Спектральные свойства волноводов с неоднородным заполнением

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

||u||2L2	< 0.

Но если q і 1, то и 

||uў||²_L² + a²_n(

~

q

 

u, u)_L²

inf

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

(qu,u)L2	Ј	~ l	< 0,

откуда 

 ||uў||²_L² + a²_n(q u, u)_L²

inf

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

(qu,u)L2	< a2n.

Но так как существенный спектра задачи (16) лежит выше a²n, это означает, что у задачи (16) существует собственное значение, что и утверждалось выше.

Подытоживая все сказанное, можно утверждать следующее:

Теорема 5 Все собственные значения волновода с заполнением типа вставки можно найти как собственные значения задач (16) при n = 1,2, .... Если Q і q(x) і 1, то при каждом n найдется хотя бы одно собственное значение e⁽¹⁾_n задачи (16), лежащее на интервале ([(a²_n)/Q], a²_n), и все другие собственные значения этой задачи лежат на том же интервале.

Замечание 5 На существование собственных значений у волновода с кусочно-постоянным заполнением типа вставки было указано в [18]. На то, что из теоремы XIII.6 из [25] следует существование бесконечной последовательности собственных значений у задачи (14) было указано в [32]. Впрочем, уравнение (16) можно свести к уравнению Шредингера при помощи преобразования Лиувиля [28], что дает еще один способ исследования его спектральных свойств; на это было указано в неопубликованной пока статье А.А. Арсеньева "Резонансное рассеяние в волноводе с заполнением".

Эта теорема означает, что у волновода с заполнением типа вставки с q і 1 имеется бесконечно много собственных значений, и следовательно большинство из них лежит выше ?21, то есть вложено в непрерывный спектр. Однако вложение это лишь формальное, поскольку они являются изолированными собственными значениями задач (16).

Заполнение типа ''простой вставки''.

Для двух случаев, когда вставлена соответственно одна или две пластины, удается найти трансцендентные уравнения, которым удовлетворяют собственные значения, и исследовать поведение собственных значений как функций параметров вставки. В первом случае будем называть заполнение ''простой вставкой'', а во втором - ''коленом''.

Обратимся к простейшему случаю, когда 

W = { x О R¹,     y О [0,   +p] },

и 

q( x ) =	м п н п о	q,    x О ( - 1, + 1 ) 1	.

В этом случае собственные значения задачи Дирихле на сечении равны a_n² = n², a собственная функция задачи (16) имеет вид 

un ( x ) =	м п п н п п о	C1  eЦ{n2 - l} x,     x < - 1 C3  sin[ Ц{lq - n2} x ] + C4  cos[ Ц{lq - n2} x ],     - 1 < x < 1 C2  e - Ц{n2 - l} x,     x > 1

Положим 

g =

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

n2 - l

,     gў =

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

lq - n2	,

тогда условия сопряжения (15) приводят к системе из четырех однородных линейных уравнений для определения констант C1, ... C4: 

	мп пп нп пп о	C1 e-g = C3 sin(-gў)+C4 cos(-gў) gC1 e-g = gў(C3 cos(-gў) - C4 sin(-gў)) C2 e-g = C3 singў + C4 cosgў -gC2 e-g = gў( C3 cosgў - C4 singў)

или 

	мпн п о	g( -C3 singў+C4 cosgў) = gў(C3 cosgў + C4 singў) g(C3 singў + C4 cosgў) = - gў( C3 cosgў - C4 singў)

или 



	м п нп о	-C3 (gsingў + gўcosgў)+C4 (gcosgў - gўsingў) = 0 C3 (gsingў + gўcosgў)+C4 (gcosgў - gўsingў) = 0

или 

	м п нп о	C3 (gsingў + gўcosgў) = 0 C4 (gcosgў - gўsingў) = 0

Эти уравнения разрешимы тогда и только тогда, когда ? удовлетворяет одному из двух соотношений: 

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

n2 - l

cos

й л

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

lq - n2

щ ы

=

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

lq - n2

sin

й л

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

lq - n2	щ ы

или 

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

an2 - l

sin

й л

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

lq - an2

щ ы

= -

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

lq - an2

cos

й л

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

lq - an2	щ ы	.

Если собственное значение l удовлетворяет первому соотношению, то уравнения (19) ведут к тому, что C3 = 0, а исходная система тогда дает C1 = C2 , поэтому ему отвечает четная собственная функция. Аналогично, если lудовлетворяет второму соотношению, то ему отвечает нечетная собственная функция.

Эти уравнения позволяют вычислить все собственные значения задачи (14), меньшие некоторой заданной константы, при любом заданном значение q. Обозначим собственные частоты (корни из собственных значений) как km(q), перенумеровав их в порядке возрастания. Вычисления показывают, что число собственных значений задачи (14) между частотами отсечек ( n l 1 )2 и n2 быстро растет с ростом n или q и что у задачи (14) могут иметься кратные собственные значения.

Отметим, наконец, что уравнение (20) имеет решение e(1)n(q) при всех q > 1, которое непрерывно зависит от q и для которого 

	Lim q = +1	e(1)n(q) = n2.

Значит, при достаточно малых q?1 > 0 и n > 1 это собственное лежит выше границы непрерывного спектра ?12=1. Ему отвечает четная по x собственная функция вида: 

un (x,y) = sinny	м п пн пп о	C1  eЦ{n2 - l} x,     x < - 1 cos[ Ц{lq - n2} x ],     - 1 < x < 1 C2  e - Ц{n2 - l} x,     x > 1	,

которая, следовательно, всегда имеется у волновода с заполнением типа простой вставки, что вполне согласуется с предыдущей теоремой.

Заполнение типа ''колена''.

Обратимся теперь к случаю заполнения типа ''колена'': 

q( x ) =	м п пнп п о	q1 > 1,    x О ( - a,0 ) q2 < 1,    x О ( 0, + b ) 1	.

Повторяя проделанные выше выкладки, можно найти трансцендентное уравнение, которому удовлетворяют собственные значения задачи (16). При достаточно больших n у этого уравнения всегда появляются вещественные корни. Поэтому, существует бесконечно много собственных значений задачи (14), хотя для заполнения этого типа из теоремы 5 непосредственно не следует существование хотя бы одного собственного значения. Следует также отметить, что можно так подобрать константы, чтобы все собственные значения были вложены в непрерывный спектр. Например, при 



q₁ = 1.35,        a = 1,

q₂ = 0.10,        b = 4

собственные значения распределены на интервалах между квадратами частот отсечки следующим образом: на интервале [0, 1] нет ни одного собственного значения, на интервалах [n2, (n+1)2] при n = 1, ... 5 лежит ровно по одному собственному значению, при большем n число собственных значений на интервалах [n2, (n+1)2] начинает расти.

В заключении хотелось бы отметить, что все результаты последних двух пунктов прямо переносятся на трехмерный случай, если всюду заменить n2 на частоты отсечки an2 .

Поведение вложенных собственных значений волновода при малом возмущении.

Хотя к настоящему моменту известны и другие примеры таких волноведущих систем ( [21],[10],[33],[9]), необходимые условия появления вложенных мод остаются неясными. Поэтому, как отмечалось выше, целесообразно изучить малые возмущения параметров волноведущих систем, обладающих ловушечными модами, и выяснить, сохраняются ли при этом эти моды или уходят в комплексные резонансные точки.

Теорема 5 гарантирует, что при достаточно малых q₀(x)-1 уже собственное значение e(1)2 задачи (1) c q(x,y) є q₀(x) лежит выше a²₁. Поэтому волновод обладает собственной функцией вида 

u₀(x,y)=u₂(x) y₂(y),

отвечающей собственному значению волновода e₀ = e⁽¹⁾₂, вложенному в непрерывный спектр. Выясним теперь, сохраниться ли оно, если мы возмутим это заполнение 

q(x,y) = q₀(x) + eq₁(x,y),



где q1 - вещественная функция, а e характеризует малость возмущения.

К сожалению, для вложенных собственных значений не создано столь исчерпывающей теории возмущений как для изолированных, потому разрешение этого вопроса требует некоторых усилий: так, например, для применения теории возмущений, развитой в [15]-[16], требуется построить резольвенту невозмущенной задачи, поскольку в этих работах при помощи резольвенты невозмущенной задачи сводят исходную задачу на собственные значения к виду 

v - A(l) v = 0,

где A(l) - компактный оператор, а уже затем к этой задаче применяют различные теоремы, связанные с теорией определителей Фредгольма.

Однако при доказательстве существования решения задачи о возбуждении током колебаний в волноводе исходная задача уже была сведена к виду (10), весьма схожему с (22) . Поэтому вместо того, чтобы строить резольвенту невозмущенной задачи, далее можно воспользоваться этими результатами.

В силу теоремы 4 точка e0 главного листа римановой поверхности f является однократным собственным значением оператора A(l, e) = - l(q₀-1 + eq₁) R₀(l) при e = 0. В окрестности точки (l = e₀, e = 0)этот оператор регулярен. Поэтому при достаточно малых  e у этого оператора имеется единственное собственное значение 

e(e) = e₀ + e₁ e+ ... = P(e),

для которого lim_{e = 0} e(e)=e₀, и ему отвечает собственная функция v(e), разложимая в равномерно по норме L²(Wў) сходящийся ряд 

v(e) = v₀ + v₁ e+ ... = P(e).



Обоснование этого утверждения дано в приложении к [14].

Замечание 6 Здесь и далее как это принято в вейерштрассовской теории функций произвольный ряд по целым положительным степеням ? будем обозначать как P(e) [34], [35].

Поскольку точка l = e₀ лежит на границе двух листов поверхности f, то лишь ее часть с Бl і 0 принадлежит главному листу. Поэтому собственное значение e(e) оператора A является собственным значением волновода, если Бe(e) і 0, в противном случае оно является комплексной резонансной точкой. Так как на главном листе все собственные значения вещественны, то Бe(e) = 0. Это равенство в частности означает, что e1 - вещественное число, то есть что в первом порядке теории возмущений e(e) остается вещественным. Несмотря на это, справедливо следующее утверждение.

Теорема 6 В окрестности невозмущенного однократного собственного значения волновода e0 существует единственная резонансная точка e(e), однако существуют такие кусочно-непрерывные вещественные возмущения q1(x,y) исходного заполнения q0(x), что e(e) с ростом e становится комплексной резонансной точкой.

Доказательство. Выше мы уже доказали, что в окрестности невозмущенного однократного собственного значения волновода e0 существует единственная резонансная точка e(e). Предположим вопреки утверждаемому в теореме, что при любом кусочно-непрерывном возмущении q1(x,y) эта резонансная точка является собственным значением волновода, то есть что e(e) - вещественная.

В силу теорем 2 и 3 собственному значению e(e) соответствует собственная функция 

u(x,y;e) = R₀(e(e)) v(x,y;e) О L²(W).

Как и в доказательстве теоремы 1 в окрестности точки ? = e0 резольвенту R0(l) можно представить в виде суммы оператора 

 i

B =

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

2 g1 (l)		Ґ у х -Ґ	dxei g1 (l) |x-x| (y1,   .  )L2(S) y1 (y)

и R₀¹(l) О L(L²(Wў), W  ¹₂(W)), регулярного в окрестностиl = e₀. По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда второй член 

R₀¹(e(e)) = P(e) О L(L²(Wў), W  ¹₂(W)).

Относительно первого заметим, что поскольку u(?) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению, лежащему на главном листе, то 

(u, y₁)_L²_(S) = 0     "x not О Wў.

Поэтому если h(x) - C^Ґ₀ступенька, равная 1 на всем Wў, то 

h(x)B(e(e))v(e) = B(e(e))v(e)

Но h(x)B(l)- интегральный оператор, ограниченный по норме W¹2, и регулярный в рассматриваемой окрестности l = e₀, поэтому и (x)B(e(e))v(e) = P(e).. Значит, собственная функция u(e)может быть разложена в ряд по степеням e, сходящийся равномерно по норме W12.

Умножив (1) на y₁(y) и проинтегрировав по всему сечению S, получим 

 d²

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

dx2		у х S	dy u(x,y) y1(y) + e	у х S	dy  q(x,y) u(x,y) y1(y) = a21	у х S	dy u(x,y) y1(y) .

Подставим сюда ряды для e(e) и u(e), тогда в первом порядке теории возмущений, обозначив 



	у х S	dy u(x,y)1 y1(y) = u1,1(x),

получим 

 d² u_1,1

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

dx2	+ [e0 q0(x) - a21 ] u1,1 = e0 u2(x)	у х S	dy  q1(x,y) y1(y)y2(y).

В силу ограниченности носителя возмущенного заполнения q(x,y)?1 это уравнение имеет решение, принадлежащее пространству L2(R1), лишь при весьма специальных условиях на q1(x,y). Но с другой стороны, для того чтобы u(x,y;?) принадлежало L2(?), необходимо, чтобы u1,1(x) принадлежала L2( R1). Значит, мы пришли к противоречию. 

Коротко доказанную теорему можно сформулировать так: вложенные собственные значения волновода превращаются в общем случае в комплексные резонансные точки. Отметим, что это - специфическое свойство вложенных собственных значений, поскольку изолированные собственные значения при таких возмущения сохраняются в силу теоремы Реллиха-Като. Это свойство довольно необычно, поскольку более привычно когда собственное значение становится комплексной резонансной точкой лишь при возмущении q0 комплексной добавкой, то есть при введении затухания.

К сожалению сделать на основании этой теорему вывод о существовании или несуществовании вложенных собственных значений при заполнениях, близких к q0(x), нельзя, поскольку при построенном q1 исчезает лишь одно вложенное собственное значение, а не все, и на вещественную ось могут выходить комплексные резонансные точки. Оба эти возражения могли бы быть легко отброшены, если бы A был конечномерный и его спектр имел бы простой вид. Поэтому можно лишь утверждать, что структуры совокупности вложенных собственных значений при заполнении типа вставки и при заполнении другого вида совсем не похожи, и поэтому многочисленные примеры пока мало что проясняют относительно устройства точечного спектра волновода.

Пример возмущения заполнения волновода, при котором исчезают погруженные в непрерывный спектр собственные значения волновода.

Выше в разделе 2.3 было показано, что вложенные в непрерывный спектр собственные значения неустойчивы к малым возмущениям заполнения волновода. Предъявим теперь конструктивно одно такое возмущение.

В плоском волноводе  W = { x О R¹,     y О [0,   +p] } задача на собственные значения (12) примет вид: 

	м п пн п по	Du + e q(x,y) u = 0     (x,y) О W, u |¶W = 0, u О W  12(W).

Для простоты будем считать, что 

Supp [q(x,y)-1] М W' = { x О [-1,1],     y О [0,   +p] }.

В данном случае, собственные значения задачи Дирихле a_n²  на сечении S равны n2, где n = 1,2, ..., а соответствующие им собственные функции y_n = sinn y. Поэтому нижняя граница непрерывного спектра задачи (23) есть a²₁=1..

Возьмем за невозмущенное заполнение - заполнение типа простой вставки: 

q0( x ) =	м п нп о	q0,    x О ( - 1, + 1 ) 1

В разделе 2.2 было показано, что при достаточно малых положительных q₀-1 существует вложенное собственное значение e₀ є e₂⁽¹⁾ > a²₁  задачи (23) q(x,y)=q₀(x),, которому отвечает четная по x собственная функция вида 

u₀(x,y) = u₂(x) sin2y,

где u₂(x)=cosg' x, а g' = Ц{a²₂- e₀ q₀}.

В разделе 2.3 было показано, что вложенное в непрерывный спектр собственное значение волновода сохраняется не при всех возможных вещественных возмущениях 

q(x,y) = q₀(x) + eq₁(x,y),

где q1 - вещественная функция, e характеризует малость возмущения, а лишь при тех, при которых задача 

 d² w

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

dx2	+ [e0 q0(x) - a21 ] w = e0 u2(x)	у х S	dy  q1(x,y) y1(y)y2(y)

имеет решение из L²(R¹).

Предположим, что при данном q1 такое w существует, и найдем соотношения, которым должно удовлетворять q1. Заметим, что вне W' функция w удовлетворяет однородному уравнению 

 d² w

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

dx2	+ [e0 - a21 ] w = 0

и следовательно имеет вид 

w = C1 sin(

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

e0 - a21

x)+C2 cos(

Ц

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

e0 - a21	x).

В силу того, что w О L²(R),, это означает, что при x not О [-1,1]функция w(x) тождественно равна нулю. Поскольку даже обобщенное решение (24) непрерывно дифференцируемо, то для w имеем переопределенную задачу: 

 d² w

м п п н п п о

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

dx2 + g2 w = f(x) w|x=±1 =  dw

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

dx к к x=±1  =0,

где g² = e₀ q₀ - a²₁- данное число, а 

f(x) = e0 u2(x)	у х S	dy  q1(x,y) y1(y)y2(y).

При помощи функции Грина задачу 

 d² w

м п н п о

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

dx2 + g2 w = f(x) u|x=±1=0

можно решить однозначно. В самом деле, положим 

v₁ = sin(g(x-1)),     v₂ = sin(g(x+1))

тогда 

w W[v1,v2] = v1(x)	x у х -1	v2(y) f(y) dy+ v2(x)	1 у х x	v1(y) f(y) dy,

где W[v1,v2] = Const - определитель Вронского. Для того, чтобы w удовлетворяло (25) необходимо еще выполнение двух условий: 

w'|x=1 = v1'(1)	1 у х -1	v2(y) f(y) dy = 0

и 

w'|x=-1 = v2'(-1)	1 у х -1	v1(y) f(y) dy = 0.

Поскольку v₁'(1) = gnot = 0 и v₂'(-1) = gnot = 0, функция f, при которой существует решение задачи (25) должна удовлетворять условиям: 

	1 у х -1	sing(x ±1) f(x) dx = 0.

Предъявим теперь q₁, не удовлетворяющую этим условиям. Именно, возьмем 

 y₂(y)

q1(x,y) =

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

y1(y)	Q(x)

в W', где Q(x) - пока неопределенная кусочно-непрерывная функция. В этом случае функция q1(x,y) - кусочно-непрерывная в области ? и на ее границе, поскольку, например, при y=0 неопределенность 

 y₂

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

 sin2 y

y1

=

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

siny

можно раскрыть по правилу Лопиталя: 

 sin2 y

lim y = 0

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

siny	= 2.

При такой q1 функция f имеет вид 

f = e₀ u₂ (x) Q(x).

Вспомнив, что u₂(x) = cosg' x, из (26) получим 

	1 у х -1	sing(x ±1) cosg' xQ(x) dx = 0.

Одно их этих равенств не выполняется, например, при 

Q(x) = sing(x ±1) cosg' x.

Итак, возмущение вида 

 y₂

q1(x,y) =

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

y1	sing(x ±1) cosg' x

приводит к уходу рассматриваемого собственного значения в комплексную область.

Доказанное позволяет проиллюстрировать неустойчивость вложенных собственных значений задачи (23) к малым вещественным возмущениям заполнения.

Проведенное исследование указывает, что резонансное множество волновода неустойчиво к малым возмущениям заполнения. Это означает, что структура резонансного множества в общем случае сложнее, чем в многочисленных примерах волноведущих систем, обладающих вложенными собственными значениями. При этом обнаружено интересное явление - исчезновение резонансных частот при вещественных (а не только комплексных) возмущениях заполнения.



Литература.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. О возбуждении радиоволноводов. // ЖТФ. 17 (1947), № 11, c. 1283-1296.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей TE и TM. // ЖТФ. 18 (1948), c. 959-963.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. О возбуждении радиоволноводов II. // ЖТФ. 17 (1947), № 12, c. 1431-1440.

Свешников А.Г. Принцип излучения. // Докл. АН СССР. 73 (1950), № 3, c. 917-920.

Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода. // Докл. АН СССР. 80 (1951), № 3, c. 345-347.

Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1993.

Werner P. Resonanzphдnomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern. // Z. Angew. Math. Mech. 67 (1987), № 4, p. 43-54.

Rellich F. Das Eigenwertproblem von ?u + ?u = 0 in Halbrцhren. // Studies and essays presented to R. Courant. N-Y., 1948, p. 329-344.

Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О ловушечных модах волноведущих систем. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001, № 6. C. 69-70. волновод мода ток неоднородный

Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 477-492.

Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001, № 5. C. 23-25.

Малых М.Д. О поведении вложенных в непрерывный спектр собственных значений при изменении заполнения волновода. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002, № 1. C. 61-62.

Малых М.Д. Поведение вложенных собственных значений уравнения Гельмгольца при малых возмущениях. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002, № 3.

Размещено на Allbest.ru