Спектральные свойства волноводов с неоднородным заполнением

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Спектральные свойства волноводов с неоднородным заполнением

Боголюбов А.Н.



Рассмотрены спектральные свойства цилиндрических волноводов с локально неоднородным заполнением в скалярном приближении.

В первой части задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, сведена к интегральному уравнению, в которое спектральный параметр входит нелинейным образом. При этом в разделе показано, что вещественные собственные значения этого интегрального уравнения можно интерпретировать как собственные значения волновода, а комплексные собственные значения - как комплексные собственные значения волновода.

Вторая часть посвящена вопросам существования вложенных ловушечных мод у волноводов с неоднородным заполнением. Среди заполнений выделено заполнение типа ''вставки'', поскольку для заполнения этого типа существует бесконечная последовательность собственных значений. Доказана неустойчивость вложенных собственных значений волновода с заполнением типа вставки к малым вещественным возмущениям его заполнения; для плоского волновода с заполнением типа простой вставки такое возмущение построено явно.

Разрешение задачи о возбуждении колебаний в таких волноведущих системах финитным током вида j ei t затруднено весьма интересным физическим явлением - явлением резонанса. Именно, оказывается, что поле, гармонически зависящее от времени, существует лишь при частотах , не принадлежащих так называемому резонансному множеству.

Резонансное множество регулярного полого волновода состоит только из частот отсечки ?n, которые можно вычислить как квадратные корни из собственных значений задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа на сечении волновода (в скалярном случае - только задачи Дирихле). Следует отметить, что при малых частотах большая часть энергии поля, возбужденного током j ei t, локализована, а начиная с некоторой частоты ?[j] от области, где имеется ток, расходятся бегущие волны. Можно показать, что эта частота [j], при которой происходит переход на режим излучения, обязательно является частотой отсечки [1]-[3],[6].

Поведение поля при резонансных частотах стало предметом исследований П. Вернера [7], начатых еще в 1960-х года. Оказалось, что в регулярном волноводе при частотах отсечки существует лишь поле, амплитуда которого растет как t. В более сложных системах к резонансному множеству следует прибавить еще другие частоты, при которых существует лишь поле, амплитуда которого растет как t.

В скалярном приближении задача о возбуждении колебаний током в локально нерегулярном волноводе при частотах, отличных от частот отсечки, является фредольмовой, то есть из единственности ее решения следует существование (обобщенного) решения. Было также показано, что решения однородной задачи, называемой также спектральной, удовлетворяющие парциальным условиям излучения, принадлежат пространству L2. Поэтому появление резонансных частот, отличных от частот отсечки, связано с существованием у соответствующей спектральной задачи собственных функций из L2.

В работах В.П. Шестопалова обоснование этого утверждения было основано на возможности сведения задачи о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, к интегральному уравнению. В работах А.Л. Делицына был предложен другой подход, который позволяет единообразно доказать фредгольмовость задачи о возбуждении колебаний током как в скалярном, так и электромагнитом случаях, правда, только при вещественных частотах.

Вопрос о существовании собственных значений спектральной задачи для волноведущих систем является чрезвычайно трудным. На саму возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях впервые указал Ф. Реллих [8] в 1948 году. Затем в работах Д. Джонса, Экснера и Себы, Д.В. Эванса, М. Ливитина, Д. Васильева и Л. Парновского, М. Гровса был построен ряд примеров таких волноведщих систем, именно, ряд локально нерегулярных волноводов или изогнутых волноводов.

С физической точки зрения такие собственные функции представляют собой стоячие волны, не переносящие энергию. Во всех этих примерах поле убывает экспонециальным образом. Большая часть энергии таких волн сосредоточена в конечной области, в ''ловушке'', и поэтому их называют ловушечными модами. Впрочем, как было показано в [9], в гофрированных волноводах существуют собственных функции, убывающие существенно медленнее - именно степенным образом.

Следует учитывать, что те собственные значения спектральной задачи для волновода, которые выше первой частоты отсечки, вложены в существенный спектр. Поэтому к ним нельзя применить ни принцип Рэлея, ни теорию возмущения Реллиха-Като. Поэтому к настоящему моменту фактически исследовано лишь существование изолированных собственных значений, то есть меньших первой частоты отсечки.

В работе [10] было особо отмечено, что в вопросе о существования вложенных собственных значений нет продвижения дальше построения примеров и было предложено выяснить сохраниться ли собственное значение у волноведущей системы, если слегка возмутить ее параметры. Хотя теория возмущения для вложенных собственных значений давно привлекает внимание математиков, последняя далека от своего завершения и ответ на поставленный вопрос неясен.

Настоящая работа посвящена сравнительно мало изученным спектральным свойствам цилиндрических волноводов, заполненных неоднородным (локально неоднородным) веществом, в скалярном приближении (См. также [11]-[14]). Одной их основных целей настоящей работы является изучение поведения вложенных в непрерывный спектр собственных значений волновода при малых возмущениях его заполнения. То, что рассматривается возмущения заполнения, а не границы, связано с тем, что этот случай несколько ближе к рассмотренному в теории возмущений, построенной Дж. Хаулендом [15]-[16] для исследования квантовомеханических комплексных резонансов.

Изучение спектральных характеристик основано на возможности сведения задачи о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, к интегральному уравнению, в которое спектральный параметр входит нелинейным образом. Такое сведение для гладкого заполнения было проделано в работах Голдстейна [17] и В.П. Шестопалова [18]. Поскольку кусочно-непрерывное заполнении важно для приложений во второй главе процедура сведения проведена заново несколько иным методом. Поэтому первая часть второй главы содержит полное изложение спектральной теории волноводов, заполненных неоднородным веществом. При этом в разделе 1.2 показано, что вещественные собственные значения этого интегрального уравнения можно интерпретировать как собственные значения волновода, а комплексные собственные значения - как комплексные собственные значения волновода. Более того, удается доказать, что кратности собственных значений интегрального уравнения являются кратностями собственных значений волновода.

Вторая часть посвящена вопросам существования вложенных ловушечных мод у волноводов с неоднородным заполнением и в первую очередь изучению поведения вложенных в непрерывный спектр собственных значений волновода при малых возмущениях его заполнения.

В разделе 2.2 среди заполнений выделено заполнение типа ''вставки'', поскольку для заполнения этого типа существует бесконечная последовательность собственных значений (при выполнении некоторых дополнительных условий) [11]. Более того, в случае заполнения типа ''простой вставки'' и ''колена'' собственные значения найдены как корни трансцендентных уравнений.

Затем в разделе 2.3 рассматривается устойчивость вложенных собственных значений волновода с заполнением типа вставки к малым вещественным возмущениям его заполнения. При этом получается, что вложенные в непрерывный спектр собственные значения волновода с заполнением типа вставки переходят в комплексные резонансы при малом вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории возмущений остаются вещественными.

В работе [12] это утверждение получено как следствие формального применения теории возмущения к исходной спектральной задаче, а в разделе 2.3 уже построена строгая теория возмущения для вложенных собственных значений волновода. Поскольку в перовой части собственные значения волновода были ассоциированы с собственными значениями интегрального оператора, для обоснования формальных выкладок фактически требуется только построить теорию возмущений для компактных оператор-функций, что и сделано в приложении к статье [14].

Простой пример, приведенный в работе [13], показывает, что неустойчивость к малым возмущениям параметров задачи - весьма характерное свойство вложенных собственных значений (рассмотрение этого примера основано на методе Фубини). В разделе 2.4 для плоского волновода с заполнением типа простой вставки возмущение, при котором исчезает одно из вложенных собственных значений, построено явно.



1. Задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненном неоднородным веществом

Для того, чтобы наглядно изложить основные идеи исследования, мы здесь ограничимся рассмотрением скалярного случая, являющегося математической моделью акустического волновода. Перенесение этих идей на электромагнитный случай связано в основном лишь с техническими трудностями.

Рассмотрим волновод 

W = { x О R¹, y О S }

сечения S, представляющего собой односвязную конечную область в R1 или R2; в последнем случае y=(y1, y2)T - двумерный вектор. Пусть он заполнен неоднородным веществом, которое характеризуется кусочно-непрерывным заполнением q(x,y). Будем считать, что в волноводе не происходит затухания колебаний, то есть, что q(x,y) - вещественная, и что неоднородность в заполнении локальная, то есть, что 

Supp q(x,y) -1 М Wў = [a,  b] ДS.

Задачу о возбуждении колебаний током f, локализованным в , можно поставить так 

Du + lq(x,y) u = f,     Supp f М Wў

u| _¶W = 0.

Основную сложность при рассмотрении задачи (1) представляет учет условий на бесконечности, в качестве которых мы будем использовать парциальные условия излучения; их постановка была осуществлена в [5]. Именно, будем далее искать только те решения задачи (1), которые удовлетворяют парциальным условиям излучения в соответствии с определением:

Определение 1 Пусть ?n2 - собственные значения задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечении S, а ?n(y) - соответствующие им собственные функции. Если при x > b имеет место представление 

 C_mўў

u =

е

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gm (l)	ei gm (l) x ym(y),

где gn(l) = l{{l-an2}, и аналогичное при x < a, то есть при больших  |x|  поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника и к источнику, то говорят, что u удовлетворяет (парциальным) условиям излучения. Поскольку с физической точки зрения при возбуждении поля u током f волны должны бежать от источника, говорят, что u удовлетворяет физическим или главным условиям излучения, если в этой формуле стоят только главные значения корней ?n, то есть такие, что при lnot О (a2n, +Ґ) верно неравенство 

Бg_n (l) > 0 ,

а при l О (a2n, +Ґ) - 

g_n (l) > 0 .

Если конечное число корней имеет побочное значение, то и условия излучения называют побочными.

Поскольку решение, удовлетворяющее условиям излучения, не всегда принадлежит W12(W), естественно искать обобщенное решение задачи (1), принадлежащее более широкому линейному пространству. Именно, введем пространство W 12, loc(W) как множество всех функций, представимых в виде суммы функции из C(W), быть может не лежащей даже в L2(W), но равной нулю на границе W, и функции из W 12(W). Тогда обобщенную постановку задачи (1) можно записать в виде: найти u W W 12, loc(W), удовлетворяющую уравнению 

(Dw,   u)_L² _(W)+ l(w,   q u) _L²_(W) = (w,  f)_L² _(W)     "w О C^Ґ₀(W).

Резольвента регулярного волновода.

Выясним сначала поведение резольвенты задачи (1) в простейшем случае полого волновода. В этом случае методом разделения переменных ее можно явно построить, то есть показать, что задача 

([D+ l] w,   u )_L² _(W) = (w,  v)_L² _(W)     "w О C^Ґ₀(W),

где Supp v О W, имеет единственное решение u  W 12, loc(W), удовлетворяющее парциальным условиям излучения.

Предположим, что задача (2) имеет обобщенное решение u(x,y) W W 12, loc(?) при данном l, тогда оно представимо виде суммы непрерывной функции, которая заведомо принадлежит L2(S) при любом x, и функции u'(x,y) l W 12(l). Поскольку при любом x 

 ¶

у х S

|u'(x,y)|2  dy =

x у х -Ґ

у х S

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

¶x	|u'(x,y)|2  dxdy Ј Const||u'||2W  12(W),

функция u' тоже принадлежит L2(S). Поэтому и u(x,y) ? L2(S) при любом x и ее можно разложить в сходящийся по норме L2(S) ряд 

u =	Ґ е n=1	un(x) yn(y)

по собственным функциям y_n задачи 



	м п н п о	D^ y+ a2 y = 0 u| ¶S = 0,

на сечении S, предварительно перенумеровав собственные значения этой задачи (так называемые квадраты частот отсечки) в порядке возрастания.

Для вычисления коэффициентов um(x) подставим в (2) w(x,y) = w(x)--yn(y) и получим 

	Ґ у х -Ґ	( w'' um + (l-a2m) w(x) um(x)- w(x) v(x)) dx = 0     "w О CҐ0(R1),

то есть um(x) является обобщенным решением уравнения 

u_mўў+(l-a²_m)u_m = v_m.

Его решение при помощи функции Грина можно представить в виде: 

 i

um(x) =

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gm (l)		Ґ у х -Ґ	d xei gm (l) |x-x| vm(x) + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x ,

где значение корня gn (l) 2 = l- a2n может быть как главным так и побочным [26].

При x > b имеет место представление 

 C_mўў

u =

е

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gm (l)	ei gm (l) x ym + Cm ei gm (l) x ym +Cmўe- i gm (l) x ym

и аналогично при x < a 



 C_mўўў

u =

е

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gm (l)	e- i gm (l) x ym + Cm ei gm (l) x ym +Cmўe- i gm (l) xym.

Поэтому для того, чтобы u удовлетворяла парциальным условиям излучения, необходимо, чтобы Cm=Cm'=0. Значит, удовлетворяющее главным или побочным условиям излучения решение задачи (2), если оно вообще существует, имеет вид 

u = R₀(l) v,

где 

 i

R0(l)v =

Ґ е n=1

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gn (l)		у х W	dxd hei gn (l) |x-x| yn(h)yn (y)   v(x, h).

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1 Пусть v О L2(Wў) и в формуле (8) все корни gn(l), начиная с некоторого n, имеют главное значение. Тогда ряд для R0(l)v сходится по норме W 12(W) и является обобщенным решением задачи (2). Более того, в этом случае в окрестности любой точки l0 not = a2n, найдется такое N, что N-ый остаток R0N ряда для R0(l) принадлежит L(L2(Wў), W 12(W)) и регулярен там.

Замечание 1 Запись A О L(E, F) означает, что оператор A является ограниченным оператором, переводящим банахово пространство E в подмножество банахова пространства F [27].

Замечание 2 В общем электромагнитном случае резольвента полого волновода впервые была строго математически построена в работе А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [1],[3]. В [7], [18] особо разбирался скалярный случай при v О C^Ґ₀(W)). В частности, в работе [7] указано, что ряд для R0 v при физическом выборе корней сходится равномерно в норме С, если v О C^Ґ₀(W') и поэтому является классическим решением задачи (2).

Доказательство. Пусть l принадлежат достаточно малой окрестности l0 not = a2n. По условию значения g_n(l) становятся главными, начиная с некоторого номера, тогда найдется столь большое N, чтоБg_n(l) > 0 при n і  N. Но любая функция v О L²(Wў) может быть представлена в виде 

v(x,y) =	N-1 е n=1	(yn, v)L2(S) yn (y) + vў,

где vў - функция, ортогональная к  y₁, ... y_N-1.. Подстановка 

 i

u =

N-1 е n=1

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gn (l)		Ґ у х -Ґ	ei gn (l) |x-x| (yn, v)L2(S) yn (y) + uў

приводит к задаче 

([D+ l] wў,   uў)_L² _(W) = (wў,  vў)_L² _(W)     "wў О C^Ґ₀(W).

У этой задачи существует решение из W  ¹₂(W).

В самом деле, в силу теоремы Рисса [20],[19] задача (9) в пространстве 

{ u О W  ¹₂(W) :     (u,   y_n) = 0,     n=1, ..., N-1 }

имеет вид 

uў+ lA uў = H vў,

где A О L (W  ¹₂(W), W  ¹₂(W)) и H О L(L²(W'), W  ¹₂(W)) - ограниченные эрмитовы операторы, заданные билинейными формами: 

(w, A v)W  12(W) =	у х W	wv q  dxdy,
(w, H v)W  12(W) =	у х W	wv  dxdy.

Ограниченность H можно доказать следующим образом. Поскольку для любой w О W  ¹₂(W) 

(w, H v)_W¹₂=(w,v)_L² Ј ||w||_L²||v||_L²

и ||w||²_L² Ј 4 (diam S)² ||w||²_W¹₂ (см. [28]), верно неравенство 

|| H || Ј 2 diam S є h.

При  l₀ not О [a²₁, + Ґ) существует резольвента (E+lA)^-1, регулярная в окрестности точки l0. Поэтому справедлива оценка 

(w, (E+lA)^-1 H v)_W¹₂ Ј h ||(E+lA)^-1||_W¹₂ ||v||_L² ||w||_W¹₂.

Это означает, что в окрестности такой точки l0 

(E+lA)^-1 H О L (L²(Wў), W  ¹₂(W))

Поэтому в этой окрестности существует решение u' задачи (), именно: 

uў = (E+lA)^-1H vў,

а значит, и решение задачи (2), которое имеет вид 

 i

u =

N-1 е n=1

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gn (l)		Ґ у х -Ґ	ei gn (l) |x-x| (yn, v)L2(S) yn (y) + (E+lA)-1 H vў.



С другой стороны по доказанному оно представимо в виде R0 v, поэтому остаток резольвенты 

R₀^N(l) = (E+lA)^-1 H

и следовательно, этот остаток является регулярной в окрестности l0 оператор функцией, принадлежащей L (L²(Wў), W  ¹₂(W))..

Если же a2N > l0 > 0, то отсюда следует, что у задачи (2) имеются решения при l0 + 0i и l0 l 0i, и они стремятся друг к другу. Поэтому непрерывный спектр A начинается с l2N, а собственных значений у него нет. (Ср. [21]) Значит, и при таких l0 опять существует резольвента (E+?A)?1, регулярная в окрестности точки l0. Повторяя сказанное выше, опять получим, что 

R₀^N (l) = (E+lA)^-1 H О L(L²(Wў),W  ¹₂(W)).

Сведение исходной задачи к интегральному уравнению

Предыдущая теорема означает, что резольвента полого волновода является регулярной аналитической функцией на римановой поверхности f с точками ветвления a2n. Весьма замечательно, что ту же риманову поверхность можно взять и для резольвенты исходной задачи (1).

В самом деле, пусть v О L²(Wў) удовлетворяет задаче 

v - A(l) v = f,

где 

A(l)=- l(q-1) R₀ (l),

а q(x,y) та же, что и в задаче (1). (Здесь и далее под ? подразумевается точка римановой поверхности f, поэтому теперь не требуется указывать, что всюду выбрана одна и та же ветвь R0(l)). Положим 

u = R₀ (l) v,

тогда в силу теоремы 1 u как решение задачи (2) принадлежит W 12, loc((W) и удовлетворяет уравнению 

([D+ l] w, u) = ([D+ l] w, R₀ (l) v) = (R₀ (l)^*[D+ l] w, v) =

= (w, v) = (w, - l[q-1]u + f),

то есть u есть обобщенное решение задачи (1). К тому же эта функция удовлетворяет главным или побочным условиям излучения в зависимости от выбора значения корней g_n в R₀(l). Таким образом для построения решения задачи (1), удовлетворяющего парциальным условиям излучения, достаточно разрешить задачу (10). Преимущество же задачи (10) состоит в следующем.

Теорема 2 Оператор-функция A((l) является компактной и голоморфной на римановой поверхности f.

Доказательство. Пусть l0 - любая регулярная точка поверхности f. Из теоремы 1 следует, что R0(l?) является суммой конечного числа интегральных операторов вида 

 i

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gn (l)		Ґ у х -Ґ	d xei gn (l) |x-x| (yn,   .   )L2(S) yn (y)

и остатка R₀^N (l) О L(L², W  ¹₂(W)), регулярного в окрестности  l0. В силу компактности носителя q-1 операторы 



 i

[q(x,y)-1][ 1/2]

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 gn (l)		Ґ у х -Ґ	d xei gn (l) |x-x| (yn,   .   )L2(S) yn (y)

как и 

[q(x,y)-1] ^[ 1/2]R₀^N (l)

принадлежат L(L²(Wў), L²(Wў)), являются регулярными в окрестности l0 и, после домножения на компактный оператор [q(x,y)--l1][ 1/2], становятся компактными, а следовательно то же верно и для их суммы A (l). 

Из этой теоремы и мероморфной теоремы Фредгольма [29] следует, что для задачи (10) верна альтернатива: или при данном l задача 

v -A(l) v = f

однозначно разрешима при любой f О L²(Wў), или l является собственным значением оператора A(l), то есть существует нетривиальное решение v О L²(Wў) уравнения 

v -A(l) v = 0.

Прежде чем выяснить, как соотносятся эти собственные значения с собственными значениями задачи (1), условимся о следующем.

Определение 2 Точка e римановой поверхности f называется резонансной точкой волновода, если существует нетривиальное решение u О W  ¹_{2,  loc}(W) задачи 

(Dw,   u)_L² _(W)+ e(w,   q u) _L² _(W) = 0     "w О C^Ґ₀ (W),



удовлетворяющее условиям излучения, соответствующим данному листу f. Если эта точка принадлежит главному листу или его границе, то ее называют собственным значением волновода, а соответствующую функцию u - собственной функцией; функцию u1 О W 12, loc(О) называют присоединенной к u, если она является решением задачи 

Если же резонансная точка e О f не принадлежит главному листу и его границе, то ее называют комплексным резонансом (комплексной резонансной точкой).

Традиция называть резонансные точки, отличные от собственных значений, комплексными связана со следующей теоремой.

Теорема 3 Все собственные значения волновода, лежащие на главном листе вещественны и положительны, а соответствующие им собственные функции принадлежат L2.

Замечание 3 Для случая достаточно гладких q эта теорема приведена в [18].

Доказательство. В силу условий излучения все собственные функции волновода, не лежащие на разрезе e not О [a²₁,+Ґ)), принадлежат L²(W) и поэтому в силу самосопряженности оператора D все собственные значения волновода вещественны.

Пусть u отвечает собственному значению a²_N < l < a²_N+1. В силу условий излучения вне W' = x О [a,b] эта функция имеет вид 

u =	N е n = 1	Cn ei Ц{l-an2} x yn +	Ґ е n = N+1	Cn e- Ц{an2- l} xyn

при x > b, и 

u =	N е n = 1	Cn' e-i Ц{l-an2} xyn +	Ґ е n = N+1	Cn' e Ц{an2- l} xyn

при x < a. В силу леммы Вейля [28] обобщенное решение (11) принадлежит C2 всюду в ? вне разрывов q и следовательно можно вычислить по частям интеграл 

у х W'

( |Сu|2 + e|u|2) d t =

у х W'

u*(-Du + eu) d t+

N е n = 1

i

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

l-an2	(|Cn|2 + |Cn'|2)+

+

Ґ е n = N+1

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

an2- l	(|Cn'|2 e Ц{an2- l} b-|Cn|2 e- Ц{an2- l} a)

(Интегралы по поверхностям разрыва q пропадают, поскольку u О C¹(W) как решение обобщенной задачи (11).) Взяв мнимую часть получим 

N е n = 1

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

l-an2	(|Cn|2 + |Cn'|2) = 0,

откуда 

C_n = C_n' = 0

при всех n = 1, ..., N, и значит u О L²(W). 

Заметим, что, если q О C¹(W), в силу леммы Вейля [28] обобщенное решение (11) принадлежит C2(W), и следовательно является классическим. Если же u - классическое решение задачи (11), тогда можно положить v = (D+ e) u є -e (q-1) u. Значит, 

v + e (q-1) R₀ v = (D+ e) u + e (q-1) u = 0,

то есть v - собственная функция оператора A. Обратное верно и без предположения о том, что q О C¹(W)

Теорема 4 Если e О f - собственное значение оператора A(l), а v - соответствующая ему собственная функция, то собственное значение e является резонансной точкой волновода.

Если e лежит на главном листе f, то оно является собственным значением волновода и его кратность как собственного значения оператора A(l), совпадает с числом линейно независимых собственных функция волновода.

Более того собственной функции v отвечает собственная функция волновода u=R0(e) v , а функции v1, присоединенному к собственной функции v оператора A(l), отвечает функция 

u₁ = R₀(e) v₁ + R₀ў(e) v ,

присоединенная к собственной функции волновода u=R0(e) v. (Здесь R0'(e) означает[(d R₀(l))/(d l)] |_{l = e}.)

Доказательство. Заметим сначала, что если e - собственное значение оператора A, то существует не только собственная функция v О L²(Wў), удовлетворяющая задаче 

v - A(e) v = 0,

но и u = R0(e) v , которая является обобщенным решением задачи (11). По определению это означает, что e является резонансной точкой волновода.

Если e лежит на главном листе, то построенная выше функция u является собственной функцией волновода, отвечающей собственному значению e.

Покажем, что функция 

u₁ = R₀(e) v₁ + R₀ў(e) v



является присоединенной к u. Для этого заметим, что при всех w О C^Ґ₀ (W) во-первых, 

((D+e q) w,  R₀ v₁) = ((D+e) w,  R₀ v) +(w,  e (q-1) R₀ v) =

= (w,  v₁ + e(q-1)R₀ v₁) = (w, Aў(e) v) =

= -(w, (q-1)R₀ v + e (q-1)R₀ўv),

а во-вторых, и в силу 

((D+ l) w, R₀(l) v) = (w, v)

верно соотношение 

((D+ l) w, R₀ўv) = - (w, R₀ v)

и поэтому 

((D+ eq)w,  R₀ўv)=(w,  e(q-1)R₀ўv - R₀ v).

Складывая эти равенства, получим 

((D+ eq) w,  u₁) = -(w, (q-1)R₀v + R₀v)=-(w,  q u).

Значит, u1 действительно является присоединенной функцией.

Однако, из самосопряженности оператора l+ Dq при вещественных l и q следует, что у собственных функций нет присоединенных. В самом деле, имеем 

(u,(D+ e q) u₁) = ((D+ e q)u, u₁) = 0 = -(u, q u) not = 0,



что невозможно. Но лежащее на главном листе e неизбежно вещественно, как отмечалось выше. Значит присоединенной к u функции не существует, а следовательно, не существует и v1, поэтому кратность собственного значения e оператора A равна количеству его линейно независимых собственных функций. По предыдущему между этими функциями и собственными функциями волновода существует взаимно однозначное соответствие, поэтому кратность равна числу его линейно независимых собственных функций. 

Подчеркнем особо, что кратность собственного значения волновода, то есть количество линейно независимых собственных функций, совпадает с кратностью собственного значения оператора A. Это весьма важно при рассмотрении зависимости собственных значений волновода от параметров заполнения.

Подводя итог всему сказанному, можно утверждать, что задача (1) с главными условиями излучения разрешима при всех ?not ? ?2n, отличных от собственных значений волновода. Это утверждение сводит исследование вопроса о существовании решения задачи (1) к исследованию свойств соответствующей спектральной задачи.

2. Ловушечные моды волноводов, заполненных неоднородным веществом

Вопрос о существовании ловушечных мод у локально нерегулярных волноводов является чрезвычайно сложным; при его разрешении следует учитывать, что те собственные значения спектральной задачи для волновода, которые выше первой частоты отсечки, вложены в непрерывный спектр и поэтому к ним нельзя применить ни принцип Рэлея, ни теорию возмущения Реллиха-Като. Поэтому к настоящему моменту фактически исследовано лишь существование изолированных собственных значений, то есть меньших первой частоты отсечки. В [10] было особо отмечено, что в вопросе о существования вложенных собственных значений нет продвижения дальше построения примеров и было предложено выяснить сохраниться ли собственное значение у волноведущей системы, если слегка возмутить ее параметры. Хотя теория возмущения для вложенных собственных значений давно привлекает внимание математиков, последняя далека от своего завершения и ответ на поставленный вопрос заранее неясен. Это связано с тем, что в отличие от изолированных собственных значений вложенные собственные значения могут становиться комплексными резонансными точками при малых компактных возмущениях (См. [15]-[24], а также [13].)

Спектральные свойства волновода, заполненного неоднородным веществом.

Благодаря сведению исходной задачи к интегральному уравнению, теперь можно исследовать резонансные свойства волновода. При l, отличных от собственных значений оператора A(l) и квадратов частот отсечки l2nсуществует решение v интегрального уравнения (10), а следовательно и удовлетворяющее физическим условиям излучения решение задачи о возбуждении колебаний в волноводе. Это решения принадлежит L2 при любой f только при l < a²₁, поэтому непрерывный (или, что в данном случае одно и то же, существенный) спектр волновода начинается с ?21.

Согласно теореме 4 собственные значения оператора A(?) совпадают с собственными значениями волновода, а те в свою очередь в силу теоремы 3 с собственными значениями задачи: 

	м н о	Du + lq(x,y) u = 0,     (x,y) О W,     l = k2 u О W  12(W).

Поэтому явление резонанса имеет место лишь при тех l, которые совпадают с собственными значениями e этой задачи или с квадратами частот отсечки l2n, в полной аналогией со случаем локально нерегулярного полого волновода, разобранным в [7], или со случаем волновода с гладким заполнением, разобранным в [18].

При этом следует различать изолированные и вложенные в непрерывный спектр собственные значения волновода: для первых разработаны такие принципы как принцип Рэлея и теория возмущений Реллиха-Като, для вторых не создано почти ничего. Для того, чтобы придать понятию существенного спектра волновода строгий смысл, используя теорему Рисса, перепишем (12) в операторном виде 

u=lAu,

где ограниченный оператор A задан билинейной формой 

(v,Au) W  12(W)=	у х W	uv q(x,y) dxdy.

Ясно, что именно к оператору A применим принцип Рэлея, а возмущению q отвечает компактное возмущение A, к которому применима теория Реллиха-Като. Поэтому естественно дать следующее определение.

Определение 3 Существенный спектр оператора 

A О L (W  ¹₂(W), W  ¹₂(W)),

заданного билинейной формой (13), называется существенным спектром волновода. Собственное значение волновода называется вложенным, если оно лежит в существенном спектре оператора A.

Замечание 4 В теории локально нерегулярных полых волноводов со времен работы Джонса [21] принято несколько иное определение, именно, существенным спектром волновода называют существенный спектр неограниченного оператора -D в L²(W). К сожалению, если рассматривать и задачу (12) в L2(W), то потребуется рассматривать спектр пучка D+ lq, что весьма неудобно. В довершении следует отметить, что в случае q ? 1 существенный спектр волновода и по данному выше определению и по определению Джонса заполняет весь луч [?21, +?).

Так как существенный спектр полого волновода, то есть оператора B, заданного билинейной формой 

(v, B u)W  12(W) =	у х W	uv  dx dy

есть 

s_ess(B)=[a²₁, + Ґ)

и разность V = A ? B, заданная билинейной формой 

(v,Vu)W  12(W)=	у х W	uv  (q(x,y)-1)dxdy.

компактна, поскольку [q\tilde]=q-1 имеет компактный носитель, то по теореме Вейля [30] (см. также [25]) 

s_ess(A)=s_ess(B)=[a²₁, + Ґ).

Таким образом существенный спектр волновода - это всегда [a²₁, + Ґ), а собственное значение волновода погружено в существенный спектр, если оно больше a21. Поэтому существенный и непрерывный спектр волновода обычно не различают.

Обратимся теперь к вопросу о существовании собственных значений волновода, поскольку оно вовсе не очевидно, поскольку, например, полый волновод ими не обладает. В [23] было показано, что когда q(x,y) ? 1 существует хотя бы одно изолированное собственное значение. Однако пока еще не было доказано, что существуют вложенные собственные значения, то есть большие ?21, на что особо обращено внимание в [7]. Поэтому обратимся к тому случаю, когда вложенные собственные значения у волновода заведомо существуют.

Заполнение типа вставки.

Весьма распространенным на практике является случай, когда в полый волновод W постоянного сечения, заполненный однородным веществом с q = 1, перпендикулярно к оси Ox вставлена одна или несколько пластин с различными q not = 1, то есть q(x) является кусочно-постоянной функцией x. В этом случае удается доказать существование бесконечной последовательности собственных значений задачи (1), если q(x) і 1 и q(x) not є 1. Будем далее рассматривать такое заполнение как частный случай заполнения типа ''вставки'' в соответствии с определением.

Определение 4 Говорят, что заполнение волновода есть заполнение типа вставки, если q(x,y) є q(x)Будем искать классическое решение задачи (12), то есть дважды непрерывно дифференцируемое вне разрывов функции q(x) решение задачи 

	м н о	Du + lq(x) u = 0,     (x,y) О W,     l = k2 u О W  12(W).

удовлетворяющее вдоль разрывов условиям сопряжения 

 ¶u

[u] =

й л

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

¶x	щ ы	=0 .

В силу полноты системы функций { ?n(y) } решение (14) всегда можно представить в виде 

u(x,y; l) =	+Ґ е n=1	un (x; l) yn(y),

причем u_n (x; l) О L² ( R¹ ) ЗC¹( R¹). Тогда из (14), получим 

u_n ўў = ( a²_n - lq )u_n.

С другой стороны, функция 

u_n ( x,y; l ) = u_n (x; l)y_n(y),

где un (x) удовлетворяет уравнению (16) и принадлежит L2( R1 ) ЗC1(R1), уже есть решение задачи (14). Поэтому все собственные функции задачи (14) исчерпываются следующим набором функций: 

u_n ( x,y; l ) = u_n ( x; l )y_n(y),     n = 1, 2, ...

где un ( x; l ) удовлетворяют задаче (16) .

Заметим, что вне неоднородности собственные функции un (x, ?) имеют вид 

C1 sin(

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

l-an2

x) + C2 cos(

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

l-an2	x),

где C1 и C2 - некоторые константы, и поэтому можно удовлетворить условию принадлежности решения задачи L2(R1), только если a²_n - l > 0, следовательно, решения задачи (16) существуют только при  l < a²_n

Это обстоятельство особенно важно в виду того, что непрерывный спектр задачи (16) начинается только с a2n . В самом деле в пространстве W 12 (R1) эта задача имеет вид 

u=lAu = l(B+V)u,

где ограниченные операторы A, B и V заданы билинейными формами 

и 

(v,Au)W 12=	+Ґ у х -Ґ	uv q(x) dx,   (v, B u)W 12 =	+Ґ у х -Ґ	uv d x

(v,Vu)W 12=	+Ґ у х -Ґ	uv (q(x)-1)dx.

Так как [q\tilde]=q-1 имеет компактный носитель, то оператор V - компактный. Значит по теореме Г. Вейля [30] (см. также [25]) существенный спектр операторов A и B совпадают. Но существенный спектр задачи 

u=lBu     или     u''+(l-a²_n)u=0

имеет вид s_ess = [ a²_n,   +Ґ) [28], поэтому, как и утверждалось выше, существенный спектр задачи (16) начинается с a²_n.

Теперь ясно, что все собственные значения задачи (16) лежат ниже существенного спектра и следовательно, для их расчета можно применять принцип Релея [25]. Поэтому в частности если положить maxq(x) = Q для первого собственного значения получим оценку 

 ||uў||²_L² + a²_n||u||²_L²

en(1) =

inf

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

 a²_n

(qu,u)L2

і

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Q	.

Таким образом, все собственные значения задачи (16) лежат на отрезке 

 a²_n

(

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Q	, a2n)

и являются изолированными собственными значениями этой задачи, но при достаточно больших n они являются собственными значениями задачи (14), погруженными в непрерывный спектр задачи (14).

При q і 1 у задачи (16) имеется по крайней мере одно собственное значение. В самом деле, положим [(l)\tilde] = l-a²_n, тогда имеем 

-un'' - a2n	~ q	un =	~ l	q un.

Известно (теорема XIII.6 из [25]), что непрерывный спектр оператора - [(d²)/(dx²)] - a²_n [q\tilde] совпадает сl О [0, +Ґ) или l О [a²_n, +Ґ), а при [(l)\tilde] < 0, то есть при l < a²_n, непременно имеется по крайней мере одно собственное значение. Оно может быть определено при помощи принципа Релея 

||uў||²_L² + a²_n(

~

q

 

u, u)_L²

~ l

=

inf

Подобные документы

• Волноводная фотоника

  Основные физические принципы волноводной фотоники. Классификация оптических волноводов. Геометрическая оптика планарных волноводов. Классификация мод планарного волновода. Волноводные моды тонкопленочного волновода. Эффективная толщина волновода.
  
  реферат [2,0 M], добавлен 16.06.2019
  

• Волны плоского оптического волновода

  Теория диэлектрических волноводов. Анализ распространения волн в плоском оптическом волноводе с геометрической точки зрения и с точки зрения электромагнитной теории. Распределение электромагнитного поля и зависимость свойств волновода от его параметров.
  
  курсовая работа [5,4 M], добавлен 07.05.2012
  

• Спектральные характеристики

  Понятия теории линейных операторов. Дискретный (точечный), непрерывный и остаточный спектр. Основные свойства резольвенты. Связь резольвенты с остаточным, точечным и непрерывными частями спектра оператора. Применение спектральной теории в электронике.
  
  реферат [133,5 K], добавлен 18.05.2010
  

• Круглый и прямоугольный волноводы

  Изучение конструкции волноводов. Классификация волн в волноводе. Создание электрических и магнитных полей различной структуры. Уравнения Максвелла для диэлектрика. Уменьшение потерь энергии внутри волновода. Распространение поперечно-электрических волн.
  
  презентация [267,3 K], добавлен 25.12.2014
  

• Методы изготовления планарных интегрально-оптических волноводов в подложках

  Создание обзора по методам изготовления планарных интегрально-оптических волноводов в подложках. Кристаллохимическое описание стекол. Методы получения планарных волноводов методами диффузии. Параметры диффузантов используемых при изготовлении волноводов.
  
  курсовая работа [711,5 K], добавлен 20.11.2012
  

• Изучение плоских диэлектрических волноводов для ТЕ поляризации

  Переменное электромагнитное поле в однородной среде или вакууме. Формулы Френеля. Угол Брюстера. Уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн в плоском оптическом волноводе. Дисперсионные уравнения трехслойного диэлектрического волновода.
  
  курсовая работа [282,5 K], добавлен 21.05.2008
  

• Создание и исследование симметричных канальных волноводов в стеклах

  Методы изготовления планарных интегрально-оптических волноводов на поверхности подложки. Физические аспекты ионного обмена и твердотельной диффузии. Технология производства симметричных канальных волноводов в стеклах, шлифовка и полировка торцов.
  
  дипломная работа [571,2 K], добавлен 14.12.2015
  

• Моделирование и численно-аналитическое решение двумерных задач устойчивости, колебаний и контактного взаимодействия деформируемых тел

  Оценка влияния малых нерегулярностей в геометрии, неоднородности в граничных условиях, нелинейности среды на спектр собственных частот и собственной функции. Построение численно-аналитического решения задачи о внутреннем контакте двух цилиндрических тел.
  
  автореферат [2,3 M], добавлен 12.12.2013
  

• Спектральные методы НК

  Атомный и молекулярный спектральный анализ. Оптическая спектроскопия. Лазерное сканирование полупроводниковых пластин с последующим спектральным анализом люминесцентного излучения. Спектральные приборы и их принципиальная схема. Дифракционная решётка.
  
  реферат [2,3 M], добавлен 15.01.2009
  

• Задачи и уравнения математической физики

  Применение расчетных формул для определения собственных частот и форм колебаний стержня (одномерное волновое уравнение) и колебаний балки с двумя шарнирными заделками. Использование теоретических значений первых восьми собственных частот колебаний.
  
  контрольная работа [2,6 M], добавлен 05.07.2014
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам