Субординація стохастичних процесів у фізиці і астрофізиці

Размещено на http://www.allbest.ru/

IНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

Національної академії наук

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

01.04.02 - теоретична фізика

СУБОРДИНАЦІЯ СТОХАСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У ФІЗИЦІ І АСТРОФІЗИЦІ

Виконав Станиславський Олександр Олександрович

Львів - 2009

АНОТАЦІЯ

Станиславський О.О. Субординація стохастичних процесів у фізиці і астрофізиці. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Iнститут фiзики конденсованих систем НАН України, Львів, 2009.

Дисертація присвячена теоретичному аналізу явищ аномальної дифузії, надповільної релаксації та переносу у сильнонерівноважних системах, які описуються за допомогою дробової похідної у часі. Побудовано лінійну теорію субдифузії у середовищах з пастками, одне з застосувань якої присвячено випадковим блуканням магнітних яскравих цяток в фотосфері Сонця. Запропоновано ймовірністна інтерпретація дробової похідної у часі. Показано, що часова субординація початкового, експоненціально спадаючого стану встановлює зв'язок з емпіричними законами надповільної релаксації. Уведено і досліджено дробові коливання та їх опис дробовими рівняннями. Створено основи теорії нелінійних дробових систем у хаотичному стані. Встановлено, що дискретний аналог дробового рівняння Ланжевена може бути застосовано до опису часового ряду рентгенівського випромінювання Сонця під час високої сонячної активності.

Ключові слова: субординація, процес Леві, дробова похідна, рівняння Фоккера-Планка, тривалі ефекти пам'яті, сонячні процеси.

дифузія коливання астрофізичний леві

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сьогодні дробове числення як розділ математики достатньо добре досліджено з математичної точки зору (зі своїми теоремами, розв'язуванням рівнянь з дробовими операторами, аналізом математичних властивостей таких операторів). Виникає доволі природне питання, яка фізика стоїть за такого роду математикою. Це питання далеко не тривіальне. Адже добре відомо, що рівняння класичної механіки, теорії поля, гідродинаміки, квантової механіки, тощо описуються в основному за допомогою звичайних похідних цілого порядку, а не через їх узагальнення у вигляді похідних дробового порядку. Яким чином дробове числення може з'явитися в описі фізичних процесів? Яка фізична інтерпретація стоїть за дробовим численням? Ці і низка інших запитань становлять великий науковий і практичний інтерес, а тому заслуговують на особливу увагу. В зв'язку з цим доречно нагадати провидчі слова Дірака [1] про надзвичайну ефективність математики у фізичних дослідженнях (і досить згадати тут як приклад квантову механіку і теорію самоспряжених операторів у гільбертовому просторі). Все це не раз переконувало і продовжує переконувати, що кожен розділ математики, мабуть, несе своє навантаження у фізиці і виступає свого роду очима для фізики. І знайти фізику для того або іншого розділу математики є благородним завданням, що заслуговує на увагу будь-якого фізика-теоретика. Тому актуальність теми дисертаційної роботи тісно пов'язана із встановленням кола фізичних проблем, що описуються дробовим численням. Такі системи ми будемо називати дробовими. Більш того, цим колом задач удається охопити ряд важливих астрофізичних проблем, тісно пов'язаних з фізикою Сонця, які включають як теоретичні, так і експериментальні дослідження.

Само по собі дробове числення налічує більше 300 років історії, але його активне використання у фізиці почалося порівняно недавно, приблизно з середини XX століття. Донині було відомо лише декілька розрізнених прикладів, типу задачі про таутохрону Абеля або задачі Хевісайда про імпеданс напівбезмежної (за довжиною) лінії електропередачі з втратами. З них було важко судити про перспективи даного розділу математики в описі фізичних явищ. Проникнення дробового числення у фізику різко прискорилося після встановлення його тісного зв'язку з стійкими розподілами теорії ймовірності. Цей зв'язок виникає з аналізу субординації стохастичних процесів, причому субординація це операція, яка враховує керування одного випадкового процесу іншим. Коли мова заходить про теорію ймовірності, то відразу виникає думка про можливу її корисність в статистичній фізиці. Дійсно, на основі таких розподілів удається побудувати послідовний підхід до опису процесів аномальної дифузії, явищ надповільної релаксації, гамільтонової механіки з дробовими похідними і встановити багато інших цікавих закономірностей. Але з іншого боку знання про зв'язок дробового числення і стійких розподілів носять досить уривчастий характер і не дозволяють скласти досить повну уяву про сучасний рівень досягнень в цій області, що звичайно гальмує подальше впровадження такого підходу у фізичних дослідження і його застосування. Детальне і послідовне викладання цієї тематики на єдиній основі становить також великий інтерес і є вельми актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є частиною наукових досліджень, які виконувались в Радіоастрономічному інституті Національної академії наук України, за темами “Геліос” (номер державної реєстрації 0108U007347), “КОФР” (номер державної реєстрації 0107U001042), “Фаворит” (номер державної реєстрації 0107U001041), “Мережа-3” (номер державної реєстрації 0107U012017), “Геокосмос” (номер державної реєстрації 0107U000028), “Спектр” (номер державної реєстрації 0107U001043), “Інтерферометр” (номер державної реєстрації 0108U008335). Окремі частини роботи входили також в тему NATO Science Fellowship, а також в спільні україно-польські дослідження і в міжнародний проект INTAS-03-5727.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвинути і систематизувати теорію стохастичних фізичних і астрофізичних систем, які описуються за допомогою часовозалежних дробових операторів.

Відповідно до мети дослідження були поставлені такі конкретні задачі:

· З'ясувати роль стійких розподілів для аналізу дробових систем;

· Розвинути метод дробових операторів до аномальних часових процесів типу дифузії, релаксації, коливань, хаотичного руху;

· Визначити закономірності у фізичних і астрофізичних системах, що підкоряються рівнянням еволюції в дробових похідних за часом;

· Розробити на основі методу способи аналізу властивостей, характерних для таких систем і порівняти їх з аналогічними для відповідних класичних систем;

· Провести детальний аналіз особливостей еволюції дробових систем і процесів в них.

Об'єктом дослідження в роботі є невпорядковані середовища і сильно нерівноважні лінійні і нелінійні стохастичні системи.

Предмет дослідження - аномальні стохастичні процеси в таких системах.

Методи дослідження - аналітичні методи теорії ймовірності, статистичної фізики і астрофізики, а також чисельне моделювання і статистичний аналіз часових рядів.

Наукова новизна одержаних результатів

1. Вперше впроваджено імовірнісне трактування дробового оператора за часом. Показано, що дробове числення має тісний зв'язок з стійкими розподілами теорії ймовірності за допомогою теорії субординації стохастичних процесів, що дозволяє провести стохастичну інтерпретацію появи дробових операторів у описі фізичних процесів і явищ. Зокрема, індекс порядку дробової похідної за часом в кінетичних рівняннях збігається з індексом стійкого розподілу, за допомогою якого проводиться субординація у фізичній (або астрофізичній) системі. Систематично досліджено аналітичні властивості субдифузії. Вперше послідовно було виведено макроскопічні рівняння субдифузії з мікроскопічної динаміки випадкових процесів. Показано, що така субдифузія виникає як граничний перехід від дискретної теорії Монтролла-Вейсса до неперервних за часом випадкових блукань. Вперше досліджено підхід до опису субдифузії на основі рівняння Ланжевена, в якому часова змінна є сумою випадкових позитивних інтервалів з розподілом ймовірності Леві. Вперше така часова змінна розглядається як стохастична стріла часу.

2. Розвинено новий підхід до опису надповільної релаксації фізичних процесів за допомогою субординації експоненціально спадаючого стану. Для різних субординаторів за допомогою даного підходу вдається отримати закони релаксації типу Коул-Коула, Коул-Девідсона і Гавриляка-Негамі.

3. Вперше методом дробового числення розроблено послідовний підхід до гамільтонової дробової механіки на основі субординації часової змінної польотами Леві.

За допомогою цього підходу вперше було виведено гамільтонові рівняння руху дробового осцилятора, а також досліджено фізичні властивості зв'язаних дробових осциляторів. Вперше встановлено, що в зв'язаних дробових осциляторах із зовнішнім збудженням існує динамічне демпфування, а середовище типу дробового осцилятора має аномальну і нормальну дисперсію.

4. Розроблено і застосовано нову методику для чисельного аналізу нелінійних дробових систем за допомогою дискретної апроксимації дробового інтеграла. Розв'язок цієї задачі зводиться до знаходження розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння, яке рекурентним чином змінюється на кожному проміжку розбиття. Чисельними експериментами і аналітично вперше показано, що дробовий індекс похідної може служити параметром для дробової системи, який істотно впливає на характер еволюції такої системи.

5. Вперше встановлено, що тривала пам'ять, характерна для дробових операторів за часом, пригнічує хаотичний рух в дробових системах тим сильніше, чим більше число своїх попередніх станів “пам'ятає” система. Це характерно як для неперервних систем (нелінійна дробова система типу Дюффінга з гармонійним збудженням), так і для дискретних систем типу нелінійних (логістичних) відображень. При цьому ефекти пам'яті прагнуть усереднити хаотичну поведінку, результуючий рух нелінійної дробової системи прагне до стійкого стану рівноваги, а хаотичний аттрактор деградує.

6. Вперше побудовано і обчислено дифузійну модель, що пояснює блукання магнітних яскравих цяток у фотосфері Сонця. Для неї характерне те, що на малих часах вона відтворює субдифузію, а на великих нормальну дифузію, що викликано обмеженою областю формування пасток. Коли яскраві цятки її покидають, їх дифузія приймає характер нормальних за розподілом блукань.

Наукове і практичне значення одержаних результатів. У даній роботі розвинено метод субординації часової змінної польотами Леві. Цей підхід має універсальне значення. Він був застосовний і до дифузійних процесів, і до релаксації невпорядкованих систем. Він дозволяє описувати різні дробові системи, які мають тісний зв'язок з класичними системами в механіці. Результати, отримані в роботі, узагальнюють і розвивають закони і методи теорії броунівського руху, експоненціальної релаксації і класичної механіки, аналізу нелінійних систем і їх хаотичної поведінки.

Незрозуміла до недавнього часу фізична інтерпретація дробових похідної і інтеграла тепер стала сповна ясною. Якщо в класичному випадку похідна першого порядку інтерпретується як швидкість або як імпульс, то її дробове узагальнення носить ефективний характер, свого роду результат взаємодії багатьох об'єктів (тіл). У такій взаємодії присутня субординація одного процесу іншим. Субординатор є випадковим процесом з розподілом Леві. Він враховує проміжки часу, які система проводить в русі і у спокої. Рух і спокій компонентів системи виникають в результаті їх складної взаємодії, яка описується стохастичним процесом. Індекс розподілу Леві збігається з показником відповідної дробової похідної макроскопічного опису еволюції системи.

Вперше розглянуто моделі, в яких дробова похідна за часом виступає рівноправно із звичайними похідними. Якщо раніше вона з'являлася як результат тривіальної (але дивної і незрозумілої чому) заміни звичайної похідної на дробову, то тепер встановлено процеси, які можуть привести до такого опису.

Запропонована теорія опису дробових систем дозволяє зрозуміти основні закономірності їх поведінки, на її основі пояснити наявні експериментальні результати, а також планувати нові спостереження і експерименти з дослідження аномальних процесів, що відбуваються в природі і пов'язані з дробовим численням.

Особистий внесок автора. Роботи [1,4-7,9-11,13,15,16,18-21,23,24,26] виконані дисертантом самостійно. Особистий вклад автора в роботу [17] полягає у виконанні теоретичних досліджень, а в роботах [2,3,25,28,29] в постановці задач, отримані основних рівнянь, у проведені аналізу аналітичних і чисельних результатів, написанні текстів статей. Всі аналітичні обчислення, приведені в дисертації, були виконані автором особисто. Чисельне моделювання у роботі [17] було виконано за участю М. Едельмана. У решті робіт чисельне моделювання було виконано автором особисто. Особистий вклад автора в роботах [8,12,14,22,27,30] полягає в постановці задач, обробці експериментальних даних і їх інтерпретації, написанні текстів статей.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що ввійшли в дисертацію, доповідались та обговорювалися на:

XXVI General Assembly of URSI (Торонто, Канада, 1999); The School on “NEW TRENDS IN TURBULENCE” (Лєзуш, Франція, 2000); XXX Polish Conference of Mathematical Applications (Закопане, Польща, 2001); 1st International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Харків, 2001); 15th Marian Smoluchowski Symposium on Statistical Physics: Fundamentals and Applications (Закопане, Польща, 2002); 48th Annual SAIP Conference (Стелленбош, Республіка Південна Африка, 2003); EGS AGU EUG Joint Assembly (Відень, Австрія, 2003); Конференція країн СНД і Прибалтики “Актуальные проблемы физики солнечной и звездной активности” (Нижній Новгород, Росія, 2003); EGU 1st General Assembly (Відень, Австрія, 2004); MAO-2004 (Київ, 2004); 6th International Workshop on Planetary and Solar Radio Emissions (Грац, Австрія, 2005); П'ята Українська конференція з космічних досліджень (Євпаторія, 2005); International Symposium on Fractional Calculus (Отаго, Нова Зеландія, 2006); International Colloquium “Scattering and Scintillation in Radio Astronomy” (Пущино, Московська область, Росія, 2006); 26th General Assembly of the International Astronomical Union (Прага, Чехія, 2006); 2nd International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Харків, 2006); Международная научно-практическая конференция АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ РАДИОФИЗИКИ “АПР-80” (Томськ, Росія, 2006); European Planetary Science Congress (Потсдам, Німеччина, 2007); Basic Space Science UN/NASA/ESA and the Heliophysical Year 2007 (Мітака, Японія, 2007); 21st Marian Smoluchowski Symposium on Statistical Physics “Questioning Appearance of Stable Noises in Statistical Physics” (Закопане, Польща, 2008); 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications (Анкара, Туреччина, 2008).

Попередні результати дисертації доповідалися та представлялись також на семінарах в Інституті фізики Вроцлавського Політехнічного Університету, Центрі стохастичних досліджень ім. Хьюго Штайнгауза (Вроцлав), Інституті молекулярної фізики (Познань), Університеті Стелленбош, Інституті Куранта (Нью-Йорк), Радіоастрономічному інституті НАНУ (Харків), Інституті фізики конденсованих систем НАНУ (Львів).



2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі обґрунтовано актуальність теми досліджень, сформульовано мету і задачі дисертаційної роботи, вказано наукову новизну і практичне значення одержаних результатів, зазначено особистий внесок дисертанта, рівень апробації результатів, наведено список публікацій автора, на яких базується представлена дисертаційна робота.

Перший розділ містить огляд літератури і довідкову інформацію, мета яких - полегшити розуміння подальших розділів дисертації. Огляд літератури присвячено головним чином обговоренню кола задач з даної тематики, що охоплює дослідження аномальних процесів в невпорядкованих системах. Ці задачі виявляються надзвичайно різноманітними. Методологія, заснована на дробових операторах, дозволяє провести їх систематизацію, а зв'язок таких операторів із стійкими розподілами пропонує їх зрозумілу фізичну інтерпретацію. З іншого боку наукова термінологія в цій області дослідження знаходиться ще в стадії становлення. Багато уявлень є новими і далеко неочевидними. Тому їх обговорення і попереднє трактування в даному розділі виявляються вельми зручними і корисними для подальшого розуміння дисертації в цілому.

У другому розділі ми вивчаємо процеси аномальної дифузії. Не дивлячись на їх різну можливу фізичну природу, вони мають схожі риси, що дозволяє їх описати єдиним чином за допомогою математичного апарату дробових операторів. У підрозділі 2.1 розглядаються випадкові блукання з рандомізованим операційним часом. Їх модель було вперше введено Монтроллом і Вейссом в 1965 році [2]. Вона представляє собою випадкові стрибки, що чергуються з випадковими інтервалами чекання між ними. На мові випадкових процесів модель Монтролла-Вейсса є рандомізацією (або її називають ще субординацією) одного випадкового процесу (підлеглого) іншим випадковим процесом (керуючим). В результаті виникає випадковий процес з новим “таймером”. Це вельми широкий клас випадкових процесів. Функція розподілу радіус-вектора блукаючої частинки описується інтегральним співвідношенням

(1)

де представляє функцію розподілу ймовірності знайти процес у точці у момент операційного часу , а функція розподілу ймовірності збігу операційного часу і дійсного часу . Якщо в якості керуючого процесу (операційного часу) вибрати випадковий процес (субординатор), обернений до процесу із стійким (Леві) розподілом, то макроскопічний опис такого процесу набирає вигляду рівняння субдифузії з дробовою похідною за часом. Виходячи з теорії субординації випадкових процесів, в підрозділі 2.2 отримано рівняння Фоккера-Планка для функції розподілу з дробовим оператором за часом:

(2)

де незалежний від часу оператор Фоккера-Планка, просторова координата, час, індекс керуючого процесу. Оператор Фоккера-Планка може мати доволі загальну форму, наприклад, лапласіан з потенціалом і без, а також прийняти вигляд дробового оператора у просторі. Основна ідея даного підходу полягає в тому, що в просторі Лапласа зв'язок між підлеглим і керуючим процесами має досить простий алгебраїчний вигляд. Це дозволяє легко відшукати образ Лапласа рівняння Фоккера-Планка в даному випадку. Обернене перетворення Лапласа цього образу приводить до рівняння (2) з появою ефектів пам'яті завдяки степеневому ядру, або іншими словами, до дробового рівняння дифузії. Коли індекс дорівнює одиниці, рівняння Фоккера-Планка набирає традиційного вигляду. Раніше впровадження рівняння Фоккера-Планка в дробових похідних за часом носило чисто формальний характер. Фактично, відбувалася проста заміна похідної цілого порядку на похідну дробового порядку. Тепер можна послідовно показати, що їх розв'язок має сенс функції розподілу ймовірності стохастичних процесів і встановити яких саме процесів.

У підрозділі 2.3 досліджується опис субдифузії за допомогою рівняння Ланжевена. Воно є потужним інструментом для аналізу динамічних властивостей багатьох цікавих систем у фізиці, хімії і в інженерній справі. Субординація накладає певну специфіку на вигляд цього рівняння. При цьому виникає уявлення про стохастичну стрілу часу, яка управляє рівнянням Ланжевена. Нагадаємо, що для звичайного рівняння Ланжевена часова змінна є суто детермінована. Ми розглядаємо іншу стрілу часу. У дискретному випадку вона є сумою випадкових позитивних часових інтервалів з розподілом Леві. Інакше кажучи, в цьому випадку відліки мають нерівномірний характер (нагадаємо, що у детермінованому випадку вони рівновіддалені у часі). Це дозволяє побудувати незалежну (але повністю еквівалентну) картину опису субдифузії.

У підрозділі 2.4 розглядається процедура усереднення гладкої функції по множині Кантора. Цю процедуру було запропоновано Нігматулліним [3], аби відшукати зв'язок дробового числення з фрактальними об'єктами. Як дискретну модель в простому випадку пропонувалося розглядати функцію пам'яті на одиничному відрізку, з якого викидаються його частини таким чином, щоб формувалася множина Кантора. У межі нескінченного ділення така функція пам'яті має степеневу асимптотику. Проте в цьому розділі показано, що така модель вельми грубо апроксимує дробові оператори. За допомогою теорії функціональних рівнянь вдалося знайти точний вигляд функції пам'яті у даній процедурі. Він не є степеневим, як це мало бути для дробового оператора. Він є лише одним з великої кількості операторів, у яких асимптотика має степеневе зменшення, що абсолютно недостатньо, аби стверджувати, що встановлений прямий зв'язок між дробовими операторами і фракталами.

Підрозділ 2.5 має істотно конкретний характер. Тут розглядаються різні фізичні і астрофізичні задачі, в яких для аналізу процесів дифузії використовується теорія субординації і дробове числення. Кожна з цих задач має свою специфіку, яка полягає у властивостях підлеглого процесу. Останній має безпосередньо вплив на вигляд оператора рівняння (2). Без його явного вигляду неможливо обчислити характеристики субдифузії, а також порівняти з результатами експериментів у тому разі, коли це можливо. У пункті 2.5.1 побудовано просту одновимірну модель субдифузії без потенціалу, коли оператор має найпростіший вигляд . Аналітично знайдено всі моменти цій субдифузії і встановлено їх властивості. Ця модель узагальнює просту нормальну дифузію. Далі, у пункті 2.5.2 розглядається рух яскравих магнітних цяток у фотосфері Сонця. Поки точність вимірів була невисока, сповна вистачало вживання броунівської моделі Лейтона [4] для опису їх рухів. Недавно було встановлено, що на малих часах (менше 20 хвилин) рух магнітних цяток носить субдифузний характер. Ми будуємо тут модель субдифузії на сфері і розв'язуємо цю задачу аналітично. Вона узагальнює модель Лейтона, тобто модель Лейтона є окремим випадком нашої моделі, коли порядок похідної рівний одиниці. Дуже схожа модель з'являється в зовсім іншій задачі (пункт 2.5.3), що пов'язана з поширенням радіохвиль у випадковому середовищі. Якщо в ній виникає сильне розсіяння радіохвиль, то з'являється можливість їхньої локалізації так, що вони будуть рухатися по замкнутому колу. Оскільки у випадковому середовищі можливе перемішування, такі кільцеві траєкторії можуть існувати лише протягом деякого випадкового інтервалу часу. Далі електромагнітні хвилі продовжують поширюватися в середовищі, хаотично змінюючи свій напрям. У променевому наближенні рух проміння в такому середовищі можна уявити у вигляді випадкових блукань з випадковими часовими зупинками (де хвиля продовжує свій рух, але через локалізацію він відбувається деякий час по колу). Поширення радіохвиль в таких середовищах описується за допомогою субдифузного наближення. За допомогою середнього квадрату відхилення променя від його первинного напряму у залежності від результуючої довжини шляху можливо виявити наявність такої випадкової локалізації, коли . У пункті 2.5.4 встановлено, що для субдифузних процесів зберігається флуктуаційно-дисипативне співвідношення і Н-теорема. Модель Блека-Шолеса [5] є вельми популярною у фінансовій математиці. Її творці були навіть нагороджені Нобелівською премією з економіки. Вона базується на властивостях ідеального ринку, де домінує нормальна дифузія, але реальні ринки можуть поводитися значно складніше. У пункті 2.5.5 ми розглядаємо узагальнення цієї моделі для субдифузного випадку, що може бути корисним для аналізу ринків опціонів, які знаходяться під впливом ефектів пам'яті. У пункті 2.5.6 ми досліджуємо вплив ефектів тривалої пам'яті на еволюцію дифузії. Це дозволяє перекинути місток між системами, які не пам'ятають ні одного свого попереднього стану (повна відсутність пам'яті або нормальна дифузія), і системами, які пам'ятають всі свої попередні стани (повна пам'ять або детермінований рух). Якщо вираховувати ентропію для аномальної дифузії під впливом ефекту тривалої пам'яті, то можна чітко побачити, як вони привносять у систему своєрідну суміш хаосу і детермінованого руху.

У третьому розділі досліджуються процеси надповільної релаксації. На відміну від експоненціальної релаксації її функція відгуку має степеневу асимптотику для малих і великих часів. Спроба представити її у вигляді суми експонент безнадійне заняття. Тому для розуміння суті надповільної релаксації було потрібно розробити новий підхід. Підрозділ 3.1 присвячено узагальненню основного кінетичного рівняння. Тут ми розглядаємо однокрокові процеси (процеси народження-знищення), що знаходяться під впливом субординації з функцією розподілу відповідно (1). Їх часова еволюція описується через кінетичні рівняння в дробових похідних за часом, а саме

яке визначає ймовірність для системи бути в стані , є швидкістю ймовірності переходу між станами і , а дробова похідна порядку за часом в сенсі Капуто

(3)

де означає -у похідну від . З умови рівності нулю часовозалежної дробової похідної для ймовірності цих переходів знаходиться баланс між протилежними станами. Субординація не порушує принцип детальної рівноваги, але змінює характер еволюції дискретної системи він стає надповільним.

У підрозділі 3.2 даний підхід як ілюстрацію було застосовано до релаксації двостанової системи з постійною частотою переходу . Тоді рівняння, що описує таку систему, набирає такого вигляду



(4)

однопараметрична функція Міттаг-Леффлера. Кінцевий стан відповідає рівноважному розподілу з ймовірністю 1/2 для обох станів. Релаксаційну функцію (4) відомо з експериментальних досліджень у діелектриках як закон Коул-Коула (дивись, наприклад, [6]). Завдяки субординації випадкових станів враховується складна динаміка змін орієнтації диполів в таких системах. Закон Гавриляка-Негамі включає як окремі випадки закони Коул-Коула і Коул-Девідсона. У підрозділі 3.3 встановлено, що закон Гавриляка-Негамі теж можна отримати за допомогою субординації. Для появи релаксації Гавриляка-Негамі необхідна комбінована субординація, коли субординатор виникає як процес зі стійким розподілом, керований іншим процесом, якій має гамма-розподіл

зі сталою . Процес зі стійким розподілом може з'явитися через притягнення незалежних випадкових величин з розподілом Міттаг-Леффлера, що відповідає релаксації типу Коул-Коула (4).

У підрозділі 3.4 показано, як можна по-новому поглянути на інтерпретацію Верон-Юрльовіч-Джоншера [6] для аномальній релаксації. Відправною точкою в їх розгляді є ймовірнісний аналіз швидкостей релаксації компонентів (наприклад, диполів в діелектриках) системи. Різні закони релаксації виникають через різну рандомізацію швидкостей релаксації компонентів системи. Інколи такий розгляд буває дуже зручним і простим, а інколи і сильно ускладнюється. Ми пропонуємо альтернативний підхід, заснований на субординації. Він розглядає обернену величину по відношенню до швидкості релаксації, тобто часову змінну. Це дає вельми просте розуміння причин, що приводять до релаксації типу Коул-Коула, і дозволяє вивести відповідне макроскопічне рівняння релаксації. У підході Верон-Юрльовіч-Джоншера аналіз даного випадку виявляється більш ускладненим. Проте, обидва підходи цілком еквівалентні і ними слід користуватися залежно від того, який дає найбільш просту картину стохастичної природи релаксації для того або іншого закону релаксації. Все це дозволяє розглядати декілька рівнів розвитку релаксації в системі (мікро/мезо/макро).

Стосовно діелектриків ситуація виглядає так: активний диполь кластер кооперативна область. Вони можуть керуватися різними субординаторами, а система у цілому керується комбінованим субординатором, який складається з субординаторів рівнів розвитку релаксації подібно тому, як це має місце у релаксації типу Гавриляка-Негамі. Якщо субординатор має властивість самоподібності (а через те не має середнього), такій властивості відповідає і вся система в цілому, що можна спостерігати через функцію відклику , наприклад, зі сталою для . Це свого роду принцип усереднення, який переводить стохастичну мікроскопічну динаміку системи в детерміновану макроскопічну еволюцію системи як єдиного цілого, яка і відповідає надповільній релаксації. Якщо на якому-небудь рівні у його субординатора з'являється середнє, то макроскопічна динамика релаксації системи спрощується (як у разі закону Гавриляка-Негамі до випадків типу Коул-Коула або Коул-Девідсона).

У підрозділі 3.5 встановлюємо макроскопічні рівняння для функції релаксації. Найпростіше знаходиться таке рівняння для закону Коул-Коула



де оператор типу Капуто (3), а характеристична стала системи. Воно має лінійний вигляд через дробову похідну за часом. Для релаксації Коул-Девідсона і Гавриляка-Негамі ситуація складніша. Рівняння стає функціональним відповідно дробової похідної за часом.

Підрозділ 3.6 присвячено зв'язку між надповільною релаксацією і аномальною дифузією. У системі, що складається з багатьох компонентів (тіл), ефекти їх взаємодії грають вирішальну роль. За рахунок таких ефектів виникають флуктуації потенціалу, через які одна частинка (об'єкт) впливає на інші. Сумарно це приводить до шумового характеру самих ефектів. У той же час вони формують дуже складний результуючий потенціал з багатьма локальними екстремумами, розділеними між собою бар'єрами всіх масштабів, які в одних випадках притягують, а в інших відштовхують орбіти частинок, формуючи самоподібну ієрархію канторів. В результаті траєкторія частинок може бути дуже схожою на випадкові блукання. Тому не дивно, що часто проводиться паралель в літературі між надповільною релаксацією і аномальною дифузією. При цьому слід мати на увазі, що релаксаційну функцію можна описати через характеристичну функцію вектора положення блукаючої частинки у момент часу в рамках моделі одного тіла, а є хвильовим числом. Іншими словами, рухом дифузійного фронту можна описати процеси релаксації в системі. У даному підході ми розглядаємо як не зв'язані, так і зв'язані блукання. Це приводить до різних законів релаксації.

У підрозділі 3.7 розглядається комбінований закон релаксації, що має місце в хімічних реакціях з пастками, де реагент, що дифундує, оточений великою кількістю пасток, які випадково рухаються. Ми знаходимо, що емпіричний закон релаксації для концентрації реагентів, що спадає з часом як добуток експоненціальної і розтягнутої експоненціальної функцій, може буто пояснено дворазовою субординацією випадкових процесів

завдяки незалежним субординаторам з розподілами і , що узагальнює субординацію типу (1). Функція характеризує підлеглий процес, а взагалі субординатори можуть бути різними і досить складними. Багатомасштабний субординатор дозволяє комбінувати закони релаксації у вигляді їх множення.

Четвертий розділ описує побудову гамільтонової механіки дробових систем і аналіз їх властивостей за допомогою субординації імпульсів і координат руху. У підрозділі 4.1 ми показуємо як застосувати даний підхід до лінійних рівнянь руху гамільтонової механіки. Проста нетривіальна система, яка виникає при такому аналізі це вільний дробовий осцилятор, що розглядається у підрозділі 4.2. Його узагальнений гамільтоніан має вигляд

де циклічна частота, і відповідно координата та імпульс. Ця величина описує повну енергію такої динамічної системи. Тоді рівняння руху записується так



Тут ми використовуємо похідну Капуто (3). Звідси витікає, що

Кожне з рівнянь має два незалежних розв'язки. Досить знайти розв'язок для одного з них, наприклад, для координати:

де , константи, а

двупараметрична функція Міттаг-Леффлера. Розв'язок рівняння руху дробового осцилятора має вплив двох компонент. Одна з них має вигляд експоненціально загасаючого коливання, а інша показує монотонний алгебраїчний спад для великих часів. Якщо порядок дробової похідної менше 2, то перший доданок загасає помітно швидше, ніж інший. На великих часах алгебраїчний спад домінує, а через те дробове коливання цілком має скінчену кількість нулів на відміну від гармонійних коливань, які мають їх нескінчену кількість.

У підрозділі 4.3 аналізується ефекти загасання дробового осцилятора під впливом зовнішньої гармонійної сили. Її відгук складається з “вільних” і “вимушених” коливань. Якщо ця дія періодична, то можна виділити вклад сталих коливань. Вимушений розв'язок записується як

де і амплітуда і частота гармонійного збудження. Дробовий осцилятор можна розглядати як середнє за ансамблем гармонійних осциляторів. Коли всі гармонійні осцилятори ідентичні, і вони стартують у фазі, то їх повний вклад дорівнюватиме добутку числа осциляторів на відгук одного осцилятора. Проте, коли осцилятори дещо відрізняються один від одного частотою, то навіть якщо вони стартують у фазі, представляючи кожен осцилятор у вигляді стрілки годинника, за деякий час вони рівномірно розподіляться по всьому циферблату. Кожен відгук буде компенсуватися (повністю або частково) відгуком іншого осцилятора. І хоча кожен з них є консервативною системою (його повна енергія зберігається), в цілому система таких осциляторів має дисипативну природу і поводиться як дробовий осцилятор. Удається провести явну паралель між дисперсійними характеристиками дробового осцилятора і ансамблю класичних гармонійних осциляторів із експоненціальним загасанням. Існує діапазон частот, де поглинання мале, а індекс рефракції наростає з частотою (нормальна дисперсія). Крім того, для інших частот поглинання навпаки велике і має місце аномальна дисперсія, для якої коефіцієнт рефракції зменшується з частотою. В зв'язку з цим слід сказати, що наявність аномальної і нормальної дисперсії буденне і добре відоме явище для ансамблю звичайних гармонійний осциляторів із загасанням. Проте тут встановлено новий факт, який полягає в тому, що нормальна і аномальна дисперсія є типовими і для середовища, що описується як дробовий осцилятор.

У підрозділі 4.4 розглядаються зв'язані дробові осцилятори без зовнішньої дії

де осцилятори позначено цифрами 1 і 2 відповідно, а це міра зв'язку, циклічна частота, а похідна Капуто (3). У нових змінних

і

ця система рівнянь перетворюється у рівняння двох незалежних дробових осциляторів з частотами і . Якщо , то так, що обидва осцилятора рухаються у фазі з однаковою частотою . В цьому випадку зв'язок між осциляторами не має жодного впливу на їх рух. Якщо ж або , що те саме, осцилятори коливаються у протифазі зі збільшеною частотою завдяки міри зв'язку . Розклад зв'язаних дробових осциляторів в суперпозицію нормальних мод, які є простими дробовими осциляторами головний результат фізики зв'язаних дробових осциляторів.

У підрозділі 4.5 ми вивчаємо вимушені коливання лінійних систем в дробових похідних з багатьма ступенями свободи. Їх вияв в комплексному вигляді істотно спрощує цей аналіз. Загальний висновок такого аналізу полягає у наступному. Коли періодична сила простого гармонійного типу діє на будь-яку частину даної системи, кожна частина виконує просте гармонійне коливання, але амплітуда його буде різною для різних частин системи. Коли період вимушених коливань збігається з періодом однієї з власних мод, то велике за амплітудою вимушене коливання буде загальним підсумком такого випадку. Зв'язані дробові осцилятори під впливом зовнішніх гармонійних коливань підлягають теоремі взаємності.

Підрозділ 4.6 присвячений граничному переходу до неперервних систем. В результаті ми отримуємо рівняння дробової хвилі

де і є сталими. Вона має вигляд двох згасаючих за часом хвиль, що рухаються у протилежних напрямах (по у позитивному і негативному напрямах).

У п'ятому розділі розглядаються нелінійні процеси з тривалими ефектами пам'яті. Підрозділом 5.1 ми починаємо наше вивчення нелінійної хімічної реакції, в якій часова динаміка має дробовий вигляд

з початковою умовою концентрації хімічних компонентів

Нелінійні процеси грають важливу роль в кінетиці хімічних реакцій. Отримана система має ту особливість, що вона частково розв'язується аналітично (для і суми ), а потім чисельно одержуємо з нелінійного рівняння дробового порядку з правою частиною. При знаходженні чисельного розв'язку ми використовуємо апроксимацію дробового інтеграла, а сам розв'язок зводиться до знаходження позитивного кореня нелінійного рівняння. Ключовою характеристикою такої системи є часове положення максимуму величини і його значення. Важливо те, що порядок дробової похідної (індекс) впливає на положення даного максимуму (Рис. 1). Спочатку часове положення максимуму прагне до осі абсцис, коли індекс змінюється від одиниці до . Далі, еволюція індексу до нулю приводить до руху максимуму величини у протилежну сторону від осі абсцис. Амплітуда піку має повністю монотонний зростаючий характер залежно від .

У підрозділі 5.2 аналізується псевдохаотичний аттрактор збуреного рівняння Дюффінга в дробових похідних

де і параметри збурення. Дробовий нелінійний осцилятор поводиться подібно до стохастичного аттрактора у фазовому просторі, який збуджений періодичною силою.

Проте тут можна управляти ефектами пам'яті через зміну порядку похідній, варіюючи його між одиницею і двійкою. Відхід індексу порядку похідної від двійки досить швидко приводить до деградації такого аттрактора. Тому ми називаємо його псевдохаотичним. Причина цього ефекту полягає в наростанні дисипації, а в той же час потрохи “вмирає” аттрактор.

Рис. 1. Часове положення максимуму величини в залежності від индексу для нелінійної хімічної реакції з дробовою динамикою

У підрозділі 5.3 ми розглядаємо важливий приклад, який показує, що нелінійність є необхідною, але не достатньою умовою виникнення хаосу. Цей приклад пов'язаний з знаковою кореляцією двох прямокутних сигналів з близькими непорівнянними періодами. Аналітично показано, що такий процес є чисто квазіперіодичним і не має жодного відношення ні до випадкових процесів, ні до детермінованого хаосу.

У підрозділі 5.4 вивчається дробовий ротатор під дією періодичних поштовхів. Ефекти пам'яті, а разом з ними і дробова дисипація, майже не проявляють себе для такого ротатора. Причина полягає в стробоскопічному ефекті збуджуючих поштовхів. Вони блокують процеси неперервного накопичення через ефекти пам'яті. В результаті не встигають виявитися особливості еволюції динамічної системи з дробовою похідною. Ефекти пам'яті в такій системі безпосередньо пов'язані з дисипацією. Немає пам'яті, немає і дисипації в такій системі.

Підрозділ 5.5 присвячений автоколиванням у дробовому осциляторі. Ми розглядаємо дробове узагальнення моделі Адронова-Вітта-Хайкина

де в класичному випадку () [7] виникає граничний цикл з розв'язку двох лінійних диференційних рівнянь, що описують загасаючі коливання. На відміну від класичного випадку дробова система типу Адронова-Вітта-Хайкина через скінчену кількість нулів дробового коливання збуджує лише скінчену кількість коливань, яка залежить від порядку похідної. Аналізується також електронна схема, яка приводить до таких коливань. Вона може бути використана для визначення порядку дробової похідної, який безпосередньо пов'язаний з характеристиками коливальної системи дробового осцилятора.

У підрозділі 5.6 представлено аналіз поведінки логістичних відображень під впливом тривалих ефектів пам'яті. Для введення тривалих ефектів пам'яті у відображення використовуються коефіцієнти чисельної апроксимації дробового інтеграла:



Тоді відображення з тривалими ефектами пам'яті записується як

де ваги і параметр характеризують ефекти пам'яті, а деяка довільна функція придатна для дискретного відображення. Відмітна особливість тривалої пам'яті полягає у повільному зменшенні вкладу попередніх станів дискретного відображення. Така пам'ять характеризується одним параметром, який повністю еквівалентний порядку дробового інтеграла у дискретній апроксимації. Коли він дорівнює нулю, пам'ять дорівнює нулю, і в результаті таке відображення стає звичайним логістичним відображенням . Коли ж параметр прямує до одиниці, пам'ять стає повною. Тепер відображення має вигляд

так, що кожен подальший стан системи залежить від попередніх з однаковою вагою. Шляхом чисельного моделювання показується, що ефекти пам'яті діють проти хаотичної поведінки логістичних відображень (Рис. 2). Хаотичні стани типові для звичайних відображень, “вимирають” із зростанням ефектів пам'яті.



Рис. 2. Діаграми біфуркацій для квадратичного логістичного відображення з тривалими ефектами пам'яті. Параметр характеризує вплив пам'яті, а величина є постійною відображення

У шостому розділі вивчаються астрофізичні процеси Сонця, а також сонячна активність. Ця проблема має давню історію і до цих пір продовжує приковувати пильну увагу наукової громадськості. Річ у тому, що Сонце найближча зірка до нашої планети, і її дослідження може пролити світло на багато важливих питань астрофізики зірок в цілому. Вона може служити свого роду базовим об'єктом, на якому можуть відпрацьовуватися методика і підходи до дослідження далеких (але схожих) зірок.

Підрозділ 6.1 продовжує наш розгляд випадкових рухів магнітних яскравих цяток, який було почато у пункті 2.5.2. Враховується як їх субдифузна поведінка на малих часах, так і перетворення її на нормальну дифузію для великих інтервалів часу. З цією метою ми залучаємо темперовані -стійкі випадкові процеси. Вони на відміну від звичайних, використаних вище, -стійких процесів мають скінчені всі моменти, але при цьому ще зберігають деякі рудименти останніх. Зображення Лапласа для функції розподілу ймовірності темперованої -стійкої величини дає

де позитивна константа і . Будуючи на основі теорії субординації таким випадковим процесом аномальну дифузію, можна показати, що для малих часових масштабів її дисперсія пропорційна степеневій функції у часі, що нагадує субдифузію, а потім все більше і більше наближається до лінійної функції, як то могло би бути у випадку нормальної дифузії. Рівняння Фоккера-Планка для темперованої субдифузії має вигляд

Ядро цього інтегрального рівняння удається знайти в явному вигляді

Стосовно руху магнітних яскравих цяток на сонячній сферичній поверхні радіусу оператор записується в сферичних координатах як

де коефіцієнт аномальної дифузії. На підставі цього аналізу ми знаходимо дисперсію випадкового блукання таких цяток аналітично. Все це дозволяє встановити причину поведінки яскравих цяток на малих і великих часах. Вона викликана обмеженою областю формування пасток, і коли яскраві цятки її покидають, їх випадкові блукання відбуваються без зупинки, що приводить до суттєво нормальних блукань.

Часове розширення радіоімпульсів від віддалених пульсарів може виникати завдяки негауссовій статистиці електронної густини міжзоряного середовища [8]. Дана проблема вимагає сценарію типу польотів Леві. У підрозділі 6.2 ми досліджуємо властивості переносу в такій системі. У нашому розгляді випадкові блукання променя складаються з випадкових стрибків під кутом , що чергуються з випадковими довжинами шляху . В неперервній границі виникає субординатор , що задовольняє властивості самоподібності з параметрами і , де “” означає “рівний за законом ймовірності”. Середній квадрат відстані від початкового пункту до пункту спостереження, пройдений променем по шляху завдовжки у такому середовищі прямує до нескінченності внаслідок того, що випадкове блукання керується польотами Леві.

У підрозділі 6.3 ми аналізуємо проблему сонячної активності, виходячи з дискретного аналога дробового рівняння Ланжевена, FARIMA моделі. Такого роду рівняння описують рух заряджених часток у випадкових магнітних і електричних полях. Саме така поведінка характерна для руху сонячної плазми. Модель типу FARIMA можна записати у вигляді



де є оператором зсуву

дробовий різницевий оператор

визначається з допомогою біноміального розкладу,

, і

є поліномами степеня і відповідно, набуває дробових значень, а представляють шум за допомогою незалежних та ідентично розподілених випадкових величин. При цьому в нашій моделі ми враховуємо те, що поблизу активних областей на Сонці сонячна плазма сильно збуджена. Її статистика не є гауссівською і більш нагадує польоти Леві. Це, якраз, можна врахувати за допомогою FARIMA моделі з Парето шумом. Ми вивчили статистику багатолітніх неперервних спостережень м'якого рентгенівського випромінювання Сонця, виміряного супутниками GOES, і встановили, що в періоди найбільшої сонячної активності цей часовий ряд підкоряється вказаній моделі. Вона характеризується трьома параметрами: показником самоподібності , індексом хвоста функції розподілу і параметром пам'яті , які зв'язані співвідношенням

.

Для більшої достовірності ми визначали вказані параметри за допомогою різних статистичних тестів. На основі такої моделі удається побудувати модель опису еволюції інтенсивності рентгенівських сонячних спалахів у наступний період максимуму сонячної активності.

Далі в підрозділі 6.4 ми досліджуємо деякі радіоастрономічні прояви сонячної активності. Мова іде про спостереження сонячних сплесків II типу в декаметровом діапазоні довжин хвиль на радіотелескопі УТР-2. Такі сплески пов'язані з рухом ударних хвиль в сонячній короні. Часто вони є передвісниками або супутніми подіями сонячних спалахів і викидів корональних мас, а тому представляють особливий інтерес. У підрозділі 6.5 ми розглядаємо ефекти взаємодії ударних хвиль з викидами корональної маси, які мають вплив на характер радіовипромінювання, що виникає при поширенні їх в короні. При цьому реєструються сплески типу волокон. За їхніми характеристиками удається відновити характеристики корональної плазми. Підрозділ 6.6 присвячений аналізу спостереження поглинання радіовипромінювання на тлі сплесків II типу. Це рідкісне явище спостерігалося вперше високо у короні і, ймовірно, було викликано захопленням силових ліній магнітної пастки у короні через корональний викид маси, який супроводжувався проходженням через це місце ударної хвилі. Завдяки нестійкості плазмових хвиль в магнітній пастці, генерація сплеску II типу виникала разом з процесами поглинання цього радіовипромінювання. Нам удалося встановити, що це поглинання досягало майже рівня сумарного радіовипромінювання спокійного Сонця і галактичного фону.



ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукової проблеми субординації стохастичних процесів в фізиці і астрофізиці, яку можно розділити по п'ятьох напрямках:

1. Аномальна дифузія. Головна мета, що ставилася в цьому напрямку, була присвячена побудові теорії лінійної субдифузії з потенціалом.

2. Надповільна релаксація. Основне завдання цього напрямку з'ясування ролі субординаторів у формуванні мікроскопічних і макроскопічних характеристик релаксації у складних середовищах.

3. Дробова механіка. Головна мета тут побудова рівнянь гамільтонової механіки з дробовими похідними, що враховують внутрішню дисипацію у системах.

4. Нелінійні моделі з тривалими ефектами пам'яті. Головне завдання цього напрямку виявлення впливу дробового оператора за часом на нелінійну еволюцію систем.

5. Темперована дифузія. Основна мета цього напрямку полягала в поєднанні деяких рис субдифузії та нормальної дифузії в єдиної моделі.

Хоча формально ці напрямки відносяться до різних розділів фізики або астрофізики, як це видно з результатів дисертаційної роботи, їх суттєво об'єднує концепція субординації, коли один процес керує іншим. Тому послідовний розгляд цих напрямків висвітлює універсальність цього підходу. Нижче перераховані основні результати роботи, що дають уявлення про те, в якій мірі цього вдалося досягнути.

Аномальна дифузія. В основу виведення рівнянь субдифузії покладено мікроскопічну динаміку випадкових процесів, в яких рух і вимушені зупинки блукаючих частинок, спричинені пастками, враховуються за допомоги оберненого випадкового процесу, що будується з процесу Леві, який описує випадкові додатні інтервали часу між випадковими стрибками частинок у просторі. Стрибки у просторі та інтервали часу формують два незалежних випадкових процеси, а поява стрибків через деякий випадковий час чекання з точки зору теорії ймовірності означає керування одного випадкового процесу іншим через часову змінну або інакше наявність субординації. Як субординатор виступає цей обернений процес. Важливим тут є те, що такий субординатор привносить тривалі ефекти пам'яті в систему, не маючи завідомо властивостей згортки. Як наслідок, макроскопічний опис аномальної дифузії набуває вигляду рівняння з дробовою похідною за часом, що узагальнює рівняння нормальної дифузії типу броунівської. При цьому виникає імовірнісна інтерпретація дробової похідної за часом, яка полягає в тому, що порядок похідної збігається з індексом стійкого розподілу випадкового процесу Леві.

На підставі оберненого випадкового процесу будується стохастична стріла часу. На відміну від звичайної детермінованої стріли вона має суттєво нерівномірний характер, що приводить до уповільнення руху дифузійного фронту. Її можна застосувати як час до звичайного рівняння Ланжевена, що дозволяє описувати субдифузію за допомоги такого рівняння. З його аналізу витікає, що в разі аномальної дифузії виконується H-теорема і флуктуаційно-дисипативне співвідношення, а наявність цієї стохастичної стріли часу уповільнює еволюцію такої системи у цілому. Цей висновок дає можливість помітити перспективи застосування такої стріли часу до процесів релаксації у невпорядкованих системах і навіть більше.

Надповільна релаксація. Коли компоненти (релаксатори) системи не можуть еволюціонувати до свого рівноважного стану як сума незалежних експоненціальних релаксаторів завдяки сильній залежності в еволюції один від одного, їх надповільну релаксацію можна врахувати за допомогою субординації процесів, які приводять до експоненціальної релаксації, наприклад, у двостанової системи типу народження-знищення. Зроблений аналіз показує, що обернений випадковий процес до процесу Леві відтворює релаксаційний закон так званого Коул-Коула. Субординація може незалежно охоплювати різні рівні релаксуючої системи (мікро/мезо/макро). Як наслідок, неекспоненціальна релаксація є результатом асимптотичних автомодельних властивостей субординаторів. Крім того, субординація може бути багатомасштабною, що породжує різні комбіновані закони релаксації. На цьому напрямку можливо отримати добре відомі з експериментальної фізики закони Коул-Девідсона, Гавриляка-Негамі та інші. Теорія надповільної релаксації може бути побудована також за допомогою аналізу руху дифузійного фронту. Ця модель використовує властивості неперервних за часом випадкових блукань, які були вже застосовані до встановлення властивостей аномальної дифузії. Релаксаційна функція у моделі незв'язаних випадкових блукань набирає вигляду закону Коул-Коула. З такого теоретичного аналізу встановлено, що зв'язані і незв'язані блукання наводять до різних форм функції релаксації.