Кореляційні ефекти у процесі самоорганізації самоподібних стохастичних систем

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Кореляційні ефекти у процесі самоорганізації самоподібних стохастичних систем

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Симетрія представляє одну з найважливіших властивостей фізичної системи, яка суттєвим чином визначає їх поведінку. Це відбивається наявністю законів збереження, виконання яких значно розширює фізичну картину симетричного об'єкта. Найважливіші приклади такого роду дають властивості однорідності та ізотропності простору-часу, наслідком яких є закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу. Використання теореми Нетер дозволяє узагальнити такі властивості для опису простору станів фізичної системи, симетрія якого приводить до законів збереження узагальнених зарядів.

Дослідження систем, які проявляють фазові переходи, свідчить, що вони володіють особливим типом симетрії - відносно зміни масштабу. Це віддзеркалюється у самоподібності стохастичних систем, що приводить до автомодельного характеру процесів, які проходять у них. Завдяки цьому уведення масштабів, які необхідним чином змінюються у часі, приводить до універсальних скейлінгових законів залежності функції розподілу стохастичної системи. Із геометричної точки зору такі об'єкти подаються самоподібними просторово-часовими множинами дробової вимірності (фракталами).

Із формальної точки зору властивість самоподібності віддзеркалюється використанням однорідних функцій, визначених у такий спосіб, що дилатація їх аргументів подається степеневим множником із дробовим показником. Як свідчить теорія критичних явищ, таку поведінку виявляють макроскопічні величини типу густини ймовірності, статистичних моментів, кореляційних функцій, сприйнятливостей та ін. Послідовна картина еволюції такого роду систем досягається використанням формалізму дробових інтегралів та похідних, нелінійних рівнянь Фоккера-Планка.

Найважливіша властивість стохастичних систем, що підвладні флуктуаційному впливу зовнішнього середовища, полягає у їх самоорганізації. При цьому самоподібність віддзеркалюється мультиплікативним характером шуму, інтенсивність якого змінюється степеневим чином. Застосування польового формалізму дозволяє знайти поведінку найбільш імовірних значень стохастичної змінної та спряженого з нею імпульсу. Однак повна картина еволюції стохастичної системи із мультиплікативним шумом потребує дослідження статистичних моментів, які загалом можуть мати дробовий порядок.

Дослідження феноменологічної картини процесу самоорганізації, що подає фазовий перехід, індукований шумом, досягається у рамках синергетичного підходу. Його використання дозволяє подати нелінійні властивості стохастичної системи, наявність позитивних та негативних зворотних зв'язків, дію корельованих шумів та просторову неоднорідність системи. Характерна особливість систем, що самоорганізуються, полягає в тому, що сумісна дія нелінійності, просторової неоднорідності та корельованих шумів може приводити до реверсивних переходів, при яких упорядкований стан спостерігається у замкненій області зміни керуючого параметра.

Останнім часом зростає інтерес дослідження самоорганізовуваної критичності, процес якої подається випадковою послідовністю лавиноподібних переходів стохастичної системи у самоподібний критичний режим. На відміну від звичайного процесу самоорганізації тут критичний стан досягається не в єдиній точці, що відповідає фазовому переходу, а у кінцевому інтервалі зміни параметрів системи. Незважаючи на інтенсивне розвинення відповідної теорії, до останнього часу не були виявлені причини скейлінгової поведінки системи, а картина лавиноутворення досліджувалася лише чисельними методами та у наближенні середнього поля.

До моменту виконання даної роботи існували й інші проблеми теорії самоорганізації стохастичних систем. Перша з них полягає у встановленні зв'язку фрактальної вимірності фазового простору з показниками, які характеризують часову поведінку системи, її неадитивність та інтенсивність шумів. Остаточно не з'ясовано картину упорядкування стохастичних систем, зокрема, причини реверсивних переходів, індукованих шумом. Практично не досліджувався вплив крос-кореляційних зв'язків між різними стохастичними джерелами на картину упорядкування.

У колі сучасних проблем теоретичної фізики особливої актуальності набули дослідження стохастичних систем, які виявляють поведінку, властиву фазовим переходам. Теоретична схема, що дозволяє всебічно подати особливості поведінки таких систем, ґрунтується на використанні синергетичної концепції. Розвинення теорії стохастичних систем, що самоорганізуються, потребує: дослідження фрактальної картини фазового простору, у якому проходять процеси аномального перенесення; дослідження впливу скорельованих флуктуаційних джерел на картину нерівноважних фазових переходів, індукованих шумом; дослідження особливостей процесу упорядкування стохастичних систем, що виявляють реверсивну поведінку та поглинаючий стан; самоузгодженого опису стаціонарних станів, які виникають у процесі самоорганізовуваної критичності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота пов'язана із виконанням держбюджетних тем “Синергетична теорія конденсованих середовищ” (номер державної реєстрації 0103U000772, термін виконання 2003-2005рр.) та “Дослідження впливу флуктуаційного середовища на процеси упорядкування в стохастичних системах” (номер державної реєстрації 0104U002435, термін виконання 2004-2005рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою є розвинення теоретичних методів, які дозволяють описати самоорганізацію самоподібних стохастичних систем, що підвладні дії скорельованих флуктуаційних джерел. Для цього необхідно вирішити такі завдання:

· встановити зв'язок параметрів аномальної дифузії із фрактальною вимірністю фазового простору, динамічним показником та показником інтенсивності мультиплікативного шуму;

· описати процес еволюції неадитивної стохастичної системи залежно від параметра неадитивності та показника потужності мультиплікативного шуму;

· розробити польовий формалізм, що дозволяє описати фазові траєкторії у площині найбільш імовірних значень стохастичної змінної та амплітуди флуктуацій спряженої сили;

· описати процес упорядкування просторово розподілених систем з мультиплікативними шумами залежно від інтенсивності флуктуацій, параметра неоднорідності, керуючого параметра та ступеня кореляції шумів;

· розробити метод визначення моментів дробового порядку і на його основі описати поведінку параметра порядку та корелятора залежно від параметра неадитивності, ступеня забарвлення та показника мультиплікативного шуму;

· розвинути метод опису системи, що самоорганізується, залежно від дії стохастичного джерела з кінцевим часом кореляції;

· розробити картину нерівноважних фазових переходів, індукованих дією скорельованих стохастичних джерел у сильно- та слабкодисипативних системах;

· описати процес упорядкування стохастичної системи із скорельованими шумами залежно від характеру дисипації, ступеня крос-кореляції, параметра неоднорідності та керуючого параметра;

· розробити самоузгоджену модель формування лавини у процесі само-організованої критичності;

· описати неадитивний ансамбль лавин та встановити зв'язок показника їх розподілу за розмірами із динамічним показником, фрактальною вимірністю простору станів, показником аномальної дифузії, параметром неадитивності та числом степенів вільності системи, що самоорганізується.

Методи дослідження. Розвинутий у роботі формалізм ґрунтується на адіабатичному наближенні, теорії середнього поля та відповідній феноменологічній схемі, евклідовій теорії поля, розвиненні за кумулянтами, методі уніфікованої апроксимації кольорового шуму, а також на використанні теорії марковських процесів, нелінійних рівнянь Ланжевена та Фоккера-Планка із похідними дробового порядку. Також розроблено та використано методи і алгоритми чисельних експериментів, що моделюють поведінку стохастичних систем.

Об'єктом дослідження є процес самоорганізації стохастичних систем, який проявляється в універсальній поведінці статистичних характеристик залежно від параметрів флуктуаційних джерел.

Предмет дослідження становить нелінійна динаміка систем із ієрархічною будовою у нерівноважних умовах та самоорганізація, обумовлена зовнішнім впливом і корельованими шумами.

Наукова новизна одержаних результатів

· Доведено, що картина аномальної дифузії визначається ступенем неадитивності стохастичної системи, показником амплітуди мультиплікативного шуму та фрактальною вимірністю фазового простору, зростання якої приводить до спадання динамічного показника.

· Опис поведінки найбільш імовірних значень параметра порядку та амплітуди флуктуацій спряженої сили досягається використанням польового формалізму. Встановлено, що перехід, індукований шумом, реалізується при докритичних значеннях показника його інтенсивності. Проходженню такого переходу сприяють зменшення керуючого параметра та зростання часу автокореляції шуму. При закритичних значеннях показника інтенсивності шуму утворюється поглинаючий стан.

· Для самоподібної стохастичної системи розвинуто підхід, що дозволяє описати часову поведінку параметра порядку, одно- та двочасового кореляторів. Автокореляції мультиплікативного шуму приводять до реверсивного фазового переходу. Неадитивність стохастичної системи сприяє пониженню інтенсивності шуму, при якій відбувається упорядкування.

· Встановлено, що крос-кореляції адитивного та мультиплікативного шумів впливають подібно зовнішньому полю, величина якого визначається амплітудами та часом кореляції цих шумів. Показано, що кореляції флуктуацій приводять до переорієнтації параметра порядку, реверсивного фазового переходу і трансформації неперервного фазового перетворення у переривчасте.

· Встановлено, що зміна часу автокореляції флуктуацій амплітуди гідродинамічної моди приводить до реверсивного фазового переходу, шум спряженого поля забезпечує упорядкування в обмеженій області значень керуючого параметра, флуктуації якого індукують поглинаючий стан.

· Встановлено, що нескорельовані шуми у системах, які самоорганізуються, приводять до неперервного фазового переходу, а крос-кореляції флуктуацій сприяють переорієнтаційному та реверсивному переходам. Зростання часу крос-кореляцій приводить до реалізації переривчастого фазового переходу.

· Для опису формування лавини у процесі самоорганізовуваної критичності запропоновано синергетичну модель, що параметризується компонентами швидкості та нахилом поверхні руху. Показано, що такий режим досягається в умовах адіабатичної зміни швидкості лавини та прискореної зміни нахилу поверхні; переходу до такого режиму сприяють зростання флуктуацій вертикальної компоненти швидкості та нахилу.

· Запропоновано статистичну картину ансамблю лавин, поведінка якого подається самоузгодженою зміною їх розмірів, ентропії та енергії. Степеневий розподіл лавин за розмірами задається динамічним показником, фрактальною вимірністю простору станів, показником аномальної дифузії, параметром неадитивності. Встановлено, що флуктуації кінетичної енергії сприяють переходу системи в режим критичності, що самоорганізується, а зростання часу їх автокореляції приводить до збільшення критичної інтенсивності шуму.

Наукове та практичне значення одержаних результатів

· Розвинуті підходи аналізу рівняння Ланжевена з мультиплікативним шумом та нелінійного рівняння Фоккера-Планка дозволяють послідовно пояснити особливості аномального масоперенесення у конденсованих середовищах (наприклад, перенесення заряду в аморфних тілах).

· Розвинуті польові та статистичні підходи дозволяють виявити кінетичні особливості фазових переходів, викликаних мультиплікативною дією зовнішнього шуму в лазерах, електронних приладах, біологічних системах та ін.

· Показано, що вплив кореляцій шумів приводить до реверсивних, переорієнтаційних, неперервних та переривчастих фазових переходів, які спостерігаються в магнетиках, сегнетоелектриках, полімерних розчинах та біологічних системах (ансамблях молекул ДНК).

· Розвинута картина пояснює особливості перебудови дефектних структур у процесі пластичної деформації надміцних сплавів та процесу вибухової кристалізації у тонких плівках напівпровідників, та поведінки сипких середовищ.

Особистий внесок здобувача. У працях [1-3,5-13,17,18,20,21], виконаних сумісно із співавторами, здобувач брав участь у поставленні задач, аналітичних викладках, проводив чисельні розрахунки, а також обговоренні отриманих результатів. Зокрема:

У праці [1] автор брав участь у поставленні задач, розробленні методів статистичного подання впливу крос-кореляцій та процедури чисельного моделювання, одержував біфуркаційні та фазові діаграми у випадку диспергуючого коефіцієнта тертя. У праці [2] автору належать поставлення задачі та аналітичні розрахунки стаціонарної поведінки статистичних моментів. У праці [3] здобувач брав участь у поставленні задачі, особисто розвинув польову схему, одержав біфуркаційні та фазові діаграми, що ілюструють вплив кореляцій флуктуацій на характер утворення лавин, провів дослідження часових залежностей розміру лавин та спряженого імпульсу. У працях [5-7,9] автору належать поставлення задачі і аналітичні обчислення. Поставлення задачі, аналітичні обчислення та опис перебудови дефектної структури у полі пластичної деформації, одержання фазових діаграм автором проводилось у роботі [8]. У праці [10] здобувачу належать поставлення задачі, розвинення статистичного підходу врахування крос-кореляцій флуктуаційна на картину фазового переходу, чисельне розв'язання рівняння станів. У роботі [11] автору належать чисельне дослідження умов виникнення одинокої лавини у флуктуаційному середовищі, розробка картини поведінки ансамблю лавин (одержання фазових діаграм, моделювання степеневих розподілів за розмірами лавин), аналітичне дослідження аномальних режимів формування лавин. У працях [12,13] дисертант брав участь у поставленні задачі та узагальненні задач опису аномальної дифузії, еволюції найбільш імовірних величин і статистичних моментів, узагальнення та подання самоорганізовуваної критичності, проводив чисельні розрахунки щодо ієрархічного опису аномальної дифузії. У праці [14] здобувачу належать поставлення задачі та розвинення статистичної картини поведінки параметра порядку та автокорелятора, одержання фазової діаграми. У працях [17,20] здобувачем проводилися: поставлення задачі; аналітичні обчислення для одержання статичної схеми; чисельне розв'язання рівнянь станів; розроблення програмного забезпечення для проведення чисельного експерименту. У роботі [18] автор брав участь у поставленні задачі, одержанні стаціонарних рівнянь для параметра порядку та автокорелятора, обчисленні часових асимптотик та чисельному розв'язанні еволюційних рівнянь. У праці [21] дисертант виконував аналітичні обчислення щодо одержання польового лагранжіана, чисельні розрахунки стаціонарних станів та фазових діаграм, проводив чисельний експеримент.

Роботи [4,15,16,19,22-25] виконано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації

Основні результати дисертаційної роботи обговорювалися на наукових семінарах Сумського державного університету, Інституту монокристалів НАН України, Інституту металофізики НАН України, Інституту конденсованих середовищ НАН України, Університету Карла (Прага, Чехія), а також на таких конференціях: Симпозіумі “Порядок у металах та сплавах” (Київ, 1998), International Workshop “Nonequilibrium Physics at Short Time Scales” (Дрезден, Німеччина, 2000); Міжнародній науковій конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001); International School-Seminar “Coherent Evolution in Noisy Environments” (Дрезден, Німеччина, 2001); Міжнародній науковій конференції “Фізика і технологія тонких плівок” (Івано-Франківськ, 2003); XVI Міжнародній школі-семінарі “Spectrocsopy of Molecules and Crystals” (Севастополь, 2003); Міжнародній науковій конференції “Statistical Physics 2005: Modern Problems and New Applications” (Львів, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 25 статтях. Роботи [12,13] є оглядовими, стаття [4] є монооглядом, а робота [3] видана як розділ колективної монографії.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 342 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 348 найменування. У роботі міститься 98 рисунків (подано у тексті).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлено актуальність теми досліджень, сформульовано мету роботи та визначено її наукову новизну і практичне значення. Окреслено зв'язок роботи з науково-дослідницькими роботами, визначено особистий внесок автора у спільних публікаціях.

Розділ „Ефекти самоорганізації стохастичних систем” має оглядовий характер і містить матеріал, який стосується опису ефектів самоорганізації у стохастичних системах та методів їх дослідження. Показано, що нелінійні системи здатні активно реагувати на стохастичний вплив середовища, змінюючи не лише простір своїх станів, але й властивості середовища. Серед найактуальніших питань щодо самоорганізації динамічних систем у розділі виділяються: аномальна дифузія, що супроводжується уповільненням або прискоренням процесів перенесення із скейлінговими залежностями статистичних характеристик у часі та просторі; індуковані шумом фазові переходи; критичність, що самоорганізується за відсутності сталого впливу зовнішнього середовища. Показано, що системи із такою поведінкою характеризуються самоподібним фазовим простором. У розділі висвітлено, що наведені ефекти виникають унаслідок дії флуктуаційних джерел, які у багатьох випадках можуть бути корельованими.

Існуючі методи опису картини самоорганізації стохастичних систем загалом, потребують розвитку, оскільки не дозволяють адекватним чином не лише подати аномальні властивості прискореного та уповільненого процесів перенесення, але й виявити їх вплив на картину виникнення упорядкованих станів. Виявлено, що у рамках однопараметричних моделей систем, що зазнають реверсивні фазові переходи не вдається встановити вплив спряжених полів до амплітуди гідродинамічниї моди, що суттєво обмежує інформацію про характер упорядкування. У розділі показано, що реверсивні фазові переходи, які спостерігаються експериментально у сегнетоелектриках, розчинах полімерів та хімічних реакціях для пояснення дозволяють використання рівноважних теорій та комп'ютерного моделювання. Показано, що суттєвим недоліком існуючих теорій опису індукованого флуктуаціями упорядкування є нехтування крос-кореляційними властивостями стохастичних джерел, що суттєво звужує уявлення про статистичну картину самоорганізації. Акумулюючим ефектом самоорганізації у стохастичному середовищі є самоорганізована критичність, оскільки вона містить всі наведені характеристики складності поведінки, однак відповідної самоузгодженої теорії формування одиночної лавини або цілого ансамблю не запропоновано і не виявлено роль випадкових чинників при утворенні лавин. У висновках розділу докладно обґрунтовується необхідність розв'язання наведених задач, що у даній дисертаційній роботі об'єднуються в рамках однієї проблеми опису самоорганізації складних систем.

У зв'язку із поставленими задачами у розділі „Аномальна дифузія у системах із мультиплікативним шумом” доводиться, що перехід від звичайної броунівської до узагальненої дифузії із законами для середнього зміщення x(t)=0 та дисперсії x²(t)t^2H, H - показник Герста, при 0<H<1/2 відбувається уповільнення дифузії, а при H>1/2 - прискорення. Опис таких процесів досягається введенням ймовірностей стрибків у просторі W(r-r') та ймовірностей очікування частинки у даний момент часу (t-t'). Тоді еволюція густини ймовірності P(r,t) знайти частинку у точці r у момент часу t задається інтегральним рівнянням

формальний розв'язок якого досягається використанням перетворень Фур'є-Лапласа і набуває вигляду P_k(u)=(1-(u))(u[1-(u)W_k])^-1. При цьому ймовірності переходів та очікування набирають неаналітичного вигляду:

Відповідні асимптоти у прямому d-вимірному просторі є такими: W(s)|s|^-(d+), (t)t^-(1+), t,s=r-r'. Вирази дозволяють встановити, що у кінетичному рівнянні для P(r,t) процес прискореної дифузії задається дробовою похідною за простором порядку >0, а відповідно уповільнена дифузія - дробовою похідною за часом порядку 0<<1. Загальний вираз для показника Герста стає таким: H=/.

Використання стандартної теорії у випадку d=1 дозволяє подати узагальнений тип дифузії за рахунок переходу до самоподібних систем із мультиплікативним шумом, інтенсивність якого D₂(x)=x^2-, а дрейфова компонента D₁(x)x^1-, де . Відповідне рівняння Фоккера-Планка для густини ймовірності P(x,t) задається рядом Крамерса-Мойала

Відповідне рівняння Ланжевена для процесу x(t), що відповідає , має вигляд

Як показали аналітичні та чисельні розрахунки (рис.1) для мультиплікативного шуму з інтенсивністю D₂(x)=x^2a, де 0a1, показник Герста задається виразом

H^-1==2(1-a),

а внутрішня фрактальна вимірність фазового простору складає величину D=2(1-a). Натомість динамічний показник z=H^-1 визначається у такий спосіб: z= при <2 і z=2 при 2. Узагальнення одержаних виразів на випадок субдифузії дозволяє подати рівняння руху перших двох моментів у вигляді _tx=D₁(x), _tx²=D₂(x). Оскільки система є самоподібною, то динамічний показник обчислюється безпосередньо і виражається відношенням фрактальної вимірності до порядку похідної за часом: z=D/. Дослідження ефекту пам'яті у процесах аномального перенесення проводилося використанням дробово-диференціальних рівнянь еволюції та застосуванням формалізму функції пам'яті. Виявилося, що фрактальна вимірність фазового простору прямо пропорційно залежить від частки механічних каналів, у яких пам'ять частково зберігається.

При описі ієрархічної картини аномальної дифузії відповідне рівняння для густини ймовірності стає нелінійним:

.

Його розв'язок задається функцією ієрархічного зв'язку (P) мікро- та макроскопічного рівнів. Показано, що ієрархічні системи описуються узагальненою статистикою Цаліса. Це потребує здійснення переходу від звичайного до узагальненого логарифма lnln_q=(q-1)^-1(^q-1-1), який при параметрі неадитивності q1 зводиться до стандартного. Статистиці Цаліса відповідає вибір (P)=P і (P)=P^1/q. Дослідження поведінки самоподібної системи у автомодельному режимі при D₂(x)=[x_c(t)]^2a(x/x_c) та P(x,t)=[x_c(t)]^-1(x/x_c) з x_c(t)t^H і зазначеному виборі функцій ієрархічного зв'язку дозволило встановити залежність показника Герста від показника a амплітуди мультиплікативного шуму та параметра статистики q у вигляді

Виявлено, що зростання q переводить систему із субдифузійного режиму у супердифузійний із аномальною кореляційною функцією x(t)x(t')|t-t'|^2H(q). Отже, аномальні властивості дифузії можуть бути враховані мультиплікативним шумом із степеневим законом зміни його амплітуди.

У розділі „Кінетика стохастичної системи з мультиплікативним шумом” за встановленою моделлю флуктуацій у рамках польового формалізму досліджується вплив властивості самоподібності стохастичної системи та флуктуаційних кореляцій на кінетику індукованого шумом переходу. Основним об'єктом є система, що параметризується скалярним полем x(r,t), яке підпорядковується рівнянню Ланжевена

із детерміністичною силою f(x)=-dV/dx, визначеною потенціалом Ландау V(x)=x²/2+x⁴/4, де керуючий параметр відіграє роль знерозміреної температури, та амплітудою мультиплікативного шуму g(x)=|x|^a, інтенсивність якого визначається показником 0a1. Стохастична сила (r,t) подається гаусівським шумом із середнім значенням (r,t)=0 і кореляційною функцією (r,t)(r',t')=(r-r')C(t-t').

Дослідження кінетики індукованого шумом переходу досягається на основі евклідової теорії поля, підґрунтям якої є функціонал статистичної суми Z[x]=_t(_tx-f(x)-x-g(x)(r,t)), що дозволяє записати ймовірність реалізації значень стохастичного поля та спряженого імпульсу у вигляді функціонала P[x]exp(-S[x,]), де евклідова дія S[x,] задається лагранжіаном L(x,). Динамічні властивості системи досліджуються мінімізацією дії та використанням рівнянь Ейлера-Лагранжа. Відповідні фазові траєкторії, що задають імовірність реалізації оптимальних шляхів еволюції системи, розміщуються у площині найбільш імовірних значень стохастичного поля x та спряженого імпульсу, що дає флуктуації спряженої сили . Оскільки польова теорія розвинута для систем із адитивним шумом, то у випадку білого мультиплікативного шуму, де C(t-t')=(t-t'), процедура знаходження польового лагранжіана ґрунтується на використанні стохастичного диференціала Іто. Це дозволяє подати L(x,) у вигляді

Для кольорового шуму із кореляційною функцією C(t-t')=^-1exp(-|t-t'|/), де - час автокореляції флуктуацій, а процес (t) задовольняє рівняння еволюції з білим шумом (t) у вигляді

розвинення формалізму уніфікованої апроксимації кольорового шуму і застосування диференціала Іто дозволяє встановити для однорідної системи форму лагранжіану у вигляді:

У той час як лагранжіани (8), (10) узгоджуються з відомими, одержаними у випадку адитивних шумів, вони містять складові типу (1/2)g(x)dg(x)/dx, які пов'язані із використанням властивостей марковості для білого шуму (t). Окрім того у випадку =0, що відповідає білому шуму лагранжіан (10) набирає вигляду (8).

Відповідні рівняння Ейлера-Лагранжа у випадку білого шуму при врахуванні дисипативної функції стають такими

Виявилося, що на характер упорядкування суттєво впливають зміни керуючого параметра , інтенсивності просторової неоднорідності розподілу параметра порядку і спряженого імпульсу та показник амплітуди мультиплікативного шуму. За умови подання x ^-2x, ^-2, де масштаби і визначають порядок сталих просторової неоднорідності, виявлено, що із зниженням температури система упорядковується, а при підвищенні інтенсивності шуму зазнає розупорядкування (рис.2а). Варіація параметра неоднорідності спряженого імпульсу може привести до реалізації рівноважного або нестійкого до упорядкування стану. Характер рівноважності досліджувався встановленням розбіжності узагальненої сприйнятливості на границі адитивного шуму (a=0), що відповідає випадку теплових флуктуацій. Картина упорядкування була проаналізована також у випадку сумірності просторових масштабів. Виявилося, що упорядкування стає можливим лише на довгохвильовій границі.

Дослідження забарвлених флуктуацій, поданих процесом , показує, що звуження частотного спектра шуму приводить до упорядкування однорідної системи. Згідно з рис.2б неупорядкований стан реалізується у фіксованому інтервалі значень показника мультиплікативного шуму.

При дослідженні кінетичних особливостей поведінки системи методом фазової площини виявлено, що упорядкування супроводжується виникненням двох сідлових точок на площині -x. Незалежно від критичного значення керуючого параметра, параметрів просторової неоднорідності або часу автокореляції шуму при значеннях показника a<1/2 і малих початкових значеннях x(0) фазові траєкторії збігаються до вузла у точці x=0, =0. У протилежному разі a1/2 при малих x(0) притягуючий вузол миттєво переміщується на безмежне значення спряженого імпульсу. Така перебудова фазового портрета відповідає формуванню поглинаючого стану при a1/2, у якому параметр порядку стає тривіальним, а амплітуда флуктуації спряженої сили - нескінченною.

Імовірність реалізації оптимальних траєкторій P[x] визначається підстановкою розв'язків рівнянь Ейлера-Лагранжа у функціонал евклідової дії S[x,]. Суттєво, що часові асимптотики поведінки параметра порядку та спряженого імпульсу не зазнають суттєвих змін при переході від білого до кольорового шуму. Аналітичні розрахунки асимптотик дії, визначеної оптимальними траєкторіями та чисельним інтегруванням за фазовими траєкторіями, дозволили встановити, що неупорядкований стан при a<1/2 реалізується із кінцевою імовірністю, а поглинаючий - за рахунок швидкого зростання спряженого імпульсу відповідає нульовим значенням P(x(0))0. При цьому область на площині -x, що визначає утворення нових стаціонарних станів, пролягає між сепаратрисами новоутворених сідлових точок.

У розділі „Еволюція стохастичної системи з мультиплікативним шумом” подано статистичну картину поведінки самоподібної системи, поданої потенціалом Ландау з білим та кольоровим мультиплікативними шумами. Опис ґрунтується на розгляданні рівнянь руху основних статистичних моментів процесу x(t), що задовольняє рівняння Ланжевена , де флуктуації визначені процесом . Визначаючи параметр порядку першим статистичним моментом (t)x(t), замкнений опис еволюції досягається використанням відповідних дисперсії S(t)[x(t)-(t)]² та двочасової функції Гріна G(t,t')[x(t)-(t)][x(t')-(t')]. Показано, що властивість самоподібності приводить до виникнення у рівняннях руху дробових моментів, порядок яких задається показником a мультиплікативного шуму. Суттєве спрощення виразів зміни у часі величин , S та G, одержаних використанням теореми Новікова, досягається розгляданням випадку білого шуму із використанням стохастичного диференціала Іто. У такому разі еволюція системи буде описуватися системою рівнянь:

У випадку кольорового шуму застосовується розвинутий у попередньому розділі метод уніфікованої апроксимації кольорового шуму. Загальний вигляд рівнянь руху параметра порядку та автокорелятора є таким:

де , . Властивість самоподібності дозволяє виразити момент дробового порядку через моменти цілого порядку, оскільки стаціонарний розподіл величини x для самоподібної системи набирає вигляду P(x)Ax^-2a, де A - нормуюча стала. Показано, що у випадках систем, яка упорядковуються (a<1/2, фрактальна вимірність D>1) або неупорядковуються (a1/2, D<1), для моменту дробового порядку маємо:

Дослідження властивостей неупорядкованої системи для білих і кольорових флуктуацій показало, що автокорелятор упродовж часу досягає свого стаціонарного значення, причому при малому часі він поводиться степеневим чином , а при досяганні стаціонарного значення змінюється експоненціально.

При аналізі процесів упорядкування встановлено, що у системі з білим шумом показник його амплітуди a знижує температуру упорядкування, підвищуючи , так що при a1/2 реалізація упорядкованого стану унеможливлюється, оскільки (рис.3а). При включенні автокореляції шуму з часом система, що упорядковується, зазнає суттєвих змін у стаціонарному режимі. У той час як залежність від a зберігає свій вигляд, наявність забарвлених флуктуацій спричиняє реверсивне проходження процесу упорядкування. Тут при фіксованих значеннях часу автокореляції упорядкований стан існує лише в певній області температур (рис.3б). Установлено, що в обох ситуаціях індукований шумом перехід супроводжується стрибкоподібною зміною параметра порядку завдяки кореляціям S. Дослідження часових залежностей параметра порядку та автокорелятора в області неупорядкованого стану досягається застосуванням узагальненої експоненти Цаліса, яка приводить до степеневої поведінки параметра порядку та гіперболічної для автокорелятора. В околі упорядкованого стану дослідження часових залежностей досягається використанням перетворень Меліна, у рамках яких поведінка параметра порядку та автокорелятору описується стиснутою експонентою. Характер наведених асимптот залишається незмінним як для білого, так і для кольорового шумів.

Окремо у розділі досліджено еволюцію неадитивної системи, поданої рівнянням Фоккера-Планка із адитивним шумом та x⁴-моделлю синергетичного потенціалу. Встановлено, що збільшення показника неадитивності q приводить до зменшення граничного значення інтенсивності шуму, нижче якого відбувається упорядкування. В околі стаціонарних значень параметр порядку та автокорелятор змінюються експоненціальним чином з показником, значення якого спадає із зростанням параметра неадитивності.

На відміну від попередніх у розділі „Фазові переходи у самоподібній системі з корельованими шумами” досліджується стаціонарна картина самоорганізації просторово розподіленої стохастичної системи за наявності двох скорельованих шумів. Без втрати загальності модель системи з декількома шумами вибрана у вигляді

де m - маса ефективної частинки; (x)- кінетичний коефіцієнт; D - стала неоднорідності; g(x )- амплітуда -го шуму із випадковою гаусівською функцією , яка підпорядковується процесу Орнштайна-Уленбека з корелятором (r,t)(r',t')=(r-r')C(t-t'); C - матриця експоненціально спадних кореляційних функцій.

Дослідження стаціонарної поведінки ґрунтується на переході до d-вимірної моделі та використанні кінетичного рівняння для густини ймовірності i-го вузла ґратки P(x_i,p_i,t), методу розвинення за кумулянтами та теорії середнього поля. У рамках розвинутого формалізму показано, що як сильно-, так і слабкодисипативна системи можуть бути ефективно описані кінетичним рівнянням _tP=(L+C)P, де L - детерміністичний оператор еволюції; C - оператор, визначений флуктуаційними внесками, заданими авто- та крос-кореляціями шумів. Застосуванням методу розвинення за кумулянтами Ван Кампена та використанням моментів , які дозволяють рекурсивно подати шуканий розподіл P(x_i,t)=P₀(x_i,t), одержано ефективне рівняння для P(x_i,t). Використовуючи ієрархію дисипативних, детерміністичних і стохастичних складових (, , , , ; позначення з індексом s задають відповідні масштаби, - крок на просторовій ґратці), при знерозмірюванні змінних з точністю до таке рівняння набирає вигляду ряду Крамерса-Мойала , де дрейфовий та дифузійний коефіцієнти для слабкодисипативної системи задаються виразами

поданими через моменти кореляційної матриці , -ґраткове подання оператора Лапласа.

У випадку сильнодисипативної системи, коли флуктуючою величиною є поле x(r,t) і реактивною складовою у (15) можна знехтувати, при =const коефіцієнти дрейфу і дифузії відрізняються від наближених (16) і набувають точного вигляду

У рамках середньопольового формалізму здійснюється перехід DxD(-x), де x - середнє поле взаємодії найближчих вузлів ґратки, є параметром порядку, який визначається умовою самоузгодження , де P_st(x, )- стаціонарний розв'язок рівняння Фоккера-Планка . Фазова діаграма системи задається розв'язком рівняння . Отже, розвинутий формалізм дає можливість врахувати ефект крос-кореляції між флуктуаційними джерелами та виявити роль диспергувального кінетичного коефіцієнта.

Наведений формалізм застосовано до узагальненої системи, яка зазнає дії адитивного та мультиплікативного шумів: g_a(x)=_a, g_m(x)=_msign(x)|x|^a із масштабами автокореляції _a, _m і крос-кореляції _c. Питомий потенціал задається стандартною моделлю x⁴. Кінетичний коефіцієнт вибрано у формі (x)=|x²-1|^-, де показник > 0 є мірою сингулярності дисипації в околі стану x=1.

Аналіз впливу кореляцій на поведінку параметра порядку показав таке: у разі відсутності крос-кореляційного зв'язку між шумами параметр порядку симетрично зростає при збільшенні керуючого параметра (штрихова крива на рис.4); включення незначних кореляцій між шумами призводить до порушення симетрії функції розподілу з появою негативного значення параметра порядку на границі короткочасової крос-кореляції (крива 1 на рис.4). Комбінований ефект дії скорельованих шумів, нелінійності системи та просторової взаємодії приводить до зміни знака параметра порядку при малих . При збільшенні _c (криві 2, 3) параметр порядку стає позитивним, приводячи до переорієнтаційного переходу при =_r. Окрім того, при =_c за механізмом переходу першого роду з'являються додаткові розв'язки, які позначають виникнення метастабільної та нестабільної фаз. Вони зникають при критичному значенні =^c. Подальше збільшення часу крос-кореляції приводить до сполучення областей стабільної і нестабільної фаз та формування гістерезисної петлі. Аналіз відповідних фазових діаграм показав, що порушення симетрії простежується навіть за умови відсутності просторової взаємодії (рис.5а). Встановлено, що зміна показника сингулярності кінетичного коефіцієнта відіграє ту саму роль, як і зміна часу крос-кореляції (рис.5б). Виявлено клас стохастичних систем з адитивним і мультиплікативним шумами, які зазнають нерівноважних фазових переходів (рис.5в). У рамках феноменологічного підходу, усередненням рівнянням Ланжевена, що відповідає одержаному рівнянню Фоккера-Планка із коефіцієнтами , отримано рівняння еволюції першого моменту x у вигляді рівняння Ландау-Халатнікова

.

У простішому випадку а=1.0, =0.0 ефективний потенціал F() та поле h в задаються виразами

.

Із наведеного випливає, що крос-кореляції виступають у ролі поля, що порушує симетрію ефективного термодинамічного потенціалу. Вирази для потенціалу типу вільної енергії та відповідного поля h на випадок довільного показника амплітуди шуму показують, що крос-кореляції та сингулярність коефіцієнта тертя приводять до виникнення складових розвинення F у ряд, що порушують його симетрію.

У розділі „Індуковані шумом фазові переходи у синергетичній системі” розглядається вплив кореляцій на характер упорядкування три-параметричної синергетичної системи, поданої амплітудою гідродинамічної моди x, спряженим полем h та керуючим параметром у вигляді моделі Лоренца-Хакена:

Вона враховує неоднорідності з коефіцієнтами D_x, D_h та D і флуктуації Орнштайна-Уленбека з відповідними амплітудами та часами автокореляції , де ={x,h,}. Величини t задають релаксаційні масштаби відповідних змінних, набір a інтенсивності зворотних зв'язків, ₀ - параметр зовнішнього впливу. Окремо досліджено випадки однієї та двох повільних мод за відсутності та наявності крос-кореляцій між шумами.

У припущенні t_x>> t_{h ,}t система стає однопараметричною. За умови D_h,D<<1 відповідне рівняння Ланжевена для повільної моди x

містить адитивний шум _x та мультиплікативні шуми спряженого поля _h та керуючого параметра з амплітудами g_x(x)=_x, g_h(x)=_h/(1+x²) та g_h(x)=_hx/(1+x²) відповідно; детерміністична сила f(x)=-x+₀x/(1+x²); D=D_x.

Розглядаючи вплив кореляцій кожного окремого шуму на характер упорядкування у розділі розвинуто метод уніфікованої апроксимації кольорового шуму для просторово розподілених систем у наближенні середнього поля. Встановлено, що адитивні кольорові флуктуації у синергетичній системі спричиняють реверсивне проходження процесу упорядкування при зміні часу автокореляції _x. Одержані розв'язки рівняння самоузгодження для параметра дальнього порядку та фазові діаграми упорядкування узгоджуються з результатами чисельного моделювання рівняння (див. рис.6). При аналізі впливу автокореляцій спряженого поля виявлено, що його мультиплікативні флуктуації приводять до виникнення упорядкованої фази у фіксованих областях керуючого параметра ₀ та коефіцієнта неоднорідності D. Флуктуації керуючого параметра приводять до виникнення поглинального стану при великих інтенсивностях та індукованого шумом фазового переходу, який стає реверсивним при варіації D.

Дослідження впливу кореляцій адитивного _x та мультиплікативного шумів у системі з однією повільною модою показало, що нескорельовані флуктуації приводять до неперервного фазового переходу (рис.7а). У випадку скорельованих шумів зростання часу крос-кореляції приводить до реверсивного проходження упорядкування при зміні інтенсивності мультиплікативного шуму із виникненням метастабільної фази (рис.7б,в). Одержані результати знайшли підтвердження використанням феноменологічного підходу, в рамках якого виявлено, що автокореляції спричиняють реверсивне упорядкування, а крос-кореляції порушують симетрію ефективного потенціалу F().

При дослідженні властивостей упорядкування у системі з двома повільними модами використано таке наближення між масштабами релаксації: t_x,t_h<<t; D_h>>D_x,D. Тоді рівняння еволюції моди x при _x<<1 набуває вигляду з кінетичним коефіцієнтом (x)=t_h[1+(t_x/t_h)(1+x²)] та силою f(x)=(₀-1)x-x³, а амплітуди шумів стають такими: g_h=_h, g=x. Використання розвинутого формалізму дозволило провести детальне дослідження картини упорядкування. Одержані результати узгоджуються з відповідними розрахунками феноменологічної теорії.

Розвинуту схему застосовано для пояснення перебудови структури дислокаційно-вакансійного ансамблю дефектів надміцних сплавів при інтенсивному зовнішньому навантаженні. Встановлено, що виникнення метастабільних станів при самоорганізації дефектів може бути подано флуктуаційними механізмами.

Розділ „Синергетичне подання критичності, що самоорганізується” присвячений виявленню ролі флуктуаційних джерел у процесі формування лавин на прикладі моделі гірки піску. На основі механічної моделі руху частинок середовища встановлено, що формування поодинокої лавини задається використанням самоузгодженої схеми за рахунок введення у розгляд горизонтальної u і вертикальної v компонент швидкості руху по поверхні нахилу S. Зміни у часі u, v та S самоузгодженим чином можуть бути подані використанням найпростішої моделі , де x, h та замінюються відповідно на u, v та S.

Дослідження такої системи у адіабатичному наближенні, де колективний рух задається горизонтальною компонентою швидкості, за умови спонтанного виникнення лавини (S₀=0) виявило, що принципову роль відіграють флуктуації нахилу поверхні. При цьому зворотні зв'язки рівнянь для вертикальної швидкості v та нахилу S мають бути узагальнені у вигляді a_vu^aS та a_Su^av відповідно. Одержано фазові та біфуркаційні діаграми, які дозволяють з'ясувати умови виникнення лавини та критичні значення інтенсивності шуму нахилу поверхні плинності. Виявлено (рис. 8а), що збільшення інтенсивності шуму вертикальної швидкості переводить систему в потоковий стан та режим самоорганізованої критичності. При малих інтенсивностях флуктуацій нахилу система перебуває у стані спокою, а зростання таких флуктуацій сприяє виникненню лавини. Подібним чином впливає зменшення показника a фрактального зворотного зв'язку (рис. 8б).

Розвинутий формалізм дозволив подати еволюцію неадитивного статистичного ансамблю лавин синергетичною схемою, що параметризується такими динамічними змінними: розміром лавини s; неадитивною ентропією Цаліса (складністю ансамблю) =-(q-1)^-1(_ip_i^q-1); неадитивною кінетичною енергією =_iip_i^q, де сума береться за станами i, що задані мікроскопічними ймовірностями p_i. Вважаючи, що в автономному режимі як s, так і релаксують до нульових значень, а енергія спадає до кінцевого ⁰ із відповідними часами релаксації t, ={s,,}, та враховуючи механізми збудження системи і умови стійкості, які задані відповідними інтенсивностями a, самоузгоджена схема формування самоподібного ансамблю лавин подається такою системою рівнянь

Флуктуації вважаються білими з інтенсивностями I та нескорельованими, - параметр теорії. В умовах адіабатичного наближення повільної зміни s встановлено, що ключову роль у процесі спонтанного формування лавин відіграють флуктуації кінетичної енергії. У стаціонарному режимі одержано відповідні фазові діаграми, що встановлюють залежність інтенсивності шуму I від параметра , який задає розподіл за розмірами лавин у стандартному вигляді P(s)=s^-(s), причому часова залежність s(t) представляє процес аномальної дифузії. Дослідження впливу інтенсивності шуму I на характер скейлінгового розподілу показало, що при збільшенні I на один порядок величина змінюється не більше ніж на 10%.

Дослідження аномальних властивостей неадитивного ансамблю лавин досягалося використанням теорії аномальної дифузії, де відповідне рівняння Фоккера-Планка для розподілу P(s,t) формулювалося у вигляді

Дослідження відповідних статистичних характеристик дозволило встановити зв'язки z=/, =2-z/2, q==z між динамічним показником z, параметром , фрактальною вимірністю функціонального простору D та індексом неадитивності q.

Окремо розглянуто кінетику формування лавин методами польової теорії за наявності кольорових флуктуацій енергії. Виявилося, що зростання часу автокореляції шуму приводить до підвищення критичних значень інтенсивності I . Встановлено умови виникнення в системі поглинаючого стану. На основі комп'ютерного моделювання з'ясовано, що просторова неоднорідність пригнічує процес переходу в поглинаючий стан.

Одержані результати використані для пояснення лавиноподібного процесу вибухової кристалізації у тонких аморфних плівках. Показано, що такий процес зводиться до аномальної дифузії по ієрархічному дереву, рівні якого відповідають структурним кластерам різного розміру. Стаціонарний розподіл за ієрархічними рівнями визначається розподілом Цаліса.