Збірник задач з фізики (механіка, електрика, електромагнетизм)

Відповідь: s = 8,7 м; А_тр.= -14,75 Дж.

61. У балістичний маятник масою М = 4 кг попадає куля масою m = 10 г, яка летить горизонтально зі швидкістю = 400 м/с і застрягає в ньому. Знайти висоту, на яку підніметься маятник з кулею після удару.

Відповідь: h = 4,97 м.

62. Диск радіусом R = 40 см обертається навколо вертикальної осі. На краю диска лежить деяке тіло. Приймаючи коефіцієнт тертя f = 0,4, знайти частоту п обертання, при якій тіло зісковзне з диска.

Відповідь: п = 0,5 с^-1.

63. До шнура підвішена гиря. Гирю відвели від положення рівноваги так, що шнур набув горизонтального положення, і відпустили. Чому дорівнює сила Т натягу шнура в момент, коли гиря проходить положення рівноваги? Який кут ц з вертикаллю утворює шнур у момент, коли сила натягу шнура дорівнює силі тяжіння гирі?

Відповідь: Т = 3mg; ц = 70,50 ^о.

64. Яку найбільшу швидкість х_mах може розвинути велосипедист, проїжджаючи заокруглення радіусом R = 50 м, якщо коефіцієнт тертя ковзання між шинами і асфальтом дорівнює 0,3? Який кут ц відхилення велосипеда від вертикалі, коли велосипедист рухається по заокругленню?

Відповідь: х_mах = 12,1м/с; ц =16,7 ^о.

65. Вал обертається з частотою п = 2400 хв^-1. До вала перпендикулярно до його довжини прикріплений стрижень дуже малої маси, що має на кінцях два тягарці масою m = 1 кг кожний, які розміщені на відстані r = 0,2 м від осі вала. Знайти силу F, яка розтягує стрижень при обертанні вала.

Відповідь: F =12,7 кН.

66. На гладенькому столі лежить брусок масою m = 4 кг. До бруска прив'язані два шнури, перекинуті через нерухомі блоки, прикріплені до протилежних країв столу. До кінців шнурів підвішені гирі, маса яких m₁ =1 кг і m₂ = 2 кг. Знайти прискорення a, з яким рухається брусок, і силу T натягу кожного зі шнурів. Масою блоків і тертям в них знехтувати.

Відповідь: а = 1,4 м/с²; Т₁ = 11,2 Н; Т₂ = 16,8 Н.

67. Шайба, пущена по поверхні льоду з початковою швидкістю х₀ = 20 м/с, зупинилася через t = 40 с. Знайти коефіцієнт тертя f шайби об лід.

Відповідь: f = 0,051.

68. На горизонтальній поверхні розміщений брусок масою m₁ = 2 кг. Коефіцієнт тертя f₁ бруска об поверхню дорівнює 0,2. На бруску лежить інший брусок масою m₂ = 8 кг. Коефіцієнт тертя f₂ верхнього бруска об нижній дорівнює 0,3. До верхнього бруска прикладена сила F. Визначити: а) значення сили F₁, при якій почнеться спільне ковзання брусків по поверхні; б) значення сили F₂, при якій верхній брусок почне проковзувати відносно нижнього.

Відповідь: F₁ = 19,6 Н; F₂ = 39,2 Н.

69. Початкова швидкість х₀ кулі дорівнює 800 м/с. При русі в повітрі за час t = 0,8 с її швидкість зменшилася до х = 200 м/с. Маса m кулі дорівнює 10 г. Вважаючи силу опору повітря пропорційною квадрату швидкості, визначити коефіцієнт опору к. Дією сили тяжіння знехтувати.

Відповідь: к = 4,7·10^-5 кг/м.

70. Акробат на мотоциклі описує «мертву петлю» радіусом r = 4 м. З якою найменшою швидкістю х_min повинен проїжджати акробат верхню точку петлі, щоб не зірватися?

Відповідь: х_min = 6,26 м/с.

71. Тягарець, прив'язаний до нитки довжиною l = 1 м, описує коло у горизонтальній площині. Визначити період Т обертання, якщо нитка відхилена на кут ц = 60° від вертикалі.

Відповідь: Т = 2,47 с.

72. При насадці маховика на вісь центр тяжіння виявився на відстані r = 0,1 мм від осі обертання. У яких межах змінюється сила F тиску осі на підшипники, якщо частота обертання маховика п = 10с^-1? Маса m маховика дорівнює 100 кг.

Відповідь: F_max = 1,02 кH; F_min = 942 H.

73. Літак масою m = 2,5 т летить зі швидкістю х = 400 км/год. Він виконує у горизонтальній площині віраж (віраж - політ літака по дузі кола з деяким кутом нахилу). Радіус R траєкторії літака дорівнює 500 м. Знайти поперечний кут ц нахилу літака і піднімальну силу F крил під час польоту.

Відповідь: ц = 58,2° ; F = 66,2 кН.

74. Куля масою m₁ = 10 кг, що рухається зі швидкістю х₁ = 4 м/с, зіштовхується з кулею масою m₂ = 4 кг, швидкість х₂ якої дорівнює 12 м/с. Вважаючи удар прямим, непружним, знайти швидкість u куль після удару в двох випадках: а) менша куля наздоганяє більшу кулю, що рухається в тому самому напрямі; б) кулі рухаються назустріч одна одній.

Відповідь: u₁ = 6,3 м/с; u₂ = -0,57 м/с.

75. На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки m = 20 кг. З якою швидкістю u (відносно підлоги) буде рухатися візок, якщо людина піде вздовж дошки зі швидкістю (відносно дошки) х = 1 м/с? Масою коліс знехтувати. Тертя у втулках коліс не враховувати.

Відповідь: u = 0,75 м/с.

76. Снаряд масою m = 10 кг мав швидкість х = 200 м/с у верхній точці траєкторії. У цій точці він розірвався на дві частини. Менша частина снаряда масою m₁ = 3 кг полетіла вперед під кутом ц₁ = 60° до горизонту із швидкістю u₁ = 400 м/с. Знайти, з якою швидкістю u₂ і під яким кутом ц₂ до горизонту полетить велика частина снаряда.

Відповідь: u₂ = 249 м/с; ц₂ = 36,6^о.

77. Обчислити роботу А, яка виконується при рівноприскореному підніманні вантажу масою m = 100 кг на висоту h = 4 м за час t = 2 с.

Відповідь: А = 4,72 кДж.

78. Тіло масою m = 1 кг кинуте з вежі в горизонтальному напрямі зі швидкістю х_o = 20 м/с через t = 3 с упало на землю. Визначити кінетичну енергію К, що мало тіло в момент удару об землю. Опором повітря знехтувати.

Відповідь: К = 663 Дж.

79. Два вантажі масами m₁ = 10 кг і m₂ = 15 кг підвішені на нитках довжиною l = 2 м так, що вантажі дотикаються між собою. Менший вантаж був відхилений на кут ц = 60° і відпущений. Визначити висоту h, на яку піднімуться обидва вантажі після удару. Удар вантажів вважати абсолютно непружним.

Відповідь: h = 16 см.

80. Куля масою m₁, яка летить зі швидкістю х₁ = 5 м/с, ударяє нерухому кулю масою m₂. Удар прямий, непружний. Визначити швидкість u куль після удару, а також частину w кінетичної енергії кулі, що перебуває в русі, яка витрачається на збільшення їх внутрішньої енергії. Розглянути два випадки: а) m₁ = 2 кг, m₂ = 8 кг; б) m₁ = 8 кг, m₂ = 2 кг.

Відповідь: а) u = 1 м/с, w = 0,8; б) u = 4 м/с, w = 0,2.

81. Куля масою m₁ = 200 г, що рухається зі швидкістю х₁ = 10м/с, ударяє нерухому кулю масою m₂ = 800 г. Удар прямий, абсолютно пружний. Які будуть швидкості u₁ і u₂ куль після удару?

Відповідь: -6 м/с; 4 м/с.

82. У човні масою m₁ = 240 кг стоїть людина масою m₂ = 60 кг. Човен пливе зі швидкістю х₁ = 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямку зі швидкістю х = 4 м/с (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини в двох випадках: а) людина стрибає вперед за рухом човна; б) у бік, протилежний руху човна.

Відповідь: 1 м/с; 3 м/с.

83. На підлозі стоїть візок у вигляді довгої дошки з легкими колесами. На одному кінці дошки стоїть людина. Маса людини М = 60 кг, маса дошки m = 20 кг. Знайти, на яку відстань d: а) переміститься візок, якщо людина перейде на інший кінець дошки; б) переміститься людина відносно підлоги; в) переміститься центр мас системи візок - людина відносно дошки і відносно підлоги. Довжина дошки дорівнює 2 м. Масою коліс знехтувати. Тертя у втулках коліс не враховувати.

Відповідь: а) 1м; б) 0,5 м; в) 1,5 м, 0.

84. На залізничній платформі встановлена гармата. Маса платформи із гарматою М = 15 т. Гармата стріляє вгору під кутом б = 60° до горизонту в напрямі рейок. З якою швидкістю х₁ покотиться платформа внаслідок віддачі, якщо маса снаряда m = 20 кг і він вилітає зі швидкістю х₂ = 600 м/с?

Відповідь: 0,4 м/с.

85. Обчислити роботу А, що виконується на шляху S = 12 м силою, яка рівномірно зростає, якщо на початку шляху сила F₁ = 10 Н, наприкінці шляху F₂ = 46 Н.

Відповідь: 336 Дж.

86. Камінь кинуто вгору під кутом ц = 60° до горизонту. Кінетична енергія К₀ каменя в початковий момент часу дорівнює 20 Дж. Визначити кінетичну К і потенціальну П енергії каменя у найвищій точці його траєкторії. Опором повітря знехтувати.

Відповідь: 5 Дж; 15 Дж.

87. В балістичний маятник масою М = 5 кг потрапила куля масою m = 10 г і застрягла в ньому. Знайти швидкість х кулі, якщо маятник, відхилившись після удару, піднявся на висоту h = 10 см.

Відповідь: х = 701 м/с.

88. Молот масою m₁ = 5 кг ударяє невеликий шматок заліза, що лежить на ковадлі. Маса m₂ ковадла дорівнює 100 кг. Масою шматка заліза знехтувати. Удар непружний. Визначити ККД з удару молота за даних умо.

Відповідь: з = 0,952.

89. З двох абсолютно пружних куль, які співударяються, більша куля нерухома. У результаті прямого удару менша куля втратила w = 3/4 своєї кінетичної енергії К₁. Визначити співвідношення М/m мас куль.

Відповідь: М/m = 3.

90. Суцільний циліндр масою m = 2 кг котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Лінійна швидкість осі циліндра 1 м/с. Визначити повну кінетичну енергію цього циліндра.

Відповідь: К = 1,5 Дж.

91. На барабан радіусом 20 см з моментом інерції 0,1 кг·мІ намотана мотузка, до якої прив'язаний вантаж масою 0,5 кг. До початку обертання барабана висота вантажу над підлогою дорівнює 1 м. Знайти: а) через який час вантаж опуститься до підлоги; б) кінетичну енергію вантажу в момент удару об підлогу. Тертям знехтувати.

Відповідь: t = 1,095 c; K = 5 Дж.

92. Диск масою 1 кг і діаметром 60 см обертається з частотою 20 об/с навколо осі, яка проходить через центр, перпендикулярно до площини диска. Яку роботу треба виконати, щоб зупинити диск?

Відповідь: А = 1,42 Дж.

93. На барабан радіусом 0,5м намотана мотузка, до кінця якої прив'язаний вантаж масою 10 кг. Знайти момент інерції барабана, якщо відомо, що вантаж опускається з прискоренням 2,04 м/c²?

Відповідь: І = 9,87 кг^.м².

94. Махове колесо з моментом інерції 245 кг·мІ, яке здійснює обертальний рух з частотою n = 20 об./с, під дією гальмівного моменту сил тертя зупинилося через час t = 1 хв. Знайти: а) момент сил тертя; б) число обертів, які здійснило це колесо до повної зупинки.

Відповідь: М = 512,8 Н^.м; N = 3768 об.

95. Маховик, момент інерції якого дорівнює 53,6 кг·м², обертається з постійною кутовою швидкістю 31,4 рад/с. Знайти гальмівний момент, під дією якого маховик зупиняється через 20 с і роботу сил гальмування.

Відповідь: М = 84,15 Н^.м; А = 2,64^.10⁴ Дж.

96. Блок, що має форму диска масою 0,4 кг, обертається під дією сили натягу мотузки, до кінців якої підвішені тягарці масами 0,3 кг і 0,7 кг. Визначити сили натягу мотузки з обох боків блока.

Відповідь: N₁ = 4 H; N₂ = 9,66 H.

97. Визначити момент сили, який необхідно прикласти до блока, що обертається з частотою 12 c^-1 , щоб він зупинився впродовж 8 с. Діаметр блока 30 см. Масу блока 6 кг вважати рівномірно розподіленою по ободу.

Відповідь: M = 0,81 H^.м.

98. Нитка, з прив'язаними до її кінців тягарцями масою 50 г і 60 г, перекинута через блок діаметром 4 см. Визначити момент інерції блока, якщо під дією сил натягу ниток він одержав кутове прискорення 1,5 рад/c²?

Відповідь: І = 2,49^.10^-3 кг^.м².

99. На обід маховика діаметром 60 см намотана мотузка, до кінця якої прив'язаний вантаж масою 2 кг. Визначити момент інерції маховика, якщо він, обертаючись рівноприскорено, за час 3 с набув кутової швидкості 9 рад/с.

Відповідь: І = 1,78 кг·м².

100. Обчислити момент інерції J прямокутника з дроту із сторонами а = 12 см і b = 16 см відносно осі, що лежить у площині прямокутника і проходить через середини малих сторін. Маса рівномірно розподілена за довжиною дроту з лінійною густиною ф = 0,1 кг/м.

Відповідь: J = 1,44^.10^-4 кг^.м².

101. Знайти момент інерції J тонкого однорідного кільця радіусом R = 20 см і масою m = 100 г відносно осі, що лежить у площині кільця і проходить через його центр.

Відповідь: J = 7,5^.10^-4 кг^.м².

102. Однорідний диск радіусом R = 10 см (рис. 5) може вільно обертатися навколо горизонтальної осі, перпендикулярної до площини диска, що проходить через точку О на рисунку. Диск відхилили на кут б і відпустили. Визначити для початкового моменту часу кутове і тангенціальне а_ф прискорення точки В, що міститься на диску. Обчислення виконати для таких випадків: а) а = R, b = R/2, б = р/2; б) a = R/2, b= R, б= р/6; в) а =2/3R,

Рисунок 5

Відповідь: а)65,3рад/с², 9,8м/с²; б)32,7рад/с², 4,9 м/с²;в) 59,9 рад/с², 7,99 м/с².

103. Через блок, що має форму диска, перекинутий шнур. До кінців шнура прив'язали тягарці масами m₁ = 100 г і m₂ = 110 г. З яким прискоренням а будуть рухатися тягарці, якщо маса m блока дорівнює 400 г? Тертям при обертанні блока знехтувати.

Відповідь: а = 0,24 м/с².

104. Платформа, що має форму диска, може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина масою m₁ = 60 кг. На який кут ц повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю платформи і, обійшовши її, повернеться у вихідну точку на платформі? Маса m₂ платформи дорівнює 240 кг. Момент інерції J людини розраховувати як для матеріальної точки.

Відповідь: ц = 120^о.

105. На краю платформи у формі диска, яка обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою 8 хв^-1, стоїть людина масою 70 кг. Коли людина перейшла в центр платформи, вона стала обертатися з частотою 10 хв^-1. Визначити масу платформи. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Відповідь: m = 560 кг.

106. Яку висоту має похила площина, якщо лінійна швидкість центра кулі, що скотились з неї без ковзання, дорівнює 2,65 м/с. Початкова швидкість кулі дорівнювала нулю.

Відповідь: h = 0,49 м.

107. Горизонтально розміщений дерев'яний стрижень масою 0,8 кг і довжиною 1,8 м, може обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через його середину. У кінець стрижня попадає куля масою 3 г, яка летить перпендикулярно до осі стрижня з швидкістю 50 м/с. З якою кутовою швидкістю почне обертатися стрижень, якщо удар непружний?

Відповідь: щ = 0,62 рад/с.

108. Кінетична енергія маховика, що обертається навколо нерухомої осі з постійною швидкістю, яка відповідає частоті n = 5 об/с, дорівнює W_k = 60 Дж. Знайти момент імпульсу маховика.

Відповідь: L = 0,69

109. Обруч і суцільний циліндр, які мають однакові маси m = 2,6 кг, котяться без ковзання з однаковою швидкістю = 6 м/с. Знайти кінетичні енергії цих тіл.

Відповідь: К_об.= 93,6 Дж; К_ц = 72 Дж.

110. На горизонтальній поверхні котиться куля. Яку частину повної кінетичної енергії складає енергія поступального руху кулі?

Відповідь:

111. Поставлений вертикально олівець, падає на стіл. Довжина олівця l = 15 см. Визначити кутову і лінійну швидкості середини олівця під кінець падіння.

Відповідь: щ = 14,1 рад/с; х = 1,06 м/с.

112. На який кут б треба відхилити тонкий однорідний стрижень довжиною l = 1,2 м, підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стрижня, щоб його нижній кінець при проходженні положення рівноваги мав швидкість = 4,9 м/c?

Відповідь: б = 60^о.

113. Горизонтальна платформа, маючи форму круглого однорідного диска масою m = 80 кг і радіусом R = 1 м, обертається з частотою n₁ = 20 об/хв. У центрі платформи стоїть людина, яка тримає в розведених руках гирі. З якою частотою буде обертатися платформа, якщо людина, опустивши руки, зменшить свій момент інерції від І₁ = 2,94 кг^.м² до І₂ = 0,98 кг^.м²?

Відповідь: n = 21 об/хв.

114. В центрі нерухомої лави Жуковського стоїть людина, яка відхиленою в горизонтальне положення рукою ловить м'яч масою m = 250 г, що летить зі швидкістю х = 36 м/с у горизонтальному напрямі на відстані r = 70 см від вертикальної осі обертання лави. Після цього лава стала обертатися з кутовою швидкістю щ = 0,9 рад/с. Знайти момент інерції людини разом з лавою.

Відповідь: І = 6,9 кг^.м².

115. Людина стоїть на лаві Жуковського й ловить рукою м'яч масою т = 0,4 кг, який летить у горизонтальному напрямку зі швидкістю = 20 м/с. Траєкторія м'яча проходить на відстані r = 0,8 м від вертикальної осі обертання лави. З якою кутовою швидкістю розпочне обертатися лава з людиною після того, як вона піймала м'яч? Сумарний момент інерції людини й лави дорівнює 6 кг•м².

Відповідь: 1,02 рад/с.

116. На лаві Жуковського стоїть людина й тримає в руках розташований вертикально по осі обертання лави стрижень довжиною l = 2,4 м і масою т = 8 кг. Лава з людиною обертається із частотою n₁= 1 с^-1. З якою частотою п₂ буде обертатися лава з людиною, якщо вона поверне стрижень у горизонтальне положення? Сумарний момент інерції людини й лави дорівнює 6 кг•м².

Відповідь: 0,61 с^-1.

117. Маховик у вигляді диска масою m = 80 кг і радіусом R =30 см перебуває в стані спокою. Яку роботу А₁ потрібно виконати, щоб надати маховику частоту n = 10 с^-1? Яку роботу А₂ довелося б виконати, якби при тій самій масі диск мав меншу товщину, але вдвічі більший радіус?

Відповідь: А₁ = 7,11 кДж, А₂ = 28,4 кДж.

118. Куля котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Повна кінетична енергія К кулі дорівнює 14 Дж. Визначити кінетичну енергію К₁ поступального і К₂ обертального руху кулі.

Відповідь: К₁ = 10 Дж, К₂ = 4 Дж.

119. Визначити момент інерції J тонкого однорідного стрижня довжиною l = 30 см і масою m = 100 г відносно осі, перпендикулярної до стрижня, яка проходить через: а) його кінець, б) його середину; в) точку, що віддалена від кінця стрижня на 1/3 його довжини.

Відповідь: а) J = 3^.10^-3 кг^.м²; б) J = 0,75 кг^.м²; в) 10^-3 кг^.м².

120. Визначити момент інерції J кільця масою m = 50 г і радіусом R = 10 см відносно осі, дотичної до кільця.

Відповідь: J = 7,5^.10^-4 кг^.м².

121. Тонкий однорідний стрижень довжиною l = 50 см і масою m = 400 г обертається з кутовим прискоренням в = 3 рад/с² навколо осі, що проходить перпендикулярно до стрижня через його середину. Визначити обертальний момент М.

Відповідь: М = 0,025 Н^.м.

122. Два тіла масами m₁ = 0,25 кг і m₂ = 0,15 кг зв'язані тонкою ниткою, перекинутою через блок. Блок закріплений на краю горизонтального столу, по поверхні якого ковзає тіло масою m₁. З яким прискоренням а рухаються тіла і чому дорівнюють сили Т натягу нитки по обидві сторони від блока? Коефіцієнт тертя тіла об поверхню столу дорівнює 0,2. Маса m блока дорівнює 0,1 кг і її можна вважати рівномірно розподіленою вздовж обода. Масою нитки і тертям у підшипниках осі блока знехтувати.

Відповідь: а = 1,96 м/с², Т₁=0,98 Н, Т₂ = 1,18 Н.

123. На краю горизонтальної платформи, що має форму диска радіусом R = 2 м, стоїть людина масою m₁ = 80 кг. Маса m₂ платформи дорівнює 240 кг. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, що проходить через її центр. Нехтуючи тертям, знайти, з якою кутовою швидкістю щ буде обертатися платформа, якщо людина буде йти вздовж її краю із швидкістю х = 2 м/с відносно платформи.

Відповідь: щ = 0,445 рад/с.

124. Платформа у вигляді диска радіусом R = 1 м обертається за інерцією з частотою n₁ = 6 хв^-1. На краю платформи стоїть людина, маса m якої дорівнює 80 кг. З якою частотою n₂ буде обертатися платформа, якщо людина перейде в її центр? Момент інерції J платформи дорівнює 120 кг·м². Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

Відповідь: n₂ = 10 хв^-1.

125. Вода тече в горизонтально розташованій трубі змінного перерізу. Швидкість х₁ води в широкій частині труби дорівнює 20 см/с. Визначити швидкість х₂ у вузькій частині труби, діаметр d₂ якої в 1,5 раза менший від діаметра d₁ широкої частини.

Відповідь: 0,45 м/с.

126. У горизонтально розташованій трубі з площею поперечного перерізу S₁=20 см² тече рідина. В одному місці труба має звуження, у якому площа перерізу S₂ дорівнює 12 см². Різниця Дh рівнів у двох манометричних трубках, встановлених у широкій і вузькій частинах труби, дорівнює 8 см. Визначити об'ємну витрату рідини Q_v.

Відповідь: (₁ - швидкість рідини в широкій частині труби).

127. До поршня спринцівки, розташованої горизонтально, прикладена сила F = 15 Н. Визначити швидкість витікання води з наконечника спринцівки, якщо площа S поршня дорівнює 12 см².

Відповідь: 5м/с.

128. Бак висотою h = 1,5 м до країв наповнений водою. На відстані d = 1 м від верхнього краю бака утворився отвір малого діаметра. На якій відстані l від бака буде падати на підлогу витікаючий з отвору струмінь води.

Відповідь: 1,4 м.

129. Бак висотою Н = 2 м до країв наповнений рідиною. На якій висоті h повинен бути зроблений отвір у стінці бака, щоб місце падіння струменя, що витікає з отвору, було на максимальній від бака відстані.

Відповідь: 1 м.

130. Латунна кулька діаметром d = 1 см падає у посудині з гліцерином. Визначити: а) швидкість усталеного руху кульки; б) чи є при цій швидкості обтікання кульки ламінарним?

Відповідь: а) (і- густини латуні і гліцерину); б) обтікання кульки ламінарне.

131. У широкій частині горизонтально розташованої труби нафта тече із швидкістю = 2 м/с. Визначити швидкість ₂ нафти у вузькій частині труби, якщо різниця ?р тисків у широкій і вузькій її частинах дорівнює 6,65 кПа.

Відповідь: 4,33 м/с.

132. Горизонтальний циліндр насоса має діаметр d₁ = 20 см. У ньому рухається із швидкістю = 1 м/с поршень, виштовхуючи воду через отвір діаметром d₂ = 2 см. З якою швидкістю буде витікати вода з отвору? Яким буде надлишковий тиск р води в циліндрі?

Відповідь: 100 м/с; 5 МПа.

133. Струмінь води діаметром d = 2 см, що рухається зі швидкістю = 10 м/с, вдаряється об нерухому плоску поверхню, поставлену перпендикулярно до струменя. Визначити силу F тиску струменя на поверхню, вважаючи, що після удару об поверхню швидкість частинок води дорівнює нулю.

Відповідь: 31,4 Н.

134. Струмінь води з площею перерізу S₁ = 4см², витікає в горизонтальному напрямі з брандспойта, розташованого на висоті Н = 2 м над поверхнею Землі, і падає на цю поверхню на відстані l = 8 м. Нехтуючи опором повітря руху води, визначити надлишковий тиск р води в рукаві, якщо площа S₂ поперечного перерізу рукава дорівнює 50 см².

Відповідь: , ( - густина води).

135. По трубі тече машинне масло. Максимальна швидкість _max, при якій рух масла в цій трубі залишається ще ламінарним, дорівнює 3,2 см/с. При якій швидкості рух гліцерину в тій самій трубі переходить з ламінарного в турбулентний?

Відповідь: 1,94 см/с.

136. При русі кульки радіусом r₁ = 2,4 мм у касторовому маслі ламінарне обтікання спостерігається при швидкості кульки, що не перевищує 10 см/с. При якій мінімальній швидкості ₂ кульки радіусом r₂ = 1 мм у гліцерині обтікання стане турбулентним?

Відповідь: , , ( і - густина і динамічна в'язкість касторового масла); і - ті ж величини для гліцерину.



Електричне поле у вакуумі

Основні формули

1. Закон Кулона

,

де F - сила взаємодії двох точкових зарядів q₁ і q₂;

r - відстань між зарядами;

- діелектрична проникність середовища;

- електрична стала, яка дорівнює

.

2. Закон збереження електричного заряду

,

де - алгебраїчна сума всіх зарядів, які входять до ізольованої системи.

3. Напруженість електричного поля точкового заряду

,



де - результуючий вектор всіх діючих сил на точковий заряд q, який поміщений в дану точку поля.

Сила, що діє на точковий заряд q, розміщений в електричному полі напруженістю

.

Потік вектора напруженості електричного поля:

а) через довільну поверхню S, яка поміщена в неоднорідне електричне поле,

або ,

де а - кут між напрямком вектора напруженості і нормаллю до елементу поверхні;

dS - площа елемента поверхні;

Е_n - проекція вектора напруженості на напрям нормалі;

б) через плоску поверхню, яка поміщена в однорідне електричне поле,

.

4. Потік вектора напруженості Е через замкнену поверхню S дорівнює

,

де інтегрування ведеться через замкнуту поверхню.

5. Теорема Гаусса в інтегральній формі. Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які охоплені цією поверхнею, поділеній на .

або = ,

де- алгебраїчна сума зарядів, які розміщені в середині замкнутої поверхні;

п - кількість окремих електричних зарядів.

6. Напруженість електричного поля, яке створюється точковим зарядом q на відстані r від заряду

.

7. Напруженість електричного поля, яка створюється зарядженою металевою кулею радіусом R з зарядом q, на відстані r від центра кулі:

- в середині кулі (r < R) - ,

- на поверхні кулі (r = R) - ,

- поза кулею (r > R) - .

8. Принцип суперпозиції (накладання) електричних полів, згідно з яким напруженість результуючого електричного поля, створеного двома (і більше) точковими зарядами, дорівнює векторній (геометричній) сумі напруженостей цих полів:

.

У випадку двох електричних полів з напруженостями _і і ₂ абсолютне значення вектора напруженості дорівнює

,

де - кут між векторами _і і ₂.

9. Напруженість електричного поля, що створюється нескінченно довгою рівномірно зарядженою ниткою (або циліндром) на відстані r від її осі

,

де - лінійна густина заряду.

Лінійна густина заряду визначається відношенням заряду, який розподілений вздовж нитки, до довжини нитки (циліндра):

.

10. Напруженість електричного поля, створеного безмежною, рівномірно зарядженою площиною дорівнює

,

де - поверхнева густина заряду.

Поверхнева густина заряду дорівнює відношенню заряду, рівномірно розподіленого на поверхні, до площі цієї поверхні:



.

11. Напруженість електричного поля, яке створюється двома паралельними нескінченними рівномірно і різнойменно зарядженими площинами, з однаковою поверхневою густиною зарядів (поле плоского конденсатора) дорівнює

.

Наведена формула справедлива для обчислення напруженості електричного поля між пластинами плоского конденсатора (в середній його частині) за умови, що відстань між пластинами значно менша лінійних розмірів пластин конденсатора.

12. Електричне зміщення D, зв'язане з напруженістю електричного поля Е таким співвідношенням

.

13. Циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж будь-якого замкненого контуру чисельно дорівнює роботі, яку слід виконати, щоб перемістити одиничний точковий позитивний заряд по цьому контуру.

Циркуляція вектора напруженості виражається коловим інтегралом

де Е_і - проекція вектора напруженості в даній точці контура на напрямок дотичної до контура в цій самій точці.

У випадку електростатичного поля циркуляція вектора напруженості електричного поля дорівнює нулю:

.

14. Потенціал електростатичного поля - це фізична величина, яка дорівнює відношенню потенціальної енергії в даній точці електричного поля до заряду, який поміщений у цю точку:

.

Або потенціал електростатичного поля - це фізична величина, яка чисельно дорівнює відношенню роботи сил поля для переміщення точкового позитивного заряду з даної точки поля в нескінченність, до величини цього заряду:

15. Потенціал електростатичного поля у нескінченності умовно приймається за нуль. При переміщенні заряду в електричному полі між точками В і С робота А_ВС зовнішніх сил дорівнює за абсолютним значенням роботі А_СВ

.

Потенціал електростатичного поля, який створюється точковим зарядом q на відстані r від заряду дорівнює:



.

16. Потенціал електричного поля, який створюється зарядженою суцільною металевою кулею радіусом R і зарядом q на відстані r від кулі дорівнює

- в середині кулі (r < R) - ,

- на поверхні кулі (r = R) - ,

- поза кулею (r > R) - .

17. Потенціал електростатичного поля, яке створене системою n точкових зарядів, визначається в даній точці поля за принципом суперпозиції і дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів , ,...,, які створюються окремими точковими зарядами q₁, q₂,..., q_n

.

18. Енергія W взаємодії системи точкових зарядів q₁,q₂,...,q_n визначається роботою, яку ця система зарядів має виконати за умови перенесення кожного із зарядів, один відносно одного, у нескінченність і виражається формулою

,

де _і - потенціал поля, яке створюється усіма п-1 зарядами (за виключенням і-го) у точці, де розміщений заряд q_і.

19. Потенціал пов'язаний із напруженістю електричного поля співвідношенням

.

У випадку електричного поля, яке має сферичну симетрію, цей зв'язок виражається формулою

або в скалярній формі

,

а у випадку однорідного поля, тобто поля, напруженість якого у кожній точці поля однакова

,

де d - відстань між цими поверхнями вздовж електричної силової лінії.

20. Робота, яка виконується електричним полем при переміщенні точкового заряду із однієї точки поля з потенціалом в іншу з потенціалом , дорівнює



або ,

де - проекція вектора напруженості на напрямок переміщення;

dl - переміщення.

У випадку однорідного поля остання формула набуває вигляду

де l - переміщення;

- кут між напрямами вектора і переміщення l .

Електричне поле у діелектриках

Основні формули

1. Диполь - це система двох однакових за модулем і протилежних за знаком зарядів, які розміщені на деякій відстані один від одного.

Електричний момент р диполя це вектор, який напрямлений від негативного заряду до позитивного і який дорівнює добутку заряду |q| на вектор , що проведений від негативного заряду до позитивного та називається плечем диполя, тобто

.

Диполь має назву точкового, якщо плече l диполя значно менше відстані r від центра диполя до точки, у якій визначається дія диполя (l<<r).

2. Напруженість поля точкового диполя визначається за формулою



,

де - електричний момент диполя;

r - абсолютне значення радіуса вектора, який проведений від центра диполя до точки, напруженість поля в якій визначається;

- кут між радіусом-вектором r та плечем l диполя.

Напруженість поля точкового диполя у точці, яка лежить на осі диполя ( = 0)

,

і в точці, яка лежить на перпендикулярі до плеча диполя, що проведений із його середини (а = /2)

.

3. Потенціал поля точкового диполя на відстані r від диполя

.

4. Потенціал поля точкового диполя у точці, яка лежить на осі диполя ( = 0)

,



і в точці, яка лежить на перпендикулярі до плеча диполя, який проведений із його середини ( = /2)

.

Напруженість і потенціал неточкового диполя визначаються як для системи зарядів.

Механічний момент, який діє на диполь з електричним моментом , розміщеним в однорідному електричному полі з напруженістю Е

або ,

де а - кут між напрямками векторів та .

У неоднорідному електричному полі, окрім механічного моменту (пари сил), на диполь діє ще деяка сила. У випадку поля, яке має симетрію відносно осі х, ця сила виражається співвідношенням

,

де - частинна похідна напруженості поля, яка характеризує ступінь неоднорідності поля у напрямку осі х.

При а > сила F_х позитивна. Це означає, що під її дією диполь втягується в область сильного поля.

5. Електричне зміщення D пов'язане з напруженістю Е електричного поля таким співвідношенням

.

Це співвідношення може бути застосованим лише для ізотропних діелектриків.

6. Потік вектора електричного зміщення визначається аналогічно потоку вектора напруженості електричного поля:

- у випадку однорідного поля

;

- у випадку неоднорідного поля

,

де D_n - проекція вектора на напрямок нормалі до елемента поверхні, площа якої дорівнює dS.

7. Теорема Гаусса для поля в діелектриках. Потік вектора електричного зміщення через будь-яку замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі сторонніх зарядів, які охоплені цією поверхнею:

,

де п - кількість сторонніх зарядів, які охоплені замкнутою поверхнею.

Провідники в електричному полі

Основні формули

1. Електроємність ізольованого провідника або конденсатора



,

де dq - заряд, переданий провіднику (конденсатору);

d - зміна потенціалу, яка викликана цим зарядом.

2. Електроємність ізольованої провідної сфери радіусом R, яка розміщена у нескінченному середовищі з діелектричною проникністю

.

Якщо сфера порожня і заповнена діелектриком, то електроємність її від цього не змінюється.

3. Електроємність плоского конденсатора

,

де S - площа кожної з пластин;

d - відстань між ними;

- діелектрична проникність діелектрика, який заповнює простір між пластинами.

Електроємність плоского конденсатора, який заповнений n шарами діелектрика товщиною d кожний, діелектричні проникності яких _і (шаруватий конденсатор)

.

4. Електроємність сферичного конденсатора (дві концентричні сфери радіусами R₁ і R₂, простір між якими заповнено діелектриком з діелектричною проникністю )

.

5 Електроємність циліндричного конденсатора (два коаксіальних циліндри довжиною l i радіусами R₁ і R₂, простір між якими заповнено діелектриком з діелектричною проникністю )

.

6. Електроємність послідовно з'єднаних конденсаторів визначається формулою

,

де п - кількість конденсаторів;

У випадку двох конденсаторів

.

У випадку п однакових конденсаторів з електроємністю С_І кожний

.

7. Електроємність паралельно з'єднаних конденсаторів:

,

де п - кількість конденсаторів.

У випадку двох конденсаторів:

.

У випадку п однакових конденсаторів з електроємністю С₂ кожний

С = nC₂.

Енергія електричного поля

Основні формули

1. Енергія зарядженого провідника виражається через заряд q, потенціал та ємність C провідника такими співвідношеннями:

.

2. Енергія зарядженого конденсатора

,

де С - електроємність конденсатора;

U - різниця потенціалів на його пластинах.

3. Об'ємна густина енергії (енергія електричного поля, що припадає на одиницю об'єму)

,



де Е - напруженість електричного поля в середовищі з діелектричною проникністю ;

- вектор електричного зміщення.

Приклади розв'язання задач

Приклад 1. У вершинах квадрата перебувають однакові точкові заряди 30 нКл. Який негативний заряд треба помістити в центрі квадрата, щоб зазначена система зарядів перебувала в рівновазі?

Дано:

q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = 30 нКл = 30^.10^-9 Кл.

q₅ = ?

Розв'язання. Всі заряди, розташовані у вершинах квадрата, перебувають в однакових умовах. Тому досить з'ясувати, який заряд слід помістити в центр квадрата, щоб який-небудь із чотирьох зарядів, наприклад q₁, перебував у рівновазі. Заряд q₁ буде перебувати в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює Рисунок 6

нулю (рис.6)

0, ( 1)



де , , , - сили, з якими відповідно діють на заряд q₁ заряди q₂ , q₃ , q₄, q₅;

= + - рівнодійна сил та .

За законом Кулона, маючи на увазі, що q₁ = q₂ = q₃ = q₄ = q, одержимо

F₂ = F₄ = , ( 2)

F₃ = , ( 3)

F₅ = , ( 4)

де a - сторона квадрата;

r = a - діагональ квадрата.

Як видно з рис. 6, рівнодійна сил й за напрямком збігається із силою F₃ і за модулем дорівнює

F = .

З урахуванням цього твердження векторну рівність (1) можна замінити скалярною

F + F₃ - F₅ = F₂ +F₃ -F₅ . ( 5)

Рівність (5) з урахуванням (2) - (4) матиме вигляд



= 0 .

Звідки

q .

Здійснивши обчислення, одержимо

3^.10^-8 Кл = 2,87 ^. 10^-8 Кл.

Слід зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.

Приклад 2. Два точкових заряди 2 нКл і -1 нКл перебувають у повітрі на відстані 5 см один від одного. Визначити напруженість і потенціал електричного поля в точці, віддаленої від першого заряду на відстань 6 см і від другого заряду на відстань 4 см.

Дано:

q₁ = 2 нКл

q₂ = - 1 нКл

d = 5 см

r₁ = 6 см

r₂ = 4 см

Е - ?

- ?

Рисунок 7

Розв'язання. Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів кожен заряд створює поле незалежно від наявності в просторі інших зарядів. Напруженість результуючого поля . Напруженості полів, створюваних у повітрі ( = 1) зарядами q₁ й q₂ визначають за формулами:

E₁ = , ( 1)

E₂ = . (2)

Напрямки векторів і зазначені на рис.7. Модуль вектора E знайдемо за теоремою косинусів

, (3)

де - кут між векторами і .

З рис.7 видно, що .

Отже,



. (4)

Із трикутника зі сторонами r₁, r₂, d за теоремою косинусів знаходимо

cos = ( r₁² + r₂² - d²) / (2r₁r₂).

Обчислимо cos окремо

cos = .

Виразимо всі величини в одиницях СІ: q₁ = 2^.10^-9 Кл, q₂ = -10^-9 Кл, r₁ = 6^.10^-2 м, r₂ = 4^.10^-2 м, 1/4₀ = 9^.10⁹ м/Ф, = 1.

Зробивши обчислення за формулами (1), (2), (4), (5), одержимо:

E₁ = B/м,

E₂ = B/м.

При обчисленні Е₂ знак заряду q₂ опущений, тому що знак мінус визначає напрямок вектора , а напрямок був врахований при його графічному зображенні (рис.7).

.



За принципом суперпозиції потенціал результуючого поля, створюваного зарядами q₁ й q₂, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів ₁ та ₂, тобто = ₁ + ₂ або

. (5)

Зробивши обчислення, одержимо

.

Приклад 3. На тонкій нитці, вигнутій по дузі кола радіусом 6 см, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною 20нКл/м. Визначити напруженість і потенціал електричного поля, створюваного розподіленим зарядом у точці, яка збігається із центром кривизни дуги, якщо довжина нитки становить 1/3 довжини кола.

Дано:

R = 6 см

= 20 нКл/м

l = 2/3 R

Е - ? - ?

Розв'язання. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігався із центром кривизни дуги, а вісь ОY була б розташована симетрично до кінців дуги (рис.8).

Рисунок 8

Розіб'ємо нитку на елементарні ділянки й виділимо елемент довжиною dl із зарядом dq = dl. Цей заряд можна розглядати як точковий.

Визначимо напруженість електричного поля в точці О. Для цієї точки напруженість поля, створюваного зарядом dq, дорівнює

де - радіус-вектор, спрямований від елемента dl у точку О.

Розіб'ємо вектор d на складові й . Із умови симетрії випливає, що сума складових від всіх елементарних ділянок нитки дорівнює нулю й результуючий вектор буде спрямований уздовж осі OY. В цьому випадку напруженість поля визначиться так

, (1)

де dE_Y = dЕ sin .

Оскільки r = R й dl = Rd, то



dE_y= sin = sind . (2)

Після підстановки (2) в (1), проведемо інтегрування в межах зміни кута від 0 до , попередньо помноживши цей інтеграл на 2

E== . (3)

Знайдемо потенціал електричного поля у точці О. У цій точці потенціал поля, створеного точковим зарядом dq, дорівнює

. (4)

Потенціал результуючого поля одержимо шляхом інтегрування виразу (4) по довжині нитки

.

Оскільки l = 2R / 3, то

. (5)

Виразимо всі величини в одиницях СІ: = 2^.10^-8 Кл/м, R = 6^.10^-2 м, 1/4₀ = 9^.10⁹ м/Ф, = 1, ₀ = 8,85^.10^-12 Ф/м.

Здійснивши обчислення за формулами (3) і (5), одержимо:

E = В/м,

В.

Приклад 4. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом 1 см, рівномірно зарядженим з лінійною густиною заряду 20 нКл/м. Визначити роботу сил поля з переміщення точкового заряду 25 нКл із точки, що перебуває на відстані 1 см, у точку, що перебуває на відстані 3 см від поверхні циліндра в середній його частині.

Дано:

R = 1 см = 1^.10^-2 м

= 20 нКл/м = 2^.10^-8 Кл/м

q = 25 нКл = 2,5^. 10^-8 Кл

a₁ = 1 см = 1^.10^-2 м

a₂ = 3 см = 3^.10^-2 м

А - ?

Розв'язування. Робота сил поля з переміщення заряду дорівнює

А = q(₁ - ₂).

Для знаходження різниці потенціалів скористаємося співвідношенням . Для поля з осьовою симетрією, яким є поле циліндра, можна записати



Е = або .

Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів між двома точками, які відстоять від осі циліндра на відстанях r₁ й r₂

, (1)

де r₁ = a₁ + R, r₂ = a₂ + R.

Оскільки циліндр довгий і точки взяті поблизу його середньої частини, то можна скористатися формулою напруженості поля, створюваного нескінченно довгим циліндром