Основы электротехники

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.Расчет линейных электрических цепей постоянного тока. Методы расчета

1.1 Закон Ома

1. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис. 1.2

2. Закон Ома для участка цепи, содержащей источник ЭДС (см рис. 1.3).

.

Если направления ЭДС Е и напряжения U совпадают с направлением тока I, то они входят в уравнение со знаком «+», в противном случае - со знаком «-».



1.2 Законы Кирхгофа

Соотношения между токами и ЭДС в ветвях электрической цепи и напряжениями на элементах цепи, позволяющие произвести расчет электрической цепи, определяются двумя законами Кирхгофа. Эти законы оперируют с тремя топологическими элементами цепи.

Ветвь - это участок цепи, содержащий ряд последовательно соединенных элементов, по которым может протекать один и тот же ток. Обозначим количество ветвей символом b.

Узел - точка соединения трех и более ветвей. Узлы можно обозначить символами а, b, с Количество узлов схемы обозначим символом y.

Контур - замкнутый путь для электрического тока, образованный ветвями схемы. Независимый контур содержит хотя бы одну новую ветвь, не входящую в ранее выбранные контуры. Количество независимых контуров равно (b-y+1).

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

?I_k=0.

При этом токи, подтекающие к узлу, берут с одним произвольно выбранным знаком (обычно со знаком «+», а токи, утекающие от узла, - с противоположным знаком. Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между парой узлов участка характеризуется разностью потенциалов или равным ему напряжением.Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжения на элементах любого контура равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:

?IR=?E



2.Методы расчета электрических цепей постоянного тока

2.1 Эквивалентные преобразования электрических цепей

Если цепь с одним источником ЭДС включает в себя участки с только последовательным и параллельным соединением приемников, то расчет токов ветвей можно провести методом свертывания в следующей последовательности.

1. На схеме отмечаются все токи и узловые точки.

2. Группы резисторов с явно выраженным последовательным (рис. 2.1) или параллельным (рис. 2.2) соединением заменяются эквивалентными, и определяются их сопротивления.

3. Замена производится до получения простейшей схемы, для которой элементарно определяется общее (эквивалентное) сопротивление всей цепи.

4. По заданному напряжению источника и вычисленному общему сопротивлению всей цепи определяется ток в неразветвленной части цепи (общий ток).

5. Определяются падения напряжения на участках цепи и ток каждого резистора.

Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на следующем примере.

Пример 1. В цепи (схема на рис. 2.3, а) сопротивления R₆ и R₇ заменим на R₆₇=R₆+R₇ (рис. 2.3, б). Сопротивления R₅, R₆ и R₇ заменим на R₅₇=(R₅R₆₇)/(R₅+R₆₇) (рис. 2.3, в). Сопротивления R₄, R₅, R₆ и R₇ заменим на R₄₇=R₄+R₅₇ (рис. 2.3, г). Сопротивления R₂ и R₄₇ заменим на R₂₄₇=(R₂R₄₇)/(R₂+R₄₇) (рис. 2.3, д). Наконец, найдем R_экв=R₁+R₃+R₂₄₇.

В получившейся цепи (рис. 2.4) найдем ток I в неразветвленной части цепи путем элементарного расчета по закону Ома для участка цепи. Для остальных схем, следуя в обратном порядке (от д к а) найдем напряжения на элементах по закону Ома и токи ветвей по первому закону Кирхгофа.

Расчет некоторых объемных электрических цепей значительно упрощается, если преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду или звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник.

Контур, состоящий из трех сопротивлений R_AB, R_BC и R_CA, имеющий три узловые точки A, B и C, образует треугольник сопротивлений (рис. 2.5, а).

Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений R_A, R_B и R_C, соединенных в одной узловой точке O, образует звезду сопротивлений (рис. 2.5, б).

Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками A, B и С токи I_A, I_B и I_C звезды и треугольника оставались без изменений.

Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, называются эквивалентными.



При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивления звезды определяются следующими выражениями:

При замене звезды эквивалентным треугольником каждое сопротивление треугольника определяется следующими выражениями:

Пример 2. Определить ток в неразветвленной части цепи (рис. 2.6, а) при следующих исходных данных: E=2,2 В; R₁=10 Ом; R₂=30 Ом; R₃=60 Ом; R₄=4 Ом; R₅=22 Ом.

Решение. Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам A, B и C, эквивалентной звездой, подключенной к тем же точкам (рис. 2.6, б).



Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:

Расчет сопротивления вновь полученной цепи производим методом свертывания.

R_a,4,=R_a+R₄=6+4=10 Ом; R_c,5=R_c+R₅=18+22=40 Ом.

Поскольку сопротивления между собой соединены параллельно, их общее сопротивление будет равно

а общее сопротивление схемы (см. рис. 2.6, б) R=R_b+R_a,4,c,5=3+8=11 Ом. Тогда ток в неразветвленной части цепи I₀=E/R=2,2/11=0,2 А.



3. Методы расчета сложных цепей постоянного тока

3.1 Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Метод подразумевает составление системы уравнений по законам Кирхгофа. При составлении системы уравнений должно учитываться следующее.

1. Число уравнений равно числу токов в цепи (число токов равно числу ветвей в рассчитываемой цепи). Направление токов в ветвях выбирается произвольно.

2. По первому закону Кирхгофа составляется (y-1) уравнений, где y -число узловых точек в схеме.

3. Остальные уравнения в количестве b-y+1, где b - число ветвей, составляются по второму закону Кирхгофа.

В результате решения системы уравнений определяются искомые величины для сложной электрической цепи (например, все токи при заданных значениях ЭДС источников Е и сопротивлений резисторов). Если в результате расчета какие-либо токи получаются отрицательными, это указывает на то, что их направление противоположно выбранному.

Пример 1.

Составить необходимое и достаточное количество уравнений по законам Кирхгофа для определения всех токов в цепи (рис. 2.7) методом непосредственного применения законов Кирхгофа при следующих исходных данных: E₁=80 В; E₂=64 В; R₁=60 Ом; R₂=40 Ом; R₃=40 Ом. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.



Решение:

В рассматриваемой сложной цепи имеется 3 ветви, следовательно, 3 различных тока, поэтому для расчета необходимо составить 3 уравнения, причем 1 уравнение - по первому закону Кирхгофа (в цепи y=2 узловых точки а и b) и 2 уравнения - по второму закону Кирхгофа (внутренним сопротивлением источников пренебрегаем, т.е. R₀=0).

Составляем уравнения:

1) I₁+I₂+I₃=0 (для узла a);

2) I₁•R₁-I₂•R₂=E₁+E₂ (для контура I, обход по часовой стрелке);

3) I₂•R₂-I₃•R₃=-E₂ (для контура II, обход по часовой стрелке).

Совместное решение полученных уравнений дает следующие значения токов ветвей:

I₁=1,4 А; I₂=-1,5 A; I₃=0,1 A.

Число уравнений в системе равно числу ветвей в цепи. Решение системы уравнений для цепи, содержащей более трех ветвей, создает определенные трудности. Упростить расчет сложных электрических цепей возможно с помощью рационализированных методов.



3.2 Метод наложения

Метод наложения (суперпозиции) является одним из методов расчета сложных цепей с несколькими источниками. Он базируется на принципе наложения (суперпозиции), который для линейных электрических цепей может быть сформулирован следующим образом: ток в любой ветви сложной схемы, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму токов, возникающих в рассматриваемой ветви при независимом действии отдельных источников ЭДС.

Сущность данного метода в следующем.

1. В каждой ветви рассматриваемой цепи (см. рис. 2.7) положительное направление тока выбирается произвольно.

2. Количество расчетных схем цепи (рис. 2.8, а, б) равно количеству источников в исходной схеме.

3. В каждой расчетной схеме действует только один источник, а остальные источники заменяются их внутренним сопротивлением.

4. В каждой расчетной схеме методом свертывания определяют частичные токи в каждой ветви. Частичным называется условный ток, протекающий в ветви под действием только одного источника. Направление частичных токов в ветвях вполне определенно и зависит от полярности источника.

5. Искомые токи каждой ветви рассматриваемой схемы определяются как алгебраическая сумма частичных токов для этой ветви. При этом частичный ток, совпадающий по направлению с искомым, считается положительным, а несовпадающий - отрицательным. Если алгебраическая сумма частичных токов имеет положительный знак, то направление искомого тока в ветви совпадает с произвольно выбранным, если же отрицательный, то направление тока противоположно выбранному. Метод наложения рассмотрим на следующем примере.

Пример 2.

Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 2.7). Исходные данные взять из предыдущего примера.

Искомые токи в рассматриваемой цепи I₁, I₂ и I₃ определяются алгебраической суммой частичных токов I^'₁, I^'₂, I^'₃ и I^"₁, I^"₂, I^"₃, определяемых по схемам цепей рис. 2.8, а и 2.8, б.

Для цепи, изображенной на рис. 2.8, а, верны следующие соотношения:

I^'₁=I^'₂+I^'₃; I^'₂=I^'₃; I^'₁=E₁/(R₁+R_2,3)=80/(60+0,5•40)=1 (A);

I^'₂=I^'₃=0,5 A.

Для цепи, изображенной на рис. 2.8, б, верны следующие соотношения:

I^"₂=I^"₁+I^"₃; I^"₃=1,5•I^"₁; I^"₂=E₂/(R₂+R_1,3)=64/(40+24)=1 (A);

I^"₁=0,4 A, I^"₃=0,6 А

Для цепи, изображенной на рис. 2.7, верны следующие соотношения:

I₁=I^'₁+I^"₁=1,0+0,4=1,4 (А);

I₂=-I^'₂-I^"₂=-0,5-1,0=-1,5 (A);

I₃=I^'₃-I^"₃=0,6-0,5=0,1 A.



Ток I₂ имеет знак «минус», следовательно, его направление противоположно выбранному, он направлен из точки a в точку b.

3.3 Метод двух узлов

Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлами можно осуществить методом двух узлов. Напряжение между узлами называется узловым напряжением. U_ab - узловое напряжение цепи, изображенной на рис. 2.7.

Для различного числа параллельных ветвей узловое напряжение U_ab можно определить следующим образом:

,

где УE_kg_k - алгебраическая сумма произведений ЭДС и проводимости ветвей;

Уg_k - сумма проводимостей всех ветвей.

Если положительное направление U_ab выбрать от точки a к точке b, то все ЭДС, направленные к т. a, входят в выражение со знаком «плюс», в противном случае - со знаком «минус». Для ветвей без источников ЭДС E=0.

Величину тока в любой ветви можно определить по закону Ома для участка цепи, содержащей ЭДС Узловое напряжение U_ab может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви. Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление напряжения или тока противоположно выбранному.

Пример 3.

Подставим в формулу для вычисления узлового напряжения данные из примера рис. 2.7



.

Токи в ветвях найдем по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС

I₁=(E₁-U_ab)/R₁=[80-(-4)]/60=84/60=1,4 (A).

I₂=(-E₂-U_ab)/R₂=[-64-(-4)]/40=-60/40=-1,5 (A).

I₃=-U_ab/R₃=-(-4)/40=4/40=0,1 (A).

3.4 Метод контурных токов

При расчете сложных цепей методом непосредственного применения законов Кирхгофа необходимо решать систему из большого количества уравнений, что значительно затрудняет вычисления.

Значительно упростить вычисления позволяет метод контурных токов, согласно которому каждому независимому контуру цепи приписывается условный (расчетный) ток, называемый контурным током. При этом алгебраическую сумму всех ЭДС, входящих в независимый контур, называют контурной ЭДС; сумму всех сопротивлений контура называют собственным сопротивлением, а сопротивление общей ветви двух контуров называют общим сопротивлением.

Пример 4. Применение метода рассмотрим на примере рис. 2.7.

Цепь состоит из двух независимых контуров I и II, в которых протекают контурные токи I₁₁ и I₂₂. Их положительные направления заданы кривыми стрелками. Составим систему уравнений для контурных токов I₁₁ и I₂₂.



I₁₁•(R₁+R₂)-I₂₂•R₂=E₁+E₂

I₂₂•(R₂+R₃)-I₁₁•R₂=-E₂

Как видно из рис. 2.7, отдельные ветви схемы входят в два смежных контура. Действительный ток в такой общей ветви определяется алгебраической суммой контурных токов смежных контуров (в данном случае это ветвь R₂, E₂).

Решением системы уравнений являются значения контурных токов I₁₁ и I₂₂., которые и определяют действительные токи в каждой ветви схемы.

Подставим числовые данные в полученную систему уравнений:

100•I₁₁-40•I₂₂=144

-40•I₁₁+80•I₂₂=-64

Решая систему, получим I₁₁=1,4 А, I₂₂=-0,1 А.

Анализируя схему цепи, получим: I₁=I₁₁=1,4 А; I₂=-I₂₂-I₁=-0,1-1,4=-1,5 А; I₃=-I₂₂=0,1 А. Полученный результат повторяет предыдущие расчеты.

3.5 Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока в одной ветви сложной электрической цепи.

Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части - на сопротивление R, ток которого I нужно определить, и всю остальную цепь, ее называют активным двухполюсником, так как эта часть имеет две клеммы а и b, к которой и подключается сопротивление R (рис. 2.9).



Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС Е_э и определенным внутренним сопротивлением R_э и называется эквивалентным генератором.

Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома. Таким образом, определение тока I сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора Е_э и его внутреннего сопротивления R_э.

Величина ЭДС Е_э определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек а и b при разомкнутых клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС можно измерить вольтметром, подключенным к клеммам а и b при холостом ходе.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R_э вычисляется относительно точек а и b после предварительной замены всех источников сложной схемы эквивалентного генератора их внутренними сопротивлениями.



Пример 5. Найдем методом эквивалентного генератора ток в сопротивлении R₃ цепи, изображенной на рис. 2.7. Разорвем ветвь R₃, получим схему рис. 2.10. Найдем напряжение холостого хода между точками a и b:

I=(E₁+E₂)/(R₁+R₂)=144/100=1,44 A;

U_ab=I•R₂-E₂=-6,4 В.

Найдем сопротивление между точками а и b:

R_э=(R₁•R₂)/(R₁+R₂)=24 Ом.

С учетом знака напряжения U_ab схема эквивалентного генератора примет вид, изображенный на рис. 2.9. направление тока в сопротивлении R3 однозначно определяется направлением ЭДС. Ток в этой ветви будет равен:

I=Е_э/(R_э+R₃)=6,4/64=0,1 A.

Полученный результат повторяет предыдущие расчеты.

3.6 Баланс мощностей цепи

Баланс мощности цепи составляют для проверки расчетов. Его записывают в виде:

Р_рез?Р_ист, где Р_рез= , Р_ист=

В уравнении баланса произведение (мощность источника) подставляют со знаком "плюс", если истинное направление тока, протекающего через источник, и направление ЭДС источника совпадают, и со знаком "минус" - при встречном направлении (источник работает в режиме приемника). Совпадение P₁ и P₂ говорит о том, что расчеты выполнены правильно (ошибки могут составлять 5%).



4.Задание для самостоятельного решения

Для заданной электрической цепи постоянного тока выполнить расчеты методом непосредственного применения законов Кирхгофа*. (*- задание метода расчета преподавателем). Выберите схему электрической цепи и значения для силы тока и эдс согласно своего варианта.

Таблица 2. Варианты задания для самостоятельного решения.

№ варианта	№ рисунка/схемы	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	е1, В	е2, В	е3, В
1	рис. 1	2	3	4	40	20	15
2	рис. 2	3	6	18	120	120	-
3	рис. 3	10	5	20	110	60	-
4	рис. 4	5	8	10	-	10	40
5	рис. 5	2	4	2	1	3	5
6	рис. 6	36	60	40	120	-	-
7	рис. 7	2	3	4	40	20	15
8	рис. 8	5	8	10	-	10	40
9	рис. 3	10	5	20	110	60	-
10	рис. 5	2	4	2	1	3	5



Контрольные вопросы:

1. Как выбираются контуры при расчете методом контурных токов?

2. Что такое контур цепи? Перечислите все независимые и смежные контуры Вашей цепи. Что такое узел цепи? Сколько узлов в вашей цепи?

3. Может ли направление тока в ветви, содержащей источник ЭДС, быть встречно направлению этой ЭДС?

4. Для чего составляют баланс мощностей цепи? Напишите уравнение баланса мощностей цепи.

5. Электрическая цепь содержит шесть ветвей и четыре узла. Сколько уравнений следует составлять по первому и сколько по второму законам Кирхгофа.

6. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов.

7. На сколько число уравнений по этому методу меньше числа уравнений по методу непосредственного применения законов Кирхгофа?

8. В чем состоит достоинство метода двух узлов?

9. Сформулируйте принцип и метод наложения.

10. Приведите примеры, показывающие полезность преобразования звезды в треугольник и треугольника в звезду.



5.Символический метод расчета цепей переменного синусоидального тока

Основным понятием в данном методе является комплексная амплитуда, поэтому его называют также методом комплексных амплитуд. Синусоидальные функции (ток, напряжение, ЭДС) очень просты, но их графическое изображение и операции с ними трудоемки и недостаточно точны. Эти операции можно существенно упростить, если синусоидальные функции времени изобразить комплексными числами.

Из курса математики известно, что любое комплексное число можно представить:

а) - в алгебраической форме ;

б) - в тригонометрической форме ;

в) - в показательной форме .

г) - вектором на комплексной плоскости (рис. 3.12), где A -длина (модуль) вектора, - мнимая единица,

Вещественная часть комплексного числа (real - реальный, вещественный).



Рис.3.12 Мнимая часть комплексного числа (imaginary - мнимый, воображаемый).

Модуль комплексного числа ;

аргумент комплексного числа .

формула Эйлера .

Угол б отсчитывают от положительного направления оси вещественных (ось +1). Положительный угол отсчитывают в направлении, противоположном движению часовой стрелки, отрицательный -- в направлении движения часовой стрелки.

Сложение и вычитание комплексных чисел

.

Умножение комплексных чисел



Умножение комплексного числа на число e^iц сводится к повороту вектора на угол ц.

Умножение комплексных величин на +j=e^jр/2 сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол р/2, а умножение на -j=e^jр/2 - к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке.

Комплексные числа и называются сопряженными. Произведение сопряженных комплексных чисел вещественно и равно квадрату их модуля

.

Деление комплексных чисел

или в показательной форме .

Возведение комплексных чисел в степень

.

Извлечение корня из комплексного числа (n - целое и положительное число)



;

где k- целое число, равное 0, 1, 2, … ,(n-1).

Запишем в трех формах выражения для единичных действительных и мнимых комплексных чисел (случай А=1):

,

,

,

.

Следует обратить внимание на то, что комплексные изображения несут информацию только о двух параметрах синусоиды - амплитуде и фазе, не отражая ее третьего параметра - угловую частоту щ. Поэтому аппарат комплексных чисел применим для анализа цепи, в которой действуют источники одной известной и неизменной угловой частоты щ.

Рассмотрим синусоидальный ток i=I_msin(щt+ш_i) и комплексное число

,

модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и фазе синусоидального тока. С одной стороны, данное комплексное число представляет аналитическую запись вектора с модулем I_т, вращающегося в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью щ, равной угловой частоте синусоидального тока, в направлении, противоположном движению часовой стрелки. С другой стороны, данное комплексное число, согласно формуле Эйлера, можно представить в тригонометрической форме:



Сравнивая последнее с формулой для тока i=I_msin(щt+ш_i) видно, что

,

т. е. синусоидальный ток равен проекции на ось мнимых чисел вращающегося вектора, изображающего комплексное число.

Таким образом, синусоидальному току i (оригиналу) может быть поставлено в соответствие комплексное число (изображение) . Условная запись такого преобразования имеет вид

Аналогичные преобразования могут быть выполнены для синусоидальных напряжений и ЭДС:

Над комплексными числами, изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, можно производить все алгебраические действия. При сложении и вычитании комплексных чисел удобнее пользоваться алгебраической формой записи, а при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корней -- показательной формой.

Комплексное число

,



модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального тока, называют комплексной амплитудой тока.

Комплексным действующим током (комплексным током) называют комплексное число

.

Такими же соотношениями связаны комплексные амплитуды и комплексные действующие напряжения и ЭДС.

Комплексное число e^jщt называют множителем вращения. При выполнении условия щ=const взаимное расположение всех векторов (ЭДС, напряжения, тока) не изменяются, поэтому весь процесс рассматривают для момента времени t=0 и множитель вращения в дальнейшем не учитывают, т. к. e^jщt=0 при t=0. Расчет ведут с использованием комплексных амплитуд или комплексов действующих значений.

Таким образом, при изображении синусоидальных величин комплексными числами в показательной форме записи в качестве модуля следует брать амплитуду (или действующее значение) синусоидальной величины, а в качестве аргумента -- ее начальную фазу.

Режим работы электрической цепи переменного тока, как правило, описывается системой дифференциальных уравнений для мгновенных значений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС, членами которых могут быть производные любого порядка и интегралы от синусоидальных функций времени. Поскольку производные любого порядка и интегралы от синусоидальных функций также являются синусоидальными функциями, то им, как и синусоидальным токам, напряжениям и ЭДС, можно поставить в соответствие комплексные числа, являющиеся изображениями этих величин. Так, для синусоидального тока, для которого имеем , получим



Таким образом, производной от синусоидального тока можно поставить в соответствие комплексное число, изображающее этот синусоидальный ток, умноженное на jщ, а интегралу от синусоидального тока -- комплексное число, изображающее синусоидальный ток, деленное на jщ.

Аналогичные преобразования могут быть выполнены и для синусоидальных напряжений и ЭДС.

Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока применим только при установившихся режимах работы цепей. Сущность его заключается в том, что, используя указанные преобразования, систему дифференциальных уравнений для действительных функций времени можно заменить системой алгебраических уравнений с комплексными токами, напряжениями и ЭДС. Переход от дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям с комплексными числами осуществляют заменой в них мгновенных значений тока i, напряжения и, ЭДС е, а также производных и интегралов от них -- комплексными числами.

Так как комплексные амплитуды тока, напряжения и ЭДС и комплексные действующие токи, напряжения и ЭДС можно изображать векторами на комплексной плоскости, то расчет электрических цепей полезно сопровождать построением векторных диаграмм, под которыми: понимают совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной их ориентации относительно друг друга по фазе, что в ряде случаев позволяет выявить ошибки расчета. На векторных диаграммах принято изображать векторы комплексных токов, напряжений и ЭДС или комплексные амплитуды этих величин для момента времени t=0.



5.1 Законы Ома и Кирхгофа в символической форме

Комплексная величина, равная отношению комплексного напряжения на зажимах данной пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному току в этой цепи или в этом элементе, называется комплексным электрическим сопротивлением

,

где Z=U/I - полное сопротивление, а R=Zcosц; X=Zsinц - активное и реактивное сопротивления цепи.

Отметим, что обозначение комплексного сопротивления отличается от обозначения комплексов тока и напряжения. Вместо точки над буквой символ комплексного сопротивления имеет черту снизу. Это различие объясняется тем, что сам комплекс Z не служит изображением синусоидальной функции, а является комплексным числом, с помощью которого сопоставляются комплексные изображения напряжения и тока.

Комплексная величина, равная отношению комплексного тока в данной пассивной электрической цеп или ее элементе к комплексному напряжению на ее зажимах или ее элементе называется комплексной электрической проводимостью

.

где Y=I/U - полная проводимость, а g=Ycosц; b=Ysinц, - активная и реактивная проводимости цепи. Комплексную проводимость можно определить как величину, обратную комплексному сопротивлению



.

Обратим внимание на то, что переход от комплексного сопротивления Z=R+jX к комплексной проводимости Y=g-jb и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением R и Х эквивалентной схемой с параллельным соединением g и b и обратно.

Комплексное сопротивление цепи при последовательном соединении n двухполюсников равно

, где , .

Если известны комплексные проводимости параллельно соединенных n двухполюсников, то комплексная проводимость цепи

, где , .

В случае параллельного соединения двух двухполюсников их эквивалентное комплексное сопротивление

.

Закон Ома в комплексной форме имеет вид:

или



В символической записи закона Ома учитываются не только соотношения между действующими значениями напряжения и тока, но также сдвиг по фазе между ними.

Для цепей синусоидального тока также справедливы законы Кирхгофа, сформулированные ранее для цепей постоянного тока. Но так как синусоидальные величины (ЭДС, напряжение, ток) характеризуются мгновенными, максимальными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирхгофа.

Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгебраической форме. Для амплитудных и действующих значений законы Кирхгофа справедливы только в векторной или комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Сумма комплексных токов в узле равна нулю:

где n - количество ветвей, подключенных к узлу.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме.

Сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных падений напряжения в этом контуре:

.

где n - количество источников ЭДС в контуре, а m - количество пассивных элементов в этом же контуре.

При составлении уравнений по законам Кирхгофа в цепях синусоидального тока необходимо указать условное положительное направление ЭДС, задать условное положительное направление токов в ветвях и положительное направление падений напряжений на участках цепи, совпадающее с положительным направлением тока. Знак слагаемых в уравнениях определяется так же, как в цепях постоянного тока. Это относится как к мгновенным значениям синусоидальных величин, так и к комплексным.

5.2 Расчет разветвленных цепей переменного тока символическим методом

Пример 1. Найти токи в схеме (рис. 3.15). Положительные направления ЭДС указаны на схеме стрелками,

Решение. Запишем ЭДС в комплексной форме: Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу А.

1. Проведем расчет цепи методом двух узлов Определим проводимости ветвей: Y₁=1/Z₁=1/2=0,5 См; Y₂=1/Z₂=l/(-j10)=j0,1 См; Y₃=1/Z₃=1/(j5)=-j0,2 Cm. Заземлим точку B. Составим уравнение для расчета межузлового напряжения:



Токи ветвей найдем по закону Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС:

2. Проведем расчет цепи методом контурных токов.

Собственные сопротивления контуров I и II:

Z₁=R₁-jX_C2=2-j10 Ом, Z₂=j(X_L3-X_C2)=-j5 Ом.

Общее сопротивление контуров I и II: Z₁₂=Z₂₁=-jX_C2=-j10 Ом.

Составим систему уравнений:

Э₁₁Z₁-Э₂₂Z₁₂=Л₁

-Э₁₁Z₁₂+Э₂₂Z₂=-Л₃

Э₁₁(2-j10)-Э₂₂(-j10)=120

-Э₁₁(-j10)+Э₂₂(-j5)=-100е-^30°=-(86,6-j50)



Решая систему относительно тока Э₁₁, получим:

Подставим полученное значение тока Э₁₁ во второе уравнение системы:

j10(8,6+j7,03)-j5Э₂₂=-86,6+j50; j5Э₂₂=-16,3-j36; Э₂₂=7,2-j3,26=7,9e-^j24,3°;

Э₃=-Э₂₂=7,9e^{j(180-24,3°)}=7,9e^j155,7° (A);

Э₂=Э₂₂-Э₁₁=7,2-j3,26-8,6-j7,03=-1,4-j10,3=10,4e-^j98° (A).

Оба способа решения задачи дают практически одинаковые результаты. Небольшие расхождения объясняются неточностью при вычислении значений тригонометрических функций при углах, близких к 0 или ±90°.

В домашнем задании №2 необходимо найти токи I₁ ,I₂ , I₃ комплексным методом, согласно выбранного варианта в схеме рис.3.15:

Таблица

№ вар.	R (Ом)	C (мкФ)	L (мГн)	e1	e2
1	3	400	12	50sin(щt+30°)	120cos(щt-30°)
2	4	500	10	100sin(щt+120°)	50sin(щt+15°)
3	5	300	14	40sin(щt-60°)	60sin(щt+45°)
4	7	200	11	155cos(щt+30°)	113sin(щt+60°)
5	6	250	10	90sin(щt)	70cos(щt-120°)
6	3	350	12	70cos(щt-30°)	80sin(щt)
7	5	450	13	50sin(щt-45°)	60cos(щt-30°)
8	6	550	12	60sin(щt+45°)	70sin(щt+120°)
9	4	300	11	80sin(щt-30°)	90cos(щt-60°)
10	3	350	10	100sin(щt-60°)	80cos(щt+120°)

Для примера рассмотрим решение варианта №4\

Дано: e₁ = 155cos(щt+30°); e₂ =113sin(щt+30°)

R = 7 Ом, C = 200мкФ, L = 11 мГн,

Найти: I₁ , I_{2 ,} I₃ .

Задачу будем решать комплексным методом, для этого приведем исходные данные в комплексный вид:

В общем виде мгновенное значение ЭДС представлено : e = E_msin (щt+ц).

Исходя из этого : e₁ = 155cos(щt+30°) = 155sin(щt+90°+30°) = 155sin(щt+120°)

Комплексная действующая амплитуда будет равна:

₁ = 155/v2cos120° + j155/v2sin120° = - 110sin30° + j110cos30° = - 110(0,5) + j110 (0,86) = - 55 + j94,6;

₂ = 113/v2cos60° + j155/v2sin60° = 80cos60° + j80sin60° = 80(0,5) + j80(0,86) =

40 + j68,8;

X_C = 1/ щC = 1/ 2р f C = 1/ (2*3,14*50*200*10^-6) = - j16;

X_L = щL = 2р f L = 2*3,14*50*11*10^-3) = +j 3,5;

Z₁ = R + X_C = 7 - j16; Z₂ = X_C + X_L = - j16 + j3,5 = - j12,5;

Z₁₂ = X_C = - j16.

Для решения задачи применим метод контурных токов:

₁₁ Z₁ - ₂₂ Z₁₂ =₁

₂₂ Z₂ - ₁₁ Z₁₂ =₂

₂₂ = ( ₁₁ Z₁ - ₁) / Z₁₂

(( ₁₁ Z₁ - ₁) / Z₁₂) Z₂ - ₁₁ Z₁₂ = ₂ = ((₁₁(7-j16) - (-55+j94,6)) (-j12,5) / (-j16) =

₁₁ (5,6 + j12,8) + 44 - j75,7 + ₁₁ j16 = - 40 - j68,8

₁₁ (5,6 + j3,2) = - 84 + j6,9



₁₁ = (- 84 + 6,9) / (5,6 + j3,2) = -10,8 + j7,4

₂₂ = ( ₁₁ Z₁ - ₁) / Z₁₂ = ((-10,8 + j7,4) (7-j16) - (-55+j94,6)) / (- j16) =

= (42,8 + j224,6 + 55 - j94,6) / (- j16) = (97,8 + j129,4) / (- j16) = - 8,1 +j6,1

₁ = ₁₁ = -10,8 + j7,4

₃ = ₂₂ = - 8,1 +j6,1

₂₂ = ₁₁ - ₂₂ = -2,7 + j13,5



6.Расчет трехфазных цепей с соединением по схеме «звезда» или «треугольник»

Трехфазная симметричная система ЭДС может изображаться графиками, тригонометрическими функциями, векторами и функциями комплексного переменного.

Графики мгновенных значений трехфазной симметричной системы ЭДС показаны на рис. 3.3.

Если ЭДС одной фазы (например, фазы А) принять за исходную и считать её начальную фазу равной нулю, то выражения мгновенных значений ЭДС можно записать в виде

e_A = E_m sin щt, e_B = E_m sin (щt - 120°), e_C = E_m sin (щt - 240°) = E_m sin (щt + 120°).

Рис.4

Комплексные действующие ЭДС будут иметь выражения: (3.3)



Л_A = E_m e^j0° = E_m (1 + j0),

Л_B = E_m e^-j120° = E_m (-1/2 - j/2),

Л_C = E_m e^+j120° = E_m (-1/2 + j/2).

Векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС показана на рис 3.4а.

Рис. 3.4

На диаграмме рис. 3.4а вектор Л_A направлен вертикально, так как при расчете трехфазных цепей принято направлять вертикально вверх ось действительных величин. Из векторных диаграмм рис 3.4 следует, что для симметричной трехфазной системы геометрическая сумма векторов ЭДС всех фаз равна нулю:

Л_A + Л_B + Л_C = 0.

6.1 Соединение фаз генератора и приемника звездой

При соединение фаз обмотки генератора (или трансформатора) звездой их концы X, Y и Z соединяют в одну общую точку N, называемую нейтральной точкой (или нейтралью) (рис. 3.6). Концы фаз приемников (Z_a, Z_b, Z_c) также соединяют в одну точку n. Такое соединение называется соединение звезда.



Рис. 3.5

Провода A-a, B-b и C-c, соединяющие начала фаз генератора и приемника, называются линейными, провод N-n, соединяющий точку N генератора с точкой n приемника, - нейтральным.

Трехфазная цепь с нейтральным проводом будет четырехпроводной, без нейтрального провода - трехпроводной.

6.2 Трехпроводная электрическая цепь

закон фаза генератор

Схема соединения источника и приемника звездой без нейтрального провода приведена на рис. 3.10.

Рис. 3.6

В трехфазных цепях различают фазные и линейные напряжения. Фазное напряжение U_Ф - напряжение между началом и концом фазы или между линейным проводом и нейтралью (U_A, U_B, U_C у источника; U_a, U_b, U_c у приемника). Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазное напряжение в приемнике считают таким же, как и в источнике. (U_A = U_a, U_B = U_b, U_C = U_c). За условно положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз.

Линейное напряжение (U_Л) - напряжение между линейными проводами или между одноименными выводами разных фаз (U_AB, U_BC, U_CA). Условно положительные направления линейных напряжений приняты от точек, соответствующих первому индексу, к точкам соответствующим второму индексу (рис. 3.6).

По аналогии с фазными и линейными напряжениями различают также фазные и линейные токи:

· Фазные (I_Ф) - это токи в фазах генератора и приемников.

· Линейные (I_Л) - токи в линейных проводах.

При соединении в звезду фазные и линейные токи равны

I_Ф = I_Л.

Ток, протекающий в нейтральном проводе, обозначают I_N.

По первому закону Кирхгофа для нейтральной точки n(N) имеем в комплексной форме

Э_N = Э_A + Э_B + Э_C.



Рис. 3.7

6.3 Соединение фаз генератора и приемника треугольником

При соединении источника питания треугольником (рис. 3.12) конец X одной фазы соединяется с началом В второй фазы, конец Y второй фазы - с началом С третьей фазы, конец третьей фазы Z - c началом первой фазы А. Начала А, В и С фаз подключаются с помощью трех проводов к приемникам.

Рис. 3.8

Соединение фаз источника в замкнутый треугольник возможно при симметричной системе ЭДС, так как



Л_A + Л_B + Л_C = 0

Если соединение обмоток треугольником выполнено неправильно, т.е. в одну точку соединены концы или начала двух фаз, то суммарная ЭДС в контуре треугольника отличается от нуля и по обмоткам протекает большой ток. Это аварийный режим для источников питания, и поэтому недопустим.

Напряжение между концом и началом фазы при соединении треугольником - это напряжение между линейными проводами. Поэтому при соединении треугольником линейное напряжение равно фазному напряжению.

U_Л = U_Ф

Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, линейные напряжения потребителя можно приравнять линейным напряжениям источника питания: U_ab = U_AB, U_bc = U_BC, U_ca = U_CA. По фазам Z_ab, Z_bc, Z_ca приемника протекают фазные токи Э_ab, Э_bc и Э_ca. Условное положительное направление фазных напряжений Ъ_ab, Ъ_bc и Ъ_ca совпадает с положительным направлением фазных токов. Условное положительное направление линейных токов Э_A, Э_B и Э_C принято от источников питания к приемнику.

В отличие от соединения звездой при соединении треугольником фазные токи не равны линейным. Токи в фазах приемника определяются по формулам

Э_ab = Ъ_ab / Z_ab; Э_bc = Ъ_bc / Z_bc; Э_ca = Ъ_ca / Z_ca.

Линейные токи можно определить по фазным, составив уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c (рис 3.12)

Э_A = Э_ab - Э_ca; Э_B = Э_bc - Э_ab; Э_C = Э_ca - Э_bc.



Сложив левые и правые части системы уравнений, (3.20), получим

Э_A + Э_B + Э_C = 0,

т.е. сумма комплексов линейных токов равна нулю как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке.

6.4 Трехфазные цепи с симметричными и несимметричными приемниками

Классификация приемников в трехфазной цепи.

Приемники, включаемые в трехфазную цепь, могут быть либо однофазными, либо трехфазными. К однофазным приемникам относятся электрические лампы накаливания и другие осветительные приборы, различные бытовые приборы, однофазные двигатели и т.д. К трехфазным приемникам относятся трехфазные асинхронные двигатели и индукционные печи. Обычно комплексные сопротивления фаз трехфазных приемников равны между собой.

Такие приемники называют симметричными. Если условие не выполняется, то приемники называют несимметричными. При этом, если Z_ab = Z_bc = Z_ca, то трехфазный приемник называют равномерным, если ц_ab = ц_bc = ц_ca, то однородным.

Для расчета трехфазной цепи применимы все методы, используемые для расчета линейных цепей. Обычно сопротивления проводов и внутреннее сопротивление генератора меньше сопротивлений приемников, поэтому для упрощения расчетов таких цепей (если не требуется большая точность) сопротивления проводов можно не учитывать (Z_Л = 0, Z_N = 0). Тогда фазные напряжения приемника U_ab, U_bc и U_ca будут равны соответственно фазным напряжениям источника электрической энергии (генератора или вторичной обмотки трансформатора). Если полные комплексные сопротивления фаз приемника равны Z_ab = Z_bc = Z_ca, то токи в каждой фазе можно определить по формулам

Э_ab = Ъ_ab / Z_ab; Э_bc = Ъ_bc / Z_bc; Э_ca = Ъ_ca / Z_ca

Симметричная нагрузка. При симметричной нагрузке

Z_ab = Z_bc = Z_ca = Ze^jц,

т.е. Z_ab = Z_bc = Z_ca = Z, ц_ab = ц_bc = ц_ca = ц.

Так как линейные (они же фазные) напряжения U_AB, U_BC, U_CA симметричны, то и фазные токи образуют симметричную систему

Э_ab = Ъ_ab / Z_ab; Э_bc = Ъ_bc / Z_bc; Э_ca = Ъ_ca / Z_ca.

Абсолютные значения их равны, а сдвиги по фазе относительно друг друга составляют 120°. Линейные токи

Э_A = Э_ab - Э_ca; Э_B = Э_bc - Э_ab; Э_C = Э_ca - Э_bc;

образуют также симметричную систему токов (рис.3.13, 3.14).

Рис. 3.9



На векторной диаграмме (рис. 3.14) фазные токи отстают от фазных напряжений на угол ц (полагаем, что фазы приемника являются индуктивными, т.е. ц > 0°). Здесь принято, что напряжение U_AB имеет нулевую фазу. Из диаграммы следует, что любой линейный ток больше фазного в раз. Линейный ток Э_A отстает по фазе от фазного тока Э_ab на угол 30°, на этот же угол отстает Э_B от Э_bc, Э_C от Э_ca.

Таким образом, при соединении треугольником действующее значение линейного тока при симметричной нагрузке в раз больше действующего значения фазного тока и U_Л = U_Ф; I_Л =I_Ф.

При равномерной нагрузке фаз расчет трехфазной цепи соединенной треугольником, можно свести к расчету одной фазы.

Фазное напряжение U_Ф = U_Л. Фазный ток I_Ф = U_Ф / Z_Ф, линейный ток I_Л =I_Ф, угол сдвига по фазе ц = arctg (X_Ф / R_Ф).

Рис. 3.10

Несимметричная нагрузка приемника. В общем случае при несимметричной нагрузке Zab ? Zbc ? Zca. Обычно она возникает при питании от трехфазной сети однофазных приемников. Например, для нагрузки, рис. 3.15, фазные токи, углы сдвига фаз и фазные мощности будут в общем случае различными.

Рис. 3.11

Векторная диаграмма для случая, когда в фазе ab имеется активная нагрузка, в фазе bc - активно-индуктивная, а в фазе ca - активно-емкостная приведена на рис. 3.16, топографическая диаграмма - на рис. 3.17.



Рис. 3.12

Построение векторов линейных токов произведено в соответствии с выражениями

Э_A = Э_ab - Э_ca; Э_B = Э_bc - Э_ab; Э_C = Э_ca - Э_bc.

Рис. 3.13

Таким образом, при несимметричной нагрузке симметрия фазных токов Э_ab, Э_bс, Э_ca нарушается, поэтому линейные токи Э_A, Э_B, Э_C можно определить только расчетом по вышеприведенным уравнениям (3.20) или найти графическим путем из векторных диаграмм (рис. 3.16, 3.17).

Важной особенностью соединения фаз приемника треугольником является то, что при изменении сопротивления одной из фаз режим работы других фаз остается неизменным, так как линейные напряжения генератора являются постоянными. Будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии, соединенных с этой фазой. Поэтому схема соединения треугольником широко используется для включения несимметричной нагрузки.

При расчете для несимметричной нагрузки сначала определяют значения фазных токов Э_ab, Э_bc, Э_ca и соответствующие им сдвиги фаз ц_ab, ц_bc, ц_ca. Затем определяют линейные токи с помощью уравнений (3.20) в комплексной форме или с помощью векторных диаграмм (рис. 3.16, 3.17).

В задании №3 трехфазную электрическую цепь с симметричным линейным напряжением U включен приемник, соединенный по схеме “звезда” или “треугольник”, сопротивления и схема соединения фаз которого приведены в таблице вариантов. Требуется:

- изобразить схему электрической цепи;

- рассчитать фазные и линейные токи, ток в нейтральном проводе (для цепи Y-0);

- рассчитать также активную, реактивную, полную мощности приемника, коэффициент мощности приемника.

Таблица 2

№ Вар.	Схема соединения приемника	Uл, В	Сопротивления фаз приемника
			ZA, Ом	ZB, Ом	ZC, Ом	ZAB, Ом	ZBC, Ом	ZCA, Ом
1	Y-0	220	6+j8	10-j10	5+j5	-	-	-
2	Y-0	220	6-j8	8+j6	10+j5	-	-	-
3		380	-	-	-	20+j15	20+j15	36-j24
4		380	-	-	-	10+j15	15-j15	10+j10
5	Y-0	220	10+j5	10+j10	6-j8	-	-	-
6	Y-0	380	10+j10	15-j15	20+j20	-	-	-
7	Y-0	380	16+j12	12-j16	9+j12	-	-	-
8		220	-	-	-	12+j9	10+j10	10-j15
9		380	-	-	-	20-j10	10+j8	10+j10
10		220	-	-	-	20+j10	6+j8	10-j10
11	Y	220	6-j6	6+j8	8+j6	-	-	-
12		400	-	-	-	10+j10	6+j8	10-j10
13	Y-0	220	5-j5	6+j8	8+j10	-	-	-
14	Y	127	-j5	10+j8	8+j10	-	-	-
15	Y	220	j10	6-j8	3+j4	-	-	-
16	Y	380	-j5	3+j4	4-j3	-	-	-
17	Y-0	380	j20	6-j8	5-j5	-	-	-
18	Y	220	6+j10	10-j6	3+j4	-	-	-
19		230	-	-	-	6-j8	3+j4	5-j5
20		380	-	-	-	3-j4	5+j10	6-j8

Произведем примерный расчет задания №3 для цепей с соединением по схеме «звезда» (вариант №1) и по схеме «треугольник» (вариант №3)

Данные для варианта №1:

Схема соединения - «звезда» с нейтральным проводом ( Y-0 );

U_л = 220В;

Z_a = (6+j8) Ом; Z_в = (10-j10) Ом; Z_с = (5+j5) Ом;

Изобразим схему электрической цепи для данного варианта (В.№1)

Рис.3.14

При соединение фаз обмотки генератора (или трансформатора) звездой их концы X, Y и Z соединяют в одну общую точку N, называемую нейтральной точкой (или нейтралью) (рис. 3.6). Концы фаз приемников (Z_a, Z_b, Z_c) также соединяют в одну точку n. Такое соединение называется соединение звезда.

Провода A-a, B-b и C-c, соединяющие начала фаз генератора и приемника, называются линейными, провод N-n, соединяющий точку N генератора с точкой n приемника, - нейтральным.

В трехфазных цепях различают фазные и линейные напряжения. Фазное напряжение U_Ф - напряжение между началом и концом фазы или между линейным проводом и нейтралью (U_A, U_B, U_C у источника; U_a, U_b, U_c у приемника). Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазное напряжение в приемнике считают таким же, как и в источнике. (U_A = U_a, U_B = U_b, U_C = U_c). За условно положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз.

Линейное напряжение (U_Л) - напряжение между линейными проводами или между одноименными выводами разных фаз (U_AB, U_BC, U_CA). Условно положительные направления линейных напряжений приняты от точек, соответствующих первому индексу, к точкам соответствующим второму индексу (рис. 3.6).

По аналогии с фазными и линейными напряжениями различают также фазные и линейные токи:

· Фазные (I_Ф) - это токи в фазах генератора и приемников.

· Линейные (I_Л) - токи в линейных проводах.

При соединении в звезду фазные и линейные токи равны

I_Ф = I_Л.

Ток, протекающий в нейтральном проводе, обозначают I_N.

По первому закону Кирхгофа для нейтральной точки n(N) имеем в комплексной форме:

Э_N = Э_A + Э_B + Э_C.

Система фазных U_A, U_B, U_C и линейных U_AB, U_BC, U_CA напряжений генератора симметричны и неизменны. Тогда система линейных напряжений U_ab, U_bc, U_ca приемника будет совпадать с системой линейных напряжений генератора.

Расчеты будем производить в комплексном виде.

_a = = 127 B

_b = 127cos(-120^°) + j127sin(-120°) = 127(-0,5) +j127(- 0,86) = - 63,5 - j110