Задачи повышенной сложности для олимпиад по теоретическим основам электротехники и теории электрических цепей

Определим принужденный ток в индуктивности i_Lпр(t), путем расчета установившегося режима в цепи после коммутации (см. рисунок 4.16 б).

Принуждённый ток в индуктивности равен:

. (4.40)

Определим свободную составляющую тока в индуктивности i_Lсв(t), для этого составим характеристическое уравнение методом входного сопротивления. Входное сопротивление цепи (см. рисунок 4.15 б) имеет вид:

.

Приравняем Z(p) к нулю и определим корень характеристического уравнения:

, откуда получим.

Свободную составляющую тока i_Lсв(t) и результирующий переходный ток в индуктивности i_L(t) запишем в виде:

. (4.41)

Найдем постоянную интегрирования А по независимому начальному значению тока в индуктивности i_L(0 -)=0,769А из уравнения составленного на основании закона коммутации :

0,5+А = 0,769, отсюда определим А = 0,769 - 0,5 =0,269А.

Переходный ток в индуктивности равен: .

Напряжение на индуктивности определим по формуле:

. (4.42)

электрический напряжение векторный ток

Как видно из выражения (4.42), принуждённая составляющая напряжения на индуктивности равна нулю и результирующее напряжение состоит только лишь из свободной составляющей u_L(t) = u_Lсв(t).

График напряжения на индуктивности u_L(t) приведен на рисунке 4.18.

Рисунок 4.18 - График переходного напряжения u_L(t)

Задача 4.2.5 Электрическая цепь (см. рисунок 4.19) содержит два источника с одинаковыми постоянными ЭДС Е = 100В, сопротивления и , индуктивности и , ёмкости и . В момент времени ключи К₁ и К₂ одновременно размыкаются.

Требуется:

1) определить напряжения на конденсаторах и после размыкания ключей;

2) определить токи в индуктивностях и после размыкания ключей;

3) построить графики , , , .

Решение.

Переходный процесс в цепи рассчитаем классическим методом.

Определим независимые начальные условия:

и .

Независимые начальные условия определим путем расчета установившегося режима в цепи до коммутации (см. рисунок 4.20). Как видно из рисунка 4.20, независимые начальные условия равны:

, ,

, .

Рисунок 4.19 - Схема электрической цепи

Рисунок 4.20 - Эквивалентная схема для расчета установившегося режима в цепи до коммутации

Схема электрической цепи после коммутации показана на рисунке 4.21.

Рисунок 4.21 - Схема электрической цепи после коммутации

Напряжение между узлами электрической цепи (см. рисунок 4.21) равно нулю (Е ? Е = 0), и электрическая цепь после коммутации распадается на две независимые цепи (см. рисунки 4.22 а и 4.22 б).

Рисунок 4.22 - Схемы для расчета , , ,

Рассчитаем переходной процесс в R₁L₁C₁ - цепи (см. рисунок 4.22 а) и определим и .

Найдем сначала переходное напряжение : .

Принуждённая составляющая напряжения и переходное напряжение состоит только из свободной составляющей: . Для определения свободной составляющей напряжения составим характеристическое уравнение методом входного сопротивления и найдем его корни.

Входное комплексное сопротивление цепи, где jщ заменено оператором p, приведем к общему знаменателю и приравняем к нулю числитель, получим:

. (4.43)

Корни характеристического уравнения (4.43) равны:

.

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, свободное напряжение запишем в виде:

. (4.44)

Постоянные интегрирования А и ш определим по начальным значениям напряжения и его первой производной , . Производная имеет вид:

.

Запишем и :

(4.45)

Начальное значение напряжения , так как , то равно: .

Подставим найденные значения , в систему уравнений (4.45), получим:

(4.46)

Решая систему уравнений (4.46), найдем постоянные интегрирования А и ш:

(4.47)

;

.

Подставим найденные значения постоянных интегрирования в выражение (4.44) и получим переходное напряжение на конденсаторе:

.

Ток в цепи определим по формуле:

. (4.48)

Чтобы сложить синусоидальные функции времени, применим комплексный метод расчета:

;

;

.

Перейдем к мгновенным значениям:

.

Таким образом, сумма двух синусоидальных функций равна:

. (4.49)

Подставим (4.49) в формулу (4.48) и получим выражение для тока :

. (4.50)

Графики напряжения тока представлены на рисунках 4.23 а и 4.23 б.

Рисунок 4.23 - Графики напряжения и тока

Рассчитаем переходной процесс в R₂L₂C₂ - цепи (см. рисунок 4.22 б) и определим , .

Найдем сначала переходное напряжение :

.

Принуждённая составляющая напряжения и переходное напряжение включает только свободную составляющую: .

Для определения свободной составляющей напряжения составим характеристическое уравнение методом входного сопротивления и найдем его корни. Комплексное сопротивление цепи (jщ > p) приведем к общему знаменателю, приравняем к нулю числитель, получим:

. (4.51)

Корни характеристического уравнения (4.51) равны:

.

Корни характеристического уравнения вещественные и различные, напряжение на емкости запишем в виде:

. (4.52)

Постоянные интегрирования определим по начальным значениям напряжения и его первой производной , . Производная имеет вид: .

Запишем и :

(4.53)

Начальное значение напряжения , так как , то равно

.

Подставим найденные значения и в систему уравнений (4.53), получим:

(4.54)

Решая систему уравнений (4.54), найдем постоянные интегрирования А₁ и А₂: А₁ = ?133,3 и А₂ = 33,3.

Подставим найденные значения постоянных интегрирования в выражение (4.52) и получим переходное напряжение на емкости:

.

Ток в цепи определим по формуле:

.

Графики напряжения и тока представлены на рисунках 4.24 а и 4.24 б.

Рисунок 4.24 - Графики напряжения и тока

Список литературы

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986. - 544 с.

2. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. - М.: Высшая школа,1981. - 333 с.

3. Основы теории цепей. Учебник для вузов/Г.В.Зевеке и др. - М.: Энергоиздат, 1989. - 528 с.

4. Теория линейных электрических цепей/Под редакцией И.Г.Кляцкина. - М.: Высшая школа, 1975.

5. Зернов И.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. - Л.: Энергия, 1972.

6. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник теории линейных электрических цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: ВШ, 1990.-544 с.

7. Основы теории цепей: Учебник для вузов/В.П.Бакалов и др. - М.: 2000. - 592 с.

8. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов. - М., 2000. -576с.

9. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. - т.1. - Санкт-Петербург: Питер, 2003. - 463 с.

10. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. - т.2. - Санкт-Петербург: Питер, 2003. - 576 с.

11. Жолдыбаева З.И., Зуслина Е.Х. Теория электрических цепей 1. Примеры расчета установившихся процессов в линейных электрических цепях. Учебное пособие. - Алматы: АИЭС, 2009.- 93 с.

12. Жолдыбаева З.И., Зуслина Е.Х. Теория электрических цепей 2. Примеры расчета установившихся и переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Учебное пособие. - Алматы: АИЭС, 2011. - 78 с.

Размещено на Allbest.ru