Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория передачи электромагнитных волн

Конспект лекций

для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Алматы 2011



СОСТАВИТЕЛИ: Дараев А.М., Хорош А.Х. Теория передачи электромагнитных волн. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 - «Радиотехника, электроника и телекоммуникации». - Алматы: АУЭС, 2011. - 58 с.

Конспект лекций предназначен для студентов специальности 5В071900 - «Радиотехника, электроника и телекоммуникации» всех форм обучения.

В конспекте лекций по курсу «Теория передачи электромагнитных волн» рассматриваются основные принципы распространения электромагнитных волн в различных средах, основные типы волноводов предназначенных для передачи электромагнитных волн, приведен обзор основных элементов волноводных трактов, а также рассмотрены вопросы согласование элементов волноводных трактов.

Табл. - 2, ил. - 56, библиогр. - 8 назв.

Рецензент: канд. техн. наук, проф. С.В. Коньшин

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский институт энергетики и связи» на 2009 г.

НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2011 г.



Лекция 1. Общие положения теории электромагнитного поля. Основные законы электродинамики

В курсе «Теория передачи электромагнитных волн» рассматривается классическая нерелятивистская электродинамика. Это частная версия теории электромагнетизма, в которой основные понятия - напряженности полей, заряды и токи - не выводятся из чего-либо, а постулируются. Кроме того, методы, которые мы будем использовать, справедливы в условиях, когда скорости движущихся тел много меньше скорости света.

Согласно основным положениям макроскопической электродинамики электромагнитное поле (ЭМП) в каждой точке, в каждый момент времени определяется четырьмя величинами: - вектор напряженности электрического поля, В/м; - вектор электрического смещения, Кл/м²; - вектор напряженности магнитного поля, А/м; - вектор магнитной индукции, Тл. Кроме этих четырех векторов в уравнениях электромагнитного поля присутствуют еще две величины: плотность свободного электрического заряда (А/м²) и плотность электрического тока (тока проводимости) (Кл/м³), они характеризуют источники поля - заряды и токи.

Если нет макроскопических перемещений вещества, то плотность тока и плотность заряда связаны уравнением непрерывности:

, (1.1)

выражающим тот факт, что ток проводимости обусловлен движением свободных зарядов. - сила действующая на заряд q.

Векторное поленеобходимо для описания электрического поля в материальной среде (например, в диэлектрике) - поле электрического смещения. Магнитное поле в отличие от электрического поля взаимодействует с движущимися заряженными частицами и описывается вектором магнитной индукции .

В результате движения в электромагнитном поле на заряд q действует Сила Лоренца: электромагнитный волноводный тракт

Первое слагаемое обусловлено электрическим полем, второе - магнитным.

- характеризует силу тока через единичную площадку перпендикулярную вектору скорости заряженных частиц.

q - объемная плотность заряда в объеме V.

Векторы ЭМП и величины j и зависят от 3-х пространственных координат и времени t. Они связаны между собой системой уравнений Максвелла:

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

. (1.5)

Уравнение (1.2) называют обычно первым, а (1.4) - вторым уравнениями Максвелла Дж. Кларка. (1873 - трактат об электричестве и магнетизме).

Все 4 уравнения - обобщение опытных данных.

Уравнение (1.2) - дифференциальная формулировка закона полного тока и гипотезы Максвелла о токе смещения.

Уравнение (1.3) - закон Гаусса.

(1.4) - закон электромагнитной индукции (Фарадей).

(1.5) - закон неразрывности магнитных силовых линий.

Система уравнений (1.2)-(1.5) справедлива для электромагнитных полей в любых средах, но их недостаточно для решения конкретных задач (неизвестных больше чем уравнений). (1.3) и (1.5) - практически скалярные уравнения. В систему следует включить уравнения, учитывающие влияние среды на протекающие в ней электромагнитные явления, называемые материальными уравнениями (1.6)-(1.8):

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Величиной - абсолютной диэлектрической проницаемостью - характеризуют свойства диэлектриков (веществ, не проводящих электрический ток) неполярных и полярных:

.

Где е₀ - электрическая постоянная (е₀=10^-9/36р Ф/м),

- относительная диэлектрическая проницаемость (безразмерная величина) (вакуум, воздух 1; полиэтилен = 2,25; пресная вода 81).

Свойства магнетиков характеризуют магнитная проницаемость или абсолютная магнитная проницаемость:

.

Где =4*10^-7 Гн/м - магнитная постоянная.

Величина может быть меньше 1 и много больше.

У диамагнетиков - уменьшающих поле - <1 (как правило, близко к единице). К ним относится большинство веществ.

У парамагнетиков, увеличивающих магнитное поле, - незначительно больше 1. (кислоты, азот некоторые металлы и т.д.)

Особый класс веществ - ферромагнетики. У них .

у (См/м) - удельная проводимость (серебро - 6.1*10⁷, медь - 5.7*10⁷).

Уравнение (1.8) называют законом Ома в дифференциальной форме.

Уравнения (1.6)-(1.8) охватывают электромагнитные свойства достаточно большого числа сред, но многие свойства реальных веществ не учитывают, т.е. соотношения прямой пропорциональности между и , и - в линейных средах могут нарушаться.

В диэлектрике нелинейная зависимость наблюдается каждый раз, когда становится очень высокой и возникает электрический пробой.

Нелинейные свойства в обычных условиях проявляют сегнетодиэлектрики.

Особый интерес представляют материальные среды, в которых векторы и - неколлинеарные. В этом случае свойства среды зависят от направления распространения ЭМВ через нее - анизотропные среды (ферриты, ионосфера и т.д.)

Для описания их свойств используют тензорную форму и , например, в декартовой системе координат:

.

Все прочие можно считать изотропными средами.

Процесс измерения любого поля - в сущности, извлечение некоторой энергии из поля, т.е. необходимо определить, как связана энергия поля с величинами, характеризующими поле.

Согласно макроскопической теории поля электромагнитная энергия распределена в пространстве, занятом полем, с некоторой объемной плотностью таким образом, что электромагнитная энергия, содержащаяся в объеме V, выражается в виде объемного интеграла:

. (1.9)

W - полный запас энергии ЭМП внутри объема V в фиксированный момент времени (измеряется в Дж).

Изменяться во времени эта энергия может за счет двух процессов:

1) Она может внутри данного объема превращаться другие, неэлектромагнитные формы энергии (тепловая, химическая, кинетическая ускоренных частиц...) или возникать из неэлектромагнитных форм.

2) Эта энергия, оставаясь электромагнитной, может вытекать из данного объема (или втекать в него) через поверхность S, ограничивающую данный объем.

Первый процесс характеризуется мощностью потерь Р_ПОТ.

Второй - мощностью излучения .

, (1.10)

, (1.11)

(1.12)

вектор плотности потока мощности электромагнитного поля - вектор Пойнтинга (1884 - английский ученый)

Величины Р_ПОТ и могут быть положительными и отрицательными (отрицательность Р_ПОТ - идет превращение других видов энергии в электромагнитную; отрицательность показывает, что в данный объем поступает энергия из внешнего пространства). Выражения (1.11)-(1.12) справедливы для любых сред.

Величина объемной плотности электромагнитной энергии

.

Мощности тепловых потерь

,

где с - объемная плотность мощности тепловых потерь

.

Теорема Остроградского-Гаусса:

токи и заряды являются источниками ЭМП, а также сами возникают под действием поля. На практике приходится учитывать также токи и заряды, которые вызываются внешними источниками и практически не зависят от возбужденного ими электромагнитного поля.

Такие токи принято называть "сторонними" и векторное поле плотности сторонних токов следует ввести, как заранее заданную функцию в уравнения Максвелла, а также в уравнение Умова-Пойнтинга:

,

.



Соотношение Умова-Пойнтинга представляет собой математическую формулировку закона сохранения энергии для электромагнитного поля

Так как в большинстве практических задач материальные среды можно считать линейными, то в них будет справедлив принцип суперпозиций ЭМП: если частные решения уравнений Максвелла, то решением будет и сумма вида .

Решение уравнений можно значительно упростить, если исключить временную переменную.

Для упрощения уравнений Максвелла вводится величина

(1.13)

называемой комплексной диэлектрической проницаемостью данного вещества, которая учитывает и проводящие и поляризационные свойства.

Действительная часть - интенсивность процесса поляризации, мнимая - плотность токов проводимости (потери)

В комплексной плоскости - угол диэлектрических потерь (в справочниках обычно приводят tg):

.

На частотах СВЧ диапазона для хороших диэлектриков tg=10^-510^-4, если tg>10^-3 - диэлектрик принято считать плохим.

При анализе гармонических полей удобней использовать комплексный вектор Пойнтинга:

. (1.14)



Действительная его часть равна плотности потока мощности усредненной за период (действительный вектор, который определяет направление переноса энергии):

.

Если комплексный вектор Пойнтинга чисто мнимый, то процесс не переносит мощности (перенос реактивной мощности).

Лекция 2. Плоские электромагнитные волны. Поляризация волн

Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство, в котором отсутствуют свободные заряды =0 и с заданными электродинамическими параметрами , одинаковыми во всех точках. Гармонически изменяющийся электромагнитный процесс будет описываться системой уравнений Максвелла. Из уравнений (1.2)-(1.5), путем математических преобразований, выводится уравнения Гельмгольца:

. (2.1)

Уравнение (2.1) - однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Для простоты решения введем параметр:

(2.2)

и будем считать, что: . Кроме того, зависит только от координаты z, то есть: . Тогда решение уравнения:



, (2.3)

где и корни уравнения (2.2). Распишем их:

,

.

Отсюда: , и выражение (2.3) запишется в виде:

. (2.4)

Выражение (2.4) - однородная плоская волна. Первое слагаемое - волна, распространяющаяся в сторону уменьшения z. Второе - в сторону увеличения. Отсюда величина - коэффициент распространения.

Плоской называют волну, распространяющуюся вдоль какой-либо координаты и неизменную в каждый фиксированный момент времени в плоскости перпендикулярной этой координате:

.

Параметр играет роль «пространственной» частоты процесса - коэффициент фазы (1/м). Её период: , где - длина волны.

Поверхность, удовлетворяющая условию: называется волновой фронт (фазовый фронт, поверхность равных фаз), перемещающийся вдоль оси z с фазовой скоростью:



.

Величина - коэффициент ослабления плоской волны в среде (1/м).

В расчетах чаще используют погонное затухание:

дБ/м.

Используя второе уравнение Максвелла, найдем Н и подставим величину :

.

Некоторые выводы:

- в однородной плоской волне векторы Е и Н перпендикулярны;

- и Е и Н перпендикулярны оси распространения - поперечная волна;

- комплексные амплитуды векторов Е и Н в любой точке пространства связаны коэффициентом пропорциональности Zc.

Zc - характеристическое (волновое) сопротивление:

.

Волновое сопротивление Zc характеризует среду и, в общем случае, не связано с тепловыми потерями.

Определим плотность потока мощности плоской ЭМВ:



,

или с учетом Zс:

.

Рассмотрим, как изменятся приведенные выше соотношения, если среда распространения - вакуум: .

Коэффициент распространения: чисто мнимый (потерь нет). Коэффициент фазы , тогда фазовая скорость не зависит от частоты.

Отсюда Z₀ - действительное, и равно Ом. Векторы Е и Н колеблются в фазе. Отметим, что для атмосферного воздуха это тоже справедливо.

В среде без потерь, но с :

;

.

На практике в СВЧ - диапазоне используют, как правило, диэлектрик с малыми потерями и . Для расчета основных характеристик плоских ЭМВ в этом случае используются следующие выражения:

,

.



Если tg1, то есть, в случае малых потерь, , а - прямо пропорционален и :

.

Характеристическое сопротивление в этом случае:

.

Так как Zс - комплексная величина, то векторы Е и Н колеблются не синфазно и угол сдвига фаз приблизительно равен /2.

В хорошо проводящих средах, даже при постоянстве _а, абсолютная диэлектрическая проницаемость является функцией частоты: , то есть наблюдается частотная дисперсия.

Говорят, что на заданной частоте материальная среда является хорошо проводящей (металлоподобной), если:

_а, (2.5)

то есть плотность токов проводимости значительно превышает плотность токов смещения и поляризационных токов.

Как следствие на низких частотах неидеальные диэлектрики и полупроводники становятся металлоподобными (сухая почва при частоте f=1МГц ведет себя как хорошо проводящая среда). Но даже на самых высоких частотах радиодиапазона неравенство (2.5) выполняется для металлов с большим запасом.

В хорошо проводящей среде можно приближенно считать:



.

.

Используя выражение, перейдем к и :

.

Обе величины сильно зависят от , дисперсия ярко выражена:

;

.

Характеристическое сопротивление:

.

Величина означает, что в проводнике вектор Н сдвинут по фазе относительно вектора Е на 45. Если 0, то амплитуда плоской ЭМВ изменяется вдоль координаты распространения Z по закону .Расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз, называют глубиной проникновения или толщиной поверхностного слоя (d):

;

.



На СВЧ диапазоне глубина проникновения очень мала. Для меди на 10ГГц d = 0,6 мкм, это позволяет использовать тонкие (10-20 мкм) слои хороших проводников для уменьшения потерь.

Частотная дисперсия характерна также для плазмы (ионизированный газ), для нее:

;

;

.

Где - частота столкновений электронов с нейтральными молекулами,

_пл - собственная (плазменная) частота, при которой при = 0, _а = 0.

,

где Ne - электронная концентрация.

Если потери отсутствуют, то фазовая скорость выражается:

.

Скорость переноса информации (скорость перемещения в пространстве энергии, или медленной огибающей, или группы волн):

,



Эта формула справедлива для узкополосных сигналов (можно применять для радиоимпульсов и т.д.). Такая частотная зависимость приводит к расплыванию (увеличению длительности) импульсов.

Рассмотрим поляризацию волн. Полагаем, что вектор Е имеет две составляющие, и . Найдем положение кривой, которая служит геометрическим местом концов вектора Е суммарного процесса. Перепишем составляющие в виде:

, .

Возводим их в квадрат и складываем:

.

В этом случае вектор Е вращается против часовой стрелки, если смотреть с конца i_z - лево поляризованная волна.

Частные случаи:

- Равна нулю одна из составляющих или сдвиг фаз между ними равен нулю. Тогда конец вектора Е перемещается вдоль линии произвольно, в общем случае, ориентированной относительно системы координат. Волна - линейно поляризованная. - Равны амплитуды Е_m1 = Е_m2, а сдвиг фаз - 90. Тогда кривая окружность, волну называют волной с круговой поляризацией.

Легко заметить, что суперпозиция двух волн с линейными поляризациями, сдвинутых по фазе и пространственно на 90, дают эллиптически поляризованную волну, две волны с круговыми поляризациями и противоположными направлениями вращения, в результате суперпозиции дают волну линейно поляризованную.



Лекция 3. Падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред

Граничные условия - соотношения, показывающие связь между значениями векторов ЭМП в разных средах, у поверхности раздела называют граничными условиями.

Полная система граничных условий состоит из четырех формул:

; (3.1)

; (3.2)

; (3.3)

. (3.4)

Формула (3.1) показывает, что нормальная компонента вектора D претерпевает скачек на величинуповерхностного заряда . На самом деле поверхностных зарядов не бывает, толщина слоя конечна и D меняется постепенно. Но математическая модель удобнее.

Если свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют , то для вектора Е:

.

Нормальная компонента вектора Е претерпевает разрыв.

Формула (3.2) показывает, что тангенсальная составляющая вектора Е, непрерывна при переходе через границу раздела двух сред.

Для вектора B нормальные составляющие непрерывны (3.3), а тангенсальные составляющие вектора Н претерпевает скачек на величину плотность поверхностного тока (3.4), направленного ортогонально вектору (или его составляющей).

На поверхности раздела с идеальным проводником , внутри которого поле отсутствует, согласно уравнению Максвелла будут справедливы следующие граничные условия:

;

;

;

.

Рассмотрим падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред. Границу раздела будем полагать бесконечно протяженной. Плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела параллельно направлению распространения, называют плоскостью падения.

Если вектор Е перпендикулярен этой плоскости, то волна - нормально поляризованная, если параллелен, волна - параллельно поляризованная.

Любую другую ориентацию вектора Е следует рассматривать как суперпозицию .

Амплитуды напряженностей электрического и магнитного поля падающей, отраженной и преломленной волны определяются выражениями:

;

;

;

;

;

.

Падающая волна под углом частично (или полностью) отражается от границы раздела сред под углом ” и частично (или полностью) проходит во вторую среду под углом и. Амплитуды напряженности электрического поля отраженной и преломленной волны обозначены в этих выражениях как некоторые величины А и В соответственно. Можно считать, что ориентация векторов относительно направления распространения не меняется.

Волновое сопротивление первой среды:

.

Волновое сопротивление второй среды:

.

Из граничных условий следует равенство тангенсальных составляющих: . Граничные условия должны выполняться при любых z. Это возможно только, если зависимость от z для всех трех векторов напряженности электрического поля одинаковы. Отсюда вытекают два закона:

- угол падения равен углу отражения

;

- и закон Снелля



,

где n - показатель преломления среды

.

Из закона сохранения энергии определим постоянные А и В на границе раздела (А и В амплитуды отражённой и преломлённой волн соответственно):

А = RЕ;

В = ТЕ,

где R - коэффициент отражения, T - коэффициент преломления (коэффициенты Френеля).

В случае нормальной поляризации:

1+R=T;

1-R=Т.

Модуль R характеризует соотношение между амплитудами падающей и отражённой волны, а аргумент - сдвиг фаз между этими полями:

R =;

T =.



Вывод при параллельной поляризации аналогичен, получаем:

R =;

T =.

При нормальном падении ЭМВ, когда 0, плоскость падения становится неопределённой и различие поляризаций пропадает:

R= - R=;

T= T =.

Знак ''минус'' за счёт того, что R и T коэффициенты по электрическому полю, R и T - по магнитному.

Для обычных диэлектриков существует угол падения, при котором падающая волна целиком проходит во вторую среду называемый - Угол Брюстера. Это возможно в следующих случаях:

- необходимо, чтобы R и R равнялись 0 для любого угла падения , что для реального диэлектрика означает , т.е. электромагнитные свойства вещества неотличимы от свойств вакуума, если он - первая среда, или

( ): Z_С2 = Z_С1;

- для параллельной поляризации, когда :



;

- для нормальной поляризации, когда :

.

От границы раздела обычных диэлектриков волна с нормальной поляризацией отражается всегда.

Волна с эллиптической поляризацией отражается от границы всегда.

Отметим условия, при которых вещество полностью отражает падающие на него электромагнитные волны:

- если при конечном значении , то коэффициенты отражения стремятся к предельным значениям: R = - 1; R = 1. К этому предельному случаю очень близко подходят металлы, у них имеет большую мнимую часть. Металлы - почти идеальные зеркала для электромагнитных волн.

- вещества, у которых при конечной значение величина магнитной проницаемости была бы весьма велика, то для них: R=1; R= -1. Например,R стремится к 1 для критической плазмы ( );

- в случае, когда волна распространяется из оптически плотной среды в менее плотную оптическую среду (n₂<n₁):

.

Коэффициент отражения от системы из n слоёв описывается следующим выражением:



.

- входной импеданс системы, причём, если угол падения не равен нулю, то следует использовать:

;

.

при перпендикулярной и параллельной поляризациях соответственно. Углы рассчитывают исходя из законов Снелля.

Частные случаи:

- Полуволновой слой, когда

Входной импеданс: .

Коэффициент отражения:

,

то есть полуволновой слой не оказывает никакого действия на падающую волну. В частности, если Z₁ = Z₃ , то отражение отсутствует (можно использовать как фильтр частот и направлений).

- Четвертьволновой просветляющий слой, когда



Коэффициент отражения будет равен нулю, если сопротивление: , среднегеометрическое. Используют при согласовании.

С учётом всего вышесказанного изобразим зависимость R и T от на границе раздела (качественно)

Зависимость от толщины слоя носит осциллирующий характер, причём если в слое есть потери, то амплитуда осцилляций стремится к постоянной величине - дальняя граница перестаёт оказывать влияние (волны затухают, не доходя до неё).

Лекция 4. Падение плоской электромагнитной волны на границу раздела с немагнитной хорошо проводящей средой. Линии передачи

Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны из воздуха под углом на границу раздела с немагнитной хорошо проводящей средой. Такая материальная среда имеет комплексный показатель преломления

.

По закону Снелля,

,

откуда видно, что в хорошо проводящей среде преломленная волна распространяется под комплексным углом и поэтому является неоднородной плоской волной.

У неоднородной плоской волны поверхности равной амплитуды и поверхности равной фазы не совпадают. Поверхность равной амплитуды перпендикулярна оси х, т.е. на рисунке 4.1,а показана как х=const. Поверхности равной фазы соответствует плоскость .

Во второй среде направление распространения волны образует угол _Д с осью x. _Д истинный (действительный) угол:

.

Волна расположена перпендикулярно поверхностям равных фаз.

Учитывая, что для металлов:

,

тогда То есть при любом угле падения на поверхность хорошо проводящей среды преломлённая волна распространяется практически вдоль нормали к границе раздела.

Плоскости равных фаз и амплитуд практически совпадают - волна однородная. Волна - поперечная, причём Е и Н сдвинуты по фазе на .

Так как амплитуда быстро убывает по экспоненте из-за большого затухания то поле есть практически в тонком поверхностном слое (явление поверхностного эффекта), причём во второй среде есть продольная составляющая.

По закону Ома: J = E, весь ток сосредоточен возле поверхности. Эффективное сечение меньше геометрического, а активное сопротивление на ВЧ может быть во много раз больше, чем по постоянному току (проводник можно выполнить в виде трубы), т.е. полагают, что ток течёт в виде бесконечно тонкого слоя.



,

где Z_СМ - поверхностное сопротивление проводника, d - глубина проникновения.

В первой среде ЭМП имеет структуру плоской волны, распространяющейся вдоль поверхности раздела (вдоль z) - направленная волна. Поверхности равных фаз - плоскости, перпендикулярные z. Амплитуды E и H зависят от x и от . Поверхности равных амплитуд - плоскости, перпендикулярные x (см. рисунок 4.1,б).

Эта волна - неоднородная плоская волна, у которой есть продольная составляющая H_z (для волны с параллельной поляризацией - E_z).

Фазовая скорость:

,

то есть больше , но меньше . Причём, чем больше , тем меньше . Длина волны вдоль z:

.

Изменение Е и Н вдоль оси x имеет характер стоячей волны в первой среде (см. рисунок б):

.



Поперечные составляющие изменяются в фазе, а продольная сдвинута на 90, в результате комплексный вектор Пойнтинга.

В среднем энергия распространяется только вдоль оси z, а в перпендикулярном по отношению к z направлении - только реактивный поток энергии. Это дает возможность создать направленную передачу ЭМВ, т.е. линии передач и другие устройства сверхвысоких частот (УСВЧ).

Классифицировать УСВЧ будем по функциям которые они выполняют в линии передачи, независимо от того, для какой цели выполняется та или иная функция.

Линии передачи принято классифицировать по типу направляемых волн.

Типы волн:

1) поперечные или волны Т-типа - отсутствуют составляющие E и Н, направленные вдоль направления распространения энергии (T-transfers (поперечные)) Т-(ТЕМ);

2) электрические (Е- типа) Е-(ТМ);

3) магнитные (Н-типа) Н-(ТЕ);

4) смешанные (HE- типа) или гибридные.

Кроме того, все линии передачи делят на два больших класса:

1) закрытого типа - вся энергия сосредоточенна в пространстве, ограниченном металлической оболочкой от внешней среды;

2) открытого типа - поле, строго говоря, распределено во всем пространстве (подавляющая часть вблизи), поэтому параметры этих линий подвержены влиянию окружающей среды (метеоусловия, расположенные вблизи объекты и т.д.)

Так как линии передачи состоят из линейных сред то для упрощения их анализа удобно представить поперечные проекции поля ,, и через продольные проекции поля и .

Введем два параметра:

1) продольное волновое число .

2) поперечное волновое число т.е. .

Особенность направляемых волн: комплексная амплитуда каждой из шести проекций векторов Е и Н зависит от пространственных координат по закону:

.

Начальную фазу волны всегда можно подобрать так, чтобы - была действительной. Сторонние источники отсутствуют, и поле описывается уравнениями Максвелла. Путем несложных преобразований получаем связь между продольными и поперечными составляющими поля:

;

;

;

.

Аналогично в любой другой системе координат.

Итак, достаточно найти лишь две функции для любой направляющей системы, а остальные проекции определяют через них .



Лекция 5. Прямоугольный металлический волновод

Прямоугольный металлический волновод - это полая металлическая идеально проводящая () труба с поперечным сечением прямоугольной формы.

Полагаем, что волновод заполнен средой с параметрами (воздух) . Внутри волновода на всем протяжении оси могут существовать волны типа - H:

Для этих волн характерно .

Функция является решением уравнения Гельмгольца:

,

где - поперечное волновое число.

При решении уравнения Гельмгольца следует учитывать граничные условия (тангенциальная составляющая Е на металле обращается в 0):

при y = 0, y = b;

при x = 0, x = а.

Решая уравнение Гельмгольца, получаем:

.

Решения отличные от нуля возможны только при условии:

,



где m и n - любые целые положительные числа не равные нулю одновременно (иначе силовые линии магнитного поля Н - незамкнуты и нарушается четвертое уравнение Максвелла).

Каждому значению g, (собственное значение) соответствует одно из множества решений уравнений Максвелла, которое в данном случае называют волной , где m и n - индексы волны данного типа. Физически они означают количества стоячих полуволн, возникающих внутри волновода вдоль координатных осей x и y соответственно.

Используя формулы перехода ( ), получаем выражения для остальных проекций . В результате структура ЭМП волны типа описывается формулами:

;

; .

Приведенная система формул содержит исчерпывающую информацию об электромагнитном поле волн типа . Картина поля периодична вдоль оси z; пространственным периодом служит длина волны в волноводе:



. (5.1)

Продольное волновое число определяет рабочую область волновода. Если рабочая длина волны мала настолько, что , то h-действительна, и электромагнитное колебание распространяется в виде бегущей волны постоянной амплитуды. Если увеличить так, что , то вместо бегущих волн в волноводе могут существовать лишь не распространяющиеся колебания, амплитуда которых уменьшается по экспоненте вдоль z, а фаза во всех поперечных сечениях постоянна - волновод работает в режиме отсечки. Пограничный случай возникает на такой рабочей частоте, когда: .

При этом h = 0 , , а длину волны генератора называют критической:

. (5.2)

Используя выражения (5.1) можно получить зависимости от

, (5.3)

которая называется дисперсионной характеристикой волновода. Эта характеристика найдена лишь при условии, что зависимость от z определяется exp(-ihz), и в предположении существования режима отсечки, тогда эта зависимость относится к волне любого типа в полом металлическом волноводе с любым сечением.

Изобразим дисперсионную характеристику До область прозрачности т.к. .

На этом участке фазовая и групповая скорость определяется выражениями:

; (5.4)

. (5.5)

При этом фазовая скорость всегда больше скорости света, а групповая скорость всегда меньше скорости света. Их произведение на любой частоте.

Волна .

Подставив в формулу (5.2) индексы волны m = 1 и n = 0, получим критическую длину волны для волны :

.

Подставив эти индексы волны в выражения для составляющих поля волны , получим формулы описывающие структуру ЭМП волны :

;

;

;

.



Построим зависимости составляющих поля волны типа , нормировав их на максимальные значения.

Для наглядного представления пространственной структуры поля построим картину силовых линий электрического и магнитного полей. В поперечном сечении - стоячая волна и эта картина смещается вдоль z с фазовой скоростью.

Для Е - концентрация в центре максимальна, а на боковых стенках - 0. Силовые линии для Н должны быть замкнуты, и зависимость от у - отсутствует. Максимумы и сдвинуты в пространстве по фазе на 90 ( и совпадают). Через каждые полдлины волны направление меняется.

Т.к. Е - имеет только одну составляющую - , то вектор Е - линейно поляризован. Что касается - в общем случае - вектор эллиптически поляризован, причем при X = 0 , а/2 , а - линейно поляризован, а при условии вектор Н поляризован по кругу (всегда сдвинуты по фазе на 90). Это условие выполняется при и . Эти точки расположены симметрично относительно центра (примерно а/4 от боковой стенки).

Вектор Пойнтинга, как следует из выражений для составляющих поля, имеет две составляющие -, но в среднем поле распространяется только вдоль оси z:

т.е. максимум энергии приходится на середину волновода.



Лекция 6. Волны высших типов в прямоугольном волноводе. Поверхностные токи. Энергетические характеристики

Построим диаграмму типов волн в прямоугольном волноводе. Из формулы (5.2) следует, что чем больше m и n, тем меньше

На диаграмме четко разделены 3 характерные области:

1) область отсечки - -распространяющихся типов волн не существует;

2) одномодовый режим - в пределах этой области распространяется только волна типа ;

3) область многоволновости - помимо (основной тип) по волноводу могут распространяться волны высших типов (их наличие не обязательно, но возможно - зависит от способа возбуждения и т.д.). Чем выше тип колебания, тем меньше его отличается от предыдущей.

Теоретически волновод работает в одно-волновом режиме в двукратной полосе частот - реально диапазон гораздо уже. При повышается вероятность возбуждения высших типов. При резко возрастают омические потери в стенках волновода (при волны есть и при для волны ).

Практически рекомендуемый диапазон:

1,05а.

Реально волноводы используют в диапазоне 50см - 1мм (в диапазоне 6см - 1мм повсеместно). Весь этот диапазон перекрывают волноводы стандартных сечений, например, 3,6х1,8 мм, 7,2х3,4 мм, 23х10 мм, 72х34 мм, соответственно для 4мм, 8 мм, 3 см, 10 см диапазона длин волн. Их размеры задаются ГОСТом (справочник по волноводной технике).

Волновод предпочтительнее использовать в одномодовом режиме поскольку:

1) поперечные габариты волновода оказываются минимальными;

2) структура поля волны низшего типа устойчива по отношению к введению внутрь волновода каких-либо неоднородностей (возникшие на неоднородности высшие типы - затухнут на расстоянии порядка от неоднородности);

3) необходимость обеспечения эффективной работы оконечных устройств;

4) неравномерность АЧХ волновода в многомодовом режиме (за счет интерференции волн разных типов с различными - вплоть до исчезновения поля на определенных частотах)

Характеристическое сопротивление волновода - отношение модулей поперечных составляющих векторов Е и Н:

.

Для всех волн Н-типа:

. (6.1)

Рассмотренной структуре поля волнам типа соответствуют распределения токов на стенках волновода При построении учитываем что:, т.е. семейство линий перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. То есть они сдвинуты на 90 (). Линии полного тока замкнуты ( замыкается через ):



.

Связь волновода с окружающим пространством происходит через щели, прорезанные в его стенках. Щель - прямоугольное отверстие, длина которого много больше ширины Если щель перерезает линии поверхностного электрического тока, то ток, протекающий к кромке, будет создавать избыток «+» зарядов. На противоположной кромке «-». Так как направление протекания тока меняется через каждые пол периода, то щель будет работать как излучатель (или наоборот).

Щель эффективно излучает, если она перерезает линии поверхностного тока. Если щель прорезать наискосок, то получается комбинация продольной и поперечной составляющих электрического поля.

Построим картину поля для волн более высоких типов. Для волн типа картину для следует повторить вдоль оси X (широкая стенка m раз), например, волна .

Качественно картинка не изменится, если рассматривать волны типа , только вся структура развернется на 90 градусов.

Для волны типа картинка поля представлена на рисунке 6.7а. Картина любого типа может быть получена повторением картины m - раз вдоль широкой стенки волновода и n - раз вдоль узкой.

Структуру электромагнитного поля волны типа () рассматривать так подробно не будем. Методика вывода - как для , только граничные условия при X=0, X=а. При Y=0, Y=b (краевая задача Дирихле). В результате получаем:

.



Для получения ненулевого решения индексы m и n должны быть отличными от нуля. Простейший тип волны Е. Силовые линии магнитного поля образуют кольца в поперечной плоскости, а линии Е должны подходить к металлу по нормали, имеют вид скобок Принцип получения картин для из как для из .

Критическая длина волны и , - определяется по тем же формулам, что и для волны Н-типа (они справедливы для всех полых волноводов). Характеристическое сопротивление волн типа :

. (6.2)

Мощность, переносимая по прямоугольному волноводу волной определяется формулой:

.

Если вместо подставить напряжённость электрического поля пробоя сухого атмосферного воздуха , можно вычислить предельную допустимую мощность. Если работать на центральной частоте диапазона , то с учетом трехкратного запаса прочности . Для повышения прочности используют инертные газы, газ под давлением, откачивание газа.



Лекция 7. Круглый металлический волновод

Круглый металлический волновод - это труба круглого сечения радиусом r=a из идеально проводящего металла бесконечно протяженная вдоль оси z . Среда внутри - вакуум.

Для получения математического решения используем цилиндрическую систему координат (в дальнейшем ЦСК). При исследовании волн Н-типа следует исходить из уравнений Гельмгольца:

.

Воспользуемся выражением оператора Лапласа в ЦСК, получаем:

. (7.1)

Электрический вектор имеет касательную составляющую, которая должна обращаться в ноль на металле (составляющая отлична от нуля). Тогда граничное условие принимает вид:

при r = a.

Используя метод разделения переменных, преобразуем выражения (7.1) к виду:

. (7.2)



В математике уравнение (7.2) хорошо изучено - Уравнение Бесселя. В этом уравнение m=0, 1, 2, … - целые числа, являющиеся одним из индексов волны Н - типа.

При решении уравнения (7.2) необходимо учесть, что поле принимает конечное значение в любой точке поперечного сечения волновода, получаем:

, (7.3)

где - функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода порядка m. Роль функций Бесселя такая же, как sin и cos в декартовой системе координат, но вид значительно отличается от вида sin и cos. Функция Бесселя непериодическая, и её амплитуда уменьшается с ростом аргумента.

Найдем из граничных условий поперечное волновое число g:

будет равно 0 при r = a, если при r = a.

Количество корней этого уравнения неограниченно, корни обозначают , тогда:

,

и выражение (7.3) приобретает вид

.



Номер корня n - второй индекс волны.

Физический смысл индексов:

m - число вариаций поля по угловой координате ц,

n - характеризует изменение поля по координате r.

Каждой паре m и n соответствует оригинальная картина поля в волноводе причем (иначе или ). Критическая длина:

.

Наименьшему корню производной функции Бесселя соответствует низший тип волны , тогда . Структура поля получается путем деформации основной волны прямоугольного волновода.

Правила, которые мы использовали при построении картин поля высших типов волн в прямоугольном волноводе, для круглого волновода не применимы.

определяются выражениями (5.3), (5.4), (5.5), (6.1), (6.2).

Вывод выражений для волн Е типа аналогичен, но т.к. граничные условия для них при r = a, то

,

где корень уравнения .

Низшей среди волн Е типа будет волна для нее , . Таблицы для и приведены в справочниках.

Выражение для продольной составляющей поля волн Е типа:



.

Индекс m = 0 означает, что картина по - симметрична, например, волна

определяется по (6.2).

Волновод работает в одномодовом режиме (волна типа ) при , т.е. коэффициент перекрытия - 1,3, а реально еще меньше.

Из-за явления поляризационной неустойчивости волны типа он в основном используется в виде коротких отрезков. Зато наличие симметричных типов (m=0) практически весьма ценно для создания вращающихся сочленений. Для этой цели обычно используют волны типов

Для волны величина предельно допустимой мощности не намного превосходит допустимую мощность для прямоугольного волновода (отсутствие граней), а поляризация - линейная:

. (7.4)

Выражение (7.4) справедливо для любой волны Н типа, когда m1.

Если возбудить две волны , ортогональные друг другу и сдвинутые по фазе на 90 градусов, то получим волну с круговой поляризацией с допустимой напряженностью поля в каждой точке, но с удвоенной мощностью.

У волны Н_0n типа в круглом волноводе поверхностный ток имеет только азимутальную составляющую, и с ростом частоты потери стремятся к нулю.

Напоследок мы отметим, что в результате дисперсии будет наблюдаться расплывание импульса из-за разницы в групповых скоростях (V_гр) для различных составляющих спектра, как в круглом волноводе, так и в прямоугольном.

Чем уже полоса сигнала, чем меньше расстояние и чем слабее зависимость затухания от частоты, тем меньше искажается комплексная огибающая. Затухание наряду с ослаблением приводит к изменению формы спектра, в частности смещение эффективной несущей в сторону тех частот, где затухание меньше. Сигнал, который при этом воспринимается, обусловлен частью спектра вблизи эффективной несущей.

Лекция 8. Коаксиальный волновод

Коаксиальный волновод - это два соосных металлических цилиндра разделенных диэлектриком.

Общее для волн Т-типа . Такое возможно, если волна распространяется вдоль направляющей системы без отражений, то есть для любой составляющей решение имеет вид:

.

Коэффициент фазы и продольное волновое число при этом совпадают:

.

Для волн Т-типа (всегда имеется в виду низший тип волны):

,



т.е. волновод должен пропускать колебания любых частот вплоть до постоянного тока. Для этого в волноводе с волной Т-типа должны быть минимум два проводника разделенных слоем диэлектрика.

Волновой фронт перемещается со скоростью:

.

Волны Т-типа не имеют дисперсии.

В однородной материальной среде без зарядов третье уравнение Максвелла будет всегда выполняться, если принять:

,

Где - вспомогательная функция, называемая скалярным электрическим потенциалом. Знак «-» выбран, чтобы вектор Е начинался на «+» и заканчивался на «-» зарядах (принято в электротехнике).

Подставляем: .

Для коаксиальной линии (в дальнейшем КЛ) удобнее использовать ЦСК. Из-за полной симметрии волновода двумерное уравнение Лапласа принимает вид:

или .

Находим с учетом граничных условий: потенциал наружного проводника равный нулю (заземлён), а внутренний равен U.

Получаем:



.

Амплитуду вектора Е определим как:

, (8.1)

то есть составляющая поля Е имеет только r-ю составляющую и для комплексной амплитуды (диэлектрик без потерь):

.

Для определения Н используем второе уравнение Максвелла:

,

,

т.е. Н имеет только азимутальную составляющую. Токи на металле имеют только z составляющую и разное направление на внутренней и внешней трубе, причем их амплитуды равны:

.

Для коаксиальной линии в отличие от полых волноводов удобно ввести волновое сопротивление:



.

Волновое сопротивление Z_В не связано с потерями энергии - это только коэффициент пропорциональности между Е и Н.

Зная Е и Н определим мощность переносимую вдоль оси волновода:

.

Чтобы определить высшие типы волн в коаксиальном волноводе надо решать уравнения аналогичные тем, которые решались для круглого волновода.

Как показал анализ, первым высшим типом в коаксиальной линии является, при любом внешнем радиусе b, волна близкая по структуре к волне в круглом волноводе типа

Соответственно определяется как для круглого волновода, при условии a<<b:

.

Если внутренний радиус a стремится к внешнему радиусу b (), то структура напоминает волну типа в прямоугольном волноводе, свернутом в кольцо, и определяется выражением:

.

Диапазон одномодовой работы (имеется в виду - в среде заполняющей коаксиальный волновод):



.

Имеется несколько особенностей использования коаксиального волновода.

Максимальная напряженность электрического поля, как следует из (8.1), имеет место у поверхности центрального проводника и определяется как:

,

т.е. при заданной мощности есть оптимальное соотношение между a и b, при котором E_m - минимальна (передача максимально допустимой мощности).

Полагая b = const, дифференцируя по a и приравнивая к нулю (нахождение экстремума) определяем: ln b/a=0.5, этому соотношению соответствует: Ом, а соответствующее ему значение мощности: кВт, (а - в метрах), т.к. .

Из условия одноволновости максимальный радиус центрального проводника и

кВт,

- в метрах.

Для прямоугольного волновода кВт.

Аналогично определяется оптимальное соотношение между a и b, при котором минимальная разность потенциалов между проводниками, получим: ln b/a =1, что соответствует:



Ом.

Международная электрическая комиссия рекомендует выбирать для передачи большой мощности сопротивление при Ом.

Обычно используют гибкие коаксиальные линии - кабели их внутренний проводник делают сплошным, сплетенным из проволочек или трубчатым.

Материал - обычно медь или латунь для прочности биметаллический (стальная проволока покрытая медью).

Внешний проводник - либо труба (жесткая), либо в виде оплетки из проволоки или ленты (гибкая).

Изолирующая часть на СВЧ выполняется обычно из фторопласта-4, полиэтилена и т.д., при этом она может быть не сплошной, а из шайб.

Использование диэлектрического заполнения приводит к тому, что резко уменьшается:

а) за счет теплового пробоя;

б) в небольших промежутках между диэлектриком и проводником есть воздух (всегда), в нем Е в раз больше, чем в диэлектрике и

.

Как правило, коаксиальный волновод используют для передачи небольших мощностей (до сотен Вт) в диапазоне от f=0 до 10 ГГц (из-за возникновения высших типов волн). Стандартные варианты волнового сопротивления Z_В для различных конструкций 50, 75, 100, 150, 200 Ом.



Лекция 9. Полосковые линии передачи и диэлектрический волновод

В полосковых линиях передач часто в качестве подложек используют диэлектрик на основе оксида алюминия - поликор (), лейкосапфир (), кроме того, любые диэлектрики с низкими потерями (7..16 иногда до 10000-керамика).

Из-за неоднородности по сечению диэлектрического заполнения ЭМП имеет все 6 составляющих, а, следовательно, зависит от частоты , т.е. дисперсия тем заметнее, чем больше . Но при условии, что a>>b, c>>b, c>>a, практически вся энергия сосредоточена внутри ПЛ и продольными составляющими можно пренебречь - волна квази - Т типа.

Первый высший тип волны в ПЛ Н₂₀, представлен на рисунке 9.1,б, на длине немного превышающей размер а, укладывается одна полуволна электрического поля ЭМВ, т.е. .

Волновое сопротивление в симметричной ПЛ:

,

где К(к) - полные эллиптические интегралы первого рода, , .

Для несимметричной ПЛ:

.

Обе формулы получены в предположении, что толщина центрального проводника много меньше b. Волновое сопротивление несимметричной ПЛ несколько больше симметричной при одинаковом соотношении a/b.

В ПЛ можно передавать мощности того же порядка, что и в коаксиальной линии. Для увеличения электрической прочности края центрального проводника закругляют.

Диэлектрические волноводы - это одно из наиболее перспективных направлений развития линий передачи электромагнитных сигналов в настоящее время (в основном в виде волоконного световода).

Диэлектрический волновод - это бесконечно длинный диэлектрический цилиндр радиуса а, выполненный из диэлектрика с параметрами е_а, м₀ (среда-1), расположенный в среде с параметрами е₀, м₀ (среда-2).

Продольные составляющие волновых уравнений в цилиндрической системе координат запишутся в виде:

;

;

;

.

Общее решение первого уравнения - линейная комбинация функций Бесселя и Неймана, однако, напряженность в любой точке внутри диэлектрического цилиндра (в том числе и в точке, где r=0) должна быть конечной. Вне цилиндра, где структура должна соответствовать структуре поверхностной волны, амплитуды полей должны убывать по экспоненте при удалении от границы раздела. Этому требованию удовлетворяют функции Ханкеля второго рода от чисто мнимого аргумента.

При решении необходимо учесть, что продольное число h одинаково и в первой и во второй среде, а также что на границе раздела двух диэлектриков r=a, тангенсальные составляющие ЭМП должны быть непрерывны. Получаем трансцендентное уравнение:

Это уравнение служит для определения неизвестного коэффициента h (численно или графически).

Детальный анализ позволяет заключить следующее:

1) В диэлектрическом волноводе может существовать бесконечно большое число различных типов волн, имеющих различный характер изменения поля по координатам r, .

2) В диэлектрическом волноводе невозможно раздельное существование несимметричных волн Е и Н. Оба этих типа образуют единую смешанную волну и распространяются совместно.

Симметричные волны могут существовать в диэлектрическом волноводе независимо друг от друга.

3) Каждый тип волны имеет свою критическую частоту, которая находится из условия:

.

Низшим типом волны является волна Эта волна не имеет критической частоты, т.е. может распространяться вдоль диэлектрического стержня на всех частотах и при любом диаметре стержня.

4) Величина фазовой скорости волны в диэлектрическом волноводе лежит между величиной фазовой скорости волны Т-типа, распространяющейся в среде окружающей волновод, и величиной этой волны в среде с параметрами е_а, м₀.

5) Энергия волны распространяется внутри и вне диэлектрического стержня. Чем больше радиус стержня по сравнению с длиной волны ЭМ колебания и чем больше соотношение е_а/е₀, тем большая часть энергии распространяется внутри диэлектрического стержня. При приближении энергия внутри стержня стремится к нулю.

У волны энергия внутри стержня стремится к нулю при .

На практике диэлектрические волноводы используются в УКВ диапазоне в качестве элементов конструкции антенн и в более коротковолновом диапазоне как линии передачи.

Линии передачи (световоды) представляют собой тонкую (несколько микрометров) нить из особо чистого кварца или искусственного полимера. Погонные потери в такой линии не более 5 дБ/км (у некоторых затухание не более 0,1 дБ/км.). Для сравнения, в прямоугольном волноводе на частоте 10ГГц затухания примерно 0.02 дБ/м.

Несущая частота в оптическом диапазоне очень высока и полоса пропускания очень широкая - скорость передачи информации до тысяч Мбит/с.

На практике используют световоды с различной геометрией поперечного сечения и различными профилями показателя преломления (1-ступенчатый, 2-градиентный, реальные профили изрезаны (чисто технологически)).

Наиболее оптимальный закон для градиентного - параболический:

,



первая формула при , вторая при .

При таком законе все меридиональные лучи лежат в плоскостях содержащих ось z, входящие в волокно в одной точке под разными углами, пересекают ось волновода в одной и той же точке, то же самое относительно параллельно входящих лучах в разных точках

Т.е. различные моды имеют одинаковое время распространения - отсутствует межмодовая дисперсия. Моды - сигналы входящие под разными углами.

На самом деле есть не только меридиональные лучи, но и косые (винтовые) и т.д. - для них дисперсия есть.

Лекция 10. Распространение ЭМВ в линиях конечной длины

Обрыв линии передачи, подключение нагрузки и т. п. - эквивалентно изменению граничных условий.

На конце линии образуется новая структура поля, отвечающая новым граничным условиям. Это изменение трактуют как появление в линии, кроме основной (падающей) волны, волны, распространяющейся от конца к началу (отраженной), причем, если линия работает в одномодовом режиме, то структура отраженной волны не отличается от падающей волны.

Коэффициент отражения в любом сечении линии:

.

Наличие отраженной волны приводит к изменению входного сопротивления отрезка линии. Рассмотрим несколько частных случаев:

1) Холостой ход Zн= (режим стоячих волн).

Используем интегральные характеристики U и I, но можно использовать и универсальные - дифференциальные характеристики E и H.

Чтобы не учитывать высшие типы волн, следует рассматривать поле в линии на расстоянии нескольких длин волн в линии.

Эпюры напряжения, тока и сопротивления в линии с холостым ходом представлены на рисунке 10.1, входное сопротивление линии в режиме холостого хода описывается формулой

.

2) Короткое замыкание Zн=0 (режим стоячих волн). Отличается только сдвигом кривых для U и I на /4. Входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания описывается формулой

При реактивной нагрузке, активная мощность в ней выделяется и модуль /R/=1. Задачу проще всего решать, заменяя сосредоточенную C (см. рисунок 10.3) или L на отрезок линии, т.е:

,

замена на отрезок с холостым ходом или

ctg hl=-X_L/Zв ,

замена на отрезок с коротким замыканием .

4) Чисто активная нагрузка (Zн=Rн).

Возможны два случая активной нагрузки:

1. Rн>Zв, КБВ=Zв/Rн.

2. Rн<Zв, КБВ=Rн/Zв.

В обоих случаях режим работы линии - смешанный

Амплитуда отраженной волны меньше падающей (часть энергии потребляется нагрузкой).

5) Согласованный режим (Rн=Zв=W).