Субординація стохастичних процесів у фізиці і астрофізиці

Дробова механіка. В основу узагальнення класичної механіки покладено субординацію імпульсів і координат руху частинок за допомогою випадкового процесу, оберненого до процесу Леві. Тоді в рамках гамільтонового формалізму виводяться рівняння руху в дробових похідних за часом. Цей результат дозволяє побудувати на єдиній основі:

а) теорію дробового осцилятора у вільному стані;

б) теорію дробового осцилятора під дією зовнішньої сили;

в) аналіз зв'язаних дробових осциляторів без зовнішньої дії;

г) аналіз зв'язаних дробових осциляторів під впливом зовнішньої дії;

д) граничний перехід до рівняння дробової хвилі.

Вперше в статистичній фізиці поведінка дробового осцилятора інтерпретується як середнє за ансамблем звичайних гармонійних коливань, часова змінна в яких керується стохастичною стрілою часу. Внутрішнє поглинання у дробовому осциляторі обумовлено вкладом всіх гармонійних осциляторів такого ансамблю, але вони трохи відрізняються частотою один від одного. В результаті відгук кожного з осциляторів компенсується відгуком іншого, що рухається в протифазі. Це дозволяє провести паралель в розгляді дисперсійного аналізу дробового осцилятора і ансамблю звичайних гармонійних осциляторів з експоненційним згасанням. На підставі розгляду поглинання і коефіцієнта рефракції зроблено висновок про те, що нормальна і аномальна дисперсія є типовою і для середовища, що поводиться як дробовий осцилятор. Вільне дробове коливання є своєрідна суміш експоненційно загасаючого коливання і алгебраїчної релаксації, а через те воно має скінчену кількість нулів на відміну від синуса і косинуса, функцій що описують звичайний гармонічний осцилятор.

Головний результат фізики зв'язаних дробових осциляторів полягає у розкладі зв'язаних дробових коливань в суперпозицію нормальних мод, які відповідають простим дробовим осциляторам, що приводить до їх биття. З лінійності зв'язаних дробових осциляторів під впливом зовнішніх гармонійних коливань випливає теорема взаємності. Встановлено природне узагальнення цього підходу до неперервних систем.

Нелінійні моделі з тривалими ефектами пам'яті. Показано, що компенсація втрат в лінійному дробовому осциляторі активним приладом може приводити до автоколивань. Завдяки головній особливості лінійних дробових коливань, а саме скінченій кількості нулів, граничний цикл в такому генераторі має короткий час життя, який залежить від порядку дробової похідної.

Встановлено, що ефекти тривалої пам'яті здатні пригнічувати хаотичні стани як неперервних систем, так і в дискретних типу логістичних відображень. При малих ефектах пам'яті, що відображається у індексі дробового оператора, хаосу удається ще себе проявити, проте їх збільшення, зрештою, приводить до його повної деградації у деякий стійкий стан рівноваги.

На підставі нового наближеного методу розв'язування системи нелінійних дробових рівнянь знайдено часову еволюцію компонентів у нелінійній хімічній реакції. При розв'язувані цієї задачі використовується дискретна апроксимація дробового інтеграла, а також знаходження розв'язку нелінійного алгебраїчного рівняння, яке рекурентним чином змінюється на кожному проміжку розбиття. Чисельними експериментами і аналітично вперше показано, що дробовий індекс похідної може служити параметром для дробової системи, який істотно впливає на характер еволюції системи. У випадку нелінійної хімічної реакції це приводить до нетривіальних зсувів часового положення максимуму концентрації одної з хімічних компонент.

Темперована дифузія. Детально досліджено аномальну дифузію на основі темперованих процесів Леві, які на відміну звичайних додатних процесів Леві мають середнє. За допомогою субординації це дозволило побудувати модель, що займає проміжне становище між субдифузією і нормальною дифузією. Вона починається як субдифузія, але потім трансформується в нормальну дифузію. Знайдено вигляд макроскопічного рівняння еволюції розподілу випадкового руху частинок у такій дифузії, а також обчислені моменти. Темперована дифузія враховує вплив пасток на короткому інтервалі часу.

Запропоновано для опису випадкового руху магнітних яскравих цяток у фотосфері Сонця використовувати аномальну дифузію, завдяки субординації обертального броунівського руху оберненим випадковим процесом по відношенню до темперованого процесу Леві. При цьому дисперсія положення цих цяток починає еволюціонувати за степеневим законом, який потім на великих часах стає лінійною функцією, що повністю відповідає результатам експериментальних досліджень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Stanislavsky A. A. Memory effects and macroscopic manifestation of randomness / A. A. Stanislavsky // Physical Review E. 2000. Vol. 61, №5. P. 4752-4759.

2. Stanislavsky A. A. On the averaging procedure over Cantor set / A. A. Stanislavsky, K. Weron // Problems Atomic Science and Technology. 2001. №6. P.245.

3. Stanislavsky A. A. Exact solution of averaging procedure over the Cantor set / A. A. Stanislavsky, K. Weron // Physica A. 2002. Vol. 303, №(1-2). P. 57-66.

4. Stanislavsky A. A. Black-Scholes model under subordination / A. A. Stanislavsky // Physica A. 2003. Vol. 318, №(3-4). P. 469-474.

5. Stanislavsky A. A. Fractional dynamics from the ordinary Langevin equation / A. A. Stanislavsky // Physical Review E. 2003. Vol.67, №2. Article 021111. P. 1-6.

6. Stanislavsky A. A. Subordinated Brownian motion and its fractional Fokker-Planck equation / A. A. Stanislavsky // Physica Scripta. 2003. Vol. 67, №4. P. 265-268.

7. Stanislavsky A. A. Subordinated random walk approach to anomalous relaxation in disordered systems / A. A. Stanislavsky // Acta Physica Polonica B. 2003. Vol. 34, №7. P. 3649-3660.

8. Mel'nik V. N. Observations of solar type II bursts at frequencies 10-30 MHz / V. N. Mel'nik, A. A. Konovalenko, H. O. Rucker, A. A. Stanislavsky, E. P. Abranin, A. Lecacheux, G. Mann, A. Warmuth, V. V. Zaitsev, M. Y. Boudjada, V. V. Dorovskii, V. V. Zaharenko, V. N. Lisachenko, C. Rosolen // Solar Physics. 2004. Vol. 222, №1. P. 151-166.

9. Станиславский А. А. Вероятностная интерпретация дробного интеграла / А. А. Станиславский // Теоретическая и математическая физика. 2004. Т. 138, №3. С. 491-507.

10. Станиславский А. А. Распространение лучей в случайно-неоднородной среде / А. А. Станиславский // Журнал теоретической и экспериментальной физики. 2004. Т. 125, №4. С. 805-807.

11. Stanislavsky A. A. Fractional oscillator / A. A. Stanislavsky // Physical Review E. 2004. Vol. 70, №5. Article 051103. P. 1-4.

12. Мельник В. Н. Обнаружение солнечных всплесков II типа в декаметровом диапазоне длин волн / В. Н. Мельник, А. А. Коноваленко, А. А. Станиславский, Г. О. Рукер, Э. П. Абранин, В. В. Доровский, В. В. Захаренко, В. Н. Лисаченко, М. Я. Буджада, А. Лекашо, В. В. Зайцев, М. Г. Розолен // Радиофизика и Радиоастрономия. 2004. Т. 9, №3. С. 237-247.

13. Stanislavsky A. A. Twist of fractional oscillations / A. A. Stanislavsky // Physica A. 2005. Vol. 354, №(1-2). P. 101-110.

14. Konovalenko A. A. Absorption burst in the solar sporadic radio emission at frequencies 10-30 MHz / A. A. Konovalenko, A. A. Stanislavsky, E. P. Abranin, V. V. Dorovskii, V. N. Mel'nik // Kinematics and Physics of Celestial Bodies, Suppl. Ser. 2005. №5. P. 78-81.

15. Stanislavsky A. A. The peculiarity of self-excited oscillations in fractional systems / A. A. Stanislavsky // Acta Physica Polonica B. 2006. Vol. 37, №2. P. 319-329.

16. Станиславский А. А. Генерация квазигармонических колебаний с помощью знакового коррелятора / А. А. Станиславский // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, №4. С. 1-5.

17. Zaslavsky G. M. Chaotic and pseudochaotic attractors of perturbed fractional oscillator / G. M. Zaslavsky, A. A. Stanislavsky, M. Edelman // Chaos. 2006. Vol. 16, №1. Article 013102. P. 1-6.

18. Stanislavsky A. A. Hamiltonian formalism of fractional systems / A. A. Stanislavsky // European Physical Journal B. 2006. Vol. 49, №1. P. 93-101.

19. Stanislavsky A. A. Nonlinear reaction with fractional dynamics / A. A. Stanislavsky // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 174, №2. P. 1122-1134.

20. Stanislavsky A. A. Long-term memory contribution as applied to the motion of discrete dynamical systems / A. A. Stanislavsky // Chaos. 2006. Vol. 16, №4. Article 043105. P. 1-4.

21. Станиславский А. А. Дробный ротатор, возбуждаемый периодическими толчками / А. А. Станиславский // Изв. ВУЗов: Физика. 2006. Приложение С. Т. 49, №9. С. 215-216.

22. Чернов Г. П. Тонкая структура радиовсплесков II типа в декаметровом диапазоне волн / Г. П. Чернов, А. А. Станиславский, А. А. Коноваленко, Э. П. Абранин, В. В. Доровский, Г. О. Рукер // Письма в Астрон. журнал. 2007. Т. 33, №3. С. 221-232.

23. Stanislavsky A. A. The stochastic nature of complexity evolution in the fractional systems / A. A. Stanislavsky // Chaos, Solitons & Fractals. 2007. Vol. 34, №1. P. 51-61.

24. Stanislavsky A. A. Effect of temporal randomization to the interaction between normalized and anomalous transport / A. A. Stanislavsky // Problems Atomic Science and Technology. 2007. №3. Chapter II. P. 340-342.

25. Stanislavsky A. A. Subdiffusive transport in intergranular lanes on the Sun. The Leighton model revisited / A. A. Stanislavsky, K. Weron // Astrophysics and Space Science. 2007. Vol. 312, №3-4. P. 343-347.

26. Stanislavsky A. A. Subdiffusion of beams through interplanetary and interstellar media / A. A. Stanislavsky // Astronomical and Astrophysical Transactions. 2007. Vol. 26, №6. P. 655-658.

27. Konovalenko A. A. Absorption in burst emission / A. A. Konovalenko, A. A. Stanislavsky, E. P. Abranin, V. V. Dorovskyy, V. N. Mel'nik, M. L. Kaiser, A. Lecacheux, H. O. Rucker // Solar Physics. 2007. Vol. 245, №2. P. 345-354.

28. Stanislavsky A. A. Two-time scale subordination in physical processes with long-term memory / A. A. Stanislavsky, K. Weron // Annals of Physics. 2008. Vol. 323, №3. P. 643-653.

29. Stanislavsky A. A. Diffusion and relaxation controlled by tempered -stable processes / A. A. Stanislavsky, K. Weron, A. Weron // Physical Review E. 2008. Vol. 78, №5. Article 051106. P. 1-6.

30. Stanislavsky A. A. FARIMA modelling of solar flare activity from empirical time series of soft X-ray solar emission / A. A. Stanislavsky, K. Burnecki, M. Magdziarz, A. Weron, K. Weron // Astrophysical Journal. 2009. Vol. 693, №2. P. 1877-1882.

Размещено на Allbest.ru