Размещено на http://www.allbest.ru/

Глава 1. Общие положения теории ЭМП

1.1 Основные законы электродинамики

В курсе «Теория передачи электромагнитных волн» рассматривается классическая нерелятивистская электродинамика. Это частная версия теории электромагнетизма, которая отличается, прежде всего, тем, что ее основные понятия - напряженности полей, заряды и токи - не выводятся из чего-либо, а постулируются.

Кроме того, методы, которые мы будем использовать, справедливы в условиях, когда скорости движущихся тел много меньше скорости света.

Согласно основным положениям макроскопической ЭД ЭМП в каждой точке в каждый момент времени определяется четырьмя величинами: - характеризующими электрическое поле, и - магнитное поле. Кроме этих четырех векторов в уравнениях электромагнитного поля присутствуют еще две величины: плотность заряда и плотность тока , они характеризуют источники поля - заряды и токи. (В макроскопической ЭД - плотность свободного электрического заряда, а j - плотность электрического тока (тока проводимости)).

Если нет макроскопических перемещений вещества, то плотность тока и плотность заряда связаны уравнением непрерывности:

(1.1)

Выражающим тот факт, что ток проводимости обусловлен движением свободных зарядов. - сила действующая на заряд q. Векторное поленеобходимо для описания электрического поля в материальной среде (например, в диэлектрике) - поле электрического смещения.

Сила Лоренца: ,

поле магнитной индукции.

- характеризует силу тока через единичную площадку перпендикулярную вектору скорости заряженных частиц.

q - объемная плотность заряда в объеме V.

Векторы ЭМП и величины j и зависят от 3-х пространственных координат и времени t. Они связаны между собой системой уравнений Максвелла:

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

. (1.5)

При этом здесь и далее мы будем использовать систему единиц СИ.

Размерности величин в этой системе: В/м, Кл/м², А/м, Тл, А/м², Кл/м³.

Уравнение (1.2) называют обычно первым, а (1.4) - вторым уравнениями Максвелла Дж. Кларка. (1873 - трактат об электричестве и магнетизме).

Все 4 уравнения - обобщение опытных данных.

Уравнение (1.2) - дифференциальная формулировка закона полного тока и гипотезы Максвелла о токе смещения.

Уравнение (1.3) - закон Гаусса.

(1.4) - закон электромагнитной индукции (Фарадей).

(1.5) - закон неразрывности магнитных силовых линий.

Система уравнений 1.2-1.5 справедлива для электромагнитных полей в любых средах, но их недостаточно для решения конкретных задач (неизвестных больше чем уравнений).

(1.3) и (1.5) - практически скалярные уравнения.

В систему следует включить уравнения, учитывающие влияние среды на протекающие в ней электромагнитные явления.

1.2 Материальные уравнения

Величиной - абсолютной диэлектрической проницаемостью - характеризуют свойства диэлектриков (веществ не проводящих электрический ток) неполярных и полярных:

Электрическая постоянная:

- относительная диэлектрическая проницаемость (безразмерная)

(вакуум, воздух 1; полиэтилен = 2,25; пресная вода 81).

Свойства магнетиков характеризуют магнитная проницаемость или магнитная проницаемость:

.

Размерная константа, называемая магнитной постоянной:

=4*10^-7

Величина может быть меньше 1 и много больше.

У диамагнетиков - уменьшающих поле - <1 (как правило, близко к единице). К ним относится большинство веществ.

У парамагнетиков, увеличивающих магнитное поле, - незначительно больше 1. (кислоты, азот некоторые металлы и т.д.)

Особый класс веществ - ферромагнетики. У них .

- удельная проводимость. У серебра 6.1*10⁷; у меди 5.7*10⁷ и т.д.

Уравнение (1.8) называют законом Ома в дифференциальной форме.

Уравнения 1.6-1.8 охватывают электромагнитные свойства достаточно большого числа сред, но многие свойства реальных веществ не учитывают.

Имеется в виду тот факт, что соотношения прямой пропорциональности между E и D , B и H - линейные среды могут нарушать.

В диэлектрике нелинейная зависимость наблюдается каждый раз, когда E становится очень высокой и возникает электрический пробой.

Согласно макроскопической теории поля электромагнитная энергия распределена в пространстве, занятом полем, с некоторой объемной плотностью таким образом, что электромагнитная энергия, содержащаяся в объеме V, выражается в виде объемного интеграла:

(1.9)

W - полный запас энергии ЭМП внутри объема V в фиксированный момент времени

(измеряется в Дж).

Изменяться во времени эта энергия может за счет двух процессов:

1. Она может внутри данного объема превращаться другие, неэлектромагнитные формы энергии (тепловая, химическая, кинетическая ускоренных частиц...) или возникать из неэлектромагнитных форм.

2. Эта энергия, оставаясь электромагнитной, может вытекать из данного объема (или втекать в него) через поверхность S, ограничивающую данный объем.

Первый процесс характеризуется мощностью потерь Р_ПОТ.

Второй - мощностью излучения .

,

, где

вектор плотности потока мощности электромагнитного поля - вектор Пойнтинга (1884 - английский ученый)

Величины Р_ПОТ и могут быть положительными и отрицательными (отрицательность Р_ПОТ - идет превращение других видов энергии в электромагнитную; отрицательность показывает, что в данный объем поступает энергия из внешнего пространства).

Выражения (1.11)-(1.12) справедливы для любых сред.

Три энергетические величины Р_ПОТ, W и связаны между собой соотношением Умова-Пойнтинга:

,

которое представляет собой математическую формулировку закона сохранения энергии для электромагнитного поля.

Так же как интегральная величина связана с дифференциальной П, величина объемной плотности электромагнитной энергии связана с W:

и объемная плотность мощности тепловых потерь:

Тогда уравнение (1.13) будет выглядеть следующим образом:

(1.14)

1.3 Теорема Остроградского-Гаусса

Мы уже говорили, что токи и заряды являются источниками ЭМП, а также сами возникают под действием поля. На практике приходится учитывать также токи и заряды, которые вызываются внешними источниками и практически не зависят от возбужденного ими ЭМП.

Такие токи принято называть "сторонними" и векторное поле плотности сторонних токов следует ввести, как заранее заданную функцию в уравнения Максвелла, а также в уравнение Умова-Пойнтинга:

,

где .

1.4 Сводка уравнений Максвелла

* Уравнения в интегральной форме записать самостоятельно.

Это система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно шести неизвестных функций (Е_Х Е_У Е_Z Н_Х Н_У Н_Z), которые зависят от трех пространственных координат и от времени t.

Так как в большинстве практических задач материальные среды можно считать линейными, то в них будет справедлив принцип суперпозиций ЭМП:

Если частные решения УМ, то решением будет и сумма вида: ().

Решение уравнений можно значительно упростить, если исключить временную переменную.

Любой сигнал может быть разложен на спектр гармонических составляющих по преобразованию Фурье.

Для гармонически изменяющего в некоторой заданной точке пространства вектора (например, E):

E_mx, Е_my, E_mz - амплитуды отдельных составляющих поля - соответствующие начальные фазы, по-другому это выражение можно записать:

Вектор принято называть комплексной амплитудой поля E в заданной точке пространства (считается, что частота поля - известна).

пространственные, в общем случае, трехмерные векторы (изобразить вспомогательным вектором, вращающимся в комплексной плоскости нельзя).

Exp - эти множители характеризуют только фазы, т.е.

Не образуют угол 90⁰, а параллельны орту i_x и сдвинуты по фазе на 90⁰.

Связь между E(t) и :

Если подставить подобные выражения для всех векторов в уравнения Максвелла и сократить общий множитель, то получим:

Если объединить первое уравнение и пятое, то получим:

где

комплексная диэлектрическая проницаемость данного вещества, учитывающая и проводящая и поляризационные свойства.

Действительная часть - интенсивность процесса поляризации, мнимая - плотность токов проводимости (потери).

В комплексной плоскости

- угол диэлектрических потерь (в справочниках обычно приводят tg) :

На частотах СВЧ диапазона для хороших диэлектриков tg=10^-510^-4, если tg>10^-3 - диэлектрик принято считать плохим.

Выразим через комплексные амплитуды вектор Пойнтинга.

Воспользуемся соотношениями:

подставляем их в…

Первое слагаемое неизвестно во времени, а второе меняется с удвоенной частотой - колеблющаяся составляющая вектора Пойнтинга, среднее за период значение которой равно 0; .

Первое слагаемое практически равно плотности потока мощности усредненной за период (действительный вектор):

При анализе гармонических полей удобней использовать комплексный вектор Пойнтинга:

и

Комплексный вектор Пойнтинга аналогичен комплексной мощности гармонического колебания.

Если он чисто мнимый, то процесс не переносит мощности (перенос реактивной мощности).

1.5 Принцип перестановочной двойственности

Рассмотрим две системы:

1. Пластинка (вид с торца) с электрическим током I_Э.

2. Две заряженные полуплоскости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ширина пластинки и зазора - .

Картинки однотипны с точностью до направлений стрелок.

Это сходство позволяет формально предположить: в щели параллельно кромкам протекает гипотетический ток I_M , называемый магнитным током (физически не существует).

Геометрическое сходство полей - следствие симметрии двух основных уравнений Максвелла:

Которые переходят одно в другое при перестановках

Если в первом уравнении был ток j_{CT Э}, то следует предположить наличие j_{CT M} и .

Если найдено решение какой-либо задачи ЭД, то простая перестановка дает решение дуальной (двойственной) задачи, причем физически реализуемой.

1.6 Лемма Лоренца

Оценим связь между полями, возбужденными двумя независимыми системами сторонних токов.

Поле, созданное одной системой:

; (1.17)

для другой

(1.18)

Проделаем ряд операций:

- умножим скалярно первое уравнение из (1.17) на вектор

- умножим скалярно второе уравнение из (1.18) на вектор

- вычтем второе равенство из первого, учитывая векторное тождество:

получим:

( ** )

Теперь умножим второе уравнение из (1.17) на, а первое из (1.18) на и вычтем второе равенство из первого, получим:

( *** )

Складываем почленно равенства (**) и (***), получим:

(1.19)

Уравнение (1.19) - Лемма Лоренца в дифференциальной форме.

Векторные произведения [E₁H₂] и [E₂H₁] в левой части уравнения - взаимные векторы Пойнтинга двух независимых процессов.

Проинтегрируем уравнение (1.19) по произвольному объему V и используем теорему Остроградского-Гаусса, получаем Лемму Лоренца в наиболее общем виде:

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Предположим, что V - все пространство, т.е.(S - бесконечно большая).

Полагаем, что источники сосредоточены в конечной области пространства и, кроме того, на бесконечности поля убывают быстрее, чем 1/R, где R - расстояние от фиксированной точки. (Это физически обоснованно, т.к. в пространстве всегда будут причины для ослабления поля - потери)

Интеграл в левой части при этом становится исчезающе малым, и Лемма Лоренца для безграничного пространства, имеющего в каждой точке некоторые потери, принимает вид:

.

Упростим задачу, полагая, что в пространстве есть только сторонние электрические токи (любая проволочная антенна), тогда:

Последнее соотношение - теорема взаимности для антенн, возбуждаемых электрическими токами.

В простейшем случае если имеются две идентичные антенны, возбуждаемые одинаковым образом, то первая антенна будет создавать вблизи второй такое же поле, как вторая вблизи первой, независимо от параметров среды, разделяющей их (исключение - анизотропные среды).

В общем случае теорема взаимности связывает свойства приемной антенны со свойствами ее в режиме передачи.

В частности Диаграммы Направленности, (в дальнейшем ДН) в обоих режимах совпадают.

В анизотропных средах теорема взаимности справедлива, если:

(для ферритов - нет, для кристаллов - да).

Волны

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Волны, образованные внешним воздействием, приложенным к упругой среде, называются бегущими волнами: они «бегут» от создающего их источника. Важное свойство бегущих волн заключается в том, что они переносят энергию и импульс. Если внешняя сила совершает гармонические колебания, то вызванные ею волны называются гармоническими бегущими волнами.

Волновой процесс обусловлен наличием связей между отдельными частями системы, в зависимости от которых, мы имеем упругую волну той или иной природы.

Глава 2. Упругие волны

1. Упругими или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде.

Деформации в теле или среде называются упругими, если они полностью исчезают после прекращения внешних воздействий.

Тела, которые воздействуют на среду, вызывая колебания, называются источниками волн. Распространение упругих волн не связано с переносом вещества, но волны переносят энергию, которой обеспечивает волновой процесс источник колебаний.

2. Среда называется однородной, если ее физические свойства, рассматриваемые в данной задаче, не изменяются от точки к точке.

Среда называется изотропной, если ее физические свойства, рассматриваемые в задаче, одинаковы по всем направлениям.

Среда называется линейной, если между величинами, характеризующими внешнее воздействие на среду, которое и вызывает ее изменение, существует прямо пропорциональная связь. Например, выполнение закона Гука означает, что среда линейна по своим механическим свойствам.

2.1 Упругие продольные и поперечные волны

1. Все волны делятся на продольные и поперечные.

Поперечные волны - упругие волны, при распространении которых частицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

Продольные волны - упругие волны, при распространении которых частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения волны.

Поперечные упругие волны возникают только в твердых телах, в которых возможны упругие деформации сдвига. Продольные волны могут распространяться в жидкостях или газах, где возможны объемные деформации среды, или в твердых телах, где возникают деформации удлинения или сжатия. Исключение составляют поперечные поверхностные волны. Простые продольные колебания - это процесс распространения в пространстве областей сжатий и растяжений среды. Сжатия и растяжения среды образуются при колебаниях ее точек (частиц) около своих положений равновесия.

2.2 Характеристики бегущих волн

1.Длина волны.

Минимальное расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания точки среды около положения равновесия, называется длиной волны.

Длиной волны называется наименьшее расстояние между двумя точками среды, совершающими колебания в фазе (т.е. разность их фаз равна ).

Если точки разделены расстоянием , их колебания происходят в противофазе.

2. Фазовая скорость волны.

Из повседневного опыта известно, что бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью, пока свойства среды, например, глубина воды, не меняется, что говорит о том, что скорость распространения волнового процесса в пространстве остается постоянной. В случае гармонических бегущих волн (см. определение выше) эта скорость называется фазовой.

Фазовая скорость - это скорость распространения данной фазы колебаний, т.е. скорость волны.

Связь длины волны , фазовой скорости и периода колебаний Т задается соотношением:

.

Учитывая, что , где - линейная частота волны, - период, а циклическая частота волны , получим разные формулы для фазовой скорости:

.

Для волнового процесса характерна периодичность по времени и по пространству.

Т - период колебаний точек среды. Роль пространственного периода играет длина волны . Соотношение между периодом и циклической частотой задается формулой: . Аналогичное соотношение можно записать для длины волны и величиной k, называемой волновым числом: .

4. Фронт волны. Волновая поверхность.

При прохождении волны по среде ее точки вовлекаются в колебательный процесс последовательно друг за другом.

Геометрическое место точек, до которого к некоторому моменту времени дошел колебательный процесс, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в фазе, называется волновой поверхностью.

Волновой фронт - частный случай волновой поверхности. Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности остаются неподвижными. Они проходят через положения равновесия частиц среды, которые колеблются в одинаковой фазе.

При описании распространения волн широко используют понятие луча. Направления, в которых распространяются колебания, называются лучами. В изотропной среде (см. определение выше) лучи перпендикулярны волновым поверхностям (фронту) и имеют вид прямых линий. В анизотропной среде, а также при дифракции волн, лучи могут искривляться.

Форма волнового фронта определяет вид волны: сферические (от точечного источника в изотропной среде), эллиптические (в анизотропной среде), цилиндрические (от протяженных источников), плоские и другие. На достаточно большом расстоянии от источника небольшой участок любого фронта можно считать плоским.

Если известно положение фронта волны в некоторый момент времени и скорость волны , то его положение в последующий момент времени можно определить на основе принципа Гюйгенса. Согласно этому принципу все точки поверхности волнового фронта являются источниками вторичных волн. Искомое положение волнового фронта совпадает с поверхностью, огибающей фронты вторичных волн.

5. Уравнение бегущей волны.

Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении по ней волны.

Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Так, рассмотренные выше бегущая и отраженная волны являются гармоническими волнами.

2.4 Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Принцип суперпозиции (наложения) волн установлен на опыте. Он состоит в том, что в линейной среде волны от разных источников распространяются независимо, и накладываясь, не изменяют друг друга. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые частица получит, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

Согласно принципу суперпозиции накладываться друг на друга без взаимного искажения могут волны любой формы. В результате наложения волн результирующее колебание каждой частицы среды может происходить по любому сложному закону. Такое образование волн называется волновым пакетом. Скорость движения волнового пакета не совпадает со скоростью ни с одной из слагаемых волн. В этом случае говорят о скорости волнового пакета. Скорость перемещения максимума группы волн (волнового пакета) называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии волнового пакета.

На практике мы всегда имеем дело с группой волн, так как синусоидальных волн, бесконечных в пространстве и во времени, не существует. Любая ограниченная во времени и пространстве синусоидальная волна есть волновой пакет (его называют цуг волны). Групповая скорость такого пакета совпадает с фазовой скоростью бесконечных синусоидальных волн, результатом сложения которых он является.

В общем виде связь между групповой и фазовой скоростями имеет вид:

.

Глава 3. Электромагнитные волны

1. Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля (т.е. переменное электромагнитное поле), распрострняющиеся в пространстве.

Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием решения системы уравнений Максвелла. Согласно этой теории следует, что переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна:

где - скорость света в вакууме, , - электрическая и магнитная постоянные, , - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.

2. Электромагнитные волны - поперечные волны. Векторы Е и Н поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны друг другу. Вектор скорости волны и векторы Е и Н образуют правую тройку векторов (Рисунок 2.1.4).

Для сравнения ориентации тройки векторов , Е и Н на рисунке приведено расположение осей декартовой системы координат. Такое сопоставление уместно и в дальнейшем будет использовано для определения проекций векторов Е и Н на координатные оси.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2.1.4

Взаимно перпендикулярные векторы Е и Н колеблются в одной фазе (их колебания синфазные). Модули этих векторов связаны соотношением:

которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей.

3.По форме волновых поверхностей волны могут быть плоские, эллиптические, сферические и т.д..

Монохроматической волной называется электромагнитная волна одной определенной частоты. Монохроматическая волна не ограничена в пространстве и во времени. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов Е и Н на оси координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты . Например, для плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОУ, как показано на рисунке 2.1.3.,ее уравнение имеет вид:

Такие волны называются плоско (или линейно) поляризованными волнами.

Плоскость, в которой происходит колебание вектора Е называют плоскостью поляризации линейно поляризованной волны, а плоскость колебаний вектора Н - плоскостью колебаний. Ранее эти названия были обратными (см. [1]).

6. Все сказанное о стоячих волнах в упругих средах относится и к электромагнитным волнам. В этом случае, однако, волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно перпендикулярными векторами Е и Н.

Стоячая электромагнитная волна состоит из двух стоячих волн - магнитной и электрической, колебания которых сдвинуты по фазе на .

7. Энергия электромагнитных волн.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде задается соотношением:

с - скорость света в вакууме.

В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления ОY, напряженность электрического поля задается уравнением:

соответственно объемная плотность энергии этой волны

Значение объемной плотности энергии волны меняется за период от 0 до .Среднее за период значение энергии равно:

.

8. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова - Пойнтинга:

Для линейно поляризованной монохроматической волны вектор Пойнтинга направлен в сторону распространения волны и численно равен:

Интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего значения вектора Пойнтинга за период его полного колебания:

Интенсивностью электромагнитной волны называется физическая величина, численно равная энергии, переносимая волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны.

Интенсивность бегущей монохроматической волны: - фазовая скорость волны, среднее значение объемной плотности энергии поля волны.

Интенсивность света (электромагнитных волн, рассматриваемых в оптике) прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний вектора напряженности Е поля световой волны.

3.1 Плоские электромагнитные волны

Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство с заданными электродинамическими параметрами , одинаковыми во всех точках. Кроме того, полагаем, что свободные заряды отсутствуют = 0. Гармонически изменяющийся электромагнитный процесс будет описываться системой уравнений Максвелла:

Возьмем rot от второго уравнения и подставим в него первое уравнение:

.

Используем векторное тождество:

.

И так как , то: . Получаем:

(2.1)

Это уравнение называют уравнением Гельмгольца.

Введем параметр:

(2.2)

и уравнение (2.1) перепишется:

Система (2.3) - система однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы в общем виде достаточно громоздкое. Для простоты положим:

кроме того, зависит только от координаты Z, то есть:

тогда первое уравнение системы (2.3) из трех уравнений начинает описываться только одним:

.

Общее решение этого линейного уравнения:

Где и корни уравнения (2.2). Распишем его:

В комплексной плоскости:

В дальнейшем будем пользоваться только .

и

Подобные процессы давно известны - однородная плоская волна. Первое слагаемое - волна, распространяющаяся в сторону уменьшения Z. Второе - в сторону увеличения.

Плоской называют волну, распространяющуюся вдоль какой либо координаты и неизменную в каждый фиксированный момент времени в плоскости перпендикулярной этой координате .

Параметр играет роль «пространственной» частоты процесса - коэффициент фазы (1/м).

E(z,0) - периодична ; ее период: , где - длина волны.

Поверхность, удовлетворяющая условию: называется волновой фронт (фазовый фронт, поверхность равных фаз), перемещающийся вдоль оси Z с фазовой скоростью:

Величину называют коэффициентом ослабления плоской волны в среде (1/м).

В расчетах чаще используют погонное затухание:

дБ/м

- коэффициент распространения.

Воспользуемся вторым уравнением Максвелла:

и найдем Н:

подставляем величину :

Некоторые выводы:

в однородной плоской волне векторы Е и Н перпендикулярны;

и Е и Н перпендикулярны оси распространения - поперечная волна;

комплексные амплитуды векторов Е и Н в любой точке пространства связаны коэффициентом пропорциональности Zc;

Zc - характеристическое (волновое) сопротивление

; (2.7)

Zc характеризует среду и, в общем случае, не связан с тепловыми потерями.

Определим плотность потока мощности плоской ЭМВ:

или с учетом Zс:

(2.8)

Рассмотрим, как изменятся приведенные выше соотношения, если среда распространения - вакуум: .

Коэффициент распространения: чисто мнимый (потерь нет).

тогда и не зависит от частоты.

Так как Zо - действительное, то , значит Е и Н колеблются в фазе. Отметим, что для атмосферного воздуха это тоже справедливо.

В среде без потерь, но с :

;

(2.9)

На практике в СВЧ - диапазоне используют, как правило, диэлектрик с малыми потерями и . Для расчета основных характеристик плоских ЭМВ используются следующие выражения:

Так как tg1 можно использовать приближенную формулу:

и

То есть, в случае малых потерь, - практически не изменился,

- прямо пропорционален и :

(2.10)

Для сопротивления (использовали 1/(1-Х) 1 + Х при Х1):

(2.11)

Так как Zс - комплексная величина, то Е и Н колеблются не синфазно и угол сдвига фаз приблизительно равен /2.

В хорошо проводящих средах, даже при постоянстве _а, абсолютная диэлектрическая проницаемость является функцией частоты: , то есть наблюдается частотная дисперсия.

Говорят, что на заданной частоте материальная среда является хорошо проводящей (металлоподобной), если:

_а (2.12)

То есть плотность токов проводимости значительно превышает плотность токов смещения и поляризационных токов.

Как следствие на низких частотах неидеальные диэлектрики и полупроводники становятся металлоподобными (сухая почва при частоте f = 1 МГц ведет себя как хорошо проводящая среда).

Но даже на самых высоких частотах радиодиапазона неравенство (2.12) выполняется для металлов с большим запасом.

В хорошо проводящей среде можно приближенно считать: .

Тогда

; .

Перейдем к и :

(2.13)

обе величины сильно зависят от , дисперсия ярко выражена:

и ,

а характеристическое сопротивление:

(2.14)

Величина означает, что в проводнике вектор Н сдвинут по фазе относительно вектора Е на 45.

Если 0, то амплитуда плоской ЭМВ изменяется вдоль координаты распространения Z по закону .

Расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз, называют глубиной проникновения или толщиной поверхностного слоя (d):

(2.15)

На СВЧ диапазоне глубина проникновения очень мала. Для меди на 10 ГГц d = 0,6 мкм, это позволяет использовать тонкие (10-20 мкм) слои хороших проводников для уменьшения потерь.

3.2 Поляризация волн

Полагаем, что вектор Е имеет две составляющие, и . Найдем положение кривой, которая служит геометрическим местом концов вектора Е суммарного процесса.

Перепишем:

,

возводим их в квадрат и складываем:

,

это уравнение эллипса, а про волну говорят, что это эллиптически поляризованная волна.

В этом случае вектор Е вращается против часовой стрелки, если смотреть с конца i_z - лево поляризованная волна.

Частные случаи:

Равна нулю одна из составляющих или сдвиг фаз между ними равен нулю. Тогда конец вектора Е перемещается вдоль линии произвольно, в общем случае, ориентированной относительно системы координат. Волна - линейно поляризованная.

Равны амплитуды Е_m1 = Е_m2, а сдвиг фаз - 90. Тогда кривая окружность, волну называют волной с круговой поляризацией.

Легко заметить, что суперпозиция двух волн с линейными поляризациями, сдвинутых по фазе и пространственно на 90, дают эллиптически поляризованную волну, две волны с круговыми поляризациями и противоположными направлениями вращения в результате суперпозиции дают волну линейно поляризованную.

3.3 Граничные условия для векторов ЭМП

Нормальные составляющие

Соотношения, показывающие связь между значениями векторов ЭМП в разных средах, у поверхности раздела называют граничными условиями. (Используют интегральную запись уравнений Максвелла). На поверхности раздела двух сред с параметрами соответственно, выделим малый элемент так чтобы:

его можно считать плоским;

распределение Dn в пределах должно быть равномерным.

Построим на цилиндр с основаниями в разных средах. Используем третье уравнение Максвелла:

.

Поверхность цилиндра:

.

Устремим так, чтобы оставались в разных средах:

;

Если заряд не сосредоточен на поверхности раздела, то:

и нормальная компонента вектора непрерывна при переходе из одной среды в другую. Если заряд распределен по поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя с поверхностной плотностью:

тогда , то есть нормальная компонента вектора D претерпевает скачек на величинуповерхностного заряда. Для вектора Е:

Нормальная компонента Е претерпевает разрыв. На самом деле поверхностных зарядов не бывает, толщина слоя конечна и D меняется постепенно. Но математическая модель удобнее.

Тангесальные составляющие

Из произвольной точки на поверхности S раздела двух изотропных сред проведем единичную нормаль n₀. Через нее проведем плоскость Р и на линии пересечения Р и S выделим малый отрезок l такой, чтобы считать его прямолинейным и неизменной в его пределах.

На отрезке l построим контур ABCD высотой h

- касательная к l,

- нормаль к P, образующий правовинтовую систему с ABCD и . Используем второе уравнение Максвелла:

, где

.

Левую часть представим в виде суммы четырех интегралов:

и оставляя AB и CD в разных средах, устремляем h :

Так как Е и конечные величины, то:

.

А , то есть касательная, составляющая вектора Е, непрерывна при переходе через границу раздела двух сред.

Полная система граничных условий:

где - плотность поверхностного тока, направленного ортогонально вектору (или его составляющая).

На поверхности раздела с идеальным проводником , внутри которого поле отсутствует, согласно уравнению Максвелла будут справедливы следующие граничные условия:

,

или для Н в векторной форме:

3.4 Падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред

Границу раздела будем полагать бесконечно протяженной. Плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела параллельно направлению распространения, называют плоскостью падения.

Если вектор Е перпендикулярен этой плоскости, то волна - нормально поляризованная, если параллелен, волна - параллельно поляризованная.

Любую другую ориентацию вектора Е следует рассматривать как суперпозицию .

Нормальная поляризация.

- угол падения.

В выбранной системе координат направляющие косинусы:

и

Для амплитуд:

при условии 0Х

.

Граничные условия: .

Падающая волна частично (или полностью) отражается от границы и частично (или полностью) проходит во вторую среду. Можно считать, что ориентация векторов относительно направления распространения не меняется.

Для отраженной волны:

при этом и .

Для преломленной волны:

при .

Граничные условия должны выполняться при любых Z. Это возможно только, если зависимость от Z для всех трех векторов одинакова:

так как:

и угол падения равен углу отражения:

(2.23)

Из другого равенства:

(2.24)

n - показатель преломления среды:

Определим постоянные А и В на границе раздела (А и В амплитуды отражённой и преломлённой волн соответственно ):

При Х = 0:

A и B пропорциональны E: А = RЕ, В = ТЕ.

R - коэффициент отражения, T - коэффициент преломления (коэффициенты Френеля).

В случае нормальной поляризации:

1+R=T;

1-R=Т

Модуль R характеризует соотношение между амплитудами падающей и отражённой волны, а аргумент - сдвиг фаз между этими полями:

R =

T =

вывод при параллельной поляризации аналогичен - самостоятельно.

R =

T =

Остановимся на простейших следствиях, вытекающих из этих соотношений.

Для нормального падения ЭМВ имеем 0 и формулы для R и T переходят в:

R= - R=; T= T = .

При нормальном падении плоскость падения становится неопределённой и различие поляризаций пропадает.

Знак ''минус'' за счёт того, что R и T коэффициенты по электрическому полю, R и T - по магнитному.

3.5 Угол Брюстера

В связи со сказанным, возникает вопрос о том, какими свойствами должно обладать вещество, чтобы являться ''оптической невидимкой''.

Так как визуальное обнаружение любого тела обусловлено волнами, отражёнными и рассеянными телом под самыми различными углами, то для этого необходимо, чтобы R и R равнялись 0 для любого угла падения , что для реального диэлектрика означает.

Т.е. электромагнитные свойства вещества неотличимы от свойств вакуума, если он - первая среда, или ( ): Z_С2 = Z_С1.

Если условие Z_С = Z_С не выполняется, то из условия следует:

для параллельной поляризации: , возводим в квадрат обе части равенства и учтём второй закон Снеллиуса в следующей форме:

.

Для обычных диэлектриков, после преобразований:

где -угол Брюстера

Для обычных диэлектриков существует угол падения, при котором падающая волна целиком проходит во вторую среду.

случае нормальной поляризации при ;

От границы раздела обычных диэлектриков волна с нормальной поляризацией отражается всегда.

Волна с эллиптической поляризацией отражается от границы всегда.

3.6 Угол полного внутреннего отражения

Отметим условия, при которых вещество полностью отражает падающие на него электромагнитные волны.

Например, если при конечном , то коэффициенты отражения стремятся к предельным значениям:

R = - 1;

R = 1.

К этому предельному случаю очень близко подходят металлы, у них имеет большую мнимую часть. Металлы - почти идеальные зеркала для электромагнитных волн.

Если существуют вещества, у которых при конечной была бы весьма велика, то для них:

R=1;

R= -1.

R стремится к 1 для критической плазмы ( ).

Рассмотрим более подробно второй закон Снелля

Угол меняется от 0 до ( - предельное значение).

Угол падения, при котором , назовём критическим:

,

это возможно, если .

При > _кр правая часть становится больше единицы. Если - вещественный, это невозможно.

Будем полагать: .

Тогда: .

Чтобы sin достаточно: и , а cos - мнимый.

С учётом этого при любом :

То есть средняя плотность потока энергии одинакова в падающей и отражённой волнах.

Поле в первой среде (после того, как за скобки вынесли exp(i)):

;

Итак, в первой среде ЭМП имеет структуру плоской волны, распространяющейся вдоль поверхности раздела (вдоль z) - направленная волна.

Поверхности равных фаз - плоскости, перпендикулярные Z.

Амплитуды E и H зависят от X и от .

Поверхности равных амплитуд-плоскости, перпендикулярные X.

Эта волна - неоднородная плоская волна, у которой есть продольная составляющая Hz.

(для волны с параллельной поляризацией-Ez).

Фазовая скорость:

,

то есть больше , но меньше . Причём, чем больше , тем меньше .

Длина волны вдоль

Z: .

Изменение Е и Н вдоль оси Х имеет характер стоячей волны в первой среде: .

Поперечные составляющие изменяются в фазе, а продольная сдвинута на 90, в результате комплексный вектор Пойнтинга:

Знак '+' - перпендикулярная поляризация.

Знак `_' - параллельная поляризация.

В среднем энергия распространяется только вдоль оси Z, а в перпендикулярном по отношению к Z направлении - только реактивный поток энергии:

Рассмотрим поле во второй среде:

Так как cos - мнимая величина, то:

где

при _кр - вещественная величина.

Знак ''-'' чтобы поле не росло до бесконечности (невозможно физически).

Для поля во второй среде:

Итак, во второй среде электромагнитное поле имеет структуру плоской неоднородной волны, распространяющейся вдоль оси Z.

Поверхности равной фазы и амплитуды взаимно перпендикулярны.

Энергия распространяется в среднем вдоль z, а вдоль x она убывает по экспоненциальному закону.

Такую волну называют поверхностной.

Любая из поверхностей X_n = const могла быть заменена на металлическую - это не изменит картины.

Поток энергии на плоскостях X_n = const - отсутствует (n = 1,2...).

Если вместо двух диэлектрических сред - граница раздела металл (идеально проводящий) и диэлектрик, то .

Тогда R= -1; T= 0; = ;

R= 1; T= 0; = 0;

при любом угле падения .

Структура поля в первой среде та же, и - не меняются, а во второй среде поля нет.

На границе раздела с поглощающей средой можно воспользоваться полученными выражениями, если предположить, что ₂ - комплексная величина: .

Тогда sin - тоже комплекс, то есть - не геометрический угол, под которым распространяется преломлённая волна.

Введём обозначения:

_{x z} - вещественные.

Для нормально поляризованной волны:

То есть в поглощающей среде - поле - плоская волна и если - неоднородная.

Поверхности равной амплитуды:

Х = const.

Поверхности равной фазы:

Во второй среде направление распространения образует угол _Д с осью x.

_Д истинный (действительный) угол:

.

(волна расположена перпендикулярно поверхностям равных фаз).

Во второй среде амплитуда убывает по экспоненте, причём во второй среде есть продольная составляющая.

Для параллельной поляризации то же самое.

Практически важный случай .

Например, металлы: , тогда

То есть при любом угле падения на поверхность хорошо проводящей среды преломлённая волна распространяется практически вдоль нормали к границе раздела.

Плоскости равных фаз и амплитуд практически совпадают - волна однородная.

Волна - поперечная, причём Е и Н сдвинуты по фазе на .

Так как амплитуда быстро убывает, то поле есть практически в тонком поверхностном слое (явление поверхностного эффекта).

По закону Ома: J = E, весь ток сосредоточен возле поверхности. Эффективное сечение меньше геометрического, а активное сопротивление на ВЧ может быть во много раз больше, чем по постоянному току (проводник можно выполнить в виде трубы).

Используют математическую модель, полагают, что ток течёт в виде бесконечно тонкого слоя:

,

Z_СМ - поверхностное сопротивление проводника, d - глубина проникновения.

Это выражение было получено на основе граничных условий Леонтовича-Щукина.

Особенность в том, что они выражают соотношение между векторами электромагнитного поля вблизи границы с реальными металлическими телами через параметры металла, без учёта поля в нём.

Мы уже определили, что в хорошо проводящей среде поле распространяется вдоль нормали к границе раздела:

.

На границе раздела:

.

Векторы Е и Н параллельны границе раздела, следовательно:

,

так как

,

то вместо можно использовать полный :

.

На поверхности реального проводника и, хотя она очень мала (), она определяет нормальную составляющую П (поток энергии, уходящий в металл).

Составляющую в расчётах учитывают только тогда, когда рассчитывают потери.

Если граница раздела не плоская, то дополнительное условие - радиус кривизны должен превышать глубину проникновения.

3.7 Отражение от системы слоёв

На занятие решим задачу отражения от слоя.

Здесь приведём выражения для коэффициента отражения от системы слоёв.

Полагаем, что между двумя полубесконечными средами находится n - слоёв.

Коэффициент отражения:

где

.

- входной импеданс системы, причём, если угол падения не равен нулю, то следует использовать:

при перпендикулярной и параллельной поляризациях соответственно.

Углы рассчитывают исходя из законов Снелля.

3.8 УСВЧ (Устройства сверх - высоких частот)

Классифицировать УСВЧ будем по функциям, которые они выполняют в линии передачи, независимо от того, для какой цели выполняется та или иная функция.

Наименование класса устройств	Функциональные признаки
1. Отрезки регулярных линий передач	Направленная передача ЭМЭ
2. Соединительные устройства	Соединения отрезков регулярных линий,
А) Неподвижные и подвижные сочленения	элементов или узлов
Б) Уголки и изгибы
В) Трансформаторы и фильтры типов волн
Г) Вращающиеся сочленения
3. Делители мощности	Разделение энергии, передаваемой в одном канале, на несколько каналов или сложение энергии из нескольких каналов в одном
4. Переключающие устройства (коммутаторы)	Временные соединения различных каналов
5. Развязывающие устройства	Понижение уровня мощности,
А) Аттенюаторы	проходящей из одного канала в другой,
Б) Направленные ответвители	или полная развязка между каналами
В) Циркуляторы
Г) Вентили
6.Поляризационные преобразователи	Преобразование поляризации проходящих волн
7. Фазирующие устройства	Поддержание или изменение фазы или
А) Фазовращатели	разности фаз колебаний в линии
Б) Секции дифференциального Фазового сдвига
8. Мостовые (гибридные) соединения	Сложение, вычитание и калиброванное
А) Двойные Т-образные	разделение мощности ЭМВ в четырех
Б) Щелевые	канальном соединении
В) Кольцевые
Г) Шлейфовые
9. Защитные устройства	Предохранение нагрузки или узла от чрезмерной мощности
10. Согласующие устройства	Согласование тракта в целом его отдельных элементов и узлов для получения заданного коэффициента отражения
11. Симметрирующие устройства	Переход от несимметричной линии или узла к симметричной линии или узлу.

Линии передачи принято классифицировать по типу направляемых волн.

Типы волн:

Поперечные или волны Т-типа - отсутствуют составляющие E и Н, направленные вдоль направления распространения энергии (T-transfers (поперечные)) Т-(ТЕМ);

Электрические (Е- типа) Е-(ТМ);

Магнитные (Н-типа) Н-(ТЕ);

Смешанные (HE- типа) или гибридные.

Примеры этих волн - при отражение от границы раздела двух сред. Кроме того, все линии передачи делят на два больших класса:

Закрытого типа - вся энергия сосредоточенна в пространстве, ограниченном металлической оболочкой от внешней среды;

Открытого типа - поле, строго говоря, распределено во всем пространстве (подавляющая часть вблизи), поэтому параметры этих линий подвержены влиянию окружающей среды (метеоусловия, расположенные вблизи объекты и т.д.)

Связь между продольными и поперечными составляющими электромагнитного поля

Будем рассматривать производную, бесконечно длинную направляющую систему, ориентированную вдоль оси Z.

Будем полагать:

1. Форма поперечного сечения не зависит от Z - линия однородна, кроме того, параметры среды и граничные условия, которым удовлетворяют поля, не зависят от Z.

2. Направляющая система не вносит потерь.

Мы уже рассматривали направленные волны над границей раздела, характер изменения E и H вдоль продольных и поперечных координат был различным.

Введем два параметра:

1. Продольное волновое число .

2. Поперечное волновое число т.е. .

Особенность направляемых волн: комплексная амплитуда каждой из шести проекций векторов Е и Н зависит от пространственных координат по закону:

Начальную фазу волны всегда можно подобрать так, чтобы - была действительной.

Производные по Z:

(3.1)

Сторонние источники отсутствуют и поле описывается Уравнениями Максвелла:

Развернем эти уравнения в декартовой системе координат. Из первого уравнения Максвелла:

;

;

Из второго уравнения Максвелла:

;

;

Решим эти уравнения относительно Е (например, совместно первое и пятое уравнение):

; ;

; (3.2)

Аналогично в любой другой системе координат.

Итак, достаточно найти лишь две функции для любой направляющей системы, а остальные проекции определяют через них

Прямоугольный металлический волновод

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прямоугольный металлический волновод это полая металлическая идеально проводящая () труба с поперечным сечением прямоугольной формы.

Будем полагать, что волновод заполнен средой с параметрами (воздух) . Найдем все типы электромагнитных волн, которые могут существовать внутри волновода на всем протяжении оси (как они созданы пока не рассматриваем).

Волны типа - H:

Для этих волн характерно . Тогда из системы (3.2):

; ;

; (3.3)

Где функция является решением уравнения Гельмгольца ( - производные только по поперечным координатам):

,

где и отыскивается в виде: .

При решении следует учитывать граничные условия (тангенциальная составляющая Е на металле обращается в 0):

при y = 0, y = b

при x = 0, x = а

При решении удобнее выразить их через :

при у = 0, у = b

при x = 0, x = а

Таким образом, надо решить краевую задачу Неймана (в ноль обращается производная, иначе Дирихле).

Используем метод Фурье, представляем в виде:

,

подставляем его в уравнение Гельмгольца:

,

разделим это уравнение на неизвестное решение:

.

g - не зависит от X и Y, поэтому, чтобы последнее уравнение выполнялось при всех X и Y, надо чтобы:

, ,

где

- некоторые числа удовлетворяющие: .

Общие решения двух последних уравнений выражаются через гармонические функции:

;

.

Отсюда: .

Остается выбрать шесть величин A, B, C, D, , так, чтобы выполнялись граничные условия на стенках волновода.

Граничные условия при X = 0 и Y = 0 будут выполнятся, если А = С = 0.

Произведение двух оставшихся амплитудных коэффициентов можно обозначить через H₀ и тогда: электродинамика волна вектор поле

.

Теперь остается подобрать величины так, чтобы граничные условия выполнялись при

X = а и Y = b:

; ;

Где m и n - любые целые положительные числа не равные нулю одновременно (иначе силовые линии магнитного поля Н - незамкнуты и нарушается четвертое уравнение Максвелла).

Краевая задача имеет решения отличные от нуля только при условии:

.

Каждому значению g, (собственное значение) соответствует одно из множества решений уравнений Максвелла, которое в данном случае называют волнойH_mn, где m и n - индексы волны данного типа. Физически они означают количества стоячих полуволн, возникающих внутри волновода вдоль координатных осей x и y соответственно.

Структура ЭМП волны типа Hmn

.

Мы получили выражение для проекции H_z, используем формулы перехода:

;в

.

Приведенная система формул содержит исчерпывающую информацию об электромагнитном поле волн типа H_mn. Картина поля периодична вдоль оси z; пространственным периодом служит длина волны в волноводе:

Если рабочая длина волны л₀ мала настолько, что в>g, то h-действительна и электромагнитное колебание распространяется в виде бегущей волны постоянной амплитуды. Если увеличить л₀ так, что в<g, то вместо бегущих волн в волноводе могут существовать лишь не распространяющиеся колебания, амплитуда которых уменьшается по экспоненте вдоль z, а фаза во всех поперечных сечениях постоянна - волновод работает в режиме отсечки. Пограничный случай возникает на такой рабочей частоте, когда: .