между эволюцией газовой системы и процессом, подобным тасовке карт. Это была одна из аналогий, позволивших ему найти способ вычисления энтропии газовой системы.

Л.И.Маневич в статье «Обратимость и стрела времени: между порядком и хаосом» [13] констатирует: «Проникновение теории вероятности в физику произошло в то время, когда атомно-молекулярное строение вещества не было еще твердо установлено, и феноменологическая точка зрения, основанная на континуальных представлениях, многими исследователями воспринималась как последнее слово теории. Тем большего признания заслуживает вклад Дж.Максвелла, Л.Больцмана и У.Гиббса, сформулировавших и далеко продвинувших проблему установления связи между макроскопическим поведением вещества и динамикой составляющих его тогда еще гипотетических молекул. Для Больцмана, посвятившего этой проблеме всю жизнь, руководящей идеей была, по-видимому, аналогия между временной эволюцией динамической системы и процессами, подобными, например, тасовке карт. Тасовка, начинающаяся с упорядоченного расположения карт от низших к высшим (или наоборот) в каждой масти (существует только 48 различных возможностей такого распределения), приводит к неупорядоченной колоде. Вероятность возвращения к упорядоченному расположению не равна нулю, но ничтожна мала. Больцман как раз пытался истолковать понятие энтропии на языке теории вероятностей, считая, что эволюция механической системы в каком-то смысле напоминает формирование беспорядка (рост числа неупорядоченных распределений) при тасовке карт...» [13, с.78-79].

Аналогия шестая: разработка метода вычисления энтропии газовой системы

Интерпретация процесса формирования беспорядка как перехода динамической системы к наиболее вероятному состоянию позволяет отождествить энтропию с вероятностью. А после этого отождествления открывается возможность для того, чтобы перенести в молекулярно - кинетическую теорию совокупность идей и методов математической теории вероятностей и комбинаторики (теории перестановок и сочетаний). Осуществляя этот перенос, Л.Больцман смог вычислить энтропию газовой системы. В 1877 г. он определил вероятность распределения энергии между частицами газа, произведя прямой подсчет числа различных способов (микросостояний), которыми данное распределение может быть реализовано. Число микросостояний ученый называл «числом комплексий», соответственно, энтропия в его трактовке - это не что иное, как число комплексий.

Я.М.Гельфер в книге «История и методология термодинамики и статистической физики» [2] поясняет: «В основе статистической интерпретации второго начала термодинамики лежало открытое Больцманом соотношение между энтропией S и термодинамической вероятностью W состояния системы: S = kln W. Под W Больцман понимал число физически различимых микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние» [2, с.518].

Австрийский физик догадался, что его вычисления можно упростить, если использовать приближенную формулу Стирлинга (аппроксимацию Стирлинга) для факториалов. В результате он перенес в статистическую физику формулу, выведенную шотландским математиком Джеймсом Стирлингом (1692-1770), который, конечно, не подозревал о таком применении его формулы, которая приводит к точным результатам даже при малых значениях n. Напомним, что в математике факториал неотрицательного целого n числа, обозначаемый n!, - это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных n.

Л.С.Полак в очерке «Людвиг Больцман и развитие молекулярно - кинетической теории газов» [14] пишет: «Больцман начинает с любимой им дискретной модели («нереализуемой фикции»), которая, тем не менее, позволяет развить существенные идеи и представления. В то время как прежние исследования молекулярного распределения основывались на изучении того, как оно изменяется во времени в результате молекулярных соударений, здесь Больцман отказывается от кинетического приближения. Он хочет определить вероятность распределения «совершенно независимо от того, как это распределение возникло». Новый метод - прямой подсчет числа различных способов (микросостояний), которыми данное распределение может быть реализовано. Этот метод позволяет полностью исключить все трудности, связанные с вопросами о механизме столкновений» [14, с.532].

Далее автор указывает: «Больцман использует приближенную формулу Стирлинга...» [14, с.533].

Об этом же сообщает О.П.Спиридонов в книге «Людвиг Больцман: жизнь гения физики и трагедия творца» [15]: «Разбиение частиц на определенные энергетические интервалы позволило Больцману подсчитать число перестановок частиц внутри каждого интервала. Очевидно, что внутри первого интервала их будет щ!, второго - n2! и т.д. Так как такие перестановки не меняют термодинамического состояния системы, то для определения термодинамической вероятности состояния Больцман предлагает исключить их из полного числа перестановок N!» [15, с.133-134]. Автор добавляет: «Так как nil, n2! велики, Больцман заменяет значения факториалов на их приближенные значения, пользуясь формулой Стирлинга: n! ~ V2n(n/e)n, где e - основание натуральных логарифмов (е = 2,718.)» [15, с.134].

Использование формулы Стирлинга в исследованиях Л.Больцмана, позволивших вычислить энтропию газа, можно сравнить (по значению) с тем, как он догадался перенести в молекулярно -кинетическую концепцию теорему Ж.Лиувилля о сохранении фазового объема.

Аналогия седьмая: создание теории статистических ансамблей

И.Пригожин в книге «От существующего к возникающему» [16] значительное внимание уделяет роли Дж.Гиббса и А.Эйнштейна в разработке теории статистических ансамблей - совокупности одинаковых статистических систем, которые характеризуются одними и теми же значениями термодинамических параметров, но могут находиться в различных микроскопических состояниях. Отсюда может возникнуть впечатление, что эти ученые являются единоличными авторами теории ансамблей, аналог которой нашел большое применение в квантовой механике и неравновесной термодинамике. Приоритет в разработке указанной теории им - Дж.Гиббсу и А.Эйнштейну - отдавал и американский науковед Томас Кун, автор «Структуры научных революций». На самом деле основы концепции статистических ансамблей были заложены уже Л.Больцманом (1881). И сделал он это, опять же руководствуясь аналогией. В данном случае аналогия заключалась в том, что выдающийся физик правильно понял идею ансамблей Дж.Максвелла (1878), воспроизвел и развил ее, сделав концепцию ансамблей важной частью статистической физики.

Опишем ряд объективных причин, обусловивших возникновение теории статистических ансамблей. И.И.Ляпилин и В.П.Калашников в книге «Неравновесный статистический оператор.» [17] указывают, что интегрирование уравнений механики для очень большого числа переменных является практически невыполнимой задачей, но даже если бы это было возможно, мы все равно не смогли бы определить начальные условия для такого большого числа уравнений. Для преодоления этих трудностей принимается во внимание то обстоятельство, что в поведении систем из очень большого числа частиц начинают проявляться статистические закономерности, основанные на законе больших чисел. Поэтому в статистической механике «рассматривают не данную систему, а совокупность большого (в пределе бесконечного) числа ее копий, находящихся в макроскопически тождественных условиях, т.е. вводят статистический ансамбль, «представляющий» макроскопическое состояние системы. Тождественность внешних условий в макроскопическом смысле означает, что все экземпляры ансамбля характеризуются одинаковыми значениями макроскопических параметров (с точностью до возможных флуктуаций) и одинаковыми типами контактов с окружающими телами, например, резервуарами энергии или частиц. Это накладывает ограничения на координаты и импульсы частиц, которые в остальном могут быть произвольными» [17, с.12-13].

Отметим, что каждой системе, входящей в ансамбль, соответствует точка в фазовом пространстве. С течением времени каждая фазовая точка движется по собственной траектории в фазовом пространстве. Статистический ансамбль задается функцией распределения, имеющей смысл плотности вероятности распределения систем в фазовом пространстве.

Л.С.Полак в очерке [14] пишет об истории становления концепции ансамблей: «Переход от молекулярно-кинетической теории газа к статистической механике связан с введением в рассмотрение понятия «ансамбля», который представляет статистическое распределение в данный момент времени N тождественных систем, равномерно распределенных в фазовом пространстве; ранее же рассматривалось распределение во времени состояний одной-единственной системы (для простоты - газ). Максвелл перешел от такого рассмотрения в его ранних работах к картине, основанной на концепции ансамбля, в 1878 г., за год до смерти (Trans. Cambr. Phil. Soc., 1879, vol.12, p.547-570, представлено в мае 1878 г.). Надо заметить, что эта работа была не понята последователями Максвелла в Англии, многие из которых считали, что каждая из максвелловских N систем есть молекула, а все они вместе представляют собой газ. Больцман прекрасно понял идею Максвелла, воспроизвел его доказательство в 1881 г. и использовал концепцию ансамбля для решения специальных задач. Трудно согласиться с Т.Куном, который без каких-либо доказательств утверждает, что Больцман не сделал концепцию ансамбля «центральной. Исторически это был вклад Гиббса и Эйнштейна» [14, с.488-489].

Аналогия восьмая: перенос гипотезы молекулярного беспорядка в теорию электромагнитного излучения

Выше мы отметили, что в своих исследованиях Л.Больцман использовал гипотезу молекулярного беспорядка (молекулярного хаоса), согласно которой корреляции между молекулами, постоянно сталкивающимися друг с другом, несущественны. Эта предположение «позволяет получить уравнение Больцмана как замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения» [4, с.92]. Мы также указывали, что гипотеза молекулярного беспорядка (идея о статистической независимости молекул) являлась одним из важных условий для широкого применения теоретико-вероятностных представлений в молекулярно-кинетической теории.

В конце XIX века возникла необходимость объяснить излучение абсолютно черного тела. Нужно было найти правильную формулу распределения электромагнитной энергии в спектре абсолютно черного тела (распределения по длинам волн), а также дать теоретическое объяснение этого распределения. Как известно, указанную формулу излучения нашел немецкий физик Макс Планк (1900), который при интерпретации полученного результата выдвинул квантовую гипотезу, т.е. гипотезу о том, что электромагнитная энергия, излучаемая и поглощаемая черным телом, имеет дискретный характер (состоит из отдельных порций, названных квантами). Таким образом, М.Планк открыл корпускулярный («зернистый») характер электромагнитной энергии.

Однако это открытие нельзя было сделать без использования гипотезы «естественного излучения», которая является аналогом гипотезы Л.Больцмана о молекулярном беспорядке (молекулярном хаосе). Для введения гипотезы «естественного излучения» достаточно перейти от принципа статистической независимости молекул газа к принципу статистической независимости «естественных» излучающих электрических резонаторов. Хотя автором гипотезы «естественного излучения» считается М.Планк, в действительности ее впервые сформулировал Л.Больцман (1897). Он первым осознал необходимость переноса идеи о молекулярном беспорядке из термодинамики (молекулярно-кинетической теории) в теорию электромагнитного излучения. И, находясь в переписке с М.Планком, сообщил ему о целесообразности подобной экстраполяции.

Об этой аналогии Л.Больцмана сообщает Я.М.Гельфер в уже цитировавшейся нами монографии [2]: «Предлагая ввести в теорию излучения гипотезу, аналогичную гипотезе «молекулярного беспорядка» для газов, Больцман обращал внимание Планка на то, что тогда для излучения можно было бы сформулировать теорему, которая играла бы роль H-теоремы в молекулярно-кинетической теории газов, и только тогда можно было бы понять процесс установления равновесного состояния в случае излучения. Таким образом, великий австрийский физик смело перенес идеи, разработанные им в молекулярно-кинетической теории, на процессы электромагнитного излучения. Этот шаг имел большое научное и методологическое значение: именно он подготовил почву, на которой Планк воздвиг здание квантовой теории» [2, с.470].

Аналогия девятая: использование идеи о дискретности энергии молекул газа

В свое время древнегреческий философ, ученик Парменида, Зенон Элейский сформулировал парадокс, согласно которому существуют условия, при которых быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху. Представим себе, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находится позади нее на расстоянии в 1000 шагов. Зенон утверждал, что за то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха проползет 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит 100 шагов, черепаха проползет еще 10 шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес никогда не догонит черепаху. В чем состояло условие, которое создавало иллюзию правоты Зенона? В том, что он допускал бесконечную делимость расстояния. Если мы придерживаемся такого допущения, то Ахиллес, действительно, будет всегда отставать от неторопливой черепахи. Таким образом, решение парадокса Зенона заключается в признании ложности представления о бесконечной делимости расстояния.

Когда Л.Больцман стал переносить в молекулярно-кинетическую теорию понятия и методы математической теории вероятностей и комбинаторики (теории перестановок и сочетаний), он столкнулся с аналогичным парадоксом. Можно сказать, что он столкнулся с парадоксом «Ахиллес и черепаха» в чистом виде. Связав энтропию с вероятностью, а вероятность с числом способов (комплексий) распределения энергии в газовой системе, Л.Больцман задался целью вычислить энтропию газа средствами комбинаторики. Однако если отказаться от допущения, что энергия имеет дискретную (парциальную) структуру, эта цель останется недостижимой. Иначе говоря, если признать бесконечную делимость энергии, то число способов (комплексий) распределения энергии в газе получится бесконечным. В этом случае мы не сможем представить указанное число комплексий в виде конечной величины и вычислить энтропию. Когда Л.Больцман понял это, он вполне намеренно ввел в свои расчеты элемент дискретности, то есть предположил, что энергия молекул газа состоит из отдельных, неделимых далее, порций (элементов). Тем самым Л.Больцман (1877) избежал ловушки, в которую можно попасть, если следовать Зенону, допускавшему бесконечную делимость расстояния и бессилие Ахиллеса в попытках догнать черепаху. И, конечно, главная причина, заставившая австрийского физика ввести элемент дискретности, - стремление реализовать фундаментальную аналогию, то есть перенести теоретико-вероятностные методы в молекулярно-кинетическую теорию. Иначе говоря, гипотеза Л.Больцмана о дискретности энергии газовых молекул - детище этой фундаментальной аналогии. Укажем, что Л.Больцман использовал представление о дискретности энергии, чтобы дать новое доказательство закона Дж.Максвелла о распределении молекул газа по скоростям. Сам Дж.Максвелл также не был удовлетворен своим доказательством и искал альтернативные подходы. Предложенный Л.Больцманом метод подсчета числа комплексий как раз и был одним из таких альтернативных подходов.

Л.С.Полак в книге «Людвиг Больцман» [4] говорит об австрийском физике и его сочинении 1877 года: «Он посвятил целый раздел своего мемуара рассмотрению альтернативного вывода указанных выше результатов. Этот альтернативный вывод он считал более ясным и более конструктивным. Основная идея его состояла в том, чтобы рассматривать энергию как дискретную, а не как непрерывную переменную, так что кинетическое уравнение (15) заменяется системой обыкновенных дифференциальных нестационарных уравнений. Больцман предпочитал думать, когда это было возможно, в терминах дискретных величин. Он аргументировал это тем, что такой путь имеет исторические прецеденты (Лагранж и Риман)» [4, с.89]. «Таким образом, - резюмирует автор, - Больцман (за 28 лет до работы М.Планка о квантах энергии) использовал представление о дискретности энергии в процессе обмена при статистическом обосновании второго закона термодинамики. Это представление «о конечных порциях энергии», которыми могут обмениваться молекулы при столкновениях, привело Больцмана к подсчету числа столкновений методами комбинаторики» [4, с.89].

Можно удивиться тому, как много Л.Больцман сделал для того, чтобы М.Планк открыл квантовую (дискретную) структуру энергии излучения абсолютно черного тела. Чтобы открыть ее и получить в награду Нобелевскую премию по физике (М.Планк получил ее в 1918 г.), нужно было перенести в теорию излучения ряд идей Л.Больцмана. Прежде всего, идею о связи энтропии и вероятности, гипотезу молекулярного беспорядка («естественного излучения»), представление о дискретности энергии молекул и метод подсчета комплексий. Следовательно, квантовая гипотеза М.Планка - такое же дитя мыслительной операции аналогии (переноса), как и многие, рассмотренные нами, идеи самого Л.Больцмана.

Е.М.Кляус и У.И.Франкфурт в книге «Макс Планк» [18] повествуют о том, как автор квантовой гипотезы перенес на электромагнитное излучение статистические методы Л.Больцмана: «В докладе, прочитанном 19 октября 1900 г., вопрос о законе спектрального распределения энергии в излучении черного тела был, по существу, решен. Однако не было его надлежащего обоснования, и перед Планком стояла задача теоретически вывести выражение для энтропии осциллятора. В поисках решения он пошел по пути Больцмана...» [18, с.304]. Далее авторы указывают: «Основной гипотезой планковской теории излучения является гипотеза больцмановской теории комплексии» [18, с.350]. «Гипотеза больцмановской теории комплексии послужила основной гипотезой и в планковской теории излучения» [18, с.351].

Об этом же докладе М.Планка, в котором ученый признался в использовании идей Л.Больцмана, пишет один из предтеч лазерных технологий В.А.Фабрикант [19]: «В докладе Планк ссылался на большой мемуар 1877 года, в котором Больцман для построения кинетической теории газов воспользовался методами теории вероятностей. Планк решил применить теорию вероятностей к вопросу о распределении по энергиям осцилляторов, а потом перейти к распределению интенсивности в спектре абсолютно черного излучения» [19, с.19]. Далее автор указывает, как элемент дискретности, использованный Л.Больцманом в молекулярно -кинетической теории, «перекочевал» в теорию излучения М.Планка: «Больцман в указанном мемуаре ввел, как он писал, «полезную фикцию», заключавшуюся в предположении, что кинетическая энергия молекул может иметь только дискретный ряд значений, кратных одной и той же величине є» [19, с.19].

«Несмотря на формальный характер примененного Больцманом приема, он, очевидно, сыграл существенную роль в становлении взглядов Планка, предположившего, что энергия осцилляторов также образует дискретный ряд значений, кратных одной и той же величине» [19, с.20].

Аналогия десятая: формулировка идеи о возможности перенести теорию Л.Больцмана на открытые системы

Л.Больцман восхищался теорией биологической эволюции, предложенной Ч.Дарвином (1859), обращая внимание на определенные параллели между ней и своей кинетической теорией газов. Применив в биологии статистический метод, Ч.Дарвин показал, что на больших отрезках времени случайные наследственные изменения, накапливаясь, приводят к адаптации животных к окружающей среде. То есть небольшие случайные флуктуации определяют эволюцию огромных популяций организмов. Это напоминало физический процесс, в ходе которого молекулы газа, изначально обладающие различными скоростями, со временем приобретают состояние, характеризующееся распределением Максвелла. Но Л.Больцман понимал, что биологическая эволюция, сопровождающаяся повышением степени организации (сложности), - противоположность той тенденции, при которой газовая система переходит в равновесное (наиболее вероятное) состояние. Поэтому он предположил, что его теория и статистические методы, разработанные им для равновесных термодинамических процессов, могут быть перенесены на неравновесные процессы. Л.Больцман не осуществил этот перенос (не построил теорию самоорганизации открытых систем), но сама мысль о возможности распространения его результатов на открытые термодинамические системы - ценный вывод, основанный на аналогии. Справедливость этого вывода доказали уже другие ученые - И.Пригожин, Ю.Л.Климонтович, Г.Хакен и т.д.

Ю.Л.Климонтович в статье «Введение в физику открытых систем» [20] подчеркивает: «.. .Именно Больцман определил XIX век как век Дарвина. Тем самым на первое место он поставил принцип биологической эволюции. В чем же дело? Ведь во времена Больцмана не существовало каких-либо математических моделей биологической эволюции. Основным движущим фактором была уверенность Больцмана в том, что развитая им теория временной эволюции газа в замкнутой системе будет обобщена и на открытые системы. К числу последних относятся и все биологические объекты. Теория эволюции Дарвина и была, таким образом, первым шагом в теории эволюции открытых систем. Больцман был одним из немногих в то время, кто понял важность этого «первого шага» [20, с.109-110].