Задачи повышенной сложности для олимпиад по теоретическим основам электротехники и теории электрических цепей
Расчет электрических цепей постоянного тока, схема векторной диаграммы цепи на второй гармонике. Вычисление переходных процессов в линейных электрических цепях. Графики принужденного и свободного переходного напряжения. Сущность теоремы разложения.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.11.2015 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Некоммерческое акционерное общество
«Алматинский университет энергетики и связи»
Учебное пособие
Задачи повышенной сложности для олимпиад по теоретическим основам электротехники и теории электрических цепей
С.Ю. Креслина
Алматы 2013
УДК 621.3.71:519.6(275.8)
ББК 31.2 Я73
З-95 Учебное пособие. Е.Х. Зуслина, А.С. Баймаганов, С.Ю. Креслина Задачи повышенной сложности для олимпиад по теоретическим основам электротехники и теории электрических цепей.
АУЭС. Алматы, 2013. - 64 с.
ISBN 978-601-7327-19-4
В пособии рассмотрены задачи повышенной трудности по расчету электрических цепей постоянного тока, расчету электрических цепей синусоидально тока, расчету электрических цепей несинусоидального тока и расчету переходных процессов в линейных электрических цепях. Пособие предназначено для студентов специальностей бакалавриата 5В071900, 5В070400, 5В070300, 5В074600, 5В060200, 5В071600, 5В100200.
Табл.1, ил.45, библиогр. - 12 назв.
ББК 31.2 Я73
РЕЦЕНЗЕНТЫ: КазАТК канд. техн. наук. доц. Б.Н. Хусаинов
АУЭС канд. техн. наук. доц. Л.М. Саламатина
Печатается по плану издания Министерства образования и науки Республики Казахстан на 2012 г.
ISBN 978-601-7327-19-4
©НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2013г.
Содержание
- Введение
- 1. Расчет электрических цепей постоянного тока
- 1.1 Основные теоретические положения
- 1.1.1 Методы эквивалентных преобразований
- 1.1.2 Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока
- 1.2 Примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока
- 2. Расчет электрических цепей синусоидального тока
- 2.1 Основные теоретические положения
- 2.1.1 Расчет установившихся режимов линейных электрических цепей синусоидального тока
- 2.1.2 Резонанс в электрических цепях
- 2.2 Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока
- 3. Расчет электрических цепей несинусоидального тока
- 3.1 Основные теоретические положения
- 3.2 Примеры расчета электрических цепей с несинусоидальными ЭДС и токами
- 4. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях
- 4.1 Основные теоретические положения
- 4.1.1 Классический метод расчета
- 4.1.2 Операторный метод расчета
- 4.2 Примеры расчета переходных процессов в электрических цепях
- Список литературы
Введение
Дисциплины «Теория электрических цепей» и «Теоретические основы электротехники» являются базовыми курсами, на которые опираются профилирующие дисциплины всех специальностей АУЭС. Одним из значимых направлений деятельности кафедры «Теоретические основы электротехники» в процессе подготовки специалистов является работа с сильными, способными студентами. С этой целью кафедра ежегодно проводит университетскую Олимпиаду по ТЭЦ и ТОЭ для студентов 2-го курса. Олимпиада позволяет выявить наиболее талантливых учащихся и способствует повышению их интереса к изучению этих дисциплин.
Цель настоящего учебного пособия состоит в оказании помощи студентам при подготовке к олимпиаде по ТЭЦ и ТОЭ.
Как правило, конечной целью анализа электрических цепей является расчет мощностей её компонентов по заданным параметрам схемы. Мощность определяет материал, из которого изготавливается компонент, его габариты и стоимость. Также важно знать значения токов и напряжений элементов электрической цепи для расчета сечения проводников и свойств изоляционных материалов. И наоборот, целью синтеза электрических цепей является расчет параметров схемы по заданным значениям мощностей, токов и напряжений её компонентов. Именно этим целям и посвящены задачи, рассмотренные в настоящем учебном пособии.
Пособие включает задачи повышенной трудности по следующим разделам курсов ТЭЦ и ТОЭ: расчет электрических цепей постоянного тока, расчет электрических цепей синусоидально тока, расчет электрических цепей несинусоидального тока и расчет переходных процессов в линейных электрических цепях. Все задачи даны с подробными решениями, пояснениями, методическими указаниями, приведены основные положения теории и необходимые расчетные формулы.
1. Расчет электрических цепей постоянного тока
1.1 Основные теоретические положения
1.1.1 Методы эквивалентных преобразований
Замена нескольких последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным: .
Напряжение при последовательном соединении распределяется прямо пропорционально этим сопротивлениям:
,
Замена нескольких параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным: Для двух сопротивлений:
Токи в ветвях с параллельным соединением двух сопротивлений:
Формулы преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений и наоборот:
; ; ;
; ; .
1.1.2 Методы расчёта разветвленных электрических цепей постоянного тока
Законы Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю: .
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на элементах любого замкнутого контура электрической цепи, исключая ЭДС, равна алгебраической сумме ЭДС этого же контура: . Напряжения на линейных резисторах заменяют произведением на основании закона Ома для участка цепи.
Для записи уравнений по второму закону Кирхгофа в систему уравнений выбирают независимые контуры, не содержащие источников тока.
Метод контурных токов
Уравнения по методу контурных токов записываются в виде:
где - собственное сопротивление контура m, равное сумме сопротивлений ветвей, входящих в контур m;
- общее сопротивление контуров m и р, равное сумме сопротивлений смежных ветвей контуров m и р;
- напряжение на сопротивлении общей ветви контура р и контура n , содержащего источник тока ;
- алгебраическая сумма ЭДС контура р.
Метод узловых потенциалов
Потенциал одного из узлов принимают равным нулю. Для определения потенциалов остальных узлов составляют систему уравнений:
где - собственная узловая проводимость узла р, равная сумме проводимостей ветвей, присоединенных к узлу р;
- общая узловая проводимость узлов р и m, равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы р и m;
- алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединённых к узлу р на проводимости этих ветвей;
- алгебраическая сумма токов источников тока, присоединённых к узлу р.
Если электрическая схема содержит ветвь с идеальным источником ЭДС Е и с сопротивлением, равным нулю, то при составлении уравнений по методу узловых потенциалов к нулю приравнивают потенциал одного из узлов, к которому присоединена данная ветвь. Тогда потенциал другого узла этой ветви будет равен +E или -E, в зависимости от направления ЭДС.
1.2 Примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока
Задача 1.2.1 В электрической цепи (см. рисунок 1.1) задано:
1) ;
2) показания амперметров: ;
3) мощность источников ЭДС
Требуется определить:
1) значения и направления токов в ветвях электрической цепи;
2) значения резисторов R1, R2, R3.
Рисунок 1.1 - Схема электрической цепи
Решение.
Определим направления токов I1, I3.
Ток I1 должен быть направлен противоположно направлению Е1, а ток I3 совпадать с направлением Е3, тогда
Преобразуем треугольник с одинаковыми сопротивлениями R4=R5 =R6 = R = 6Ом в эквивалентную звезду сопротивлений. Сопротивления лучей звезды
.
Получим эквивалентную схему, приведенную на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 - Схема эквивалентной электрической цепи
Определим напряжение . Для простоты положим, что . Тогда , .
Это равенство выполняется при любом конечном значении R2 (при ).
Сопротивления R1 и R3 определяют из закона Ома для участка цепи:
Определим потенциалы :
;
;
.
Вернемся к исходной схеме и определим токи I4, I5, I6:
и направлен от узла 2. к. узлу 3, т.к. .
и направлен от узла 4 к узлу 3 .
и направлен от узла 4 к узлу 2 .
Задача 1.2.2 В электрической цепи (см. рисунок 1.3) заданы значения всех сопротивлений: ; ; ; , также известно значение напряжения Uab=100В.
Требуется:
1) определить значения токов в ветвях электрической цепи;
2) проверить выполнение баланса мощностей источников и нагрузки.
Рисунок 1.3 - Схема электрической цепи
Решение.
Примем ц1=0, тогда . Составим систему уравнений методом узловых потенциалов для узлов a и b:
(1.1)
Подставим значения сопротивлений и потенциалов:
(1.2)
Упростим систему уравнений (1.2). Для этого умножим второе уравнение на 1,6 и вычтем его из первого, получим:
(1.3)
, где =Uab =100В.
Найдем потенциалы узлов a и b, подставив в систему уравнений (1.3) найденное значение ЭДС Е =120В:
, .
Потенциалы остальных узлов:
.
Определим токи в ветвях схемы по закону Ома для участка цепи:
Токи в источниках ЭДС E определим из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа:
Проверим выполнение уравнения баланса мощностей источников и нагрузки:
Задача 1.2.3 В электрической цепи (см. рисунок 1.4) заданы значения всех сопротивлений и ЭДС: , , , .
Требуется:
1) определить значения токов в ветвях электрической цепи;
2) проверить выполнение баланса мощностей источников и нагрузки.
Рисунок 1.4 - Схема электрической цепи
Решение.
Преобразуем схему, заменив параллельно соединенные сопротивления одним сопротивлением, последовательно соединенные источники ЭДС одним:
, .
Получим эквивалентную схему, приведенную на рисунке 1.5.
Рисунок 1.5 - Схема эквивалентной электрической цепи
Рассчитаем потенциалы узлов, используя метод узловых потенциалов:
Определители системы уравнений:
; ; .
Потенциалы узлов ц3 и ц4:
; .
Токи в ветвях электрической цепи по закону Ома:
.
Вернувшись к первоначальной схеме, определим оставшиеся токи:
; .
Проверим выполнение баланса мощностей источников и нагрузки:
Задача 1.2.4 В электрической цепи (см. рисунок 1.6) заданы значения резисторов и показания амперметров и .
Требуется определить:
1) значения сопротивления резистора R4 и ЭДС E;
2) значения токов в резисторах R2 и R3;
3) как изменить значение сопротивление резистора R4, чтобы амперметр A1 показал ток, равный 5А.
4)
Рисунок 1.6 - Схема электрической цепи
Решение.
Заменим два параллельно соединенных сопротивления R2 и R3 одним эквивалентным:
.
Определим сопротивление резистора R4, используя показания амперметров, первый закон Кирхгофа и закон Ома:
; ;
.
Определим значение ЭДС из уравнения по второму закону Кирхгофа:
.
Определим токи в резисторах R2 и R3 по закону Ома или по формуле разброса тока по двум параллельным ветвям:
или ;
или .
Определим эквивалентное входное сопротивление схемы, при котором амперметр A1 покажет ток 5А:
.
Выразим эквивалентное входное сопротивление схемы через R4:
или .
Рассчитаем значение сопротивления резистора R4:
, .
Задача 1.2.5 В электрической цепи постоянного тока, показанной на рисунке 1.7, заданы значения ЭДС и сопротивления резисторов:
Известны также мощности, потребляемые резисторами R1, R3 и R4, соответственно и .
Рисунок 1.7 - Схема электрической цепи
Требуется найти мощность, потребляемую резистором R2, если известно, что в частях схемы, заключенных в прямоугольники, источников нет.
Решение.
По известным значениям мощностей и сопротивлений резисторов можно рассчитать токи в резисторах I1, I3 и I4:
Далее запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для показанного на рисунке 1.7 сечения схемы (при указанных направлениях токов):
.
Из этого уравнения можно получить следующие возможные значения тока I2:.
Однако при всех значениях тока I2, кроме значения I2 = 4A, т.е., только при этом значении тока I2 выполняется баланс мощностей источников и нагрузки.
Таким образом, мощность потребляемая резистором R2:
.
2. Расчет электрических цепей синусоидального тока
2.1 Основные теоретические положения
2.1.1 Расчет установившихся режимов линейных электрических цепей синусоидального тока
Расчет установившихся режимов линейных электрических цепей синусоидального тока аналогичен расчету электрических цепей постоянного тока, с той лишь разницей, что все параметры цепи записывают в комплексной (символической) форме. Использование комплексных чисел для представления синусоидальных функций времени позволяет заменить дифференцирование умножением на jщ, а интегрирование - делением на jщ, то есть перейти от интегро-дифференциальных уравнений, составленных относительно мгновенных значений, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексных значений. Использование комплексных чисел позволило также ввести понятия индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений, а следовательно и записать закон Ома для индуктивности и емкости аналогично как и для активного сопротивления.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов токов в узле равна нулю:
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов падений напряжений на участках замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексов ЭДС этого же контура: . Напряжения на линейных элементах схемы заменяют произведением на основании закона Ома для участка цепи, где - полное комплексное сопротивление ветви схемы.
Комплексная мощность равна произведению комплекса действующих значений напряжения на сопряженный комплекс действующего значения тока: . - активная мощность, - реактивная мощность.
2.1.2 Резонанс в электрических цепях
Резонанс - это резкое увеличение амплитуды колебаний напряжения или тока. Различают резонанс напряжений, возникающий в последовательном колебательном LC-контуре, и резонанс токов - в параллельном LC-контуре.
Резонанс возникает в электрической цепи, содержащей индуктивность L и емкость C, при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой свободных колебаний щ0 LC-контура.
Основным признаком, что цепь находится в режиме резонанса, является совпадение по фазе входных напряжения и тока, то есть входное сопротивление или проводимость LC-контура при резонансе является чисто активным.
Резонансную частоту (частоту свободных колебаний щ0) удобно находить для последовательного колебательного LC-контура, приравняв к нулю реактивную составляющую входного сопротивления x=0, а для параллельного - реактивную составляющую входной проводимости b=0.
2.2 Примеры расчета электрических цепей синусоидального тока
Задача 2.2.1 В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 2.1, известны действующие значения: тока I=2A, входного напряжения Uвх=100В, напряжения на катушке индуктивности Uab=173В и напряжения на конденсаторе Ubc=100В.
Рисунок 2.1 - Схема электрической цепи
Требуется определить:
1) комплексные сопротивления катушки индуктивности Zкат. и конденсатора ZC;
2) построить векторную диаграмму напряжений;
3) рассчитать активную и реактивную мощности электрической цепи.
Решение.
Построим векторную диаграмму цепи, начиная с вектора тока, приняв его начальную фазу за ноль. Вектор напряжения на емкости Ubc=100В отстает по фазе от вектора тока на 90є. Вектор напряжения на реальной катушке индуктивности с потерями опережает вектор тока на угол цкат., меньший, чем 90є. Складывая векторы напряжений на емкости и катушке индуктивности, получим вектор входного напряжения. В полученном треугольнике известны все стороны - действующие значения напряжений. Определим углы треугольника (см. рисунок 2.3):
; ;
; .
Рисунок 2.3 - Векторная диаграмма
Определим значения сопротивлений:
;
; ; .
Рассчитываем мощности:
;
.
Задача 2.3.2 В цепи синусоидального тока, показанной на рисунке 2.4, дано:
Рисунок 2.4 - Схема электрической цепи
Определить, каким должно быть соотношение амплитуд и сдвиг фаз между напряжениями синусоидальных источников и , чтобы оба эти источника вырабатывали только активную мощность?
Решение.
Источники будут вырабатывать только активную мощность, если их напряжения и токи совпадут по фазе. По методу узловых потенциалов:
где .
Токи и определяются по закону Ома для участка цепи:
Учитывая, что эти токи должны совпадать по фазе, соответственно, с и , можно записать:
где a и b некоторые действительные числа.
Таким образом, требуемое условие будет выполнено, если
(2.1)
и
. (2.2)
Отсюда имеем
и .
Обозначим Тогда и после подстановки числовых значений получаем
и .
Отсюда имеем два уравнения относительно и :
Тогда
Таким образом, соотношение амплитуд должно равняться и должна опережать по фазе на 45°.
Задача 2.2.3 В трехфазной цепи (см. рисунок 2.5), соединенной треугольником, задано линейное напряжение и сопротивления фаз , .
Требуется определить:
1) фазные и линейные токи;
2) показания ваттметров;
3) активную мощность системы при обрыве линейного провода фазы «А».
Рисунок 2.5 - Схема трехфазной цепи
Решение.
Определяем комплексные фазные напряжения и токи. По найденным фазным токам определяем линейные токи.
Фазные напряжения:
.
Фазные токи: ;
;
.
Линейные токи: ;
;
.
Определяем показания ваттметров:
;
.
Строим векторную диаграмму в аварийном режиме при обрыве линейного провода фазы «А».
Рисунок 2.6 - Векторная диаграмма
Из диаграммы определяем напряжение:
Рассчитываем ток и активную мощность в фазе ab, так как только в ней есть активное сопротивление:
, .
Задача 2.2.4 В схеме, приведенной на рисунке 2.7, ЭДС , и образуют симметричный трехфазный источник напряжения прямой последовательности, а ЭДС , и - симметричный источник обратной последовательности (т.е., , ).
Рисунок 2.7 - Схема трехфазной цепи
Фазные напряжения и частота обоих источников одинаковые, но отстает по фазе от на некоторый угол б. Модули всех сопротивлений равны между собой: XL=XC=R.
Найдите, какое максимальное и какое минимальное линейное напряжение может быть получено на любой паре из точек A, B и C путем изменения угла сдвига фаз б, если фазное напряжение источников Uф равно 220В. Укажите, также, конкретные значения угла сдвига фаз б, при которых одно (любое) линейное напряжение имеет максимальное и минимальное значения.
Решение.
Общий режим цепи, получающийся в результате наложения двух симметричных режимов прямой и обратной последовательностей, конечно, будет несимметричным, т.е. при определенном значении угла сдвига фаз б модули линейных напряжений UAB, UBC и UCA вообще будут различными. Однако изменением угла сдвига фаз б можно добиться того, что максимальное значение поочередно принимают все три линейные напряжения. Благодаря симметрии всех потребителей эти максимальные (а также минимальные) значения линейных напряжений будут одинаковыми. Поэтому достаточно исследовать только одно линейное напряжение.
Рисунок 2.8 Рисунок 2.9
Ток фазы А в сопротивлении R можно найти наложением токов, полученных для схем на рисунках 2.8 и 2.9. Допустимо также объединение этих двух схем в одну, так как вследствие симметрии потребителей нулевая последовательность отсутствует. Следовательно, введение нулевого провода допустимо как в частных симметричных режимах, так и в общем режиме.
Из этих схем, с учетом того, что XL=XC=R, получим
. Тогда .
Отсюда можно выразить линейное напряжение :
.
Для модуля напряжения имеем .
Далее, для строгого нахождения максимума и минимума UAB следовало бы слагаемые представить в виде: , , , . Затем выделить в действительную и мнимую части и возведением этих частей в квадрат выразить квадрат модуля . После этого дифференцированием по б можно найти экстремальные значения. Однако все эти операции получаются сравнительно громоздкими. Поэтому можно ограничиться более простыми рассуждениями.
Представив в виде , видно, что слагаемые, заключенные в скобки, представляют собой линейные напряжения источников, значения которых не зависят от б и равны .
Таким образом, путем изменения угла сдвига фаз б можно добиться того, чтобы эти напряжения находились в противофазе или совпадали по фазе. В первом случае получим максимальное значение линейного напряжения , а во втором минимальное . Как видно из топографических диаграмм, приведенных на рисунках 2.10 и 2.11, в первом случае (см. рисунок 2.10), а во втором (см. рисунок 2.11).
Рисунок 2.10 Рисунок 2.11
В результате получим: .
3. Расчет электрических цепей несинусоидального тока
3.1 Основные теоретические положения
Расчёт линейных электрических цепей с несинусоидальными периодическими источниками питания распадается на три этапа:
а) Разложение периодических несинусоидальных функций времени (ЭДС и токов источников тока) в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье представляет собой ортогональную многомерную систему координат:
где A0 - постоянная составляющая, Bkm и Ckm - амплитуды синусной и косинусной гармонических составляющих:
, , .
Первая гармоническая составляющая с циклической частотой щ (при k=1) и периодом T самой несинусоидальной функции называется основной гармоникой, а гармоники, начиная со второй и выше, - высшими гармоническими составляющими.
б) Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений на элементах цепи для постоянной составляющей и для каждой из гармонических составляющих в отдельности. Расчет токов и напряжений для каждой гармонической составляющей проводят комплексным методом. При этом необходимо помнить, что индуктивное и емкостное сопротивления для различных гармоник изменяются. Индуктивное сопротивление с ростом частоты увеличивается, а емкостное уменьшается. Индуктивное и емкостное сопротивления k-той гармонической составляющей:
, .
Недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных гармонических составляющих.
в) Получение итоговых результатов по результатам расчета для постоянной и отдельных гармонических составляющих. Результатами расчетов, как правило, являются мгновенные и действующие значения токов и напряжений, а также активная и полная мощности элементов электрической цепи.
Мгновенные значения токов и напряжений получают как сумму мгновенных значений постоянной и гармонических составляющих, например:
.
Действующие значения токов и напряжений получают согласно тождеству Парсеваля (аналог теоремы Пифагора для многомерного ортогонального пространства):
,
.
Активная мощность элемента электрической цепи равна сумме активных мощностей постоянной и гармонических составляющих
,
где
Полная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока элемента электрической цепи
.
3.2 Примеры расчета электрических цепей с несинусоидальными ЭДС и токами
Задача 3.2.1 В электрической цепи (см. рисунок 3.1) заданы мгновенные значения несинусоидальной ЭДС , значение источника постоянной ЭДС E0=50В, активное R=100Ом и реактивные сопротивления для первой гармоники: , , .
Рисунок 3.1 - Схема электрической цепи
Требуется определить: действующие и мгновенные значения токов в ветвях схемы, действующее и мгновенные значения напряжения на емкости.
Решение.
Расчёт постоянных составляющих токов и напряжения на емкости:
I20=0, так как при uC(t) = const;
;
, так как и .
Расчёт составляющих токов и напряжения на емкости для первой гармоники:
;
комплексное сопротивление участка «1-2» цепи
(резонанс токов на 1-ой гармонике);
, ;
Расчёт для второй гармоники:
;
;
(резонанс напряжений на 2-ой гармонике);
согласно первому закону Кирхгофа
;
.
Расчёт действующих значений токов и напряжения на емкости:
Мгновенные значения токов и напряжения на конденсаторе uC(t):
Задача 3.2.2 В электрической цепи (см. рисунок 3.2) задано:
; ; ;
.
Рисунок 3.2 - Схема электрической цепи
Требуется:
1) определить емкости конденсаторов С1 и С2 такие, чтобы ток в резисторе R2 был равен нулю. Причем емкость конденсатора С1 должна быть меньше чем С2;
2) рассчитать показание амперметра электромагнитной системы (т.е. действующее значение тока в индуктивности L1);
3) рассчитать активную Pист., реактивную Qист., и полную Sист. мощности источника.
Решение.
1) Определим емкости С1 и С2.
На 1-ой гармонике должен быть резонанс напряжений в контуре L2C2, а на 2-ой гармонике - резонанс токов в контуре L1C1. Индуктивность L3 шунтирует резистор R2 на постоянном токе. В результате получим ток в резисторе R2, равный нулю.
Определим реактивные индуктивные сопротивления на 1-ой и 2-ой гармониках:
;
2) Определим ток в индуктивности на всех гармониках :
Для постоянной составляющей:
.
Для первой гармоники: так как ;
;
Для второй гармоники: , так как .
,
.
Действующее значение тока в индуктивности :
.
3) Рассчитаем мощности источника:
;
, где
Задача 3.2.3 В электрической цепи (см. рисунок 3.3) задано:
;
.
Рисунок 3.3 - Схема электрической цепи
Определить:
1) мгновенные и действующие значения токов i1, i2, i3 и напряжения на конденсаторе uc;
2) мощность, выделяемую в сопротивлении R1.
Решение.
Постоянные составляющие:
.
На основной и 2-ой гармониках цепь содержит один источник e1(t).
(резонанс токов), тогда .
Для 2-ой гармоники сопротивление третьей ветви равно нулю:
(резонанс напряжений),
тогда .
.
Находим мгновенные и действующие значения токов и напряжения на конденсаторе:
Задача 3.2.4 При подаче на вход некоторого пассивного двухполюсника несинусоидального напряжения были измерены действующее значение входного тока I = 5A, а также активная P = 40Вт и реактивная мощности Q = 30вар, потребляемые двухполюсником. После этого эксперимент был повторен при действии другого входного напряжения, в котором был сохранен прежний гармонический состав, а также амплитуды и начальные фазы гармоник, но частота основной гармоники была удвоена по сравнению с первым экспериментом. При этом оказалось, что действующее значение тока, активная и реактивная мощности сохранили прежние значения.
Требуется записать аналитические выражения мгновенных значений тока двухполюсника, как для первого, так и для второго экспериментов, если известно, что начальные фазы различных гармоник тока могут отличаться только на угол, не достигающий 90°. Что можно сказать о внутренней схеме двухполюсника для объяснения полученных результатов?
Решение.
В первом эксперименте ток может содержать первую и вторую гармоники: ,
а во втором - вторую и четвертую гармоники:
.
При этом вторая гармоника одинакова в обоих случаях. Тогда можно составить выражения для активной и реактивной мощностей и действующего значения тока в обоих экспериментах:
Вт; (3.1)
вар; (3.2)
А2; (3.3)
Вт; (3.4)
вар; (3.5)
А2. (3.6)
Из уравнений (3.3) и (3.6) видно, что . Также из сравнения выражений (3.1) с (3.4) и (3.2) с (3.5) видно, что .
Далее, используя выражения (3.1) и (3.2) (или (3.4) и (3.5)), составим сумму откуда после сокращения на 10 получим:
, или
.
Так как , то получим .
Отсюда имеем три варианта: либо , либо , либо . В последнем случае , что противоречит условию задачи о том, что сдвиг фаз не должен достигать 90°. Поэтому остаются только два варианта: (в этом случае также ), либо .
Оба эти варианта удовлетворяют условию задачи, поэтому имеем два решения:
- в случае как для первого, так и для второго экспериментов имеем
А,
- в случае имеем для первого эксперимента
А,
- для второго эксперимента
А.
Полученный результат можно объяснить тем, что в первом случае схема двухполюсника содержит два последовательно соединенных параллельных LC-контура резонанса токов, настроенных на первую и четвертую гармоники, а во втором случае - один такой контур, настроенный на вторую гармонику.
Задача 3.2.5 В электрической цепи (см. рисунок 3.4) задано:
Рисунок 3.4 - Схема электрической цепи
Требуется определить:
1) емкость конденсатора, при которой цепь будет находиться в режиме резонанса на 2-ой гармонике;
2) показания приборов в этом режиме.
Решение.
Расчет постоянной составляющей.
, так как в ветви находится конденсатор,
,
Расчет второй гармоники.
Приведем два варианта расчета емкости:
1-ый вариант.
Определим проводимости второй и третьей ветвей по условию резонанса Im{Y2+Y3}=0.
Запишем уравнение для проводимости второй ветви. Умножим дробь на сопряженное знаменателю выражение и выделим действительную и мнимую части. Рассчитываем значение емкости конденсатора.
;
;
;
.
2-ой вариант.
Запишем эквивалентное сопротивление для исходной схемы. Преобразуем и выделим действительную и мнимую части.
.
По условию резонанса:
, ;
.
Для дальнейших расчетов схему удобно представить в преобразованном виде. Эквивалентная преобразованная схема приведена на рисунке 3.5.
Рисунок 3.5 - Эквивалентная схема электрической цепи
Активные сопротивления эквивалентной схемы:
,
Ток и активная мощность источника на 2-ой гармонике:
.
Реактивная мощность источника равна нулю, так как на второй гармонике схема находится в режиме резонанса (Im{Yвх}=0) .
Напряжение второй гармоники на участке 2-3 схемы:
.
Токи во второй и третьей ветвях найдем по исходной схеме:
Активная мощность нагрузки на второй гармонике:
.
Баланс активных мощностей источника и нагрузки на второй гармонике выполняется: .
Рисунок 3.6 - Векторная диаграмма цепи на второй гармонике
Определим показания приборов.
Показание ваттметра:
Показание амперметра:
.
Показание вольтметра:
.
4. Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях
4.1 Основные теоретические положения
Переходный процесс возникает в электрических цепях, при различного рода воздействиях (подключении к цепи или отключении от цепи источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов), которые называются коммутациями. Коммутация осуществляется с помощью идеального ключа: сопротивление ключа в разомкнутом положении равно , в замкнутом - 0.
Будем считать, что коммутация происходит мгновенно . Начало отсчёта времени t = 0 совмещается с моментом коммутации.
Законы коммутации:
1) Ток в индуктивности непосредственно после коммутации сохраняет значение, которое он имел до коммутации при :
2) Напряжение на ёмкости непосредственно после коммутации сохраняет значение, которое оно имело до коммутации при :
Начальные условия ? значения токов и напряжений при t = 0.
Независимые начальные условия ? это значения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в момент коммутации t = 0, которые определяются на основании законов коммутации путем расчета установившегося режима в цепи до коммутации.
Зависимые начальные условия ? это значения токов и напряжений, а также их производных в момент коммутации t = 0, которые могут изменяться скачком, например: и т.п. Они определяются по схеме, образованной после коммутации, по законам Кирхгофа с учетом законов коммутации.
В данном пособии рассматриваются два метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях: классический и операторный.
4.1.1 Классический метод расчета
Порядок расчета переходных процессов классическим методом:
а) определяют независимые начальные условия и ;
б) записывают дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа, искомую переменную (ток или напряжение) представляют в виде:
;
в) определяют принуждённую составляющую путём расчёта установившегося режима в цепи после коммутации;
г) определяют свободную составляющую :
? составляют характеристическое уравнение любым методом, например, методом входного сопротивления, и вычисляют его корни;
? записывают свободную составляющую , выражение свободной составляющей зависит от вида корней характеристического уравнения и для цепи второго порядка имеет вид:
- при действительных и различных корнях < 0 и < 0
;
- при действительных и равных корнях ==р < 0
;
- при комплексно-сопряжённых корнях (б - коэффициент затухания, щсв - частота свободных колебаний)
или
.
? находят постоянные интегрирования, А1, А2 или А, ш. Для цепи второго порядка постоянные интегрирования определяются по начальным значениям искомой переменной и её первой производной .
Например, если корни характеристического уравнения действительные и различные:
, .
Если корни комплексно-сопряжённые:
, .
д) строят график .
4.1.2 Операторный метод расчета
Порядок расчета переходных процессов операторным методом:
а) определяют независимые начальные условия: ;
б) составляют эквивалентную операторную схему для цепи после коммутации. Ненулевые начальные условия учитываются введением внутренних (расчетных) ЭДС (или источников тока): в ветвях с индуктивностью вводится ЭДС , в ветвях с емкостью вводится ЭДС . Ниже приведены эквивалентные операторные схемы замещения пассивных элементов:
? резистивное сопротивление
, ;
? индуктивность
,
? ёмкость
, ;
в) рассчитывают по операторной схеме изображение искомой переменной (тока или напряжения) известными методами (законы Ома и Кирхгофа, МКТ, МУП, МЭГ и т.п.). Изображение имеет вид рациональной дроби:
где m < n, - характеристическое уравнение. Затем по изображению функции определяют ее оригинал - функцию времени;
г) оригинал определяют по теореме разложения (см. таблицу 4.1), по таблице оригиналов и изображений, с помощью обратного преобразования Лапласа.
Таблица 4.1 - Теорема разложения
|
Вид корней характеристического уравнения |
Теорема разложения |
|
|
простые вещественные корни характеристического уравнения |
где |
|
|
знаменатель имеет один нулевой корень: |
||
|
1. характеристическое уравнение имеет простые вещественные корни и комплексно-сопряженные корни 2. , - комплексные сопряженные корни уравнения |
1. 2. |
4.2 Примеры расчета переходных процессов в электрических цепях
Задача 4.2.1 В электрической цепи (см. рисунок 4.1), с параметрами:
,,
до коммутации был установившийся режим, создаваемый источником постоянной ЭДС . В момент ключи одновременно замыкаются.
Требуется определить: ток в ветви с ЭДС и построить его график.
Рисунок 4.1 - Схема электрической цепи
Решение.
Классический метод расчета переходного процесса.
Определим независимые начальные условия (ННУ) .
Рассчитаем установившийся режим в цепи до коммутации.
,
,
(4.1)
Запишем дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа для цепи после коммутации:
(4.2)
Ток i1(t) представим в виде суммы принужденного и свободного токов:
.
Определим принуждённый ток . Рассчитаем установившийся режим в цепи после коммутации.
. (4.3)
Определим свободный ток .
Получим характеристическое уравнение методом входного сопротивления:
Приравняем к нулю числитель:
. (4.4)
Подставим в уравнение (4.4) числовые значения:
.
Определим корни характеристического уравнения:
, .
Корни характеристического уравнения вещественные и различные. Свободный ток запишем в виде:
. (4.5)
Для определения постоянных интегрирования А1, А2 запишем ток i1 и определим его производную:
. (4.6)
.
Определим постоянные интегрирования А1, А2 по начальным значениям i1(0), i/1(0):
(4.7)
Найдём i1(0), i/1(0) из законов Кирхгофа, записанных для цепи после коммутации (4.2):
;
;
. (4.8)
Рассчитаем i1(0):
.
Продифференцируем выражение (4.8) и определим i/1:
. (4.9)
Запишем это уравнение для момента времени t=0:
.
Из законов Кирхгофа, записанных для момента времени t=0, найдём iL/(0), uc/(0) и определим i/1(0):
;
;
.
Подставим найденные числовые значения i1(0), i/1(0) в систему (4.7) и определим постоянные интегрирования:
;
А1 = ? 0,348, А2 = 0,089.
Подставим найденные значения А1= - 0,348, А2= 0,089 в выражение (4.6) и получим переходный ток :
.
Операторный метод расчета переходного процесса.
Независимые начальные условия определены в классическом методе и равны:
Нарисуем эквивалентную операторную схему для цепи после коммутации.
Рисунок 4.2 - Эквивалентная операторная схема
Определим изображение тока методом контурных токов:
(4.10)
Решим систему уравнений (4.10), определим :
,
.
, (4.11)
Определим корни характеристического уравнения
,
.
Таким образом, корни знаменателя изображения тока равны:
p = 0, .
Ток i1(t) запишем по теореме разложения в виде:
. (4.12)
Рассчитаем:
;
Подставим рассчитанные значения в теорему разложения (4,12), получим переходный ток:
.
На рисунке 4.3 показаны графики принужденного тока , свободного тока и переходного тока .
Рисунок 4.3 - График тока
Задача 4.2.2. В электрической цепи (см. рисунок 4.4) с постоянным источником ЭДС Е = 60В в момент времени t = 0 одновременно ключ К1 замыкается, а ключ K2 размыкается. Параметры цепи: резисторы R1=30 Ом, R2=70Ом, R3=30 Ом, индуктивность L = 10 мГн, емкость C = 2 мкФ.
Требуется:
1) определить ток iL(t) после коммутации;
2) построить график тока iL(t).
Рисунок 4.4 - Схема электрической цепи
Решение.
Классический метод расчета переходного процесса.
Определим независимые начальные условия (ННУ): iL(0), uC(0). Рассчитаем установившийся режим в цепи до коммутации.
Рисунок 4.5 - Схема электрической цепи до коммутации
(4.13)
По законам коммутации:
(4.14)
Запишем дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа для цепи после коммутации.
Схема цепи после коммутации представлена на рисунке 4.6.
Рисунок 4.6 - Схема электрической цепи после коммутации
Дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа для цепи после коммутации запишем в виде:
(4.15)
Ток iL(t) представим в виде суммы составляющих принужденного и свободного токов:
iL(t) = iLпр(t) + iLсв(t).
Определим составляющую принуждённого тока iLпр(t). Рассчитаем установившийся режим в цепи после коммутации.
(4.16)
Определим составляющую свободного тока iLсв(t).
Получим характеристическое уравнение методом входного сопротивления:
.
Приравняем к нулю числитель, подставим числовые значения и определим корни характеристического уравнения:
(4.17)
Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные. Составляющую свободного тока запишем в виде:
.
Запишем переходный ток
(4.18)
Для определения постоянных интегрирования А и ш возьмем производную по времени t от тока iL(t):
. (4.19)
Запишем выражения (4.18) и (4.19) для момента времени t = 0:
(4.20)
Значение производной найдем из второго уравнения системы (4.15), записанного для момента времени t = 0:
.
Подставим значения iL(0)=1А и = 0 в систему уравнений (4.20), получим:
(4.21)
Подставим во второе уравнение системы (4.21):
(4.22)
Поделим первое уравнение системы (4.22) на второе, получим:
, ;
постоянную интегрирования А определим по формуле:
.
Подставим найденные значения в выражение (4.18) и получим переходный ток iL(t):
.
Операторный метод расчета переходного процесса.
Независимые начальные условия определены в классическом методе и равны: .
Нарисуем эквивалентную операторную схему для цепи после коммутации.
Рисунок 4.7 - Эквивалентная операторная схема
Определим изображение тока IL(p) методом контурных токов:
(4.23)
Решим систему уравнений (4.23) и найдем :
, (4.24)
где
.
Таким образом, корни знаменателя тока IL(p) равны:
, .
Ток iL(t) запишем по теореме разложения в виде:
. (4.25)
Рассчитаем:
Подставим рассчитанные значения в выражение теоремы разложения (4.25), получим переходный ток iL(t):
На рисунке 4.8 показаны графики составляющих принужденного iLпр(t) и свободного iLсв(t) токов, а также переходного тока iL(t).
Рисунок 4.8 - Графики тока iL(t) и его составляющих
Задача 4.2.3. В электрической цепи (см. рисунок 4.9) в момент времени ключ К переключается с полюса 3 на полюс 1. Параметры цепи: постоянный источник ЭДС , сопротивления , индуктивность , конденсатор емкостью .
Требуется: определить: напряжение на емкости uC (t) после коммутации; построить график напряжения на емкости uC(t); определить токи во всех ветвях цепи после коммутации.
Рисунок 4.9 - Схема электрической цепи
Решение.
Классический метод расчета переходного процесса.
Определим независимые начальные условия (ННУ): Рассчитаем установившийся режим в цепи до коммутации.
Рисунок 4.10 - Схемы для расчета ННУ
(4.26)
Уравнения по законам Кирхгофа для цепи после коммутации запишем в виде:
(4.27)
Переходное напряжение uC(t) запишем в виде
.
Определим путем расчета установившегося режима в цепи после коммутации.
. (4.28)
Определим свободную составляющую напряжения на ёмкости .
Составим характеристическое уравнение методом входного сопротивления:
.
Приравняем к нулю числитель и получим характеристическое уравнение в виде:
. (4.29)
Подставим числовые значения и определим корни характеристического уравнения: ; .
Корни характеристического уравнения вещественные и различные. Свободную составляющую напряжения запишем в виде:
.
Для определения постоянных интегрирования А1, А2 запишем напряжение uC(t) и определим его производную :
; (4.30)
.
Постоянные интегрирования А1, А2 определим по начальным значениям uC(0), :
(4.31)
Начальное значение uC(0)=100В. Производная . Найдем iC(0) из первого и третьего уравнений, записанных по законам Кирхгофа для цепи после коммутации в начальный момент времени t = 0 (4.27):
(4.32)
Из второго уравнения определим i(0), подставим в первое уравнение и найдем ток iC(0), а затем :
;
;
.
Подставим uC(0)=100В и в систему уравнений (4.31) и определим постоянные интегрирования А1 и А2:
.
Подставим найденные значения А1, А2 в выражение (4.30) и получим переходное напряжение на конденсаторе uC(t):
.
Определение токов во всех ветвях цепи после коммутации по найденному значению uC(t):
. (4.33)
Операторный метод расчета переходного процесса.
Независимые начальные условия определены в классическом методе и равны: .
Нарисуем эквивалентную операторную схему для цепи после коммутации.
Рисунок 4.11 - Эквивалентная операторная схема
Изображение напряжения на конденсаторе найдем методом двух узлов:
. (4.34)
Преобразуем выражение (4.34), получим:
. (4.35)
Подставим числовые значения в выражение для изображения напряжения:
,
где
, .
Корни уравнения равны:
.
Таким образом, корни знаменателя изображения напряжения UC (p) равны: , .
Так как знаменатель имеет нулевой корень и корни характеристического уравнения вещественные и различные, uC(t) запишем по теореме разложения в виде:
. (4.36)
Определим выражение производной и рассчитаем для p1 и p2:
Рассчитаем остальные компоненты выражения (4.36):
;
.
Подставим рассчитанные значения в выражение (4.36) и получим напряжение на конденсаторе uC(t):
.
Рисунок 4.12 - Графики принужденного и свободного переходного напряжения uC(t)
Задача 4.2.4. В электрической цепи (см. рисунок 4.13) с источниками постоянной ЭДС: Е1=100В и Е2=50В, сопротивлениями: R1 = R3 = 40Ом, R2 = =R4 = 60Ом, R5 = R6 = 20Ом, индуктивностью L = 20 мГн, емкостью С = 2 мкФ: в момент времени t = 0 ключ К размыкается и в цепи происходит переходный процесс.
Определить: ток , напряжение после коммутации и построить графики и .
Рисунок 4.13 - Схема электрической цепи
Решение.
Переходный процесс в цепи рассчитаем классическим методом.
Определим независимые начальные условия: .
Независимые начальные условия определяются путем расчета установившегося режима в цепи до коммутации (см. рисунок 4.14).
Рисунок 4.14 - Схема электрической цепи до коммутации
Найдем напряжение u12(0 -) по методу двух узлов:
.
Токи рассчитаем по закону Ома:
.
Напряжение на конденсаторе в цепи до коммутации равно:
.
По законам коммутации:
(4.37)
После размыкания ключа заданная электрическая цепь распадается на две независимые цепи первого порядка (см. рисунки 4.15 а и 4.15 б).
Рисунок 4.15 - Электрические цепи после коммутации
Для нахождения емкостного тока iС(t) рассчитаем переходный процесс в цепи (см. рисунок 4.15 а). Так как ток в емкости равен , рассчитаем переходное напряжение на емкости uC(t). Переходное напряжение на емкости представим в виде: uC(t) = uCпр(t)+uCсв(t).
Определим принужденное напряжение на емкости uCпр(t), путем расчета установившегося режима в цепи после коммутации (см. рисунок 4.16 а).
Рисунок 4.16 - Эквивалентные схемы для расчета установившихся режимов после коммутации
Как видно из рисунка 4.16 а, .
Определим свободное напряжение на емкости uCсв. Характеристическое уравнение получим методом входного сопротивления. Входное сопротивление цепи (см. рисунок 4.15 а) имеет вид:
. (4.38)
Приравняем Z(p) к нулю и определим корень характеристического уравнения Z(p) = 0:
; .
Свободную составляющую uCсв(t) и результирующее переходное uC(t) напряжения на емкости запишем в виде:
, .
Найдем постоянную интегрирования А по начальному значению напряжения uC(0)=73,1 В:
73,1 = 100+А, отсюда определим А=73,1 - 100 = - 26,9 В.
Переходное напряжение на ёмкости равно:
.
Определим ток в цепи:
. (4.39)
Как видно из выражения (4.39), принужденный ток в емкости равен нулю и .
График тока приведен на рисунке 4.17.
Рисунок 4.17 - График переходного тока iC(t)
Для нахождения напряжения на индуктивности uL(t) рассчитаем переходный процесс в цепи (см. рисунок 4.15 б). Так как напряжение на индуктивности uL(t) равно , рассчитаем ток в индуктивности iL(t). Ток в индуктивности представим в виде: iL(t) = iLпр(t)+ iLсв(t).
Подобные документы
Основные законы электрических цепей. Освоение методов анализа электрических цепей постоянного тока. Исследование распределения токов и напряжений в разветвленных электрических цепях постоянного тока. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований.
лабораторная работа [212,5 K], добавлен 05.12.2014Расчет электрических цепей переменного тока и нелинейных электрических цепей переменного тока. Решение однофазных и трехфазных линейных цепей переменного тока. Исследование переходных процессов в электрических цепях. Способы энерго- и материалосбережения.
курсовая работа [510,7 K], добавлен 13.01.2016Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока. Расчет однофазных и трехфазных линейных электрических цепей переменного тока. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих конденсатор и сопротивление.
курсовая работа [4,4 M], добавлен 14.05.2010Общие теоретические сведения о линейных и нелинейных электрических цепях постоянного тока. Сущность и возникновение переходных процессов в них. Методы проведения и алгоритм расчета линейных одно- и трехфазных электрических цепей переменного тока.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 01.02.2012Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока, однофазных и трехфазных линейных электрических цепей переменного тока. Переходные процессы в электрических цепях. Комплектующие персонального компьютера.
курсовая работа [393,3 K], добавлен 10.01.2016Расчет линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока. Определение реактивного сопротивления элементов, составление баланса активных и реактивных мощностей с целью исследования переходных процессов в одно- и трехфазных электрических цепях.
контрольная работа [8,2 M], добавлен 14.05.2010Расчет линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока. Анализ состояния однофазных и трехфазных электрических цепей переменного тока. Исследование переходных процессов, составление баланса мощностей, построение векторных диаграмм для цепей.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 23.10.2014Анализ состояния цепей постоянного тока. Расчет параметров линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока графическим методом. Разработка схемы и расчет ряда показателей однофазных и трехфазных линейных электрических цепей переменного тока.
курсовая работа [408,6 K], добавлен 13.02.2015Расчет линейной электрической цепи постоянного тока, а также электрических цепей однофазного синусоидального тока. Определение показаний ваттметров. Вычисление линейных и фазных токов в каждом трехфазном приемнике. Векторные диаграммы токов и напряжений.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 21.10.2013Анализ электрического состояния цепей постоянного или переменного тока. Системы уравнений для определения токов во всех ветвях схемы на основании законов Кирхгофа. Исследование переходных процессов в электрических цепях. Расчет реактивных сопротивлений.
курсовая работа [145,0 K], добавлен 16.04.2009
