Основы электротехники

i = i_m sin t .

Поскольку напряжение на емкости отстает от тока на угол /2 , то

u = u_m sin ( t - /2 ) = - u_m сos t.

Мгновенная мощность вычисляется по формуле :

p = ui = - u_m i_m sin t сos t = - UI sin 2t.

Графики напряжения, тока и мгновенной мощности показаны ниже на рисунке. В цепи с емкостью, так же как в цепи с индуктивностью, происходит переход энергии от источника к нагрузке, и наоборот. В данном случае энергия источника преобразуется в энергию электрического поля конденсатора и наоборот. Средняя активная мощность в цепи с емкостью также равна нулю.

Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и конденсатором служит реактивная мощность:

Q = UI.



Лекция № 3. Электрические цепи однофазного переменного тока (продолжение)

4.Электрическая цепь с активным и индуктивным элементами.

Цепь состоит из элементов, свойства которых нам уже известны. Проанализируем работу данной цепи.

Пусть ток в цепи изменяется по закону :

i = i_m sint .

Тогда напряжение на активном сопротивлении определяется формулой:

u_R = u_Rm sint,

так как на этом участке ток и напряжение совпадают по фазе. Напряжение на катушке:

u_L = u_Lm sin ( t + /2 ),

поскольку на катушке индуктивности напряжение опережает ток по фазе на угол равный /2.

Построим векторную диаграмму для рассматриваемой цепи. Сначала откладываем вектор тока, затем вектор напряжения на активном сопротивлении, совпадающий по фазе с вектором тока. Вектор напряжения на индуктивном элементе, опережающий вектор тока на угол /2, приставим к концу вектора напряжения на активном сопротивлении.

Векторы U_R , U_L , U образуют прямоугольный треугольник. Выведем закон Ома для этой цепи. На основании теоремы Пифагора, для прямоугольного треугольника напряжений имеем :

U = ( U_R² + U_L² )^1/2.

Но U_R = IR, а U_L = IX_L, следовательно

U = ( I²R² + I²X_L² )^1/2 =I( R² + X_L² )^1/2,

откуда следует закон Ома для этой цепи

I = U / ( R² + X_L² )^1/2.

Введем обозначение ( R² + X_L² )^1/2 = Z, где Z - полное сопротивление цепи. Тогда закон Ома приймет вид :

I = U / Z.

Так как полное сопротивление цепи Z определяется по теореме Пифагора, то ему соответствует треугольник сопротивлений :

Поскольку при последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям, то треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений.

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений :

tg = X_L / R , cos = R / Z.

Для последовательной цепи условимся отсчитывать угол от вектора тока. Поскольку вектор полного падения напряжения сдвинут по фазе относительно вектора тока на угол против часовой стрелки, то этот угол имеет положительное значение.

Суммарное мгновенное напряжение в цепи определяется формулой:

u = u_m sin ( t + ),

Средняя или активная мощность для данной цепи характеризует расход энергии на активном сопротивлении и, следовательно

P = U_R I.

Из векторной диаграммы видно, что

U_R = U cos .

Тогда

P = UI cos .

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между катушкой индуктивности и источником электрической энергии:

Q = U_L I

Из векторной диаграммы видно, что

U_L = U sin . Тогда

Q = UI sin .

Понятие полной мощности применяется для оценки предельной мощности электрических машин. Полной мощностью переменного тока является мощность, которая поступает от источника к потребителю и определяется по формуле:

S = UI.

Часть этой мощности в потребителе превращается в полезную - активную мощность, вследствие чего имеем механическое движение, тепло, свет и так далее.

Другая часть полной мощности, которая не идет на полезное действие потребителей, а только возбуждает в них магнитные поля.

Соотношение между величинами полной, активной и реактивной мощностей такое же, как и между полным, активным и реактивным напряжениями. Если все стороны треугольника напряжений умножить на силу тока I, то получим новый треугольник - треугольник мощностей, гипотенуза котрого равна полной мощности, горизонтальный катет - активной мощности, а вертикальный катет - реактивной мощности:

Соотношение между этими мощностями можно получить из треугольника:

S = ( P² + Q² )^1/2.

Измеряется полная мощность в вольт-амперах ( ВА).

Мгновенная мощность выражается соотношением:

p = ui = u_m i_m sin (t+) sin t = u_m i_m (sin t cos + sin cost)sin t = u_m i_m (sin² t cos + sin sin tcost) = u_m i_m [ cos (1 - cos 2t )/2 +

sin (sin 2t )/2 ]= (u_m i_m /2) [cos - (cos 2tcos - sin 2t sin )] =

UIcos - UIcos(2t + ).

Таким образом, мгновенная мощность складывается в этом случае из UIcos - постоянной составляющей, и синусоидальной составляющей двойной частоты. Энергетический процесс в цепи содержащей L и R , складывается из двух рассмотренных энергетических процессов: во-первых, энергия безвозвратно передается из источника в активное сопротивление, где она превращается в другие формы энергии; во-вторых, энергия колеблется между источником и магнитным полем приемника. Чем меньше cos, тем большую роль играют эти бесполезные колебания энергии.

5.Электрическая цепь с активным и емкостным элементами.

Методика изучения R-C цепи аналогична изучению R-L цепи.

Задаемся током i = i_m sin t. Тогда напряжение на активном сопротивлении :

u_R = u_Rm sint.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на угол /2 :

u_C = u_Cm sin (t - /2).

Построим векторную диаграмму для этой цепи :

Из векторной диаграммы следует, что

U = ( U_R² + U_С² )^1/2.

Но U_R = IR, а U_С = IX_С, следовательно

U = ( I²R² + I²X_С² )^1/2 =I( R² + X_С² )^1/2,откуда

I = U / ( R² + X_С² )^1/2.

Введем обозначение ( R² + X_С² )^1/2 = Z, где Z - полное сопротивление цепи. Закон Ома для этой цепи :

I = U / Z.

Треугольник сопротивлений для этой цепи имеет вид:

Расположение его сторон соответствует расположению сторон треугольника напряжений на векторной диаграмме. Сдвиг фаз в этом случае отрицателен, так как напряжение отстает по фазе от тока :

tg = - X_С / R , cos = R / Z.

В энергетическом отношении эта цепь не отличается от цепи с резистивным и индуктивным элементами

p = ui = UI cos - UI cos (2t + ).

Средняя мощность определяется постоянной состовляющей мгновенной мощности:

P = UI cos .

Реактивная мощность характеризует интенсивность обмена энергией между конденсатором и источником электрической энергии:

Q = U_С I sin .

Так как < 0, то реактивная мощность Q < 0. Физически это означает, что когда емкость отдает энергию, индуктивность ее потребляет, если они находятся в одной цепи.

Треугольник мощности для рассматриваемой цепи имеет вид:

Соотношение между этими мощностями можно получить из треугольника:

S = ( P² + Q² )^1/2.

6.Электрическая цепь с активным, индуктивным и емкостными элементами.

Электрическая цепь с последовательным соединением активных, индуктивных и емкостных элементов называется последовательным колебательным контуром.

Ток в цепи:

i = i_m sin t.

Напряжение на активном сопротивлении :

u_R = u_Rm sin t.

Напряжение на катушке индуктивности :

u_L = u_Lm sin ( t + /2 ).

Напряжение на конденсаторе :

u_C = u_Cm sin ( t - /2 ).

Построим векторную диаграмму при условии, что X_L < X_C, то есть U_L=IX_L < U_C=IX_C.

Вектор результирующего напряжения U замыкает многоугольник векторов U_R, U_L, U_C. Вектор (U_L + U_C) определяет напряжение на индуктивности и емкости. Как видно из диаграммы, это напряжение может быть меньше напряжения на индуктивности и емкости. Это объясняется процессом обмена энергией между индуктивностью и емкостью.

Получим закон Ома для рассматриваемой цепи. Модуль вектора (U_L + U_C) рассчитывается как разность действующих значений (U_L - U_C) , из векторной диаграммы следует, что

U = ( U_R² + ( U_L - U_C )² )^1/2.

Но U_R = IR, а U_С = IX_С и U_L = IX_L, следовательно

U = I ( R² + ( X_L - X_C )² )^1/2 , откуда

I = U / ( R² + X_С² )^1/2.

Введем обозначение ( R² + ( X_L - X_С )² )^1/2 = Z, где Z - полное сопротивление цепи. Закон Ома для этой цепи :

I = U / Z.

Разность между индуктивным и емкостным сопротивлением (X_L - X_С) называют реактивным сопротивлением цепи.

Треугольник сопротивлений для этой цепи имеет вид:

При X_L > X_С реактивное сопротивление положительно и сопротивление носит активно-индуктивный характер. При X_L < X_С реактивное сопротивление отрицательно и сопротивление цепи носит активно-емкостной характер. Знак сдвига фаз между током и напряжением получим автоматически, так как реактивное сопротивление - величина алгебраическая :

tg = X / R .

Таким образом, при X_L X_С преобладает или индуктивное или емкостное сопротивление, то есть с энергетической точки зрения цепь с R, L и C сводится к цепи с R, L или R, C.

Мгновенная мощность :

p = ui = UI cos - UI cos (2t + ).

Знак определяется из tg = X / R. Активная, реактивная и полная мощность такой цепи определяется равенствами :

P = UI cos , Q = U I sin , S = UI = ( P² + Q² )^1/2.

Треугольник мощности для этой цепи имеет вид:

Коэффициент мощности.

На современных промышленных предприятиях большинство потребителей электрической энергии переменного тока представляют собой активно-индуктивную нагрузкув виде асинхронных электродвигателей, силовых трансформаторов, сварочных трансформаторов, преобразователей и так далее. В такой нагрузке в результате протекания переменного тока индуктируются э.д.с. самоиндукции, обуславливающие сдвиг по фазе между током и напряжением. Этот сдвиг по фазе обычно увеличивается, а cos уменьшается при малой нагрузке. Например, если cos двигателей переменного тока при полной нагрузке составляет 0,75 - 0,8, то при малой нагрузке он уменьшается до 0,2 - 0,4.

Если мощность потребляемая всеми приемниками в данных цепях, является вполне определенной, то при неизменном напряжении на зажимах приемника их ток:

I = P / (Ucos)

С уменьшением cos ток нагрузки электростанций и подстанций будет увеличиваться при одной и той же отдаваемой мощности.

Вместе с тем электрические генераторы, трансформаторы и линии электропередач расчитываются на определенное напряжение и ток. Увеличение тока потребителя при снижении cos не должно превышать определенных пределов, так как питающие их генераторы расчитываются на определенную номинальную мощность S_ном = U_ном I_ном, вследствие чего они не должны оказаться перегруженными. Для того чтобы ток генератора не превышал номинального значения при снижении cos потребителя, необходимо снижать его активную мощность. Таким образом, понижение cos потребителей вызывает неполное использование мощности синхронных генераторов, трансформаторов и линий электропередач. Они бесполезно загружаются засчет индуктивного реактивного тока

cos, характеризующий использование установленной мощности, часто называют коэффициентом мощности.

Коэффициентом мощности называют отношение активной мощности к полной :

cos = P/S

Коэффициент мощности показывает, какая часть электрической энергии необратимо преобразуется в другие виды энергии и, в частности, используется на выполнение полезной работы. Нормальным считается cos 0,85 - 0,9. При низком коэффициенте мощности на предприятия, потребляющие электроэнергию, накладывается штраф, при высоком - предприятия премируются.

Для улучшения коэффициента мощности проводится ряд мероприятий:

1.заменяются двигатели переменного тока, нагруженные относительно мало, двигателями меньшей мощности;

2.включаются параллельно приемникам конденсаторы.

Параллельное соединение приемников переменного тока

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух приемников, подключенных параллельно к зажимам источника синусоидального напряжения

u = u_m sin t.

В первом приемнике последовательно соединены элементы R₁ и L, во втором соответственно R₂ и С. Оба приемника находятся под действием одного общего напряжения.

Электрические цепи такого вида называют параллельными колебательными контурами.

Выражения для мгновенных значений токов в первой и второй ветвях рассматриваемой цепи имеют соответственно индуктивный и емкостной характер:

i₁ = i_1m sin (t- ₁); i₂ = i_2m sin (t + ₂);

Действующее значение тока и угол сдвига фаз между током и напряжением определяется из следующих выражений:

для первой ветви

I₁ = U / ( R₁² + X_L² )^1/2 ; cos ₁ = R₁ / (R₁² + X_L² )^1/2;

для второй ветви

I₂ = U / ( R₂² + X_C² )^1/2 ; cos ₂ = R₂ / (R₂² + X_C² )^1/2;

Зная токи в ветвях, нельзя определить значение тока в неразветвленной части цепи простым сложением токов i₁ и i₂ , так как при этом необходимо учитывать их фазовые углы ₁ и ₂. Поэтому ток в неразветвленной части цепи определяют как геометрическую сумму токов в ветвях. Построим соответствующую векторную диаграмму. При построении векторной диаграммы токов принято за начальный вектор принять вектор напряжения. Векторы токов в ветвях направлены с учетом их сдвига по фазе по отношению к вектору напряжения. Векторная диаграмма имеет вид:

Из этой векторной диаграммы определяют величину тока в неразветвленной части цепи и угол сдвига фаз между током и напряжением в неразветвленной части цепи.

Метод векторных диаграмм, как всякий графический метод, не дает возможности получить высокую точность. Эти же величины можно определить и аналитически. Для этого вводят понятия активной и реактивной составляющих тока для ветви при последовательном соединении активных и реактивных элементов. Активная составляющая тока совпадает по фазе с приложенным напряжением. Реактивная составляющая тока сдвинута относительно приложенного напряжения на на угол /2:

Активная состовляющая тока в неразветвленной части цепи равна сумме активных состовляющих токов в каждой ветви :

I_a = I_1a + I_2а., где

I_1a = I₁cos ₁, I_2a = I₂cos ₂.

Реактивная составляющая тока в первой ветви отстает по фазе от напряжения на /2 , а реактивная составляющая тока второй ветви опережает напряжение на /2.

Таким образом, реактивная составляющая тока в неразветвленной части цепи равна разности реактивных токов в первой и второй ветвях, то есть

I_р = I_1р - I_2р., где

I_1р = I₁sin ₁, I_2a = I₂sin ₂.

Выражение полного тока в неразветвленной части цепи имеет вид

I = ( I_a² + I_р² )^1/2.

Угол сдвига фаз, как следует из векторной диаграммы, определяется соотношением :

tg = I_р / I_a

В общем случае, когда параллельно соединяют n электроприемников :

.



Резонансные явления в цепях переменного тока

В электротехнике под резонансным режимом работы цепей переменного тока понимают режим, при котором сопротивление цепи является чисто активным. По отношению к источнику питания элементы цепи ведут себя в резонансном режиме как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение в неразветвленной части цепи совпадают по фазе.

Реактивная мощность цепи при этом равна нулю.

Возможны два основных случая резонанса: при последовательном соединении реактивных элементов контура с источником возможен резонанс напряжений, а при параллельном соединении - резонанс токов.

Резонанс напряжений. Резонансом напряжений называют явление в цепи с последовательным соединением элементов, когда ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника. Найдем условия резонанса напряжений. Для того чтобы ток в цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивное сопротивление должно равняться нулю, так как

tg = X / R = ( X_L - X_C ) / R.

Таким образом, условием резонанса напряжений является равенство реактивного сопротивления цепи нулю, или

X_L = X_C.

Но X_L = L, а X_C = 1 / С, где - частота источника питания. В результате можно записать :

L = 1 / С.

Решая это урвнение относительно находим :

= 1 / (LC)^1/2 = ₀.

При резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура.

Резонансу напряжений соответствует векторная диаграмма :

На основании этой диаграммы и закона Ома для этой цепи сформулируем признаки резонанса напряжений.

1.Полное сопротивление цепи минимально и чисто активное.

2.Ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения.

3.Напряжение на катушке индуктивности равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажимах всей цепи ( в 10 раз ). Поэтому резонанс при последовательном соединении элементов называют резонансом напряжений.

Режим резонанса напряжений может быть получен изменением частоты напряжения источника при неизменных параметрах элементов колебательного контура или изменением параметров элементов колебательного контура.

В электроэнергетических устройствах в большинстве случаев резонанс напряжений - явление нежелательное, связанное с неожиданным возникновением перенапряжений, то есть напряжений в несколько раз превышающих рабочее напряжение установки, причем плавкие предохранители не защищают от возникновения этих перенапряжений.

Резонанс токов. В электрической цепи при параллельном соединении двух ветвей, когда в одной ветви включены элементы R₁ и L, а в другой R₂ и C, может устанавливаться режим резонанса токов, при котором ток в неразветвленной части цепи будет совпадать по фазе с напряжением.

Резонансная частота определяется выражением:

₀ = ( 1 / LC )^1/2((L/C - R₁²)/(L/C - R₂²))^1/2.

Отсюда следует, что состояние резонанса токов в цепи можно получить изменением частоты источника или изменением параметров цепи L, C, R₁, R₂. Векторная диаграмма соответствующая резонансу токов имеет вид :

При резонансе токов реактивный ток замыкается в кольце, образуемом индуктивностью и емкостью, а провода, соединяющие колебательный контур с источником энергии, и самый источник полностью разгружается от реактивного тока.

В режиме резонанса токов рассматриваемая цепь ведет себя по отношению к источнику питания так, как будто она состоит только из элементов с активной проводимостью. В действительности же в параллельных ветвях с реактивными элементами могут протекать токи, даже превышающие полный ток, протекающий в источнике питания. Но эти токи всегда противоположны по фазе друг другу. Это означает, что через каждую четверть периода происходит обмен энергиями между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, который поддерживается напряжением источника питания.

При резонансе токов токи в ветвях могут превосходить ток в неразветвленной части цепи не только при резонансе, но и с приближением к нему. Поэтому резонанс при параллельном соединении элементов называют резонансом токов.

Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений - явление, безопасное для электрических установок. Большие токи в ветвях при резонансе токов возникают лишь в том случае, если созданы большие реактивные проводимости ветвей - установлены большие батареи конденсаторов, мощные реактивные катушки.

Лекция № 4. Трехфазные электрические цепи

Трехфазная система э.д.с.

Трехфазные электрические цепи представляют собой частный случай многофазных цепей.

Многофазной системой электрических цепей называют совокупность нескольких электрических цепей переменного тока одной частоты, э.д.с. которых имеют разные начальные фазы и создаются общим источником энергии.

Обычно применяют симметричные многофазные системы, у которых амплитудные значения э.д.с. одинаковы, а фазы сдвинуты друг относительно друга на один и тот же угол 2/m, где m - число фаз.

В электроэнергетике наибольшее практическое значение имеют трехфазные системы.

Трехфазной цепью называется совокупность трех однофазных цепей, в которых действуют синусоидальные э.д.с. одной и той же частоты, сдвинутые по фазе друг относительно друга на угол 2/3.

Преимущественное применение трехфазных систем обьясняется тем, что при передаче и распределении электроэнергии трехфазные системы, особенно при симметричной нагрузке, имеют экономические преимущества по сравнению с другими системами:

1).основные потребители - трехфазные асинхронные и синхронные двигатели имеют больший к.п.д., чем другие двигатели; асинхронные двигатели имеют очень простую конструкцию и надежны в эксплуатации;

2).в трехфазной системе сравнительно просто создается вращающееся магнитное поле, которое используется в двигателях переменного тока;

3).трехфазная четырехпроводная система дает возможность иметь два эксплуатационных напряжения;

4). при одинаковых напряжениях, мощностях потребителей и прочих равных условиях питание трехфазным переменным током позволяет получить значительную экономию материала проводов по сравнению с темя однофазными линиями; передача электрической энергии при помощи трехфазного пременного тока по сравнению с однофазным переменным током при равных потерях в линии требует на 25% меньше металла для проводов, что при крупных масштабах современной электрофикации представляет серьезное экономическое преимущество;

5). трехфазный генератор дешевле, легче и экономичнее. чем три однофазных генератора такой же общей мощности; то же относится к трехфазным двигателям и трансформаторам;

Отдельные цепи трехфазной системы сокращенно называют фазами.

Совокупность токов, напряжений и э.д.с., действующих в фазах трехфазной цепи, называется трехфазной системой токов, напряжений и э.д.с..

Простейший трехфазный генератор устроен аналогично однофазному. Отличается он от однофазного тем, что на якоре расположены три одинаковые обмотки, начала и концы которых обозначаются соответственно А, В, С и X, Y, Z.

Оси обмоток сдвинуты в пространстве одна относительно другой на равные углы 120⁰. Эти обмотки вращаются в однородном магнитном поле постоянного магнита с постоянной угловой скоростью .

В момент времени t = 0 обмотка АХ расположена горизонтально и в ней индуктируется э.д.с.:

е_А = е_msin t.

Точно такая же э.д.с. будет индуктироваться и в обмотке BY, когда она повернется на угол 120⁰ и займет положение обмотки АХ. Следовательно, при t = 0

е_в = e_msin (t - 2/3).

Рассуждая аналогичным образом, можно найти э.д.с. в обмотке CZ

e_c = e_msin(t - 4/3).

Такая система трех э.д.с. называется симметричной. Наоборот, при неравенстве амплитуд, э.д.с. или неравенстве углов сдвига между ними система э.д.с. будет несимметричной.

Векторная диаграмма трехфазной системы э.д.с. имеет следующий вид:

Если к каждой из обмоток AX, BY и CZ подсоединить нагрузку с помощью щеток и контактных колец, то в образовавшихся цепях появится ток.

Связывание цепей

Источники и приемники энергии многофазных цепей выполняются, как правило, связанными; в них фазные цепи связаны между собой электрически. Если имеется несколько групп несвязанных приемников, эти группы получают питание от связанных источников энергии.

Преимуществом связанных систем в ряде случаев является уменьшение числа проводов линии электропередачи. Если для питания несвязанных трехфазных систем необходимо иметь шесть проводов - на каждую фазу по два провода, то при связывании системы число проводов может быть уменьшено до трех. Для всех наиболее распространенных систем основными способами связывания являются соединение звездой и треугольником. Надо подчеркнуть, что основные преимущества трехфазная система имеет благодаря электрической связи между тремя фазами, соединенными звездой или треугольником.

При соединении фаз источника звездой концы фаз X, Y, Z обьединяются в общую точку N, называемую нейтральной, а начала фаз А, В, С с помощью проводов соединены с приемником тремя проводами, которые называются линейными. Такую трехфазную систему называют трехпроводной.

При соединении фаз источника треугольником необходимо подключить конец каждой фазы к началу следующей, то есть конец первой фазы Х - с началом второй фазы В, конец второй фазы Y - с началом третьей фазы С, и конец третьей фазы Z - с началом первой фазы А. Начала фаз А, В, С с помощью проводов соединяют с приемниками.

Соединение отдельных фаз трехфазных приемников звездой или треугольником осуществляют таким же образом, как и соединение звездой или треугольником источников. При соединении источника, например, звездой приемники могут быть соединены различным способом, то есть одни - звездой, а другие - треугольником и так далее. Если нагрузка несимметричная, то есть сопротивления фаз приемника не равны между собой, то при соединении источника и приемников звездой необходимо применять помимо трех линейных проводов четвертый, нейтральный провод, соединяющий нейтральные точки источника и приемника.

Способы соединения фаз источника трехфазного тока и соотношения между его линейными и фазными напряжениями

Соединение звездой :

Напряжение между началом и концом фазы источника называют фазным.

Обозначают его: u_A, u_B, u_C или u_ф. Например при соединении звездой фазными являются напряжения между началами фаз и нейтральной точкой источника N.

Фазными токами называются токи, проходящие через каждую фазу источника или приемника.

Напряжения между началами фаз источника А, В, С или между линейными проводами называются линейными напряжениями.

Обозначают их: u_AB, u_BC, u_CA или u_л.

Токи в линейных проводах называют линейными токами.

При соединении обмоток генератора звездой обмотки и соответствующие линейные провода соединены последовательно, поэтому при соединении звездой фазные токи равны линейным:

I_Ф = I_Л.

При анализе трехфазных цепей важно знать условные положительные направления э.д.с., напряжений и токов, так как от их выбора зависят знаки в уравнениях составляемых по законам Кирхгофа, а также направления векторов на векторных диаграммах.

За условное положительное направление э.д.с. в каждой фазе источника принимают направление от ее конца к началу, а за условное положительное направление напряжения в каждой фазе источника принимают направление от начала фазы к ее концу.

Направление фазных токов совпадает с направлением э.д.с. в каждой фазе источника.

За условные положительные направления линейных напряжений принимают направление от начала одной фазы к началу другой, в частности напряжение u_AB направлено от А к В и так далее.

Линейные токи, проходящие через линейные провода, всегда направлены от источника к приемнику.

Фазные напряжения и токи приемников направлены в одну и ту же сторону.

Для нахождения связи между фазными и линейными напряжениями, при соединении источников звездой воспользуемся вторым законом Кирхгофа.

Алгебраическая сумма напряжений на элементах контура в данный момент времени равна алгебраической сумме э.д.с. в том же контуре в тот же момент времени.

Рассмотрим контур ABYXA:

При составлении уравнений контур обходят в одном произвольно выбранном направлении, алгебраически суммируя э.д.с. и напряжения. Будем обходить контур по часовой стрелке:

е_А - е_В = u_АВ.

Внутреннее сопротивление обмоток генераторов гораздо меньше сопротивления нагрузки, поэтому обычно пренебрегают внутренним сопротивлением фаз источников и считают фазные э.д.с. равными фазным напряжениям (e_А u_А , e_В u_В):

u_А - u_В = u_АВ.

Аналогично определяются и другие линейные напряжения:

u_ВС = u_В - u_С , u_СА = u_С - u_А .

Таким образом, мгновенные значения линейных напряжений равны алгебраической сумме мгновенных значений соответствующих фазных напряжений.

Так как фазные напряжения изменяются по синусоидальному закону, то и линейные напряжения так же будут изменяться по синусоидальному закону.

Действующие значения линейных напряжений можно определить из векторных диаграмм. Векторная диаграмма фазных напряжений представляет собой трехлучевую звезду в которой вектора фазных напряжений сдинуты друг относительно друга на 120⁰. Векторные диаграммы рисуют для действующих значений.

Первая из векторных диаграмм называется полярной, а вторая называется топографической.

Рассмотрим треугольник построенный на векторах напряжений U_B, U_C и U_BC :

Из этого треугольника следует, что

U_BC / 2 = U_B cos 30⁰ или U_Л / 2 = U_Ф cos 30⁰ = U_Ф/2

U_Л = U_Ф.

Мы видим, что линейное напряжение в раз больше фазного и опережает его на 30⁰.

Звезда векторов линейных напряжений повернута относительно звезды векторов фазных напряжений на 30⁰ против часовой стрелки.

Полученное соотношение для связи фазного и линейного напряжений справедливо только при симметричной системе фазных напряжений.

Уравнение для связи фазного и линейного напряжений можно получить и аналитически из формулы связывающей мгновенные значения напряжений:

u_А - u_В = u_АВ.

u_AB = u_m[ sin t - sin ( t - 2/3 )] = u_m[ sin t + cos ( t - /6 )] =

=u_m(sin t+costcos /6+sin tsin /6)=u_m(sint+/2cost+1/2sin t) =

=u_m( 3/2 sin t + /2 cos t ) = u_m(/2 sin t + 1/2 cos t )=

=u_m sin ( t + /6 ).

Из последней формулы видно, что линейное напряжение опережает фазное на 30⁰, а его действующее значение в превышает фазное.

При таком способе соединения обмоток генератора фазные токи равны линейным.

Соединение обмоток генератора звездой можно выполнять с нулевым проводом или без него.

Достоинством четырехпроводного соединения звездой является возможность получения системы двух напряжений: фазных - при включении каждого из приемников между нейтральным проводом и любым из линейных проводов и линейных напряжений - при соединении каждого из приемников к двум линейным проводам.

ГОСТом установлены следующие величины напряжения в сетях переменного трехфазного тока до 1000 В:

линейные - 220 В, 380 В, 660 В;

фазные - 127 В, 220 В, 380 В.

Соединение обмоток генератора треугольником выглядит следующим образом:

При соединении треугольником линейное напряжение равно фазному:

U_Ф = U_Л.

При соединении треугольником три фазы генератора образуют замкнутый контур с малым сопротивлением. Такое соединение допустимо, только в том случае, если сумма э.д.с. действующих в этом контуре будет равна нулю, а это возможно только в случае абсолютно одинаковых обмоток.

В противном случае в контуре, даже при отсутствии нагрузки возникнет значительный ток способный вызвать перегрев генератора и снижение его к.п.д.

В случае симметричных обмоток суммарная э.д.с. в контуре равна нулю.

В этом можно убедиться сложив вектора фазных э.д.с.:

На практике обмотки трехфазных генераторов всегда соединяют звездой.

Связано это с тем, что при отклонении э.д.с. источника от синусоидальной формы из-за наличия высших гармоник сумма мгновенных значений э.д.с. не будет равна нулю.

Кроме того соединение обмоток генератора звездой позволяет выполнять изоляцию обмоток на фазное напряжение, которое меньше линейного в раз (при напряжениях в десятки кВ это очень существенно).

Лекция № 5. Способы соединения фаз приемников трехфазного тока

Соединение отдельных фаз трехфазных приемников выполняют точно также как и соединение фаз источников: звездой и треугольником:

Нагрузка в цепях трехфазного тока классифицируется следующим образом :

1. неоднородная и неравномерная, если сопротивления фаз нагрузки различны по характеру и значению ( Z_a Z_b Z_c; _{a b c} );

равномерной, если сопротивления фаз равны по модулю, но отличаются по характеру ( Z_a = Z_b = Z_c; _{a b c} );

3. однородной, если сопротивления фаз нагрузки одинаковые по характеру, но отличаются по значению ( Z_a Z_b Z_c; _a = _b = _c );

симметричной, если сопротивления фаз нагрузки одинаковые по характеру и по значению ( Z_a = Z_b = Z_c; _a = _b = _c ).

Основной задачей расчета электрических цепей является определение токов в ветвях цепи при заданном напряжении на зажимах приемника. После этого определяются при необходимости и напряжения на отдельных ветвях. При таких расчетах обычно не рассматриваются характеристики источника. Для расчета должна быть задана система напряжений источника энергии, схема цепи, значения и тип сопротивлений ветвей.

Трехфазные цепи при соединении приемников звездой.

Рассмотрим трехфазную цепь при соединении обмоток генератора и фаз приемника звездой с нулевым проводом:

На этой схеме N - это нейтральная точка генератора, n - нейтральная точка приемника. Нейтральные точки соединены нейтральным проводом, имеющим некоторое сопротивление Z_N. Площадь поперечного сечения нулевого провода обычно берут равной половине площади поперечного сечения линейных проводов.При соединении звездой фазы генератора соединены последовательно с фазами приемника, поэтому линейные токи одновременно являются и фазными как в фазах генератора, так и в фазах нагрузки. За условно положительные направления линейных токов выбирают направление от источника к нагрузке, а за условно положительное направление тока в нейтральном проводе выбирается направление от нагрузки к источнику. В обмотках генератора индуцируется симметричная система э.д.с.. Пренебрегая потерями напряжения в обмотках генератора, можно считать, что системы фазных (U_A, U_B, U_C) и линейных (U_AB, U_BC, U_CA) напряжений генератора симметричны и неизменны. Сопротивления линейных проводов приймем равными нулю. Тогда система линейных напряжений приемника (U_ab, U_bc, U_ca) будет совпадать с системой линейных напряжений генератора. Нарисуем совмещенную векторную диаграмму для системы генератор-нагрузка. При построении векторных диаграмм напряжений удобно принимать потенциалы нейтральных точек равными нулю и исходя из нее строить вектора фазных напряжений. Линейные напряжения приемника равны линейным напряжениям генератора : U_AB = U_ab, U_BC = U_bc, U_CA = U_ca, а потенциалы точек А и а, В и b, С и с соответственно равны друг другу.

При конечном сопротивлении нулевого провода напряжение между нейтральными точками генератора и приемника, называемое смещением нейтрали, будет отлично от нуля: U_N. Вектор смещения нейтрали направлен из нейтральной точки генератора к нейтральной точке приемника. Фазные напряжения приемника будут определяться напряжением между нейтралью приемника и точками a, b и с. Смещение нейтрали можно найти используя законы Кирхгофа. Рассматриваемая электрическая цепь состоит из трех параллельных ветвей с источниками э.д.с. и одной параллельной ветви с пассивным элементом (нейтральный провод). Запишем для контуров, содержащих источники э.д.с. уравнения в соответствии со вторым законом Кирхгофа:

e_A = Z_ai_A + Z_Ni_N или

e_A =i_A/Y_a + u_N,

где Y_a = 1/Z_a- проводимость ветви a;

e_B = Z_bi_B + Z_Ni_N или

e_B =i_B/Y_b + u_N,

где Y_b = 1/Z_b- проводимость ветви b;

e_C = Z_ci_C + Z_Ni_N или

e_C =i_C/Y_c + u_N,

где Y_c = 1/Z_c- проводимость ветви c.

Запишем так же полученные уравнения в векторной форме:

E_A =I_A/Y_a + U_N, E_B =I_B/Y_b + U_N, E_C =I_C/Y_c + U_N

По первому закону Кирхгофа для узла n имеем:

I_N = I_A + I_B + I_C.

С другой стороны:

I_N = Y_NU_N.

Подставляя в уравнение для узла все токи получаем:

U_N = (Y_aE_A + Y_bE_B + Y_cE_C)/( Y_N + Y_a + Y_b + Y_c)

и поскольку мы считаем E_А U_А , E_В U_В ,E_C U_C окончательно получаем для смещения нейтрали выражение:

U_N = (Y_aU_A + Y_bU_B + Y_cU_C)/( Y_N + Y_a + Y_b + Y_c)

Фазные напряжения приемника - это напряжения между нейтралью приемника и соответствующими линейными проводами или на векторной диаграмме им будут соответствовать вектора направленные из точки n в точки a, b, c. Построенные таким образом вектора фазных напряжений приемника удовлетворяют уравнениям:

U_A = U_a + U_N, U_B = U_b + U_N, U_C = U_c + U_N.

Нейтральная точка приемника на векторной диаграмме в зависимости от проводимостей фаз и нейтрального провода может находиться в любом месте внутри треугольника линейных напряжений и даже вне его, что приводит к искажению звезды фазных напряжений приемника и изменению их значений.

Соединения звездой при симметричной нагрузке.